Рассмотрим переходные процессы в RLC-цепях на примере цепи последовательного колебательного контура рис. 4.3,а, потери в котором будем учитывать путем включения в цепь резистораR.
Рис.4.3. RLC-цепь (а) и переходные процессы в ней (б) и (в).
Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при нулевых начальных условиях. Установим ключ К в положение 1, и подключим входное воздействие к контуру. Под действием подключенного источника u в контуре потечет ток i, который создаст напряжения uR, uL, uC .
На основании второго закона Кирхгофа для этого контура можно записать следующее уравнение
.
Учитывая, что будем иметь
. (4.34)
Общее решение уравнения (4.34) будем искать в виде суммы свободной uС св и принужденной uС пр составляющих:
. (4.35)
Свободная составляющая определяется решением однородного дифференциального уравнения, которое получается из (4.34) при u = 0
. (4.36)
Решение (4.36) зависит от корней характеристического уравнения, которое получается из (4.36) и имеет вид
. (4.37)
Корни этого уравнения определяются только параметрами цепи R, L ,C и равны
, (4.38)
где α = R/2L - коэффициент затухания контура;
Резонансная частота контура.
Из (4.38) видно, что корни р1 и р2 зависят от характеристического сопротивления контура и могут быть:
при R > 2ρ вещественными и различными;
при R < 2ρ комплексно-сопряженными;
при R = 2ρ вещественными и равными.
При R > 2ρ свободная составляющая будет равна:
. (4.39)
Пусть входное воздействие u = U = const, тогда принужденная составляющая uпр = U. Учитывая выражение (4.39) и что uпр = U выражение (4.35) примет вид:
Зная uС находим ток в контуре
. (4.41)
Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 запишем начальные условия для uC и i при t = 0:
(4.42)
Решая систему уравнений (4.42) получаем:
;
Подставляя А1 и А2 в уравнения (4.40) и (4.41) и учитывая, что в соответствии с (4.38) p1 p2=1/LC будем иметь:
; (4.43)
. (4.44)
Так как , то
. (4.45)
Графики изменения uС, i, uL в последовательном колебательном контуре при условии R > 2ρ приведены на рис. 4.3,б).
Моменты времени t1 и t2 определяются соответственно из условий
; .
Анализ графиков, описываемых выражениями (4.43 - 4.45) показывает, что при R > 2ρ (при больших потерях) в контуре происходят апериодические процессы.
Рассмотрим процессы в контуре при R < 2ρ. В этом случае из (4.38) имеем:
где 
- частота свободных затухающих колебаний. Решение уравнения (4.36) имеет вид
где A и θ - постоянные интегрирования
Учитывая (4.47) и что uпр = U находим закон изменения напряжения на емкости
Под действием uС в цепи протекает ток
Полагая в (4.48) и (4.49) t = 0 и учитывая законы коммутации получим
(4.50)
Решая систему уравнений (4.50) находим
Подставляя А в (4.48) и (4.49) и учитывая, что находим уравнения описывающие изменения uС, i, uL в контуре для случая R < 2ρ:
. (4.51)
. (4.52)
. (4.53)
График изменения напряжения uС, определяемый выражением (4.51) изображен на рис. 4.3,б пунктирной линией. Из рисунка и выражения (4.51) видно, что если последовательный контур имеет малые потери (R < 2ρ), то при подключении к нему источника постоянного напряжения в контуре возникает затухающий колебательный процесс.
Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при ненулевых начальных условиях. Установим ключ К в цепи рис. 4.3,а в положение 2. При этом произойдет отключение входного воздействия от цепи и цепь замкнется. Поскольку до коммутации цепи конденсатор был заряжен до напряженияuC = U, то в момент замыкания цепи он начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходной процесс.
Если в контуре выполняется условие R> 2ρ, то корни р1 и р2 в (4.38) будут вещественны и различны и решение уравнения (4.36) будет иметь вид
Напряжение uC создает ток в цепи
. (4.55)
Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 положим t = 0 и учтем, что на момент коммутации uC = U, i = 0, тогда из (4.54) и (4.55) получим
(4.56)
Решая систему уравнений (4.56) находим
Подставляя А1 и А2 в (4.54) и (4.55) получаем уравнения для напряжения uC и тока i в цепи контура
. (4.57)
. (4.58)
Из выражений (4.57) и (4.58) видно, что при отключении входного воздействия от цепи контура, который имеет большое затухание (R > 2ρ) происходит апериодический разряд емкости С. Запасенная до отключения входного воздействия энергия в емкости WС = CU2/2 расходуется на покрытие тепловых потерь в резисторе R и создания магнитного поля в индуктивности L. Затем энергия электрического поля емкости WС и магнитная энергия индуктивности WL расходуется в резисторе R.
Найдем закон изменения напряжения uC и тока i в цепи, когда контур обладает малыми потерями, т.е. при условии R < 2ρ. В этом случае корни р1 и р2 носят комплексно-сопряженный характер (4.46) и решение уравнения (4.36) имеет вид:
Под действием uC в цепи протекает ток
Для определения постоянных интегрирования А и θ учтем, что на момент коммутации t = 0, uC = U, i = 0 и подставляя эти значения в (4.59) и (4.60) получаем
(4.61)
Решая систему уравнений (4.61) находим
Подставляя А и θ в (4.59) и (4.60) и учитывая, что получаем уравнения, определяющие закон изменения напряжения и тока в контуре с малыми потерями
(4.62)
Анализ уравнений (4.62) показывает, что при отключении входного воздействия от контура с малыми потерями (R < 2ρ) в нем возникают затухающие колебания с частотой ωС, которая определяется параметрами R, L, C цепи. Графики изменения uC и i изображены на рис. 4.3,в.
