Równania płaszczyznowe: ogólne, przez trzy punkty, normalne. Równanie powierzchni F(x,y,z)=0 Powierzchnie i ich równania

Równania kanoniczne linii w przestrzeni to równania określające linię przechodzącą dany punkt współliniowy z wektorem kierunku.

Niech będzie dany punkt i wektor kierunkowy. Dowolny punkt leży na prostej l tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe, czyli jest dla nich spełniony warunek:

.

Powyższe równania są równaniami kanonicznymi prostej.

Liczby M , N I P są rzutami wektora kierunku na osie współrzędnych. Ponieważ wektor jest różny od zera, to wszystkie liczby M , N I P nie może być jednocześnie równa zeru. Ale jeden lub dwa z nich mogą okazać się zerowe. Na przykład w geometrii analitycznej dozwolony jest następujący zapis:

,

co oznacza, że ​​rzuty wektora na oś Oj I Oz są równe zeru. Dlatego zarówno wektor, jak i prosta określona równaniami kanonicznymi są prostopadłe do osi Oj I Oz, czyli samoloty yOz .

Przykład 1. Napisz równania prostej w przestrzeni prostopadłej do płaszczyzny i przechodzący przez punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz .

Rozwiązanie. Znajdźmy punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz. Ponieważ dowolny punkt leży na osi Oz, ma zatem współrzędne , przyjmując w danym równaniu płaszczyznę x = y = 0, otrzymujemy 4 z- 8 = 0 lub z= 2 . Dlatego punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz ma współrzędne (0; 0; 2) . Ponieważ pożądana linia jest prostopadła do płaszczyzny, jest równoległa do jej wektora normalnego. Dlatego wektor kierunkowy linii prostej może być wektorem normalnym dany samolot.

Zapiszmy teraz potrzebne równania prostej przechodzącej przez punkt A= (0; 0; 2) w kierunku wektora:

Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty

Linię prostą można wyznaczyć przez dwa leżące na niej punkty I W tym przypadku wektorem kierującym prostej może być wektor . Wtedy równania kanoniczne prostej przyjmują postać

.

Powyższe równania wyznaczają prostą przechodzącą przez dwa dane punkty.

Przykład 2. Napisz równanie prostej w przestrzeni przechodzącej przez punkty i .

Rozwiązanie. Zapiszmy wymagane równania prostej w postaci podanej powyżej w podręczniku teoretycznym:

.

Ponieważ , to pożądana linia prosta jest prostopadła do osi Oj .

Prosta jak linia przecięcia płaszczyzn

Linię prostą w przestrzeni można zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn oraz jako zbiór punktów spełniający układ dwóch równań liniowych

Równania układu nazywane są również ogólnymi równaniami linii prostej w przestrzeni.

Przykład 3. Ułóż równania kanoniczne prostej w przestrzeni podane równaniami ogólnymi

Rozwiązanie. Aby zapisać równania kanoniczne prostej, czyli równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, należy znaleźć współrzędne dowolnych dwóch punktów na tej prostej. Mogą to być na przykład punkty przecięcia prostej z dowolnymi dwiema płaszczyznami współrzędnych yOz I xOz .

Punkt przecięcia prostej i płaszczyzny yOz ma odciętą X= 0 . Dlatego zakładając w tym układzie równań X= 0, otrzymujemy układ z dwiema zmiennymi:

Jej decyzja y = 2 , z= 6 razem z X= 0 definiuje punkt A(0; 2; 6) żądana linia. Następnie zakładając w zadanym układzie równań y= 0, otrzymujemy system

Jej decyzja X = -2 , z= 0 razem z y= 0 definiuje punkt B(-2; 0; 0) przecięcie prostej z płaszczyzną xOz .

Zapiszmy teraz równania prostej przechodzącej przez punkty A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

lub po podzieleniu mianowników przez -2:

,

Pozyskać równanie ogólne płaszczyznę, przeanalizujmy płaszczyznę przechodzącą przez dany punkt.

