MODEL MATEMATYCZNY – reprezentacja zjawiska lub procesu badanego w konkretnej wiedzy naukowej w języku pojęć matematycznych. W tym przypadku oczekuje się uzyskania szeregu właściwości badanego zjawiska poprzez badanie rzeczywistych charakterystyk matematycznych modelu. Budowa M.m. jest najczęściej podyktowane koniecznością ilościowej analizy badanych zjawisk i procesów, bez której z kolei niemożliwe jest dokonanie weryfikowalnych eksperymentalnie przewidywań dotyczących ich przebiegu.

Proces modelowania matematycznego z reguły przebiega w następujących etapach. W pierwszym etapie identyfikowane są powiązania między głównymi parametrami przyszłego M.m. Mówimy przede wszystkim o jakościowej analizie badanych zjawisk i sformułowaniu wzorców łączących główne obiekty badań. Na tej podstawie identyfikowane są obiekty, które można opisać ilościowo. Etap kończy się budową modelu hipotetycznego, czyli zapisaniem w języku pojęć matematycznych wyobrażeń jakościowych o relacjach pomiędzy głównymi obiektami modelu, które można scharakteryzować ilościowo.

W drugim etapie badane są rzeczywiste problemy matematyczne, do których prowadzi skonstruowany model hipotetyczny. Najważniejsze na tym etapie jest uzyskanie weryfikowalnych empirycznie konsekwencji teoretycznych (rozwiązania problemu bezpośredniego) w wyniku analizy matematycznej modelu. Jednocześnie często zdarzają się przypadki, gdy w celu skonstruowania i zbadania M.m. w różnych obszarach konkretnej wiedzy naukowej stosuje się ten sam aparat matematyczny (na przykład równania różniczkowe) i pojawiają się problemy matematyczne tego samego typu, choć w każdym konkretnym przypadku bardzo nietrywialne. Ponadto na tym etapie ogromne znaczenie nabiera wykorzystanie szybkich komputerów (komputerów), co pozwala uzyskać przybliżone rozwiązania problemów, często niemożliwych w ramach czystej matematyki, z nieosiągalnym wcześniej stopniem dokładności ( bez użycia komputera).

Trzeci etap charakteryzuje się działaniami mającymi na celu identyfikację stopnia adekwatności skonstruowanego hipotetycznego M.M. te zjawiska i procesy, dla których zamierzano badać. Mianowicie, jeśli zostały określone wszystkie parametry modelu, badacze starają się dowiedzieć, w jakim stopniu, w granicach dokładności obserwacyjnej, ich wyniki są zgodne z teoretycznymi konsekwencjami modelu. Odchylenia wykraczające poza granice dokładności obserwacji wskazują na nieadekwatność modelu. Często jednak zdarza się, że podczas konstruowania modelu pozostaje wiele jego parametrów

niepewny. Problemy, w których parametry parametryczne modelu są ustalone w taki sposób, że konsekwencje teoretyczne są porównywalne, w granicach dokładności obserwacyjnej, z wynikami testów empirycznych, nazywane są problemami odwrotnymi.

W czwartym etapie, po uwzględnieniu identyfikacji stopnia adekwatności konstruowanego modelu hipotetycznego i pojawienia się nowych danych eksperymentalnych na temat badanych zjawisk, następuje późniejsza analiza i modyfikacja modelu. Tutaj podjęta decyzja waha się od bezwarunkowego odrzucenia zastosowanych narzędzi matematycznych po akceptację skonstruowanego modelu jako podstawy konstrukcji zasadniczo nowej teorii naukowej.

Najpierw M.m. pojawił się w nauce starożytnej. Zatem, aby modelować Układ Słoneczny, grecki matematyk i astronom Eudoksos nadał każdej planecie cztery kule, których kombinacja ruchów stworzyła hipopedusa - krzywą matematyczną podobną do obserwowanego ruchu planety. Ponieważ jednak model ten nie potrafił wyjaśnić wszystkich zaobserwowanych anomalii w ruchu planet, został później zastąpiony modelem epicyklicznym Apoloniusza z Perge. Z tego ostatniego modelu korzystał w swoich badaniach Hipparch, a następnie, po poddaniu go pewnym modyfikacjom, Ptolemeusz. Model ten, podobnie jak jego poprzednicy, opierał się na przekonaniu, że planety podlegają jednostajnym ruchom kołowym, których nakładanie się wyjaśnia widoczne nieregularności. Należy zauważyć, że model kopernikański był zasadniczo nowy tylko w sensie jakościowym (ale nie jako M.M.). I dopiero Kepler, bazując na obserwacjach Tycho Brahe, zbudował nowy M.M. Układ Słoneczny, udowadniając, że planety poruszają się nie po orbitach kołowych, ale po orbitach eliptycznych.

Obecnie za najbardziej adekwatne uważa się te skonstruowane w celu opisu zjawisk mechanicznych i fizycznych. O adekwatności M.m. poza fizyką można, z pewnymi wyjątkami, wypowiadać się z dużą ostrożnością. Niemniej jednak ustalenie hipotetycznego charakteru, a często po prostu nieadekwatności M.m. w różnych dziedzinach wiedzy, nie należy lekceważyć ich roli w rozwoju nauki. Często zdarza się, że nawet modele dalekie od adekwatnych w znaczący sposób uporządkowały i pobudziły dalsze badania, wraz z błędnymi wnioskami, które zawierały także ziarno prawdy w pełni uzasadniające wysiłki włożone w opracowanie tych modeli.

Literatura:

Modelowanie matematyczne. M., 1979;

Ruzavin G.I. Matematyzacja wiedzy naukowej. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Równania różniczkowe w ekologii: refleksja historyczna i metodologiczna // Zagadnienia historii nauk przyrodniczych i technologii. 1997. Nr 3.

Słownik terminów filozoficznych. Wydanie naukowe profesora V.G. Kuzniecowa. M., INFRA-M, 2007, s. 2007. 310-311.

Według podręcznika Sowietowa i Jakowlewa: „model (łac. moduł – miara) jest przedmiotem zastępczym obiektu pierwotnego, co zapewnia badanie pewnych właściwości oryginału”. (s. 6) „Zastępowanie jednego obiektu drugim w celu uzyskania informacji o najważniejszych właściwościach obiektu pierwotnego za pomocą obiektu modelowego nazywa się modelowaniem”. (s. 6) „Przez modelowanie matematyczne rozumiemy proces ustalania zgodności danego obiektu rzeczywistego z pewnym obiektem matematycznym, zwany modelem matematycznym, oraz badanie tego modelu, które pozwala uzyskać charakterystykę obiektu rzeczywistego rozpatrywany obiekt. Rodzaj modelu matematycznego zależy zarówno od charakteru obiektu rzeczywistego, jak i zadań badania obiektu oraz wymaganej niezawodności i dokładności rozwiązania tego problemu.

Na koniec najbardziej zwięzła definicja modelu matematycznego: „Równanie wyrażające ideę».

Klasyfikacja modeli

Formalna klasyfikacja modeli

Formalna klasyfikacja modeli opiera się na klasyfikacji stosowanych narzędzi matematycznych. Często konstruowane w formie dychotomii. Na przykład jeden z popularnych zestawów dychotomii:

i tak dalej. Każdy skonstruowany model jest liniowy lub nieliniowy, deterministyczny lub stochastyczny,… Naturalnie możliwe są także typy mieszane: skoncentrowany pod jednym względem (pod względem parametrów), rozproszony pod innym itd.

