Odpowiadająca takiej przestrzeni wektorowej. W tym artykule za punkt wyjścia zostanie przyjęta pierwsza definicja.

N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest oznaczona przez \mathbb E^n, notacja jest również często używana \mathbb R^n(jeśli z kontekstu jasno wynika, że ​​przestrzeń ma strukturę euklidesową).

Definicja formalna

Aby zdefiniować przestrzeń euklidesową, najłatwiej jest przyjąć za główne pojęcie iloczyn skalarny. Przestrzeń wektorową euklidesową definiuje się jako skończenie wymiarową przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych, na której wektorach określona jest funkcja o wartościach rzeczywistych (\cdot, \cdot), posiadający następujące trzy właściwości:

  • Dwuliniowość: dla dowolnych wektorów ty, w, w i dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b\quad (au+bv, w)=a(u,w)+b(v,w) I (u, av+bw)=a(u,v)+b(u,w);
  • Symetria: dla dowolnych wektorów u,v\quad (u,v)=(v,u);
  • Pozytywna pewność: dla każdego u\quad (u,u)\geqslant 0, I (u,u) = 0\Strzałka w prawo u=0.

Przykład przestrzeni euklidesowej - przestrzeń współrzędnych \mathbb R^n, składający się ze wszystkich możliwych krotek liczb rzeczywistych (x_1, x_2, \ldots, x_n), iloczyn skalarny, w którym określa się wzór (x,y) = \sum_(i=1)^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.

Długości i kąty

Iloczyn skalarny zdefiniowany w przestrzeni euklidesowej jest wystarczający do wprowadzenia geometrycznych pojęć długości i kąta. Długość wektora ty zdefiniowana jako \sqrt((u,u)) i jest wyznaczony |ty|. Dodatnia określoność iloczynu skalarnego gwarantuje, że długość niezerowego wektora jest różna od zera, a z dwuliniowości wynika, że |au|=|a||u|, oznacza to, że długości wektorów proporcjonalnych są proporcjonalne.

Kąt między wektorami ty I w określone przez formułę \varphi=\arccos \left(\frac((x,y))(|x||y|)\right). Z twierdzenia cosinus wynika, że ​​dla dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej ( Płaszczyzna euklidesowa) tę definicję kąt pokrywa się ze zwykłym. Wektory ortogonalne, podobnie jak w przestrzeni trójwymiarowej, można zdefiniować jako wektory, między którymi kąt jest równy \frac(\pi)(2).

Nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego-Schwarza i nierówność trójkąta

W podanej powyżej definicji kąta pozostała jedna luka: aby \arccos \left(\frac((x,y))(|x||y|)\right) została zdefiniowana, konieczne jest spełnienie nierówności \left|\frac((x,y))(|x||y|)\right|\leqslant 1. Ta nierówność rzeczywiście zachodzi w dowolnej przestrzeni euklidesowej i nazywa się ją nierównością Cauchy’ego – Bunyakovsky’ego – Schwartza. Z tej nierówności wynika z kolei nierówność trójkąta: |u+v|\leqslant |u|+|v|. Nierówność trójkąta wraz z wymienionymi powyżej właściwościami długości oznacza, że ​​długość wektora jest normą na euklidesie Przestrzeń wektorowa i funkcja d(x,y)=|x-y| definiuje strukturę przestrzeni metrycznej na przestrzeni euklidesowej (funkcja ta nazywana jest metryką euklidesową). W szczególności odległość pomiędzy elementami (punktami) X I y przestrzeń współrzędnych \mathbb R^n jest dane wzorem d(\mathbf(x), \mathbf(y)) = \|\mathbf(x) - \mathbf(y)\| = \sqrt(\suma_(i=1)^n (x_i - y_i)^2).

Właściwości algebraiczne

Podstawy ortonormalne

Sprzężenie spacji i operatorów

Dowolny wektor X Przestrzeń euklidesowa definiuje funkcjonał liniowy x^* na tej przestrzeni, zdefiniowanej jako x^*(y)=(x,y). Porównanie to stanowi izomorfizm między przestrzenią euklidesową a jej przestrzenią podwójną i pozwala na ich identyfikację bez kompromisów w obliczeniach. W szczególności operatory sprzężone można uznać za działające na przestrzeń pierwotną, a nie na jej podwójną, a operatory samosprzężone można zdefiniować jako operatory pokrywające się z ich koniugatami. W bazie ortonormalnej macierz operatora sprzężonego jest transponowana do macierzy operatora pierwotnego, a macierz operatora samosprzężonego jest symetryczna.

Ruchy przestrzeni euklidesowej

Przykłady

Ilustrującymi przykładami przestrzeni euklidesowych są następujące przestrzenie:

  • \mathbb E^1 wymiary 1 (prawdziwa linia)
  • \mathbb E^2 wymiary 2 (Płaszczyzna euklidesowa)
  • \mathbb E^3 wymiary 3 (Trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa)

Bardziej abstrakcyjny przykład:

  • przestrzeń wielomianów rzeczywistych p(x) stopień nie przekraczający N, z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako całka iloczynu po skończonym segmencie (lub po całej linii, ale z szybko malejącą funkcją wagi, na przykład e^(-x^2)).

Przykłady kształtów geometrycznych w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej

  • Regularne wielowymiarowe wielościany (w szczególności N-wymiarowy sześcian, N-wymiarowy ośmiościan, N-wymiarowy czworościan)

Powiązane definicje

  • Pod Metryka euklidesowa można rozumieć jako metrykę opisaną powyżej, jak również odpowiadającą jej metrykę Riemanna.
  • Przez lokalną euklidesowość rozumiemy zwykle, że każda przestrzeń styczna rozmaitości Riemanna jest przestrzenią euklidesową ze wszystkimi wynikającymi z niej właściwościami, np. możliwością (ze względu na gładkość metryki) wprowadzenia współrzędnych w małym sąsiedztwie punktu, w którym odległość wyraża się (do pewnego rzędu wielkości) jak opisano powyżej.
  • Przestrzeń metryczną nazywamy także lokalnie euklidesową, jeśli można wprowadzić do niej współrzędne, w których metryka będzie wszędzie (lub przynajmniej w dziedzinie skończonej) euklidesowa (w sensie drugiej definicji) – czyli np. rozmaitość Riemanna o zerowej krzywiźnie.

Odmiany i uogólnienia

  • Zastąpienie podstawowego ciała z zakresu liczb rzeczywistych na pole liczb zespolonych daje definicję przestrzeni unitarnej (lub hermitowskiej).
  • Odrzucenie wymogu skończonej wymiarowości daje definicję przestrzeni sprzed Hilberta.
  • Odrzucenie wymogu dodatniej określoności iloczynu skalarnego prowadzi do zdefiniowania przestrzeni pseudoeuklidesowej.

