VIII . Grupy zadań budowlanych.
Rozwiązywanie grup problemów za pomocą trójkąta pomocniczego.
Istotą metody jest konstrukcja trójkątów pomocniczych i wykorzystanie ich właściwości oraz nowo uzyskanych elementów do ostatecznego rozwiązania problemu.
Analiza konstrukcji składa się z następujących kroków:
Poszukaj w swojej analizie trójkąta pomocniczego.
Jeśli pojawią się nowe elementy, za pomocą których można zbudować trójkąt ABC, to cel został osiągnięty.
Jeżeli tak się nie stanie, to być może uda się skonstruować kolejny trójkąt pomocniczy, który uzupełni brakujące elementy.
Przyjrzyjmy się istocie metody na przykładach.
Zadanie 1. Skonstruuj trójkąt równoramienny ABC ( B= C) Przez A, H B .
Szukamy trójkąta pomocniczego. Oczywiście wygodnie jest uważać trójkąt CDB za taki trójkąt.
To da kąt C, stąd kąt ABC. Zatem istnieje a, kąt B, kąt C, co oznacza, że możemy skonstruować trójkąt ABC. Zapiszemy to schematycznie w następujący sposób:
(a, h b) → Δ CDB →< C.
(A,< B, < C) → Δ ABC.
Zadania dla niezależna decyzja:
Stosując rozumowanie podobne do powyższego, zalecamy skonstruowanie trójkąta równoramiennego (b=c) przy użyciu następujących danych:
A)< А, h b ;
B)< В, h с;
G)< В, h b ;
mi)< С, h b .
Zadanie 2. Zbuduj trójkąt wykorzystując promień r okręgu wpisanego, kąt A i kąt B.
Niech I będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |ВD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Zbuduj trójkąt, korzystając z następujących elementów:
a) a, hc, hb; b) a, h a, h b; c) a, m a, m b;
G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
g) b, h b, m b (gdzie m to mediany, l to dwusieczne, h to wysokości).
Na własną rękę:
Rozwiązywanie grup problemów w oparciu o główny.
Główne zadanie:
skonstruuj romb ABCD, korzystając z przekątnej BD i wysokości BM. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
zbuduj trapez z czterech stron.
Zbuduj trójkąt wykorzystując dwa boki i kąt między nimi.
Główne zadanie:
Skonstruuj trójkąt prostokątny wzdłuż dwóch boków.
Skonstruuj romb wzdłuż dwóch przekątnych.
Skonstruuj prostokąt o dwóch nierównych bokach.
Zbuduj równoległobok wykorzystując dwie przekątne i kąt między nimi.
Skonstruuj prostokąt wykorzystując przekątne i kąt między nimi.
Zbuduj trójkąt, korzystając z boku i dwóch sąsiednich kątów.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Główne zadanie:
Skonstruuj trójkąt równoramienny, korzystając z jego podstawy i sąsiedniego kąta.
Zbuduj trójkąt prostokątny, korzystając z nogi i sąsiadującego z nią kąta ostrego.
Skonstruuj romb, wykorzystując kąt i przekątną przechodzącą przez wierzchołek tego kąta.
Skonstruuj trójkąt równoramienny na podstawie wysokości i kąta wierzchołkowego.
Skonstruuj kwadrat wzdłuż podanej przekątnej.
Zbuduj trójkąt prostokątny, korzystając z przeciwprostokątnej i kąta ostrego.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Główne zadanie:
Skonstruuj trójkąt równoramienny wzdłuż boku i narożnika u podstawy.
Skonstruuj trójkąt równoramienny, korzystając z kąta bocznego i wierzchołkowego.
Zbuduj trójkąt wykorzystując trzy boki.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Główne zadanie:
Zbuduj trójkąt równoramienny, korzystając z jego podstawy i boków.
Skonstruuj romb wzdłuż boków i przekątnych.
Zbuduj równoległobok wykorzystując dwa nierówne boki i przekątną.
Skonstruuj równoległobok wykorzystując bok i dwie przekątne.
Zbuduj trójkąt prostokątny, korzystając z nogi i przeciwprostokątnej.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Skonstruuj trójkąt równoramienny wzdłuż wysokości i boku.
Skonstruuj trójkąt równoramienny, korzystając z podstawy i prostej prostopadłej od końca podstawy do boku.
Skonstruuj równoległobok, korzystając z jego podstawy, wysokości i przekątnej.
Skonstruuj romb wzdłuż jego wysokości i przekątnej.
Zbuduj trójkąt równoramienny, korzystając z boku i wysokości z niego obniżonej.
Zbuduj trójkąt na podstawie podstawy, wysokości i boku.
