Конспект урока "первообразная и интеграл". Первообразная. Неопределённый интеграл VІI. Из истории

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ

« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».

11 а класс с углубленным изучением математики

Проблемное изложение.

Проблемно – поисковые технологии обучения.

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

ЦЕЛЬ УРОКА:

Активизировать мыслительную деятельность;

Способствовать усвоению способов исследова-

Обеспечить более прочное усвоение знаний.

ЗАДАЧИ УРОКА:

ввести понятие первообразной;

доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);

ввести определение неопределенного интеграла;

доказать свойства неопределенного интеграла;

отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:

повторить правила и формулы дифференцирования

понятие дифференциала.

ХОД УРОКА

Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.

Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

цирования).

1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную

скорость в любой момент времени.

2. Зная, что количество электричества, протекающего

через проводник выражается формулой q (t) = 3t - 2 t,

выведите формулу для вычисления силы тока в любой

момент времени t.

I (t) = 6t - 2.

3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-

мени, найти закон его движения.

Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-

бой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для

определения количества электричества, проходящего

через проводник.

Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя

имеющиеся у нас средства?

(Создание проблемной ситуации).

Предположения учащихся:

Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,

обратную дифференцированию.

Операция дифференцирования сопоставляет заданной

функции F (x) ее производную.

Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?

Вывод учащихся:

Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию

F (x) производной которой является f (x) , т.е.

Такая операция называется интегрированием, точнее

неопределенным интегрированием.

Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.

Введем определение. (кратко символически записывается

на доске).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут

ке X, называют первообразной для функции задан-

ной на том же промежутке, если для всех x X

выполняется равенство

F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .

Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция

x является первообразной на всей числовой оси

для функции 2x.

Используя определение первообразной, выполните упражнение

№ 2 (1,3,6) . Проверьте, что функция F является первообраз-

ной для функции f, если

1) F (x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 sin 2x .

2) F (x) = tgх - cos 5x , f (x) =
+ 5 sin 5x.

3) F (x) = x sin x +
, f (x) = 4x sinx + x cosx +
.

Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

руя свои действия.

Является ли функция х единственной первообразной

для функции 2х?

Учащиеся приводят примеры

х + 3 ; х - 92, и т.д. ,

Вывод делают сами учащиеся:

любая функция имеет бесконечно много первообразных.

Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,

является первообразной функции х.

Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку

Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-

ную F, то для любого числа С функция F + C также

является первообразной для f . Иных первообразных

функция f на Х не имеет.

Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.

а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то

F (x) = f (x) для всех х Х.

Тогда для х Х для любого С имеем:

(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже

первообразная f на Х.

б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f

не имеет.

Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.

Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно

Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда

Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная

функции f на Х имеет вид F + C.

Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-

ных для данной функции?

Вывод формулируют учащиеся:

Задача отыскания всех первообразных, решается

отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб- +
.

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

= A .

=

=
+ С.

Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.

Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3).

Вычислите интегралы.

Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:

Производная функции f(х)=х 9 , мы знаем что f′(х)=9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.

Допустим дана производная f′(х)=6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))

Определение 1 : Функция F(x)называется первообразной для функции f(x) на отрезке , есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x)

Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х 5 -5х является первообразной для функции f(х)=5х 4 -5.

Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции

=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5х 4 -5.

Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)= неявляется первообразной для функции f(х)= .

Доказать вместе со студентами на доске.

Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.

Например: (слайд 7)

Основное свойство первообразной:

Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C, где С действительное число.

(Слайд 8) таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция

Первообразная для f(kx+b).

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

Тип урока: обобщающий.

Задачи:

Обучающие : систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.
Развивающие : способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.
Воспитывающие : побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Ход урока

І. Организационный момент

Основная и оперативная разминки, скоростной тренажер (элементы технологии Вассермана)

ІІ. Повторение

Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы (приложения 1). Правильный ответ оценивается в один балл.

III. Проверка домашнего задания

Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее заготавливают по одному примеру на карточках для интерактивной доски из домашнего задания и комментируют их решение.

IV. Аукцион задач

1. Вычислить обьем конуса площадь основания которого равна Р, а высота h.

2. Каую работа надо совершить для того чтобы растянуть пружину на 25 см.

3. Каую работу требуется выполнить чтобы с помощью ракеты тело массой m поднять на высоту h

4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми х=0, х=π и графиком функции у=sin х

5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у=-х², у=0, х=-2

V. Самостоятельная работа

К каждой задаче даны четыре ответа, только один из которых верен. Учащийся должен в специальном бланке поставить номер своего варианта и зачеркнуть номер выбранного им ответа по каждому заданию.

