Niech będzie podana funkcja. Ponieważ x i y są zmiennymi niezależnymi, jedna z nich może się zmienić, podczas gdy druga zachowuje swoją wartość. Dajmy zmiennej niezależnej x przyrost, zachowując wartość y bez zmian. Wtedy z otrzyma przyrost, który nazywany jest częściowym przyrostem z względem x i jest oznaczony jako . Więc, .

Podobnie otrzymujemy częściowy przyrost z przez y: .

Całkowity przyrost funkcji z jest określony przez równość .

Jeżeli istnieje granica, to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji w punkcie względem zmiennej x i oznacza się jednym z symboli:

Pochodne cząstkowe względem x w punkcie są zwykle oznaczone symbolami .

Pochodna cząstkowa względem zmiennej y jest zdefiniowana i oznaczona w podobny sposób:

Zatem pochodną cząstkową funkcji kilku (dwóch, trzech lub więcej) zmiennych definiuje się jako pochodną funkcji jednej z tych zmiennych, pod warunkiem, że wartości pozostałych zmiennych niezależnych są stałe. Dlatego pochodne cząstkowe funkcji wyznacza się, korzystając ze wzorów i zasad obliczania pochodnych funkcji jednej zmiennej (w tym przypadku odpowiednio x lub y uważa się za wartość stałą).

Pochodne cząstkowe nazywane są pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu. Można je uznać za funkcje . Funkcje te mogą mieć pochodne cząstkowe, zwane pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu. Są one zdefiniowane i oznaczone w następujący sposób:

; ;

; .

Różniczki pierwszego i drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych.

Różniczkę całkowitą funkcji (wzór 2.5) nazywamy różniczką pierwszego rzędu.

Wzór do obliczeń pełny mechanizm różnicowy ma następującą postać:

(2.5) lub , Gdzie ,

różniczki cząstkowe funkcji.

Niech funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Różnicę drugiego rzędu określa się ze wzoru. Znajdźmy to:

Stąd: . Symbolicznie jest to napisane tak:

CAŁKA NIEOkreślona.

Funkcja pierwotna funkcji, całka nieoznaczona, własności.

Wywołuje się funkcję F(x). funkcja pierwotna dla danej funkcji f(x), jeśli F"(x)=f(x), lub, co jest tym samym, jeśli dF(x)=f(x)dx.

Twierdzenie. Jeśli funkcja f(x), określona w pewnym przedziale (X) o skończonej lub nieskończonej długości, ma jedną funkcję pierwotną F(x), to ma również nieskończenie wiele funkcji pierwotnych; wszystkie zawarte są w wyrażeniu F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f(x), określonych w pewnym przedziale lub na odcinku o skończonej lub nieskończonej długości, nazywa się Całka nieoznaczona z funkcji f(x) [lub z wyrażenia f(x)dx ] i jest oznaczone symbolem .

Jeżeli F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych f(x), to zgodnie z twierdzeniem o funkcji pierwotnej

, gdzie C jest dowolną stałą.

Z definicji funkcji pierwotnej F"(x)=f(x), a zatem dF(x)=f(x) dx. We wzorze (7.1) f(x) nazywa się funkcją całkową, a f( x) dx nazywa się wyrażeniem całkowym.

Rozważmy funkcję dwóch zmiennych:

Ponieważ zmienne $x$ i $y$ są niezależne, dla takiej funkcji możemy wprowadzić pojęcie pochodnej cząstkowej:

Pochodna cząstkowa funkcji $f$ w punkcie $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ względem zmiennej $x$ wynosi limit

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

Podobnie można zdefiniować pochodną cząstkową względem zmiennej $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \prawo))(\Delta y)\]

Innymi słowy, aby znaleźć pochodną cząstkową funkcji kilku zmiennych, należy ustalić wszystkie inne zmienne z wyjątkiem żądanej, a następnie znaleźć pochodną zwyczajną względem tej pożądanej zmiennej.

Prowadzi to do głównej techniki obliczania takich pochodnych: po prostu załóżmy, że wszystkie zmienne oprócz tej są stałe, a następnie różniczkujmy funkcję tak, jak różniczkujemy „zwykłą” – jedną zmienną. Na przykład:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ liczba pierwsza ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(wyrównaj)$

Oczywiście pochodne cząstkowe względem różnych zmiennych dają różne odpowiedzi - jest to normalne. O wiele ważniejsze jest zrozumienie, dlaczego powiedzmy w pierwszym przypadku spokojnie usunęliśmy spod znaku pochodnej 10y$, a w drugim przypadku całkowicie wyzerowaliśmy pierwszy wyraz. Wszystko to dzieje się dzięki temu, że wszystkie litery, z wyjątkiem zmiennej, według której przeprowadza się różnicowanie, są uważane za stałe: można je wyjąć, „spalić” itp.