Literatura:
B. I. Argunov, M. B. Balk „Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie”, M, „Prosveshchenie” 1955.
Glazer G.I. „Historia matematyki w szkole” IV – VI klasy, M, „Oświecenie”, 1981
I. Goldenblant „Doświadczenie w rozwiązywaniu problemów konstrukcji geometrycznych” „Matematyka w szkole” nr 3, 1946
I. A. Kushnir „W jeden sposób rozwiązywania problemów konstrukcyjnych” „Matematyka w szkole” nr 2, 1984
A. I. Mostovoy „Zastosuj różne metody rozwiązywania problemów konstrukcyjnych” „Matematyka w szkole” nr 5, 1983
Podręcznik „matematyki” A. A. Popowej. „Państwo Czelabińsk Uniwersytet Pedagogiczny”, 2005
E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova „Konstrukcje geometryczne w klasach I – V Liceum„Rozwój metodologiczny. Swierdłowsk, 1974
Równoramienny jest jak to trójkąt, w którym długości jego dwóch boków są sobie równe.
Podczas rozwiązywania problemów na ten temat "Trójkąt równoramienny" konieczne jest użycie następujących znanych nieruchomości:
1.
Kąty leżące naprzeciw równych boków są sobie równe.
2.
Rysowane dwusieczne, środkowe i wysokości równe kąty, są sobie równe.
3.
Dwusieczna, mediana i wysokość poprowadzone do podstawy trójkąta równoramiennego pokrywają się.
4.
Środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego leżą na wysokości, a zatem na środkowej i dwusiecznej narysowanej do podstawy.
5.
Kąty równe w trójkącie równoramiennym są zawsze ostre.
Trójkąt jest równoramienny, jeśli ma następujące cechy oznaki:
1.
Dwa kąty trójkąta są równe.
2.
Wysokość pokrywa się ze środkową.
3.
Dwusieczna pokrywa się ze środkową.
4.
Wysokość pokrywa się z dwusieczną.
5.
Obie wysokości trójkąta są równe.
6.
Dwie dwusieczne trójkąta są równe.
7.
Dwie środkowe trójkąta są równe.
Rozważmy kilka problemów na ten temat "Trójkąt równoramienny" i podać ich szczegółowe rozwiązanie.
Zadanie 1.
W trójkącie równoramiennym wysokość do podstawy wynosi 8, a podstawa do boku wynosi 6: 5. Znajdź odległość od wierzchołka trójkąta do punktu przecięcia jego dwusiecznych.
Rozwiązanie.
Niech będzie dany trójkąt równoramienny ABC (ryc. 1).
1) Ponieważ AC: BC = 6: 5, wówczas AC = 6x i BC = 5x. VN – wysokość doprowadzona do podstawy głośnika trójkąt ABC.
Ponieważ punkt H jest środkiem AC (zgodnie z właściwością trójkąta równoramiennego), to HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.
BC 2 = VN 2 + NS 2;
(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;
x = 2, zatem
AC = 6x = 6 2 = 12 i
BC = 5x = 5 2 = 10.
3) Ponieważ punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest środkiem wpisanego w niego okręgu, to
OH = r. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC obliczamy ze wzoru
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, wtedy OH = r = 48/16 = 3.
Stąd VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.
Odpowiedź: 5.
Zadanie 2.
W trójkącie równoramiennym ABC narysowana jest dwusieczna AD. Pola trójkątów ABD i ADC wynoszą 10 i 12. Znajdź potrójne pole kwadratu zbudowanego na wysokości tego trójkąta narysowanego do podstawy AC.
Rozwiązanie.
Rozważmy trójkąt ABC - równoramienny, AD - dwusieczną kąta A (ryc. 2).
1) Zapiszmy pola trójkątów BAD i DAC:
S ZŁY = 1/2 · AB · AD · grzech α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Znajdź stosunek obszarów:
S ZŁY /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Ponieważ S BAD = 10, S DAC = 12, wówczas 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, następnie niech AB = 5x i AC = 6x.
AN = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.
3) Z trójkąta ABN - prostokątny zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa AB 2 = AN 2 + BH 2;
25x2 = VN2 + 9x2;
4) S ZA ВС = 1/2 · АС · ВН; S ZA B do = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .
Ponieważ S A BC = S ZŁY + S DAC = 10 + 12 = 22, to 22 = 12x 2 ;
x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.
5) Pole kwadratu jest równe VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.
Odpowiedź: 88.
Zadanie 3.
W trójkącie równoramiennym podstawa wynosi 4, a bok 8. Znajdź kwadrat wysokości obniżonej na bok.
Rozwiązanie.
W trójkącie ABC - równoramienne BC = 8, AC = 4 (ryc. 3).
1) ВН – wysokość poprowadzona do podstawy AC trójkąta ABC.
Ponieważ punkt H jest środkiem AC (zgodnie z właściwością trójkąta równoramiennego), to HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.