Napisz recenzję o artykule "Przestrzeń euklidesowa"

Notatki

Literatura

  • Gelfand I.M. Wykłady z algebry liniowej. - 5. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 s. - ISBN 5-7913-0015-8.
  • Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Algebra liniowa i geometria. - M.: Nauka, 1986. - 304 s.

Fragment charakteryzujący przestrzeń euklidesową

Sonya przeszła przez korytarz do bufetu ze szklanką. Natasza spojrzała na nią, na szparę w drzwiach spiżarni i wydawało jej się, że pamięta, że ​​przez szparę w drzwiach spiżarni wpada światło i że Sonia przeszła ze szklanką. „Tak, i było dokładnie tak samo” – pomyślała Natasza. - Sonia, co to jest? – krzyknęła Natasza, dotykając grubego sznurka.
- O, tu jesteś! - powiedziała Sonya, drżąc, podeszła i słuchała. - Nie wiem. Burza? – powiedziała nieśmiało, bojąc się popełnić błąd.
„No cóż, dokładnie tak samo wzdrygnęła się, tak samo podeszła i uśmiechnęła się nieśmiało wtedy, kiedy to już się działo” – pomyślała Natasza – „i w ten sam sposób… Pomyślałam, że czegoś jej brakuje .”
- Nie, to chór z Nosiciela Wody, słyszysz! – I Natasza skończyła śpiewać melodię chóru, żeby było to jasne dla Soni.
-Gdzie poszedłeś? – zapytała Natasza.
- Zmień wodę w szklance. Teraz dokończę wzór.
„Zawsze jesteś zajęty, ale ja nie mogę tego zrobić” – powiedziała Natasza. -Gdzie jest Nikołaj?
- Wygląda na to, że śpi.
„Sonya, idź go obudzić” – powiedziała Natasza. - Powiedz mu, że wzywam go do śpiewania. „Usiadła i pomyślała, co to znaczy, że to wszystko się wydarzyło, i nie rozwiązując tej kwestii i wcale tego nie żałując, ponownie w swojej wyobraźni została przeniesiona do czasu, kiedy była z nim, a on patrzył kochającymi oczami spojrzał na nią.
– Och, chciałabym, żeby wkrótce przyszedł. Tak bardzo się boję, że to się nie stanie! I najważniejsze: starzeję się, ot co! To, co jest teraz we mnie, już nie będzie istnieć. A może przyjdzie dzisiaj, przyjdzie teraz. Może przyszedł i siedzi w salonie. Może przyjechał wczoraj i zapomniałem. Wstała, odłożyła gitarę i poszła do salonu. Przy stole zasiadali już wszyscy domownicy, nauczyciele, guwernantki i goście. Ludzie stali wokół stołu, ale księcia Andrieja tam nie było, a życie wciąż było takie samo.
„O, oto ona” - powiedziała Ilya Andreich, widząc wchodzącą Nataszę. - No cóż, usiądź ze mną. „Ale Natasza zatrzymała się obok matki, rozglądając się, jakby czegoś szukała.
- Matka! - powiedziała. „Daj mi, daj mi, mamo, szybko, szybko” – i znowu z trudem powstrzymywała łkanie.
Usiadła przy stole i przysłuchiwała się rozmowom starszych oraz Mikołaja, który również podszedł do stołu. „Mój Boże, mój Boże, te same twarze, te same rozmowy, tata tak samo trzyma kubek i tak samo dmucha!” pomyślała Natasza, czując z przerażeniem narastającą w niej wstręt do wszystkich w domu, bo wciąż byli tacy sami.
Po herbacie Nikołaj, Sonia i Natasza poszli na sofę, do swojego ulubionego kącika, gdzie zawsze zaczynały się ich najbardziej intymne rozmowy.