Скорость затухания периодического процесса характеризуют декрементом затухания, который определяется как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака
. (4.63)
В логарифмической форме декремент затухания имеет вид
. (4.64)
Из (4.64) видно, что затухание тем больше чем больше потери в контуре, которые определяются величиной R. При R ≥ 2ρ переходной процесс в контуре становится апериодическим. При R = 0 в контуре имеет место незатухающее гармоническое колебание с частотой 
. В реальных контурах R ≠ 0, поэтому в них имеют место затухающие колебания.
Переходные процессы в RLC цепях
Линейные цепи 2-го порядка содержат два разнотипных реактивных элемента L и C. Примерами таких цепей являются последовательный и параллельный резонансные контуры (рис.1).
Рис. 1. Линейные цепи второго порядка: а - последовательный резонансный контур; б - параллельный резонансный контур
Переходные процессы в колебательных контурах описываются дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Рассмотрим случай разряда емкости на RL цепь (рис.2). Составим уравнение цепи по первому закону Кирхгофа:
После дифференцирования (1) получим
Рис. 2.
Решение U с (t) уравнения (2) находим как сумму свободной U св (t) и принужденной U пр составляющих
U с =U св +U пр. (3)
U пр зависит от Е, а U св (t) определяется решением однородного дифференциального уравнения вида
Характеристическое уравнение для (4) имеет вид
LCpІ + RCp + 1 = 0, (5)
Корни характеристического уравнения
Величину R/2L = б называют коэффициентом затухания, - резонансной частотой контура. При этом
Характер переходных процессов в контуре зависит от вида корней p 1 и p 2 . Они могут быть:
1) вещественные, различные при R > 2с, Q < 0,5;
2) вещественные и равные при R = 2с, Q = 0,5;
3) комплексно-сопряженные при R < 2с, Q > 0,5.
Здесь - характеристическое сопротивление, Q = с/R - добротность контура.
В схеме рис. 2 до коммутации при t<0 емкость заряжена до напряжения U c (0 -) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид
Для нахождения постоянных интегрирования А 1 и А 2 запишем выражение для тока в цепи
Используя начальные условия U c (0 -) = E и i(0 -) = 0, получаем систему уравнений
Из решения системы имеем
В результате для тока и напряжений в контуре получим
Переходные процессы в цепях второго порядка
Определение независимой переменной.
I L - независимая переменная
Составляем дифференциальное уравнение для переходного процесса в цепи и записываем общее решение.
I L (t)=i св (t)+i пр
Определим начальные условия.
IL(0)=E/R=19.799А
Запишем решение дифф. уравнения для свободной составляющей.
i св (t)=A*e бt *sin(wt+и)
Z вх =2R+jwL+1/jwC
p=-883.833-7.016i*10 3
ф=1/|б|=1.131*10 -3
T=2р/w=8.956*10 -4
Определим принужденные составляющие при t=?
Определим постоянный интегрирования Aи и
U L (t)=LAбwe бt *sin(wt+и)
i L (t)=Ae бt *sin(wt+и)
LAб*sin и+ LAw*cosи =0
р Acos и=2.494
tg и=19.799/Acos и=7.938
Спектральное представление периодических процессов в электрических цепях
Во многих случаях в установившемся режиме кривые периодических э.д.с., напряжений и токов в электрических цепях могут отличаться от синусоидальных. При этом непосредственное применение символического метода для расчета цепей переменного тока становится невозможным. Для линейных электрических цепей задача расчета может быть решена на основе метода суперпозиции с использованием спектрального разложения несинусоидальных напряжений и токов в ряд Фурье. В общем случае ряд Фурье содержит постоянную составляющую, первую гармонику, частота которой совпадает с частотой щ 1 =2р/T периодического с периодом T тока или напряжения, и набор высших гармоник с частотами щ n =nщ 1 , кратными основной частоте щ 1 . Для большинства периодических функций ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике ограничиваются конечным числом членов ряда. При этом исходная периодическая функция будет представлена с помощью ряда Фурье с некоторой погрешностью.
Пусть имеется периодическая с периодом Т э.д.с. е(t)=e(t±nT), удовлетворяющая условиям Дирихле (функция на интервале Т имеет конечное число разрывов и экстремумов). Такая функция может быть представлена суммой гармонических составляющих с различными амплитудами Е n , частотами щ n =nщ 1 и начальными фазами ц n в виде ряда Фурье
Ряд Фурье можно представить в другой форме:
Постоянная составляющая Е 0 и коэффициенты ряда Фурье В n и С n рассчитываются по формулам
Для нечетных функций е(t) коэффициенты С n =0, а для четных B n =0, Связь между коэффициентами B n , C n и амплитудами Е n и фазами ц n гармоник определяется соотношениями
Диаграмма, на которой изображают зависимость амплитуды гармоник E n от частоты щ n =nщ 1 , называют спектром.
Используя метод суперпозиции и спектральное представление периодической э.д.с. в виде ряда Фурье электрическую цепь можно рассчитать по следующей методике:
1. Несинусоидальная периодическая э.д.с. е(t) раскладывается в ряд Фурье и определяются амплитуды E n и фазы ц n всех гармоник э.д.с.
2. В интересующей ветви рассчитываются токи i 0 , i 1 ,...i n , создаваемые каждой гармоникой э.д.с.
3. Искомый ток в ветви находится как сумма токов
Так как составляющие тока i(t) либо постоянная величина i 0 , либо синусоидальные токи i n , то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного и переменного синусоидального токов.
Рассмотрим два случая переходных процессов в последовательной RLC-цепи:
последовательная RLC-цепь подключается к источнику постоянной Э.Д.С. Е;
Предварительно заряженный конденсатор разряжается на RLC цепь.
1) При подключении последовательной RLC-цепи кисточнику постоянной Э.Д.С. Е (рис. 6.3.а) уравнение электрического равновесия цепи по второму закону Кирхгофа имеет вид:
U L +U R +U C =E (6.10)
с учетом соотношений
U R = R i=R C (dU C /dt);
U L =L (di/dt)=L C (d 2 U C /dt 2)
уравнение (6.10) можно записать в виде:
L C (d 2 U C /dt 2) + R C (dU C /dt) + U C = E (6.11)
| а | б | в |
| Рис. 6.3 |
Решение неоднородного дифференциального уравнения (6.11) определяется характеристическим уравнением: LCp 2 +RCp+1=0 ,
которое имеет корни
δ=R/2L - коэффициент затухания,
Резонансная частота.
В зависимости от соотношения δ 2 и ω 2 возможны три основных вида переходных процессов:
а) δ 2 > ω 2 или Корни характеристического уравнения – отрицательные вещественные. Переходный процесс имеет апериодический характер (рис. 6.3.б).
б) δ 2 < ω 2 или Корни характеристического уравнения – комплексные и сопряженные. Характер переходного процесса - колебательный и затухающий (рис. 6.3.в)
в) δ 2 = ω 2 или Корни характеристического уравнения вещественные и равные p 1 =p 2 =-R/2L. Характер переходного процесса - апериодический и затухающий (критический случай). Время переходного процесса минимальное.
Для первых двух случаев решение уравнения имеет вид:
(6.13)
V=U C (0) - напряжение на конденсаторе в момент коммутации.
Для случая δ 2 < ω 2 уравнение (6.13) приводится к виду:
, (6.14)
- частота затухающих колебаний.
Из уравнения (6.14) следует, что переходный процесс U c (t) имеет характер колебаний с угловой частотой ω и периодом Т=2π/ω , которые затухают с постоянной времени τ=2L/R=1/δ.
Для определения величины постоянной времени τ можно использовать огибающую колебательной кривой U c (t), имеющую форму экспоненты:
exp(-δt)=exp(-t/τ).
Для третьего случая δ=ω 0 решение уравнения (6.11) имеет вид:
. (6.15)
Особенность этого режима состоит в том, что при уменьшении R ниже значения переходной процесс становится колебательным.
2. При разряде конденсатора на RL-цепь (рис 6.4.а) возможны все три режима, рассмотренные выше и определяемые соотношением величин δ и ω 0 . Переходные процессы в этих режимах описываются уравнениями (6.13), (6.14), (6.15) при Е=0. Например, для случая δ<ω 0 уравнение (6.14) при колебательном разряде конденсатора имеет вид:
(6.16)
Кривая переходного процесса U c (t) приведена на (рис. 6. 4.б). Огибающей кривой U c (t) является функция exp(-δt)=exp(-t/τ), которая может быть использована для определения постоянной времени τ и коэффициента затухания δ=1/τ.
В каждой схеме при попытке изменения ее энергетического состояния происходит хотя бы кратковременный переходной процесс. В качестве примера на рис. 6.1 показана схема с источником напряжения в 1 В, ключом (в начальный момент он закрыт), резистором R и катушкой индуктивности L. Посмотрим, что же произойдет сразу после замыкания ключа. Из курса теоретической электротехники известно, что ток достигнет установившегося значения V|R не сразу, нарастая по экспоненте. Постоянная времени нарастания τ=L|R представляет собой время, требуемое для достижения током 63,2% установившегося значения. Через 5τ! ток почти достигнет установившегося значения, отличаясь от него не более чем на 1%.
Рис. 6.1. Замыкание ключа в RL- цепи
В PSpice, мы исследуем этот переходной процесс, воспользовавшись источником с кусочно-линейным выходным напряжением PWL (piecewise linear).
Он будет задан командой, описывающей приложенное напряжение, следующим образом:
V 1 0 PWL (0,0 10us,1V 10ms, 1V)
Команда показывает, что напряжение приложено между узлами 1 и 0 и его форма задана отрезками прямых (PWL ). Параметры в круглых скобках представляют собой пару значений: момент времени - напряжение. В данном примере в момент t= 0 V= 0; затем при t= 10 мкс V= 1 В; при 10 мс V= 1 В. Изменение напряжения между двумя соседними моментами времени осуществляется по отрезку прямой. Посмотрите, как выглядит временная функция напряжения. Теперь можно записать входной файл:
V 1 0 PWL (0,01us,1V 10ms, 1V)
Первое значение, показанное в команде .TRAN, является значением шага в распечатке. Выберите его равным приблизительно одной десятой части второго значения, которое указывает длительность анализируемого процесса.
