Kontynuując rozumowanie dotyczące pięciu, sześciu szczelin itp., możemy ustalić następna zasada: w obecności przerw między dwoma sąsiednimi maksimami powstają minima; różnica dróg promieni z dwóch sąsiednich szczelin dla maksimów powinna być równa liczbie całkowitej X, a dla minimów - widmo dyfrakcyjne na szczelinach ma postać pokazaną na rys. Dodatkowe maksima znajdujące się pomiędzy dwoma sąsiednimi minimami powodują bardzo słabe oświetlenie ( tło) na ekranie.
Główna część energii fali świetlnej przechodzącej przez siatkę dyfrakcyjną ulega redystrybucji pomiędzy głównymi maksimami utworzonymi w kierunkach, gdzie 3 nazywa się „rzędem” maksimum.
Oczywiście niż większa liczba szczelin, tym więcej energii świetlnej przejdzie przez siatkę, tym więcej minimów powstanie pomiędzy sąsiednimi maksimami głównymi, a w konsekwencji tym maksima będą intensywniejsze i ostrzejsze.
Jeżeli światło padające na siatkę dyfrakcyjną składa się z dwóch promieni monochromatycznych o długościach fal, a ich główne maksima będą zlokalizowane w różnych miejscach ekranu. Dla długości fal bardzo bliskich sobie (promieniowanie jednokolorowe) maksima na ekranie mogą okazać się tak blisko siebie, że łączą się w jeden wspólny pasek światła (ryc. IV.27, b). Jeśli wierzchołek jednego maksimum pokrywa się z (a) najbliższym minimum drugiej fali lub znajduje się dalej niż (a), to poprzez rozkład oświetlenia na ekranie można z pewnością ustalić obecność dwóch fal (lub, jak mówią, „ rozwiązać” te fale).
Wyprowadźmy warunek na rozwiązywalność dwóch fal: maksimum (tj. maksimum rzędu) fali otrzymamy zgodnie ze wzorem (1.21) pod kątem spełniającym warunek.Warunek graniczny rozwiązywalności wymaga, aby okaże się pod tym samym kątem
minimum fali najbliższe jej maksimum (ryc. IV.27, c). Zgodnie z tym, co powiedziano powyżej, aby otrzymać najbliższe minimum, należy do różnicy dróg jeszcze doliczyć, zatem warunek zbieżności kątów, przy których otrzymuje się maksimum i minimum, prowadzi do zależności
Jeśli jest większa niż iloczyn liczby szczelin i rzędu widma, wówczas maksima nie zostaną rozwiązane. Oczywiście, jeśli dwa maksima nie zostaną rozwiązane w widmie rzędu, wówczas można je rozdzielić w widmie wyższych rzędów. Zgodnie z wyrażeniem (1.22) im większa jest liczba interferujących ze sobą wiązek i im większa jest różnica dróg A między nimi, tym lepiej można rozdzielić fale.
W siatce dyfrakcyjnej, czyli liczba szczelin jest duża, ale rząd widma, który można wykorzystać do celów pomiarowych, jest mały; przeciwnie, w interferometrze Michelsona liczba wiązek zakłócających jest równa dwa, ale różnica dróg między nimi, w zależności od odległości od zwierciadeł (patrz rys. IV. 14), jest duża, dlatego rząd obserwowane widmo jest mierzone w bardzo dużych liczbach.
Odległość kątowa pomiędzy dwoma sąsiednimi maksimami dwóch bliskich sobie fal zależy od rzędu widma i okresu siatki
Okres tarcia można zastąpić liczbą szczelin na jednostkę długości rusztu:
Założono powyżej, że promienie padające na siatkę dyfrakcyjną są prostopadłe do jej płaszczyzny. Przy ukośnym padaniu promieni (patrz ryc. IV.22, b) maksimum zerowe zostanie przesunięte i otrzymane w kierunku Załóżmy, że maksimum rzędu uzyskuje się w kierunku, tj. różnicę w droga promieni jest równa Następnie Ponieważ pod małymi kątami
Dlatego są blisko siebie pod względem wielkości
gdzie jest odchylenie kątowe maksimum od zera. Porównajmy ten wzór z wyrażeniem (1.21), które zapiszemy w postaci, gdyż wówczas odchylenie kątowe dla padania ukośnego okazuje się większe niż dla padania prostopadłego. Odpowiada to skróceniu okresu karencji o współczynnik. W konsekwencji przy dużych kątach padania a możliwe jest uzyskanie widm dyfrakcyjnych z promieniowania krótkofalowego (na przykład rentgenowskiego) i zmierzenie ich długości fal.