Niech będą trzy osie współrzędnych znane nam już w przestrzeni - Wół, Oj I Oz. Przytrzymaj kartkę papieru tak, aby pozostała płaska. Płaszczyzną będzie sam arkusz i jego kontynuacja we wszystkich kierunkach.

Pozwalać P dowolną płaszczyznę w przestrzeni. Każdy wektor prostopadły do ​​niego nazywa się wektor normalny do tego samolotu. Oczywiście mówimy o wektorze niezerowym.

Jeśli znany jest jakikolwiek punkt na płaszczyźnie P i jakiś wektor normalny, wówczas przez te dwa warunki płaszczyzna w przestrzeni jest całkowicie zdefiniowana(przez dany punkt można poprowadzić pojedynczą płaszczyznę prostopadłą do zadanego wektora). Ogólne równanie płaszczyzny będzie wyglądało następująco:

Zatem warunki definiujące równanie płaszczyzny to: Aby zdobyć siebie równanie płaszczyzny, mając powyższą formę, wsiądź do samolotu P arbitralny punkt M ze zmiennymi współrzędnymi X, y, z. Punkt ten należy do płaszczyzny tylko wtedy, gdy wektor prostopadle do wektora(ryc. 1). W tym celu, zgodnie z warunkiem prostopadłości wektorów, konieczne i wystarczające jest, aby iloczyn skalarny tych wektorów był równy zeru, czyli

Wektor jest określony przez warunek. Współrzędne wektora znajdujemy za pomocą wzoru :

.

Teraz korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny wektorów , wyrażamy iloczyn skalarny w formie współrzędnych:

Od tego momentu M(x; y; z) jest wybierany dowolnie na płaszczyźnie, to ostatnie równanie spełniają współrzędne dowolnego punktu leżącego na płaszczyźnie P. Za punkt N, a nie leżące na danej płaszczyźnie, tj. równość (1) zostaje naruszona.

Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i prostopadłej do wektora.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru (1) i spójrzmy na to jeszcze raz:

W tym wzorze liczby A , B I C współrzędne wektorów i liczby X0 , y0 I z0 - współrzędne punktu.

Obliczenia są bardzo proste: podstawiamy te liczby do wzoru i otrzymujemy

Mnożymy wszystko, co należy pomnożyć i dodajemy tylko liczby (które nie mają liter). Wynik:

.

Wymagane równanie płaszczyzny w tym przykładzie okazało się wyrażone ogólnym równaniem pierwszego stopnia w odniesieniu do zmiennych współrzędnych x, y, z dowolny punkt płaszczyzny.

Zatem równanie postaci

zwany ogólne równanie płaszczyzny .

Przykład 2. Skonstruuj w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych płaszczyznę określoną równaniem .

Rozwiązanie. Aby zbudować płaszczyznę, trzeba i wystarczy znać trzy dowolne jej punkty, które nie leżą na tej samej prostej, np. punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych.

Jak znaleźć te punkty? Aby znaleźć punkt przecięcia z osią Oz, musisz zastąpić zera X i Y w równaniu podanym w opisie problemu: X = y= 0 . Dlatego otrzymujemy z= 6. Zatem, dany samolot przecina oś Oz w tym punkcie A(0; 0; 6) .

W ten sam sposób znajdujemy punkt przecięcia płaszczyzny z osią Oj. Na X = z= 0 otrzymujemy y= −3, czyli punkt B(0; −3; 0) .

I wreszcie znajdujemy punkt przecięcia naszej płaszczyzny z osią Wół. Na y = z= 0 otrzymujemy X= 2, czyli punkt C(2; 0; 0) . Na podstawie trzech punktów uzyskanych w naszym rozwiązaniu A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) i C(2; 0; 0) skonstruuj daną płaszczyznę.

