Na poprzednich lekcjach przyglądaliśmy się dwóm sposobom rozkładu wielomianu na czynniki: umieszczaniu wspólnego czynnika w nawiasach i metodzie grupowania.

W tej lekcji przyjrzymy się innemu sposobowi rozkładu wielomianu na czynniki stosując skrócone wzory na mnożenie.

Zalecamy zapisanie każdej formuły co najmniej 12 razy. Dla lepsze zapamiętywanie zapisz wszystkie wzory na skrócone mnożenie na małej ściągawce.

Przypomnijmy, jak wygląda wzór na różnicę kostek.

za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)

Różnica we wzorze kostek nie jest łatwa do zapamiętania, dlatego zalecamy użycie specjalnej metody, aby ją zapamiętać.

Ważne jest, aby zrozumieć, że działa również każda skrócona formuła mnożenia Odwrotna strona.

(a - b)(a 2 + ab + b 2) = za 3 - b 3

Spójrzmy na przykład. Konieczne jest uwzględnienie różnicy kostek.

Należy pamiętać, że „27a 3” to „(3a) 3”, co oznacza, że ​​dla wzoru na różnicę sześcianów zamiast „a” używamy „3a”.

Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów. Zamiast „a 3” mamy „27a 3”, a zamiast „b 3”, jak we wzorze, jest „b 3”.

Zastosowanie różnicy kostek w przeciwnym kierunku

Spójrzmy na inny przykład. Musisz przeliczyć iloczyn wielomianów na różnicę kostek, korzystając ze skróconej formuły mnożenia.

Należy pamiętać, że iloczyn wielomianów „(x − 1)(x 2 + x + 1)” przypomina prawą stronę różnicy wzoru sześcianów „”, tyle że zamiast „a” jest „x”, a na miejscu z „b” jest „1”.

Dla „(x − 1)(x 2 + x + 1)” używamy wzoru na różnicę sześcianów w przeciwnym kierunku.


Spójrzmy na bardziej skomplikowany przykład. Wymagane jest uproszczenie iloczynu wielomianów.

Jeśli porównamy „(y 2 − 1) (y 4 + y 2 + 1)” z prawą stroną wzoru na różnicę sześcianów
« za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)„, to można zrozumieć, że zamiast „a” z pierwszego nawiasu jest „y 2”, a zamiast „b” jest „1”.

Skrócone wzory lub reguły mnożenia są używane w arytmetyce, a dokładniej w algebrze, w celu przyspieszenia procesu obliczania dużych wyrażeń algebraicznych. Same wzory wywodzą się z istniejących w algebrze reguł mnożenia kilku wielomianów.

Zastosowanie tych wzorów zapewnia dość szybkie rozwiązanie różnych problemy matematyczne, a także pomaga uprościć wyrażenia. Zasady przekształceń algebraicznych pozwalają na dokonanie pewnych manipulacji na wyrażeniach, po czym można otrzymać po lewej stronie równości wyrażenie po prawej stronie lub przekształcić prawą stronę równości (aby otrzymać wyrażenie po lewej stronie po znaku równości).

Wygodnie jest znać wzory używane do skróconego mnożenia z pamięci, ponieważ są one często używane do rozwiązywania problemów i równań. Poniżej wymienione są główne formuły zawarte w ta lista i ich imię.

Kwadrat sumy

Aby obliczyć kwadrat sumy, musisz znaleźć sumę składającą się z kwadratu pierwszego wyrazu, dwukrotności iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego oraz kwadratu drugiego. W formie wyrażenia reguła ta jest zapisana w następujący sposób: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kwadratowa różnica

Aby obliczyć kwadrat różnicy, należy obliczyć sumę składającą się z kwadratu pierwszej liczby, dwukrotności iloczynu pierwszej liczby i drugiej (wziętej z przeciwnym znakiem) oraz kwadratu drugiej liczby. W formie wyrażenia zasada ta wygląda następująco: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Różnica kwadratów

Wzór na różnicę dwóch liczb do kwadratu jest równy iloczynowi sumy tych liczb i ich różnicy. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Sześcian sumy

Aby obliczyć sześcian sumy dwóch wyrazów, należy obliczyć sumę składającą się z sześcianu pierwszego wyrazu, potrójnego iloczynu kwadratu pierwszego wyrazu i drugiego, potrójnego iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego wyrazu do kwadratu i sześcian drugiego wyrazu. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Suma kostek

Zgodnie ze wzorem jest on równy iloczynowi sumy tych terminów i ich częściowy kwadrat różnice. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury utworzonej przez dodanie dwóch kostek. Znane są jedynie rozmiary ich boków.

Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są proste.

Jeśli długości boków wyrażone są uciążliwymi liczbami, wówczas w tym przypadku łatwiej jest zastosować wzór „Suma kostek”, co znacznie uprości obliczenia.

Kostka różnicowa

Wyrażenie różnicy sześciennej brzmi następująco: jako suma trzeciej potęgi pierwszego członu, potrójny iloczyn ujemny kwadratu pierwszego wyrazu przez drugi, potrójny iloczyn pierwszego wyrazu przez kwadrat drugiego wyrazu i sześcian ujemny drugiego członu. W formie wyrażenia matematycznego sześcian różnicy wygląda następująco: (a – c)³ = a³ – 3a²c + 3ac² – c³.

Różnica kostek

Wzór na różnicę kostek różni się od sumy kostek tylko jednym znakiem. Zatem różnica kostek jest wzorem równym iloczynowi różnicy tych liczb i ich niepełnego kwadratu sumy. W formie różnica kostek wygląda następująco: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury, która pozostanie po odjęciu liczby wolumetrycznej od objętości niebieskiej kostki żółty kolor, który jest również sześcianem. Znany jest tylko rozmiar boku małego i dużego sześcianu.

Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są dość proste. A jeśli długości boków wyrażone są w liczbach znaczących, warto zastosować wzór zatytułowany „Różnica kostek” (lub „Kostka różnicy”), co znacznie uprości obliczenia.

Skrócone wzory na mnożenie (FMF) służą do potęgowania i mnożenia liczb i wyrażeń. Często te formuły pozwalają na bardziej zwięzłe i szybkie wykonywanie obliczeń.

W tym artykule wymienimy podstawowe wzory na skrócone mnożenie, zgrupujemy je w tabeli, rozważymy przykłady użycia tych wzorów, a także zastanowimy się nad zasadami dowodu wzorów na skrócone mnożenie.

Po raz pierwszy temat FSU jest rozpatrywany w ramach kursu Algebra dla klasy 7. Poniżej znajduje się 7 podstawowych formuł.

Skrócone wzory na mnożenie

  1. wzór na kwadrat sumy: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
  2. wzór na różnicę kwadratową: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
  3. wzór na kostkę sumy: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
  4. wzór na kostkę różnicy: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
  5. wzór na różnicę kwadratową: a 2 - b 2 = a - b a + b
  6. wzór na sumę kostek: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
  7. wzór na różnicę sześcianów: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Litery a, b, c w tych wyrażeniach mogą być dowolnymi liczbami, zmiennymi lub wyrażeniami. Dla łatwości użycia lepiej nauczyć się na pamięć siedmiu podstawowych formuł. Zestawmy je w tabeli i przedstawmy poniżej, otaczając je ramką.

Pierwsze cztery formuły pozwalają obliczyć odpowiednio kwadrat lub sześcian sumy lub różnicy dwóch wyrażeń.

Piąta formuła oblicza różnicę między kwadratami wyrażeń, mnożąc ich sumę i różnicę.

Odpowiednio szósta i siódma formuła mnożą sumę i różnicę wyrażeń przez niepełny kwadrat różnicy i niepełny kwadrat sumy.

Skrócona formuła mnożenia jest czasami nazywana także skróconą tożsamością mnożenia. Nie jest to zaskakujące, ponieważ każda równość jest tożsamością.

Decydując praktyczne przykłady często używają skróconych wzorów na mnożenie z zamienioną lewą i prawą stroną. Jest to szczególnie wygodne podczas rozkładu wielomianu na czynniki.

Dodatkowe skrócone wzory na mnożenie

Nie ograniczajmy się do kursu algebry z 7. klasy i dodawajmy do naszej tabeli FSU jeszcze kilka formuł.

Najpierw spójrzmy na wzór dwumianu Newtona.

za + b n = do n 0 · za n + do n 1 · za n - 1 · b + do n 2 · za n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Tutaj C n k są współczynnikami dwumianu, które pojawiają się w linii nr n w trójkącie Pascala. Współczynniki dwumianowe oblicza się ze wzoru:

do n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Jak widać, FSU dla kwadratu i sześcianu różnicy oraz sumy wynosi szczególny przypadek Wzory dwumianowe Newtona odpowiednio dla n=2 i n=3.

Ale co, jeśli suma składa się z więcej niż dwóch wyrazów, które należy podnieść do potęgi? Przyda się wzór na kwadrat sumy trzech, czterech lub więcej wyrazów.

za 1 + za 2 + . . + za n 2 = za 1 2 + za 2 2 + . . + za n 2 + 2 za 1 za 2 + 2 za 1 za 3 + . . + 2 za 1 za n + 2 za 2 za 3 + 2 za 2 za 4 + . . + 2 za 2 za n + 2 za n - 1 za n

Innym wzorem, który może być przydatny, jest wzór na różnicę między n-tymi potęgami dwóch wyrazów.

za n - b n = za - b za n - 1 + za n - 2 b + za n - 3 b 2 + . . + za 2 b n - 2 + b n - 1

Wzór ten zwykle dzieli się na dwa wzory - odpowiednio na potęgi parzyste i nieparzyste.

Dla wskaźników nawet 2m:

za 2 m - b 2 m = za 2 - b 2 za 2 m - 2 + za 2 m - 4 b 2 + za 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Dla wykładników nieparzystych 2m+1:

za 2 m + 1 - b 2 m + 1 = za 2 - b 2 za 2 m + za 2 m - 1 b + za 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Różnica kwadratów i różnica sześcianów, jak się domyślasz, są specjalnymi przypadkami tego wzoru odpowiednio dla n = 2 i n = 3. W przypadku różnicy kostek b zastępuje się także - b.