Учитель использует шаблон с отверстиями (отверстия заштрихованны), накладывая который на бланке учащихся устанавливает правильность решения каждой из 4-х задач.

Задание самостоятельной работы в 4-х вариантах в каждом варианте по 4 задачи:

VI. Математическая эстафета

Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 10 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями. (Приложение 2)
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания.

VІI. Из истории

Группа учащихся выступают сообщениями о происхождении терминов и обозначений по теме «Первообразная. Интеграл», из истории интегрального исчисления, о математиках, сделавших открытия по данной теме.

VІІІ. Рефлексия

Что усвоили в этой главе?
Чему научились?
Что получили?

Описание материала : предлагаю вам конспект урока для старшеклассников по теме: «Первообразная и Интеграл». Данный материал будет полезен педагогам, при обобщении и систематизации знаний, полученных при изучении данного раздела и поможет расширить представления учащихся о практическом значении данной темы.

Тема: «Первообразная и интеграл»

Тип: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма: игра

Цели:

дидактические:

· формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.

развивающие:

· формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.

воспитательные:

· формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.

Средства обучения:

Технические : ПК, проектор, экран.

Ход урока

Подготовительный этап : группа заранее делится на две команды.

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Цель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме « Первообразная и интеграл», подготовиться к предстоящему зачету.

Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору. (слайд)

Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».

Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.

Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.

Тема урока : Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Цели урока:

Образовательные:

ознокомить студентов с понятиями первообразной и неопределенного интеграла, основным свойством первообразной и правилами нахождения первообразной и неопределенного интеграла.

Развивающие:

развивать навыки самостоятельной деятельности,

активизировать мыслительную деятельность, математическую речь.

Воспитательные:

воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;

формировать ответственность за конечный результат.

Тип урока : сообщения новых знаний

Метод проведения : словесный, наглядный, самостоятельная работа.

Обеспечение урока :

Мультимедийное оборудование и программное обеспечение для показа презентации и видео;

Раздаточный материал: таблица простейших интегралов (на этапе закрепления).

Структура занятия.

1. Организационный момент (2 мин.)

Мотивация учебной деятельности. (5 мин.)

Изложение нового материала. (50 мин.)

Закрепление изученного материала. (25 мин.)

Подведение итогов занятия. Рефлексия. (6 мин.)

Сообщение домашнего задания. (2 мин.)

Ход занятия.

Организационный момент. (2 мин.)

Приемы преподавания

Приемы учения

Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.

Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.

Мотивация учебной деятельности.( 5 мин.)

Приемы преподавания

Приемы учения

Тема сегодняшнего занятия «Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства». (Слайд 1)

Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.

Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла. (Слайд 2)

Учащиеся записывают дату и тему занятия.

3. Изложение нового материала (50 мин)

Приемы преподавания

Приемы учения

1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:

Производная функции f (х)= х 9 , мы знаем что f ′(х)= 9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.

Допустим дана производная f ′(х)= 6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f (х)= х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))

Определение 1 : Функция F ( x )называется первообразной для функции f ( x ) на отрезке [ a ; b ], есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f ( x )

Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F ( x )=х 5 -5х f (х)=5 х 4 -5.

Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции

=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5 х 4 -5.

Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F ( x )= не является первообразной для функции f (х)= .

Доказать вместе со студентами на доске.

Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.

Например: (слайд 7)

Основное свойство первообразной:

Теорема: Если F ( x ) - одна из первообразных для функции f (х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G ( x )= F ( x )+ C , где С действительное число.

(Слайд 8) таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f , а G – первообразная для g , то F + G – есть первообразная для f + g .

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f , а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf .

(kF )’ = kF ’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f , а k и b – постоянные (), то функция

Первообразная для f (kx + b ).

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.

Определение 2 : Выражение F ( x ) + C , где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом

Из определения имеем:

(1)

Неопределенный интеграл функции f (x ), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f (x ) .

В равенстве (1) функцию f (x ) называется подынтегральной функцией , а выражение f (x ) dx – подынтегральным выражением , переменную x – переменной интегрирования , слагаемое C - постоянной интегрирования .

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла.

Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a = const , то

Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.

4. Таблица простейших интегралов

1. ,( n -1) 2.

3. 4.

5. 6.

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными . Отметим частный случай формулы 1:

Приведем еще одну очевидную формулу: