Z kurs szkolny matematycy wiedzą, że trójmian kwadratowy rozumiany jest jako wyraz postaci

topór 2 + bx + c, gdzie a ≠ 0.

Pierwiastki tego trójmianu oblicza się ze wzoru: X 1,2 = (-b ± √D) / (2a), gdzie D = b 2 – 4ac.

Nazywa się D dyskryminujący. Ma to ogromne znaczenie przy rozwiązywaniu problemów na ten temat, ponieważ określa liczbę pierwiastków trójmianu.

Są dwa z nich – jeśli D > 0, jeden – jeśli D = 0(czasami mówią, że dwa są identyczne, tj. x 1 = x 2 = -b/(2a)), a jeśli D< 0, то действительных корней нет.

Funkcję postaci (*) y = ax 2 + bx + c, gdzie a ≠ 0 nazywa się kwadratową. Jego wykresem jest parabola, której ramiona są skierowane w górę, jeśli a > 0 i w dół, jeśli a< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Punkt przecięcia paraboli z osią OU wynosi c. Łatwo jest wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli (m ;n).

m = (x 1 + x 2)/2 lub (**) m = -b/(2a).

n można obliczyć, zastępując we wzorze wartość m zamiast x

y = ax 2 + bx + c lub użyj wzoru y = -D/(4a).

Jeśli w trójmianie kwadratowym izolowamy idealny kwadrat, to m i n będą obecne w zapisie w formie jawnej: (***) y = a(x – m) 2 + n.

Prawie wszystko jest tutaj zaprezentowane materiał referencyjny niezbędne do rozwiązania problemów na zadany temat. Spójrzmy na kilka przykładów zadań.

Przykład 1.

Dla jakich wartości a wierzchołek paraboli y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 leży w drugiej ćwiartce płaszczyzny współrzędnych?

Rozwiązanie.

Funkcja kwadratowa jest zapisana w postaci wyróżnionego doskonałego kwadratu (***).

Wtedy jasne jest, że m = 13a i n = -a 2 + 6a + 16. Aby wierzchołek o współrzędnych (m; n) znajdował się w drugiej ćwiartce, konieczne jest, aby m< 0, n >0. Warunki muszą być spełnione jednocześnie. Rozwiązujemy zatem układ nierówności:

(13a< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0

Z pierwszej nierówności mamy a< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).

Odpowiedź: dla wszystkich a Є(-2: 0) lub dla -2< a < 0.

Przykład 2.

Przy jakich wartościach parametru a najwyższa wartość funkcja y = ax 2 – 2x + 7a równa się 6?

Rozwiązanie.

Funkcja kwadratowa będzie miała największą wartość tylko wtedy, gdy ramiona paraboli będą skierowane w dół (tj.< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем

m = 2/2a. re = 4 – 28a 2 .

Wtedy n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; lub 7a 2 – 1 = 6a.

Po rozwiązaniu powstałego równania mamy a = 1 lub a = -1/7. Ale a = 1 nie spełnia pierwszego warunku.

Odpowiedź: przy a = -1/7.

Przykład 3.

Znajdź liczbę wartości całkowitych parametru a, dla którego równanie
a) |x 2 – 8x + 7| = za 2; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 ma 4 pierwiastki.

Rozwiązanie.

a) Tutaj najkrótszą metodą rozwiązania jest metoda graficzna. Plan jest następujący:

1. Zbuduj wykres funkcji y = x 2 – 8x + 7 (parabola).

2. Wtedy y = |x 2 – 8x + 7| (wyświetl dół wykresu względem OX).

Dalszy przebieg rozwiązania wynika z rysunku. Linia prosta przetnie wykres w czterech punktach, jeśli wynosi 0< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.

Odpowiedź: 4.

b) Rozwiązanie tego przykładu przeprowadza się według tego samego schematu. Jedyna różnica polega na tym, że podczas rysowania funkcji y = |x 2 – 6|x| – 16| będziesz musiał wykonać dwa wyświetlacze: względem OX dolnej części wykresu i względem jednostki organizacyjnej - po prawej stronie. Jeśli poprawnie narysujesz wykres, łatwo znajdziesz 7 rozwiązań:
a = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;

Przykład 4.

Dla jakich wartości a wykres trójmianu kwadratowego y = ax 2 + (a – 3)x + a leży powyżej osi x?

