Ushbu darsda biz yig'indining kvadrati va farqning kvadrati formulalari bilan tanishamiz va ularni namoyish qilamiz. Qoplamaning kvadrati formulasini geometrik jihatdan isbotlaylik. Bundan tashqari, biz ushbu formulalar yordamida turli xil misollarni hal qilamiz.
Dars mavzusini shakllantirish
Ras-smot-rim for mu-lu quad-ra-ta summalari:
Kvadrat yig'indisi formulasini chiqarish va isbotlash
Shunday qilib, biz mu-lu quad-ra-ta summalariga egamizmi:
Slo-weight-but this-mo-la you-ra-zha-formasi quyidagicha: yig'indining kvadrati birinchi sonning kvadratiga teng, plyusning ikki baravar ko'payishi birinchi raqamni ikkinchisiga va ikkinchi raqamning kvadratini.
Ushbu shakl geo-met-r-che-ski-ni namoyish qilish oson.
Ras-smot-rim kvadrat-kalamush tomoni bilan:
Kvadrat-kvadrat-ra-ta.
Boshqa tomondan, bir xil kvadrat boshqacha tarzda namoyish etilishi mumkin, bu tomonni a va b ga bo'linadi (1-rasm).
Shakl: 1. Kvadrat
Keyin kvadratning maydonini maydonning yig'indisi sifatida ko'rsatish mumkin:
Siz-ku-ku-ra-siz-ko-siz bilan bir xil bo'lganingiz uchun, ularning maydonlari tengdir, demak:
Shunday qilib, biz geo-met-ri-che-ski uchun mu-lu quad-ra-ta summalarini qilamiz.
Kvadrat yig'indisi formulasida misollar echish
Ras-smot-rome misollari:
1-misol:
Izoh: misol yig'indisi kvadratining shakli misoli bilan hal qilinadi.
2-misol:
3-misol:
Ayirma kvadrat uchun formulani chiqarish
Siz-ve-dem-mo-lu quad-ra-ta-no-sti uchun:
Shunday qilib, biz siz-mu-lu quad-ra-ta-no-sti uchun bo'lasizmi:
Slo-vazn-lekin bu shakl-mo-la you-ra-zha-ga o'xshash: farqning kvadrati birinchi sonning kvadratiga teng bo'lib, birinchi raqamning ve-de-de-dan ikki baravar ko'paygan pro ikkinchisiga ikkinchi sonning kvadrati.
Farqning kvadratik farqi uchun misollar echish
Ras-smot-rome misollari:
4-misol:
5-misol:
6-misol:
Forma-mo-ly kvad-ra-ta summalari va kvad-ra-ta raz-no-sti ham chapdan o'ngga, ham o'ngdan chapga ishlashi mumkin. Chapdan o'ngga ishlatilganda, bu ajoyib aql-idrokning shakllari bo'ladi, ular siz bilan -numbers-le-nii va ob-ra-zo-va-nii misollarida qo'llaniladi. Va pol-zo-va-nii, right-va na-le-vo-dan foydalanganda, bo'linishning ko'pligi.
-Ly kvad-ra-that sums va kvad-ra-that times-but-sti shaklidan foydalanib, berilgan ko'p a'zoni ko'plarga bo'lish kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqing. Buning uchun siz mening a'zomga diqqat bilan qarashingiz va uning qanday nomlanishini aniqlashingiz kerak, lekin yashash to'g'ri.
Polinomni omillarga aylantirish uchun misollar echish
7-misol:
Izoh: ko'p a'zolarni ko'plarga bo'lish uchun mana bu v-ra-nii-le-but nimani anglatishini aniqlash kerak. Shunday qilib, biz birlikning kvadrat-ratini va kvadrat-ratini ko'ramiz. Endi sizga "ve-de-it" ning ikki barobar ko'prog'ini topish kerak. Shunday qilib, barcha kerakli elementlar mavjud, siz faqat aniqlashingiz kerak, bu yig'indining kvadrati yoki farq. Ikki baravar pro-of-de-ni oldida plyus belgisi mavjud, bu bizning oldimizda yig'indining kvadrati degan ma'noni anglatadi.
8-misol:
9-misol:
Izoh: ushbu misolning echimi uchun biz kerakli shaklni ko'rishingiz uchun qavslarni olib tashlashingiz kerak.