Выполните анализ и получите график I(R). Обратите внимание, что ток, как и ожидалось, нарастает по экспоненте, достигая установившегося значения в 10 мА. Используйте режим курсора, чтобы определить начальную скорость изменения тока Δi |Δt. Для определения отношения приращений вы можете выбрать временной интервал приблизительно в 50 мкс. Убедитесь, что в начале процесса Δi |Δt= 10 А/с. Если ток будет увеличиваться с этой скоростью вплоть до установившегося значения 10 мА, то когда он этого значения достигнет?
Как вы знаете, через время, равное постоянной времени τ, ток должен достигнуть 0,632 от установившегося значения. Проверьте по графику, что это значение (6,32 мА) достигается через t =1 мс. Сверьте полученный вами график с рис. 6.2.
Рис. 6.2. График тока для схемы на рис. 6.1
Если вы впервые сталкиваетесь с понятием постоянной времени, получите график при других параметрах, что поможет вам лучше разобраться с этой концепцией. Удалите график тока и получите графики трех напряжений: V(1), (V)2 и V(1,2). Напряжение V(1,2) является более коротким обозначением разности V(1)–V(2). Установив начальную задержку по оси времени в 10 мс вместо 1 мс, мы лучше увидим начальный участок процесса после замыкания ключа. Что представляют собой кривые?
Приложенное напряжение V(1) мгновенно повышается от нуля до 1 В, а напряжение на катушке индуктивности V(2) начинается при значении в 1 В в момент t =0. Можете ли вы с помощью второго закона Кирхгофа (устанавливающего связь напряжений) объяснить почему? Падение напряжения на резисторе V(1, 2) имеет, очевидно, график, подобный графику тока, поскольку v R =Ri. Так как всегда v R +v L =V (V - приложенное напряжение), то графики v R (t) и v L (t) являются зеркальными отображениями. Графики этих зависимостей показаны на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Графики напряжений на элементах схемы на рис. 6.1
Переходной процесс при ненулевых начальных условиях
В схеме рис. 6.4 до момента t =0 ключ разомкнут. После замыкания ключа начинается переходной процесс с ненулевыми начальными условиями. Чтобы рассчитать переходной процесс на PSpice и в этом случае, необходимо проделать некоторую предварительную работу.
Рис. 6.4. Схема с ненулевыми начальными условиями
Проведем в качестве примера расчет при следующих значениях параметров элементов: R 1 =15 Ом, R =5 Ом, L =0,5 мГн и V= 10 В. До замыкания ключа ток равен
После замыкания ключа ток нарастает по экспоненте, как и в предыдущем примере. При начальном токе в 0,5 А входной файл выглядит следующим образом:
Transient with Nonzero Initial Current
V 1 0 PWL(0, 2.5V 1us, 10V 1ms, 10V)
Отметим, что команда для L содержит запись IC= 0,5 А, с помощью которой задается начальное значение тока в катушке. Однако этого недостаточно для правильного отображения процесса. Обратим внимание, что запись для выходного напряжения дает начальную пару значений для PWL 0; 2,5 В. Что это означает? При токе i =0,5 А напряжение на резисторе R составляет v R =Ri= 0,5·5=2,5 В. При замыкании ключа сопротивление R 1 исключается из схемы, но поскольку ток в схеме (и напряжение на R ) не может мгновенно измениться, то, в соответствии со вторым законом Кирхгофа, мгновенно изменяется напряжение на катушке. Однако PSpice позволяет учесть лишь начальный ток в катушке, а напряжение на ней в начале анализа всегда равно нулю. Чтобы обеспечить ток в 0,5 А, мы должны принять в начальный момент напряжение на источнике равным 2,5 В, что и сделано при описании источника PWL .
Теперь можно провести анализ и получить кривые тока. Убедитесь, что начальное значение тока составляет 0,5 А, а его установившееся значение равно 2 А. С какой постоянной времени ток будет достигать установившегося значения? Общее изменение тока составляет 1,5 А. А за какое время разница достигает величины 0,632·1,5 = 0,948? Прибавив эту величину к начальному значению 0,5 А, вы получите ток i =1,448 А. Проверьте это по графику, воспользовавшись курсором. Сверьте ваш график с показанным на рис. 6.5.
Рис. 6.5. График тока для схемы на рис. 6.4
В конденсаторе, показанном на рис. 6.6, при замыкании ключа происходит начальный скачок тока. Входной файл для этого случая:
Рис. 6.6. Замыкание ключа в RC-цепи
Проведите анализ и получите график I(R). Каково значение тока в момент, когда ключ разомкнут? Каково оно будет при t =τ, если ток продолжит падать с начальной скоростью после того, как станет нулевым? Сверьте ваш результат с приведенным на рис. 6.7.
Рис. 6.7. График тока для схемы на рис. 6.6
Удалите график тока и получите графики приложенного напряжения V(1) и напряжений на конденсаторе V(2) и на резисторе V(1, 2). Обратите внимание на экспоненциальный рост напряжения на конденсаторе и экспоненциальный спад напряжения на резисторе. Такой характер изменения напряжений подтверждается кривыми на рис. 6.8.
Цепи с двумя накопителями энергии
Схемы с двумя различными накопителями энергии содержат катушку индуктивности L и конденсатор С вместе с одним или несколькими резисторами R. Когда схема содержит последовательно включенные R, L и С , различают переходные процессы трех типов. При слабом затухании процесс называется колебательным, при избыточном затухании - апериодическим, а при критическом затухании - критическим случаем. Начнем с первого случая.