Rozważmy teraz szczególne przypadki ogólnego równania płaszczyzny. Są to przypadki, gdy pewne współczynniki równania (2) stają się zerowe.

1. Kiedy D= 0 równanie definiuje płaszczyznę przechodzącą przez początek, ponieważ współrzędne punktu 0 (0; 0; 0) spełniają to równanie.

2. Kiedy A= 0 równanie definiuje płaszczyznę równoległą do osi Wół, ponieważ wektor normalny tej płaszczyzny jest prostopadły do ​​osi Wół(jego rzut na oś Wół równe zeru). Podobnie kiedy B= 0 samolot równolegle do osi Oj, i kiedy C= 0 samolot równolegle do osi Oz.

3. Kiedy A=D= Równanie 0 definiuje płaszczyznę przechodzącą przez oś Wół, ponieważ jest równoległy do ​​osi Wół (A=D= 0). Podobnie płaszczyzna przechodzi przez oś Oj i płaszczyzna przechodząca przez oś Oz.

4. Kiedy A=B= Równanie 0 definiuje płaszczyznę równoległą do płaszczyzny współrzędnych xOj, ponieważ jest równoległy do ​​osi Wół (A= 0) i Oj (B= 0). Podobnie płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny yOz, a płaszczyzna jest płaszczyzną xOz.

5. Kiedy A=B=D= 0 równanie (lub z = 0) definiuje płaszczyznę współrzędnych xOj, ponieważ jest równoległy do ​​płaszczyzny xOj (A=B= 0) i przechodzi przez początek ( D= 0). Podobnie, Równ. y = 0 w przestrzeni definiuje płaszczyznę współrzędnych xOz i równanie x = 0 - płaszczyzna współrzędnych yOz.

Przykład 3. Utwórz równanie płaszczyzny P, przechodząc przez oś Oj i okres.

Rozwiązanie. Zatem samolot przechodzi przez oś Oj. Dlatego w jej równaniu y= 0 i to równanie ma postać . Aby wyznaczyć współczynniki A I C skorzystajmy z faktu, że punkt należy do płaszczyzny P .

Dlatego wśród jego współrzędnych znajdują się takie, które można podstawić do równania płaszczyzny, które już wyprowadziliśmy (). Spójrzmy jeszcze raz na współrzędne punktu:

M0 (2; −4; 3) .

Pomiędzy nimi X = 2 , z= 3 . Podstawiamy je do równania ogólnego i otrzymujemy równanie dla naszego konkretnego przypadku:

2A + 3C = 0 .

Zostaw 2 A po lewej stronie równania przesuń się o 3 C w prawą stronę i mamy

A = −1,5C .

Zastępowanie znalezionej wartości A do równania, otrzymujemy

Lub .

Jest to równanie wymagane w przykładowym warunku.

Rozwiąż samodzielnie zadanie równania płaszczyzny, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 4. Zdefiniuj płaszczyznę (lub płaszczyzny, jeśli jest ich więcej niż jedna) w odniesieniu do osi współrzędnych lub płaszczyzny współrzędnych, jeśli płaszczyzna(y) jest dana równaniem.

Rozwiązania typowych problemów występujących w testy- w podręczniku „Zagadnienia płaszczyzn: równoległość, prostopadłość, przecięcie trzech płaszczyzn w jednym punkcie.”

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Jak już wspomniano, warunkiem koniecznym i wystarczającym zbudowania płaszczyzny, oprócz jednego punktu i wektora normalnego, są także trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej.

Niech zostaną dane trzy różne punkty , i , nie leżące na tej samej prostej. Ponieważ wskazane trzy punkty nie leżą na tej samej prostej, wektory nie są współliniowe, a zatem dowolny punkt na płaszczyźnie leży w tej samej płaszczyźnie z punktami, i wtedy i tylko wtedy, gdy wektory , i współpłaszczyznowe, tj. wtedy i tylko kiedy mieszany produkt tych wektorów równa się zeru.

