Lemat 1 : Jeżeli w macierzy o rozmiarze n n przynajmniej jeden wiersz (kolumna) ma wartość zero, to wiersze (kolumny) macierzy są liniowo zależne.

Dowód: Niech więc pierwsza linia będzie równa zeru

Gdzie 1 0. Tego właśnie wymagano.

Definicja: Nazywa się macierz, której elementy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru trójkątny:

i ij = 0, ja>j.

Lemat 2: Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej.

Dowód można łatwo przeprowadzić poprzez indukcję po wymiarze macierzy.

Twierdzenie O niezależność liniowa wektory.

A)Konieczność: liniowo zależne D=0 .

Dowód: Niech będą liniowo zależne, j=,

to znaczy, że istnieje a j , nie wszystkie równe zeru, j= , Co za 1 ZA 1 + za 2 ZA 2 + ... za n ZA n = , ZA jot – kolumny macierzy A. Niech np. n¹0.

Mamy za jot * = za jot / za n , j£ n-1a 1 * ZA 1 + za 2 * ZA 2 + ... za n -1 * ZA n -1 + ZA n = .

Zastąpmy ostatnią kolumnę macierzy A NA

ZA n * = za 1 * ZA 1 + za 2 * ZA 2 + ... za n -1 ZA n -1 + ZA n = .

Zgodnie z udowodnioną powyżej właściwością wyznacznika (nie zmieni się ona, jeżeli do którejkolwiek kolumny macierzy dodamy kolejną kolumnę pomnożoną przez liczbę), wyznacznik nowej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej. Ale w nowej macierzy jedna kolumna ma wartość zero, co oznacza, że ​​​​rozwijając wyznacznik po tej kolumnie, otrzymujemy D=0, co było do okazania

B)Adekwatność: Matryca rozmiarów n nz liniowo niezależnymi rzędami zawsze można sprowadzić do postaci trójkątnej za pomocą transformacji, które się nie zmieniają całkowita wartość wyznacznik. Ponadto z niezależności wierszy macierzy pierwotnej wynika, że ​​jej wyznacznik jest równy zeru.

1. Jeśli w macierzy rozmiarów n n z liniowo niezależnym elementem wierszy 11 jest równa zero, to kolumna, której element za 1 j ¹ 0. Zgodnie z Lematem 1 taki element istnieje. Wyznacznik macierzy przekształconej może różnić się od wyznacznika macierzy pierwotnej jedynie znakiem.

2. Z linii z liczbami ja>1 odejmij pierwszą linię pomnożoną przez ułamek a i 1 /a 11. Ponadto w pierwszej kolumnie wiersze z liczbami ja>1 spowoduje zerową liczbę elementów.

3. Zacznijmy obliczać wyznacznik otrzymanej macierzy od dekompozycji po pierwszej kolumnie. Ponieważ wszystkie jego elementy oprócz pierwszego są równe zeru,

D nowy = a 11 nowy (-1) 1+1 D 11 nowy,

Gdzie d 11 nowy jest wyznacznikiem macierzy o mniejszym rozmiarze.

Następnie obliczyć wyznacznik D 11 powtarzaj kroki 1, 2, 3, aż ostatni wyznacznik okaże się wyznacznikiem macierzy rozmiarów 1 1. Ponieważ krok 1 zmienia jedynie znak wyznacznika przekształcanej macierzy, a krok 2 w ogóle nie zmienia wartości wyznacznika, to aż do znaku ostatecznie otrzymamy wyznacznik macierzy pierwotnej. W tym przypadku, ponieważ ze względu na liniową niezależność wierszy pierwotnej macierzy, krok 1 jest zawsze spełniony, wszystkie elementy głównej przekątnej okażą się nierówne zero. Zatem ostateczny wyznacznik, zgodnie z opisanym algorytmem, jest równy iloczynowi niezerowych elementów na głównej przekątnej. Dlatego wyznacznik macierzy pierwotnej nie jest równy zero. co było do okazania

Załącznik 2

Poniżej podano kilka kryteriów zależności liniowej i odpowiednio liniowej niezależności systemów wektorowych.

Twierdzenie. (Warunek konieczny i wystarczający liniowej zależności wektorów.)

Układ wektorów jest zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektorów układu jest wyrażony liniowo przez pozostałe wektory tego układu.

Dowód. Konieczność. Niech układ będzie liniowo zależny. Wtedy z definicji reprezentuje wektor zerowy w sposób nietrywialny, tj. istnieje nietrywialna kombinacja tego układu wektorów równa wektorowi zerowemu:

gdzie co najmniej jeden ze współczynników tej kombinacji liniowej nie jest równy zero. Pozwalać , .

