Lekcja wideo „Definicja sinusa i cosinusa na okręgu jednostkowym” zawiera materiał wizualny do lekcji na dany temat. Na lekcji omawiane są pojęcia sinusa i cosinusa dla liczb odpowiadających punktom na okręgu jednostkowym oraz opisano wiele przykładów rozwijających umiejętność rozwiązywania problemów tam, gdzie stosowana jest taka interpretacja pojęć. Wygodne i zrozumiałe ilustracje rozwiązań, szczegółowy tok rozumowania pozwalają szybko osiągnąć cele nauczania i zwiększyć efektywność lekcji.

Lekcja wideo rozpoczyna się od wprowadzenia tematu. Na początku demonstracji podana jest definicja sinusa i cosinusa liczby. Na ekranie pokazywany jest okrąg jednostkowy o środku w początku współrzędnych, zaznaczane są punkty przecięcia okręgu jednostkowego z osiami współrzędnych A, B, C, D. W ramce podświetlona jest definicja, która stwierdza, że jeśli punkt M należący do okręgu jednostkowego odpowiada pewnej liczbie t, to odcięta tego punktu jest cosinusem liczby t i jest oznaczona przez koszt t, rzędna punktu jest sinusem i jest oznaczona przez sin t . Wypowiedzeniu definicji towarzyszy obraz punktu M na okręgu jednostkowym ze wskazaniem jego odciętej i rzędnej. Krótką notację przedstawiono przy użyciu zapisu, że dla M(t)=M(x;y), x= koszt t, y= sin t. Wskazano ograniczenia nałożone na wartość cosinusa i sinusa liczby. Według zweryfikowanych danych, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.

Na rysunku łatwo też zobaczyć, jak zmienia się znak funkcji w zależności od ćwiartki, w której znajduje się punkt. Na ekranie tworzona jest tabela, w której dla każdej funkcji wskazany jest jej znak w zależności od kwartału. Znakiem kosztu t jest plus w pierwszym i czwartym kwartale oraz minus w drugim i trzecim kwartale. Znak grzechu to plus w pierwszej i drugiej ćwiartce, minus w trzeciej i czwartej ćwiartce.

Przypomina się uczniom równanie okręgu jednostkowego x 2 + y 2 = 1. Należy zauważyć, że po podstawieniu zamiast współrzędnych odpowiednich funkcji otrzymujemy cos 2 t+ sin 2 t=1 - główną tożsamość trygonometryczną. Stosując metodę wyznaczania sin t i kosztu t za pomocą okręgu jednostkowego, wypełnij tabelę podstawowych wartości sinusa i cosinusa dla liczb od 0 do 2π w przyrostach co π/4 oraz dla liczb od π/6 do 11π /6 w przyrostach co π/6. Tabele te są pokazane na ekranie. Korzystając z nich i rysunku, nauczyciel może sprawdzić, jak dobrze opanowano materiał i jak dobrze uczniowie rozumieją pochodzenie wartości grzechu i kosztu.

Rozważono przykład, w którym sin t i koszt t oblicza się dla t=41π/4. Rozwiązanie ilustruje rysunek przedstawiający okrąg jednostkowy ze środkiem w początku układu współrzędnych. Zaznaczony jest na nim punkt 41π/4. Należy zauważyć, że punkt ten pokrywa się z położeniem punktu π/4. Można to udowodnić przedstawiając ten ułamek jako ułamek mieszany 41π/4=π/4+2π·5. Korzystając z tabeli wartości cosinus, otrzymujemy wartości cos π/4=√2/2 i sinπ/4=√2/2. Z uzyskanych informacji wynika, że ​​cos 41π/4=√2/2 i sin 41π/4=√2/2.

W drugim przykładzie należy obliczyć sin t i koszt t dla t=-25π/3. Na ekranie pojawia się okrąg jednostkowy z zaznaczonym punktem t=-25π/3. Po pierwsze, aby rozwiązać problem, liczbę -25π/3 przedstawia się jako ułamek mieszany, aby ustalić, której wartości tabeli odpowiadają jej sin t i koszt t. Po przekształceniu otrzymujemy -25π/3=-π/3+2π·(-4). Oczywiście t=-25π/3 będzie pokrywać się na okręgu z punktem -π/3 lub 5π/3. Z tabeli wybieramy odpowiednie wartości sinusa i cosinusa cos 5π/3=1/2 i sin 5π/3=-√3/2. Wartości te będą prawidłowe dla rozpatrywanej liczby cos (-25π/3)=1/2 i sin (-25π/3)=-√3/2. Problem jest rozwiązany.

Podobnie rozwiązano przykład 3, w którym należy obliczyć sin t i koszt t dla t=37π. Aby rozwiązać przykład, liczba 37π jest rozwijana, izolując π i 2π. W tym przedstawieniu okazuje się, że 37π=π+2π·18. Na okręgu jednostkowym, który jest pokazany obok rozwiązania, punkt ten zaznaczony jest na przecięciu ujemnej części osi rzędnych z okręgiem jednostkowym – punkt π. Oczywiście wartości sinusa i cosinusa liczby będą pokrywać się z wartościami tabeli π. Z tabeli znajdujemy wartości sin π=-1 i cos π=0. W związku z tym te same wartości są pożądane, czyli sin 37π=-1 i cos 37π=0.