„To ci się zdarza” – powiedziała Natasza do brata, kiedy usiedli na kanapie – „zdarza ci się, że wydaje ci się, że nic się nie stanie - nic; co było w tym wszystkim dobrego? I nie tylko nudne, ale i smutne?
- I jak! - powiedział. „Zdarzyło mi się, że wszystko było w porządku, wszyscy byli pogodni, ale przychodziło mi na myśl, że jestem już tym wszystkim zmęczony i że wszyscy powinni umrzeć”. Kiedyś nie poszłam do pułku na spacer, ale tam grała muzyka... i tak mi się nagle znudziło...
- Och, wiem o tym. Wiem, wiem – podniosła Natasza. – Byłem jeszcze mały, przydarzyło mi się to. Pamiętacie, jak kiedyś zostałem ukarany za śliwki i wszyscy tańczyliście, a ja siedziałem w klasie i płakałem, nigdy nie zapomnę: było mi smutno i było mi żal wszystkich, i siebie, i było mi żal wszystkich. I, co najważniejsze, to nie była moja wina” – powiedziała Natasza – „pamiętasz?
„Pamiętam” – powiedział Mikołaj. „Pamiętam, że przyszłam później do Ciebie i chciałam Cię pocieszyć, ale wiesz, było mi wstyd. Byliśmy strasznie zabawni. Miałem wtedy zabawkę z figurką i chciałem ci ją dać. Pamiętasz?
„Czy pamiętasz” - powiedziała Natasza z zamyślonym uśmiechem, jak dawno, dawno temu byliśmy jeszcze bardzo mali, wujek wezwał nas do biura, z powrotem do starego domu i było ciemno - przyjechaliśmy i nagle tam stał tam...
„Arap” – dokończył Nikołaj z radosnym uśmiechem – „jak mogę nie pamiętać?” Nawet teraz nie wiem, czy to był blackamoor, czy widzieliśmy to we śnie, czy też nam powiedziano.
- Był siwy, pamiętacie, i miał białe zęby - stał i patrzył na nas...
– Pamiętasz, Soniu? – zapytał Mikołaj…
„Tak, tak, też coś pamiętam” – odpowiedziała nieśmiało Sonya…
„Zapytałem ojca i matkę o ten blackamoor” – powiedziała Natasza. - Mówią, że nie było blackamoor. Ale pamiętasz!
- Och, jak teraz pamiętam jego zęby.
- Jakie to dziwne, to było jak sen. Lubię to.
- Pamiętasz, jak toczyliśmy jajka na korytarzu i nagle dwie starsze kobiety zaczęły kręcić się po dywanie? Czy to było czy nie? Pamiętasz jak było dobrze?
- Tak. Pamiętasz, jak tata w niebieskim futrze strzelił z pistoletu na werandzie? „Odwrócili się, uśmiechając się z przyjemnością, wspomnieniami, nie starymi smutnymi, ale poetyckimi młodzieńczymi wspomnieniami, wrażeniami z najodleglejszej przeszłości, gdzie sny łączą się z rzeczywistością, i śmiali się cicho, ciesząc się z czegoś.
Sonya jak zawsze pozostawała w tyle za nimi, chociaż ich wspomnienia były wspólne.
Sonia niewiele pamiętała z tego, co oni pamiętali, a to, co pamiętała, nie wzbudziło w niej poetyckiego uczucia, jakiego doświadczyli. Cieszyła się tylko ich radością, próbując ją naśladować.
Wzięła udział dopiero, gdy przypomnieli sobie pierwszą wizytę Soni. Sonia opowiedziała, jak bała się Mikołaja, bo miał sznurki przy marynarce, a niania powiedziała jej, że ją też zaszyją w sznurki.
„I pamiętam: mówili mi, że urodziłeś się pod kapustą” – powiedziała Natasza – „i pamiętam, że nie śmiałam wtedy w to nie wierzyć, ale wiedziałam, że to nieprawda, i bardzo się zawstydziłam. ”
Podczas tej rozmowy z tylnych drzwi pokoju dziennego wychynęła głowa pokojówki. „Proszę pani, przynieśli koguta” – powiedziała szeptem dziewczyna.
„Nie ma potrzeby, Polya, powiedz mi, żebym to niósł” – powiedziała Natasza.
W środku rozmów toczących się na sofie Dimmler wszedł do pokoju i podszedł do stojącej w rogu harfy. Zdjął obrus i harfa wydała fałszywy dźwięk.
„Eduardzie Karlychu, zagraj proszę mój ukochany Nocturiene Monsieur Fielda” – odezwał się głos starej hrabiny z salonu.
Dimmler uderzył w strunę i zwracając się do Nataszy, Nikołaja i Sonyi, powiedział: „Młodzi ludzie, jak cicho siedzą!”
„Tak, filozofujemy” - powiedziała Natasza, rozglądając się przez chwilę i kontynuując rozmowę. Rozmowa dotyczyła teraz snów.
Dimmer zaczął grać. Natasza w milczeniu, na palcach, podeszła do stołu, wzięła świecę, zgasiła ją i wracając, spokojnie usiadła na swoim miejscu. W pokoju było ciemno, zwłaszcza na sofie, na której siedzieli, lecz przez duże okna srebrne światło księżyca w pełni padało na podłogę.
„Wiesz, myślę” – powiedziała szeptem Natasza, podchodząc bliżej do Nikołaja i Soni, kiedy Dimmler już skończył i nadal siedział, słabo szarpiąc za sznurki, najwyraźniej niezdecydowany, czy wyjść, czy zacząć coś nowego – „że kiedy sobie przypomnisz tak pamiętasz, pamiętasz wszystko.” , pamiętasz tak dużo, że pamiętasz, co się działo, zanim byłem na świecie…
„To jest Metampsic” – powiedziała Sonya, która zawsze dobrze się uczyła i wszystko pamiętała. – Egipcjanie wierzyli, że nasze dusze są w zwierzętach i do zwierząt powrócą.
„Nie, wiesz, nie wierzę, że byliśmy zwierzętami” – powiedziała Natasza tym samym szeptem, choć muzyka się skończyła – „ale wiem na pewno, że byliśmy gdzieś aniołami i dlatego pamiętamy wszystko.” …
-Mogę dołączyć? – powiedział Dimmler, który cicho podszedł i usiadł obok nich.
- Jeśli byliśmy aniołami, to dlaczego upadliśmy niżej? - powiedział Mikołaj. - Nie, to nie może być!
„Nie niżej, kto ci powiedział, że niżej?... Skąd wiem, czym byłam wcześniej” – sprzeciwiła się z przekonaniem Natasza. - Przecież dusza jest nieśmiertelna... więc jeśli żyję wiecznie, tak też żyłem wcześniej, żyłem całą wieczność.
„Tak, ale trudno nam wyobrazić sobie wieczność” – powiedział Dimmler, który podszedł do młodych ludzi z łagodnym, pogardliwym uśmiechem, ale teraz mówił równie cicho i poważnie jak oni.
– Dlaczego trudno wyobrazić sobie wieczność? – powiedziała Natasza. - Dziś będzie, jutro będzie, zawsze tak będzie, a wczoraj było i wczoraj było...
- Natasza! teraz twoja kolej. „Zaśpiewaj mi coś” – rozległ się głos hrabiny. - Że usiedliście jak spiskowcy.
- Matka! „Nie chcę tego robić” – powiedziała Natasza, ale jednocześnie wstała.
Wszyscy, nawet Dimmler w średnim wieku, nie chcieli przerywać rozmowy i wychodzić z rogu sofy, ale Natasza wstała, a Nikołaj usiadł przy klawikordzie. Jak zawsze, stojąc na środku sali i wybierając najkorzystniejsze miejsce dla rezonansu, Natasza zaczęła śpiewać ulubiony utwór swojej mamy.
Powiedziała, że ​​nie chce śpiewać, ale już dawno nie śpiewała i od dawna nie śpiewała w taki sposób, w jaki śpiewała tego wieczoru. Hrabia Ilya Andreich z biura, w którym rozmawiał z Mitinką, usłyszał jej śpiew i jak uczeń, spiesząc się do zabawy, kończąc lekcję, pomylił się w słowach, wydając polecenia kierownikowi i w końcu zamilkł , a Mitinka, również słuchająca, w milczeniu z uśmiechem stanęła przed hrabią. Mikołaj nie odrywał wzroku od siostry i oddychał razem z nią. Sonia, słuchając, myślała o tym, jak ogromna jest różnica między nią a jej przyjaciółką i jak niemożliwe jest, aby była choć w najmniejszym stopniu tak czarująca jak jej kuzynka. Stara hrabina siedziała z radośnie smutnym uśmiechem i łzami w oczach, od czasu do czasu kręcąc głową. Myślała o Nataszy i jej młodości oraz o tym, że w nadchodzącym małżeństwie Nataszy z księciem Andriejem było coś nienaturalnego i strasznego.
Dimmler usiadł obok hrabiny i zamknął oczy, nasłuchując.
„Nie, hrabino” – powiedział w końcu, „to europejski talent, ona nie musi się niczego uczyć, tej miękkości, czułości, siły…”
- Ach! „Jak się o nią boję, jak się boję” – powiedziała hrabina, nie pamiętając, z kim rozmawia. Instynkt macierzyński podpowiadał jej, że w Nataszy jest czegoś za dużo i że to nie sprawi, że będzie szczęśliwa. Natasza nie skończyła jeszcze śpiewać, gdy do pokoju wbiegła entuzjastyczna czternastoletnia Petya z wiadomością, że przybyli mummersy.
Natasza nagle się zatrzymała.
- Głupiec! - krzyknęła na brata, podbiegła do krzesła, upadła na nie i łkała tak bardzo, że długo nie mogła przestać.
„Nic, mamo, naprawdę nic, po prostu tak: Petya mnie przestraszyła” – powiedziała, próbując się uśmiechnąć, ale łzy wciąż płynęły, a szloch dławił ją w gardle.
Przebrani służący, niedźwiedzie, Turcy, karczmarze, panie, straszne i zabawne, niosące ze sobą chłód i zabawę, początkowo nieśmiało skulone w korytarzu; następnie, chowając się jeden za drugim, zostali wepchnięci do sali; i początkowo nieśmiało, a potem coraz radośnie i przyjacielsko rozpoczęły się pieśni, tańce, zabawy chóralne i świąteczne. Hrabina, poznając twarze i śmiejąc się z przebranych, poszła do salonu. Hrabia Ilya Andreich siedział na sali z promiennym uśmiechem, aprobując graczy. Młodzież gdzieś zniknęła.

