Równanie kwadratowe lub równanie algebraiczne drugiego stopnia z nieznanym w ogólna perspektywa jest napisane w następujący sposób:
Topór 2 + bx + c = 0,
- a, b, c to znane współczynniki, a a ≠ 0.
- x jest nieznane.
3x 2 + 8x - 5 = 0.
2. Rodzaje równań kwadratowych
Dzielenie obu stron równania przez A, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe:
x 2 + px + q = 0,
- p = b/a
- q = c/a
Jeżeli jeden ze współczynników pne lub oba są równe 0 w tym samym czasie równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.
- x 2 +8x-5=0 jest kompletnym zredukowanym równaniem kwadratowym.
- 3x 2 -5=0 nie jest kompletnym, nieredukowanym równaniem kwadratowym.
- x 2 -8x=0 nie jest całkowicie zredukowanym równaniem kwadratowym.
Niepełne równanie kwadratowe postaci
X2 = m
najprostsze i najważniejsze, ponieważ decyzja każdego równanie kwadratowe.
Możliwe są trzy przypadki:
- m = 0, x = 0
- m > 0, x = ±√‾m
- M< 0, x = ±i√‾m. Где i — мнимая единица, равная √‾-1.
3. Rozwiązywanie równania kwadratowego
Pierwiastki niezredukowanego pełnego równania kwadratowego można znaleźć za pomocą wzoru
x = (-b ± √‾(b 2 - 4ac)) / 2a
x = (7 ± √‾(1)) / 6
4. Własności pierwiastków równania kwadratowego. Dyskryminujący.
Zgodnie ze wzorem na pierwiastki równania kwadratowego mogą być trzy przypadki określone przez wyrażenie pierwiastkowe (b 2 - 4ac). To jest nazwane dyskryminujący(dyskryminacyjny).
Oznaczając dyskryminator literą D, możemy napisać:
- D > 0, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
- D = 0, równanie ma dwa równe pierwiastki rzeczywiste.
- D< 0, уравнение имеет два различных мнимых корня.
x = (-b ± √‾(b 2 - 4ac)) / 2a
x = (7 ± √‾(7 2 - 4×3×4)) / (2×3)
x = (7 ± √‾(1)) / 6
5. Formuły przydatne w życiu
Często występują problemy z przeliczeniem objętości na powierzchnię lub długość i problem odwrotny - przeliczenie powierzchni na objętość. Na przykład deski sprzedawane są w kostkach (metrach sześciennych) i musimy obliczyć, ile powierzchni ściany można pokryć deskami zawartymi w określonej objętości, patrz.
Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe to równanie postaci:
Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest trochę trudniejsze (tylko trochę) niż te.
Pamiętać, Każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora!
Nawet niekompletny.
Inne metody pomogą ci to zrobić szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw opanuj rozwiązanie za pomocą dyskryminatora.
1. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem dyskryminatora.
Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą tej metody jest bardzo proste, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów.
Jeśli, to równanie ma 2 pierwiastki. Szczególną uwagę należy zwrócić na krok 2.
Dyskryminator D informuje nas o liczbie pierwiastków równania.
- Jeśli, wówczas formuła w tym kroku zostanie zredukowana do. Zatem równanie będzie miało tylko pierwiastek.
- Jeśli, to nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora na tym etapie. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.
Przejdźmy do zmysł geometryczny równanie kwadratowe.
Wykresem funkcji jest parabola:
Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 9
Rozwiązać równanie
Krok 1 pomijamy.
Krok 2.
Znajdujemy wyróżnik:
Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki.
Krok 3.
Odpowiedź:
Przykład 10
Rozwiązać równanie
Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.
Krok 2.
Znajdujemy wyróżnik:
Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek.
Odpowiedź:
Przykład 11
Rozwiązać równanie
Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.
Krok 2.
Znajdujemy wyróżnik:
Oznacza to, że nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora. Równanie nie ma pierwiastków.
Teraz wiemy, jak poprawnie zapisać takie odpowiedzi.
Odpowiedź:żadnych korzeni
2. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety
Jeśli pamiętasz, istnieje rodzaj równania, który nazywa się zredukowanym (gdy współczynnik a jest równy):
Równania takie bardzo łatwo rozwiązać korzystając z twierdzenia Viety:
Suma pierwiastków dany równanie kwadratowe jest równe i iloczyn pierwiastków jest równy.
Wystarczy wybrać parę liczb, których iloczyn jest równy wolnemu członowi równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi, wziętemu z przeciwnym znakiem.
Przykład 12
Rozwiązać równanie
Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ .
Suma pierwiastków równania jest równa, tj. otrzymujemy pierwsze równanie:
A iloczyn jest równy:
Skomponujmy i rozwiążmy system:
- I. Kwota jest równa;
- I. Kwota jest równa;
- I. Kwota jest równa.
i są rozwiązaniem układu:
Odpowiedź: ; .
Przykład 13
Rozwiązać równanie
Odpowiedź:
Przykład 14
Rozwiązać równanie
Podane jest równanie, które oznacza:
Odpowiedź:
RÓWNANIA KWADRATOWE. ŚREDNI POZIOM
Co to jest równanie kwadratowe?
Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie - niewiadoma, - niektóre liczby i.
Liczba nazywana jest najwyższą lub pierwszy współczynnik równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, A - Wolny Członek.
Ponieważ jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknie.
W tym przypadku i może być równe zeru. W tym równaniu krzesła nazywa się niekompletny.
Jeśli wszystkie warunki są spełnione, to znaczy, że równanie jest kompletny.
Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych
Najpierw przyjrzyjmy się metodom rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych - są prostsze.
Wyróżniamy następujące typy równań:
I. , w tym równaniu współczynnik i Wolny Członek są równe.
II. , w tym równaniu współczynnik jest równy.
III. , w tym równaniu wolny termin jest równy.
Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu dla każdego z tych podtypów.
Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:
Liczba podniesiona do kwadratu nie może być liczbą ujemną, ponieważ po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Dlatego:
jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;
jeśli mamy dwa korzenie
Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniejsza.
Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych
Przykład 15
Odpowiedź:
Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!
Przykład 16
Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że równanie
żadnych korzeni.
Aby krótko zapisać, że problem nie ma rozwiązań, używamy ikony pustego zestawu.
Odpowiedź:
Przykład 17
Zatem to równanie ma dwa pierwiastki: i.
Odpowiedź:
Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:
Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:
Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.
Przykład:
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Rozważmy lewą stronę równania i znajdźmy pierwiastki:
Odpowiedź:
Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych
1. Dyskryminujący
Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.
Czy zauważyłeś pierwiastek z wyróżnika we wzorze na pierwiastki?
Ale dyskryminator może być ujemny.
Co robić?
Musimy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Dyskryminator informuje nas o liczbie pierwiastków równania.
- Jeśli, to równanie ma pierwiastki:
- Jeśli to równanie ma te same pierwiastki, a właściwie jeden pierwiastek:
Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.
- Jeśli, to pierwiastek dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.
Dlaczego to możliwe różne ilości korzenie?
Przejdźmy do geometrycznego znaczenia równania kwadratowego. Wykresem funkcji jest parabola:
W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe, .
Oznacza to, że pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią (osią) odciętej.
Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.
Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli, to w dół.
4 przykłady rozwiązywania równań kwadratowych
Przykład 18
Odpowiedź:
Przykład 19
Odpowiedź: .
Przykład 20
Odpowiedź:
Przykład 21
Oznacza to, że nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: .
2. Twierdzenie Viety
Korzystanie z twierdzenia Viety jest bardzo łatwe.
Wszystko czego potrzebujesz to ulec poprawie taka para liczb, której iloczyn jest równy wolnemu członowi równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi, wziętemu z przeciwnym znakiem.
Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować jedynie w zredukowane równania kwadratowe ().
Spójrzmy na kilka przykładów:
Przykład 22
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ . Inne współczynniki: ; .
Suma pierwiastków równania wynosi:
A iloczyn jest równy:
Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:
- I. Kwota jest równa;
- I. Kwota jest równa;
- I. Kwota jest równa.
i są rozwiązaniem układu:
Zatem i są pierwiastkami naszego równania.
Odpowiedź: ; .
Przykład 23
Rozwiązanie:
Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdźmy, czy ich suma jest równa:
i: dają w sumie.
i: dają w sumie. Aby uzyskać, wystarczy po prostu zmienić znaki rzekomych korzeni: a przecież i produkt.
Odpowiedź:
Przykład 24
Rozwiązanie:
Wolny wyraz równania jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest liczba ujemna. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Zatem suma pierwiastków jest równa różnice w ich modułach.
Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a których różnica jest równa:
i: ich różnica jest równa - nie pasuje;
oraz: - nie nadaje się;
oraz: - nie nadaje się;
oraz: - odpowiedni. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, pierwiastek o mniejszym module musi być ujemny: . Sprawdzamy:
Odpowiedź:
Przykład 25
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Podane jest równanie, które oznacza:
Wolny termin jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest ujemny. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.
Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określmy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:
Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:
Odpowiedź:
Przykład 26
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Podane jest równanie, które oznacza:
Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich iloczyn jest dodatni, oznacza to, że oba pierwiastki mają znak minus.
Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy:
Oczywiście pierwiastkami są liczby i.
Odpowiedź:
Zgadzam się, bardzo wygodnie jest wymyślić korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny dyskryminator.
Staraj się korzystać z twierdzenia Viety tak często, jak to możliwe!
Ale twierdzenie Viety jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znalezienie pierwiastków.
Aby móc z niego skorzystać, należy doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu rozwiąż pięć kolejnych przykładów.
Ale nie oszukuj: nie możesz używać dyskryminatora! Tylko twierdzenie Viety!
5 przykładów twierdzenia Viety na pracę niezależną
Przykład 27
Zadanie 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Zgodnie z twierdzeniem Viety:
Tradycyjnie selekcję zaczynamy od utworu:
Nie nadaje się ze względu na ilość;
: ilość jest dokładnie taka, jakiej potrzebujesz.
Odpowiedź: ; .
Przykład 28
Zadanie 2.
I znowu nasze ulubione twierdzenie Viety: suma musi być równa i iloczyn musi być równy.
Ale ponieważ tak nie musi być, ale zmieniamy znaki pierwiastków: i (w sumie).
Odpowiedź: ; .
Przykład 29
Zadanie 3.
Hmm... Gdzie to jest?
Musisz przenieść wszystkie terminy do jednej części:
Suma pierwiastków jest równa iloczynowi.
OK, przestań! Równanie nie jest podane.
Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w danych równaniach.
Najpierw musisz podać równanie.
Jeśli nie potrafisz przewodzić, porzuć ten pomysł i rozwiąż go w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminację).
Przypomnę, że podanie równania kwadratowego oznacza zrównanie współczynnika wiodącego:
Wtedy suma pierwiastków jest równa i iloczynowi.
Tutaj wybór jest tak prosty, jak obieranie gruszek: w końcu jest to liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).
Odpowiedź: ; .
Przykład 30
Zadanie 4.
Wolny członek jest ujemny.
Co jest w tym specjalnego?
Faktem jest, że korzenie będą miały różne znaki.
A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę w ich modułach: ta różnica jest równa, ale iloczyn.
Zatem pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus.
Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, to znaczy.
Oznacza to, że mniejszy pierwiastek będzie miał minus: i, ponieważ.
Odpowiedź: ; .
Przykład 31
Zadanie 5.
Co powinieneś zrobić najpierw?
Zgadza się, podaj równanie:
Ponownie: wybieramy współczynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:
Pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Który? Ich suma powinna być równa, co oznacza, że minus będzie miał większy pierwiastek.
Odpowiedź: ; .
Podsumować
- Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
- Korzystając z twierdzenia Viety, możesz znaleźć pierwiastki poprzez selekcję, ustnie.
- Jeśli równanie nie zostanie podane lub nie zostanie znaleziona odpowiednia para czynników terminu wolnego, wówczas nie ma pełnych pierwiastków i należy je rozwiązać w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminator).
3. Metoda wyboru całego kwadratu
Jeśli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą przedstawimy w postaci wyrazów ze skróconych wzorów na mnożenie – kwadratu sumy lub różnicy – to po zastąpieniu zmiennych równanie można przedstawić w postaci niepełnego równania kwadratowego typu.