Jami va ayirmasi kvadrati uchun formulalarni qo'llash bo'yicha har xil tipik masalalarni echish
Tenglama echimiga pe-re-dem:
10-misol:
Izoh: bu tenglamani echish uchun kvadratlarni va kvadratlarning farqlari shaklidan foydalanib chap tomonini soddalashtirish kerak, ammo har xil-but-sti, shundan keyin o'xshash a'zolar keltiriladi. Shundan so'ng, barcha noma'lum narsalarni chap tomonga, erkin a'zoni esa o'ng tomonga o'tkazing va nie elementar chiziqli tenglamani eching.
11-misol:
Hisoblash-hisoblash:.
Izoh: ushbu misolni hal qilish uchun siz kvadratlar va yig'indining kvadratining farqi shaklini olishingiz kerak, shundan so'ng ray-chen-ny fraktsiyasida bo'yoq.
12-misol:
To-ka-zat pariteti:
Split-press ko'p:
Har bir to'plamdan, siz-bu-minus emas-tsu qavslar uchun:
Biz teng bo'lamiz (a - b) 2 \u003d (b - a) 2.
Ushbu tenglik iboralarni soddalashtirishda juda foydali. Bir misolga qarang.
13-misol:
Raz-lo-live juda ko'p:.
14-misol:
Do-ka-zhi - har bir g'alati sonning kvadrati birga kamaygan, sakkizga bo'lingan.
Biz bepul toq sonni quyidagicha ifodalaymiz, va uning kvadrati, birgalikda javob sifatida. Keling, iborani shartga muvofiq yozamiz:
Yarim chen-nye ifodasini soddalashtiring:
Qabul qilingan ifoda sakkizga ko'payganligini isbotlash uchun uning 2 va 4 ga bo'linganligini isbotlashimiz kerak. Shubhasiz, siz etarlicha tezkor ekanligingizni ko'rishingiz mumkin, chunki unda juda ko'p 4 mavjud. Shuning uchun biz buni de -Lit ekanligini isbotlang.
Yozuv - bu avvalgi va-tel-tialdan keyingi ikkita raqamning pro-of-nessi, ammo u har doim ikkitaning ko'paytmasi, chunki v dan keyingi v sonidan ikkitasi bitta bo'ladi har doim ham juft bo'ling, ikkinchidan, birgalikdagi javob, g'alati va toq haqida ikkiga ko'paytma, demak siz sakkizning ko'paytmasini aytasiz. Shunday qilib, biz har bir g'alati sonning kvadrati bittaga kamaytirilganini, sakkizga bo'linishini angladik.
Dars xulosalari
Chiqish: ushbu darsda biz to'rtburchaklar yig'indisi va farqning to'rtburchagi shakllari mu-ly bo'ladimi-yo'qmi va ulardan foydalanish uchun eng xilma-xil vazifalarni hal qilishni o'rgandik. formulalar.
Ushbu darsda biz ilgari o'rganilgan qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini, ya'ni yig'indining kvadratini va farqning kvadratini eslaymiz. Biz kvadratchalar farqi uchun formulani chiqaramiz va ushbu formulani qo'llash uchun juda ko'p har xil tipik masalalarni echamiz. Bundan tashqari, biz bir nechta formulalarni kompleks qo'llash uchun muammolarni hal qilamiz.
Darsning mavzusi va maqsadini shakllantirish va o'tgan darsdan materialni eslatish
Esingizda bo'lsa, avvalgi darsda biz to'rtburchaklar yig'indisi va to'rtburchaklar orasidagi farqni ko'rib chiqdik. Keling, ularni yozaylik:
Kvadratchalar ayirmasi formulasini chiqarish
Siz-mu-lu uchun turli xil sti-to'rtliklar uchun. Siz aqlli ikki a'zodan to'la:
Slo-weight-but this-mu-la you-look-dit formasi quyidagicha: ikkala nazr kvadratlari orasidagi farq bu chiqishlar yig'indisining pro-of-ve-de-nii ra ga teng - ularning farqi bilan bir xil.
Biz uni turli xil kvadratchalar deb ataymiz.
Biz buni kvadrat-ra-tom different-sti deymiz, bu ikki iborani aralashtirib yubormasligimiz kerak.