Podzielmy obie strony poprzedniej równości przez ten niezerowy współczynnik (tj. pomnóżmy przez:

Oznaczmy: , gdzie .

te. jeden z wektorów układu jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego układu itp.

Adekwatność. Niech jeden z wektorów układu będzie wyrażony liniowo poprzez inne wektory tego układu:

Przesuńmy wektor na prawo od tej równości:

Ponieważ współczynnik wektora jest równy , to mamy nietrywialną reprezentację zera za pomocą układu wektorów, co oznacza, że ​​ten układ wektorów jest liniowo zależny itp.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja.

1. Układ wektorowy Przestrzeń wektorowa jest liniowo niezależna wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów układu nie jest wyrażony liniowo w postaci innych wektorów tego układu.

2. Układ wektorów zawierający wektor zerowy lub dwa równe wektory jest liniowo zależny.

Dowód.

1) Konieczność. Niech układ będzie liniowo niezależny. Załóżmy odwrotnie i istnieje wektor układu, który wyraża się liniowo poprzez inne wektory tego układu. Wtedy, zgodnie z twierdzeniem, układ jest liniowo zależny i dochodzimy do sprzeczności.

Adekwatność. Niech żaden z wektorów układu nie będzie wyrażony za pomocą pozostałych. Załóżmy odwrotnie. Niech układ będzie liniowo zależny, ale wtedy z twierdzenia wynika, że ​​istnieje wektor układu, który wyraża się liniowo przez inne wektory tego układu, i znowu dochodzimy do sprzeczności.

2a) Niech układ zawiera wektor zerowy. Załóżmy dla określoności, że wektor :. Wtedy równość jest oczywista

te. jeden z wektorów układu jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego układu. Z twierdzenia wynika, że ​​taki układ wektorów jest liniowo zależny itp.

Należy zauważyć, że fakt ten można udowodnić bezpośrednio z liniowo zależnego układu wektorów.

Ponieważ , następująca równość jest oczywista

Jest to nietrywialna reprezentacja wektora zerowego, co oznacza, że ​​układ jest liniowo zależny.

2b) Niech układ ma dwa równe wektory. Pozwól na . Wtedy równość jest oczywista

Te. pierwszy wektor jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego samego układu. Z twierdzenia wynika, że ten system liniowo zależny itp.

Podobnie jak poprzednio, twierdzenie to można bezpośrednio udowodnić poprzez definicję układu liniowo zależnego, wówczas układ ten nietrywialnie reprezentuje wektor zerowy

skąd wynika liniowa zależność układu.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja. Układ składający się z jednego wektora jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor ten jest różny od zera.

Definitywnie zbiór w nazywany jest przestrzenią liniową i jej elementem. -wektory jeśli:

*prawo jest określone (+) zgodnie z kat. dowolne dwa elementy x, y z w są powiązane z elementem o nazwie. ich suma [x + y]

*podane jest prawo (* dla liczby a), zgodnie z elementem cat x z w i a, porównywany jest element z w, zwany iloczynem x i a [ax];

* ukończone

następujące wymagania (lub aksjomaty):

Ślad c1. wektor zerowy (ctv 0 1 i 0 2. przez a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 i 0 1 + 0 2 = 0 1. przez a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 wektorów (a7)

c4. a(liczba)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 =0 wektor, przeciwny do x, tj. (-1)x = -x. (a5,a6)

c6. W w zdefiniowano działanie odejmowania: wektor x nazywany jest różnicą wektorów b i a, jeśli x + a = b, i jest oznaczony jako x = b - a.

Numer N zwany wymiar lin. pr-a L , jeśli w L istnieje system N lin. niezaw. wektory i dowolny system N wektor +1 - lin. zależny ciemny L= N. Przestrzeń L zwany n-wymiarowym.

Uporządkowany zbiór n linii. niezaw. wektory n wymiarowe niezależne. przestrzeń - podstawa

Twierdzenie. Każdy wektor X można przedstawić w unikalny sposób jako linię.Kombinacje wektorów bazowych

Niech (1) będzie podstawą n-wymiarowej liniowej. pr-va V, tj. zbiór liniowo niezależnych wektorów. Zbiór wektorów będzie liniowy. zależny, ponieważ ich n+ 1.

Te. istnieją liczby, z których nie wszystkie są jednocześnie równe zero, co to ma z tym wspólnego (w przeciwnym razie (1) są liniowo zależne).

Następnie gdzie jest rozkład wektorowy X według podstawy(1) .