Апериодический переходной процесс в RLC- цепях
На рис. 6.9 показана схема с источником напряжения в 12 В. Ключ замыкается при t =0, после чего начинается переходной процесс. Значения параметров: С =1,56 мкФ, L =10 мГн и R= 200 Ом. Изменение значения R при дальнейшем изложении приведет нас к двум другим типам переходных процессов, но для R =200 Ом получается случай апериодического процесса при избыточном затухании. За время 1 мс ток увеличивается до максимума и затем спадает по экспоненте.
Рис. 6.9. Схема с двумя накопителями энергии при избыточном затухании
Математический анализ этой схемы показывает, что ток представляет собой сумму двух показательных функций, что и должно быть видно на графике. Входной файл:
Double-Energy Circuit, Overdamped
V 1 0 PWL(0,0 1us,12V 10ms,12V)
Проведите анализ, затем получите график I(R). Убедитесь, что максимум тока i =47,4 мА достигается при t =125 мкс. График для случая с большим затуханием показан на рис. 6.10.
Рис. 6.10. График тока для схемы на рис. 6.9
Интересно также посмотреть, как изменяются напряжения на компонентах схемы. Удалите график тока и вы получите графики V(1), V(3), V(2,3) и V(1,2). Соответствующие узлы обозначены на схеме на рис. 6.9. Убедитесь, что напряжение на резисторе достигает максимума v R =9,46 В в момент t =125 мкс, а напряжение на катушке индуктивности в момент замыкания ключа круто нарастает - почти до v L =11,8 В, затем спадает до нуля и достигает минимума v L =-1,201 В при t =226 мкс. Эти графики показаны на рис. 6.11.
Рис. 6.11. Временные диаграммы напряжений на элементах схемы на рис. 6.9
Критический переходной процесс в RLC- цепях
Обратимся снова к схеме на рис. 6.9. Анализ показывает, что при критическом затухании
Если оставить значения L и С прежними, то условие критического режима соблюдается при R =160 Ом. Чтобы увидеть результаты, просто измените значение R во входном файле и выполните анализ снова.
Убедитесь, что ток достигает максимального значения i =55,36 мА при i =125 мкс. Удалите график тока и получите графики различных напряжений, как в предыдущем анализе. Эти кривые будут иметь тот же вид, что и при апериодическом процессе (рис. 6.12).
Рис. 6.12. Графики напряжений в схеме (рис. 6.9) при критическом затухании
Колебательный процесс в RLC- цепях при слабом затухании
Чтобы исследовать процесс при слабом затухании, уменьшим сопротивление до значения меньшего, чем критическое (160 Ом). Проведем анализ при R= 60 Ом. Изменим значение R во входном файле и рассмотрим график тока I(R). Убедитесь, что ток достигает максимума i =92,7 мА при t =111 мкс и становится сначала отрицательным, а затем снова положительным. Такой колебательный характер процесса типичен для случая слабого затухания. На рис. 6.13 показан график тока при колебательном процессе. Вы можете попробовать проанализировать процесс при меньших значениях сопротивления и выяснить влияние сопротивления на переходной процесс. Вы установите, что при меньших значениях R период колебаний увеличивается.
Рис. 6.13. График тока в схеме (рис. 6.9) при малом затухании
Удалите теперь график тока и получите графики напряжений V(1), V(3), V(2,3) и V(1,2). Эти графики показаны на рис. 6.14. Интересно отметить, что максимум напряжения на конденсаторе выше приложенного напряжения 12 В и достигается в момент минимума напряжения на катушке индуктивности. Наблюдая процесс при других значениях R, можно увидеть различные варианты взаимодействия составляющих напряжения, при этом, конечно, всегда соблюдается второй закон Кирхгофа.
Рис. 6.14. Графики напряжений для режима с малым затуханием
Отклик на ступенчатое воздействие в усилителях
Определим, насколько похожа форма выходного напряжения на форму входного при подаче ступеньки напряжения на усилитель. Будем рассматривать усилитель как низкочастотный фильтр, схема которого показана на рис. 6.15.
Рис. 6.15. Подача ступеньки входного напряжения на низкочастотный фильтр
Выходное напряжение изменяется по экспоненте на фронте и срезе импульса. На фронте выходное напряжение изменяется по формуле
v о = V (1 – e –t/RC ).
Время нарастания t r показывает, как быстро выходное напряжение может достичь максимума в ответ на ступеньку входного напряжения. Поскольку
время нарастания
Чтобы избежать излишних искажений, мы предлагаем выбирать f H =1/t p , где t p - ширина импульса. Это означает, что t r = 0,35t p .
Чтобы показать эти свойства при f H =20 кГц, выберем следующие параметры модели низкочастотного фильтра: R =10 кОм, С =796 пФ. Из уравнений найдем t p =50 мкс и t r =17,5 мкс. Выясните, насколько близки эти значения к полученным при анализе на PSpice. Входной файл:
V 1 0 PWL(0,0 0.5us, 1V 50us, 1V 50.5us,0)
Выполните анализ и получите в Probe графики входного v(1) и выходного v(2) напряжений. Проверьте по графику выходного напряжения, что t 0,1 =1,1 мкс и t 0,9 =18,6 мкс. Они представляют собой моменты времени, когда выходное напряжение составляет 0,1 и 0,9 от максимального значения. Разность между ними представляет собой время нарастания, равное tr =17,5 мкс, что соответствует результатам наших предварительных вычислений. Этот график приведен на рис. 6.16.