Używając wyrażenia na iloczyn mieszany we współrzędnych, otrzymujemy równanie płaszczyzny

(3)

Po ujawnieniu wyznacznika równanie to staje się równaniem postaci (2), tj. ogólne równanie płaszczyzny.

Przykład 5. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej:

i określić szczególny przypadek ogólne równanie prostej, jeśli takie istnieje.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (3) mamy:

Równanie płaszczyzny normalnej. Odległość punktu od płaszczyzny

Równanie normalne płaszczyzny to jej równanie zapisane w postaci

WYKŁAD 6-7. Elementy geometrii analitycznej.

Powierzchnie i ich równania.

Przykład 1.

Kula

Przykład 2.

F(x,y,z)=0(*),

Ten - równanie powierzchni

Przykłady:

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (stożek)

Samolot.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora.

Rozważmy samolot w przestrzeni. Niech M 0 (x 0, y 0, z 0) będzie danym punktem płaszczyzny P oraz wektorem prostopadłym do płaszczyzny ( wektor normalny samolot).

(1) – równanie wektorowe samolot.

W formie współrzędnych:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Otrzymaliśmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt.

Ogólne równanie płaszczyzny.

Otwórzmy nawiasy w (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 lub

Topór + By + Cz + D = 0 (3)

Wynikowe równanie płaszczyzny liniowy, tj. Równanie pierwszego stopnia ze względu na współrzędne x, y, z. Dlatego samolot jest powierzchnia pierwszego rzędu .

Oświadczenie: Każde równanie liniowe względem x, y, z definiuje płaszczyznę.

Dowolny samolot m.b. jest dane równaniem (3), które nazywa się ogólne równanie płaszczyzny.

Szczególne przypadki równania ogólnego.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. Ponieważ współrzędne punktu O(0, 0, 0) spełniają to równanie, wówczas określona przez nie płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

b) С=0: Ax + By + D = 0. W tym przypadku wektor normalny płaszczyzny dlatego samolot, dane równaniem równolegle do osi OZ.

c) C=D=0: Ax + By = 0. Płaszczyzna jest równoległa do osi OZ (ponieważ C=0) i przechodzi przez początek współrzędnych (ponieważ D=0). Oznacza to, że przechodzi przez oś OZ.

d) B=C=0: Ax + D = 0 lub . Wektor, tj. I . W rezultacie płaszczyzna jest równoległa do osi OY i OZ, tj. jest równoległa do płaszczyzny YOZ i przechodzi przez punkt .

Rozważcie sami przypadki: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty.

Ponieważ wszystkie cztery punkty należą do płaszczyzny, wówczas wektory te są współpłaszczyznowe, tj. ich praca mieszana równa się zeru:

Otrzymaliśmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty w formie wektorowej.

W formie współrzędnych:

(7)

Jeśli rozwiniemy wyznacznik, otrzymamy równanie płaszczyzny w postaci:

Topór + By + Cz + D = 0.

Przykład. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty M 1 (1,-1,0);

M 2 (-2,3,1) i M 3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0.

Równanie płaszczyzny w odcinkach

Podajmy ogólne równanie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0 i D ≠ 0, tj. płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych. Podziel obie strony przez –D: i oznaczają: ; ; . Następnie

dostał równanie płaszczyzny w odcinkach .

gdzie a, b, c są wartościami odcinków odciętych przez płaszczyznę na osiach współrzędnych.

Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) i C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3, czyli 2x + 3y - 2z – 6 = 0.

Przykład 2. Znajdź wartości odcinków odciętych przez płaszczyznę

4x – y – 3z – 12 = 0 na osiach współrzędnych.

4x – y – 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Równanie płaszczyzny normalnej.

Niech będzie dana pewna płaszczyzna Q. Z początku współrzędnych narysuj prostopadłą OP do płaszczyzny. Niech |OP|=p i wektor : . Weźmy bieżący punkt M(x, y, z) płaszczyzny i obliczmy iloczyn skalarny wektorów i : .

Jeśli rzutujemy punkt M na kierunek , to dotrzemy do punktu P.T.O., otrzymamy równanie

(9).

Wyznaczanie linii w przestrzeni.

Linię L w przestrzeni można zdefiniować jako przecięcie dwóch powierzchni. Niech punkt M(x, y, z) leżący na prostej L należy zarówno do powierzchni P1, jak i do powierzchni P2. Wówczas współrzędne tego punktu muszą spełniać równania obu powierzchni. Dlatego pod równanie prostej L w przestrzeni zrozumieć zbiór dwóch równań, z których każde jest równaniem odpowiedniej powierzchni:

Linia L zawiera te i tylko te punkty, których współrzędne spełniają oba równania z (*). Później przyjrzymy się innym sposobom definiowania linii w przestrzeni.

Garść samolotów.

Banda samolotów– zbiór wszystkich płaszczyzn przechodzących przez daną linię prostą – oś belki.

Aby zdefiniować wiązkę płaszczyzn wystarczy określić jej oś. Niech równanie tej prostej będzie podane w postaci ogólnej:

.

Napisz równanie belki- oznacza utworzenie równania, z którego można uzyskać dodatkowy warunek równanie dowolnej płaszczyzny belki, z wyjątkiem b.m. jeden. Pomnóżmy równanie II przez l i dodajmy do równania I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + re 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + re 2) = 0 (1) lub

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l – parametr – liczba, która może przyjmować wartości rzeczywiste. Dla dowolnej wybranej wartości l równania (1) i (2) mają charakter liniowy, tj. są to równania pewnej płaszczyzny.

1. Pokażemy ciże ta płaszczyzna przechodzi przez oś belki L. Wybierz dowolny punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) L. W rezultacie M 0 P 1 i M 0 P 2. Oznacza:

W konsekwencji płaszczyzna opisana równaniem (1) lub (2) należy do belki.

2. Można też udowodnić coś przeciwnego: dowolna płaszczyzna przechodząca przez prostą L jest opisana równaniem (1) przy odpowiednim doborze parametru l.

Przykład 1. Zapisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez linię przecięcia płaszczyzn x + y + 5z – 1 = 0 i 2x + 3y – z + 2 = 0 i przez punkt M(3, 2, 1).

Zapisujemy równanie belki: x + y + 5z – 1 + l(2x + 3y – z + 2) = 0. Aby znaleźć l, bierzemy pod uwagę, że M R:

Dowolną powierzchnię w przestrzeni można uznać za zbiór punktów, który ma jakąś właściwość wspólną dla wszystkich punktów.

Przykład 1.

Kula – zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu C (środek). C(x 0, y 0, z 0). Z definicji |CM|=R lub lub . Równanie to obowiązuje dla wszystkich punktów kuli i tylko dla nich. Jeśli x 0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0, to .

W podobny sposób można utworzyć równanie dla dowolnej powierzchni, jeśli wybrany zostanie układ współrzędnych.

Przykład 2. x=0 – równanie płaszczyzny YOZ.

Wyraziwszy definicja geometryczna powierzchnię poprzez współrzędne jej aktualnego punktu i zbierając wszystkie wyrazy w jedną część, otrzymujemy równość formy

F(x,y,z)=0(*),

Ten - równanie powierzchni , jeśli współrzędne wszystkich punktów na powierzchni spełniają tę równość, ale współrzędne punktów nie leżących na powierzchni nie.

Zatem każda powierzchnia w wybranym układzie współrzędnych ma swoje własne równanie. Jednak nie każde równanie postaci (*) odpowiada powierzchni w rozumieniu definicji.

Przykłady:

2x – y + z – 3 = 0 (płaszczyzna)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (stożek)

x 2 + y 2 +3 = 0 – współrzędne żadnego punktu nie spełniają.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – jedyny punkt (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – linia prosta (oś OZ).

Wszystkie równania płaszczyzny, które zostaną omówione w kolejnych akapitach, można otrzymać z ogólnego równania płaszczyzny, a także sprowadzić do ogólnego równania płaszczyzny. Zatem, gdy mówią o równaniu płaszczyzny, mają na myśli ogólne równanie płaszczyzny, chyba że zaznaczono inaczej.

Równanie płaszczyzny w odcinkach.

Zobacz równanie płaszczyzny , gdzie a, b i c są niezerowe liczby rzeczywiste, zwany równanie płaszczyzny w odcinkach.

Nazwa ta nie jest przypadkowa. Wartości bezwzględne liczby a, b i c są równe długościom odcinków, które płaszczyzna odcina odpowiednio na osiach współrzędnych Ox, Oy i Oz, licząc od początku układu współrzędnych. Znak liczb a, b i c wskazuje, w jakim kierunku (dodatnim lub ujemnym) należy wykreślić segmenty na osiach współrzędnych.

Przykładowo skonstruujmy płaszczyznę w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz, zdefiniowanym przez równanie płaszczyzny w odcinkach . Aby to zrobić, zaznacz punkt oddalony o 5 jednostek od początku układu współrzędnych w kierunku ujemnym osi odciętych, 4 jednostki w kierunku ujemnym osi rzędnych i 4 jednostki w kierunku dodatnim osi zastosowania. Pozostaje tylko połączyć te punkty liniami prostymi. Płaszczyzną powstałego trójkąta jest płaszczyzna odpowiadająca równaniu płaszczyzny w odcinkach formy .

Aby uzyskać więcej pełna informacja zobacz artykuł równanie płaszczyzny w odcinkach, pokazuje on redukcję równania płaszczyzny w odcinkach do ogólnego równania płaszczyzny, tam też znajdziesz szczegółowe rozwiązania typowe przykłady i zadania.

Równanie płaszczyzny normalnej.

Nazywa się ogólne równanie płaskie postaci równanie płaszczyzny normalnej, Jeśli równy jeden, tzn. , I .

Często można zobaczyć, że równanie normalne płaszczyzny jest zapisane jako . Oto cosinusy kierunku wektora normalnego danej płaszczyzny o jednostkowej długości, to znaczy, a p jest liczbą nieujemną, równa odległości od początku do płaszczyzny.

Równanie normalne płaszczyzny w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz definiuje płaszczyznę oddaloną od początku o odległość p w kierunku dodatnim wektora normalnego tej płaszczyzny . Jeśli p=0, to płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Podajmy przykład równania płaszczyzny normalnej.

Niech płaszczyzna będzie określona w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz za pomocą ogólnego równania płaszczyzny postaci . To ogólne równanie płaszczyzny jest równaniem normalnym płaszczyzny. Rzeczywiście, wektor normalny tej płaszczyzny to ma długość równą jedności, ponieważ .

Równanie płaszczyzny w postaci normalnej pozwala znaleźć odległość punktu od płaszczyzny.

Zalecamy bardziej szczegółowe zrozumienie tego typu równań płaskich, przyjrzenie się szczegółowym rozwiązaniom typowych przykładów i problemów, a także nauczenie się, jak sprowadzić ogólne równanie płaskie do postaci normalnej. Możesz to zrobić, odwołując się do artykułu.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 szkoły średniej.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebra liniowa i geometrii analitycznej.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.

W tej lekcji przyjrzymy się, jak używać wyznacznika do tworzenia równanie płaszczyzny. Jeśli nie wiesz, czym jest wyznacznik, przejdź do pierwszej części lekcji - „Macierze i wyznaczniki”. W przeciwnym razie ryzykujesz, że nie zrozumiesz niczego z dzisiejszego materiału.

Równanie płaszczyzny za pomocą trzech punktów

Po co nam w ogóle równanie płaszczyzny? To proste: wiedząc o tym, możemy łatwo obliczyć kąty, odległości i inne bzdury w zadaniu C2. Ogólnie rzecz biorąc, nie można obejść się bez tego równania. Dlatego formułujemy problem:

Zadanie. W przestrzeni dane są trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej. Ich współrzędne:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Musisz utworzyć równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez te trzy punkty. Ponadto równanie powinno wyglądać następująco:

Topór + By + Cz + D = 0

gdzie liczby A, B, C i D są współczynnikami, które w rzeczywistości należy znaleźć.

No bo jak otrzymać równanie płaszczyzny, jeśli znane są tylko współrzędne punktów? Najłatwiej jest podstawić współrzędne do równania Ax + By + Cz + D = 0. Otrzymujesz układ trzech równań, który można łatwo rozwiązać.

Wielu studentów uważa to rozwiązanie za wyjątkowo nudne i zawodne. Ubiegłoroczny egzamin Unified State Examination z matematyki pokazał, że prawdopodobieństwo popełnienia błędu w obliczeniach jest naprawdę wysokie.

Dlatego najbardziej zaawansowani nauczyciele zaczęli szukać prostszych i bardziej eleganckich rozwiązań. I znaleźli! To prawda, że ​​​​osiągnięta technika odnosi się raczej do wyższej matematyki. Osobiście musiałem przeszukać całą Federalną Listę Podręczników, aby upewnić się, że mamy prawo używać tej techniki bez żadnego uzasadnienia i dowodu.

Równanie płaszczyzny poprzez wyznacznik

Dość tych tekstów, przejdźmy do rzeczy. Na początek twierdzenie o związku wyznacznika macierzy i równania płaszczyzny.

Twierdzenie. Niech zostaną podane współrzędne trzech punktów, przez które należy poprowadzić płaszczyznę: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Następnie równanie tej płaszczyzny można zapisać poprzez wyznacznik:

Jako przykład spróbujmy znaleźć parę płaszczyzn, które faktycznie występują w zadaniu C2. Zobacz, jak szybko wszystko się oblicza:

ZA 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Tworzymy wyznacznik i przyrównujemy go do zera:

Rozwijamy wyznacznik:

za = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
re = za - b = z - 1 - y - (-x ) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
re = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Jak widać, obliczając liczbę d, „przeczesałem” trochę równanie tak, aby zmienne x, y i z weszły do prawidłowa kolejność. To wszystko! Równanie płaszczyzny jest gotowe!

Zadanie. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:

ZA = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
Re 1 = (0, 1, 1);

Natychmiast podstawiamy współrzędne punktów do wyznacznika:

Ponownie rozszerzamy wyznacznik:

za = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
re = za - b = z - (x + y ) = z - x - y;
re = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

Zatem równanie płaszczyzny uzyskuje się ponownie! Znowu, dalej ostatni krok Musiałem zmienić w nim znaki, aby uzyskać piękniejszą formułę. W tym rozwiązaniu wcale nie jest to konieczne, ale nadal jest to zalecane - aby uprościć dalsze rozwiązanie problemu.

Jak widać, ułożenie równania płaszczyzny jest teraz znacznie łatwiejsze. Podstawiamy punkty do macierzy, obliczamy wyznacznik – i gotowe, równanie jest gotowe.

To mogłoby zakończyć lekcję. Jednak wielu uczniów ciągle zapomina, co kryje się wewnątrz wyznacznika. Na przykład, który wiersz zawiera x 2 lub x 3, a który wiersz zawiera tylko x. Aby naprawdę mieć to na uwadze, spójrzmy, skąd pochodzi każda liczba.

Skąd wziął się wzór z wyznacznikiem?

Zastanówmy się więc, skąd bierze się tak ostre równanie z wyznacznikiem. Pomoże Ci to zapamiętać i skutecznie zastosować.

