Rozwiązywanie zadań B8 z wykorzystaniem materiałów otwarty bank Problemy z egzaminem jednolitym z matematyki 2012 Prosta y = 4x + 11 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y = x2 + 8x + 6. Znajdź odciętą punktu styczności nr 1 Rozwiązanie: Jeśli prosta jest równoległa do styczna do wykresu funkcji w pewnym punkcie (nazwijmy to xo), to jej współczynnik kątowy (w naszym przypadku k = 4 z równania y = 4x +11) jest równy wartości pochodnej funkcji w punkt xo: k = f ′(xo) = 4 Pochodna funkcji f′(x) = (x2+8x + 6)′= 2x +8. Oznacza to, że do znalezienia żądanego punktu stycznego potrzebne jest 2xo + 8 = 4, skąd xo = – 2. Odpowiedź: – 2. Prosta y = 3x + 11 jest styczna do wykresu

  • funkcje y = x3−3x2− 6x + 6.
  • Znajdź odciętą punktu stycznego.
    • Nr 2 Rozwiązanie: Należy pamiętać, że jeśli prosta jest styczna do wykresu, to jej nachylenie (k = 3) musi być równe pochodnej funkcji w punkcie styczności, z której mamy Zx2 − 6x − 6 = 3 , czyli Zx2 − 6x − 9 = 0 lub x2 − 2x − 3 = 0. To jest równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: −1 i 3. Istnieją zatem dwa punkty, w których styczna do wykresu funkcji y = x3 − 3x2 − 6x + 6 ma nachylenie równe 3. Aby ustalić, który z tych dwóch punktów prosta y = 3x + 11 styka się z wykresem funkcji, obliczmy wartości funkcji w tych punktach i sprawdźmy, czy spełniają one równanie styczne. Wartość funkcji w punkcie −1 to y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, a wartość w punkcie 3 to y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Zauważ, że punkt o współrzędnych (−1; 8) spełnia równanie styczne, ponieważ 8 = −3 + 11. Natomiast punkt (3; −12) nie spełnia równania stycznego, ponieważ −12 ≠ 9 + 11. To oznacza, że ​​wymagana odcięta punktu styczności wynosi −1. Odpowiedź: −1. Rysunek przedstawia wykres y = f ′(x) – pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (–10; 8). W którym punkcie odcinka [–8; –4] przyjmuje funkcję f(x). najmniejsza wartość.№3 Rozwiązanie: Zauważ, że w segmencie [–8; –4] pochodna funkcji jest ujemna, co oznacza, że ​​sama funkcja jest malejąca, co oznacza, że ​​przyjmuje najmniejszą wartość na tym odcinku na prawym końcu odcinka, czyli w punkcie –4.у = f ′(x) f(x) –Odpowiedź: –4 .Rysunek przedstawia wykres y = f ′(x) – pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (–8; 8). Znajdź liczbę ekstremów funkcji f(x), należący do segmentu [– 6; 6).Nie.4 Rozwiązanie: W punkcie ekstremalnym pochodna funkcji jest równa 0 lub nie istnieje. Można zauważyć, że istnieją takie punkty należące do odcinka [–6; 6] trzy. W tym przypadku w każdym punkcie pochodna zmienia znak albo z „+” na „–”, albo z „–” na „+”.у = f ′(x) ++––Odpowiedź: 3. Na rysunku pokazano wykres у = f ′(x) – pochodna funkcji f(x), określona na przedziale (–8; 10). Znajdź ekstremum funkcji f(x) na przedziale (– 4; 8). Rozwiązanie nr 5. Zauważ, że na przedziale (–4; 8) pochodna w punkcie xo = 4 ma wartość 0 i przy przejściu przez ten punkt następuje zmiana pochodnej znaku z „–” na „+”, punkt 4 jest pożądanym ekstremum funkcji na danym przedziale. y = f ′(x) +–Odpowiedź: 4. Na rysunku przedstawiono wykres y = f ′(x) – pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (–8; 8). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f(x) jest równoległa do prostej y = –2x + 2 lub z nią pokrywa się. Nr 6 Rozwiązanie: Jeżeli styczna do wykresu funkcji f (x) jest równoległy do ​​prostej y = –2x+ 2 lub pokrywa się z nią, to jej nachylenie k = –2, co oznacza, że ​​musimy znaleźć liczbę punktów, w których pochodna funkcji f ′(x) = – 2. W tym celu na wykresie pochodnej narysuj linię prostą y = –2 i zlicz liczbę punktów na wykresie pochodnej leżących na tej prostej. Są 4 takie punkty y = f ′(x) y = –2Odpowiedź: 4. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f(x), określonej na przedziale (–6; 5). Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji jest ujemna Nr 7y Rozwiązanie: Zauważ, że pochodna funkcji jest ujemna, jeśli sama funkcja f(x) jest malejąca, co oznacza konieczność znalezienia liczby. punktów całkowitych wchodzących w skład przedziałów funkcji malejącej Jest 6 takich punktów: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x. ) x–6–45–1–20–33 Odpowiedź: 6. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x), określonej na przedziale (–6; 6). Znajdź liczbę punktów, w których występuje styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej y = –5. Nr 8yRozwiązanie: Prosta y = −5 jest pozioma, co oznacza, że ​​jeśli styczna do wykresu funkcji jest do niej równoległa, to również jest pozioma. W konsekwencji nachylenie w wymaganych punktach k = f′(x)= 0. W naszym przypadku są to punkty ekstremalne. W punkcie odciętej xo znajduje się 6 takich punktów. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie xo. Nr 9 Rozwiązanie: Wartość pochodnej funkcji f′(хo) = tanα = k do współczynnika równokątnego stycznej narysowanej do wykresu tej funkcji w danym punkcie. W naszym przypadku k > 0, gdyż α– kąt ostry(tgα > 0). Aby znaleźć nachylenie, wybieramy dwa punkty A i B leżące na stycznej, których odcięte i rzędne są liczbami całkowitymi. Teraz określmy moduł współczynnika kątowego. W tym celu będziemy budować trójkąt ABC. tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1,25 у = f(x) Вα5хоαС4АOdpowiedź: 1,25. Rysunek przedstawia wykres funkcji у = f(x), określonej na przedziale (–10; 2) i stycznej do w punkcie z odciętą xo. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie xo. Nr 10 Rozwiązanie: Wartość pochodnej funkcji f′(хo) = tanα = k do równokątnego współczynnika stycznej narysowanej do wykresu tej funkcji w danym punkcie. W naszym przypadku k< 0, так как α– kąt rozwarty(tgα< 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, ruch prostoliniowy wykonane zgodnie z prawem x = x(t), jest równe wartości pochodnej funkcji xnput = to, pożądana prędkość będzie wynosić x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s. Odpowiedź: 4. Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, gdzie x jest odległością od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach, mierzony od początku ruchu. W jakim momencie (w sekundach) jego prędkość była równa 4 m/s. Rozwiązanie nr 16. Ponieważ chwilowa prędkość punktu w czasie do, ruchu prostoliniowego wykonywanego według prawa x = x(t), jest równa wartości pochodnej funkcji xnput = to, pożądana prędkość będzie wynosić x ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = do – 2, Ponieważ według warunku x ′(to) = 4, następnie do – 2 = 4, skąd do = 4 + 2 = 6 m/s. Odpowiedź: 6. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x), określonej na przedziale (– 8; 6). Znajdź sumę punktów ekstremalnych funkcji f(x). Nr 17 Rozwiązanie: Punktami ekstremalnymi są punkty minimalne i maksymalne. Można zauważyć, że w przedziale (–8; 6) znajduje się pięć takich punktów. Znajdźmy sumę ich odciętych: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Odpowiedź: 6. Rysunek pokazuje wykres pochodnej y = f ′ (x) – funkcja f (x), określona na przedziale (–10; 8). Znajdź przedziały rosnącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów. Rozwiązanie: Zauważ, że funkcja f(x) rośnie, jeśli pochodna funkcji jest dodatnia; co oznacza, że ​​należy znaleźć sumę punktów całkowitych zawartych w przedziałach funkcji rosnącej. Jest 7 takich punktów: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x =. 6, x = 7. Ich suma: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Odpowiedź: 20. Użyte materiały
  • Jednolity egzamin państwowy 2012. Matematyka. Zadanie B8. Geometryczne znaczenie pochodnej. Podręcznik z ćwiczeniami/ wyd. GLIN. Semenow i I.V. Jaszczenko. wydanie 3. stereotyp. − M.: MTsNMO, 2012. − 88 s.
  • http://mathege.ru/or/ege/Main− Materiały otwartego banku zadań z matematyki 2012

    • „B8 z jednolitego egzaminu państwowego z matematyki” – minimalna liczba punktów. Pochodna funkcji jest ujemna. Znajdź wartość pochodnej funkcji. Znajdź odciętą punktu stycznego. Prędkość. Wartość pochodnej funkcji. Pochodna. Czas. Wykres pochodnej funkcji. Znajdź pochodną funkcji. Przedziały funkcji rosnącej. Rozwiązywanie zadań egzaminu B8 Unified State Examation z matematyki.