Na przykład:
Przykład 32
Rozwiązać równanie: .
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
Przykład 33
Rozwiązać równanie: .
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
Ogólnie transformacja będzie wyglądać następująco:
Oznacza to: .
Nic Ci nie przypomina?
To dyskryminacja! Dokładnie w ten sposób otrzymaliśmy wzór na dyskryminację.
RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Równanie kwadratowe- jest to równanie postaci, w której - niewiadoma, - współczynniki równania kwadratowego, - człon wolny.
Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.
Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli: .
Niekompletne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:
- jeśli współczynnik, równanie wygląda następująco: ,
- jeżeli istnieje wyraz wolny, równanie ma postać: ,
- jeśli i, równanie wygląda następująco: .
1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych
1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:
1) Wyraźmy niewiadomą: ,
2) Sprawdź znak wyrażenia:
- jeżeli, to równanie nie ma rozwiązań,
- jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.
1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:
1) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: ,
2) Iloczyn jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem równanie ma dwa pierwiastki:
1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:
To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek: .
2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych w postaci gdzie
2.1. Rozwiązanie wykorzystujące dyskryminator
1) Sprowadźmy równanie do postaci standardowej: ,
2) Obliczmy dyskryminator korzystając ze wzoru: , który wskazuje liczbę pierwiastków równania:
3) Znajdź pierwiastki równania:
- jeśli, to równanie ma pierwiastki, które można znaleźć według wzoru:
- jeśli, to równanie ma pierwiastek, który można znaleźć za pomocą wzoru:
- jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.
2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety
Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równanie postaci gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , A.
2.3. Rozwiązanie metodą wyboru pełnego kwadratu
Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki pierwiastków rzeczywistych, wielokrotnych i zespolonych. Faktoryzacja trójmian kwadratowy. Interpretacja geometryczna. Przykłady wyznaczania pierwiastków i faktoringu.
TreśćZobacz też: Rozwiązywanie równań kwadratowych online
Podstawowe formuły
Rozważ równanie kwadratowe:
(1)
.
Pierwiastki równania kwadratowego(1) wyznaczane są według wzorów:
;
.
Formuły te można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wówczas wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (rozłożony na czynniki):
.
Zakładamy dalej, że - liczby rzeczywiste.
Rozważmy dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeśli dyskryminator jest dodatni, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
;
.
Wówczas rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeśli dyskryminator jest równy zero, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeśli dyskryminator jest ujemny, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa zespolone pierwiastki sprzężone:
;
.
Oto jednostka urojona;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
;
.
Następnie
.
Interpretacja graficzna
Jeśli budujesz wykres funkcji
,
co jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
Kiedy , wykres przecina oś x (oś) w dwóch punktach ().
Kiedy , wykres dotyka osi x w jednym punkcie ().
Gdy , wykres nie przecina osi x ().
Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego
Wykonujemy przekształcenia i stosujemy wzory (f.1) i (f.3):
,
Gdzie
;
.
Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
To pokazuje, że równanie
wystąpił o godz
I .
Oznacza to, że i są pierwiastkami równania kwadratowego
.
Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego
Przykład 1
(1.1)
.
.
Porównując z naszym równaniem (1.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator jest dodatni, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki:
;
;
.
Stąd otrzymujemy rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego:
.
Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.
Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Przecina oś odciętej (oś) w dwóch punktach:
I .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).
;
;
.
Przykład 2
Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1)
.
Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
.
Porównując z pierwotnym równaniem (2.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.
Wtedy rozkład na czynniki trójmianu ma postać:
.
Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.
Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Punkt ten jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest uwzględniony dwukrotnie:
,
wtedy taki pierwiastek nazywa się zwykle wielokrotnością. Oznacza to, że wierzą, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.
;
.
Przykład 3
Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1)
.
Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1)
.
Przepiszmy oryginalne równanie (3.1):
.
Porównując z (1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Dyskryminator jest ujemny, . Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.
Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;
.
Następnie
.
Wykres funkcji nie przecina osi x. Nie ma prawdziwych korzeni.
Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Nie przecina osi x (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.
Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.