Jeżeli płaska fala świetlna przechodzi nie przez szczeliny, ale przez okrągłe otwory o małej średnicy (ryc. IV.28), wówczas widmo dyfrakcyjne (na płaskim ekranie umieszczonym w płaszczyźnie ogniskowej soczewki) jest układem naprzemiennych ciemnych i pierścienie świetlne. Pierwszy ciemny pierścień uzyskuje się pod kątem spełniającym warunek
Drugi ciemny pierścień Centralny krąg światła, zwany plamką Airy'ego, odpowiada za około 85% całkowitej mocy promieniowania przechodzącego przez otwór i soczewkę; pozostałe 15% jest rozdzielone pomiędzy pierścienie świetlne otaczające to miejsce. Rozmiar plamki Airy'ego zależy od ogniskowej soczewki.
Omówione powyżej siatki dyfrakcyjne składały się z naprzemiennych „szczelin”, które całkowicie przepuszczają falę świetlną, oraz „nieprzezroczystych pasków”, które całkowicie pochłaniają lub odbijają padające na nie promieniowanie. Można powiedzieć, że w takich siatkach przepuszczalność fali świetlnej ma tylko dwie wartości: wzdłuż szczeliny jest równa jedności, a wzdłuż nieprzezroczystego paska wynosi zero. Dlatego na granicy szczeliny i paska transmitancja zmienia się gwałtownie od jedności do zera.
Istnieje jednak możliwość wykonania siatek dyfrakcyjnych o innym rozkładzie transmitancji. Przykładowo, jeśli na przezroczystą płytę (lub folię) nałożymy warstwę absorbującą o okresowo zmieniającej się grubości, to zamiast całkowicie naprzemiennie
Stosując przezroczyste szczeliny i całkowicie nieprzezroczyste paski można uzyskać siatkę dyfrakcyjną z płynną zmianą transmitancji (w kierunku prostopadłym do szczelin lub pasków). Szczególnie interesujące są siatki, w których transmitancja zmienia się sinusoidalnie. Widmo dyfrakcyjne takich siatek nie składa się z wielu maksimów (jak pokazano dla siatek konwencjonalnych na rys. IV.26), a jedynie z maksimum centralnego i dwóch symetrycznie położonych maksimów pierwszego rzędu
Dla fali sferycznej można wykonać siatki dyfrakcyjne składające się z wielu koncentrycznych szczelin pierścieniowych oddzielonych nieprzezroczystymi pierścieniami. Można np. nałożyć koncentryczne pierścienie za pomocą tuszu na szklaną płytkę (lub przezroczystą folię); w której okrąg centralny, pokrywające środek tych pierścieni, może być przezroczysty lub zacieniony. Takie siatki dyfrakcyjne nazywane są „płytami strefowymi” lub siatkami. W przypadku siatek dyfrakcyjnych składających się z prostych szczelin i pasków, aby uzyskać wyraźny obraz interferencyjny, konieczne było zachowanie stałej szerokości szczeliny i okresu siatki; W przypadku płyt strefowych należy w tym celu obliczyć wymagane promienie i grubość pierścieni. Kratki strefowe mogą być również produkowane z płynną, np. sinusoidalną zmianą przepuszczalności wzdłuż promienia.
DEFINICJA
Siatka dyfrakcyjna- jest to najprostsze urządzenie spektralne, składające się z układu szczelin (obszarów przezroczystych dla światła) i nieprzezroczystych szczelin porównywalnych z długością fali.
Jednowymiarowa siatka dyfrakcyjna składa się z równoległych szczelin o tej samej szerokości, leżących w tej samej płaszczyźnie, oddzielonych przerwami o tej samej szerokości i nieprzezroczystymi dla światła. Za najlepsze uważa się odblaskowe siatki dyfrakcyjne. Składają się z zestawu obszarów odbijających światło i obszarów rozpraszających światło. Kraty te to polerowane metalowe płyty, na które nanoszone są uderzenia rozpraszające światło za pomocą noża.
Obraz dyfrakcyjny na siatce jest wynikiem wzajemnego oddziaływania fal pochodzących ze wszystkich szczelin. Za pomocą siatki dyfrakcyjnej realizowana jest wielowiązkowa interferencja spójnych wiązek światła, które uległy dyfrakcji i pochodzą ze wszystkich szczelin.
Cechą charakterystyczną siatki dyfrakcyjnej jest jej okres. Okres siatki dyfrakcyjnej (d) (jej stała) jest wartością równą:
gdzie a jest szerokością szczeliny; b jest szerokością nieprzezroczystego obszaru.