Formuladan va standart xato so'zlardan to'g'ridan-to'g'ri foydalanish misollari
Ras-smot-rim ti-po-vy-da-chahda form-xachirdan foydalanish. Formani to'g'ridan-to'g'ri qo'llash uchun vazifalar bilan boshlaymiz-mu-ly.
1-misol: 
.
Pri-meme uchun, uchun, uchun-chim:
.
Ras-pi-shem no-mu-le-ga ko'ra:
Dastlabki o'zgaruvchilarga qayta tiklang:
Standart xato:
biron bir tarzda belgi bilan qavsda, shuningdek zaif joylar:
.
Ko'pincha bunday za-pi-si poo-ta-ut bilan, qaysi kvadrat sizni ta'qib qiladi, qaysi biri hurmat qiladi:
Formulani bevosita qo'llash uchun misollarni echish
2-misol:
Izoh: agar "ishlamaydigan-ishlamaydigan" ish bo'lmasa, xuddi shunday-lo-gich-lekin oldin-du-shu-mu-f-me-r, xuddi shu narsani birini a ga almashtirish va ikkinchisi b ga, shuning uchun kerakli shaklni ko'rish osonroq bo'ladi.
3-misol:
Izoh: ushbu misolda ehtiyotkorlik bilan va yuqorida bayon qilingan xatoga yo'l qo'ymaslik kerak. Buning uchun birinchi shtapeldagi zaif joylarni almashtirish qulay.
Formani teskari ishlatish uchun zad-chamga o'tish-rei-dem - juda ko'p bo'linish.
4-misol:
Izoh-ta-ri: misol quad-ra-tovning xilma-xilligi ta'rifidan hal qilinadi. Faqat birinchi bir a'zoni, ikkinchisi bitta a'zoni va ikkinchisini aniqlash kerak.
5-misol:
6-misol:
Izoh: ushbu misolda izu-cha-e-my for-mu-lu ipidan bir necha marta foydalanishingiz kerak. Ehtimol, ha-lekin-lekin uzun shaklning oxiridagi uzun shakldan ko'p a'zoning standart shaklini olish uchun, keyin siz o'zaro bog'langan shtapelni qayta bosishingiz va ifodani kaltaklashingiz kerak. eng sodda.
Bir nechta formulalarni kompleks qo'llash uchun misollar
Muammolarning navbatdagi turi - bu bir nechta formulalarning com-bi-ni-ro-van-ny dasturidir.
7-misol - soddalashtirish:
Izoh-ta-ri: ushbu misolda siz ikkita mu-ly shaklidan foydalanishingiz kerak: har xil-but-sti-quad-ra-tov va quad-ra-ta-no-sti, yarim chen-nnomda -nii-ra-nii pri-ve-sti-ga o'xshash a'zolar.
8-misol:
Tenglama va hisoblash masalalarini echish
Tenglama echimiga Pe-re-dem.
9-misol:
Ras-smot-rim siz-n-tel-tel-ny-da-chi.
10-misol:
11-misol:
Dars xulosalari va uyga vazifa
Chiqish: bu darsda biz kvadrat-ra-tovning farqi uchun mu-lu bo'ladimi-yo'qmi va qaror qildik - bu juda ko'p turli xil shaxsiy misollar mavjudmi, ammo aniq -no-nia, numerical-nnnnnnncd-chi, -dnndnnannerrnrnrnner-zo-va-ni-v-ve-den- noah form-mu-ly va boshqalar. Bundan tashqari, biz bir nechta formulalarning murakkab dasturidan foydalangan holda bir nechta muammolarni hal qildik.
Ushbu darsda biz qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganishni davom ettiramiz, ya'ni kublarning farqi va yig'indisi uchun formulalarni ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari, biz ushbu formulalarni qo'llash uchun turli xil odatiy vazifalarni hal qilamiz.
Kublar ayirmasi formulasini chiqarish
Juda chiroyli aql-idrokning form-xachirlarini o'rganayotganda biz allaqachon o'rganib chiqdik:
Kvadrat yig'indisi va farq;
Kvadratlarning farqi-ra-tov.
Siz kublarning kattaligi uchun mu-lu uchun-ve-dem.
Bizning vazifamiz shuni isbotlashdirki, biz o'ng tomonda yonma-yon ochilganda va qandaydir kuchsiz bo'lganimizda - Kelinglar, chapga qayta zul-ta-tega boramiz.