Рис. 6.16. Входное и выходное напряжения для схемы на рис. 6.15
Что будет, если мы вдвое увеличим емкость по сравнению с рекомендуемым максимальным значением? Выполните анализ с новым значением С =1,592 нФ. Убедитесь, что выходное напряжение не достигает значения 1 В и к тому же более искажено.
Сигнал передается гораздо лучше, когда емкость меньше рекомендуемого значения. Выполните анализ при С =398 пФ. Вы увидите, что в этом случае выходное напряжение намного правильнее воспроизводит прямоугольное входное напряжение.
Отклик на низкочастотное воздействие в усилителях
При низкой частоте и, соответственно, большой длительности входных импульсов усилитель замещается высокочастотным фильтром (рис. 6.17), чтобы моделировать низкочастотный отклик усилителя. Уравнение для выходного напряжения:
v o = Ve -t|RC .
Рис. 6.17. Схема для исследования низкочастотного отклика
Когда постоянная времени τ=RC слишком мала, выходное напряжение имеет нежелательный спад. Поскольку значение R определяется входным сопротивлением усилительного каскада и не может изменяться, значение С должно быть выбрано достаточно большим, чтобы избежать чрезмерного наклона. Выберем, например, R= 1,59 Ом и С =10 мкФ и используем в качестве входного прямоугольное напряжение с частотой в 50 Гц. Входной файл для такого анализа:
Tilt of Square Wave for Low-Frequency Response
V 1 0 PWL(0,0 1us, 1V 10ms, 1V 10.001ms,-12V 20ms,-1V
Выполните анализ, затем получите графики v(1) и v(2). Найдите наклон выходного напряжения, сравнивая значения на фронте и на срезе импульса. Проверьте, что эти значения соответственно равны 1 и 0,533 В, создавая спад в 46,7%. Зачастую желательно, чтобы спад не превышал 10%. Очевидно, для этого необходимо увеличить значение емкости. Установите значение С =50 мкФ и выполните анализ снова. Проверьте, что спад не меньше чем 12%. Этот график показан на рис. 6.18.
Рис. 6.18. Входное и выходное напряжении при исследовании низкочастотного отклика
В лаборатории реакция наблюдалась бы с помощью осциллографа, подключенного на выход усилителя при подаче на его вход прямоугольного напряжения соответствующей частоты.
Цепи заряда конденсаторов
Схема на рис. 6.19 содержит конденсатор в одной ветви и катушку индуктивности в другой. Источник напряжения подключается, чтобы зарядить конденсатор, затем он закорачивается.
Рис. 6.19. Схема с индуктивной и емкостной ветвями
Прежде чем выполнять анализ на PSpice, необходимо определить начальные напряжения и токи, при которых он будет проводиться. В команде описания для v s указано, что приложенное напряжение постоянно и равно 6 В при t< 0. В схеме замещения для постоянных составляющих конденсатор представляет собой разрыв, а катушка индуктивности - короткое замыкание. Ток от источника в 6 В равен 6 В/3 Ом=2 А, а напряжение узла 1 равно 4 В и представляет собой напряжение на конденсаторе при t =0. Ток в 2 А проходит через R 1 , R 2 , и L . При t =0 приложенное напряжение v s = 0 В, и схема приобретает вид, показанный на рис. 6.20. Эта схема и анализируется на PSpice. Входной файл при этом
Рис. 6.20. Схема замещения для момента t = 0
Входной файл содержит в команде ввода конденсатора С значение IС=4 В, которое задает начальное напряжение на конденсаторе; в команде ввода L имеется запись IС=2 А, которая задает начальный ток через L. Отметим, что для конденсатора может быть задано только начальное напряжение, а для катушки индуктивности -только начальный ток. В команду .TRAN добавлена запись UIC , которая означает, что анализ переходных процессов должен начинаться при определенных начальных значениях.
Выполните анализ и получите графики напряжения на конденсаторе и на катушке индуктивности. Убедитесь, что при t =0,5 с, v c (0,5 с)=–0,860 В и v L (0,5 с)=-3,49 В. Графики показаны на рис. 6.21.
Рис. 6.21. Графики напряжений на конденсаторе и катушке в схеме на рис. 6.20
В качестве дополнительного упражнения получите графики токов конденсатора и катушки индуктивности. Убедитесь, что i C (0)=–6 А. Поскольку R 1 =1 Ом и R 2 =2 Ом, мы должны принять начальный ток через R 1 вдвое большим тока через R 2 . Зададим начальный ток 4 А через R 1 и ток 2 А через R 2 . Нарисуйте схему и покажите направления токов в различных ветвях. После получения графиков тока убедитесь, что при t =0,5 с t c (0,5с)=–0,457 и i L (0,5с)=1,316 А. Обратите внимание, что если на одном графике представлены две кривые, вы можете задать движение курсора по одной из них, выбрав Cursor и затем нажав мышью на маркер выбранной кривой. Например, можно нажать на значок перед v(2) под осью X , чтобы выбрать вторую кривую.
Прежде, чем выйти из программы Probe, получите графики токов через оба резистора. Убедитесь, что при t= 0 i R1 (0)=–4 А и i R2 (0)=2 А. Учтите направления токов на рис. 6.20, чтобы определить их знаки (положительные и отрицательные). Графики напряжений на элементах схемы на рис. 6.20 приведены на рис. 6.21.