Dyfrakcja na jednowymiarowej siatce dyfrakcyjnej
Załóżmy, że fala świetlna o długości 0 pada prostopadle do płaszczyzny siatki dyfrakcyjnej. Ponieważ szczeliny siatki znajdują się w równych odległościach od siebie, różnice w drodze promieni () pochodzących z dwóch sąsiednich szczelin dla kierunku będą takie same dla całej rozpatrywanej siatki dyfrakcyjnej:
Minima natężenia głównego obserwowane są w kierunkach określonych przez warunek:
Oprócz minimów głównych, w wyniku wzajemnego oddziaływania promieni świetlnych pochodzących z dwóch szczelin, promienie te znoszą się w niektórych kierunkach. W rezultacie powstają dodatkowe minima intensywności. Pojawiają się w tych kierunkach, w których występuje różnica w drodze promieni liczba nieparzysta półfala Warunkiem dodatkowych minimów jest wzór:
gdzie N jest liczbą szczelin siatki dyfrakcyjnej; — wartości całkowite inne niż 0. Jeżeli siatka ma N szczelin, to pomiędzy dwoma maksimami głównymi znajduje się dodatkowe minimum oddzielające maksima wtórne.
Warunek na główne maksima siatki dyfrakcyjnej jest następujący:
Wartość sinusa nie może być większa od jedności, wówczas liczba maksimów głównych wynosi:
Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Siatka dyfrakcyjna”
PRZYKŁAD 1
| Ćwiczenia | Monochromatyczna wiązka światła o długości fali θ pada na siatkę dyfrakcyjną prostopadle do jej powierzchni. Obraz dyfrakcyjny jest rzutowany na płaski ekran za pomocą soczewki. Odległość między dwoma maksimami intensywności pierwszego rzędu wynosi l. Jaka jest stała siatki dyfrakcyjnej, jeśli soczewkę umieszczono blisko siatki, a odległość od niej do ekranu wynosi L. Rozważmy to |
| Rozwiązanie | Jako podstawę do rozwiązania zadania wykorzystujemy wzór łączący stałą siatki dyfrakcyjnej, długość fali światła i kąt odchylenia promieni, który odpowiada maksymalnej liczbie dyfrakcyjnej m: Zgodnie z warunkami problemu, ponieważ kąt odchylenia promieni można uznać za mały (), zakładamy, że: Z rys. 1 wynika, że:
Podstawmy wyrażenie (1.3) do wzoru (1.1) i uwzględnijmy, że otrzymamy:
Z (1.4) wyrażamy okres sieci: |
| Odpowiedź |
PRZYKŁAD 2
| Ćwiczenia | Korzystając z warunków z przykładu 1 i wyniku rozwiązania, znajdź liczbę maksimów, jakie da dana sieć. |
| Rozwiązanie | Aby wyznaczyć maksymalny kąt odchylenia promieni świetlnych w naszym zadaniu, znajdziemy liczbę maksimów, jakie może dać nasza siatka dyfrakcyjna. W tym celu korzystamy ze wzoru: gdzie zakładamy, że dla . Następnie otrzymujemy: |
Analizując działanie płyt strefowych, odkryliśmy, że struktury okresowe najskuteczniej działają w dyfrakcji. I nie jest to zaskakujące. W końcu dyfrakcja jest efektem falowym, a same fale są strukturą okresową. Dlatego można się spodziewać, że zestaw równomiernie rozmieszczonych szczelin powinien w niektórych przypadkach zapewnić bardziej efektywne i użyteczne rozwiązanie praktyczne zastosowania wzór dyfrakcyjny.
W związku z tym rozważmy precyzyjne urządzenie optyczne - siatkę dyfrakcyjną. Najprostszy siatka dyfrakcyjna zwane całością duża ilość wąskie, równoległe, identyczne, równomiernie rozmieszczone szczeliny. Siatka ta działa w świetle przechodzącym. Czasami w świetle odbitym stosuje się siatkę dyfrakcyjną, która powstaje poprzez nałożenie na zwierciadło dużej liczby wąskich, równoległych, identycznych, równomiernie rozmieszczonych przeszkód. Często kratkę wykonuje się poprzez nałożenie nieprzezroczystych pociągnięć na przezroczyste szkło lub lustro. Charakteryzuje się zatem nie liczbą szczelin, ale liczbą uderzeń oddzielających szczeliny. Pierwszą działającą siatkę dyfrakcyjną wykonał w XVII wieku. Szkocki naukowiec James Gregory, który wykorzystał do tego ptasie pióra. W nowoczesnych kratach liczba linii sięga miliona na powierzchni do kilkudziesięciu centymetrów.
Opis dyfrakcji na siatce dyfrakcyjnej jest podobny do opisu dyfrakcji promieni równoległych na szczelinie (rys. 27.4). Suma szerokości szczeliny A i przestrzeń pomiędzy szczelinami (skok) B zwany okres sieci.”