Co to jest „pochodna cząstkowa”?

Dzisiaj porozmawiamy o funkcjach kilku zmiennych i ich pochodnych cząstkowych. Po pierwsze, jaka jest funkcja kilku zmiennych? Do tej pory zwykliśmy uważać funkcję za $y\left(x \right)$ lub $t\left(x \right)$ lub dowolną zmienną i jej jedną funkcję. Teraz będziemy mieli jedną funkcję, ale kilka zmiennych. Gdy $y$ i $x$ się zmienią, wartość funkcji ulegnie zmianie. Na przykład, jeśli $x$ podwoi się, wartość funkcji zmieni się, a jeśli $x$ się zmieni, ale $y$ się nie zmieni, wartość funkcji zmieni się w ten sam sposób.

Oczywiście funkcję kilku zmiennych, podobnie jak funkcję jednej zmiennej, można różniczkować. Ponieważ jednak istnieje kilka zmiennych, możliwe jest rozróżnienie w zależności od różnych zmiennych. W tym przypadku powstają określone reguły, które nie istniały przy różnicowaniu jednej zmiennej.

Po pierwsze, obliczając pochodną funkcji od dowolnej zmiennej, należy wskazać, dla której zmiennej obliczamy pochodną – nazywa się to pochodną cząstkową. Przykładowo mamy funkcję dwóch zmiennych i możemy ją obliczyć zarówno w $x$, jak i w $y$ - po dwie pochodne cząstkowe dla każdej ze zmiennych.

Po drugie, gdy tylko ustalimy jedną ze zmiennych i zaczniemy obliczać względem niej pochodną cząstkową, wówczas wszystkie pozostałe uwzględnione w tej funkcji uważa się za stałe. Na przykład w $z\left(xy \right)$, jeśli weźmiemy pod uwagę pochodną cząstkową względem $x$, to gdziekolwiek napotkamy $y$, uznamy ją za stałą i tak ją traktujemy. W szczególności przy obliczaniu pochodnej iloczynu możemy wyjąć z nawiasu $y$ (mamy stałą), a przy obliczaniu pochodnej sumy, jeśli gdzieś otrzymamy pochodną wyrażenia zawierającego $y$ i nie zawierający $x$, wówczas pochodna tego wyrażenia będzie równa „zero” jako pochodna stałej.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że mówię o czymś skomplikowanym i wielu uczniów jest początkowo zdezorientowanych. Jednak w pochodnych cząstkowych nie ma nic nadprzyrodzonego i teraz zobaczymy to na przykładzie konkretnych problemów.

Zagadnienia pierwiastków i wielomianów

Zadanie nr 1

Aby nie tracić czasu, zacznijmy od poważnych przykładów.

Na początek przypomnę Ci tę formułę:

Jest to standardowa wartość tabeli, którą znamy z kursu standardowego.

W tym przypadku pochodną $z$ oblicza się w następujący sposób:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Zróbmy to jeszcze raz, ponieważ pierwiastkiem nie jest $x$, ale jakimś innym wyrażeniem, w tym przypadku $\frac(y)(x)$, to najpierw użyjemy standardowej wartości z tabeli, a następnie, ponieważ pierwiastkiem jest nie $x $ i inne wyrażenie, musimy pomnożyć naszą pochodną przez inną pochodną tego wyrażenia w odniesieniu do tej samej zmiennej. Najpierw obliczmy co następuje:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Wracamy do naszego wyrażenia i piszemy:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

W zasadzie to wszystko. Pozostawienie tego w tej formie jest jednak błędem: taka konstrukcja jest niewygodna w dalszych obliczeniach, dlatego przekształćmy ją trochę:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Odpowiedź została znaleziona. Zajmijmy się teraz $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Zapiszmy to osobno:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Teraz zapisujemy:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Zrobione.