Vy-ra-zh-zy-va-bu Xia yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrat-ra-hajmi, chunki kundan-kunga - ve-de-it-you-ra-same-ning oldidagi deuce mavjud.
Kublar yig'indisi formulasini chiqarish
Ta'rif-de-le-niy
Ikki iboraning kublari orasidagi farq bu ifodalar orasidagi farqning ularning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati bilan natijasidir.
Siz-biz-dem-mu-lu kublar yig'indisi uchun.
Siz-a-yarim-men-ko'p a'zolarni aqlli chaynayman:
Q.E.D.
Vy-ra-zh-zy-va-bu Xia-ning to'liq bo'lmagan kvadrat-ra-tomi, chunki bu kundan-kunga qadar pro-of-ve-de -n-e-e-u-ra-niydan oldin bir deuce mavjud.
Soddalashtirish vazifalari
Ta'rif-de-le-niy
Ikkala ifodaning kublari yig'indisi bu ifodalarning ularning farqining to'liq bo'lmagan kvadratiga qo'shilishi sababli pro-son hisoblanadi.
1-misol - ifodani soddalashtirish uchun:
Keling va, bizda:
Bu izu-cha-e-may for-mo-la - kublarning farqi:
2-misol - ifodani soddalashtirish uchun:
Keling va, bizda:
Bu cha-e-may for-mu-la - kublar yig'indisi.
Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun, shuningdek, faktoring polinomlarini, tez ko'paytirish polinomlar. Ko'paytirishning qisqartirilgan formulalarining ko'pini Nyuton binomialidan olish mumkin - buni tez orada ko'rasiz.
Kvadratchalar uchun formulalarhisob-kitoblarda tez-tez ishlatiladi. Ular o'qishni boshlaydilar maktab o'quv dasturi 7-sinfdan to mashg'ulot oxirigacha kvadratchalar va kublar uchun formulalar o'quvchilar tomonidan tishlari bilan ma'lum bo'lishi kerak.
Kub formulalari unchalik murakkab emas va o'zgarmaydigan va sonning kubga yig'indisi yoki farqi ko'tarilishini soddalashtirish uchun ularni ko'pburchaklarni standart shaklga keltirishda bilishingiz kerak.
Qizil rang bilan belgilangan formulalar shunga o'xshash atamalarning oldingi guruhlanishidan olinadi.
To'rtinchi va beshinchi darajadagi formulalar maktab kursida kam odam foydali bo'ladi, ammo yuqori matematikani o'rganishda siz darajalar koeffitsientlarini hisoblashingiz kerak bo'lgan muammolar mavjud.
Daraja formulalari n faktoriallardan foydalanib binomial koeffitsientlar bo'yicha quyidagicha yoziladi 
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish misollari
Misol 1. 51 ^ 2 ni hisoblang.
Qaror. Agar sizda kalkulyator bo'lsa, uni muammosiz toping
Men hazillashardim - kalkulyator bilan hamma aqlli, usiz ... (qayg'uli narsalar haqida gapirmaylik).
Kalkulyatorsiz va yuqoridagi qoidalarni bilsak, qoida bo'yicha sonning kvadratini topamiz
2-misol. 99 ^ 2 ni toping.
Qaror. Keling, ikkinchi formulani qo'llaymiz
Misol 3. Ifodani kvadrat shaklida
(x + y-3).
Qaror. Dastlabki ikkita hadning yig'indisi aqliy ravishda bitta atama deb hisoblanadi va qisqartirilgan ko'paytirishning ikkinchi formulasiga ko'ra bizda mavjud
Misol 4. Kvadratlarning farqini toping
11^2-9^2.
Qaror. Raqamlar kichik bo'lgani uchun siz kvadratlarning qiymatlarini oddiygina almashtirishingiz mumkin
Ammo bizning maqsadimiz butunlay boshqacha - hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishni o'rganish. Ushbu misol uchun uchinchi formuladan foydalanamiz
Misol 5. Kvadratlarning farqini toping
17^2-3^2
.
Qaror. Ushbu misolda siz allaqachon hisob-kitoblarni bitta qatorga kamaytirish qoidalarini o'rganishni xohlaysiz
Ko'rib turganingizdek, biz hayratlanarli narsa qilmadik.
