По определению дифференциал (первый дифференциал) функции вычисляется по формуле
если– независимая переменная.

ПРИМЕР .

Покажем, что форма первого дифференциала остается неизменной (является инвариантной) и в том случае, когда аргумент функции сам является функцией, то есть для сложной функции
.

Пусть
дифференцируемы, тогда по определению

Кроме того, что и требовалось доказать.

ПРИМЕРЫ .

Доказанная инвариантность формы первого дифференциала позволяет считать, что
то естьпроизводная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента , независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией.

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть Если функция
имеет на множествеобратную, то
Тогда равенства
определяют на множествефункцию, заданную параметрически, – параметр (промежуточная переменная).

ПРИМЕР . Построить график функции
.

Построенная кривая называется циклоидой (рис. 25) и является траекторией точки на окружности радиуса 1, которая катится без скольжения вдоль оси ОХ.

ЗАМЕЧАНИЕ . Иногда, но не всегда, из параметрических уравнений кривой можно исключить параметр.

ПРИМЕРЫ .
– параметрические уравнения окружности, так как, очевидно,

–параметрические уравнения эллипса, так как

–параметрические уравнения параболы

Найдем производную функции, заданной параметрически:

Производная функции, заданной параметрически, – также функция, заданная параметрически: .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Второй производной функции называется производная от ее первой производной.

Производной -го порядка называется производная от ее производной порядка
.

Обозначают производные второго и -го порядка так:

Из определения второй производной и правила дифференцирования параметрически заданной функции следует, что
Для вычисления третьей производной надо представить вторую производную в виде
и воспользоваться еще раз полученным правилом. Производные старших порядков вычисляются аналогично.

ПРИМЕР . Найти производные первого и второго порядков функции

.

Основные теоремы дифференциального исчисления

ТЕОРЕМА (Ферма). Пусть функция
имеет в точке
экстремум. Если существует
, то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть
, например, – точка минимума. По определению точки минимума существует окрестность этой точки
, в пределах которой
, то есть
– приращение
в точке
. По определению
Вычислим односторонние производные в точке
:

по теореме о предельном переходе в неравенстве,

так как

, так как
Но по условию
существует, поэтому левая производная равна правой, а это возможно лишь если

Предположение о том, что
– точка максимума, приводит к тому же.

Геометрический смысл теоремы:

ТЕОРЕМА (Ролля). Пусть функция
непрерывна
, дифференцируема
и
тогда существует
такая, что

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Так как
непрерывна
, то по второй теореме Вейерштрасса она достигает на
своих наибольшего
и наименьшего
значений либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

1. Пусть
, тогда

2. Пусть
Так как
то либо
, либо
достигается в точке экстремума
, но по теореме Ферма
Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА (Лагранжа). Пусть функция
непрерывна
и дифференцируема
, тогда существует
такая, что
.

Геометрический смысл теоремы:

Так как
, то секущая параллельна касательной. Таким образом, теорема утверждает, что существует касательная, параллельная секущей, проходящей через точки А и В.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Через точки А
и В
проведем секущую АВ. Ее уравнение
Рассмотрим функцию

–расстояние между соответствующими точками на графике и на секущей АВ.

1.
непрерывна
как разность непрерывных функций.

2.
дифференцируема
как разность дифференцируемых функций.

3.

Значит,
удовлетворяет условиям теоремы Ролля, поэтому существует
такая, что

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Формула называетсяформулой Лагранжа .

ТЕОРЕМА (Коши). Пусть функции
непрерывны
, дифференцируемы
и
, тогда существует точка
такая, что
.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Покажем, что
. Если бы
, то функция
удовлетворяла бы условию теоремы Ролля, поэтому существовала бы точка
такая, что
– противоречие условию. Значит,
, и обе части формулы определены. Рассмотрим вспомогательную функцию.

непрерывна
, дифференцируема
и
, то есть
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Тогда существует точка
, в которой
, но

что и требовалось доказать.

Доказанная формула называется формулой Коши .