Wszystkie płaszczyzny występujące w Zadaniu C2 są zdefiniowane przez trzy punkty. Punkty te są zawsze zaznaczane na rysunku lub wręcz wskazane bezpośrednio w tekście zadania. W każdym razie, aby utworzyć równanie, będziemy musieli zapisać ich współrzędne:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Rozważmy inny punkt na naszej płaszczyźnie o dowolnych współrzędnych:

T = (x, y, z)

Weź dowolny punkt z pierwszych trzech (na przykład punkt M) i narysuj z niego wektory do każdego z trzech pozostałych punktów. Otrzymujemy trzy wektory:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ).

Zbudujmy teraz macierz kwadratową z tych wektorów i przyrównajmy jej wyznacznik do zera. Współrzędne wektorów staną się wierszami macierzy - i otrzymamy sam wyznacznik wskazany w twierdzeniu:

Wzór ten oznacza, że ​​objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach MN, MK i MT jest równa zeru. Dlatego wszystkie trzy wektory leżą w tej samej płaszczyźnie. W szczególności dowolny punkt T = (x, y, z) jest dokładnie tym, czego szukaliśmy.

Zastępowanie punktów i prostych wyznacznika

Wyznaczniki mają kilka świetnych właściwości, dzięki którym jest to jeszcze łatwiejsze rozwiązanie problemu C2. Na przykład nie ma dla nas znaczenia, z którego punktu rysujemy wektory. Dlatego poniższe wyznaczniki dają to samo równanie płaszczyzny, co powyższe:

Można także zamienić linie wyznacznika. Równanie pozostanie niezmienione. Na przykład wiele osób lubi pisać linię ze współrzędnymi punktu T = (x; y; z) na samej górze. Proszę, jeśli jest to dla Ciebie wygodne:

Niektórych dezorientuje fakt, że jedna z prostych zawiera zmienne x, y i z, które nie znikają przy podstawieniu punktów. Ale nie powinny znikać! Podstawiając liczby do wyznacznika, powinieneś otrzymać następującą konstrukcję:

Następnie wyznacznik rozwijamy zgodnie ze schematem podanym na początku lekcji i otrzymujemy równanie standardowe płaszczyzny:

Topór + By + Cz + D = 0

Spójrz na przykład. To już ostatnia lekcja na dzisiejszej lekcji. Celowo zamienię linie, aby mieć pewność, że odpowiedź da to samo równanie płaszczyzny.

Zadanie. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
re 1 = (0, 1, 1).

Rozważamy więc 4 punkty:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
Re 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Najpierw utwórzmy wyznacznik standardowy i przyrównajmy go do zera:

Rozwijamy wyznacznik:

za = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (-1) 1 (x - 1) + 1 (-1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
re = za - b = y - (2 - x - z ) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
re = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

To wszystko, mamy odpowiedź: x + y + z − 2 = 0.

Zmieńmy teraz układ kilku linii w wyznaczniku i zobaczmy, co się stanie. Na przykład napiszmy linię ze zmiennymi x, y, z nie na dole, ale na górze:

Ponownie rozszerzamy wynikowy wyznacznik:

za = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
b = (z - 1) 1 0 + y (-1) (-1) + (x - 1) 1 0 = y;
re = za - b = 2 - x - z - y;
re = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Otrzymaliśmy dokładnie to samo równanie płaskie: x + y + z − 2 = 0. Oznacza to, że tak naprawdę nie zależy to od kolejności wierszy. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Jesteśmy zatem przekonani, że równanie płaszczyzny nie zależy od kolejności linii. Możemy przeprowadzić podobne obliczenia i wykazać, że równanie płaszczyzny nie zależy od punktu, którego współrzędne odejmiemy od innych punktów.

W rozważanym powyżej problemie użyliśmy punktu B 1 = (1, 0, 1), ale całkiem możliwe było przyjęcie C = (1, 1, 0) lub D 1 = (0, 1, 1). Ogólnie rzecz biorąc, dowolny punkt o znanych współrzędnych leżący na żądanej płaszczyźnie.