Problem nr 2

Ten przykład jest zarówno prostszy, jak i bardziej złożony niż poprzedni. Jest to bardziej skomplikowane, bo akcji jest więcej, ale prostsze, bo nie ma pierwiastka, a w dodatku funkcja jest symetryczna względem $x$ i $y$, czyli jeśli zamienimy $x$ i $y$, formuła się nie zmieni. Uwaga ta jeszcze bardziej uprości nasze obliczenia pochodnej cząstkowej, tj. wystarczy policzyć jeden z nich, a w drugim po prostu zamień $x$ i $y$.

Przejdźmy do interesów:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\lewo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \prawo))^(2)))\]

Policzmy:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Jednak wielu uczniów nie rozumie tego zapisu, więc napiszmy to w ten sposób:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Tym samym po raz kolejny utwierdzamy się w przekonaniu o uniwersalności algorytmu pochodnej cząstkowej: niezależnie od tego, jak je obliczymy, jeśli wszystkie zasady zostaną zastosowane poprawnie, odpowiedź będzie taka sama.

Przyjrzyjmy się teraz jeszcze jednej pochodnej cząstkowej naszego dużego wzoru:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Podstawmy powstałe wyrażenia do naszej formuły i otrzymajmy:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ prawo)-xy((\lewo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \prawo))^(\prime ))_(x))(((\lewo (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \prawo))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \prawo))^(2)))=\]

\[=\frac(y\lewo(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ lewy(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \prawy))^(2)))=\frac(y\lewy(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \prawo))(((\lewo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \prawo))^(2 )))\]

Na podstawie obliczonych $x$. Aby obliczyć $y$ z tego samego wyrażenia, nie wykonujmy tej samej sekwencji działań, ale skorzystajmy z symetrii naszego pierwotnego wyrażenia - po prostu zamieniamy wszystkie $y$ w naszym oryginalnym wyrażeniu na $x$ i odwrotnie:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Dzięki symetrii obliczyliśmy to wyrażenie znacznie szybciej.

Niuanse rozwiązania

W przypadku pochodnych cząstkowych działają wszystkie standardowe wzory, których używamy dla zwykłych, a mianowicie pochodna ilorazu. Jednocześnie jednak pojawiają się specyficzne cechy: jeśli weźmiemy pod uwagę pochodną cząstkową $x$, to gdy otrzymamy ją z $x$, uznamy ją za stałą, a zatem jej pochodna będzie równa „zero” .

Podobnie jak w przypadku zwykłych pochodnych, iloraz (tę samą pochodną) można obliczyć na kilka różnych sposobów. Na przykład tę samą konstrukcję, którą właśnie obliczyliśmy, można przepisać w następujący sposób:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Jednocześnie można skorzystać ze wzoru na sumę pochodną. Jak wiemy, jest to suma pochodnych. Na przykład napiszmy co następuje:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Teraz, wiedząc to wszystko, spróbujmy pracować z poważniejszymi wyrażeniami, ponieważ rzeczywiste pochodne cząstkowe nie ograniczają się tylko do wielomianów i pierwiastków: są też trygonometria, logarytmy i funkcja wykładnicza. Teraz zróbmy to.

Zagadnienia funkcji trygonometrycznych i logarytmów

Zadanie nr 1

Zapiszmy następujące standardowe formuły:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Uzbrojeni w tę wiedzę spróbujmy rozwiązać:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Zapiszmy jedną zmienną osobno:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Wróćmy do naszego projektu:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

To wszystko, znaleźliśmy to dla $x$, teraz wykonajmy obliczenia dla $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Ponownie obliczmy jedno wyrażenie:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \prawo)\]

Wracamy do pierwotnego wyrażenia i kontynuujemy rozwiązanie:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Zrobione.

Problem nr 2

Zapiszmy potrzebną formułę:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Teraz policzmy przez $x$:

\[((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Znaleziono za x $. Liczymy przez $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problem jest rozwiązany.

Niuanse rozwiązania

Zatem niezależnie od tego, dla jakiej funkcji przyjmiemy pochodną cząstkową, zasady pozostają takie same, niezależnie od tego, czy pracujemy z trygonometrią, pierwiastkami czy logarytmami.

Klasyczne zasady pracy ze standardowymi instrumentami pochodnymi pozostają niezmienione, a mianowicie pochodna sumy i różnicy, iloraz i złożona funkcja.