    „B3 z matematyki” – Notatka dla ucznia. Umiejętności CT. Prototyp zadania. Treść zadania B3. Prototyp zadania B3. Prototyp zadania B3. Równanie. Podstawowe właściwości korzeni. Znajdź pierwiastek równania. Logarytmy. Logarytmy z na tej samej podstawie. Stopień. Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Zadania dla niezależna decyzja.

    „Rozwiązywanie zadań B11” - Zadania. Początki analiza matematyczna. Znajdować najwyższa wartość funkcje w segmencie. Formuły. Znajdź największą wartość funkcji. Umiejętności CT. Zadania do samodzielnego rozwiązania. Znajdź najmniejszą wartość funkcji w segmencie. Znajdź najmniejszą wartość funkcji. Badanie. Rozwiązanie. Notatka dla ucznia.

    „B1 w jednolitym egzaminie państwowym z matematyki” - Najmniejsza liczba. Kok. Bilet. Amerykański samochód. Czajnik elektryczny. Promocja. Dzień. Terminal płatniczy. Medycyna. Zadania B1. Klient. Statek motorowy. Notatnik ogólny. Przepływomierz ciepłej wody. Bilet kolejowy. Emeryci.

    „Zadania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki” - Zadanie B 13. Musimy rozwiązać jeszcze kilka przykładów. Zadanie B 6. Znajdź prędkość motocyklisty. Zadanie B 1. O ile powinien podnieść się poziom wody po opadach deszczu? Znajdź obszar. Po opadach deszczu poziom wody w studni może się podnieść. Zadanie B 5. Zadanie B 12. Niezależna praca. Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego. Zadanie B 3.

    „B1 z matematyki” - Marmolada. Promocja. Rabat w dniu sprzedaży. Ampułka. Pralka. Autobus. Podatek dochodowy. Butelka szamponu. Zeszyt. Najmniejsza liczba. Telefon komórkowy. Bilet autobusowy międzymiastowy. Taksówkarz. Sklep. Bilet. Kawałek masła. Róża. Zadania B1 Jednolity egzamin państwowy z matematyki. Rozwiązanie.

    Łącznie w tej tematyce znajdują się 33 prezentacje

    Rozwiązywanie zadań B8 Unified State Exam z matematyki Na rysunku przedstawiono wykres funkcje y = k(x), zdefiniowany na przedziale (-5; 5). Znajdź liczbę punktów, w których pochodna f'(x) równy 0

    • Odpowiedź: 4
    k(x), zdefiniowany na przedziale (-10; 8). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji k(x) na odcinku [−9;6].
    • Rozwiązanie. Maksymalne punkty odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z plusa na minus. Na odcinku [−9;6] funkcja ma dwa maksimum X= - 4 i X= 4. Odpowiedź: 2.
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (−1; 12). Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji jest ujemna.
    • Rozwiązanie.

    Pochodna funkcji jest ujemna w tych przedziałach, w których funkcja maleje, czyli w przedziałach (0,5; 3), (6; 10) i (11; 12). Zawierają całe punkty 1, 2, 7, 8 i 9. Łącznie jest 5 punktów. Odpowiedź: 5.

    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (−10; 4). Znajdź przedziały zmniejszania się funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

    • Rozwiązanie. Malejące przedziały funkcji k(x) odpowiadają przedziałom, na których pochodna funkcji jest ujemna, czyli przedziałowi (-9; -6) o długości 3 i przedziałowi (-2; 3) o długości 5. Długość największego z nich wynosi 5 Odpowiedź: 5.
    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji k(x), zdefiniowany na przedziale (-7; 14). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji k(x) na przedziale [-6; 9].
    • Rozwiązanie. Maksymalne punkty odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z dodatniego na ujemny. Na odcinku [−6; 9] funkcja ma jeden punkt maksymalny X= 7. Odpowiedź: 1.
    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (−8; 6). Znajdź przedziały wzrostu funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.
    • Rozwiązanie. Przedziały funkcji rosnącej k(x) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest dodatnia, czyli przedziałom (-7; -5), (2; 5). Największym z nich jest przedział (2; 5), którego długość wynosi 3.
    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji k(x), zdefiniowany na przedziale (-7; 10). Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji k(x) na przedziale [−3; 8].
    • Rozwiązanie. Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z minus na plus. Na odcinku [−3; 8] funkcja ma jeden punkt minimalny X= 4. Odpowiedź: 1.
    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji k(x), zdefiniowany na przedziale (-16; 4). Znajdź liczbę ekstremów funkcji k(x) na odcinku [−14; 2].
    • Rozwiązanie. Punkty ekstremalne odpowiadają punktom, w których zmienia się znak pochodnej – zerom pochodnej pokazanej na wykresie. Pochodna znika w punktach -13, -11, -9, -7. Na odcinku [−14; 2] funkcja ma 4 ekstrema. Odpowiedź: 4.
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), zdefiniowany na przedziale (-2; 12). Znajdź sumę ekstremów funkcji k(x).
    • Rozwiązanie. Podana funkcja ma maksima w punktach 1, 4, 9, 11 i minima w punktach 2, 7, 10. Zatem suma ekstremów wynosi 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Odpowiedź : 44.
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie odciętej X 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji k(x) w tym punkcie X 0 .
    • Rozwiązanie. Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej, która z kolei jest równa tangensowi kąta nachylenia tej stycznej do osi odciętej. Skonstruujmy trójkąt o wierzchołkach w punktach A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Kąt nachylenia stycznej do osi odciętej będzie wynosił równy kątowi, sąsiadujący z kątem ACB
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do tego wykresu w punkcie odciętych równym 3. Znajdź wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 3.