Misol 6. Ifodani soddalashtiring
(x-y) ^ 2- (x + y) ^ 2.
Qaror. Kvadratchalarni yotqizishingiz mumkin, keyin esa shunga o'xshash atamalarni guruhlashingiz mumkin. Biroq, kvadratlarning farqini to'g'ridan-to'g'ri qo'llashingiz mumkin 
Oddiy va uzoq qarorlarsiz.
Misol 7. Ko'p polinomni kubik bilan yozing
x ^ 3-4.
Qaror. Keling, 5 ta qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llaymiz 
Misol 8. Kvadratlarning ayirmasi yoki ularning yig'indisi sifatida yozing
a) x ^ 2-8x + 7
b) x ^ 2 + 4x + 29
Qaror. a) Shartlarni qayta tuzamiz
b) oldingi mulohazalar asosida soddalashtirish 
Misol 9. Kengaytiring ratsional kasr
Qaror. Kvadratchalar farqi uchun formulani qo'llaymiz 
Doimiylikni aniqlash uchun tenglamalar tizimini tuzamiz
Uchinchi tenglamaga ikkinchisini qo'shing. Topilgan qiymatni birinchi tenglamaga almashtiramiz 
Yakuniy dekompozitsiya shaklni oladi 
Mahrajning kuchini pasaytirish uchun ko'pincha integraldan oldin ratsional kasrni kengaytirish kerak bo'ladi.
Misol 10. Nyuton binomialidan foydalanib yozing
ifoda (x-a) ^ 7.
Qaror. Nyutonning binomiali nima, ehtimol siz allaqachon bilasiz. Agar yo'q bo'lsa, unda quyida binomial koeffitsientlar keltirilgan
Ular quyidagicha shakllanadi: birliklar chekka bo'ylab harakatlanadi, pastki qatorda ularning orasidagi koeffitsientlar qo'shni yuqori qismlarni yig'ish orqali hosil bo'ladi. Agar biz biron bir darajada farqni qidirsak, jadvaldagi belgilar plyusdan minusgacha o'zgarib turadi. Shunday qilib, ettinchi tartib uchun biz quyidagi tartibni olamiz
Ko'rsatkichlarning qanday o'zgarishini ham diqqat bilan ko'rib chiqing - har bir keyingi davrda birinchi navbatda ular bittaga kamayadi, ikkinchisida - ular birma-bir o'sadi. Ko'rsatkichlarning yig'indisi har doim parchalanish darajasiga teng bo'lishi kerak (\u003d 7).
O'ylaymanki, yuqoridagi material asosida siz Nyuton binomiyasidagi muammolarni hal qila olasiz. Ko'paytirishning qisqartirilgan formulalarini o'rganing va hisob-kitoblarni soddalashtiradigan va vaqtni tejaydigan har qanday joyda qo'llang.
Algebrada ko'rib chiqiladigan turli xil iboralar orasida monomiallar yig'indisi muhim o'rin tutadi. Bunday iboralarga bir nechta misollar:
\\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0.3a ^ 2 - 4.6a + 8 \\)
\\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \\)
Monomiallar yig’indisi polinom deb ataladi. Polinomdagi atamalar ko'pburchakning shartlari deyiladi. Monomiallarni bitta atamadan iborat ko'p polinom deb hisoblab, ko'p sonli a'zolar deb ham ataladi.
Masalan, polinom
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0.25b \\ cdot (-12) b + 16 \\)
soddalashtirilishi mumkin.
Biz barcha atamalarni standart shaklning monomiallari sifatida namoyish etamiz:
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0.25b \\ cdot (-12) b + 16 \u003d \\)
\\ (\u003d 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \\)
Olingan polinomda shunga o'xshash atamalarni taqdim etamiz:
\\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \u003d -6b ^ 5 -8b + 16 \\)
Natijada polinom hosil bo'ladi, uning barcha a'zolari standart shakldagi monomiallardir va ularning orasida o'xshashlari yo'q. Bunday polinomlar deyiladi standart shakldagi polinomlar.
Per polinom darajasi standart shakl uning a'zolari darajalarining eng kattasini oladi. Shunday qilib, binomial \\ (12a ^ 2b - 7b \\) uchinchi darajaga, trinomial \\ (2b ^ 2 -7b + 6 \\) - ikkinchi darajaga ega.