Ostatni wzór najczęściej spotyka się przy rozwiązywaniu problemów z pochodnymi cząstkowymi. Spotykamy je niemal wszędzie. Nie było jeszcze zadania, w którym byśmy go nie wykonali. Ale bez względu na to, jakiego wzoru użyjemy, wciąż mamy dodany jeszcze jeden wymóg, a mianowicie specyfikę pracy z pochodnymi cząstkowymi. Kiedy naprawimy jedną zmienną, wszystkie pozostałe są stałymi. W szczególności, jeśli weźmiemy pod uwagę pochodną cząstkową wyrażenia $\cos \frac(x)(y)$ względem $y$, to $y$ jest zmienną, a $x$ pozostaje wszędzie stałe. To samo działa w drugą stronę. Można go wyjąć ze znaku pochodnej, a pochodna samej stałej będzie równa „zero”.

Wszystko to prowadzi do tego, że pochodne cząstkowe tego samego wyrażenia, ale względem różnych zmiennych, mogą wyglądać zupełnie inaczej. Przyjrzyjmy się na przykład następującym wyrażeniom:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Zagadnienia funkcji wykładniczych i logarytmów

Zadanie nr 1

Na początek napiszmy następującą formułę:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Znając ten fakt, a także pochodną funkcji zespolonej, spróbujmy obliczyć. Rozwiążę to teraz na dwa różne sposoby. Pierwszą i najbardziej oczywistą jest pochodna iloczynu:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Rozwiążmy następujące wyrażenie osobno:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Wracamy do naszego pierwotnego projektu i kontynuujemy rozwiązanie:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

Wszystko, $x$ jest obliczane.

Jednak tak jak obiecałem, teraz spróbujemy obliczyć tę samą pochodną cząstkową w inny sposób. Aby to zrobić, zwróć uwagę na następujące kwestie:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Napiszmy to tak:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

W rezultacie otrzymaliśmy dokładnie tę samą odpowiedź, ale ilość obliczeń okazała się mniejsza. Aby to zrobić, wystarczyło zauważyć, że podczas wykonywania produktu można dodać wskaźniki.

Teraz policzmy przez $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Rozwiążmy jedno wyrażenie osobno:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Kontynuujmy rozwiązywanie naszej oryginalnej konstrukcji:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Oczywiście tę samą pochodną można by obliczyć w drugi sposób i odpowiedź byłaby taka sama.

Problem nr 2

Policzmy przez $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Obliczmy jedno wyrażenie osobno:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Kontynuujmy rozwiązywanie oryginalnej konstrukcji: $$

To jest odpowiedź.

Pozostaje znaleźć analogicznie, używając $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Jak zawsze, jedno wyrażenie obliczamy oddzielnie:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Kontynuujemy rozwiązywanie podstawowego projektu:

Wszystko zostało obliczone. Jak widać, w zależności od tego, która zmienna zostanie przyjęta do różnicowania, odpowiedzi są zupełnie inne.

Niuanse rozwiązania

Oto uderzający przykład tego, jak pochodną tej samej funkcji można obliczyć na dwa różne sposoby. Popatrz tutaj:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ lewo(1+\frac(1)(y) \prawo)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Wybierając różne ścieżki, ilość obliczeń może być inna, ale odpowiedź, jeśli wszystko zostanie wykonane poprawnie, będzie taka sama. Dotyczy to zarówno pochodnych klasycznych, jak i cząstkowych. Jednocześnie przypominam jeszcze raz: w zależności od tego, jaką zmienną przyjmujemy pochodną, czyli: różnicowania, odpowiedź może okazać się zupełnie inna. Patrzeć:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Podsumowując, aby skonsolidować cały ten materiał, spróbujmy obliczyć jeszcze dwa przykłady.

Zadania funkcji trygonometrycznych i funkcji z trzema zmiennymi

Zadanie nr 1

Zapiszmy następujące formuły:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=(e)^(x))\]

Rozwiążmy teraz nasze wyrażenie:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Obliczmy oddzielnie następującą konstrukcję:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ lewy(\sin y \prawy))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Kontynuujemy rozwiązywanie pierwotnego wyrażenia:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

To jest ostateczna odpowiedź zmiennej prywatnej na $x$. Teraz policzmy przez $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Rozwiążmy jedno wyrażenie osobno:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Rozwiążmy naszą konstrukcję do końca:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problem nr 2

Na pierwszy rzut oka ten przykład może wydawać się dość skomplikowany, ponieważ występują w nim trzy zmienne. W rzeczywistości jest to jeden z najbardziej proste zadania w dzisiejszym samouczku wideo.