Przestrzeń euklidesowa

TA Volkova, T.P. Knysh.

I KWADRATOWE KSZTAŁTY

PRZESTRZEŃ EUKLIDEJSKA

Sankt Petersburg


Recenzent: kandydat nauki techniczne, profesor nadzwyczajny Shkadova A.R.

Przestrzeń euklidesowa i formy kwadratowe: notatki z wykładów. – St.Petersburg: SPGUVK, 2012 – s. 10-10.

Notatki z wykładów przeznaczone są dla studentów drugiego roku studiów licencjackich 010400.62 „Matematyka stosowana i informatyka” oraz studentów pierwszego roku studiów licencjackich 090900.62 „Bezpieczeństwo informacji”.

Podręcznik zawiera kompletne notatki z wykładów z jednego z działów dyscypliny „Geometria i Algebra” dla kierunku 010400.62 oraz dyscypliny „Algebra i Geometria” dla kierunku 090900.62 Instruktaż odpowiada programom pracy dyscyplin, standardom określonych specjalności i może być wykorzystany w przygotowaniu do egzaminu przez uczniów i nauczycieli.

©Stan Petersburg

Akademia Komunikacji Wodnej, 2012


Wiele właściwości obiektów spotykanych w geometrii jest ściśle związanych z możliwością pomiaru długości odcinków i kąta pomiędzy liniami prostymi. W przestrzeni liniowej nie możemy jeszcze dokonać takich pomiarów, w wyniku czego zakres ogólna teoria przestrzeni liniowych do geometrii i szeregu innych dyscyplin matematycznych jest dość zawężona. Trudność tę można jednak wyeliminować wprowadzając pojęcie iloczynu skalarnego dwóch wektorów. Mianowicie niech będzie liniowo-wymiarową przestrzenią rzeczywistą. Powiążmy każdą parę wektorów z liczbą rzeczywistą i nazwijmy ją produkt skalarny wektory i jeżeli spełnione są następujące wymagania:

1. (prawo przemienne).

3. dla każdego prawdziwego.

4. dla dowolnego niezerowego wektora.

Iloczyn skalarny jest szczególnym przypadkiem tej koncepcji funkcja numeryczna dwóch argumentów wektorowych, czyli funkcje, których wartościami są liczby. Możemy zatem nazwać iloczyn skalarny takim funkcja numeryczna argumenty wektorowe , , których wartości obowiązują dla dowolnych wartości argumentów i dla których spełnione są wymagania 1-4.

Nazywamy rzeczywistą przestrzeń liniową, w której zdefiniowany jest iloczyn skalarny Euklidesowy i będzie oznaczone przez .

Zauważ, że w przestrzeni euklidesowej iloczyn skalarny wektora zerowego i dowolnego wektora jest równy zeru: . Rzeczywiście i ze względu na wymóg 3. Zakładając, że to rozumiemy. Stąd w szczególności.



1. Niech będzie zwykłą trójwymiarową przestrzenią wektorów geometrycznych o wspólnym początku w punkcie . W geometrii analitycznej iloczyn skalarny dwóch takich wektorów jest liczbą rzeczywistą równą , gdzie i są długościami wektorów i , i jest kątem między wektorami , i udowodniono, że dla tej liczby wszystkie wymagania 1 - 4 zadowoleni.

Zatem wprowadzone przez nas pojęcie iloczynu skalarnego jest uogólnieniem koncepcji iloczynu skalarnego wektorów geometrycznych.

2. Rozważ przestrzeń wierszy wymiarowych o współrzędnych rzeczywistych i przypisz liczbę rzeczywistą każdej parze takich wektorów wierszy

Łatwo sprawdzić, że dla tej liczby są spełnione wszystkie wymagania 1–4:

i podobnie. Wreszcie,

ponieważ co najmniej jedna z liczb at jest różna od zera.

Widzimy stąd, że liczba ta jest iloczynem skalarnym wektorów strunowych i , a przestrzeń po wprowadzeniu takiego iloczynu skalarnego staje się euklidesowa.

3. Niech będzie liniową przestrzenią realnowymiarową i będzie częścią jej podstawy. Powiążmy każdą parę wektorów z liczbą rzeczywistą. Wtedy przestrzeń zmieni się w euklidesową, tj. liczba będzie iloczynem skalarnym wektorów i . Rzeczywiście:

Możemy nawet zamienić naszą przestrzeń w przestrzeń euklidesową w inny sposób, na przykład możemy przypisać parę wektorów , liczbę rzeczywistą

i łatwo sprawdzić, że dla takiej liczby spełnione są wszystkie wymagania 1-4 charakteryzujące iloczyn skalarny. Skoro jednak tutaj (na tej samej podstawie) zdefiniowaliśmy inną funkcję numeryczną, to otrzymujemy inną przestrzeń euklidesową z inną „definicją miary”.

4. Na koniec, wracając do tej samej przestrzeni, rozważmy funkcję numeryczną, która dla , jest określona przez równość . Ta funkcja nie jest już iloczynem skalarnym, ponieważ spełniony jest warunek 4: gdy , wektor jest równy , a . Zatem nie można tutaj uzyskać przestrzeni euklidesowej.