Odatda, bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan standart polinomlar a'zolari uning darajalari kamayish tartibida joylashadilar. Masalan:
\\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 \u003d x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \\)
Bir nechta polinomlarning yig'indisi standart ko'pburchakka aylantirilishi (soddalashtirilgan) bo'lishi mumkin.
Ba'zida polinom a'zolarini har bir guruhni qavs ichiga olish orqali guruhlarga bo'lish kerak. Qavs qavsning kengayishining teskari tomoni bo'lgani uchun uni shakllantirish oson qavsni kengaytirish qoidalari:
Qavslar oldiga "+" belgisi qo'yilgan bo'lsa, u holda qavs ichiga olingan a'zolar bir xil belgilar bilan yoziladi.
Qavslar oldiga "-" belgisi qo'yilgan bo'lsa, u holda qavs ichiga olingan a'zolar qarama-qarshi belgilar bilan yoziladi.
Monomial va polinomning hosilasini o'zgartirish (soddalashtirish)
Ko'paytirishning taqsimlovchi xususiyatidan foydalanib, siz monomial va polinomning hosilasini ko'pburchakka o'zgartirishingiz (soddalashtirishingiz) mumkin. Masalan:
\\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 9a ^ 2b \\ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \\ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \\ cdot (-4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \\)
Monomial va polinomning ko'paytmasi bir xillik bilan ushbu monomial va ko'pburchak a'zolarining har birining ko'paytmasiga tengdir.
Ushbu natija odatda qoida tariqasida shakllantiriladi.
Monomialni polinomga ko'paytirish uchun ushbu monomiyani polinomning har bir a'zosiga ko'paytirish kerak.
Biz ushbu qoidadan yig'indiga ko'p marta ko'paytirish uchun allaqachon foydalanganmiz.
Polinomlarning hosilasi. Ikki polinomning hosilasini o'zgartirish (soddalashtirish)
Umuman olganda, ikkita polinomning ko'paytmasi bir xil polinomning har bir a'zosi va ikkinchisining har bir a'zosi ko'paytmasining yig'indisiga teng ravishda tengdir.
Odatda quyidagi qoidadan foydalaniladi.
Polinomni polinomga ko'paytirish uchun bitta polinomning har bir atamasini boshqasining har bir a'zosiga ko'paytirish va natijada hosil bo'lgan mahsulotlarni qo'shish kerak.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Jami kvadratlar, kvadratlarning farqlari va farqi
Algebraik transformatsiyalardagi ba'zi bir iboralar boshqalarga qaraganda tez-tez ko'rib chiqilishi kerak. Ehtimol, eng keng tarqalgan ifodalar \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) va \\ (a ^ 2 - b ^ 2 \\), ya'ni yig'indining kvadrati, kvadrat kvadratlarning farqi va farqi. Siz ushbu iboralarning nomlari to'liq emasligini sezdingiz, masalan, Biroq, a va b yig'indisining kvadrati unchalik keng tarqalgan emas, qoida tariqasida a va b harflari o'rniga unda har xil, ba'zan ancha murakkab iboralar mavjud.
\\ ((A + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) iboralarni standart shakldagi polinomlarga aylantirish (soddalashtirish) oson, aslida siz allaqachon polinomlarni ko'paytirishda ushbu vazifa bilan uchrashgansiz:
\\ ((a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d \\)
\\ (\u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \\)
Olingan identifikatorlarni oraliq hisob-kitoblarsiz eslab qolish va qo'llash foydalidir. Qisqa og'zaki formulalar bunga yordam beradi.
\\ ((a + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \\) - yig'indining kvadrati kvadratlar va ikki baravar ko'paytirilganlarning yig'indisiga teng.
\\ ((a - b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \\) - farqning kvadrati ikki baravar ko'paymagan kvadratchalar yig'indisiga teng.
\\ (a ^ 2 - b ^ 2 \u003d (a - b) (a + b) \\) - kvadratlarning ayirmasi ayirma yig'indisiga ko'paytmasiga teng.
Ushbu uchta o'ziga xoslik o'zgarishlarga chap tomonlarini o'ng tomonga, aksincha - o'ng tomonlarini chap tomonlariga almashtirishga imkon beradi. Eng qiyin narsa mos keladigan ifodalarni ko'rish va ulardagi a va b o'zgaruvchilar o'rnini nima bilan almashtirishini tushunishdir. Keling, qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini ishlatish misollarini ko'rib chiqamiz.