Znajdź według $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x(e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Zajmijmy się teraz $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Znaleźliśmy odpowiedź.

Teraz pozostaje tylko znaleźć według $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Obliczyliśmy trzecią pochodną, co kończy rozwiązanie drugiego problemu.

Niuanse rozwiązania

Jak widać, w tych dwóch przykładach nie ma nic skomplikowanego. Jedyne, czego jesteśmy pewni, to to, że pochodna funkcji zespolonej jest często używana i w zależności od tego, którą pochodną cząstkową obliczymy, otrzymamy różne odpowiedzi.

W ostatnim zadaniu zostaliśmy poproszeni o zajęcie się funkcją trzech zmiennych jednocześnie. Nie ma w tym nic złego, ale na sam koniec przekonaliśmy się, że wszystkie znacząco się od siebie różnią.

Kluczowe punkty

Ostateczne wnioski z dzisiejszego samouczka wideo są następujące:

Pochodne cząstkowe oblicza się w taki sam sposób jak zwykłe, z tym że aby obliczyć pochodną cząstkową względem jednej zmiennej, wszystkie pozostałe zmienne zawarte w tej funkcji przyjmujemy jako stałe.
Pracując z pochodnymi cząstkowymi, używamy tych samych standardowych wzorów, co przy zwykłych pochodnych: suma, różnica, pochodna iloczynu i ilorazu oraz oczywiście pochodna funkcji zespolonej.

Oczywiście samo obejrzenie tej lekcji wideo nie wystarczy, aby w pełni zrozumieć ten temat, dlatego teraz na mojej stronie znajduje się zestaw zadań do tego filmu specjalnie poświęconych dzisiejszemu tematowi - wejdź, pobierz, rozwiąż te zadania i sprawdź odpowiedź . A potem żadnych problemów z pochodnymi cząstkowymi ani na egzaminach, ani w niezależna praca nie będziesz mieć. Oczywiście to nie ostatnia lekcja wyższej matematyki, więc odwiedź naszą stronę, dodaj VKontakte, subskrybuj YouTube, polub i zostań z nami!

Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych. Zwiększmy argument i pozostawmy argument bez zmian. Wtedy funkcja otrzyma przyrost, który nazywa się częściowym przyrostem przez zmienną i oznacza:

Podobnie ustalając argument i podając przyrost argumentu, otrzymujemy częściowy przyrost funkcji o zmienną:

Wielkość nazywa się całkowitym przyrostem funkcji w punkcie.

Definicja 4. Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych po jednej z tych zmiennych jest granica stosunku odpowiedniego przyrostu cząstkowego funkcji do przyrostu danej zmiennej, gdy ta ostatnia dąży do zera (jeżeli granica ta istnieje). Pochodną cząstkową oznacza się następująco: lub, lub.

Zatem z definicji mamy:

Pochodne cząstkowe funkcji oblicza się według tych samych zasad i wzorów, jak funkcję jednej zmiennej, biorąc pod uwagę, że różniczkując ze względu na zmienną, uważa się ją za stałą, a różniczkując ze względu na zmienną, za stałą .

Przykład 3. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji:

Rozwiązanie. a) Aby znaleźć, uważamy ją za wartość stałą i różniczkujemy ją jako funkcję jednej zmiennej:

Podobnie, zakładając stałą wartość, znajdujemy:

Definicja 5. Różniczka całkowita funkcji to suma iloczynów pochodnych cząstkowych tej funkcji przez przyrosty odpowiednich zmiennych niezależnych, tj.

Biorąc pod uwagę, że różniczki zmiennych niezależnych pokrywają się z ich przyrostami, tj. , wzór na różnicę całkowitą można zapisać jako

Przykład 4. Znajdź całkowitą różnicę funkcji.

Rozwiązanie. Ponieważ, korzystając z całkowitego wzoru różniczkowego, znajdujemy

Pochodne cząstkowe wyższego rzędu

Pochodne cząstkowe nazywane są pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu lub pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.

Definicja 6. Pochodne cząstkowe funkcji drugiego rzędu to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.

Istnieją cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Są one oznaczone w następujący sposób:

Podobnie definiuje się pochodne cząstkowe trzeciego, czwartego i wyższych rzędów. Przykładowo dla funkcji mamy:

Częściowe pochodne sekundy lub więcej wysoki porządek przejęte różne zmienne nazywane są mieszanymi pochodnymi cząstkowymi. W przypadku funkcji są to pochodne. Należy zauważyć, że w przypadku, gdy pochodne mieszane są ciągłe, zachodzi równość.