Niech wiązka równoległych promieni padnie na siatkę prostopadle do jej płaszczyzny, co wtedy Ryż. 27.4 zgodnie z zasadą Huygensa-Fresnela wytwarza wtórne fale zakłócające. Wybierzmy pewien kierunek przejścia tych fal wtórnych, wyznaczony przez kąt a. Jeżeli różnica dróg fal pomiędzy środkami sąsiednich szczelin jest równa całkowitej liczbie fal, wówczas następuje ich wzajemne wzmocnienie:
Oczywiście taka sama różnica ścieżek będzie dla lewych krawędzi szczelin, i dla prawych krawędzi oraz dla wszelkich innych znaczników znajdujących się w pewnej odległości od siebie D. Co więcej, jeśli szczeliny nie sąsiadują ze sobą, a odległość między ich środkami jest równa D, A 2d, 3d, identyfikator,..., to z rozważań geometrycznych jest oczywiste, że różnica ścieżek zwiększy się liczbę całkowitą razy i pozostanie równa całkowitej liczbie fal. Oznacza to wielokrotne wzajemne wzmacnianie się fal ze wszystkich szczelin siatki i prowadzi do pojawienia się na ekranie jasnych maksimów, tzw. główne. Podano położenie maksimów głównych zgodnie ze wzorem (27.21). podstawowy wzór siatki dyfrakcyjnej:
Gdzie t = 0, 1, 2, 3,... - rząd maksimów głównych. Są one zlokalizowane symetrycznie względem centralnego maksimum, dla którego T = 0.
Oprócz głównych maksimów istnieją maksima dodatkowe, gdy wiązki z niektórych szczelin wzmacniają się, a z innych znoszą. Te dodatkowe wzloty są zazwyczaj słabe i nie interesujące.
Przejdźmy teraz do wyznaczania położenia minimów. Jest oczywiste, że w tych kierunkach, gdzie światło nie poszło z jednej szczeliny, nie dotrze tam nawet z kilku. Dlatego warunek (27.16) określa położenie minima główne siatki dyfrakcyjnej:
Co więcej, jeżeli położenie minimum głównego spadnie na położenie maksimum głównego, to maksimum główne zniknie.
Jednakże oprócz tych minimów pojawią się dodatkowe minima w wyniku nadejścia światła w przeciwfazie z różnych szczelin. Dokonajmy uproszczonego oszacowania ich położenia, pomijając rolę uderzeń. W tym przybliżeniu cała siatka wydaje się być pojedynczą szczeliną, której szerokość jest równa Nd, Gdzie N- liczba szczelin kraty. Przez analogię do wzoru (27.23) mamy
Od razu widać, że estymacja ta obejmuje pozycje dokładniej obliczonych (biorąc pod uwagę rolę liczb pierwszych) głównych maksimów (27,22). Jest oczywiste, że należy wyeliminować te fałszywe stanowiska. Następnie uzyskuje się dość dokładny wzór do określenia pozycji dużej liczby dodatkowe minima siatki dyfrakcyjnej:
Analiza wzoru pokazuje, że pomiędzy każdymi dwoma głównymi maksimami znajduje się N- 1 dodatkowe minimum. Co więcej, im więcej szczelin, tym więcej minimów między głównymi maksimami oraz tym ostrzejsze i jaśniejsze główne maksima w porównaniu z przyćmionym tłem pomiędzy maksimami. Jeśli siatkę dyfrakcyjną oświetlimy dwiema wiązkami światła o podobnej długości fali, to siatka o dużej liczbie szczelin umożliwi wyraźne rozdzielenie tych długości fal i wyznaczenie ich na obrazie dyfrakcyjnym. A jeśli oświetlisz siatkę białym światłem, wówczas każde główne maksimum, z wyjątkiem centralnego, okaże się rozłożone na widmo zwane widmo dyfrakcyjne.
O jakości siatki dyfrakcyjnej jako urządzenia optycznego decyduje jej rozproszenie kątowe i rozdzielczość. Rozproszenie kątowe D charakteryzuje szerokość kątową widma i pokazuje, jaki przedział kątów przypada na jednostkowy przedział długości fali:
Biorąc różniczkę z relacji (27.22) otrzymujemy
Podczas pracy z siatką dyfrakcyjną stosuje się zwykle małe kąty, tak że cos a ~ 1. Otrzymujemy więc ostatecznie, że rozproszenie kątowe (i odległość kątowa pomiędzy środkami bliskich linii widmowych) jest tym większe, im większy rząd widmo i im mniejszy okres siatki:
Zdolność do rozróżnienia bliskich linii widmowych zależy nie tylko od odległości między środkami linii, ale także od szerokości linii. Dlatego w optyce wprowadza się kolejną cechę - rozdzielczość urządzenia optycznego, która pokazuje, jak dobrze urządzenie rozróżnia drobne szczegóły obiektu. Dla siatki dyfrakcyjnej pod rezolucja zrozumieć stosunek długości fali do różnicy pomiędzy pobliskimi długościami fal, które siatka jest jeszcze w stanie rozróżnić:
Ryż. 27,5
Zazwyczaj próg dyskryminacji linii jest określany na podstawie kryterium Rayleigha: urządzenie optyczne rozdziela dwie sąsiednie linie widmowe, jeśli maksimum jednego z nich mieści się w najbliższym minimum drugiej linii(ryc. 27.5). W tym przypadku pośrodku pomiędzy natężeniami środków linii / znajduje się również minimum o natężeniu zwykle widocznym dla oka lub instrumentu
Położenie głównego szczytu pierwszej fali określa równanie (27.22):
Pozycja najbliższego dodatkowego minimum bliskiej drugiej fali X2 uwzględnieniu równań (27.22) i (27.25) wyznacza się sumą
Na progu rozdzielczości te pozycje (i kąty widzenia) pokrywają się:
Tym samym rozdzielczość siatki jest tym większa, im więcej zawiera ona linii i im większy jest porządek widma.