Równania kwadratowe. Informacje ogólne.
W równanie kwadratowe musi być x do kwadratu (dlatego to się nazywa
"kwadrat") Oprócz tego równanie może (ale nie musi!) zawierać po prostu X (do pierwszej potęgi) i
tylko liczba (Wolny Członek). I nie powinno być żadnych X do potęgi większej niż dwa.
Równanie algebraiczne Ogólny wygląd.
Gdzie X- zmienna dowolna, A, B, C— współczynniki i A≠0 .
Na przykład: 
Wyrażenie 
zwany trójmian kwadratowy.
Elementy równania kwadratowego mają swoje własne nazwy:
nazywany pierwszym lub najwyższym współczynnikiem,
· zwany drugim lub współczynnikiem przy ,
· zwany wolnym członkiem.
Pełne równanie kwadratowe.
Te równania kwadratowe mają pełny zestaw terminów po lewej stronie. X do kwadratu c
współczynnik A, x do pierwszej potęgi ze współczynnikiem B I bezpłatny członekZ. W wszystkie współczynniki
musi być różna od zera.
Niekompletny jest równaniem kwadratowym, w którym co najmniej jeden ze współczynników, z wyjątkiem
człon wiodący (albo drugi współczynnik, albo człon wolny) jest równy zero.
Udawajmy, że B= 0, - X do pierwszej potęgi zniknie. Okazuje się na przykład:
2x 2 -6x=0,
I tak dalej. A jeśli oba współczynniki B I C są równe zero, wtedy wszystko jest jeszcze prostsze, Na przykład:
2x 2 = 0,
Zauważ, że x kwadrat pojawia się we wszystkich równaniach.
Dlaczego A nie może być równe zeru? Wtedy x kwadrat zniknie i równanie stanie się liniowy .
A rozwiązanie jest zupełnie inne...
Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.
Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe, do rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych stosuje się inne metody, które znajdziesz w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.
Jakie równania kwadratowe nazywane są kompletnymi? Ten równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zero. Zatem, aby rozwiązać pełne równanie kwadratowe, musimy obliczyć dyskryminator D.
D = b 2 – 4ac.
W zależności od wartości wyróżnika zapiszemy odpowiedź.
Jeżeli dyskryminator jest liczbą ujemną (D< 0),то корней нет.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x = (-b)/2a. Gdy dyskryminator jest liczbą dodatnią (D > 0),
wtedy x 1 = (-b - √D)/2a i x 2 = (-b + √D)/2a.
Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.
re = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odpowiedź: 2.
Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.
re = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Odpowiedź: brak korzeni.
Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Odpowiedź: – 3,5; 1.
Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych przy użyciu diagramu na rysunku 1.
Za pomocą tych wzorów można rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe. Trzeba tylko uważać równanie zapisano jako wielomian postaci standardowej
A x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie stwierdzić, że
a = 1, b = 3 i c = 2. Następnie
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. I to nie jest prawdą. (Patrz rozwiązanie przykładu 2 powyżej).
Jeżeli więc równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, to w pierwszej kolejności należy zapisać pełne równanie kwadratowe jako wielomian postaci standardowej (najpierw powinien pojawić się jednomian o największym wykładniku, czyli A x 2 , a potem mniej – bx a następnie darmowy członek Z.
Rozwiązując zredukowane równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem w drugim członie, możesz użyć innych wzorów. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym drugi wyraz ma parzysty współczynnik (b = 2k), to równanie można rozwiązać korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 2.
Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równe jeden i równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub można je otrzymać dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik A, stojąc przy x 2 .
Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązywania zredukowanego kwadratu 
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.
Przykład. Rozwiązać równanie
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Rozwiążmy to równanie, korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1.
re = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3
Można zauważyć, że współczynnik x w tym równaniu Liczba parzysta, czyli b = 6 lub b = 2k, skąd k = 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie korzystając ze wzorów podanych na schemacie rysunku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x – 2 = 0 Rozwiąż to równanie korzystając ze wzorów na zredukowane równanie kwadratowe 
równania rysunek 3.
re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3.
Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dokładnym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na ryc. 1 zawsze będziesz w stanie rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