Przykład 5. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji drugiego rzędu

Rozwiązanie. Pochodne cząstkowe tej funkcji pierwszego rzędu można znaleźć w przykładzie 3:

Różniczkując po zmiennych x i y otrzymujemy

Rozważono przykłady obliczania pochodnych funkcji jawnych wyższego rzędu. Podano przydatne wzory do obliczania pochodnych n-tego rzędu.

Treść

Wyznaczanie pochodnych wyższego rzędu

Rozważamy tutaj przypadek, w którym zmienna y zależy bezpośrednio od zmiennej x:
.
Różniczkując funkcję ze względu na zmienną x, otrzymujemy pochodną pierwszego rzędu, czyli po prostu pochodną:
.
W efekcie otrzymujemy nową funkcję będącą pochodną tej funkcji. Różniczkując tę nową funkcję ze względu na zmienną x, otrzymujemy pochodną drugiego rzędu:
.
Różniczkując funkcję, otrzymujemy pochodną trzeciego rzędu:
.
I tak dalej. Różniczkując funkcję pierwotną n razy, otrzymujemy pochodną n-tego rzędu lub pochodną n-tego rzędu:
.

Można oznaczyć instrumenty pochodne kresek, cyfr rzymskich, cyfr arabskich w nawiasach lub ułamków różniczkowych. Przykładowo pochodne trzeciego i czwartego rzędu można oznaczyć następująco:
;
.

Poniżej znajdują się wzory, które mogą być przydatne przy obliczaniu pochodnych wyższego rzędu.

Przydatne wzory na pochodne n-tego rzędu

Pochodne niektórych funkcji elementarnych:
;
;
;
;
.

Pochodna sumy funkcji:
,
gdzie są stałe.

Formuła Leibniza pochodna iloczynu dwóch funkcji:
,
Gdzie
- współczynniki dwumianowe.

Przykład 1

Znajdź pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji:
.

Znajdujemy pochodną pierwszego rzędu. Wyjmujemy stałą poza znak pochodnej i stosujemy wzór z tabeli pochodnych:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych:
.
Tutaj .
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej i korzystamy ze znalezionych pochodnych:
.
Tutaj .

.
Aby znaleźć pochodną drugiego rzędu, należy znaleźć pochodną pochodnej pierwszego rzędu, czyli funkcji:
.
Aby uniknąć nieporozumień z zapisem, oznaczmy tę funkcję literą:
(A1.1) .
Następnie pochodna drugiego rzędu z pierwotnej funkcji jest pochodną funkcji:
.

Znajdowanie pochodnej funkcji. Łatwiej to zrobić, korzystając z pochodnej logarytmicznej. Logarytmujemy (A1.1):
.
Teraz rozróżnijmy:
(A1.2) .
Ale to jest stałe. Jej pochodna wynosi zero. Znaleźliśmy już pochodną. Pozostałe pochodne znajdujemy korzystając z zasady różniczkowania funkcji zespolonej.
;
;
.
Podstawiamy w (A1.2):

.
Stąd
.

;
.

Przykład 2

Znajdź pochodną trzeciego rzędu:
.

Znalezienie pochodnej pierwszego rzędu. Aby to zrobić, bierzemy stałą poza znak pochodnej i używamy tabela instrumentów pochodnych i zastosuj zasada znajdowania pochodnej funkcji zespolonej .

.
Tutaj .
Zatem znaleźliśmy pochodną pierwszego rzędu:
.

Znalezienie pochodnej drugiego rzędu. Aby to zrobić, znajdujemy pochodną . Stosujemy wzór na ułamek pochodny.
.
Pochodna drugiego rzędu:
.

Teraz znajdujemy to, czego szukamy pochodna trzeciego rzędu. W tym celu różnicujemy.
;
;

.

Pochodna trzeciego rzędu jest równa
.

Przykład 3

Znajdź pochodną szóstego rzędu funkcji:
.

Jeśli otworzysz nawiasy, stanie się jasne, że pierwotna funkcja jest wielomianem stopnia. Zapiszmy to jako wielomian:
,
gdzie są stałymi współczynnikami.