Jak czytać skrócone wzory na mnożenie?

Podamy odpowiednie sformułowania dla każdego wzoru, ale najpierw zrozumiemy zasadę czytania wzorów. Najwygodniej jest to zrobić na przykładzie. Weźmy pierwszy wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

za + b 2 = za 2 + 2 za b + b 2 .

Mówią: kwadrat sumy dwóch wyrażeń aib jest równy sumie kwadratu pierwszego wyrażenia, dwukrotności iloczynu wyrażeń i kwadratu drugiego wyrażenia.

Wszystkie pozostałe formuły czyta się podobnie. Dla kwadratu różnicy a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 piszemy:

kwadrat różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia.

Przeczytajmy wzór a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Sześcian sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń, potrójnemu iloczynowi kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie i potrójnemu iloczynowi kwadratu drugiego wyrażenia przez pierwsze wyrażenie.

Przejdźmy do przeczytania wzoru na różnicę kostek a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Sześcian różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu drugiego wyrażenia i pierwszego wyrażenia , minus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąty wzór a 2 - b 2 = a - b a + b (różnica kwadratów) brzmi następująco: różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy i sumie dwóch wyrażeń.

Dla wygody wyrażenia takie jak a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 nazywane są odpowiednio niepełnym kwadratem sumy i niepełnym kwadratem różnicy.

Biorąc to pod uwagę, wzory na sumę i różnicę kostek można odczytać w następujący sposób:

Suma kostek dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń i częściowego kwadratu ich różnicy.

Różnica między sześcianami dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy między tymi wyrażeniami i częściowym kwadratem ich sumy.

Dowód FSU

Udowodnienie FSU jest dość proste. W oparciu o właściwości mnożenia będziemy mnożyć części wzorów w nawiasach.

Rozważmy na przykład wzór na kwadrat różnicy.

za - b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .

Aby podnieść wyrażenie do drugiej potęgi, należy je pomnożyć przez samo to wyrażenie.

a - b 2 = a - b a - b .

Rozwińmy nawiasy:

za - b za - b = za 2 - za b - b za + b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .

Formuła jest sprawdzona. Pozostałe FSU są udowodnione podobnie.

Przykłady zastosowań FSU

Celem stosowania skróconych wzorów na mnożenie jest szybkie i zwięzłe mnożenie oraz podnoszenie wyrażeń do potęg. Nie jest to jednak cały zakres stosowania FSU. Są szeroko stosowane w redukowaniu wyrażeń, redukowaniu ułamków i rozkładaniu na czynniki wielomianów. Podajmy przykłady.

Przykład 1. FSU

Uprośćmy wyrażenie 9 y - (1 + 3 y) 2.

Zastosujmy wzór na sumę kwadratów i otrzymamy:

9 lat - (1 + 3 lata) 2 = 9 lat - (1 + 6 lat + 9 lat 2) = 9 lat - 1 - 6 lat - 9 lat 2 = 3 lat - 1 - 9 lat 2

Przykład 2. FSU

Skróćmy ułamek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Zauważamy, że wyrażeniem w liczniku jest różnica kostek, a w mianowniku różnica kwadratów.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Zmniejszamy i otrzymujemy:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU pomagają również obliczyć wartości wyrażeń. Najważniejsze jest, aby móc zauważyć, gdzie zastosować formułę. Pokażmy to na przykładzie.

Podnieśmy liczbę 79 do kwadratu. Zamiast uciążliwych obliczeń napiszmy:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Wydawałoby się, że złożone obliczenia można to zrobić szybko, używając skróconych wzorów na mnożenie i tabliczek mnożenia.

Kolejnym ważnym punktem jest wybór kwadratu dwumianu. Wyrażenie 4 x 2 + 4 x - 3 można przekształcić na 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane w integracji.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Skrócone wzory na mnożenie.

Badanie skróconych wzorów mnożenia: kwadratu sumy i kwadratu różnicy dwóch wyrażeń; różnica kwadratów dwóch wyrażeń; sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń; sumy i różnice kostek dwóch wyrażeń.

Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.

Aby uprościć wyrażenia, rozłożyć wielomiany i sprowadzić wielomiany do postaci standardowej, stosuje się skrócone wzory na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie należy znać na pamięć.

Niech a, b R. Następnie:

1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2

2. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2

3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy tych wyrażeń i ich sumy.

za 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Sześcian sumy dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.

(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kostka różnicowa dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego wyrażenia minus sześcian drugiego wyrażenia.

(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia oraz niepełnego kwadratu różnicy tych wyrażeń.

za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)

7. Różnica kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.

za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)

Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład 1.

Oblicz

a) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, mamy

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń, otrzymujemy

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Przykład 2.

Oblicz

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń, otrzymujemy

Przykład 3.

Uprość wyrażenie

(x - y) 2 + (x + y) 2

Skorzystajmy ze wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Skrócone wzory mnożenia w jednej tabeli:

(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
za 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)