    Aby rozwiązać, używamy znaczenie geometryczne pochodna: wartość pochodnej funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej do wykresu tej funkcji narysowanego w tym punkcie. Współczynnik nachylenia tangens jest równy tangensowi kąta pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi x (tg α). Kąt α = β, jako kąty poprzeczne z liniami równoległymi y=0, y=1 i sieczną-styczną. Dla trójkąta ABC

    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą xo. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x®.

    • Zgodnie z własnościami stycznej, wzór na styczną do funkcji f(x) w punkcie x 0 jest równy
    • y=f ′ (x 0)⋅x+b, b=stała
    • Z rysunku wynika, że ​​styczna do funkcji f(x) w punkcie x0 przechodzi przez punkty (-3;2), (5,4). Możemy zatem stworzyć układ równań
    Rysunek przedstawia wykres y=f’(x)- pochodna funkcji k(x), zdefiniowany na przedziale (-6; 6). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu f(x) jest równoległe lub pokrywa się z linią prostą y = -3x-11.
    • Odpowiedź: 4

    f’(x0)=-3

    Źródła

    • http://reshuege.ru/
    • http://egemat.ru/prepare/B8.html
    • http://bankege.ru/

    Cele:

    • Edukacyjny: powtórz podstawowe wzory i zasady różniczkowania, znaczenie geometryczne pochodnej; rozwijać umiejętność wszechstronnego zastosowania wiedzy, umiejętności, zdolności i ich przeniesienia do nowych warunków; sprawdź wiedzę, umiejętności i zdolności uczniów na ten temat w ramach przygotowań do ujednoliconego egzaminu państwowego.
    • Rozwojowy: promowanie rozwoju operacje umysłowe: analiza, synteza, uogólnienie; kształtowanie umiejętności poczucia własnej wartości.
    • Edukacyjny: promować chęć ciągłego doskonalenia swojej wiedzy

    Sprzęt:

    • Projektor multimedialny.

    Typ lekcji: systematyzacja i uogólnienia.
    Zakres wiedzy: dwie lekcje (90 min.)
    Oczekiwany wynik: nauczyciele wykorzystują zdobytą wiedzę w praktyczne zastosowanie, rozwijając przy tym umiejętności komunikacyjne, twórcze i poszukiwawcze oraz umiejętność analizowania otrzymanego zadania.

    Struktura lekcji:

    1. Org. Chwila, aktualizacja wiedzy niezbędnej do rozwiązania zadania praktyczne z materiałów z ujednoliconego egzaminu państwowego.
    2. Część praktyczna (sprawdzająca wiedzę uczniów).
    3. Refleksja, kreatywna praca domowa

    Postęp konsultacji

    I. Moment organizacyjny.

    Przesłanie tematu lekcji, celów lekcji, motywacji działalność edukacyjna(poprzez stworzenie problematycznej bazy wiedzy teoretycznej).

    II. Aktualizacja subiektywnych doświadczeń studentów i ich wiedzy.

    Przejrzyj zasady i definicje.

    1) jeżeli w pewnym punkcie funkcja jest ciągła i w tym miejscu pochodna zmienia znak z plusa na minus, to jest to punkt maksymalny;

    2) jeżeli w pewnym punkcie funkcja jest ciągła i w tym momencie pochodna zmienia znak z minus na plus, to jest to punkt minimalny.