Rozwiązanie.

Przeprowadźmy następujące rozumowanie. Wykres trójmianu kwadratowego będzie leżał powyżej osi OX tylko wtedy, gdy ramiona paraboli będą skierowane w górę, tj.

a > 0 (*), a parabola nie przecina osi OX, tj. D< 0 или

(a – 3) 2 – 4a 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → a Є (-∞; -3) lub (1; ∞). Uwzględniając warunek (*), otrzymujemy Є (1; ∞).

Odpowiedź: a Є (1; ∞).

Przykład 5.

Dla jakich wartości a wykres trójmianu kwadratowego y = ax 2 + (a – 3)x + a ma dwa punkty wspólne z dodatnią częścią osi OX?

Rozwiązanie.

Spójrzmy na warunki dla współczynników: (patrz rysunek poniżej)

1. Otrzymujemy dwa punkty przecięcia z osią OX jeśli
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0

2. Punkty będą po tej samej stronie zera, jeśli gałęzie będą skierowane w górę i f(0) = a > 0 lub w przypadku, gdy gałęzie będą skierowane w dół i f(0) = a< 0

3. Obydwa pierwiastki będą dodatnie, jeśli współrzędna x wierzchołka będzie dodatnia, tj. m = -(a – 3)/(2a) > 0.

W oparciu o powyższe nasze warunki zostaną zredukowane do rozwiązania dwóch układów:

Pierwszy system:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a > 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0

Upraszczając, otrzymujemy:

((3a – 3)(a + 3)< 0,
(a > 0,
((a – 3)< 0

(a Є (-3; 1),
(a Є (0; ∞),
(a Є (-∞; 3)

i ogólne rozwiązanie układu a Є(0; 1).

Drugi system:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(A< 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0

Upraszczając, otrzymujemy:

((3a – 3)(a + 3)< 0,
(A< 0,
((a – 3) > 0

Rozwiązania każdej z nierówności:

(a Є (-3; 1)
(a Є (-∞; 0)
(a Є (3; ∞)

i układ nie ma rozwiązań

Zatem nasz parabola ma dwa punkty wspólne z dodatnim kierunkiem osi OX, jeśli parametr a Є (0; 1).

Przykład 6.

Dla jakich wartości a są pierwiastki równania 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2 = 0 większe niż 3?

Rozważmy wykres trójmianu kwadratowego y = 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2.

Plan rozwiązania tego zadania zbudujemy na podstawie poprzedniego przykładu.

1. Otrzymujemy dwa punkty przecięcia z osią OX, jeśli D > 0 i a ≠ 0.

2. Gałęzie tutaj są zawsze skierowane tylko w górę
(dla a ≠ 0; 4a 2 > 0).

3. Punkty będą po tej samej stronie liczby 3, jeśli f(3) > 0.
(36a 2 – 24a + 4 – 9a 2 > 0).

4. Obydwa pierwiastki będą większe (w prawo) od trzech, jeśli współrzędna x wierzchołka będzie większa (w prawo) od trzech, tj. m = 8a/(8a 2) > 3.

Jeśli prawidłowo użyjesz tych warunków, to odpowiedź uzyskać to: a Є(0;2/9). Sprawdź to.

Mam nadzieję, że teraz staje się jasne dla czytelnika, jak ważna jest możliwość wyraźnego zobaczenia właściwości paraboli przy rozwiązywaniu tego typu problemów.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązać równania kwadratowe?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Definicja

Parabola zwany wykresem funkcja kwadratowa$y = ax^(2) + bx + c$, gdzie $a \neq 0$.

Wykres funkcji $y = x^2$.

Aby schematycznie wykreślić wykres funkcji $y = x^2$, znajdziemy kilka punktów spełniających tę równość. Dla wygody współrzędne tych punktów zapisujemy w formie tabeli:

Wykres funkcji $y = ax^2$.

Jeżeli współczynnik $a > 0$, to wykres $y = ax^2$ otrzymujemy z wykresu $y = x^2$ albo poprzez pionowe rozciąganie (dla $a > 1$) albo kompresję do $x$ oś (za 0,00 USD)< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$ $y = \dfrac(x^2)(2)$


Jeśli $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$ $y = -2x^2$ $y = - \dfrac(x^2)(2)$



Wykres funkcji kwadratowej.