Korzystając z wymagań 2 i 3 zawartych w definicji iloczynu skalarnego, łatwo otrzymać następujący wzór:

gdzie , są dwoma dowolnymi układami wektorów. Stąd w szczególności okazuje się, że dla dowolnej podstawy i dla dowolnej pary wektorów , , że

Gdzie . Wyrażenie po prawej stronie równości (1) jest wielomianem w i i jest nazywane forma dwuliniowa od i (każdy z jego wyrazów jest liniowy, czyli pierwszego stopnia, zarówno względem jak i względem ). Forma dwuliniowa nazywa się symetryczny, jeśli dla każdego z jego współczynników spełniony jest warunek symetrii. Zatem, produkt skalarny w sposób dowolny wyrażone jako dwuliniowa symetryczna postać współrzędnych wektorowych , z prawdziwymi szansami. Ale to wciąż nie wystarczy. Mianowicie, ustawiając , z równości (1) otrzymujemy, że

Już w szkole wszyscy uczniowie zapoznawani są z pojęciem „geometrii euklidesowej”, którego główne postanowienia skupiają się wokół kilku aksjomatów opartych na takich elementach geometrycznych, jak punkt, płaszczyzna, linia prosta i ruch. Wszystkie razem tworzą coś, co od dawna znane jest jako „przestrzeń euklidesowa”.

Euklidesowa, która opiera się na zasadzie skalarnego mnożenia wektorów, jest szczególnym przypadkiem przestrzeni liniowej (afinicznej), która spełnia szereg wymagań. Po pierwsze, iloczyn skalarny wektorów jest absolutnie symetryczny, to znaczy wektor o współrzędnych (x;y) jest ilościowo identyczny z wektorem o współrzędnych (y;x), ale ma przeciwny kierunek.

Po drugie, jeśli zostanie wykonany iloczyn skalarny wektora ze sobą, wówczas wynik tego działania będzie pozytywny charakter. Jedynym wyjątkiem będzie przypadek, gdy początkowe i końcowe współrzędne tego wektora będą równe zero: w tym przypadku jego iloczyn sam w sobie również będzie równy zero.

Po trzecie, iloczyn skalarny ma charakter rozdzielczy, to znaczy możliwość rozłożenia jednej z jego współrzędnych na sumę dwóch wartości, co nie spowoduje żadnych zmian w końcowym wyniku skalarnego mnożenia wektorów. Wreszcie, po czwarte, mnożąc wektory przez to samo, ich iloczyn skalarny również wzrośnie o tę samą kwotę.

Jeśli wszystkie te cztery warunki są spełnione, możemy śmiało powiedzieć, że jest to przestrzeń euklidesowa.

Z praktycznego punktu widzenia przestrzeń euklidesową można scharakteryzować za pomocą następujących konkretnych przykładów:

  1. Najprostszym przypadkiem jest obecność zbioru wektorów z iloczynem skalarnym zdefiniowanym zgodnie z podstawowymi prawami geometrii.
  2. Przestrzeń euklidesową otrzymamy także wtedy, gdy przez wektory zrozumiemy pewien skończony zbiór liczby rzeczywiste Z podana formuła, opisując ich sumę skalarną lub iloczyn.
  3. Szczególny przypadek przestrzeni euklidesowej należy uznać za tzw. przestrzeń zerową, którą uzyskujemy, gdy długość skalarna obu wektorów jest równa zeru.

Przestrzeń euklidesowa ma szereg specyficznych właściwości. Po pierwsze, współczynnik skalarny można wyjąć z nawiasów zarówno z pierwszego, jak i drugiego czynnika iloczynu skalarnego, wynik nie ulegnie zmianie. Po drugie, wraz z rozdzielnością pierwszego elementu iloczynu skalarnego działa również rozdzielność drugiego elementu. Oprócz sumy skalarnej wektorów, rozdzielność występuje także w przypadku odejmowania wektorów. Wreszcie, po trzecie, gdy skalar mnoży wektor przez zero, wynik również będzie równy zero.

Najważniejsza jest zatem przestrzeń euklidesowa koncepcja geometryczna, używany do rozwiązywania problemów z względne położenie wektory względem siebie, aby scharakteryzować, które pojęcie, takie jak iloczyn skalarny, jest używane.

Definicja przestrzeni euklidesowej

Definicja 1. Rzeczywista przestrzeń liniowa nazywa się Euklidesowy, Jeśli definiuje operację, która wiąże dowolne dwa wektory X I y od tego liczba przestrzenna zwana iloczynem skalarnym wektorów X I y i wyznaczone(x, y), dla którego spełnione są następujące warunki:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , gdzie z- dowolny wektor należący do danej przestrzeni liniowej;

3. (?x,y) =? (x, y) , gdzie ? - Jakikolwiek numer;

4. (x,x) ? 0 i (x,x) = 0 x = 0.

Na przykład w przestrzeni liniowej macierzy jednokolumnowych iloczyn skalarny wektorów

można określić za pomocą wzoru

Przestrzeń wymiaru euklidesowego N oznaczać En. Zauważ, że Istnieją zarówno skończenie wymiarowe, jak i nieskończenie wymiarowe przestrzenie euklidesowe.

Definicja 2. Długość (moduł) wektora x w przestrzeni euklidesowej En zwany (x,x) i oznacz to w ten sposób: |x| = (x,x). Dla dowolnego wektora przestrzeni euklidesowejistnieje długość, a wektor zerowy ma ją równą zeru.

Mnożenie wektora niezerowego X na numer , otrzymujemy wektor, długość co jest równe jeden. Ta operacja nazywa się racjonowanie wektor X.

Np. w przestrzeni macierzy jednokolumnowych długość wektora można określić ze wzoru:

Nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego

Niech x? En i ty? En – dowolne dwa wektory. Udowodnijmy, że zachodzi dla nich nierówność:

(nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego)

Dowód. Zostawiać? - dowolna liczba rzeczywista. To oczywiste (?x? y,?x? y)? 0. Natomiast ze względu na właściwości iloczynu skalarnego możemy to zrobić pisać

Zrozumiałeś

Dyskryminator tego trójmianu kwadratowego nie może być dodatni, tj. , z czego wynika:

Nierówność została udowodniona.

Nierówność trójkąta

Pozwalać X I y- dowolne wektory przestrzeni euklidesowej En, tj. X? En i y? En.

Udowodnijmy to . (Nierówność trójkąta).

Dowód. To oczywiste Z drugiej strony,. Uwzględniając nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego, otrzymujemy

Udowodniono nierówność trójkąta.

Norma przestrzeni euklidesowej

Definicja 1 . Przestrzeń liniowa ?zwany metryczny, Jeśli w ogóle dwa elementy tej przestrzeni X I y dopasowane nieujemnenumer? (x, y), zwana odległością pomiędzy X I y , (? (x, y)? 0) i są wykonywanewarunki (aksjomaty):

1) ? (x, y) = 0 X = y

2) ? (x, y) = ? (y, x)(symetria);

3) dla dowolnych trzech wektorów X, y I z ta przestrzeń? (x, y) ? ? (x, z) + ? (z, y).