    • Punkty krytyczne – są to punkty wewnętrzne dziedziny definicji funkcji, w których pochodna nie istnieje lub jest równa zeru.
    • Wystarczający znak wzrostu, malejąco funkcje .
    • Jeżeli f"(x)>0 dla wszystkich x z przedziału (a; b), to funkcja rośnie w przedziale (a; b).
    • Jeśli f „(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).
    • Algorytm znajdowania największego i najmniejsze wartości funkcji na odcinku [a;b], jeżeli dany jest wykres pochodnej funkcji:

    Jeśli pochodna odcinka jest dodatnia, to a jest najmniejszą wartością, b jest największą wartością.

    Jeśli pochodna odcinka jest ujemna, wówczas a jest największą wartością, a b jest najmniejszą wartością.

    Znaczenie geometryczne pochodnej jest następujące. Jeżeli możliwe jest narysowanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie, w którym odcięta x0 nie jest równoległa do osi y, to f "(x0) wyraża nachylenie stycznej: κ = f "(x0). Ponieważ κ = tanα, równość f "(x0) = tanα jest prawdziwa

    Rozważmy trzy przypadki:

    1. Styczna do wykresu funkcji tworzy kąt ostry z osią OX, tj. α< 90º. Производная положительная.
    2. Styczna tworzyła kąt rozwarty z osią OX, tj. α > 90°. Pochodna jest ujemna.
    3. Styczna jest równoległa do osi OX. Pochodna wynosi zero.

    Zadanie 1. Rysunek przedstawia wykres funkcje y = f(x) i styczna do tego wykresu narysowana w punkcie z odciętą -1. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0 = -1

    Rozwiązanie: a) Styczna do wykresu funkcji tworzy z osią OX kąt rozwarty. Korzystając ze wzoru redukcyjnego, znajdujemy tangens tego kąta tg(180° - α) = - tanα. Oznacza to f "(x) = - tanα. Z tego, co badaliśmy wcześniej, wiemy, że styczna jest równa stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

    Aby to zrobić, budujemy trójkąt prostokątny tak, aby wierzchołki trójkąta znajdowały się na wierzchołkach komórek. Liczymy komórki po przeciwnej stronie i sąsiedniej. Podziel przeciwną stronę przez sąsiednią stronę (slajd 44).

    b) Styczna do wykresu funkcji tworzy kąt ostry z osią OX.

    f "(x)= tgα. Odpowiedź będzie pozytywna. (Slajd 30)

    Ćwiczenia 2. Rysunek przedstawia wykres pochodna funkcja f(x), zdefiniowana na przedziale (-4; 13). Znajdź przedziały funkcji malejącej. W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

    Rozwiązanie: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

    Część praktyczna.
    35 minut Przygotowane slajdy wymagają wiedzy teoretycznej na temat lekcji. Celem slajdów jest umożliwienie studentom doskonalenia i praktycznego zastosowania wiedzy.
    Korzystając ze slajdów możesz:
    - badanie frontalne (uwzględnia się indywidualne cechy uczniów);
    - wyjaśniono formułowanie informacji o głównych pojęciach, właściwościach i definicjach;
    - algorytm rozwiązywania problemów. Uczniowie muszą odpowiedzieć na slajdy.

    IV. Praca indywidualna. Rozwiązywanie problemów za pomocą slajdów.

    V. Podsumowanie lekcji, refleksja.

    Umiejętności CT Określ wartość funkcji na podstawie wartości argumentu gdy
    różne sposoby określania funkcji; opisz zgodnie z harmonogramem
    zachowanie i właściwości funkcji, znajdowanie funkcji na wykresach
    wartości najwyższe i najniższe; budować wykresy
    badane funkcje
    Obliczanie pochodnych i funkcji pierwotnych elementarnych
    funkcje
    Zbadaj funkcje monotoniczności w najprostszych przypadkach,
    znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji
    Treść zadania B8 w IES
    Badania funkcji
    4.2.1 Zastosowanie pochodnej do badania funkcji i
    konspiratorstwo
    4.2.2 Przykłady wykorzystania pochodnej do znalezienia
    najlepsze rozwiązanie problemów stosowanych, w tym społeczno-gospodarczych

    Notatka dla ucznia

    Zadanie B8 – obliczenie pochodnej. Dla
    uczeń musi umieć rozwiązać zadanie
    obliczyć wartość funkcji na podstawie znanej
    argument za różnymi sposobami określania
    funkcje i znaleźć pochodne i
    funkcje pierwotne funkcji elementarnych.