W przykładzie 4 wymagane jest obliczenie sin t i koszt t przy t=-12π. Liczbę reprezentujemy jako -12π=0+2π·(-6). Odpowiednio punkt -12π pokrywa się z punktem 0. Wartości cosinus i sinus tego punktu to sin 0=1 i cos 0=0. Wartości te są wymaganymi wartościami sin (-12π)=1 i cos (-12π)=0.

W piątym przykładzie trzeba rozwiązać równanie sin t=√3/2. Przy rozwiązywaniu równania stosuje się pojęcie sinusa liczby. Ponieważ reprezentuje on rzędną punktu M(t), konieczne jest znalezienie punktu o rzędnej √3/2. Z rysunku dołączonego do rozwiązania wynika, że ​​rzędna √3/2 odpowiada dwóm punktom – pierwszemu π/3 i drugiemu 2π/3. Biorąc pod uwagę okresowość funkcji, zauważamy, że t=π/3+2πk i t= 2π/3+2πk dla liczby całkowitej k.

W przykładzie 6 rozwiązano równanie z cosinusem - cos t=-1/2. Poszukując rozwiązań równania znajdujemy punkty na okręgu jednostkowym o odciętej 2π/3. Na ekranie wyświetlana jest figura, na której zaznaczona jest odcięta -1/2. Odpowiada to dwóm punktom na okręgu - 2π/3 i -2π/3. Uwzględniając okresowość funkcji, znalezione rozwiązanie zapisuje się w postaci t=2π/3+2πk i t=-2π/3+2πk, gdzie k jest liczbą całkowitą.

W przykładzie 7 rozwiązano równanie sin t-1=0. Aby znaleźć rozwiązanie, równanie przekształca się do sin t=1. Sinus 1 odpowiada liczbie π/2. Uwzględniając okresowość funkcji, znalezione rozwiązanie zapisuje się w postaci t=π/2+2πk, gdzie k jest liczbą całkowitą. Podobnie w przykładzie 8 rozwiązano równanie cos t+1=0. Przekształćmy równanie do postaci cos t=-1. Punkt, którego odcięta wynosi -1, odpowiada liczbie π. Punkt ten zaznaczony jest na okręgu jednostkowym pokazanym obok rozwiązania tekstowego. Odpowiednio rozwiązaniem tego równania jest liczba t=π+2πk, gdzie k jest liczbą całkowitą. Równanie cos t+1=1 w przykładzie 9 nie jest już trudniejsze. Przekształcając równanie otrzymujemy cos t=0. Na okręgu jednostkowym pokazanym obok rozwiązania zaznaczamy punkty -π/2 i -3π/2, w których cosinus przyjmuje wartość 0. Oczywiście rozwiązaniem tego równania będzie ciąg wartości t= π/2+πk, gdzie k jest liczbą całkowitą.

W przykładzie 10 porównane są wartości sin 2 i cos 3. Aby rozwiązanie było jasne, pokazano rysunek, w którym zaznaczono punkty 2 i 3. Wiedząc, że π/2≈1,57, szacujemy odległość punktów z tego. Rysunek pokazuje, że punkt 2 jest oddalony o 0,43 od π/2, podczas gdy 3 jest oddalony o 1,43, więc punkt 2 ma większą odciętą niż punkt 3. Oznacza to sin 2 > cos 3.

Przykład 11 opisuje obliczenie wyrażenia sin 5π/4. Ponieważ 5π/4 to π/4+π, stosując wzory redukcyjne, wyrażenie można przekształcić na - sin π/4. Z tabeli wybieramy jego wartość - sin π/4=-√2/2. Podobnie w przykładzie 12 znaleziono wartość wyrażenia cos7π/6. Przekształcając to do postaci cos(π/6+π) otrzymujemy wyrażenie - cos π/6. Wartość tabeli to cos π/6=-√3/2. Ta wartość będzie rozwiązaniem.

Następnie warto pamiętać o ważnych równościach, które pomagają w rozwiązywaniu problemów - są to sin(-t)= -sin t i cos (-t)=cos t. W rzeczywistości wyrażenie to odzwierciedla równość cosinusa i nieparzystość sinusa. Na obrazie okręgu jednostkowego obok równości widać, jak te równości działają na płaszczyźnie współrzędnych. Podano także dwie równości odzwierciedlające okresowość funkcji istotnych przy rozwiązywaniu problemów sin(t+2πk)= sin t i cos (t+2πk)=cos t. Pokazano równości odzwierciedlające symetryczny układ punktów na okręgu jednostkowym sin(t+π)= -sin t i cos (t+π)=-cos t. Obok równości tworzony jest obraz przedstawiający położenie tych punktów na okręgu jednostkowym. I ostatnie przedstawione równości sin(t+π/2)= cos t i cos (t+π/2)=- sin t.

Lekcję wideo „Definicja sinusa i cosinusa na okręgu jednostkowym” zaleca się wykorzystać podczas tradycyjnej lekcji matematyki w szkole, aby zwiększyć jej efektywność i zapewnić przejrzystość wyjaśnień nauczyciela. W tym samym celu materiał można wykorzystać podczas nauczania na odległość. Podręcznik może być również przydatny do rozwijania odpowiednich umiejętności rozwiązywania problemów u uczniów podczas samodzielnego opanowywania materiału.