Aby wykreślić funkcję $y = ax^2 + bx + c$, musisz wyizolować pełny kwadrat z trójmianu kwadratowego $ax^2 + bx + c$, czyli przedstawić go w postaci $a(x - x_0)^2 + y_0$ . Wykres funkcji $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ otrzymujemy z odpowiedniego wykresu $y = ax^2$ poprzez przesunięcie o $x_0$ wzdłuż osi $x$ i o $y_0$ wzdłuż osi $y$. W rezultacie punkt $(0;0)$ zostanie przesunięty do punktu $(x_0;y_0)$.

Definicja

Szczyt parabola $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ jest punktem o współrzędnych $(x_0;y_0)$.

Skonstruujmy parabolę $y = 2x^2 - 4x - 6$. Wybierając cały kwadrat, otrzymujemy $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

Wykreślmy $y = 2x^2$ Przesuńmy to w prawo o 1 I w dół o 8



Rezultatem jest parabola z wierzchołkiem w punkcie $(1;-8)$.

Wykres funkcji kwadratowej $y = ax^2 + bx + c$ przecina oś $y$ w punkcie $(0; c)$ i oś $x$ w punktach $(x_(1,2) ;0)$, gdzie $ x_(1,2)$ są pierwiastkami równania kwadratowego $ax^2 + bx + c = 0$ (a jeśli równanie nie ma pierwiastków, to odpowiadająca im parabola nie przecina $ oś x$).

Na przykład parabola $y = 2x^2 - 4x - 6$ przecina osie w punktach $(0; -6)$, $(-1; 0)$ i $(3; 0)$.

Wykres trójmianu kwadratowego

2019-04-19

Trójmian kwadratowy

Trójmian kwadratowy nazwaliśmy całą funkcją wymierną drugiego stopnia:

$y = topór^2 + bx + c$, (1)

gdzie $a \neq 0$. Udowodnimy, że wykresem trójmianu kwadratowego jest parabola otrzymana przez równoległe przesunięcia (w kierunkach osi współrzędnych) od paraboli $y = ax^2$. Aby to zrobić, przedstawiamy wyrażenie (1) za pomocą prostego przemiany tożsamości do głowy

$y = a(x + \alfa)^2 + \beta$. (2)

Odpowiednie przekształcenia opisane poniżej są znane jako „dokładne ekstrahowanie do kwadratu”:

$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x \right) + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \right) - \frac (b^2)(4a) + c = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")

Zredukowaliśmy trójmian kwadratowy do postaci (2); w której

$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$

(wyrażeń tych nie należy zapamiętywać; wygodniej jest za każdym razem bezpośrednio przekształcić trójmian (1) do postaci (2).

Teraz jest jasne, że wykresem trójmianu (1) jest parabola równa paraboli $y = ax^2$ i uzyskana poprzez przesunięcie paraboli $y = ax^2$ w kierunkach osi współrzędnych o $\ alfa$ i $\beta$ (biorąc pod uwagę znak $\alpha$ i $\beta$). Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie $(- \alpha, \beta)$, jej osią jest prosta $x = - \alpha$. Dla $a > 0$ wierzchołek jest najniższym punktem paraboli, dla $a
Przeprowadźmy teraz badanie trójmianu kwadratowego, tj. poznamy jego właściwości w zależności od wartości liczbowych współczynników $a, b, c$ w jego wyrażeniu (1).

W równości (2") oznaczamy wartość $b^2- 4ac$ przez $d$:

$y = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ nazywa się dyskryminatorem trójmianu kwadratowego. O właściwościach trójmianu (1) (i położeniu jego wykresu) decydują znaki dyskryminatora $d$ i wiodący współczynnik $a$.


1) $a > 0, d 0$; ponieważ $a > 0$, to graf znajduje się powyżej wierzchołka $O^( \prime)$; leży w górnej półpłaszczyźnie ($y > 0$ - rys. a.).

2) $za
3) $a > 0, d > 0$. Wierzchołek $O^( \prime)$ leży poniżej osi $Ox$, parabola przecina oś $Ox$ w dwóch punktach $x_1, x_2$ (ryc. c.).

4) $0 $. Wierzchołek $O^( \prime)$ leży powyżej osi $Ox$, parabola ponownie przecina oś $Ox$ w dwóch punktach $x_1, x_2$ (rys. d).