Do dobrze znanych efektów potwierdzających falową naturę światła należą dyfrakcja i interferencja. Obszar domowy ich zastosowania to spektroskopia, w której analizuje się skład widmowy promieniowanie elektromagnetyczne stosowane są siatki dyfrakcyjne. W artykule omówiono wzór opisujący położenie głównych maksimów danej sieci.
Jakie są zjawiska dyfrakcji i interferencji?
Przed przystąpieniem do rozważań nad wyprowadzeniem wzoru na siatkę dyfrakcyjną warto zapoznać się ze zjawiskami czyniącymi siatkę użyteczną, czyli dyfrakcją i interferencją.
Może zainteresuje Cię:
Dyfrakcja to proces zmiany ruchu czoła fali, gdy na swojej drodze napotyka ona nieprzezroczystą przeszkodę, której wymiary są porównywalne z długością fali. Na przykład, jeśli światło słoneczne przejdzie przez mały otwór, to na ścianie można zaobserwować nie mały punkt świetlny (co powinno się zdarzyć, gdyby światło rozchodziło się w linii prostej), ale plamę świetlną pewnej wielkości. Fakt ten wskazuje falowa natura Swieta.
Interferencja to kolejne zjawisko charakterystyczne dla fal. Jego istota polega na nakładaniu się fal na siebie. Jeżeli oscylacje fal z kilku źródeł są spójne (spójne), wówczas na ekranie można zaobserwować stabilny wzór naprzemiennych jasnych i ciemnych obszarów. Minima na takim obrazie tłumaczy się dotarciem fal do danego punktu w przeciwfazie (pi i -pi), a maksima są wynikiem dotarcia fal do danego punktu w tej samej fazie (pi i pi).
Obydwa opisane zjawiska po raz pierwszy wyjaśnił Anglik Thomas Young, badając w 1801 roku dyfrakcję światła monochromatycznego na dwóch cienkich szczelinach.
Zasada Huygensa-Fresnela oraz przybliżenia pola dalekiego i bliskiego
Matematyczny opis zjawisk dyfrakcji i interferencji jest zadaniem nietrywialnym. Znalezienie dokładnego rozwiązania wymaga skomplikowanych obliczeń wykorzystujących teorię fal elektromagnetycznych Maxwella. Niemniej jednak w latach 20. XIX wieku Francuz Augustin Fresnel wykazał, że wykorzystując koncepcje Huygensa dotyczące wtórnych źródeł fal, zjawiska te można z powodzeniem opisać. Pomysł ten doprowadził do sformułowania zasady Huygensa-Fresnela, która obecnie leży u podstaw wyprowadzania wszelkich wzorów na dyfrakcję na przeszkodach o dowolnym kształcie.
Niemniej jednak nawet stosując zasadę Huygensa-Fresnela nie można rozwiązać problemu dyfrakcji w ogólnej formie, dlatego przy uzyskiwaniu wzorów uciekają się do pewnych przybliżeń. Najważniejszym z nich jest czoło fali płaskiej. To właśnie ten przebieg musi spaść na przeszkodę, aby uprościć szereg obliczeń matematycznych.
Kolejne przybliżenie polega na położeniu ekranu, w którym rzutowany jest obraz dyfrakcyjny względem przeszkody. Położenie to jest opisane liczbą Fresnela. Oblicza się to w następujący sposób:
Gdzie a to wymiary geometryczne przeszkody (na przykład szczelina lub okrągły otwór), λ to długość fali, D to odległość między ekranem a przeszkodą. Jeśli dla konkretnego doświadczenia F
Różnica pomiędzy dyfrakcjami Fraunhofera i Fresnela polega na odmiennych warunkach zjawiska interferencji w małych i dużych odległościach od przeszkody.
Wyprowadzenie wzoru na główne maksima siatki dyfrakcyjnej, które zostanie podane w dalszej części artykułu, zakłada uwzględnienie dyfrakcji Fraunhofera.