Komentarz. Elementy przestrzeni metrycznej nazywane są zwykle punktami.

Przestrzeń euklidesowa En jest metryczna i jest odległością pomiędzy wektory x? En i ty? En można zabrać X ? y.

I tak na przykład w przestrzeni macierzy jednokolumnowych, gdzie

stąd

Definicja 2 . Przestrzeń liniowa?zwany znormalizowany, Jeśli każdy wektor X z tej przestrzeni jest powiązany z wartością nieujemną numer to zawołał norma X. W tym przypadku spełnione są aksjomaty:

Łatwo zauważyć, że przestrzeń znormalizowana jest przestrzenią metryczną stvom. W rzeczywistości, jak odległość między X I y może być odebrane . W euklidesowymprzestrzeń En jako norma dowolnego wektora x? En jest jego długością, te. .

Zatem przestrzeń euklidesowa En jest przestrzenią metryczną, a ponadto Przestrzeń euklidesowa En jest przestrzenią znormalizowaną.

Kąt między wektorami

Definicja 1 . Kąt między niezerowymi wektorami A I B Przestrzeń euklidesowajakość E N podaj numer, dla którego

Definicja 2 . Wektory X I y Przestrzeń euklidesowa En są nazywane ortogonbielizna, jeśli obowiązuje ich równość (x, y) = 0.

Jeśli X I y- są niezerowe, to z definicji wynika, że ​​kąt między nimi jest równy

Należy zauważyć, że wektor zerowy jest z definicji uważany za ortogonalny do dowolnego wektora.

Przykład . W przestrzeni geometrycznej (współrzędnych)?3, czyli szczególny przypadek przestrzeni euklidesowej, wektory jednostkowe I, J I k wzajemnie ortogonalne.

Baza ortonormalna

Definicja 1 . Podstawa e1,e2 ,...,en Przestrzeń euklidesowa En nazywana jest ortogonbielizna, jeśli wektory tej podstawy są parami ortogonalne, tj. Jeśli

Definicja 2 . Jeżeli wszystkie wektory bazy ortogonalnej e1, e2 ,...,en są unitarne, tj. mi i = 1 (i = 1,2,...,n) , wówczas nazywana jest baza ortonormalny, tj. Dlabaza ortonormalna

Twierdzenie. (na podstawie konstrukcji bazy ortonormalnej)

W dowolnej przestrzeni euklidesowej E n istnieją bazy ortonormalne.

Dowód . Udowodnimy twierdzenie dla przypadku N = 3.

Niech E1 , E2 , E3 będą dowolną bazą przestrzeni euklidesowej E3 Skonstruujmy jakąś bazę ortonormalnąw tej przestrzeni.Napiszmy gdzie ? - jakaś liczba rzeczywista, którą wybieramywięc (e1 ,e2 ) = 0, wtedy otrzymujemy

i co jest oczywiste? = 0 jeśli E1 i E2 są ortogonalne, tj. w tym przypadku e2 = E2, oraz , ponieważ to jest wektor bazowy.

Biorąc pod uwagę, że (e1 ,e2 ) = 0, otrzymujemy

Jest oczywiste, że jeśli e1 i e2 są ortogonalne do wektora E3, tj. w tym przypadku powinniśmy przyjąć e3 = E3. Wektor E3? 0 ponieważ E1, E2 i E3 są liniowo niezależne,dlatego e3? 0.

Ponadto z powyższego rozumowania wynika, że ​​e3 nie można przedstawić w postaci kombinacja liniowa wektorów e1 i e2, zatem wektory e1, e2, e3 są liniowo niezależnesims i są parami ortogonalne, dlatego można je przyjąć za podstawę euklidesowejprzestrzeń E3. Pozostaje tylko znormalizować skonstruowaną podstawę, do czego to wystarczypodziel każdy ze skonstruowanych wektorów przez jego długość. Wtedy otrzymamy

Zbudowaliśmy więc bazę - baza ortonormalna. Twierdzenie zostało udowodnione.

Zastosowana metoda konstruowania bazy ortonormalnej z dowolnej podstawa nazywa się proces ortogonalizacji . Należy pamiętać, że w procesie dowodowymtwierdzenia ustaliliśmy, że wektory ortogonalne parami są liniowo niezależne. Z wyjątkiem Jeśli jest bazą ortonormalną w En, to dla dowolnego wektora x? Enjest tylko jeden rozkład

gdzie x1, x2,..., xn są współrzędnymi wektora x w tej bazie ortonormalnej.

Ponieważ

następnie skalarnie mnożąc równość (*) przez, otrzymujemy .

W dalszej części rozważymy tylko bazy ortonormalne, a zatem dla ułatwienia zapisu zera znajdują się na wierzchu wektorów bazowychpominiemy.

Przestrzenie euklidesowe
Przenośne aplikacje Windows na Bodrenko.com

Rozdział 4
PRZESTRZENIE EUKLIDAŃSKIE

Z przebiegu geometrii analitycznej czytelnik jest zaznajomiony z pojęciem iloczynu skalarnego dwóch wolnych wektorów oraz z czterema głównymi właściwościami podanego iloczynu skalarnego. W tym rozdziale badane są przestrzenie liniowe dowolnego rodzaju, dla których elementów zdefiniowana jest w jakiś sposób (i nie ma znaczenia jaki) reguła, która wiąże dowolne dwa elementy z liczbą zwaną iloczynem skalarnym tych elementów. W tym przypadku ważne jest tylko, aby ta reguła miała te same cztery właściwości, co reguła składania iloczynu skalarnego dwóch wolnych wektorów. Przestrzenie liniowe, w których zdefiniowana jest określona reguła, nazywane są przestrzeniami euklidesowymi. W tym rozdziale wyjaśniono podstawowe właściwości dowolnych przestrzeni euklidesowych.