    Tabela
    pochodne
    f” (x)
    formuły
    Z"
    0
    (X)"
    1
    (xa)"
    grzech"x
    topór 1
    gdy a≠1
    bo x
    cos"x
    grzech x
    tg"x
    1
    bo 2x
    1
    grzech 2x
    ctg"x
    (były)"
    były
    (topór)"
    a x ln a
    ln"x
    1
    X
    loga"x
    1
    x ln a
    (f+g)”
    pierdolić
    (f∙g)”
    f "g fg"
    (por.)”
    por"
    f`
    G
    (f „g fg”)
    g2
    (f(kx+b)) "
    kf” (kx b)
    (f(g(x))) "
    f " (g(x)) g" (x)

    Prototyp zadania B8 (nr 27485)

    Prosta y=7x-5 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x2+6x-8
    . Znajdź odciętą punktu stycznego.
    k=7 , następnie f "(x0)=7
    znajdź pochodną funkcji y=x2+6x-8,
    otrzymujemy:
    f "(x)=2x+6; f "(x0)= 2x0+6
    f”(x0)=7
    2x0+6=7
    2x0=1
    x0=0,5
    Rozwiązanie
    Odpowiedź:x0=0,5

    Zadanie B8 (nr 6009)
    Prosta y=6x+8 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x2-3x+5. Znajdź odciętą punktu
    dotykać.
    Zadanie B8 (nr 6011)
    Prosta y=7x+11 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x2+8x+6. Znajdź odciętą punktu
    dotykać.
    Zadanie B8 (nr 6013)
    Prosta y=4x+8 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x2-5x+7. Znajdź odciętą punktu stycznego.
    Zadanie B8 (nr 6015)
    Prosta y=3x+6 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x2-5x+8. Znajdź odciętą punktu
    dotykać.
    Zadanie B8 (nr 6017)
    Prosta y=8x+11 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x2+5x+7. Znajdź odciętą punktu
    dotykać.
    Zadanie B8 (nr 6019)
    Prosta y=-5x+4 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x2+3x+6. Znajdź odciętą punktu
    dotykać.
    Badanie
    ODPOWIEDZI: Nr 6009: 4.5
    № 6011: -0,5
    № 6013: 4,5
    № 6015: 4
    № 6017: 1,5
    № 6019: -4

    Prototyp zadania B8 (nr 27487)

    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (-6;8). Określić
    funkcja jest dodatnia.
    f(x) wzrasta o [-3;0] i o .
    Oznacza to, że pochodna funkcji jest dodatnia
    tych segmentów liczba punktów całkowitych wynosi 4
    Odpowiedź: 4
    Rozwiązanie

    Zadania do samodzielnego rozwiązania

    Zadanie B8 (nr 6399)

    zdefiniowany w przedziale (-9;8). Określić
    liczba punktów całkowitych, w których pochodna
    funkcja f(x) jest dodatnia.
    Zadanie B8 (nr 6869)
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x),
    zdefiniowany w przedziale (-5;6). Określić
    liczba punktów całkowitych, w których pochodna
    funkcja jest dodatnia.
    ODPOWIEDZI: Nr 6399: 7
    № 6869: 5
    Badanie

    Prototyp zadania B8 (nr 27488)
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) określonej na przedziale (-5;5) Wyznacz liczbę
    punkty całkowite, w których pochodna funkcji f(x) jest ujemna.
    f(x) zmniejsza się o [-4;1] i o .
    Oznacza to, że pochodna funkcji jest ujemna
    na tych segmentach. Liczba punktów całkowitych 4
    Rozwiązanie
    ODPOWIEDŹ:4

    Zadania do samodzielnego rozwiązania

    Zadanie B8 (nr 6871)
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x),
    zdefiniowany w przedziale (-1;12). Określić
    liczba punktów całkowitych, w których pochodna
    funkcja jest ujemna.
    Zadanie B8 (nr 6873)
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x),
    zdefiniowany na przedziale (-7;7). Określić
    liczba punktów całkowitych, w których pochodna
    funkcja jest ujemna.
    ODPOWIEDZI: Nr 6771: 3
    № 6873: 3
    Badanie

    Prototyp zadania B8 (nr 27489)

    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (-5;5). Znajdź liczbę punktów
    w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej y=6 lub z nią pokrywa się.
    K=0
    Odpowiedź: 4 punkty
    Rozwiązanie

    Zadania do samodzielnego rozwiązania

    Zadanie B8 (nr 6401)
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x),
    zdefiniowany w przedziale (-9;8). Znajdować
    liczba punktów, w których styczna do wykresu
    funkcja równoległa do prostej y=10
    Zadanie B8 (nr 6421)
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x),
    zdefiniowany w przedziale (-5;5) Znajdź
    liczba punktów, w których styczna do
    wykres funkcji jest równoległy do ​​prostej y=6
    ODPOWIEDZI: Nr 6401: 6
    № 6421: 4
    Badanie