DEKODOWANIE TEKSTU:

„Definicja sinusa i cosinusa na okręgu jednostkowym”.

Zdefiniujmy sinus i cosinus liczby

DEFINICJA: jeżeli punkt M okręgu jednostkowego liczbowego odpowiada liczbie t(te), to odcięta punktu M nazywana jest cosinusem liczby t(te) i oznacza koszt, a rzędną punktu M nazywa się sinusem liczby t(te) i oznacza się sint(fig).

Oznacza to, że jeśli M(t) = M (x,y)(em z te jest równe em o współrzędnych x i y), to x = koszt, y= sint (x jest równe cosinusowi te, y wynosi równy sinusowi te).W konsekwencji - 1≤ koszt ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (cosinus te jest większy lub równy minus jeden, ale mniejszy lub równy jedności; sinus te jest większy lub równy do minus jeden, ale mniejsze lub równe jeden).Wiedząc, że każdy punkt okrąg liczbowy ma własne współrzędne w układzie xOy, możesz utworzyć tabelę wartości sinusa i cosinusa według ćwiartek koła, gdzie wartość cosinus jest dodatnia w pierwszym i czwartym kwartale i odpowiednio ujemna w drugim i trzecie kwartały.

Wartość sinusa jest dodatnia w pierwszym i drugim kwartale, a zatem ujemna w trzecim i czwartym kwartale. (pokaż na rysunku)

Ponieważ równanie koła liczbowego ma postać x 2 + y 2 = 1 (x kwadrat plus y kwadrat równa się jeden), wtedy otrzymujemy równość:

(cosinus kwadrat te plus sinus kwadrat te równa się jeden).

Na podstawie tabel, które zebraliśmy przy wyznaczaniu współrzędnych punktów na okręgu numerycznym, sporządzimy tabele współrzędnych punktów na okręgu numerycznym dla wartości kosztu i sint.

Spójrzmy na przykłady.

PRZYKŁAD 1. Oblicz koszt t i sin t jeśli t = (te równa się czterdzieści jeden pi przez cztery).

Rozwiązanie. Liczba t = odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym co liczba, ponieważ = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (czterdzieści jeden pi razy cztery równa się sumie pi razy cztery i iloczyn dwa pi razy pięć). A dla punktu t = zgodnie z tabelą wartość cosinus 1 mamy cos = i sin =. Stąd,

PRZYKŁAD 2. Oblicz sałata t i grzech t, jeśli t = (te równa się minus dwadzieścia pięć pi przez trzy).

ROZWIĄZANIE: Liczba t = odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym co liczba, ponieważ = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (minus dwadzieścia pięć pi przez trzy jest równe suma minus pi przez trzy i iloczyn dwóch pi razy minus cztery). Liczba odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym, co liczba. A dla punktu t = zgodnie z tabelą 2 mamy cos = i sin =. Zatem cos () = i sin () =.

PRZYKŁAD 3. Oblicz koszt t i sin t jeśli t = 37π; (te równa się trzydzieści siedem pi).

ROZWIĄZANIE: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. Oznacza to, że liczba 37π odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym, co liczba π. Natomiast dla punktu t = π, zgodnie z tabelą 1, mamy cos π = -1, sin π = 0. Oznacza to cos37π = -1, sin37π = 0.

PRZYKŁAD 4. Oblicz koszt t i sin t jeśli t = -12π (równe minus dwanaście pi).

ROZWIĄZANIE: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), czyli liczba - 12π odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym, co liczba zero. Natomiast dla punktu t = 0, zgodnie z tabelą 1, mamy cos 0 = 1, sin 0 = 0. Oznacza to cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.

PRZYKŁAD 5. Rozwiąż równanie sin t = .

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę, że sin t jest rzędną punktu M(t) (em od te) koła liczbowego, znajdziemy punkty o rzędnej na okręgu liczbowym i zapiszemy, którym liczbom t odpowiadają. Jeden punkt odpowiada liczbie, a zatem dowolnej liczbie postaci + 2πk. Drugi punkt odpowiada liczbie, a zatem dowolnej liczbie postaci + 2πk. Odpowiedź: t = + 2πk, gdzie kϵZ (ka należy do zet), T= + 2πk, gdzie kϵZ (ka należy do zet).

PRZYKŁAD 6. Rozwiąż równanie cos t = .

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę, że koszt t jest odciętą punktu M(t) (em od te) koła liczbowego, znajdziemy punkty z odciętymi na okręgu liczbowym i zapiszemy, którym liczbom t odpowiadają. Jeden punkt odpowiada liczbie, a zatem dowolnej liczbie postaci + 2πk. Drugi punkt odpowiada liczbie lub, a zatem dowolnej liczbie postaci + 2πk lub + 2πk.

Odpowiedź: t = + 2πk, t=+ 2πk (lub ± + 2πk (plus minus dwa pi na trzy plus dwa pi ka), gdzie kϵZ (ka należy do zet).

PRZYKŁAD 7. Rozwiąż równanie cos t = .

Rozwiązanie. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, musisz znaleźć punkty z odciętą na okręgu liczbowym i zapisać, którym liczbom t odpowiadają.

Rysunek pokazuje, że dwa punkty E i S mają odciętą, ale nie możemy jeszcze powiedzieć, którym liczbom odpowiadają. Do tej kwestii wrócimy później.

PRZYKŁAD 8. Rozwiąż równanie sin t = - 0,3.

Rozwiązanie. Na okręgu liczbowym odnajdujemy punkty o rzędnej - 0,3 i zapisujemy, którym liczbom t odpowiadają.

Współrzędna - 0,3 ma dwa punkty P i H, ale nie możemy jeszcze powiedzieć, jakim liczbom one odpowiadają. Do tej kwestii również wrócimy później.

PRZYKŁAD 9. Rozwiąż równanie sin t -1 =0

Rozwiązanie. Przesuńmy minus jeden na prawą stronę równania i otrzymamy sinus te równy jeden (sin t = 1). Na okręgu liczbowym musimy znaleźć punkt, którego rzędna jest równa jeden. Punkt ten odpowiada liczbie, a zatem wszystkim liczbom postaci + 2πk (pi razy dwa plus dwa szczyty).

Odpowiedź: t = + 2πk, kϵZ(ka należy do zet).

PRZYKŁAD 10. Rozwiąż równanie koszt t + 1 = 0.

Przesuńmy jeden na prawą stronę równania, otrzymamy cosinus te równy minus jeden (cos t = - 1).Odcięta minus jeden ma punkt na okręgu liczbowym, który odpowiada liczbie π, a to oznacza wszystko liczby postaci π+2πk. Odpowiedź: t = π+ 2πk, kϵZ.

PRZYKŁAD 11. Rozwiąż równanie koszt t + 1 = 1.

Przesuńmy jednostkę na prawą stronę równania, otrzymamy cosinus te równy zeru (cos t = 0) Odcięta zero ma punkty B i D (rysunek 1), które odpowiadają liczbom itp. Liczby te można zapisać jako + πk. Odpowiedź: t = + πk, kϵZ.

PRZYKŁAD 12. Która z tych dwóch liczb jest większa, cos 2 czy cos 3? (cosinus dwóch lub cosinus trzech)

Rozwiązanie. Sformułujmy pytanie inaczej: na okręgu liczbowym zaznaczono punkty 2 i 3. Który z nich ma większą odciętą?

Na okręgu liczbowym zaznacz punkty 2 i 3. Pamiętaj o tym, oznacza to, że punkt 2 jest oddalony od okręgu o około 0,43 (punkt zerowy czterdzieści trzy setne) (2 -≈ 2 - 1,57 = 0,43), a punkt 3 o 1,43 (jeden przecinek czterdzieści trzy setne). Zatem punkt 2 jest bliżej punktu niż punkt 3, a więc ma większą odciętą (uwzględniliśmy, że obie odcięte są ujemne).

Odpowiedź: cos 2 > cos 3.

PRZYKŁAD 13. Oblicz grzech (sinus pięć pi razy cztery)

Rozwiązanie. sin(+ π) = - sin = (sinus pięć pi przez cztery równa się sumie pi przez cztery i pi równa się minus sinus pi przez cztery równa się minus pierwiastek dwa przez dwa).

PRZYKŁAD 14. Oblicz cos (cosinus siedem pi x sześć).

cos(+ π) = - cos =. (przedstawiliśmy siedem pi przez sześć jako sumę pi przez sześć i pi i zastosowaliśmy trzecią równość).

Dla sinusa i cosinusa otrzymujemy kilka ważnych wzorów.

1. Dla dowolnej wartości t prawdziwe są następujące równości:

grzech (-t) = -sin t

cos (-t) = koszt t

Sinus minus te jest równy minus sinus te

Cosinus minuty te jest równy cosinusowi te.

Z rysunku wynika, że ​​punkty E i L, symetryczne względem osi odciętych, mają tę samą odciętą, tzn.

cos(-t) = koszt, ale rzędne mają tę samą wielkość i przeciwny znak (oznacza to sin(- t) = - sint.

2. Dla dowolnej wartości t obowiązują następujące równości:

grzech (t+2πk) = grzech t

cos (t+2πk) = koszt t

Sinus te plus dwa pi jest równy sinus te

Cosinus te plus dwa pi jest równy cosinusowi te

Jest to prawdą, ponieważ liczby t i t+2πk odpowiadają temu samemu punktowi.

3. Dla dowolnej wartości t obowiązują następujące równości:

grzech (t+π) = -sin t

cos (t+π) = -cos t

Sinus te plus pi jest równy minus sinus te

cosinus te plus pi równa się minus cosinus te

Niech liczba t odpowiada punktowi E koła liczbowego, wówczas liczba t+π odpowiada punktowi L, który jest symetryczny względem punktu E względem początku układu współrzędnych. Rysunek pokazuje, że w tych punktach odcięta i rzędna mają taką samą wielkość i przeciwny znak. To znaczy,

cos(t +π)= - koszt;

grzech(t +π)= - sint.

4. Dla dowolnej wartości t obowiązują następujące równości:

grzech(t+) = koszt t

cos(t+) = -sin t

Sinus te plus pi przez dwa równa się cosinus te

Cosinus te dodać pi razy dwa równa się minus sinus te.