LС-цепи при размыкании ключа
Другая схема, в которой источник напряжения исключается из цепи при t =0, показана на рис. 6.22. Перед проведением анализа на PSpice найдем начальные условия. Имеется напряжение постоянного тока V s = 6 В, приложенное к схеме при t <0. При этом условии схемой замещения является параллельное соединение R 1 и R 2 . При делении тока между ветвями получаются значения токов i R1 =3 А и i R2 =2 А. Последний ток проходит также через катушку L. Ток через R 2 создает на этом сопротивлении напряжение:
V(1,2) = R 2 I R2 = 3 Ом · 2 А = 6 В.
Рис. 6.22. Цепь с ключом, размыкающимся при t = 0
Это начальное напряжение на конденсаторе. Обратите внимание на полярность этого напряжения и направление начального тока катушки индуктивности. Схема замещения с учетом начальных условий, получающаяся после замыкания ключа, показана на рис. 6.23. Входной файл при этом приобретает вид:
Switch-Opening Circuit with L, С
Рис. 6.23. Схема замещения после размыкания ключа
Проведите анализ и убедитесь, что при t =0, при разомкнутом переключателе v c (0) = 6 В и i L (В) = 2 А в соответствии с начальными условиями, зафиксированными во входном файле. Получив график v(2), проверьте также, что v L (0)=-10B и i L (0)=0.
Как можно определить v L (0) после размыкания ключа с помощью простого схемотехнического анализа? Так как ток через катушку индуктивности в момент переключения неизменен, ток через R 1 мгновенно становится равным 2 А (направлен вверх, к узлу 1 ), хотя до размыкания ключа он равен 3 А и направлен от узла 1 (вниз). Ток в 2 А создает падение напряжения 4 В с полярностью, показанной в рис. 6.23. Применение второго закона Кирхгофа к контуру, содержащему R 1 , С и L, дает v L (0)=-10 В, подтверждая результаты, полученные на PSpice. На рис. 6.24 показано напряжение v(1, 2), которое и является напряжением на конденсаторе v c .
Рис. 6.24. График напряжения на R 2 в схеме на рис. 6.23
Прежде чем выйти из программы Probe, убедитесь, что токи и напряжения в момент t =2 с имеют следующие значения:
v c (2 с) = 5,2778 В;
v L (2 с) = –3,94 В;
i c (2 с) = –2,428 А;
i L (2 с) = –0,675 А.
Токи показаны на рис. 6.25.
Рис. 6.25. Графики токов в ветвях схемы на рис. 6.23
На рис. 6.26 показана схема с источником тока, обеспечивающим установившееся значение в ЗА при t <0. В момент t =0 ток становится равным 0. Прежде чем приступить к анализу на PSpice, определим начальные условия для L и С . До момента t =0 ток через R =3 А, в то время как ток через другую ветвь равен нулю, так как конденсатор С является разрывом для постоянного тока. Таким образом i L (0)=0. Падение напряжения на R равно 2×3 = 6 В, с полярностью, показанной на рис. 6.27. Поскольку при постоянном токе напряжение на L равно нулю, напряжение v c (0)=6 В. Приведенной информации достаточно, чтобы выполнить анализ на PSpice. Входной файл:
Initial Conditions from Current Source
Рис. 6.26. Схема с источником тока
Рис. 6.27. Схема замещения для момента t = 0
Выполните анализ и получите графики напряжений на резисторе и конденсаторе. Проверьте начальные условия для обоих напряжений. В качестве упражнения убедитесь, что для момента t 1 =4 с напряжения v c (t 1)=4,2095 В и v R (t 1)=4,5476 В. Можете ли вы сказать, каково будет напряжение v L (t 1), не получая график напряжения v L ?
Используйте второй закон Кирхгофа, чтобы найти это значение. Напряжения на резисторе и конденсаторе показаны на рис. 6.28. Теперь получите график i C (t ). Заметьте, что этот ток растет от нулевого начального значения до значения тока в катушке. Убедитесь, что i C (4 с)=–2,2738 А. Этот ток протекает через каждый элемент против часовой стрелки. Убедитесь также, что максимальный (по модулю) ток i max = -2,313 достигается при t= 3,48 с.
Мостовые схемы с ненулевым начальным током
В схеме на рис. 6.29 ключ размыкается при t =0. Схема замещения до размыкания показана на рис. 6.30. В ней катушка индуктивности заменена коротким замыканием, при этом напряжения на R 1 и R 3 равны 6 В, что приводит к прохождению тока в 2 А через R 1 и тока в 3 А через R 3 . Поскольку в ветви конденсатора ток отсутствует, ток в катушке индуктивности также должен быть равен 3 А. Так как напряжение V(1,3) равно нулю, то и v c равно нулю. Эта информация позволяет нам задать начальные условия для анализа на PSpice, приводя к следующему входному файлу:
Switch Opening in Bridge Circuit
Рис. 6.29. Схема с размыканием ключа в момент t = 0
Рис. 6.30. Схема замещения для момента размыкания ключа (t < 0)
Проведите анализ и проверьте следующее: i C (0)=–2,5 A, i L (0)=3 А, i R3 (0)=0,5 A, v 12 (0)=–2,5 В, v 23 (0)=0 и v 13 (0)=–2,5 В (здесь v 12 (0) означает v (1, 2) при t= 0). Графики токов показаны на рис. 6.31, а графики напряжений - на рис. 6.32.