ПРАВИЛО Лопиталя (теорема Лопиталя-Бернулли). Пусть функции
непрерывны
, дифференцируемы
,
и
. Кроме того, существует конечный или бесконечный
.

Тогда существует

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Так как по условию
, то доопределим
в точке
, полагая
Тогда
станут непрерывными
. Покажем, что

Предположим, что
тогда существует
такая, что
, так как функция
на
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Но по условию
– противоречие. Поэтому

. Функции
удовлетворяют условиям теоремы Коши на любом отрезке
, который содержится в
. Напишем формулу Коши:

,
.

Отсюда имеем:
, так как если
, то
.

Переобозначая переменную в последнем пределе, получим требуемое:

ЗАМЕЧАНИЕ 1 . Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, когда
и
. Оно позволяет раскрывать не только неопределенность вида, но и вида:

.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 . Если после применения правила Лопиталя неопределенность не раскрылась, то его следует применить еще раз.

ПРИМЕР .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 . Правило Лопиталя – универсальный способ раскрытия неопределенностей, но существуют пределы, раскрыть которые можно, применив лишь один из изученных ранее частных приемов.

Но, очевидно,
, так как степень числителя равна степени знаменателя, и предел равен отношению коэффициентов при старших степенях

Дифференциал функции

Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества E , если ее приращение Δf (x 0), соответствующее приращению аргумента x , может быть представлено в виде

Δf (x 0) = A (x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

где ω (x - x 0) = о (x - x 0) при x → x 0 .

Отображение , называется дифференциалом функции f в точке x 0 , а величина A (x 0)h - значением дифференциала в этой точке.

Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df (x 0), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,

df (x 0) = A (x 0)h .

Разделив в (1) на x - x 0 и устремив x к x 0 , получим A (x 0) = f" (x 0). Поэтому имеем

df (x 0) = f" (x 0)h . (2)

Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df (x 0) (при f" (x 0) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x 0 , линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x 0 .

Критерий дифференцируемости функции

Для того чтобы функция f являлась дифференцируемой в данной точке x 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x 0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df (x 0) = f" (x 0)dx . (3)

Если x = φ (t ) - дифференцируемая функция, то dx = φ" (t 0)dt . Следовательно,

Мы видели, что дифференциал функции может быть записан в виде:
(1),

если есть независимая переменная. Пусть теперьесть сложная функ­ция от, т.е.
,
и поэтому
. Если производные функций
и
существуют, то
, как производная сложной функции. Дифференциал
или. Но
и поэтому можем записать
, т.е. получили снова выражение для
как и в (1).

Вывод: формула (1) верна как и в случае, когдаесть независимая переменная, так и в случае, когдаесть функция от независимой пере­менной. В первом случае под
понимается дифференциал независимой переменной
, во втором – дифференциал функции (при этом
, вообще говоря). Это свойство сохранения формы (1) и называетсяинвариантностью формы дифференциала .

Инвариантность формы дифференциала даёт большие выгоды при вычислении дифференциалов сложных функций.

Например : нужно вычислить
. Независимо от того, зависимая или независимая переменная, мы можем записать. Если- функция, например
, то найдём
и, пользуясь инвариантностью формы дифференциала, имеем право записать.

§18. Производные высших порядков.

Пусть функция у= (х) дифференцируема на некотором проме­жутке Х, (т.е. имеет конечную производную у 1 = 1 (х) в каждой точке этого промежутка). Тогда 1 (х) есть в Х сама функция от х. Может оказаться, что в некоторых точках или во всех х 1 (х) сама имеет производную, т.е. существует производная от производной (у 1) 1 =( 1 (х) 1 . В этом случае ее называют второй производной или производной второго порядка. Обозначают символами у 11 , 11 (х), d 2 у/ dх 2 . Если нужно подчеркнуть, что производная находится в т.х 0 , то пишут

у 11 /х=х 0 или 11 (х 0) или d 2 у/ dх 2 /х=х 0

производная у 1 называется производной первого порядка или первой производной.

Итак, производной второго порядка называют производную от производной первого порядка функции.