>> Koło liczbowe


Podczas zajęć z algebry dla klas 7-9 zajmowaliśmy się dotychczas funkcjami algebraicznymi, tj. funkcje określone analitycznie za pomocą wyrażeń, przy zapisie których skorzystaliśmy operacje algebraiczne nad liczbami i zmiennymi (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dział, potęgowanie, ekstrakcja pierwiastek kwadratowy). Ale modele matematyczne rzeczywistych sytuacji są często kojarzone z funkcjami innego typu, a nie algebraicznymi. W tym rozdziale poznamy pierwszych przedstawicieli klasy funkcji niealgebraicznych - funkcji trygonometrycznych. Funkcje trygonometryczne i inne typy funkcji niealgebraicznych (wykładnicze i logarytmiczne) będziesz uczyć się bardziej szczegółowo w szkole średniej.
Dla wprowadzenia funkcje trygonometryczne będziemy potrzebować nowego model matematyczny- okrąg liczbowy, którego jeszcze nie spotkałeś, ale bardzo dobrze znasz oś liczbową. Przypomnijmy, że oś liczbowa to linia prosta, na której podany jest punkt początkowy O, skala (odcinek jednostkowy) i kierunek dodatni. Dowolną liczbę rzeczywistą możemy porównać z punktem na prostej i odwrotnie.

Jak znaleźć odpowiedni punkt M na prostej za pomocą liczby x? Liczba 0 odpowiada punktowi początkowemu O. Jeśli x > 0, to poruszając się po linii prostej od punktu 0 w kierunku dodatnim, należy przejść n^ długości x; końcem tej ścieżki będzie pożądany punkt M(x). Jeśli x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

A jak rozwiązaliśmy problem odwrotny, tj. Jak znaleźć współrzędną x danego punktu M na osi liczbowej? Obliczyliśmy długość odcinka OM i przyjęliśmy ją ze znakiem „+” lub * - „w zależności od tego, po której stronie punktu O punkt M leży na prostej.

Ale w prawdziwe życie Trzeba poruszać się nie tylko po linii prostej. Dość często poruszanie się koło. Oto konkretny przykład. Potraktujmy bieżnię stadionu jako okrąg (w rzeczywistości nie jest to oczywiście okrąg, ale pamiętajmy, jak zwykle mówią komentatorzy sportowi: „biegacz przebiegł koło”, „została połowa koła” biec przed metą” itp.), jego długość wynosi 400 m. Start jest oznaczony – punkt A (ryc. 97). Biegacz z punktu A porusza się po okręgu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Gdzie będzie za 200 m? na 400 m? na 800 m? na 1500 m? Gdzie powinien wytyczyć linię mety, jeśli przebiegnie maraton na dystansie 42 km 195 m?

Po 200 m będzie w punkcie C, diametralnie naprzeciw punktu A (200 m to długość połowy bieżni, czyli długość połowy okręgu). Po przebiegnięciu 400 m (czyli „jednym okrążeniu”, jak mówią sportowcy) wróci do punktu A. Po przebiegnięciu 800 m (czyli „dwóch okrążeń”) ponownie znajdzie się w punkcie A. Ile wynosi 1500 m ? To „trzy koła” (1200 m) plus kolejne 300 m, tj. 3

Bieżnia – meta tego dystansu będzie w punkcie 2) (ryc. 97).

Musimy sobie po prostu poradzić z maratonem. Po przejechaniu 105 okrążeń zawodnik pokona dystans 105-400 = 42 000 m, tj. 42 km. Do mety pozostało 195 m, czyli o 5 m mniej niż połowa obwodu. Oznacza to, że metą dystansu maratonu będzie punkt M, położony niedaleko punktu C (ryc. 97).

Komentarz. Oczywiście, że rozumiesz konwencję ostatni przykład. Nikt nie biegnie wokół stadionu dystansu maratonu, maksymalny to 10 000 m, czyli tj. 25 okrążeń.

Po bieżni stadionowej możesz biegać lub chodzić dowolną długość. Oznacza to, że każda liczba dodatnia odpowiada pewnemu punktowi – „końcowi dystansu”. Co więcej, każdy może Liczba ujemna dopasuj punkt na okręgu: wystarczy, że sportowiec pobiegnie w przeciwnym kierunku, tj. zacznij od punktu A nie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Wtedy bieżnię stadionu można uznać za okrąg liczbowy.

W zasadzie za okrąg numeryczny można uznać dowolny okrąg, jednak w matematyce przyjęto do tego celu okrąg jednostkowy - okrąg o promieniu 1. To będzie nasza „bieżnia”. Długość b koła o promieniu K oblicza się ze wzoru Długość półkola wynosi n, a długość ćwiartki koła to AB, BC, SB, DA na ryc. 98 - równe Zgódźmy się nazwać łuk AB pierwszą ćwiartką koła jednostkowego, łuk BC drugą ćwiartką, łuk CB trzecią ćwiartką, łuk DA czwartą ćwiartką (ryc. 98). W tym przypadku zwykle mówimy o łuku otwartym, tj. o łuku bez końców (coś w rodzaju odcinka na osi liczbowej).


Definicja. Podano okrąg jednostkowy i zaznaczono na nim punkt początkowy A - prawy koniec średnicy poziomej (ryc. 98). Dopasujmy każdy z nich prawdziwy numer Wskazuję okrąg zgodnie z następującą zasadą:

1) jeśli x > 0, to poruszając się od punktu A w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (dodatni kierunek poruszania się po okręgu), opiszemy ścieżkę po okręgu długością, a punkt końcowy M tej ścieżki będzie pożądanym punkt: M = M(x);

2) jeśli x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

Powiążmy punkt A z 0: A = A(0).