Siatka dyfrakcyjna i jej rodzaje
Ta krata to płyta ze szkła lub przezroczystego plastiku o wielkości kilku centymetrów, na którą nakładane są nieprzezroczyste pociągnięcia o tej samej grubości. Skoki znajdują się w stałej odległości d od siebie. Odległość ta nazywana jest okresem sieci. Dwie inne ważne cechy urządzenia to stała sieci a i liczba przezroczystych szczelin N. Wartość a określa liczbę szczelin na 1 mm długości, a więc jest odwrotnie proporcjonalna do okresu d.
Istnieją dwa rodzaje siatek dyfrakcyjnych:
- Przezroczysty, co opisano powyżej. Obraz dyfrakcyjny takiej siatki powstaje w wyniku przejścia przez nią czoła fali.
- Odblaskowy. Wykonuje się go poprzez nałożenie małych rowków na gładką powierzchnię. Dyfrakcja i interferencja z takiej płyty powstają w wyniku odbicia światła od wierzchołków każdego rowka.
Niezależnie od rodzaju siatki, ideą jej oddziaływania na czoło fali jest wytworzenie w niej okresowych zakłóceń. Prowadzi to do powstania dużej liczby spójnych źródeł, których efektem interferencji jest obraz dyfrakcyjny na ekranie.
Podstawowy wzór siatki dyfrakcyjnej
Wyprowadzenie tego wzoru polega na rozważeniu zależności natężenia promieniowania od kąta jego padania na ekran. W przybliżeniu pola dalekiego otrzymuje się następujący wzór na natężenie I(θ):
I(θ) = I0*(sin(β)/β)2*2, gdzie
α = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ0));
β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ0)).
We wzorze szerokość szczeliny siatki dyfrakcyjnej oznaczono symbolem a. Dlatego mnożnik w nawiasach odpowiada za dyfrakcję na pojedynczej szczelinie. Wartość d jest okresem siatki dyfrakcyjnej. Wzór pokazuje, że współczynnik w nawiasach kwadratowych, w którym pojawia się ten okres, opisuje interferencję ze zbioru szczelin siatki.
Korzystając z powyższego wzoru, można obliczyć wartość natężenia dla dowolnego kąta padania światła.
Jeśli znajdziemy wartość maksimów natężenia I(θ), to możemy dojść do wniosku, że one występują pod warunkiem, że α = m*pi, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą. Dla warunku maksimów otrzymujemy:
m*pi = pi*d/λ*(sin(θm) - sin(θ0)) =>
sin(θm) - sin(θ0) = m*λ/d.
Otrzymane wyrażenie nazywa się wzorem na maksima siatki dyfrakcyjnej. Liczby m są rzędem dyfrakcji.
Inne sposoby zapisywania podstawowego wzoru na sieć
Należy zauważyć, że wzór podany w poprzednim akapicie zawiera termin sin(θ0). Tutaj kąt θ0 odzwierciedla kierunek padania czoła fali świetlnej względem płaszczyzny siatki. Gdy czoło opada równolegle do tej płaszczyzny, wówczas θ0 = 0o. Otrzymujemy wówczas wyrażenie na maksima:
sin(θm) = m*λ/d.
Ponieważ stała siatki a (nie mylić z szerokością szczeliny) jest odwrotnie proporcjonalna do d, powyższy wzór można przepisać w odniesieniu do stałej siatki dyfrakcyjnej jako:
grzech(θm) = m*λ*a.
Aby uniknąć błędów podczas podstawiania określonych liczb λ, a i d do tych wzorów, należy zawsze używać odpowiednich jednostek SI.
Koncepcja siatek dyspersji kątowej
Wielkość tę będziemy oznaczać literą D. Według definicja matematyczna, jest to zapisane przez następującą równość:
Fizyczne znaczenie dyspersji kątowej D polega na tym, że pokazuje, o jaki kąt dθm przesunie się maksimum rzędu dyfrakcji m, jeśli padająca długość fali zmieni się o dλ.
Jeśli zastosujemy to wyrażenie do równania sieci, otrzymamy wzór:
D = m/(d*cos(θm)).
Rozproszenie kątowe siatki dyfrakcyjnej określa powyższy wzór. Można zauważyć, że wartość D zależy od rzędu m i okresu d.
Im większa dyspersja D, tym większa rozdzielczość danej siatki.
Rozdzielczość kraty
Rozdzielczość oznacza wielkość fizyczna, który pokazuje, o jaką minimalną wartość mogą różnić się dwie długości fal, tak aby ich maksima pojawiały się oddzielnie na obrazie dyfrakcyjnym.
Rozdzielczość jest określana na podstawie kryterium Rayleigha. Mówi ona: dwa maksima można rozdzielić na obrazie dyfrakcyjnym, jeśli odległość między nimi jest większa niż połowa szerokości każdego z nich. Kątową połowę maksimum kraty określa się ze wzoru:
Δθ1/2 = λ/(N*d*cos(θm)).