Рис. 6.31. Графики токов в схеме на рис. 6.29
Рис. 6.32. Графики напряжений в схеме на рис. 6.29
В качестве упражнения определите i C при t =0, воспользовавшись вторым законом Кирхгофа для контура, содержащего R 1 , R 2 , R 3 и С .
Звенящий контур
Определим реакцию на прямоугольное входное напряжение цепи, представленной на рис. 6.33. Входное напряжение резко изменяется от 0 до 1 В, затем в момент t =2 мс уменьшается на 2 В, достигая значения -1 В, затем в момент времени t =4 мс снова резко изменяется до 1 В. Задача состоит в том. чтобы определить, насколько точно напряжение на R L воспроизводит входное прямоугольное напряжение. Входной файл:
Vs 1 0 PWL(0s, 0V 0.01ms, 1V 2ms, 1V 2.01ms, -1V 4ms, -1V 4.01ms, 1V)
Рис. 6.33. Звенящий контур
График V(3), полученный в Probe, показан на рис. 6.34. Вы можете получить также график V S , чтобы увидеть разницу в этих двух графиках. Прежде чем выйти из Probe, удалите графики напряжений и получите графики для каждою из токов. Если вам интересно, получите также I(C). Графики токов должны дать вам лучшее понимание процессов в схеме. Проведите анализ снова, уменьшив на порядок емкость С , и сравните результаты.
Рис. 6.34. Графики выходного напряжения в звенящем контуре
Задачи
6.1. Параметры элементов схемы, показанной на рис. 6.35: V= 10 B, R 1 =R =1 кОм и от С= 200 мкФ. Получите график v c (t) на интервале от момента размыкания ключа до момента достижения напряжением на конденсаторе нулевого значения. Проведите необходимый анализ на PSpice и получите в Probe график v c .
Рис. 6.35
6.2. Параметры элементов для схемы на рис. 6.36: V =10 В, R 1 =R =100 Ом и L =2 Гн. Получите график v L (t) на интервала от момента размыкания ключа до момента снижения напряжения на катушке индуктивности до нуля. Проведите анализ на PSpice и получите в Probe график v L .
Рис. 6.36
6.3. Параметры элементов для схемы с двумя различными накопителями энергии, показанной на рис. 6.37: V= 20 В, R =100 Ом, L =20 мГн и С= 2 мкФ. Получите временную зависимость тока после размыкания ключа. Поскольку значение R в этой схеме соответствует слабому затуханию, график должен содержать, по крайней море, один полный период колебаний.
Рис. 6.37
6.4. а) Увеличьте значение R в задаче 6.3, чтобы создать критическое затухание, и получите графики токов и составляющих напряжений. Найдите максимальные положительные и отрицательные значения токов.
б) Задав значение R= 250 Ом, повторите предыдущее задание а). Найдите максимальные положительные и отрицательные значения всех составляющих напряжений.
6.5. На высоких частотах необходимо учитывать емкость на выходе усилителя напряжения. На рис. 6.38 выходная емкость составляет С =1 нФ и R= 10 кОм. При амплитуде приложенного напряжения в 1 В и t p = 100 мкс выходное напряжение должно быть достаточно близкой копией входного импульса.
а) Используйте метод, описанный в разделе «Отклик на единичное воздействие в усилителях», чтобы определить характер выходного напряжения. Используйте Probe, чтобы выяснить, является ли выходной импульс напряжения на конденсаторе С достаточно близкой копией входного импульса.
б) Если вы хотите получить более точную копию входного напряжения, попробуйте изменить значение t p и выполнить анализ снова. Каковы значения t H для пунктов а) и б) задания?
Рис. 6.38
6.6. При обсуждении низкочастотной реакции усилителя в этой главе мы установили, что обычно желательно, чтобы спад напряжения в конце импульса не превышал 10%. Приближенная формула для определения спада:
где t L =1/(2πRC ), а f - частота прямоугольного напряжения. Используйте методику, описанную в тексте, чтобы при воздействии прямоугольного напряжения с частотой 60 Гц найти следующее:
а) относительный спад выходного напряжения при R= 1,59 Ом и С =10 мкФ;
б) значение С , которое требуется, чтобы создать относительный спад приблизительно в 10%?
Проверьте ваши ответы с помощью графика, полученного в Probe.
Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.
Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).
Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t
Установившаяся составляющая: Iy=0
Характеристическое уравнение и его корни:
Дифференциальное уравнение:
Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.
Зависимое начальное условие:
Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:
Окончательное решение для тока:
Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.
а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.
Это имеет место при условии:
При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t - ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:
Графическая диаграмма функции i(t) для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 70.2.
Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: Tп=4/|pmin|.
Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.
б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.
Это имеет место при соотношении параметров:
коэфициэнт затухания:
угловая частота собственных колебаний:
Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:
Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция i(t) изменяется во времени по гармоническому закону Imsinω0t с затухающей амплитудой Im(t)=A·e-bt. Графическая диаграмма функции показана на рис. 70.3.
Период колебаний T0=2π/ω0, продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания: Tп=4/b.
Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.
В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:
где коэффициенты A и ψ или B и C являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.
в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу.
Это имеет место при условии:
Полученное ранее решение для искомой функции i(t) в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая p2=p=const, а p1=var, которая стремится к p. Тогда получим:
Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса Tп=4/p. При изменении только сопротивления резистора R=var=0…∞ затухающий характер переходного процесса соответствует области значений Rvar (Rkp < Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.
В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:
где коэффициенты A1 и A2 являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.
Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение. Указанное свойство находит применение в электротехнике.