Okrąg jednostkowy z ustaloną zgodnością (między liczbami rzeczywistymi a punktami na okręgu) będzie nazywany kołem liczbowym.
Przykład 1. Znajdź na okręgu liczbowym
Ponieważ pierwsze sześć z podanych siedmiu liczb jest dodatnich, aby znaleźć odpowiednie punkty na okręgu, musisz iść wzdłuż okręgu podana długość, poruszając się od punktu A w kierunku dodatnim. Weźmy to pod uwagę


Liczba 2 odpowiada punktowi A, ponieważ po przejściu po okręgu ścieżki o długości 2, tj. dokładnie jedno koło, ponownie dotrzemy do punktu początkowego A Zatem A = A(2).
Co się stało Oznacza to, że poruszając się od punktu A w kierunku dodatnim, musisz przejść przez cały okrąg.

Komentarz. Kiedy jesteśmy w 7 i 8 klasie pracował z osią liczbową, wówczas zgodziliśmy się, dla zachowania zwięzłości, że nie będziemy mówić „punkt na osi odpowiadający liczbie x”, ale „punkt x”. Podczas pracy z okręgiem liczbowym będziemy trzymać się dokładnie tej samej umowy: „punkt f” - oznacza to, że mówimy o punkcie na okręgu, który odpowiada liczbie
Przykład 2.
Dzieląc pierwszą ćwiartkę AB na trzy równe części przez punkty K i P, otrzymujemy:

Przykład 3. Znajdź punkty na okręgu liczbowym odpowiadające liczbom
Wykonamy konstrukcje korzystając z rys. 99. Odkładając łuk AM (jego długość wynosi -) z punktu A pięciokrotnie w kierunku ujemnym, otrzymujemy punkt!, - środek łuku BC. Więc,

Komentarz. Proszę zwrócić uwagę na niektóre swobody, z których korzystamy język matematyczny. Jest oczywiste, że łuk AK i długość łuku AK to różne rzeczy (pierwsza koncepcja jest taka figura geometryczna, a drugim pojęciem jest liczba). Ale oba są oznaczone w ten sam sposób: AK. Ponadto, jeśli punkty A i K są połączone odcinkiem, to zarówno powstały odcinek, jak i jego długość oznacza się w ten sam sposób: AK. Z kontekstu zwykle jasno wynika, jakie znaczenie ma oznaczenie (łuk, długość łuku, odcinek lub długość odcinka).

Dlatego bardzo przydatne nam będą dwa układy okręgów liczbowych.

PIERWSZY UKŁAD
Każda z czterech ćwiartek koła liczbowego jest podzielona na dwie równe części, a przy każdym z dostępnych ośmiu punktów zapisane są ich „nazwy” (ryc. 100).

DRUGI UKŁAD Każda z czterech ćwiartek koła liczbowego jest podzielona na trzy równe części, a przy każdym z dostępnych dwunastu punktów zapisane są ich „nazwy” (ryc. 101).


Należy pamiętać, że w obu układach możemy dane punkty przypisać inne „nazwy”.
Czy zauważyłeś to we wszystkich analizowanych przykładach długości łuków
wyrażone przez niektóre ułamki liczby n? Nie jest to zaskakujące: w końcu długość koła jednostkowego wynosi 2n, a jeśli podzielimy okrąg lub jego ćwiartkę na równe części, otrzymamy łuki, których długości wyrażone są w ułamkach liczby i. Czy myślisz, że można znaleźć punkt E na okręgu jednostkowym taki, że długość łuku AE jest równa 1? Rozwiążmy to:

Rozumując w podobny sposób dochodzimy do wniosku, że na okręgu jednostkowym można znaleźć punkt Eg, dla którego AE = 1, oraz punkt E2, dla którego AEr = 2, i punkt E3, dla którego AE3 = 3, oraz punkt E4, dla gdzie AE4 = 4 i punkt Eb, dla którego AEb = 5 i punkt E6, dla którego AE6 = 6. Na ryc. 102 zaznaczono odpowiednie punkty (w przybliżeniu) (dla orientacji każdą ćwiartkę okręgu jednostkowego podzielono myślnikami na trzy równe części).


Przykład 4. Znajdź punkt na okręgu liczbowym odpowiadający liczbie -7.

Musimy zaczynając od punktu A(0) i poruszając się w kierunku ujemnym (zgodnie z ruchem wskazówek zegara), przejść po okręgu o długości 7. Jeśli przejdziemy przez jedno koło, otrzymamy (w przybliżeniu) 6,28, co oznacza, że ​​nadal musimy przejść (w tym samym kierunku) ścieżką o długości 0,72. Co to za łuk? Trochę mniej niż pół ćwierćkola, tj. jego długość jest mniejsza niż liczba -.