Rozdzielczość siatki zgodnie z kryterium Rayleigha jest równa:
Δθm>Δθ1/2 lub D*Δλ>Δθ1/2.
Zastępując wartości D i Δθ1/2, otrzymujemy:
Δλ*m/(d*cos(θm))>λ/(N*d*cos(θm) =>
Δλ > λ/(m*N).
Jest to wzór na rozdzielczość siatki dyfrakcyjnej. Im większa liczba linii N na płycie i im wyższy stopień dyfrakcji, tym większa rozdzielczość dla danej długości fali λ.
Siatka dyfrakcyjna w spektroskopii
Napiszmy jeszcze raz podstawowe równanie maksimów sieci:
sin(θm) = m*λ/d.
Tutaj widać, że im dłuższa długość fali pada na płytkę ze smugami, tym większe są kąty, a na ekranie pojawią się maksima. Innymi słowy, jeśli przez płytkę przejdzie światło niemonochromatyczne (na przykład białe), wówczas na ekranie można zobaczyć pojawienie się maksimów kolorów. Zaczynając od centralnego białego maksimum (dyfrakcja zerowego rzędu), pojawią się kolejne maksima, aby uzyskać więcej krótkie fale(fioletowy, niebieski), a następnie dłuższe (pomarańczowy, czerwony).
Kolejnym ważnym wnioskiem płynącym z tego wzoru jest zależność kąta θm od rzędu dyfrakcji. Im większe m, tym większa wartość θm. Oznacza to, że kolorowe linie będą bardziej od siebie oddzielone przy maksimach wysoki porządek dyfrakcja. Fakt ten został już podkreślony przy rozważaniu rozdzielczości siatki (patrz poprzedni akapit).
Opisane możliwości siatki dyfrakcyjnej pozwalają na wykorzystanie jej do analizy widm emisyjnych różnych obiektów świecących, w tym odległych gwiazd i galaktyk.
Przykład rozwiązania problemu
Pokażemy Ci, jak korzystać ze wzoru na siatkę dyfrakcyjną. Długość fali światła padającego na siatkę wynosi 550 nm. Konieczne jest określenie kąta, pod jakim zachodzi dyfrakcja pierwszego rzędu, jeżeli okres d wynosi 4 µm.
θ1 = arcsin(λ/d).
Przeliczamy wszystkie dane na jednostki SI i podstawiamy to równanie:
θ1 = arcsin(550*10-9/(4*10-6)) = 7,9o.
Jeżeli ekran znajduje się w odległości 1 metra od siatki, to od środka centralnego maksimum linia pierwszego rzędu dyfrakcyjnego dla fali 550 nm pojawi się w odległości 13,8 cm, co odpowiada kąt 7,9o.
Siatka dyfrakcyjna
Bardzo duża odblaskowa siatka dyfrakcyjna.
Siatka dyfrakcyjna- urządzenie optyczne działające na zasadzie dyfrakcji światła jest kombinacją duża liczba regularnie rozmieszczone pociągnięcia (szczeliny, występy) nałożone na określoną powierzchnię. Pierwszego opisu zjawiska dokonał James Gregory, który jako siatkę wykorzystał ptasie pióra.
Rodzaje krat
- Odblaskowy: Na powierzchnię lustrzaną (metalową) nakłada się pociągnięcia, a obserwację przeprowadza się w świetle odbitym
- Przezroczysty: Kreski nakłada się na przezroczystą powierzchnię (lub wycina w formie szczelin na nieprzezroczystym ekranie), obserwacja prowadzona jest w świetle przechodzącym.
Opis zjawiska
Tak wygląda światło żarowej latarki przechodzące przez przezroczystą siatkę dyfrakcyjną. Zero maksimum ( M=0) odpowiada światłu przechodzącemu przez siatkę bez odchylenia. Ze względu na dyspersję sieci w pierwszym ( M=±1) przy maksimum można zaobserwować rozkład światła na widmo. Kąt odchylenia rośnie wraz z długością fali (od fioletu do czerwieni)
Czoło fali świetlnej jest dzielone przez kratki na oddzielne wiązki spójnego światła. Wiązki te ulegają dyfrakcji na smugach i interferują ze sobą. Ponieważ każda długość fali ma swój własny kąt dyfrakcji, białe światło rozkłada się na widmo.
Formuły
Odległość, na jaką linie na siatce powtarzają się, nazywana jest okresem siatki dyfrakcyjnej. Oznaczone literą D.