Następnie aplikujemy n-ta formuła pochodna funkcji potęgowej:
.
Dla pochodnej szóstego rzędu (n = 6 ) mamy:
.
Z tego jasno wynika, że o godz. Kiedy mamy:
.

Korzystamy ze wzoru na pochodną sumy funkcji:

.
Zatem, aby znaleźć pochodną szóstego rzędu funkcji pierwotnej, wystarczy znaleźć współczynnik wielomianu na najwyższym stopniu. Znajdujemy go mnożąc największe potęgi w iloczynach sum pierwotnej funkcji:

.
Stąd. Następnie
.

Przykład 4

Znajdź n-tą pochodną funkcji
.

Rozwiązanie > > >

Przykład 5

Znajdź n-tą pochodną funkcji:
,
gdzie i są stałymi.

W tym przykładzie wygodnie jest wykonać obliczenia przy użyciu liczb zespolonych. Miejmy jakąś złożoną funkcję
(A5.1) ,
gdzie i są funkcjami zmiennej rzeczywistej x;
- jednostka urojona, .
Różniczkując (A.1) n razy mamy:
(A5.2) .
Czasami łatwiej jest znaleźć n-tą pochodną funkcji. Następnie definiuje się n-te pochodne funkcji jako części rzeczywiste i urojone n-tej pochodnej:
;
.

Użyjmy tej techniki do rozwiązania naszego przykładu. Rozważ funkcję
.
Tutaj zastosowaliśmy wzór Eulera
,
i wprowadził oznaczenie
.
Następnie n-tą pochodną funkcji pierwotnej wyznacza się ze wzoru:
.

Znajdźmy n-tą pochodną funkcji
.
W tym celu stosujemy wzór:
.
W naszym przypadku
.
Następnie
.

Znaleźliśmy więc n-tą pochodną funkcji zespolonej:
,
Gdzie .
Znajdźmy część rzeczywistą funkcji.
Aby to zrobić, wyobraźmy sobie Liczba zespolona V forma demonstracyjna:
,
Gdzie ;
; .
Następnie
;

.

Przykładowe rozwiązanie
.

Pozwalać , .
Następnie ;
.
Na ,
,
,
.
Otrzymujemy wzór na n-tą pochodną cosinusa:
.

,
Gdzie
; .

Pojęcie funkcji wielu zmiennych

Niech będzie n-zmiennych i każdemu x 1, x 2 ... x n z pewnego zbioru x przypisana jest definicja. liczbę Z, wówczas na zbiorze x dana jest funkcja Z = f (x 1, x 2 ... x n) wielu zmiennych.

X – obszar definicji funkcji

x 1, x 2 ... x n – zmienna niezależna (argumenty)

Z – funkcja Przykład: Z=P x 2 1 *x 2 (Objętość cylindra)

Rozważmy Z=f(x;y) – funkcję 2 zmiennych (x 1, x 2 zastąpione przez x,y). Wyniki przenoszone są przez analogię na inne funkcje wielu zmiennych. Obszarem do określenia funkcji 2 zmiennych jest cały sznur (oh) lub jego część. Liczba wartości funkcji 2 zmiennych jest powierzchnią w przestrzeni trójwymiarowej.

Techniki konstruowania wykresów: - Rozważ przekrój powierzchni w kwadratach || współrzędne kwadratów.

Przykład: x = x 0, zn. kwadrat X || 0уz y = y 0 0хz Typ funkcji: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Na przykład: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Otoczenie paraboli (środek (0,1)

Granice i ciągłość funkcji dwóch zmiennych

Niech będzie dane Z=f(x;y), wówczas A będzie granicą funkcji w t.(x 0 ,y 0), jeśli dla dowolnego dowolnie małego zbioru. liczba E>0 jest liczbą dodatnią b>0, która dla wszystkich x, y spełniających |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) jest ciągłe w t. (x 0 ,y 0) jeżeli: - jest określone w tym t.; - ma finał granica przy x, zmierzająca do x 0 i y do y 0; - ten limit = wartość

funkcje w t. (x 0 ,y 0), tj. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Jeśli funkcja jest ciągła w każdym t. mn-va X, to jest ciągły w tym obszarze

Funkcja różniczkowa, jej znaczenie geometryczne. Zastosowanie różniczki w wartościach przybliżonych.

dy=f’(x)∆x – funkcja różniczkowa

dy=dx, tj. dy=f ’(x)dx jeśli y=x

Z geologicznego punktu widzenia różniczka funkcji jest przyrostem rzędnej stycznej narysowanej do wykresu funkcji w punkcie z odciętą x 0