Zatem na okręgu liczbowym, podobnie jak na osi liczbowej, każda liczba rzeczywista odpowiada jednemu punktowi (tylko oczywiście łatwiej ją znaleźć na prostej niż na okręgu). Ale w przypadku linii prostej jest również odwrotnie: każdemu punktowi odpowiada pojedyncza liczba. W przypadku koła liczbowego takie stwierdzenie nie jest prawdziwe, wielokrotnie widzieliśmy to powyżej. Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe w przypadku koła liczbowego.
Jeżeli punkt M koła liczbowego odpowiada liczbie I, to odpowiada także liczbie w postaci I + 2k, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą (k e 2).

W rzeczywistości 2n to długość okręgu numerycznego (jednostkowego), a liczba całkowita |th| można uznać za liczbę pełnych okrążeń koła w tym czy innym kierunku. Jeśli na przykład k = 3, oznacza to, że wykonujemy trzy okrążenia koła w kierunku dodatnim; jeśli k = -7, to oznacza to, że wykonujemy siedem (| k | = | -71 = 7) okrążeń koła w kierunku ujemnym. Ale jeśli jesteśmy w punkcie M(1), to po wykonaniu również | do | zataczając pełne koła po okręgu, ponownie znajdziemy się w punkcie M.

A.G. Algebra Mordkowicza 10. klasa

Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje planie kalendarza przez rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane Lekcje

Lekcja i prezentacja na temat: „Koło liczbowe na płaszczyźnie współrzędnych”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Podręczniki i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10 od 1C
Zadania algebraiczne z parametrami, klasy 9–11
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania konstrukcyjne dla klas 7-10

Co będziemy studiować:
1. Definicja.
2. Ważne współrzędne koła liczbowego.
3. Jak znaleźć współrzędne okręgu liczbowego?
4. Tabela głównych współrzędnych okręgu liczbowego.
5. Przykłady rozwiązywania problemów.

Definicja okręgu liczbowego na płaszczyźnie współrzędnych

Umieśćmy okrąg liczbowy w płaszczyźnie współrzędnych tak, aby środek okręgu pokrywał się z początkiem współrzędnych i przyjmijmy jego promień jako odcinek jednostkowy. Punkt początkowy okręgu liczbowego A łączy się z punktem (1;0).

Każdy punkt na okręgu liczbowym ma swoje własne współrzędne x i y w płaszczyźnie współrzędnych oraz:
1) dla $x > 0$, $y > 0$ - w pierwszym kwartale;
2) za x 0 $ – w drugim kwartale;
3) dla $x 4) dla $x > 0 $, $y
Dla dowolnego punktu $M(x; y)$ na okręgu liczbowym spełnione są następujące nierówności: $-1
Zapamiętaj równanie koła liczbowego: $x^2 + y^2 = 1$.

Ważne jest dla nas, aby nauczyć się znajdować współrzędne punktów na okręgu liczbowym przedstawionym na rysunku.

Znajdźmy współrzędne punktu $\frac(π)(4)$

Punkt $M(\frac(π)(4))$ oznacza środek pierwszego kwartału. Przerzućmy prostopadłą MR z punktu M na prostą OA i rozważmy trójkąt OMP.Ponieważ łuk AM jest połową łuku AB, to $∠MOP=45°$.
Zatem trójkąt OMP jest równoramienny trójkąt prostokątny i $OP=MP$, tj. w punkcie M odcięta i rzędna są równe: $x = y$.
Ponieważ współrzędne punktu $M(x;y)$ spełniają równanie okręgu liczbowego, to aby je znaleźć należy rozwiązać układ równań:
$\begin (przypadki) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (przypadki)$
Zdecydowawszy ten system, otrzymujemy: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Oznacza to, że współrzędne punktu M odpowiadającego liczbie $\frac(π)(4)$ będą wynosić $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
W podobny sposób obliczamy współrzędne punktów przedstawionych na poprzednim rysunku.

Współrzędne punktów na okręgu liczbowym



Spójrzmy na przykłady

Przykład 1.
Znajdź współrzędne punktu na okręgu liczbowym: $P(45\frac(π)(4))$.

Rozwiązanie:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Oznacza to, że liczba $45\frac(π)(4)$ odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym, co liczba $\frac(5π)(4)$. Patrząc na wartość punktu $\frac(5π)(4)$ w tabeli otrzymujemy: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Przykład 2.
Znajdź współrzędne punktu na okręgu liczbowym: $P(-\frac(37π)(3))$.

Rozwiązanie:

Ponieważ liczby $t$ i $t+2π*k$, gdzie k jest liczbą całkowitą, odpowiadają temu samemu punktowi na okręgu liczbowym, wówczas:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Oznacza to, że liczba $-\frac(37π)(3)$ odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym, co liczba $–\frac(π)(3)$, a liczba –$\frac(π) (3)$ odpowiada temu samemu punktowi, co $\frac(5π)(3)$. Patrząc na wartość punktu $\frac(5π)(3)$ w tabeli otrzymujemy:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Przykład 3.
Znajdź punkty na okręgu liczbowym o rzędnej $y =\frac(1)(2)$ i zapisz, jakim liczbom $t$ odpowiadają?

Rozwiązanie:
Prosta $y =\frac(1)(2)$ przecina okrąg liczbowy w punktach M i P. Punkt M odpowiada liczbie $\frac(π)(6)$ (z danych tabelarycznych). Oznacza to dowolną liczbę postaci: $\frac(π)(6)+2π*k$. Punkt P odpowiada liczbie $\frac(5π)(6)$, a zatem dowolnej liczbie postaci $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Otrzymaliśmy, jak to się często mówi w takich przypadkach, dwie serie wartości:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ i $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Odpowiedź: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ i $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Przykład 4.
Znajdź punkty na okręgu liczbowym z odciętą $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ i zapisz, którym liczbom $t$ odpowiadają.