Jeśli znana jest liczba uderzeń ( N), na 1 mm siatki, wówczas okres tarcia oblicza się ze wzoru: 0,001 / N
Wzór siatki dyfrakcyjnej:
D- okres tarcia, α - maksymalny kąt danej barwy, k - maksymalne zamówienie, λ - długość fali.Charakterystyka
Jedną z cech siatki dyfrakcyjnej jest dyspersja kątowa. Załóżmy, że maksimum pewnego rzędu obserwuje się pod kątem φ dla długości fali λ i pod kątem φ+Δφ dla długości fali λ+Δλ. Rozproszenie kątowe siatki nazywa się stosunkiem D=Δφ/Δλ. Wyrażenie na D można uzyskać różnicując wzór siatki dyfrakcyjnej
Zatem dyspersja kątowa wzrasta wraz ze zmniejszaniem się okresu siatki D i zwiększenie porządku widma k.
Produkcja
Dobre kraty wymagają bardzo dużej precyzji wykonania. Jeśli przynajmniej jedno z wielu gniazd zostanie umieszczone z błędem, krata będzie uszkodzona. Maszyna do wykonywania krat pomostowych jest solidnie i głęboko osadzona w specjalnym fundamencie. Przed rozpoczęciem właściwej produkcji krat, maszyna pracuje przez 5-20 godzin na biegu jałowym, aby ustabilizować wszystkie jej elementy. Cięcie kraty trwa do 7 dni, choć czas udaru to 2-3 sekundy.
Aplikacja
Siatki dyfrakcyjne znajdują zastosowanie w przyrządach spektralnych, także jako czujniki optyczne przemieszczeń liniowych i kątowych (siatki dyfrakcyjne pomiarowe), polaryzatory i filtry promieniowania podczerwonego, rozdzielacze wiązki w interferometrach oraz tzw. okulary „antyodblaskowe”.
Literatura
- Sivukhin D.V. Kurs ogólny fizyka. - Wydanie 3, stereotypowe. - M.: Fizmatlit, MIPT, 2002. - T. IV. Optyka. - 792 s. - ISBN 5-9221-0228-1
- Tarasow K.I., Urządzenia widmowe, 1968
Zobacz też
- Optyka Fouriera
Fundacja Wikimedia. 2010.
Zobacz, co oznacza „siatka dyfrakcyjna” w innych słownikach:
Urządzenie optyczne; zespół dużej liczby równoległych szczelin w nieprzezroczystym ekranie lub odblaskowych pasków lustrzanych (pasków), równomiernie oddalonych od siebie, na których zachodzi dyfrakcja światła. Siatka dyfrakcyjna rozkłada się... ... Wielki słownik encyklopedyczny
SIATKA DYFRAKCYJNA, płytka z nadrukowanymi równoległymi liniami równa odległość od siebie (do 1500 na 1 mm), co służy do uzyskania WIDM podczas DYFRAKCJI światła. Kratki transmisyjne są przezroczyste i wyłożone... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny
siatka dyfrakcyjna- Powierzchnia lustra z nałożonymi na nią mikroskopijnymi równoległymi liniami, urządzeniem rozdzielającym (podobnie jak pryzmat) padające na nią światło na składowe kolory widma widzialnego. Tematy technologia informacyjna V…
siatka dyfrakcyjna- difrakcinė gardelė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Optinis periodinės sandaros įtaisas difrakciniams spektrams gauti. atitikmenys: pol. siatka dyfrakcyjna vok. Beugungsgitter, n; Diffraktionsgitter, n rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
Urządzenie optyczne, zbiór dużej liczby równoległych szczelin w nieprzezroczystym ekranie lub odblaskowych pociągnięć (pasków) lustra, równomiernie oddalonych od siebie, na których zachodzi dyfrakcja światła. DR. rozkłada padające na nie światło na... ... Słownik astronomiczny
siatka dyfrakcyjna (w optycznych liniach komunikacyjnych)- siatka dyfrakcyjna Element optyczny o strukturze okresowej, który odbija (lub przepuszcza) światło pod jednym lub kilkoma różnymi kątami, w zależności od długości fali. Podstawą są okresowo powtarzające się zmiany wskaźnika... ... Przewodnik tłumacza technicznego
wklęsła siatka dyfrakcyjna widma- Widmowa siatka dyfrakcyjna wykonana na wklęsłej powierzchni optycznej. Uwaga Wklęsłe siatki dyfrakcyjne widma są dostępne w wersji sferycznej i asferycznej. [GOST 27176 86] Tematyka: optyka, przyrządy optyczne i pomiary... Przewodnik tłumacza technicznego
hologramowa siatka dyfrakcyjna widma- Siatka dyfrakcyjna widma, wytwarzana poprzez rejestrację wzoru interferencyjnego z dwóch lub więcej spójnych wiązek na materiale wrażliwym na promieniowanie. [GOST 27176 86] Tematyka: optyka, przyrządy optyczne i pomiary... Przewodnik tłumacza technicznego
gwintowana siatka dyfrakcyjna widma- Widmowa siatka dyfrakcyjna wykonana poprzez nałożenie smug na maszynie dzielącej. [GOST 27176 86] Tematyka: optyka, przyrządy optyczne i pomiary... Przewodnik tłumacza technicznego