To wyrażenie jest wyjątkowe, ponieważ jeśli istnieje inne wyrażenie (**)

odejmując równość (**) od (*),

dostajemy

Ponieważ są liniowo niezależne, wówczas . czt

Twierdzenie. Jeśli - lin. niezależne wektory przestrzeni V i każdy wektor x z V można przedstawić za pomocą , wówczas wektory te tworzą bazę V

Doc: (1)-lin.independent =>pozostaje dokument, który jest liniowo niezależny. Zgodnie z konwencją Każdy wektor a jest wyrażony poprzez (1): , rozważ , rang≤n => wśród kolumn nie więcej niż n jest liniowo niezależnych, ale m > n=> m kolumn jest liniowo zależnych => s=1, n

Oznacza to, że wektory są liniowo zależne

Zatem przestrzeń V jest n-wymiarowa i (1) jest jej podstawą

№4def. Podzbiór L lin. produkcja V nazywa się lin. kon. tej przestrzeni, jeżeli ze względu na działania (+) i (*a) określone w V podprzestrzeń L jest przestrzenią liniową

Twierdzenie Zbiór l wektorów przestrzeni V jest liniowy. Występuje podprzestrzeń tej przestrzeni

(postęp) niech będą spełnione (1) i (2), aby L było podprostym.V Pozostaje udowodnić, że wszystkie aksjomaty lin są spełnione. pr-va.

(-x): -x+x=0 D. a(x + y) = topór + ay;

(a-b) i (e-h) wynika z ważności V, udowodnijmy (c)

(konieczność) Niech L będzie lin. podprzestrzeni tej przestrzeni, to (1) i (2) są spełnione na mocy definicji prostych. pr-va

def. Zbiór wszelkiego rodzaju linii. kombinacje niektórych elementów (x j) lin. produkt nazywany jest powłoką liniową

Twierdzenie dowolny zbiór wszystkich linii. kombinacje wektorów V z rzeczywistymi. współczynnik wynosi lin. subpr V (powłoka liniowa dany układ wektorów lin. pr. jest liniowym podpr tego pr. )

ODA.Niepusty podzbiór wektorów liniowych L. produkcja V nazywa się lin. podprzestrzeń, jeśli:

a) suma dowolnych wektorów z L należy do L

b) iloczyn każdego wektora z L przez dowolną liczbę należy do L

Suma dwóch podprzestrzeniLjest znowu podprzestrzeniąL

1) Niech y 1 + y 2 (L 1 + L 2)<=>y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x’ 1 +x’ 2, gdzie (x 1,x’ 1) L 1, (x 2,x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), gdzie (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => spełniony jest pierwszy warunek podprzestrzeni liniowej.

ay 1 =ax 1 + ax 2, gdzie (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => ponieważ (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => warunki są spełnione => L 1 +L 2 jest podprzestrzenią liniową.

Przecięcie dwóch pododdziałówL 1 IL 2 lin. pr-vaL jest także subsp. tę przestrzeń.

Rozważmy dwa dowolne wektory X,y, należące do przecięcia podprzestrzeni i dwie dowolne liczby A,B:.

Według def. przecięcia zbiorów:

=> z definicji podprzestrzeni przestrzeni liniowej:,.

wektor T.K topór + przez należy do wielu L 1 i wiele L 2, to z definicji należy do przecięcia tych zbiorów. Zatem:

ODA.Mówią, że V jest sumą bezpośrednią jego podziałów. jeśli i b) rozkład ten jest unikalny

B") Pokażmy, że b) jest równoważne b’)

Kiedy b) jest prawdziwe b’)

Wszystkie rodzaje (M, N) z przecinają się tylko wzdłuż wektora zerowego

Niech ∃ z ∈

Sprawiedliwy powrótL=

sprzeczność

Twierdzenie Do (*) jest konieczne i wystarczające dla sumy zasad ( stworzył podstawę przestrzeni

(Wymagany) niech (*) i wektory będą bazami podzbiorów. i następuje rozwinięcie ; x jest rozwijane po bazie L, aby stwierdzić, że ( stanowi bazę, należy wykazać ich liniową niezależność; wszystkie zawierają 0 0=0+...+0. Ze względu na jednoznaczność rozwinięcia 0 over : => ze względu na liniową niezależność bazy => ( – baza

(Eks.) Niech ( tworzą podstawę L jednoznaczny rozkład (**) istnieje co najmniej jeden rozkład. Przez niepowtarzalność (*) => niepowtarzalność (**)

Komentarz. Wymiar sumy bezpośredniej jest równy sumie wymiarów podprzestrzeni

Dowolna nieosobliwa macierz kwadratowa może służyć jako macierz przejścia z jednej podstawy do drugiej

Wprowadź n-wymiarowy przestrzeń liniowa V są dwie podstawy i

(1) =A, gdzie elementy * i ** nie są liczbami, ale pewne operacje na macierzy numerycznej rozszerzymy na takie wiersze.