Совершенно аналогично, производная (там, где она существует) от производной второго порядка называется производной третьего порядка или третьей производной.

Обозначают (у 11) 1 = у 111 = 111 (х)= d 3 у/ dх 3 = d 3 (х) / dх 3

Вообще производной n-го порядка функции у= (х) называется производная от производной (n-1) порядка этой функции. (если они существуют, конечно).

Обозначают

Читают: n-ая производная от у, от (х); d n у по d х в n-ой.

Четвертый, пятый и т.д. порядок неудобно обозначать штрихами, поэтому пишут число в скобках, вместо  v (х) пишут (5) (х).

В скобках, чтобы не путать n-ый порядок производной и n-ую степень функции.

Производные порядка, выше первого, называют производными высших порядков.

Из самого определения следует, что для нахождения n-ой производной нужно найти последовательно все предыдущие от 1-ой до (n-1)-ой.

Примеры: 1) у=х 5 ; у 1 =5х 4 ; у 11 =20х 3 ;

у 111 =60х 2 ; у (4) =120х; у (5) =120; у (6) =0,…

2) у=е х; у 1 =е х; у 11 =е х;…;

3) у=sinх; у 1 =cosх; у 11 = -sinх; у 111 = -cosх; у (4) = sinх;…

Заметим, что вторая производная имеет определенный механический смысл.

Если первая производная пути по времени есть скорость прямолинейного неравномерного движения

V=ds/dt, где S=f(t) – уравнение движения, то V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 -есть скорость изменения скорости, т.е. ускорение движения:

a= f 11 (t)= dV/dt= d 2 S/dt 2 .

Итак, вторая производная пути по времени,есть ускорение движения точки – в этом состоит механический смысл второй производной.

В ряде случаев удается написать выражение производной любого порядка, минуя промежуточные.

Примеры :

у=е х; (у) (n) =(е х) (n) =е х;

у=а х; у 1 =а х lnа; у 11 =а х (lnа) 2 ; у (n) =а х (lnа) n ;

у=х α ; у 1 = αx α-1 ; у 11 =
; у (п) = α(α-1)… (α-n+1)x α-n , при=n имеем

у (п) =(х п) (п) = n! Производные порядка вышеnвсе равны нулю.

у= sinх; у 1 =cosх; у 11 = -sinх; у 111 = -cosх; у (4) = sinх;… и т.д.. Т.к.

у 1 = sin(х+/2); у 11 = sin(х+2/2); у 111 = sin(х+3/2); и т.д., то у (п) =(sinх) (п) = sin(х+n/2).

Легко установить последовательным дифференцированием и общие формулы:

1) (СU) (n) = С(U) (n) ; 2) (U±V) (n) = U (n) ± V (n)

Более сложной оказывается формула для n-ой производной от произведения двух функций (U·V) (n) . Она носит название формулы Лейбница.

Получим ее

у= U·V; у 1 = U 1 V+ UV 1 ; у 11 = U 11 V+ U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 = U 11 V+2U 1 V 1 + UV 11 ;

у 111 = U 111 V+ U 11 V 1 +2U 11 V 1 +2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 = U 111 V+3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111 ;

Аналогично получим

у (4) = U (4) V+4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) и т.д.

Нетрудно заметить, что правые части всех этих формул напоминают разложение степеней бинома U+V, (U+V) 2 , (U+V) 3 и т.д. Только вместо степеней U и V тут стоят производные соответствующих порядков. Сходство будет особенно полным, если в полученных формулах писать вместо U и V, U (0) и V (0) , т.е. 0-ые производные от функций U и V (сами функции).

Распространяя этот закон на случай любого n, получим общую формулу

у (n) = (UV) (n) = U (n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n(n-1)/2! U (n-2) V (2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-к+1)/К! U (к) V (n-к) +…+ UV (n) - формула Лейбница.

Пример: найти (е х х) (n)

(е х) (n) =е х, х 1 =1, х 11 =0 и х (n) =0, поэтому (е х х) (n) = (е х) (n) х+ n/1! (е х) (n-1) х 1 = е х х+ nе х =е х (х+ n).