Dif-l służy do obliczania ok. wartości funkcji według wzoru: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Im bliżej ∆x jest x, tym dokładniejszy jest wynik

Pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu

Pochodna pierwszego rzędu (która nazywa się cząstkowa)

A. Niech x, y będą przyrostami zmiennych niezależnych x i y w pewnym punkcie obszaru X. Wtedy wartość z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) nazywana jest sumą przyrost w punkcie x 0, y 0. Jeśli ustalimy zmienną x i podamy przyrost y zmiennej y, otrzymamy zу = f(x,y,+ y) – f(x,y)

W podobny sposób wyznacza się pochodną cząstkową zmiennej y, tj.

Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych wyznacza się według tych samych zasad, co w przypadku funkcji jednej zmiennej.

Różnica polega na tym, że różniczkując funkcję ze względu na zmienną x, y uważa się za stałą, a przy różniczkowaniu ze względu na y, x uważa się za stałą.

Izolowane stałe są połączone z funkcją za pomocą operacji dodawania/odejmowania.

Stałe związane łączy się z funkcją za pomocą operacji mnożenia/dzielenia.

Pochodna izolowanej stałej = 0

1.4.Pełna funkcja różniczkowa dwóch zmiennych i jej zastosowania

Niech więc z = f(x,y).

tz = - zwany pełnym przyrostem

Pochodna cząstkowa drugiego rzędu

Dla funkcji ciągłych 2 zmiennych mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu pokrywają się.

Zastosowanie pochodnych cząstkowych do wyznaczania pochodnych cząstkowych funkcji max i min nazywane jest ekstremami.

A. Punkty nazywane są max lub min z = f(x,y), jeśli istnieją takie odcinki, że dla wszystkich x i y z tego sąsiedztwa f(x,y)

T. Jeżeli dane jest ekstremum funkcji 2 zmiennych, to wartość pochodnych cząstkowych w tym punkcie jest równa 0, tj. ,

Punkty, w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu nazywane są stacjonarnymi lub krytycznymi.

Dlatego, aby znaleźć ekstrema funkcji 2 zmiennych, stosuje się warunki ekstremalne wystarczające.

Niech funkcja z = f(x,y) będzie dwukrotnie różniczkowalna i będzie punktem stacjonarnym,

1) i maksA<0, minA>0.

1.4.(*)Pełny mechanizm różnicowy. Geometryczne znaczenie różniczki. Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych

A. Niech będzie zdefiniowana funkcja y = f(x) w pewnym sąsiedztwie punktów. Mówi się, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie, jeśli jej przyrost w tym punkcie jest różniczkowalny , gdzie jest on przedstawiony w postaci (1)

Gdzie A jest stałą wartością niezależną od , w ustalonym punkcie x i jest nieskończenie mała w . Względnie liniowa funkcja A nazywana jest różniczką funkcji f(x) w punkcie i oznaczana df() lub dy.

Zatem wyrażenie (1) można zapisać jako ().

Różniczka funkcji w wyrażeniu (1) ma postać dy = A. Jak każda funkcja liniowa, jest ona definiowana dla dowolnej wartości natomiast przyrost funkcji należy rozpatrywać tylko dla tych, dla których + należy do dziedziny definicji funkcji f(x).

Dla wygody zapisywania różniczki przyrost oznacza się przez dx i nazywa się różnicą zmiennej niezależnej x. Dlatego różnicę zapisuje się jako dy = Adx.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w każdym punkcie pewnego przedziału, to jej różniczka jest funkcją dwóch zmiennych – punktu x i zmiennej dx:

T. Aby funkcja y = g(x) była w pewnym punkcie różniczkowalna, konieczne i wystarczające jest, aby w tym miejscu miała pochodną, oraz

(*)Dowód. Konieczność.

Niech funkcja f(x) będzie różniczkowalna w punkcie, tj. . Następnie

Zatem pochodna f’() istnieje i jest równa A. Stąd dy = f’()dx

Adekwatność.

Niech będzie pochodna f’(), tj. = f'(). Wtedy krzywa y = f(x) jest odcinkiem stycznym. Aby obliczyć wartość funkcji w punkcie x, weźmy punkt w pewnym jego sąsiedztwie, tak że nie jest trudno znaleźć f() i f’()/