Ponieważ w przeciwnym razie wektory ** byłyby zależne liniowo

Z powrotem. Jeśli wówczas kolumny A są liniowo niezależne => tworzą bazę

Współrzędne I powiązane relacją , Gdzie elementy macierzy przejścia

Niech będzie znany rozkład elementów „nowej” podstawy na „starą”.

Wtedy równości są prawdziwe

Ale jeśli liniowa kombinacja liniowo niezależnych elementów wynosi 0, to =>

Podstawowe twierdzenie o zależności liniowej

Jeśli (*) wyraża się liniowo poprzez (**) ToN<= M

Udowodnijmy przez indukcję na m

m=1: system (*) zawiera 0 i lin. menadżer - niemożliwe

niech to będzie prawdą dla m=k-1

udowodnijmy dla m=k

Może się okazać, że 1) , tj. v-ry (1) to lin.comb. lin. w rowie (2)System (1) liniowy niezależny, ponieważ jest częścią lin.nezav. systemy (*). Ponieważ w układzie (2) są tylko wektory k-1, to z hipotezy indukcyjnej otrzymujemy k+1 3.3. Liniowa niezależność wektorów. Podstawa.

Liniowy połączenie systemy wektorowe

zwany wektorem

gdzie a 1, a 2, ..., n - dowolne liczby.

Jeśli wszystko jest i = 0, wówczas nazywana jest kombinacja liniowa trywialny . W tym przypadku oczywiście

Definicja 5.

Jeśli dla układu wektorów istnieje nietrywialna kombinacja liniowa (co najmniej jedna ai¹ 0) równy wektorowi zerowemu: wówczas nazywa się układ wektorów liniowy zależny. Jeśli równość (1) jest możliwa tylko w przypadku, gdy wszyscy ja =0, wówczas nazywa się układ wektorów liniowy niezależny .

Twierdzenie 2 (Warunki zależności liniowej).

Definicja 6.

Z Twierdzenia 3 wynika z tego, że jeśli w przestrzeni dana jest baza, to dodając do niej dowolny wektor, otrzymujemy liniowo zależny układ wektorów. Zgodnie z Twierdzenie 2 (1) , jeden z nich (można wykazać, że wektor) można przedstawić jako kombinację liniową pozostałych:

.

Definicja 7.

Liczby są nazywane współrzędne wektory w bazie (oznaczone

Jeżeli wektory rozpatrywane są na płaszczyźnie, wówczas podstawą będzie uporządkowana para wektorów niewspółliniowych

a współrzędne wektora w tej podstawie to para liczb:

Uwaga 3. Można to wykazać dla danej podstawy współrzędne wektora są wyznaczane jednoznacznie . Z tego w szczególności wynika, że jeśli wektory są równe, to odpowiadające im współrzędne są równe i odwrotnie .

Zatem, jeśli w przestrzeni podana jest baza, to każdemu wektorowi przestrzeni odpowiada uporządkowana trójka liczb (współrzędne wektora w tej podstawie) i odwrotnie: każda trójka liczb odpowiada wektorowi.

Na płaszczyźnie podobna zgodność ustalana jest między wektorami i parami liczb.

Twierdzenie 4 (Operacje liniowe na współrzędnych wektorowych).

Jeśli w jakiejś podstawie I A jest dowolną liczbą, to w tej podstawie

Innymi słowy:

Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę, jego współrzędne są mnożone przez tę liczbę ;

podczas dodawania wektorów dodawane są odpowiadające im współrzędne .

Przykład 1 . W pewnym sensie wektorymają współrzędne

Pokaż, że wektory tworzą bazę i znajdź na tej bazie współrzędne wektora.

Wektory stanowią bazę, jeśli nie są współpłaszczyznowe, zatem (zgodnie z według Twierdzenia 3(2) ) są liniowo niezależne.

Z definicji 5 oznacza to równość

możliwe tylko jeśliX = y = z = 0.

Funkcje są wywoływane liniowo niezależny, Jeśli

(dozwolona jest tylko trywialna liniowa kombinacja funkcji, która jest identyczna równa zero). W przeciwieństwie do liniowej niezależności wektorów, tutaj kombinacja liniowa jest identyczna z zerem, a nie równa. Jest to zrozumiałe, ponieważ dla dowolnej wartości argumentu musi być spełniona równość kombinacji liniowej do zera.