    Prototyp zadania B8 (nr 27490)

    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (-2;12).
    Znajdź sumę ekstremów funkcji f(x).
    Funkcja ma 7 ekstremów; 1, 2, 4, 7, 9, 10,
    11.
    Znajdźmy ich sumę 1+2+4+7+9+10+11=44
    Rozwiązanie
    ODPOWIEDŹ:44

    Zadania do samodzielnego rozwiązania

    Zadanie B8 (nr 7329)


    punkty ekstremalne funkcji f(x).
    Badanie
    Zadanie B8 (nr 7331)
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x),
    zdefiniowany na przedziale (-7;5). Znajdź kwotę
    punkty ekstremalne funkcji f(x).
    ODPOWIEDZI: Nr 7329: 0
    № 7331: -10

    Prototyp zadania B8 (nr 27491)

    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-8;3). W którym momencie
    odcinek [-3;2] f(x) przyjmuje największą wartość.
    Na odcinku [-3;2] f(x) przyjmuje największą wartość
    wartość równa 0 przy x= -3.
    ODPOWIEDŹ: -3
    Rozwiązanie

    Zadania do samodzielnego rozwiązania

    Zadanie B8 (nr 6413)

    funkcja f(x), zdefiniowana na przedziale (-6;6). W
    jaki punkt [-5;-1] odcinka f(x) zajmuje
    największą wartość.
    Zadanie B8 (nr 6415)
    Rysunek przedstawia wykres pochodnej
    funkcja f(x) zdefiniowana na przedziale (-6:6). W
    jaki punkt odcinka f(x) zajmuje
    największą wartość.
    ODPOWIEDZI: #6413: -5
    №6415: 3
    Badanie

    Prototyp zadania B8 (nr 27492)

    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-8;4). W którym momencie
    segment [-7;-3] f(x) przyjmuje najmniejszą wartość.
    W odcinku [-7;-3] przyjmuje się f(x).
    najmniejsza wartość to 0 przy x= -7.
    ODPOWIEDŹ: -7
    Rozwiązanie

    Zadania do samodzielnego rozwiązania

    Zadanie B8 (nr 6403)

    f(x) zdefiniowane na przedziale (-9;8) . Który
    punkt odcinka [-8;-4] f(x) przyjmuje najmniejszy
    oznaczający.
    Zadanie B8 (nr 6405)
    Rysunek przedstawia wykres pochodnej
    funkcja f(x), zdefiniowana na przedziale (-9;8). W
    jaki punkt odcinka f(x) zajmuje
    najniższa wartość.
    ODPOWIEDZI: Nr 6403: -4
    №6405: 3
    Badanie

    Prototyp zadania B8 (nr 27503)

    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x0. Znajdować

    α
    f(x0)= k= tgA
    Rozważmy trójkąt prostokątny. W
    niemiecki tgα= 2/1 = 2
    f(x0)=2
    Rozwiązanie
    ODPOWIEDŹ:2

    Zadania do samodzielnego rozwiązania

    Zadanie B8 (nr 9051)
    Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i
    styczna do niego w punkcie z odciętą x0. Znajdować
    wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0.
    Zadanie B8 (nr 9055)
    Rysunek pokazuje wykres funkcji i
    styczna do niego w punkcie odciętej. Znajdować
    wartość pochodnej funkcji w punkcie.
    ODPOWIEDZI: #9051: -0,25
    №9055: 0,5
    Badanie

    Prototyp zadania B8 (nr 27494)

    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-7;14). Znajdować
    liczba maksymalnych punktów funkcji f(x) na odcinku [-6;9]
    W odcinku [-6;9] funkcja f(x) zmienia się 5 razy
    charakter monotonii, od rosnącego do
    maleje, co oznacza, że ​​posiada maksymalnie 5 punktów.
    Rozwiązanie
    ODPOWIEDŹ:4

    Zadania do samodzielnego rozwiązania

    Zadanie B8 (nr 7807)
    Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji
    f(x), określone na przedziale (-4;16). Znajdować
    liczba maksymalnych punktów funkcji f(x) on
    segment.
    Zadanie B8 (nr 7817)
    Rysunek przedstawia wykres pochodnej
    funkcja f(x), zdefiniowana na przedziale (13;8). Znajdź liczbę maksymalnych punktów
    funkcja f(x) na przedziale [-8;6].
    ODPOWIEDZI: Nr 6413: 4
    №6415: 4
    Badanie