5) $a > 0, d = 0$. Wierzchołek leży na samej osi $Wół$, parabola znajduje się w górnej półpłaszczyźnie (rys. e).

6) $za
Wnioski. Jeśli $d 0$) lub mniej (jeśli $a
Jeśli $d > 0$, to funkcja jest przemienna (wykres leży częściowo poniżej, a częściowo powyżej osi $Ox$). Trójmian kwadratowy, w którym $d > 0$ ma dwa pierwiastki (zera) $x_1, x_2$. Dla $a > 0$ jest ona ujemna w przedziale między pierwiastkami (ryc. c) i dodatnia poza tym przedziałem. Przy $a

Lekcja: Jak skonstruować parabolę lub funkcję kwadratową?

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Parabola jest wykresem funkcji opisanej wzorem ax 2 +bx+c=0.
Aby zbudować parabolę, należy postępować zgodnie z prostym algorytmem:

1) Wzór na parabolę y=ax 2 +bx+c,
Jeśli a>0 wówczas skierowane są gałęzie paraboli w górę,
w przeciwnym razie gałęzie paraboli są skierowane w dół.
Wolny Członek C punkt ten przecina parabolę z osią OY;

2), oblicza się za pomocą wzoru x=(-b)/2a, podstawiamy znaleziony x do równania paraboli i znajdujemy y;

3)Zera funkcji lub innymi słowy punkty przecięcia paraboli z osią OX, nazywane są również pierwiastkami równania. Aby znaleźć pierwiastki, przyrównujemy równanie do 0 topór 2 +bx+c=0;

Rodzaje równań:

a) Kompletne równanie kwadratowe wygląda jak topór 2 +bx+c=0 i jest rozwiązywany przez dyskryminator;
b) Niepełne równanie kwadratowe postaci topór 2 +bx=0. Aby rozwiązać ten problem, musisz wyjąć x z nawiasów, a następnie przyrównać każdy współczynnik do 0:
topór 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 i ax+b=0;
c) Niepełne równanie kwadratowe postaci topór 2 +c=0. Aby go rozwiązać, musisz przesunąć niewiadome na jedną stronę, a wiadome na drugą. x =±√(c/a);

4) Znajdź kilka dodatkowych punktów, aby skonstruować funkcję.

CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

I tak teraz na przykładzie przeanalizujemy wszystko krok po kroku:
Przykład 1:
y=x2 +4x+3
c=3 oznacza, że ​​parabola przecina OY w punkcie x=0 y=3. Gałęzie paraboli skierowane są w górę, ponieważ a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 wierzchołek znajduje się w punkcie (-2;-1)
Znajdźmy pierwiastki równania x 2 +4x+3=0
Używając dyskryminatora, znajdujemy pierwiastki
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Weźmy kilka dowolnych punktów znajdujących się w pobliżu wierzchołka x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Zamiast x wstaw do równania y=x 2 +4x+3 wartości
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Z wartości funkcji widać, że parabola jest symetryczna względem prostej x = -2

Przykład nr 2:
y=-x 2 +4x
c=0 oznacza, że ​​parabola przecina OY w punkcie x=0 y=0. Gałęzie paraboli skierowane są w dół, ponieważ a=-1 -1 Znajdźmy pierwiastki równania -x 2 +4x=0
Niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +bx=0. Aby rozwiązać ten problem, należy wyjąć x z nawiasów i przyrównać każdy współczynnik do 0.
x(-x+4)=0, x=0 i x=4.

Weźmy kilka dowolnych punktów znajdujących się w pobliżu wierzchołka x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Zamiast x wstaw do równania y=-x 2 +4x wartości
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Z wartości funkcji widać, że parabola jest symetryczna względem prostej x = 2

Przykład nr 3
y=x 2 -4
c=4 oznacza, że ​​parabola przecina OY w punkcie x=0 y=4. Gałęzie paraboli skierowane są w górę, ponieważ a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 wierzchołek znajduje się w punkcie (0;- 4)
Znajdźmy pierwiastki równania x 2 -4=0
Niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +c=0. Aby go rozwiązać, musisz przesunąć niewiadome na jedną stronę, a wiadome na drugą. x =±√(c/a)
x2 =4
x 1 = 2
x2 =-2

Weźmy kilka dowolnych punktów znajdujących się w pobliżu wierzchołka x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Zamiast x wstaw do równania y= x 2 -4 wartości
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Z wartości funkcji widać, że parabola jest symetryczna względem prostej x = 0

Subskrybuj na kanał na YOUTUBE aby być na bieżąco ze wszystkimi nowościami produktowymi i przygotowywać się z nami do egzaminów.