Funkcje są wywoływane liniowo zależny, jeśli istnieje niezerowy zbiór stałych (nie wszystkie stałe są równe zeru) taki, że (istnieje nietrywialna liniowa kombinacja funkcji identycznie równa zero).

Twierdzenie.Aby funkcje były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby którakolwiek z nich była wyrażona liniowo przez pozostałe (przedstawiane jako ich kombinacja liniowa).

Udowodnij to twierdzenie samodzielnie; dowodzi się je w taki sam sposób, jak podobne twierdzenie o liniowej zależności wektorów.

Wyznacznik Wrońskiego.

Wyznacznik Wrońskiego dla funkcji wprowadza się jako wyznacznik, którego kolumny są pochodnymi tych funkcji od zera (same funkcje) do rzędu n-1.

.

Twierdzenie. Jeśli funkcje są wówczas liniowo zależne

Dowód. Ponieważ funkcje są liniowo zależne, wówczas którykolwiek z nich wyraża się liniowo przez pozostałe, na przykład

Tożsamość można różnicować, tzw

Następnie pierwsza kolumna wyznacznika Wrońskiego jest wyrażana liniowo przez pozostałe kolumny, więc wyznacznik Wrońskiego jest identycznie równy zero.

Twierdzenie.Aby rozwiązania liniowego jednorodnego równania różniczkowego n-tego rzędu były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby.

Dowód. Konieczność wynika z poprzedniego twierdzenia.

Adekwatność. Ustalmy pewien punkt. Ponieważ , kolumny wyznacznika obliczonego w tym punkcie są wektorami liniowo zależnymi.

, że relacje są spełnione

Ponieważ jego rozwiązaniem jest liniowa kombinacja rozwiązań liniowego równania jednorodnego, możemy wprowadzić rozwiązanie postaci

Liniowa kombinacja rozwiązań o tych samych współczynnikach.

Należy zauważyć, że rozwiązanie to spełnia zerowe warunki początkowe, co wynika z zapisanego powyżej układu równań. Ale trywialne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego również spełnia te same zerowe warunki początkowe. Zatem z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że ​​wprowadzone rozwiązanie jest identycznie równe rozwiązaniu trywialnemu, zatem

dlatego rozwiązania są liniowo zależne.

Konsekwencja.Jeżeli wyznacznik Wrońskiego zbudowany na rozwiązaniach liniowego równania jednorodnego zanika przynajmniej w jednym punkcie, to jest identycznie równy zeru.

Dowód. Jeśli , to rozwiązania są liniowo zależne, dlatego .

Twierdzenie.1. Dla liniowej zależności rozwiązań jest to konieczne i wystarczające(Lub ).

2. Dla liniowej niezależności rozwiązań jest to konieczne i wystarczające.

Dowód. Pierwsze stwierdzenie wynika z twierdzenia i wniosku udowodnionego powyżej. Drugie twierdzenie można łatwo udowodnić przez sprzeczność.

Niech rozwiązania będą liniowo niezależne. Jeśli , to rozwiązania są liniowo zależne. Sprzeczność. Stąd, .

Pozwalać . Jeżeli rozwiązania są liniowo zależne, to , stąd sprzeczność. Zatem rozwiązania są liniowo niezależne.

Konsekwencja.Zanik wyznacznika Wrońskiego przynajmniej w jednym punkcie jest kryterium liniowej zależności rozwiązań od liniowego równania jednorodnego.

Różnica między wyznacznikiem Wrońskiego a zerem jest kryterium liniowej niezależności rozwiązań liniowego równania jednorodnego.

Twierdzenie.Wymiar przestrzeni rozwiązań liniowego równania jednorodnego n-tego rzędu jest równy n.

Dowód.

a) Pokażmy, że istnieje n liniowo niezależnych rozwiązań liniowego jednorodnego równania różniczkowego n-tego rzędu. Rozważmy rozwiązania , spełniający następujące warunki początkowe:

...........................................................

Takie rozwiązania istnieją. Rzeczywiście, zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego, przez punkt przechodzi przez pojedynczą krzywą całkową – rozwiązanie. Przez punkt rozwiązanie przechodzi przez punkt

- rozwiązanie, przez punkt - rozwiązanie .

Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ .

b) Pokażmy, że każde rozwiązanie liniowego równania jednorodnego wyraża się liniowo poprzez te rozwiązania (jest ich kombinacją liniową).

Rozważmy dwa rozwiązania. Jeden - dowolne rozwiązanie z warunkami początkowymi . Uczciwy stosunek