§ 1. Rzeczywista przestrzeń euklidesowa i jej najprostsze własności

1. Definicja rzeczywistej przestrzeni euklidesowej. Nazywa się rzeczywistą przestrzeń liniową R prawdziwą przestrzeń euklidesową(lub po prostu Przestrzeń euklidesowa), jeśli spełnione są dwa poniższe wymagania.
I. Istnieje reguła, według której dowolne dwa elementy tej przestrzeni x i y są powiązane z liczbą rzeczywistą tzw produkt skalarny tych elementów i oznaczone symbolami (x, y).
P. Reguła ta podlega następującym czterem aksjomatom:
1°. (x, y) = (y, x) (właściwość przemienna lub symetria);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (właściwość dystrybucji);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) dla dowolnego rzeczywistego λ;
4°. (x, x) > 0 jeśli x jest elementem niezerowym; (x, x) = 0, jeśli x jest elementem zerowym.
Podkreślamy, że wprowadzając pojęcie przestrzeni euklidesowej, abstrahujemy nie tylko od natury badanych obiektów, ale także od specyficznego rodzaju reguł tworzenia sumy elementów, iloczynu elementu przez liczbę i iloczyn skalarny elementów (ważne jest tylko, aby reguły te spełniały osiem aksjomatów przestrzeni liniowej i iloczyn skalarny czterech aksjomatów).
Jeśli zostanie wskazany charakter badanych obiektów i rodzaj wymienionych reguł, wówczas nazywa się przestrzeń euklidesową konkretny.
Podajmy przykłady konkretnych przestrzeni euklidesowych.
Przykład 1. Rozważ przestrzeń liniową B 3 wszystkich wolnych wektorów. Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów definiujemy tak, jak to zrobiono w geometrii analitycznej (tj. jako iloczyn długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi). W toku geometrii analitycznej udowodniono słuszność tzw. iloczynu skalarnego aksjomatów 1°-4° (patrz zeszyt „Geometria analityczna”, rozdz. 2, §2, poz. 3). Zatem przestrzeń B 3 z tak zdefiniowanym iloczynem skalarnym jest przestrzenią euklidesową.
Przykład 2. Rozważmy nieskończenie wymiarową przestrzeń liniową C [a, b] wszystkich funkcji x(t), określonych i ciągłych na odcinku a ≤ t ≤ b. Iloczyn skalarny dwóch takich funkcji x(t) i y(t) definiujemy jako całkę (w zakresie od a do b) iloczynu tych funkcji

Ważność tak zdefiniowanego iloczynu skalarnego aksjomatów 1°-4° sprawdza się w sposób elementarny. Rzeczywiście, ważność aksjomatu 1° jest oczywista; ważność aksjomatów 2° i 3° wynika z własności liniowych całki oznaczonej; ważność aksjomatu 4° wynika z faktu, że całka ciągłej funkcji nieujemnej x 2 (t) jest nieujemna i znika dopiero wtedy, gdy funkcja ta jest identycznie równa zeru na odcinku a ≤ t ≤ b (patrz zagadnienie „Podstawy analizy matematycznej”, część I, własności 1° i 2° z ust. 1 §6 rozdział 10) (tj. jest to element zerowy rozpatrywanej przestrzeni).
Zatem przestrzeń C[a, b] z tak zdefiniowanym iloczynem skalarnym wynosi nieskończenie wymiarowa przestrzeń euklidesowa.
Przykład 3. Poniższy przykład przestrzeni euklidesowej daje n-wymiarową przestrzeń liniową A n uporządkowanych zbiorów n liczb rzeczywistych, iloczyn skalarny dowolnych dwóch elementów x = (x 1, x 2,..., x n) i y = (y 1, y 2 ,...,y n) co jest określone przez równość

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

Ważność aksjomatu 1° dla tak zdefiniowanego iloczynu skalarnego jest oczywista; Ważność aksjomatów 2° i 3° można łatwo zweryfikować, wystarczy przypomnieć sobie definicję operacji dodawania elementów i mnożenia ich przez liczby:

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

wreszcie ważność aksjomatu 4° wynika z faktu, że (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 jest zawsze liczbą nieujemną i zanika tylko pod warunkiem x 1 = x 2 =... = x n = 0.
Przestrzeń euklidesowa rozważana w tym przykładzie jest często oznaczona symbolem En.
Przykład 4. W tej samej przestrzeni liniowej A n wprowadzamy iloczyn skalarny dowolnych dwóch elementów x = (x 1, x 2,..., x n) i y = (y 1, y 2,..., y n ) nie relację (4.2), ale w inny, bardziej ogólny sposób.
Aby to zrobić, rozważmy macierz kwadratową rzędu n

Korzystając z macierzy (4.3) ułóżmy wielomian jednorodny drugiego rzędu względem n zmiennych x 1, x 2,..., x n

Patrząc w przyszłość, zauważamy, że taki wielomian nazywa się forma kwadratowa(wygenerowane przez macierz (4.3)) (formy kwadratowe są systematycznie badane w rozdziale 7 tej książki).
Nazywa się postać kwadratową (4.4). dodatnio określony jeśli weźmie to ściśle wartości dodatnie dla wszystkich wartości zmiennych x 1, x 2,..., x n, które nie są jednocześnie równe zeru (w rozdziale 7 tej książki warunek konieczny i wystarczający dodatniej określoności postaci kwadratowej zostanie wskazany).
Ponieważ dla x 1 = x 2 = ... = x n = 0 postać kwadratowa (4.4) jest oczywiście równa zeru, możemy powiedzieć, że dodatnio określony
forma kwadratowa znika tylko pod warunkiem x 1 = x 2 = ... = x N = 0.
Wymagamy, aby macierz (4.3) spełniała dwa warunki.
1°. Wygenerowano dodatnią określoną formę kwadratową (4.4).
2°. Miała charakter symetryczny (w stosunku do głównej przekątnej), tj. spełnił warunek a ik = a ki dla wszystkich i = 1, 2,..., n oraz k = I, 2,..., n.
Korzystając z macierzy (4.3), spełniając warunki 1° i 2°, definiujemy iloczyn skalarny dowolnych dwóch elementów x = (x 1, x 2,..., x n) i y = (y 1, y 2,.. ,y n) przestrzeni An poprzez relację

Łatwo jest sprawdzić ważność tak zdefiniowanego iloczynu skalarnego wszystkich aksjomatów 1°-4°. Rzeczywiście, aksjomaty 2° i 3° obowiązują oczywiście dla całkowicie dowolnej macierzy (4.3); ważność aksjomatu 1° wynika z warunku symetrii macierzy (4.3), a ważność aksjomatu 4° wynika z faktu, że postać kwadratowa (4.4), będąca iloczynem skalarnym (x, x), jest dodatnia określony.
Zatem przestrzeń An z iloczynem skalarnym określonym przez równość (4.5), pod warunkiem, że macierz (4.3) jest symetryczna i wygenerowana przez nią postać kwadratowa jest dodatnio określona, ​​jest przestrzenią euklidesową.
Jeśli przyjmiemy macierz jednostkową jako macierz (4.3), to relacja (4.4) zamienia się w (4.2) i otrzymujemy przestrzeń euklidesową En, rozważaną w przykładzie 3.
2. Najprostsze własności dowolnej przestrzeni euklidesowej. Właściwości ustalone w tym akapicie obowiązują dla całkowicie dowolnej przestrzeni euklidesowej o skończonych i nieskończonych wymiarach.
Twierdzenie 4.1.Dla dowolnych dwóch elementów x i y dowolnej przestrzeni euklidesowej zachodzi następująca nierówność:

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

zwaną nierównością Cauchy’ego-Bunyakovsky’ego.
Dowód. Dla dowolnej liczby rzeczywistej λ, na mocy aksjomatu 4° iloczynu skalarnego, prawdziwa jest nierówność (λ x - y, λ x - y) > 0. Na mocy aksjomatów 1°-3° ostatnią nierówność można przepisany jako

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Warunkiem koniecznym i wystarczającym nieujemności ostatniego trójmianu kwadratowego jest niedodatniość jego wyróżnika, czyli nierówność (w przypadku (x, x) = 0 trójmian kwadratowy degeneruje się do funkcji liniowej, ale w tym przypadku element x wynosi zero, więc (x, y) = 0 i nierówność (4.7) jest również prawdziwa)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4,7)

Z (4.7) bezpośrednio wynika nierówność (4.6). Twierdzenie zostało udowodnione.
Naszym kolejnym zadaniem jest wprowadzenie koncepcji normy(Lub długość) każdego elementu. W tym celu wprowadzamy koncepcję liniowej przestrzeni znormalizowanej.
Definicja. Nazywa się przestrzeń liniową R znormalizowany, jeśli spełnione są dwa poniższe wymagania.
I. Istnieje reguła, według której każdemu elementowi x przestrzeni R przyporządkowuje się liczbę rzeczywistą tzw norma(Lub długość) określonego elementu i oznaczone symbolem ||x||.
P. Reguła ta podlega następującym trzem aksjomatom:
1°. ||x|| > 0 jeśli x jest elementem niezerowym; ||x|| = 0 jeśli x jest elementem zerowym;
2°. ||λx|| = |λ| ||x|| dla dowolnego elementu x i dowolnej liczby rzeczywistej λ;
3°. dla dowolnych dwóch elementów x i y prawdziwa jest następująca nierówność

||x + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)

zwana nierównością trójkąta (lub nierównością Minkowskiego).
Twierdzenie 4.2. Każda przestrzeń euklidesowa jest normowana, jeśli norma dowolnego elementu x w niej jest określona przez równość

Dowód. Wystarczy wykazać, że dla normy określonej zależnością (4.9) obowiązują aksjomaty 1°-3° z definicji przestrzeni unormowanej.
Ważność normy aksjomatu 1° wynika bezpośrednio z aksjomatu 4° iloczynu skalarnego. Ważność normy aksjomatu 2° wynika niemal bezpośrednio z aksjomatów 1° i 3° iloczynu skalarnego.
Pozostaje sprawdzić zasadność Aksjomatu 3° dla normy, czyli nierówności (4.8). Będziemy opierać się na nierówności Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego (4.6), którą zapiszemy w postaci

Korzystając z ostatniej nierówności, aksjomatów 1°-4° iloczynu skalarnego oraz definicji normy otrzymujemy

Twierdzenie zostało udowodnione.
Konsekwencja. W dowolnej przestrzeni euklidesowej o normie elementów określonej zależnością (4.9) dla dowolnych dwóch elementów x i y zachodzi nierówność trójkąta (4.8).

Zauważamy dalej, że w dowolnej rzeczywistej przestrzeni euklidesowej możemy wprowadzić pojęcie kąta pomiędzy dwoma dowolnymi elementami x i y tej przestrzeni. W całkowitej analogii do algebry wektorowej nazywamy kątφ pomiędzy elementami X I Na ten (wahający się od 0 do π) kąt, którego cosinus jest określony przez relację

Nasza definicja kąta jest poprawna, ponieważ ze względu na nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego (4,7") ułamek po prawej stronie ostatniej równości nie przekracza modułu jedności.
Następnie zgodzimy się nazwać dwa dowolne elementy x i y przestrzeni euklidesowej E ortogonalnymi, jeśli iloczyn skalarny tych elementów (x, y) jest równy zero (w tym przypadku cosinus kąta (φ pomiędzy elementami x i y będą równe zero).
Znów apeluję do algebra wektorowa, nazwijmy sumę x + y dwóch elementów ortogonalnych x i y przeciwprostokątną trójkąt prostokątny, zbudowany na elementach x i y.
Zauważ, że w dowolnej przestrzeni euklidesowej obowiązuje twierdzenie Pitagorasa: kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg. W rzeczywistości, ponieważ x i y są ortogonalne i (x, y) = 0, to na mocy aksjomatów i definicji normy

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

Wynik ten uogólnia się na n parami elementów ortogonalnych x 1, x 2,..., x n: jeśli z = x 1 + x 2 + ...+ x n, to

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

Podsumowując, zapisujemy normę, nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego i nierówność trójkąta w każdej z konkretnych przestrzeni euklidesowych omówionych w poprzednim akapicie.
W przestrzeni euklidesowej wszystkich wolnych wektorów o zwykłej definicji iloczynu skalarnego norma wektora a pokrywa się z jego długością |a|, nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego sprowadza się do postaci ((a,b) 2 ≤ | a| 2 |b | 2, a nierówność trójkąta - do postaci |a + b| ≤ |a| + |b | (Jeśli dodamy wektory a i b zgodnie z zasadą trójkąta, to nierówność ta trywialnie sprowadza się do fakt, że jeden bok trójkąta nie przekracza sumy jego dwóch pozostałych boków).
W przestrzeni euklidesowej C [a, b] wszystkich funkcji x = x(t) ciągłych na odcinku a ≤ t ≤ b z iloczynem skalarnym (4.1), norma elementu x = x(t) jest równa , oraz nierówności Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego i trójkąta mają postać

Obie te nierówności odgrywają ważną rolę w różnych gałęziach analizy matematycznej.
W przestrzeni euklidesowej En uporządkowanych zbiorów n liczb rzeczywistych z iloczynem skalarnym (4.2) norma dowolnego elementu x = (x 1 , x 2 ,..., x n) jest równa


Wreszcie w przestrzeni euklidesowej uporządkowanych zbiorów n liczb rzeczywistych z iloczynem skalarnym (4.5) norma dowolnego elementu x = (x 1, x 2,..., x n) jest równa 0 (przypominamy, że w ta macierz przypadków (4.3) jest symetryczna i generuje dodatnio określoną postać kwadratową (4.4)).

oraz nierówności Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego i trójkąta mają postać