Zdefiniowane wzorem $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Liczby $a, b$ i $c$ są współczynnikami trójmianu kwadratowego, są to zwykle nazywane: a - wiodącym, b - drugim lub średnim współczynnikiem, c - Wolny Członek. Funkcję w postaci y = ax 2 + bx + c nazywamy funkcją kwadratową.

Wszystkie te parabole mają swój wierzchołek w początku; dla a > 0 jest to najniższy punkt wykresu (najmniejsza wartość funkcji), a dla a< 0, наоборот, najwyższy punkt(najwyższa wartość funkcji). Oś Oy jest osią symetrii każdej z tych paraboli.

Jak widać, dla a > 0 parabola jest skierowana w górę, dla a< 0 - вниз.

Istnieje prosta i wygodna metoda graficzna, która pozwala na skonstruowanie dowolnej liczby punktów paraboli y = ax 2 bez obliczeń, jeśli znany jest punkt paraboli inny niż wierzchołek. Niech punkt M(x 0 , y 0) leży na paraboli y = ax 2 (ryc. 2). Jeżeli chcemy skonstruować n dodatkowych n punktów pomiędzy punktami O i M, to dzielimy odcinek ON osi odciętych przez n + 1 równe części a w punktach podziału rysujemy prostopadłe do osi Wołu. Dzielimy odcinek NM na taką samą liczbę równych części i łączymy punkty podziału półprostymi z początkiem współrzędnych. Wymagane punkty paraboli leżą na przecięciu prostopadłych i półprostych o tych samych liczbach (na ryc. 2 liczba punktów podziału wynosi 9).

Wykres funkcji y = ax 2 + bx + c różni się od wykresu y = ax 2 tylko swoim położeniem i można go uzyskać po prostu przesuwając krzywą na rysunku. Wynika to z przedstawienia trójmianu kwadratowego w postaci

z czego łatwo wywnioskować, że wykres funkcji y = ax 2 + bx + c jest parabolą y = ax 2, której wierzchołek zostaje przesunięty do punktu

a jego oś symetrii pozostała równoległa do osi Oy (ryc. 3). Z powstałego wyrażenia na trójmian kwadratowy można łatwo wyprowadzić wszystkie jego podstawowe właściwości. Wyrażenie D = b 2 − 4ac nazywamy dyskryminatorem kwadratowej trójmianu ax 2 + bx + c oraz dyskryminatorem powiązanego równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0. Znak dyskryminatora określa, czy wykres funkcji trójmian kwadratowy przecina oś x lub leży po tej samej stronie od niej. Mianowicie, jeśli D< 0, то парабола не имеет punkty wspólne z osią Wół, w tym przypadku: jeśli a > 0, to parabola leży nad osią Wół, a jeśli a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 wykres trójmianu kwadratowego przecina oś x w dwóch punktach x 1 i x 2, które są pierwiastkami równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0 i są równe odpowiednio

W D = 0 parabola dotyka w tym punkcie osi Wółu

Właściwości trójmianu kwadratowego stanowią podstawę rozwiązywania nierówności kwadratowych. Wyjaśnijmy to na przykładzie. Załóżmy, że musimy znaleźć wszystkie rozwiązania nierówności 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, to odpowiednie równanie kwadratowe 3x 2 − 2x − 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki, wyznacza się je za pomocą podanych wcześniej wzorów:

x 1 = −1/3 i x 2 = 1.

W rozpatrywanym trójmianie kwadratowym a = 3 > 0, co oznacza, że ​​gałęzie jego wykresu są skierowane w górę, a wartości trójmianu kwadratowego są ujemne tylko w przedziale między pierwiastkami. Zatem wszystkie rozwiązania nierówności spełniają warunek

−1/3 < x < 1.

DO nierówności kwadratowe różne nierówności można zredukować przez te same podstawienia, za pomocą których różne równania sprowadza się do równania kwadratowego.