Klasyfikacja ze względu na sposób przedstawienia obiektu

Oprócz klasyfikacji formalnej modele różnią się sposobem przedstawiania obiektu:

• Modele strukturalne lub funkcjonalne

Modele strukturalne przedstawiają obiekt jako system posiadający własną strukturę i mechanizm działania. Modele funkcjonalne nie używaj takich reprezentacji i odzwierciedlaj jedynie zewnętrznie postrzegane zachowanie (funkcjonowanie) obiektu. W swoim skrajnym wyrazie nazywane są także modelami „czarnych skrzynek”. Możliwe są również modele kombinowane, które czasami nazywane są „ szare pudełko».

Modele treściowe i formalne

Prawie wszyscy autorzy opisujący proces modelowania matematycznego wskazują, że najpierw budowana jest specjalna idealna struktura, model treści. Nie ma tu ustalonej terminologii, a inni autorzy nazywają ten obiekt idealny model koncepcyjny , model spekulacyjny Lub premodel. W tym przypadku nazywana jest ostateczna konstrukcja matematyczna model formalny lub po prostu model matematyczny uzyskany w wyniku sformalizowania danego sensownego modelu (premodelu). Konstrukcję znaczącego modelu można przeprowadzić przy użyciu zestawu gotowych idealizacji, tak jak w mechanice, gdzie idealne sprężyny, ciała sztywne, idealne wahadła, ośrodki sprężyste itp. Zapewniają gotowe elementy konstrukcyjne do znaczącego modelowania. Jednak w obszarach wiedzy, w których nie ma w pełni ukończonych, sformalizowanych teorii (nowoczesne fizyka, biologia, ekonomia, socjologia, psychologia i większość innych dziedzin), tworzenie znaczących modeli staje się dramatycznie trudniejsze.

Klasyfikacja treści modeli

Żadna hipoteza naukowa nie może zostać udowodniona raz na zawsze. Richard Feynman sformułował to bardzo jasno:

„Zawsze mamy możliwość obalenia teorii, ale pamiętaj, że nigdy nie możemy udowodnić, że jest ona poprawna. Załóżmy, że postawiłeś udaną hipotezę, obliczyłeś, dokąd ona prowadzi, i odkryłeś, że wszystkie jej konsekwencje zostały potwierdzone eksperymentalnie. Czy to oznacza, że ​​Twoja teoria jest słuszna? Nie, oznacza to po prostu, że nie udało ci się temu zaprzeczyć.

Jeśli zbuduje się model pierwszego typu, oznacza to, że tymczasowo zostaje on przyjęty jako prawdziwy i można skoncentrować się na innych problemach. Nie może to jednak być punkt badawczy, a jedynie chwilowa przerwa: status modelu pierwszego typu może być jedynie tymczasowy.

Typ 2: Model fenomenologiczny (zachowujemy się jakby…)

Model fenomenologiczny zawiera mechanizm opisu zjawiska. Mechanizm ten nie jest jednak wystarczająco przekonujący, nie może być dostatecznie potwierdzony dostępnymi danymi lub nie wpisuje się dobrze w istniejące teorie i zgromadzoną wiedzę na temat obiektu. Dlatego modele fenomenologiczne mają status rozwiązań tymczasowych. Uważa się, że odpowiedź nie jest jeszcze znana i należy kontynuować poszukiwania „prawdziwych mechanizmów”. Do drugiego typu Peierls zalicza na przykład model kaloryczny i kwarkowy model cząstek elementarnych.

Rola modelu w badaniach może zmieniać się w czasie i może się zdarzyć, że nowe dane i teorie potwierdzają modele fenomenologiczne i awansują je do rangi hipotezy. Podobnie nowa wiedza może stopniowo wchodzić w konflikt z modelami-hipotezami pierwszego typu i można je przełożyć na drugi rodzaj. Tym samym model kwarkowy stopniowo przechodzi do kategorii hipotez; Atomizm w fizyce powstał jako rozwiązanie tymczasowe, ale z biegiem historii stał się pierwszym typem. Jednak modele eterowe przeszły z typu 1 do typu 2 i obecnie znajdują się poza nauką.

Idea uproszczeń jest bardzo popularna przy budowaniu modeli. Ale uproszczenia przybierają różne formy. Peierls wyróżnia trzy rodzaje uproszczeń w modelowaniu.

Typ 3: Przybliżenie (rozważamy coś bardzo dużego lub bardzo małego)

To, że można skonstruować równania opisujące badany układ, nie oznacza, że ​​da się je rozwiązać nawet przy pomocy komputera. Powszechną techniką w tym przypadku jest stosowanie przybliżeń (modele typu 3). Pomiędzy nimi liniowe modele odpowiedzi. Równania zastąpiono równaniami liniowymi. Typowym przykładem jest prawo Ohma.

Oto typ 8, szeroko rozpowszechniony w modelach matematycznych układów biologicznych.

Typ 8: Demonstracja funkcji (najważniejsze jest pokazanie wewnętrznej spójności możliwości)

To także eksperymenty myślowe z wyimaginowanymi bytami, które to demonstrują rzekome zjawisko spójne z podstawowymi zasadami i spójne wewnętrznie. Na tym polega główna różnica w porównaniu z modelami typu 7, które ujawniają ukryte sprzeczności.

Jednym z najbardziej znanych z tych eksperymentów jest geometria Łobaczewskiego (Łobaczewski nazwał to „geometrią wyimaginowaną”). Innym przykładem jest masowa produkcja formalnie kinetycznych modeli wibracji chemicznych i biologicznych, fal automatycznych itp. Paradoks Einsteina-Podolskiego-Rosena został pomyślany jako model typu 7 w celu wykazania niespójności mechaniki kwantowej. W zupełnie nieplanowany sposób ostatecznie przekształcił się w model typu 8 – demonstrację możliwości kwantowej teleportacji informacji.

Przykład

Rozważmy układ mechaniczny składający się ze sprężyny zamocowanej na jednym końcu i masy przymocowanej do wolnego końca sprężyny. Zakładamy, że ładunek może poruszać się tylko w kierunku osi sprężyny (na przykład ruch następuje wzdłuż pręta). Zbudujmy model matematyczny tego układu. Stan układu opiszemy odległością od środka ładunku do jego położenia równowagi. Opiszmy oddziaływanie sprężyny i zastosowanego obciążenia Prawo Hooke’a() a następnie użyj drugiego prawa Newtona, aby wyrazić to w postaci równania różniczkowego:

gdzie oznacza drugą pochodną po czasie: .

Otrzymane równanie opisuje model matematyczny rozpatrywanego układu fizycznego. Model ten nazywany jest „oscylatorem harmonicznym”.

Zgodnie z klasyfikacją formalną model ten jest liniowy, deterministyczny, dynamiczny, skoncentrowany, ciągły. W procesie jego budowy przyjęliśmy wiele założeń (o braku sił zewnętrznych, braku tarcia, małej odchyłki itp.), które w rzeczywistości mogą nie zostać spełnione.