2) Z trójkąta VNS - prostokątny zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa BC 2 = VN 2 + NS 2;
64 = VN 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), a także S ABC = 1/2 · (AM · BC), wówczas przyrównujemy prawe strony wzorów, otrzymujemy
1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;
AM = (AC BH)/BC;
AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
Odpowiedź: 15.
Zadanie 4.
W trójkącie równoramiennym podstawa i wysokość na nim obniżona są równe 16. Znajdź promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie.
W trójkącie ABC – podstawa równoramienna AC = 16, ВН = 16 – wysokość poprowadzona do podstawy AC (ryc. 4).
1) AN = NS = 8 (zgodnie z właściwością trójkąta równoramiennego).
2) Z trójkąta VNS - prostokątnego zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa
BC 2 = VN 2 + NS 2;
BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;
3) Rozważmy trójkąt ABC: na podstawie twierdzenia o sinusach 2R = AB/sin C, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
sin C = BH/BC (z trójkąta VNS z definicji sinusa).
grzech C = 16/(8√5) = 2/√5, wtedy 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Odpowiedź: 10.
Zadanie 5.
Długość wysokości poprowadzonej do podstawy trójkąta równoramiennego wynosi 36, a promień okręgu wpisanego wynosi 10. Znajdź obszar trójkąta.
Rozwiązanie.
Niech będzie dany trójkąt równoramienny ABC.
1) Ponieważ środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia jego dwusiecznych, to O ϵ VN i AO to dwusieczna kąta A, a także OH = r = 10 (ryc. 5).
2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.
3) Rozważmy trójkąt ABN. Z twierdzenia o dwusiecznej kąta trójkąta
AB/AN = VO/OH;
AB/AN = 26/10 = 13/5, następnie niech AB = 13x i AN = 5x.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa AB 2 = AN 2 + VN 2;
(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2 ;
169x2 = 25x2 + 36 2;
144x 2 = (12 · 3) 2 ;
144x2 = 144 9;
x = 3, następnie AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Odpowiedź: 540.
Zadanie 6.
W trójkącie równoramiennym dwa boki są równe 5 i 20. Znajdź dwusieczną kąta przy podstawie trójkąta.
Rozwiązanie.
1) Załóżmy, że boki trójkąta wynoszą 5, a podstawa 20.
Następnie 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (ryc. 6).
2) Niech LC = x, następnie BL = 20 – x. Z twierdzenia o dwusiecznej kąta trójkąta
AB/AC = BL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
wtedy 4x = 20 – x;
Zatem LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Skorzystajmy ze wzoru na dwusieczną kąta trójkąta:
AL 2 = AB AC – BL LC,
wtedy AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;
Odpowiedź: 6.
Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązać problemy z geometrią?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Jak skonstruować trójkąt równoramienny? Łatwo to zrobić za pomocą linijki, ołówka i komórek notatnika.
Budowę trójkąta równoramiennego rozpoczynamy od podstawy. Aby wzór był parzysty, liczba komórek u podstawy musi być parzysta.
Podziel odcinek - podstawę trójkąta - na pół.
Wierzchołek trójkąta można wybrać na dowolnej wysokości od podstawy, ale zawsze dokładnie nad środkiem.
Jak skonstruować ostry trójkąt równoramienny?
Kąty u podstawy trójkąta równoramiennego mogą być tylko ostre. Aby trójkąt równoramienny był ostry, kąt wierzchołkowy również musi być ostry.
Aby to zrobić, wybierz wierzchołek trójkąta wyżej, oddalony od podstawy.
Im wyższy wierzchołek, tym mniejszy kąt wierzchołkowy. Kąty u podstawy odpowiednio się zwiększają.
Jak skonstruować rozwarty trójkąt równoramienny?
Gdy wierzchołek trójkąta równoramiennego zbliża się do podstawy miara stopnia zwiększa się kąt wierzchołkowy.
A więc skonstruować równoramienny rozwarty trójkąt, wybierz niższy wierzchołek.
Jak skonstruować trójkąt prostokątny równoramienny?
Aby skonstruować trójkąt równoramienny, należy wybrać wierzchołek w odległości równej połowie podstawy (wynika to z właściwości trójkąta równoramiennego trójkąt prostokątny).
Na przykład, jeśli długość podstawy wynosi 6 komórek, to wierzchołek trójkąta umieszczamy na wysokości 3 komórek nad środkiem podstawy. Uwaga: w tym przypadku każda komórka w rogach u podstawy jest podzielona po przekątnej.
Konstrukcję trójkąta prostokątnego równoramiennego można rozpocząć od wierzchołka.
Wybieramy wierzchołek i od niego pod kątem prostym układamy równe segmenty w górę i w prawo. To są boki trójkąta.
Połączmy je i otrzymamy trójkąt równoramienny.
Konstrukcję trójkąta równoramiennego za pomocą kompasu i linijki bez podziałów rozważymy w innym temacie.