Rozwiązanie:

Prosta $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ przecina okrąg liczbowy w punktach M i P. Nierówność $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ odpowiada do punktów łuku PM. Punkt M odpowiada liczbie $3\frac(π)(4)$ (z danych tabelarycznych). Oznacza to dowolną liczbę w postaci $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Punkt P odpowiada liczbie $-\frac(3π)(4)$, a zatem dowolnej liczbie postaci $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Następnie otrzymujemy $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Odpowiedź: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1) Znajdź współrzędne punktu na okręgu liczbowym: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Znajdź współrzędne punktu na okręgu liczbowym: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Znajdź punkty na okręgu liczbowym o rzędnych $y = -\frac(1)(2)$ i zapisz, którym liczbom $t$ odpowiadają.
4) Znajdź punkty na okręgu liczbowym o rzędnej $y ≥ -\frac(1)(2)$ i zapisz, którym liczbom $t$ odpowiadają.
5) Znajdź punkty na okręgu liczbowym z odciętą $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ i zapisz, którym liczbom $t$ odpowiadają.

Jeśli umieścisz okrąg z numerem jednostki na płaszczyźnie współrzędnych, możesz znaleźć współrzędne jego punktów. Okrąg liczbowy jest tak ustawiony, że jego środek pokrywa się z początkiem płaszczyzny, czyli punktem O (0; 0).

Zwykle na okręgu z numerem jednostkowym zaznaczone są punkty odpowiadające początkowi okręgu

  • ćwiartki - 0 lub 2π, π/2, π, (2π)/3,
  • ćwiartki środkowe - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
  • trzecie ćwiartek - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Na płaszczyźnie współrzędnych, na której znajduje się powyższe położenie okręgu jednostkowego, można znaleźć współrzędne odpowiadające tym punktom okręgu.

Współrzędne końcówek kwartałów są bardzo łatwe do znalezienia. W punkcie 0 okręgu współrzędna x wynosi 1, a współrzędna y wynosi 0. Możemy to oznaczyć jako A (0) = A (1; 0).

Koniec pierwszego kwartału będzie zlokalizowany na dodatniej osi Y. Dlatego B (π/2) = B (0; 1).

Koniec drugiej ćwiartki leży na ujemnej półosi: C (π) = C (-1; 0).

Koniec trzeciej kwarty: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ale jak znaleźć współrzędne środków ćwiartek? Aby to zrobić, skonstruuj trójkąt prostokątny. Jej przeciwprostokątna to odcinek od środka okręgu (lub początku) do środka ćwiartki okręgu. To jest promień okręgu. Ponieważ okrąg jest jednością, przeciwprostokątna wynosi 1. Następnie narysuj prostopadłą z punktu na okręgu do dowolnej osi. Niech będzie w kierunku osi x. Rezultatem jest trójkąt prostokątny, którego długości ramion są współrzędnymi x i y punktu na okręgu.

Ćwierć okręgu ma miarę 90°. A połowa ćwiartki to 45°. Ponieważ przeciwprostokątna jest narysowana do środka ćwiartki, kąt między przeciwprostokątną a nogą wystającą z początku wynosi 45°. Ale suma kątów dowolnego trójkąta wynosi 180°. W rezultacie kąt między przeciwprostokątną a drugą nogą również pozostaje 45°. W rezultacie otrzymujemy trójkąt prostokątny równoramienny.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie x 2 + y 2 = 1 2. Ponieważ x = y i 1 2 = 1, równanie upraszcza się do x 2 + x 2 = 1. Rozwiązując je, otrzymujemy x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Zatem współrzędne punktu M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

We współrzędnych punktów środków pozostałych ćwiartek zmienią się tylko znaki, a moduły wartości pozostaną takie same, ponieważ prawy trójkąt zostanie tylko odwrócony. Otrzymujemy:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Przy określaniu współrzędnych trzecich części ćwiartek koła konstruowany jest również trójkąt prostokątny. Jeśli weźmiemy punkt π/6 i narysujemy prostopadłą do osi x, to kąt pomiędzy przeciwprostokątną a nogą leżącą na osi x będzie wynosić 30°. Wiadomo, że noga leżąca naprzeciw kąta 30° jest równa połowie przeciwprostokątnej. Oznacza to, że znaleźliśmy współrzędną y, która jest równa ½.

Znając długości przeciwprostokątnej i jednej z nóg, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy drugą nogę:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Zatem T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Dla punktu drugiej tercji pierwszej ćwiartki (π/3) lepiej jest narysować prostopadłą do osi y. Wtedy kąt początkowy również będzie wynosił 30°. Tutaj współrzędna x będzie równa odpowiednio ½, a y odpowiednio √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

W przypadku pozostałych punktów trzeciej ćwiartki zmienią się znaki i kolejność wartości współrzędnych. Wszystkie punkty znajdujące się bliżej osi x będą miały wartość współrzędnej modułu x równą √3/2. Punkty znajdujące się bliżej osi y będą miały moduł y równy √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)