W odniesieniu do rzeczywistości jest to najczęściej model typu 4 uproszczenie(„pominiemy pewne szczegóły dla przejrzystości”), ponieważ pominięto pewne istotne cechy uniwersalne (na przykład rozpraszanie). W pewnym przybliżeniu (powiedzmy, chociaż odchylenie obciążenia od równowagi jest małe, przy niskim tarciu, przez krótki czas i pod pewnymi innymi warunkami), taki model całkiem dobrze opisuje rzeczywisty układ mechaniczny, ponieważ odrzucone czynniki mają znikomy wpływ na jego zachowanie. Model można jednak udoskonalić, biorąc pod uwagę niektóre z tych czynników. Doprowadzi to do powstania nowego modelu o szerszym (choć ponownie ograniczonym) zakresie zastosowania.

Jednak podczas udoskonalania modelu złożoność jego badań matematycznych może znacznie wzrosnąć i sprawić, że model stanie się praktycznie bezużyteczny. Często prostszy model pozwala na lepszą i głębszą eksplorację rzeczywistego systemu niż bardziej złożony (i formalnie „bardziej poprawny”).

Jeśli zastosujemy model oscylatora harmonicznego do obiektów odległych od fizyki, jego status merytoryczny może być inny. Na przykład, stosując ten model do populacji biologicznych, najprawdopodobniej należy go zaklasyfikować do typu 6 analogia(„uwzględnijmy tylko niektóre cechy”).

Modele twarde i miękkie

Oscylator harmoniczny jest przykładem tzw. modelu „twardego”. Uzyskuje się go w wyniku silnej idealizacji rzeczywistego układu fizycznego. Aby rozwiązać kwestię jego stosowalności, należy zrozumieć, jak istotne są czynniki, które zaniedbaliśmy. Innymi słowy, konieczne jest zbadanie modelu „miękkiego”, który uzyskuje się poprzez niewielkie zaburzenie modelu „twardego”. Można to wyrazić na przykład za pomocą następującego równania:

Oto pewna funkcja, która może uwzględniać siłę tarcia lub zależność współczynnika sztywności sprężyny od stopnia jej rozciągnięcia - jakiś mały parametr. W tej chwili nie interesuje nas jawna postać funkcji. Jeśli udowodnimy, że zachowanie modelu miękkiego nie różni się zasadniczo od zachowania modelu twardego (niezależnie od jawnego rodzaju czynników zakłócających, jeśli są one wystarczająco małe), problem sprowadzi się do badania modelu twardego. W przeciwnym razie zastosowanie wyników uzyskanych z badania modelu sztywnego będzie wymagało dodatkowych badań. Przykładowo rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego są funkcje postaci , czyli oscylacje o stałej amplitudzie. Czy z tego wynika, że ​​prawdziwy oscylator będzie oscylował w nieskończoność ze stałą amplitudą? Nie, ponieważ rozważając układ o dowolnie małym tarciu (zawsze występującym w układzie rzeczywistym) otrzymujemy drgania tłumione. Zachowanie systemu zmieniło się jakościowo.

Jeśli system zachowuje swoje jakościowe zachowanie nawet przy małych zakłóceniach, mówi się, że jest strukturalnie stabilny. Oscylator harmoniczny jest przykładem układu niestabilnego strukturalnie (nie szorstkiego). Jednakże model ten można wykorzystać do badania procesów w ograniczonych okresach czasu.

Wszechstronność modeli

Najważniejsze modele matematyczne mają zwykle ważną właściwość wszechstronność: Zasadniczo różne zjawiska rzeczywiste można opisać tym samym modelem matematycznym. Na przykład oscylator harmoniczny opisuje nie tylko zachowanie obciążenia na sprężynie, ale także inne procesy oscylacyjne, często o zupełnie innym charakterze: małe oscylacje wahadła, wahania poziomu cieczy w naczyniu w kształcie litery A lub zmiana natężenia prądu w obwodzie oscylacyjnym. Zatem badając jeden model matematyczny, od razu badamy całą klasę opisywanych przez niego zjawisk. To właśnie ten izomorfizm praw wyrażanych przez modele matematyczne w różnych segmentach wiedzy naukowej zainspirował Ludwiga von Bertalanffy'ego do stworzenia „Ogólnej teorii systemów”.

Zagadnienia bezpośrednie i odwrotne modelowania matematycznego

Istnieje wiele problemów związanych z modelowaniem matematycznym. Najpierw trzeba wymyślić podstawowy schemat modelowanego obiektu, odtworzyć go w ramach idealizacji tej nauki. W ten sposób wagon zamienia się w układ płyt i bardziej złożonych korpusów z różnych materiałów, każdy materiał jest określony jako jego standardowa idealizacja mechaniczna (gęstość, moduły sprężystości, standardowe charakterystyki wytrzymałościowe), po czym sporządzane są równania i po drodze niektóre szczegóły są odrzucane jako nieistotne, wykonywane są obliczenia, porównywane z pomiarami, model jest udoskonalany i tak dalej. Jednak w celu opracowania technologii modelowania matematycznego przydatne jest rozbicie tego procesu na jego główne elementy.

Tradycyjnie istnieją dwie główne klasy problemów związanych z modelami matematycznymi: bezpośrednie i odwrotne.

Zadanie bezpośrednie: strukturę modelu i wszystkie jego parametry uważa się za znane, głównym zadaniem jest przeprowadzenie badań modelu w celu wydobycia użytecznej wiedzy o obiekcie. Jakie obciążenie statyczne wytrzyma most? Jak zareaguje na obciążenie dynamiczne (np. na przemarsz kompanii żołnierzy, czy na przejazd pociągu z różną prędkością), jak samolot pokona barierę dźwięku, czy rozpadnie się od trzepotania – są to typowe przykłady bezpośredniego problemu. Postawienie właściwego, bezpośredniego problemu (zadanie właściwego pytania) wymaga specjalnych umiejętności. Jeśli nie zostaną zadane właściwe pytania, most może się zawalić, nawet jeśli zbudowano dobry model jego zachowania. Tak więc w 1879 roku w Wielkiej Brytanii zawalił się metalowy most na rzece Tay, którego projektanci zbudowali model mostu, obliczyli, że ma on 20-krotny współczynnik bezpieczeństwa dla działania ładunku, ale zapomnieli o wiatrach ciągle dmucha w tych miejscach. A po półtora roku upadł.

W najprostszym przypadku (na przykład jedno równanie oscylatora) bezpośredni problem jest bardzo prosty i sprowadza się do jawnego rozwiązania tego równania.

Problem odwrotny: znanych jest wiele możliwych modeli, należy wybrać konkretny model na podstawie dodatkowych danych o obiekcie. Najczęściej znana jest struktura modelu i należy określić pewne nieznane parametry. Dodatkową informacją mogą być dodatkowe dane empiryczne lub wymagania wobec obiektu ( problem projektowy). Dodatkowe dane mogą pojawić się niezależnie od procesu rozwiązywania problemu odwrotnego ( bierna obserwacja) lub być wynikiem specjalnie zaplanowanego w trakcie rozwiązania eksperymentu ( aktywny nadzór).

Jednym z pierwszych przykładów mistrzowskiego rozwiązania problemu odwrotnego przy pełnym wykorzystaniu dostępnych danych była skonstruowana przez I. Newtona metoda rekonstrukcji sił tarcia na podstawie zaobserwowanych drgań tłumionych.

Innym przykładem jest statystyka matematyczna. Zadaniem tej nauki jest opracowywanie metod rejestracji, opisu i analizy danych obserwacyjnych i eksperymentalnych w celu budowy probabilistycznych modeli losowych zjawisk masowych. Te. zbiór możliwych modeli ogranicza się do modeli probabilistycznych. W zadaniach szczegółowych zestaw modeli jest bardziej ograniczony.

Komputerowe systemy symulacyjne

Do wspomagania modelowania matematycznego opracowano systemy matematyki komputerowej np. Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim itp. Umożliwiają one tworzenie modeli formalnych i blokowych zarówno prostych, jak i złożonych procesów i urządzeń oraz łatwą zmianę parametrów modelu podczas modelowanie. Modele blokowe są reprezentowane przez bloki (najczęściej graficzne), których zestaw i połączenie określa schemat modelu.

Dodatkowe przykłady

Model Malthusa

Tempo wzrostu jest proporcjonalne do aktualnej wielkości populacji. Opisuje się to równaniem różniczkowym

gdzie jest pewnym parametrem określonym przez różnicę między współczynnikiem urodzeń i współczynnikiem zgonów. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja wykładnicza. Jeśli wskaźnik urodzeń przewyższa wskaźnik zgonów (), wielkość populacji rośnie w nieskończoność i bardzo szybko. Oczywiste jest, że w rzeczywistości nie może to nastąpić ze względu na ograniczone zasoby. Po osiągnięciu określonej krytycznej wielkości populacji model przestaje być adekwatny, ponieważ nie uwzględnia ograniczonych zasobów. Udoskonaleniem modelu Malthusa może być model logistyczny, który opisuje równanie różniczkowe Verhulsta

gdzie jest „równowagową” wielkością populacji, przy której współczynnik urodzeń jest dokładnie kompensowany przez współczynnik zgonów. Wielkość populacji w takim modelu dąży do wartości równowagi, a zachowanie to jest strukturalnie stabilne.

Układ drapieżnik-ofiara

Załóżmy, że na pewnym obszarze żyją dwa rodzaje zwierząt: króliki (jedzące rośliny) i lisy (jedzące króliki). Niech liczba królików, liczba lisów. Korzystając z modelu Malthusa z niezbędnymi poprawkami uwzględniającymi zjadanie królików przez lisy, dochodzimy do następującego układu, nazwanego modele Tace - Volterra:

Układ ten znajduje się w stanie równowagi, gdy liczba królików i lisów jest stała. Odchylenie od tego stanu powoduje wahania liczebności królików i lisów, podobne do wahań oscylatora harmonicznego. Podobnie jak w przypadku oscylatora harmonicznego, zachowanie to nie jest strukturalnie stabilne: niewielka zmiana w modelu (na przykład uwzględnienie ograniczonych zasobów wymaganych przez króliki) może prowadzić do jakościowej zmiany zachowania. Na przykład stan równowagi może się ustabilizować, a wahania liczb wygasną. Możliwa jest także sytuacja odwrotna, gdy każde niewielkie odchylenie od położenia równowagi doprowadzi do katastrofalnych skutków, aż do całkowitego wyginięcia jednego z gatunków. Model Volterry-Lotki nie odpowiada na pytanie, który z tych scenariuszy się realizuje: potrzebne są tu dodatkowe badania.

Notatki

1. „Matematyczna reprezentacja rzeczywistości” (Encyklopedia Britanica)
2. Nowik I.B., O filozoficznych zagadnieniach modelowania cybernetycznego. M., Wiedza, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelowanie systemów: Proc. dla uniwersytetów - wyd. 3, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyżej. szkoła, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Michajłow A. P. Modelowanie matematyczne. Pomysły. Metody. Przykłady. - wyd. 2, wyd. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Elementy teorii modeli matematycznych. - wyd. 3, wyd. - M.: KomKniga, 2007. - 192 o numerze ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modelowanie procesów technologicznych: podręcznik / A.G. Sevostyanov, PA Sewostyanow. – M.: Przemysł lekki i spożywczy, 1984. - 344 s.
7. Wikisłownik: model matematyczny
8. CliffsNotes.com. Glosariusz nauk o Ziemi. 20 września 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-Nowy Jork, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
10. „Teorię uważa się za liniową lub nieliniową w zależności od rodzaju aparatu matematycznego – liniowego lub nieliniowego – oraz jakiego rodzaju liniowych lub nieliniowych modeli matematycznych używa. ...nie zaprzeczając temu drugiemu. Współczesny fizyk, gdyby musiał odtworzyć definicję tak ważnej jednostki, jaką jest nieliniowość, najprawdopodobniej postąpiłby inaczej i preferując nieliniowość jako ważniejszą i bardziej rozpowszechnioną z dwóch przeciwieństw, zdefiniowałby liniowość jako „nie nieliniowość.” Daniłow Yu.A., Wykłady z dynamiki nieliniowej. Podstawowe wprowadzenie. Seria „Synergetyka: od przeszłości do przyszłości”. Wydanie 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
11. „Układy dynamiczne modelowane za pomocą skończonej liczby równań różniczkowych zwyczajnych nazywane są układami skoncentrowanymi lub punktowymi. Opisane są one za pomocą skończonej wymiarowej przestrzeni fazowej i charakteryzują się skończoną liczbą stopni swobody. Ten sam system w różnych warunkach można uznać za skoncentrowany lub rozproszony. Modele matematyczne systemów rozproszonych to równania różniczkowe cząstkowe, równania całkowe lub zwykłe równania opóźnienia. Liczba stopni swobody systemu rozproszonego jest nieskończona, a do określenia jego stanu potrzeba nieskończonej liczby danych. Anishchenko V. S., Systemy dynamiczne, Czasopismo edukacyjne Sorosa, 1997, nr 11, s. 10-10. 77-84.
12. „W zależności od charakteru badanych procesów w systemie S wszystkie rodzaje modelowania można podzielić na deterministyczne i stochastyczne, statyczne i dynamiczne, dyskretne, ciągłe i dyskretno-ciągłe. Modelowanie deterministyczne odzwierciedla procesy deterministyczne, to znaczy procesy, w których zakłada się brak jakichkolwiek wpływów przypadkowych; modelowanie stochastyczne przedstawia procesy i zdarzenia probabilistyczne. ... Modelowanie statyczne służy do opisu zachowania obiektu w dowolnym momencie, a modelowanie dynamiczne odzwierciedla zachowanie obiektu w czasie. Modelowanie dyskretne stosuje się odpowiednio do opisu procesów, które z założenia są dyskretne, modelowanie ciągłe pozwala na odzwierciedlenie procesów ciągłych w systemach, a modelowanie dyskretno-ciągłe stosuje się w przypadkach, gdy chcemy podkreślić obecność zarówno procesów dyskretnych, jak i ciągłych. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Zazwyczaj model matematyczny odzwierciedla strukturę (urządzenie) modelowanego obiektu, właściwości i zależności elementów składowych tego obiektu, które są istotne dla celów badawczych; taki model nazywa się strukturalnym. Jeśli model odzwierciedla jedynie to, jak obiekt funkcjonuje – na przykład, jak reaguje na wpływy zewnętrzne – wówczas nazywa się go funkcjonalnym lub w przenośni czarną skrzynką. Możliwe są również modele łączone. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Oczywistym, ale najważniejszym początkowym etapem konstruowania lub wyboru modelu matematycznego jest uzyskanie możliwie jasnego obrazu modelowanego obiektu i dopracowanie jego sensownego modelu w oparciu o nieformalne dyskusje. Na tym etapie nie należy szczędzić czasu i wysiłku, od tego w dużej mierze zależy powodzenie całego badania. Niejednokrotnie zdarzało się, że znaczna praca włożona w rozwiązanie problemu matematycznego okazywała się nieskuteczna lub wręcz zmarnowana z powodu niewystarczającego zainteresowania tą stroną zagadnienia.” Myshkis A. D., Elementy teorii modeli matematycznych. - wyd. 3, wyd. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4, s. 10-10. 35.
15. « Opis modelu koncepcyjnego systemu. Na tym podetapie budowy modelu systemu: a) model pojęciowy M jest opisany za pomocą abstrakcyjnych terminów i koncepcji; b) opis modelu podano przy użyciu standardowych schematów matematycznych; c) ostateczne przyjęcie hipotez i założeń; d) wybór procedury aproksymacji procesów rzeczywistych przy budowie modelu jest uzasadniony.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelowanie systemów: Proc. dla uniwersytetów - wyd. 3, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyżej. szkoła, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 25 93.
16. Blechman I. I., Myshkis A. D.,

Instrukcje

Metoda modelowania statystycznego (testowania statystycznego) jest powszechnie znana jako metoda Monte Carlo. Metoda ta stanowi szczególny przypadek modelowania matematycznego i polega na tworzeniu probabilistycznych modeli zjawisk losowych. Podstawą każdej losowości jest zmienna losowa lub proces losowy. W tym przypadku proces losowy z probabilistycznego punktu widzenia opisuje się jako n-wymiarową zmienną losową. Całkowite prawdopodobieństwo zmiennej losowej jest określone przez jej gęstość prawdopodobieństwa. Znajomość tego prawa dystrybucji pozwala na uzyskanie cyfrowych modeli losowych procesów na komputerze, zamiast przeprowadzać z nimi pełnoskalowe eksperymenty. Wszystko to jest możliwe jedynie w postaci dyskretnej i w dyskretnym czasie, co trzeba uwzględnić przy tworzeniu modeli statycznych.

W modelowaniu statycznym należy odejść od rozpatrywania konkretnego zjawiska, skupiając się jedynie na jego probabilistycznych cechach. Dzięki temu możliwe jest wykorzystanie do modelowania prostych zjawisk, które mają probabilistyczne wskaźniki zbliżone do modelowanego zjawiska. Na przykład dowolne zdarzenia występujące z prawdopodobieństwem 0,5 można symulować po prostu rzucając symetryczną monetą. Każdy pojedynczy etap modelowania statystycznego nazywany jest losowaniem. Zatem, aby określić oszacowanie oczekiwań matematycznych, potrzebnych będzie N rysunków zmiennej losowej (SV) X.

Głównym narzędziem symulacji komputerowej są czujniki liczb losowych jednorodne w przedziale (0, 1). Zatem w środowisku Pascala taką losową liczbę wywołuje się za pomocą polecenia Random. Kalkulatory mają w tym przypadku przycisk RND. Istnieją również tabele takich liczb losowych (objętość do 1 000 000). Wartość uniformu na (0, 1) SV Z jest oznaczona przez z.

Rozważmy technikę modelowania dowolnej zmiennej losowej za pomocą nieliniowej transformacji funkcji rozkładu. Metoda ta nie zawiera błędów metodologicznych. Niech prawo rozkładu ciągłego SV X będzie dane przez gęstość prawdopodobieństwa W(x). Od tego momentu zaczynasz przygotowania i wdrażanie modelowania.

Znajdź dystrybuantę X - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Weź Z=z i rozwiąż równanie z=F(x) dla x (jest to zawsze możliwe, ponieważ zarówno Z, jak i F(x) mają wartości z zakresu od zera do jeden) Zapisz rozwiązanie x=F^(-1 )(z). To jest algorytm modelowania. F^(-1) jest odwrotnością F. Pozostaje tylko konsekwentnie uzyskać wartości xi modelu cyfrowego X* CD X za pomocą tego algorytmu.

Przykład. SV jest określona przez gęstość prawdopodobieństwa W(x)=λexp(-λx), x≥0 (rozkład wykładniczy). Znajdź model cyfrowy. Rozwiązanie.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1- exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Ponieważ zarówno z, jak i 1-z mają wartości z przedziału (0, 1) i są jednolite, to (1-z) można zastąpić z. 3. Procedurę modelowania wykładniczego SV przeprowadza się według wzoru x=(-1/λ)∙lnz. Dokładniej, xi=(-1/λ)ln(zi).

Co to jest model matematyczny?

Pojęcie modelu matematycznego.

Model matematyczny to bardzo prosta koncepcja. I bardzo ważne. To modele matematyczne, które łączą matematykę z prawdziwym życiem.

W prostych słowach, model matematyczny to matematyczny opis dowolnej sytuacji. To wszystko. Model może być prymitywny lub bardzo złożony. Niezależnie od sytuacji, taki jest model.)

W każdym (powtarzam - w jakimkolwiek!) w przypadku, gdy trzeba coś policzyć i obliczyć - zajmujemy się modelowaniem matematycznym. Nawet jeśli tego nie podejrzewamy.)

P = 2 CB + 3 CM

Wpis ten będzie matematycznym modelem kosztów naszych zakupów. Model nie uwzględnia koloru opakowania, daty ważności, uprzejmości kasjerów itp. Dlatego ona Model, nie jest to faktyczny zakup. Ale wydatki, tj. Czego potrzebujemy– przekonamy się na pewno. Jeśli oczywiście model jest poprawny.

Warto wyobrazić sobie, czym jest model matematyczny, ale to nie wystarczy. Najważniejsze jest, aby móc budować te modele.

Opracowanie (budowa) modelu matematycznego problemu.

Stworzenie modelu matematycznego oznacza przełożenie warunków problemu na formę matematyczną. Te. zamień słowa na równanie, wzór, nierówność itp. Co więcej, przekształć go tak, aby ta matematyka ściśle odpowiadała tekstowi źródłowemu. W przeciwnym razie otrzymamy model matematyczny jakiegoś innego, nieznanego nam problemu.)

Dokładniej potrzebujesz

Na świecie istnieje nieskończona liczba zadań. Dlatego podaj jasne instrukcje krok po kroku dotyczące sporządzenia modelu matematycznego każdy zadania są niemożliwe.

Ale są trzy główne punkty, na które należy zwrócić uwagę.

1. Co dziwne, każdy problem zawiera tekst.) Ten tekst z reguły zawiera jasne, otwarte informacje. Liczby, wartości itp.

2. Każdy problem ma ukryte informacje. To tekst, który zakłada dodatkową wiedzę w Twojej głowie. Bez nich nie ma mowy. Poza tym informacje matematyczne często skrywają się za prostymi słowami i... umykają uwadze.