    Lista polecanej literatury
    Najbardziej kompletne wydanie standardowych wersji rzeczywistych zadań egzaminu Unified State Examination: 2010: Matematyka / opracowanie autorskie. I.R. Wysocki, D.D. Guszczin, P.I. Zacharow i inni; edytowany przez A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. –
    M.:AST:Astrel, 2010. – 93, (3) s. 2010. – (Federalny Instytut Miar Pedagogicznych)
    Matematyka: planowanie tematyczne lekcji przygotowujących do egzaminu / Beloshistaya.V.
    A. – M: Wydawnictwo „Egzamin”, 2007. – 478 (2) s. (Seria „Ujednolicony egzamin państwowy 2007. Lekcja
    planowanie")
    Matematyka: samodzielne przygotowanie do egzaminu Unified State Exam / L.D. Lappo, MA Popow. – wyd. 3,
    przerobione I dodatkowe - M.: Wydawnictwo „Egzamin”, 2009. – 381, (3) s. 25-20. (Seria „Ujednolicony egzamin państwowy.
    Intensywny")
    Matematyka. Rozwiązywanie problemów grupy B / Yu.A. Glazkov, I.A. Varshavsky, M.Ya. Gaiashvilli.
    – M.: Wydawnictwo „Egzamin”, 2009. – 382 (2) s. 2-3. (Seria „Ujednolicony egzamin państwowy. 100 punktów”)
    Matematyka: szkolenie zadań tematycznych o podwyższonym stopniu trudności z odpowiedziami
    w celu przygotowania do egzaminu Unified State Exam oraz innych form egzaminów końcowych i wstępnych / komp.
    G.I. Kovaleva, T.I. Buzulina, O.L. Bezrukova, Yu.A. Róża. _ Wołgograd: Nauczyciel, 20089, 494 s.
    Shabunin M.I. i inne. Algebra i początki analizy: Materiały dydaktyczne dla klas 10-11. –
    wydanie 3. – M.: Mnemosyne, 2000. – 251 s.: il.

    Adresy stron internetowych
    www.fipi.ru – Federalny Instytut Pomiarów Pedagogicznych (FIPI). Zwróć szczególną uwagę
    zwróć uwagę na sekcję „Otwarty segment FBTZ” - jest to system przygotowujący do egzaminu Unified State Exam - online. Możesz odpowiadać na pytania z banku zadań Unified State Exam z różnych przedmiotów, a także
    wybrany temat.
    http://mathege.ru -Otwarty bank ujednoliconych problemów egzaminacyjnych z matematyki. Główne zadanie otwartego banku
    Zadania z egzaminu Unified State Exam z matematyki - dają wyobrażenie o tym, jakie zadania będą uwzględnione w opcjach
    Jednolity egzamin państwowy z matematyki w 2010 roku i pomoc absolwentom
    które pomogą Ci przygotować się do egzaminu. Tutaj znajdziesz wszystkie egzaminy testowe do Unified State Examination
    matematyki, które zostały już ukończone.
    http://egetrener.ru/ - matematyka: lekcje wideo, rozwiązywanie problemów z ujednoliconym egzaminem państwowym.
    http://ege-trener.ru/ - bardzo ekscytujące i skuteczne przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.
    Zarejestruj się i spróbuj dostać się do pierwszej 30-tki!
    uztest.ru - bezpłatne materiały przygotowujące do egzaminu Unified State Exam (i nie tylko Unified State Exam) z matematyki:
    interaktywne symulatory tematyczne, możliwość zapisania się na bezpłatne kursy on-line na
    przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam.
    www.ege.edu.ru to oficjalny portal informacyjny jednolitego egzaminu państwowego.
    Wykłady wideo on-line „Konsultacje dotyczące jednolitego egzaminu państwowego” ze wszystkich przedmiotów.
    Filmy z kategorii Unified State Exam. Wykłady z matematyki
    http://www.alexlarin.narod.ru/ege.html - materiały przygotowujące do Unified State Exam z matematyki (strona internetowa
    Larin Aleksander Aleksandrowicz).
    http://www.diary.ru/~eek/ - społeczność zapewniająca pomoc w rozwiązywaniu problemów z matematyki,
    Tutaj możesz pobrać wiele przydatnych książek z matematyki, w tym te przygotowujące do egzaminu Unified State Exam.
    http://4ege.ru/ - portal Unified State Exam, najnowsze informacje na temat Unified State Exam. Wszystkie informacje na temat egzaminu. Jednolity egzamin państwowy 2010.