3. Należy zadać dowolne zadanie łączenie danych ze sobą. To połączenie można podać zwykłym tekstem (coś równa się coś) lub można je ukryć za prostymi słowami. Często jednak pomija się proste i jasne fakty. A model nie jest w żaden sposób skompilowany.

Od razu powiem: aby zastosować te trzy punkty, trzeba przeczytać problem (i to uważnie!) kilka razy. Zwykła rzecz.

A teraz - przykłady.

Zacznijmy od prostego problemu:

Pietrowicz wrócił z połowów i dumnie zaprezentował rodzinie swój połów. Po bliższym zbadaniu okazało się, że 8 ryb pochodziło z mórz północnych, 20% wszystkich ryb pochodziło z mórz południowych, a ani jedna nie pochodziła z lokalnej rzeki, w której łowił Pietrowicz. Ile ryb Pietrowicz kupił w sklepie z owocami morza?

Wszystkie te słowa należy przekształcić w jakieś równanie. Aby to zrobić, potrzebujesz, powtarzam, ustalić matematyczne powiązanie pomiędzy wszystkimi danymi w zadaniu.

Gdzie zacząć? Najpierw wyodrębnijmy wszystkie dane z zadania. Zacznijmy po kolei:

Zwróćmy uwagę na pierwszy punkt.

Który jest tutaj? wyraźny informacje matematyczne? 8 ryb i 20%. Niewiele, ale nie potrzebujemy dużo.)

Zwróćmy uwagę na drugi punkt.

Szuka ukryty Informacja. To tu. Oto słowa: „20% wszystkich ryb„Tutaj musisz zrozumieć, jakie są procenty i jak są obliczane. W przeciwnym razie problemu nie da się rozwiązać. To są dokładnie te dodatkowe informacje, które powinny znajdować się w twojej głowie.

Jest również matematyczny informacje, które są całkowicie niewidoczne. Ten pytanie zadaniowe: "Ile ryb kupiłem…” To także jest liczba. A bez tego nie powstanie żaden model. Dlatego oznaczmy tę liczbę literą "X". Nie wiemy jeszcze, ile x jest równe, ale to oznaczenie będzie dla nas bardzo przydatne. Więcej szczegółów na temat tego, co brać za X i jak sobie z tym poradzić, opisano w lekcji Jak rozwiązywać problemy matematyczne? Zapiszmy to od razu:

x sztuk - całkowita ilość ryb.

W naszym zadaniu ryby południowe podane są w procentach. Musimy je przerobić na kawałki. Po co? A co w takim razie każdy należy opracować problem modelu w tego samego rodzaju ilościach. Kawałki - więc wszystko jest w kawałkach. Jeśli podano, powiedzmy, godziny i minuty, przekładamy wszystko na jedną rzecz – albo tylko godziny, albo tylko minuty. Nie ma znaczenia, co to jest. To jest ważne, by wszystkie wartości były tego samego typu.

Wróćmy do ujawniania informacji. Kto nie wie, co to jest procent, nigdy tego nie zdradzi, tak… Ale kto wie, od razu powie, że tutaj procenty odnoszą się do całkowitej liczby ryb. A my nie znamy tej liczby. Nic nie będzie działać!

Nie bez powodu podajemy całkowitą liczbę ryb (w sztukach!) "X" wyznaczony. Nie uda się policzyć ryb południowych, ale czy uda się je spisać? Lubię to:

0,2 x szt. - ilość ryb z mórz południowych.

Teraz pobraliśmy wszystkie informacje z zadania. Zarówno oczywiste, jak i ukryte.

Zwróćmy uwagę na punkt trzeci.

Szuka związek matematyczny pomiędzy danymi zadania. To połączenie jest tak proste, że wielu go nie zauważa... Często się to zdarza. Tutaj warto po prostu zapisać zebrane dane na stosie i zobaczyć, co jest co.

Co my mamy? Jeść 8 sztuk ryba północna, 0,2 szt- ryby południowe i x ryba- całkowita kwota. Czy da się jakoś połączyć te dane? Tak, łatwo! Całkowita liczba ryb równa się suma południa i północy! No cóż, kto by pomyślał...) Zapisujemy więc:

x = 8 + 0,2x

To jest równanie model matematyczny naszego problemu.

Proszę o tym pamiętać w tym problemie Nie jesteśmy proszeni o składanie czegokolwiek! To my sami, nieprzytomni, zdaliśmy sobie sprawę, że suma ryb południowych i północnych da nam całkowitą liczbę. Sprawa jest tak oczywista, że ​​pozostaje niezauważona. Ale bez tych dowodów nie można stworzyć modelu matematycznego. Lubię to.

Teraz możesz wykorzystać całą moc matematyki, aby rozwiązać to równanie). Właśnie po to opracowano model matematyczny. Rozwiązujemy to równanie liniowe i otrzymujemy odpowiedź.

Odpowiedź: x=10

Stwórzmy model matematyczny innego problemu:

Zapytali Pietrowicza: „Czy masz dużo pieniędzy?” Pietrowicz zaczął płakać i odpowiedział: "Tak, tylko trochę. Jeśli wydam połowę wszystkich pieniędzy, a połowę reszty, to zostanie mi tylko jeden worek pieniędzy..." Ile pieniędzy ma Pietrowicz ?

Znowu pracujemy punkt po punkcie.

1. Poszukujemy jednoznacznych informacji. Nie znajdziesz tego od razu! Wyraźna informacja jest jeden torba z pieniędzmi. Jest jeszcze kilka innych połówek... Cóż, przyjrzymy się temu w drugim punkcie.

2. Szukamy ukrytych informacji. To są połówki. Co? Niezbyt jasne. Patrzymy dalej. Jest jeszcze jedno pytanie: „Ile pieniędzy ma Pietrowicz?” Oznaczmy kwotę pieniędzy literą "X":

X- wszystkie pieniądze

I znowu czytamy o problemie. Już to wiem Pietrowicz X pieniądze. Tutaj sprawdzą się połówki! Zapisujemy:

0,5x- połowa wszystkich pieniędzy.

Pozostała część również będzie równa połowie, tj. 0,5x. A połowę połowy można zapisać w ten sposób:

0,5 0,5x = 0,25x- połowa reszty.

Teraz wszystkie ukryte informacje zostały ujawnione i zapisane.

3. Poszukujemy powiązania pomiędzy zarejestrowanymi danymi. Tutaj możesz po prostu przeczytać cierpienie Pietrowicza i zapisać je matematycznie):

Jeśli wydam połowę wszystkich pieniędzy...

Nagrajmy ten proces. Wszystkie pieniądze - X. Połowa - 0,5x. Wydać znaczy zabrać. Fraza zamienia się w nagranie:

x - 0,5 x

tak, połowa reszty...

Odejmijmy drugą połowę reszty:

x - 0,5 x - 0,25x

wtedy zostanie mi tylko jeden worek pieniędzy...

I tutaj znaleźliśmy równość! Po wszystkich odjęciach pozostaje jeden worek pieniędzy:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Oto model matematyczny! To znowu równanie liniowe, rozwiązujemy je i otrzymujemy:

Pytanie do rozważenia. Co to jest cztery? Rubel, dolar, juan? A w jakich jednostkach w naszym modelu matematycznym zapisywane są pieniądze? W torbach! To znaczy cztery torba pieniądze od Pietrowicza. Też dobrze.)

Zadania są oczywiście elementarne. Ma to na celu w szczególności uchwycenie istoty tworzenia modelu matematycznego. Niektóre zadania mogą zawierać znacznie więcej danych, w których łatwo się zgubić. Często zdarza się to w tzw. zadania kompetencyjne. Sposób wyodrębnienia treści matematycznych ze stosu słów i liczb pokazano na przykładach

Jeszcze jedna uwaga. W klasycznych zadaniach szkolnych (rury wypełniające basen, pływające gdzieś łódki itp.) wszystkie dane z reguły są dobierane bardzo ostrożnie. Istnieją dwie zasady:
- w zadaniu jest wystarczająco dużo informacji, aby go rozwiązać,
- W problemie nie ma zbędnych informacji.

To jest wskazówka. Jeśli w modelu matematycznym pozostaje jakaś niewykorzystana wartość, zastanów się, czy nie wystąpił błąd. Jeśli nie ma wystarczającej ilości danych, najprawdopodobniej nie wszystkie ukryte informacje zostały zidentyfikowane i zarejestrowane.

W zadaniach kompetencyjnych i innych życiowych zasady te nie są ściśle przestrzegane. Bladego pojęcia. Ale takie problemy można również rozwiązać. Jeśli oczywiście ćwiczysz na klasycznych.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Wyobraź sobie samolot: skrzydła, kadłub, ogon, wszystko razem - naprawdę ogromny, ogromny, cały samolot. Lub możesz zrobić model samolotu, mały, ale taki jak w prawdziwym życiu, te same skrzydła itp., Ale kompaktowy. Podobnie model matematyczny. Jest problem z tekstem, uciążliwy, można na niego patrzeć, czytać, ale nie do końca go zrozumieć, a tym bardziej nie jest jasne, jak go rozwiązać. A co jeśli stworzysz mały model dużego problemu tekstowego, model matematyczny? Co znaczy matematyczny? Oznacza to, że wykorzystując zasady i prawa notacji matematycznej, przekształcisz tekst w logicznie poprawną reprezentację za pomocą liczb i znaków arytmetycznych. Więc, model matematyczny to reprezentacja rzeczywistej sytuacji przy użyciu języka matematycznego.

Zacznijmy od prostego: liczba jest większa niż liczba o. Musimy to zapisać bez użycia słów, a jedynie językiem matematyki. Jeśli jest ich więcej, to okazuje się, że jeśli odejmiemy, to ta sama różnica tych liczb pozostanie równa. Te. Lub. Czy rozumiesz o co chodzi?

Teraz jest trudniej, teraz pojawi się tekst, który powinieneś spróbować przedstawić w formie modelu matematycznego, nie czytaj jeszcze, jak to zrobię, spróbuj sam! Istnieją cztery liczby: , i. Produkt jest dwa razy większy od produktu.

Co się stało?

W formie modelu matematycznego będzie to wyglądać następująco:

Te. produkt jest powiązany jako dwa do jednego, ale można to jeszcze bardziej uprościć:

No cóż, myślę, że dzięki prostym przykładom zrozumiesz o co chodzi. Przejdźmy do pełnoprawnych problemów, w których te modele matematyczne również wymagają rozwiązania! Oto wyzwanie.

Model matematyczny w praktyce

Problem 1

Po opadach deszczu poziom wody w studni może się podnieść. Chłopiec mierzy czas wpadania małych kamyczków do studni i oblicza odległość do wody ze wzoru, gdzie jest to odległość w metrach, a czas wpadania w sekundach. Przed deszczem czas opadania kamyków wynosił s. O ile musi podnieść się poziom wody po deszczu, aby zmierzony czas zmienił się na s? Wyraź odpowiedź w metrach.

O Boże! Jakie formuły, jaka studnia, co się dzieje, co robić? Czy czytałem w twoich myślach? Spokojnie, w problemach tego typu są jeszcze bardziej okropne warunki, najważniejsze jest, aby pamiętać, że w tym problemie interesują Cię formuły i relacje między zmiennymi, a znaczenie tego wszystkiego w większości przypadków nie jest zbyt ważne. Co widzisz tutaj przydatnego? Widzę to osobiście. Zasada rozwiązywania tych problemów jest następująca: bierzesz wszystkie znane wielkości i zastępujesz je.ALE czasami trzeba pomyśleć!

Idąc za moją pierwszą radą i podstawiając do równania wszystko, co znane, otrzymujemy:

To ja podstawiłem czas sekundy i obliczyłem wysokość, na jaką wzniósł się kamień przed deszczem. Teraz musimy policzyć po deszczu i znaleźć różnicę!

Teraz posłuchaj drugiej rady i zastanów się nad nią, pytanie określa, „o ile poziom wody musi się podnieść po deszczu, aby odmierzony czas zmienił się na s”. Od razu trzeba się zorientować, że po deszczu poziom wody podnosi się, co oznacza, że ​​czas opadania kamienia na poziom wody jest krótszy i tutaj ozdobne sformułowanie „aby odmierzony czas się zmienił” nabiera konkretnego znaczenia: opadanie czas nie zwiększa się, ale jest zmniejszany o wskazane sekundy. Oznacza to, że w przypadku rzutu po deszczu wystarczy odjąć c od początkowego czasu c i otrzymamy równanie na wysokość, na jaką kamień poleci po deszczu:

I na koniec, aby dowiedzieć się, o ile poziom wody musi się podnieść po deszczu, aby zmierzony czas zmienił się na s., wystarczy odjąć drugą wysokość od pierwszej wysokości spadku!

Otrzymujemy odpowiedź: na metr.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego, najważniejsze jest to, aby nie przejmować się zbytnio tym, skąd wzięło się tak niezrozumiałe, a czasem złożone równanie w warunkach i co wszystko w nim oznacza, uwierz mi na słowo, większość te równania są wzięte z fizyki, a tam dżungla jest gorsza niż w algebrze. Czasami wydaje mi się, że te zadania zostały wymyślone, aby zastraszyć studenta na egzaminie Unified State Exam mnóstwem skomplikowanych formuł i terminów i w większości przypadków nie wymagają prawie żadnej wiedzy. Wystarczy uważnie przeczytać warunek i zastąpić znane ilości we wzorze!

Oto kolejne zadanie, już nie z fizyki, ale ze świata teorii ekonomii, choć tu znowu nie jest wymagana znajomość nauk innych niż matematyka.

Problem 2

Zależność wielkości popytu (jednostki miesięcznie) na produkty przedsiębiorstwa monopolistycznego od ceny (w tysiącach rubli) wyraża się wzorem

Przychód przedsiębiorstwa za miesiąc (w tysiącach rubli) oblicza się za pomocą wzoru. Określ najwyższą cenę, przy której miesięczny dochód wyniesie co najmniej tysiąc rubli. Podaj odpowiedź w tysiącach rubli.

Zgadnij, co teraz zrobię? Tak, zacznę podłączać to, co wiemy, ale znowu będę musiał trochę pomyśleć. Zacznijmy od końca, musimy znaleźć który. Więc jest, jest to równe czemuś, znajdujemy, czemu jeszcze to jest równe, i jest temu równe, więc zapisujemy to. Jak widać, tak naprawdę nie przejmuję się znaczeniem tych wszystkich wielkości, po prostu patrzę na warunki, aby zobaczyć, co jest równe czemu, i to właśnie musisz zrobić. Wróćmy do problemu, już go masz, ale jak pamiętasz z jednego równania z dwiema zmiennymi, nie możesz znaleźć żadnej z nich, co robić? Tak, nadal mamy nieużywany kawałek w takim stanie. Teraz są już dwa równania i dwie zmienne, co oznacza, że ​​teraz można znaleźć obie zmienne - świetnie!

– czy potrafisz rozwiązać taki układ?

Rozwiązujemy przez podstawienie; zostało to już wyrażone, więc podstawmy to do pierwszego równania i uprościmy.

Otrzymujemy to równanie kwadratowe: , rozwiązujemy, pierwiastki są takie, . Zadanie polega na znalezieniu najwyższej ceny, przy której zostaną spełnione wszystkie warunki, które braliśmy pod uwagę tworząc system. Och, okazuje się, że taka była cena. Fajnie, więc znaleźliśmy ceny: i. Najwyższa cena, mówisz? OK, największy z nich oczywiście piszemy w odpowiedzi. No cóż, czy jest to trudne? Myślę, że nie i nie ma potrzeby się w to zbytnio zagłębiać!

A oto przerażająca fizyka, a raczej inny problem:

Problem 3

Aby określić efektywną temperaturę gwiazd, stosuje się prawo Stefana-Boltzmanna, zgodnie z którym gdzie jest moc promieniowania gwiazdy, jest stała, jest powierzchnia gwiazdy i jest temperaturą. Wiadomo, że powierzchnia pewnej gwiazdy jest równa, a jej moc promieniowania jest równa W. Znajdź temperaturę tej gwiazdy w stopniach Kelvina.

Jak to jest jasne? Tak, warunek mówi, co jest równe czemu. Wcześniej zalecałem podstawianie wszystkich niewiadomych na raz, ale tutaj lepiej najpierw wyrazić poszukiwaną niewiadomą. Zobacz, jakie to proste: jest wzór i w nim wiemy, i (jest to grecka litera „sigma”. Generalnie fizycy uwielbiają greckie litery, przyzwyczajają się do tego). A temperatura nie jest znana. Wyraźmy to w formie wzoru. Mam nadzieję, że wiesz, jak to zrobić? Takie zadania na egzamin państwowy w klasie 9 są zwykle podawane:

Teraz pozostaje tylko zastąpić cyfry zamiast liter po prawej stronie i uprościć:

Oto odpowiedź: stopnie Kelvina! A jakie to było straszne zadanie!

W dalszym ciągu dręczymy problemami fizycznymi.

Problem 4

Wysokość rzuconej piłki nad ziemią zmienia się zgodnie z prawem, gdzie jest to wysokość w metrach, a czas w sekundach, jaki upłynął od momentu rzucenia. Ile sekund piłka pozostanie na wysokości co najmniej trzech metrów?

To wszystko były równania, ale tutaj musimy określić, jak długo znajdowała się piłka na wysokości co najmniej trzech metrów, czyli na wysokości. Co wymyślimy? Dokładnie, nierówność! Mamy funkcję opisującą jak leci piłka, gdzie - to jest dokładnie ta sama wysokość w metrach, potrzebujemy wysokości. Oznacza

A teraz po prostu rozwiązujesz nierówność, najważniejsze jest, aby nie zapomnieć zmienić znaku nierówności z większego lub równego na mniejszy lub równy, gdy mnożysz przez obie strony nierówności, aby pozbyć się minusa z przodu.

To są pierwiastki, konstruujemy przedziały dla nierówności:

Interesuje nas przedział, w którym znajduje się znak minus, ponieważ nierówność przyjmuje tam wartości ujemne, jest to od do obu włącznie. Teraz włączmy mózg i zastanówmy się uważnie: dla nierówności użyliśmy równania opisującego lot piłki, ona jakoś leci po paraboli, tj. startuje, osiąga szczyt i opada, jak zrozumieć, jak długo pozostanie na wysokości co najmniej metrów? Znaleźliśmy 2 punkty zwrotne, tj. moment, w którym wznosi się ponad metry i moment, w którym spadając, osiąga ten sam poziom, te dwa punkty wyrażają się w postaci czasu, tj. wiemy, w której sekundzie lotu wszedł w interesującą nas strefę (powyżej metra), a w której ją opuścił (spadł poniżej znaku metra). Ile sekund był w tej strefie? Logiczne jest, że od czasu opuszczenia strefy odejmiemy czas wejścia do tej strefy. Odpowiednio: - tak długo przebywał w strefie powyżej metrów, oto odpowiedź.

Masz szczęście, że większość przykładów na ten temat można zaczerpnąć z kategorii problemów fizycznych, więc złap jeszcze jeden, to już ostatni, więc walcz, jeszcze trochę zostało!

Problem 5

Dla elementu grzejnego określonego urządzenia doświadczalnie uzyskano zależność temperatury od czasu pracy:

Gdzie jest czas w minutach, . Wiadomo, że jeśli temperatura elementu grzejnego będzie wyższa, urządzenie może się pogorszyć, dlatego należy je wyłączyć. Znajdź najdłuższy czas po rozpoczęciu pracy, przez który musisz wyłączyć urządzenie. Wyraź swoją odpowiedź w ciągu kilku minut.

Działamy według ustalonego schematu, najpierw spisujemy wszystko, co jest podane:

Teraz bierzemy wzór i przyrównujemy go do wartości temperatury, do której urządzenie może zostać nagrzane tak bardzo, jak to możliwe, aż do wypalenia, czyli:

Teraz zastępujemy cyfry tam, gdzie są znane, zamiast liter:

Jak widać, temperatura podczas pracy urządzenia opisana jest równaniem kwadratowym, co oznacza, że ​​rozkłada się ona wzdłuż paraboli, tj. Urządzenie nagrzewa się do określonej temperatury, a następnie schładza. Otrzymaliśmy odpowiedzi i dlatego w momencie i w minutach ogrzewania temperatura jest równa krytyczna, ale pomiędzy i minutami - jest nawet wyższa niż limit!

Oznacza to, że po minutach musisz wyłączyć urządzenie.

MODELE MATEMATYCZNE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Najczęściej modele matematyczne wykorzystuje się w fizyce: prawdopodobnie trzeba było zapamiętać dziesiątki wzorów fizycznych. Wzór jest matematyczną reprezentacją sytuacji.

W egzaminie OGE i Unified State Exam znajdują się zadania dotyczące dokładnie tego tematu. Na egzaminie Unified State Exam (profil) jest to zadanie numer 11 (dawniej B12). W OGE - zadanie nr 20.

Schemat rozwiązania jest oczywisty:

1) Z tekstu warunku należy „wyodrębnić” przydatne informacje - co w problemach fizycznych piszemy pod słowem „Podane”. Ta przydatna informacja to:

• Formuła
• Znane wielkości fizyczne.

Oznacza to, że każda litera wzoru musi być powiązana z określoną liczbą.

2) Weź wszystkie znane wielkości i podstaw je do wzoru. Nieznana ilość pozostaje w formie litery. Teraz wystarczy rozwiązać równanie (zwykle dość proste) i odpowiedź jest gotowa.

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule -
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - Kup podręcznik - 899 RUR

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!