Matematik iboralar (formulalar) qisqartirilgan ko'paytirish (yig'indining kvadrati va ayirmasi, yig'indisi va ayirmasi kubi, kvadratlar ayirmasi, yig'indisi va kublarning farqi) aniq fanlarning ko'plab sohalarida nihoyatda o'zgarmasdir. Ushbu 7 ta ramziy belgi ifodalarni soddalashtirish, tenglamalarni echish, polinomlarni ko'paytirish, kasrlarni bekor qilish, integrallarni echish va boshqa ko'p narsalar uchun ajralmasdir. Bu shuni anglatadiki, ular qanday qilib olinishini, nima uchun kerakligini va eng muhimi, ularni qanday eslab qolishni va keyin qanday qo'llashni tushunish juda foydali bo'ladi. Keyin murojaat qiling qisqartirilgan ko'paytirish formulalari amalda eng qiyin narsa nima ekanligini ko'rish bo'ladi xva nima bor. Shubhasiz, uchun cheklovlar yo'q a va byo'q, demak u har qanday raqamli yoki so'zma-so'z iboralar bo'lishi mumkin.
Va shunday:
Birinchi x 2 - 2 da \u003d (x - y) (x + y) .Hisoblash uchun kvadratchalar farqi ikkita iborani ushbu ifodalarning farqlari bilan ularning yig'indisiga ko'paytirish kerak.
Ikkinchisi (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2 ... Topmoq kvadrat sum ikkita ibora, birinchi ifodaning er-xotin mahsulotini ikkinchisiga, ikkinchi ifodaning kvadratini birinchi ifodaning kvadratiga qo'shishingiz kerak.
Uchinchidan (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2... Hisoblash uchun kvadrat farqikkita ibora, birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasini ikkinchisiga, ikkinchi ifodaning kvadratini birinchi ifoda kvadratidan olib tashlashingiz kerak.
To'rtinchi (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + y 3. Hisoblash uchun kub sumikki ibora, birinchi ifoda kubiga birinchi ifoda kvadratining uch karra hosilasini ikkinchisiga ortiqcha qo'shib, birinchi ifodaning hosilasini ikkinchisining kvadratiga va ikkinchi ifodaning kubiga qo'shishingiz kerak.
Beshinchi (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3x 2 - 3 da... Hisoblash uchun farq kubikkita ifoda, birinchi ifoda kubidan birinchi ifoda kvadratining uch karra hosilasini ikkinchisiga, birinchi ifodaning ko'paytmasini ikkinchi minusining kvadratiga ikkinchi eksa kubini olib tashlash kerak.
Oltinchi x 3 + 3 da \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2) Hisoblash uchun kublar yig'indisiikkita ibora, birinchi va ikkinchi ifodalarning yig'indisini ushbu ifodalar ayirmasining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirish kerak.
Ettinchi x 3 - 3 da \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Hisoblashni amalga oshirish farq kublariikkita ibora, birinchi va ikkinchi ifodalar orasidagi farq bu ifodalar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirilishi kerak.
Qarama-qarshi yo'nalishda (o'ngdan chapga) hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun barcha formulalar qo'llanilishini eslash qiyin emas.
Ushbu qonuniyatlarning mavjudligi taxminan 4 ming yil oldin topilgan. Ular qadimgi Bobil va Misr aholisi tomonidan keng qo'llanilgan. Ammo o'sha paytlarda ular og'zaki yoki geometrik tarzda ifodalangan va hisob-kitoblarda harflardan foydalanmagan.
Keling, tahlil qilaylik so'mlik kvadrat isboti(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2.
Birinchisi bu matematik qonuniyat miloddan avvalgi III asrda Iskandariyada ishlagan qadimgi yunon olimi Evklid tomonidan isbotlangan, buning uchun formulani isbotlashning geometrik usulidan foydalangan, chunki qadimgi Ellada olimlari raqamlarni belgilash uchun harflardan foydalanmaganlar. Ular "a 2" emas, balki "a segmentidagi kvadrat", "ab" emas, balki "a va b segmentlar orasida joylashgan to'rtburchak" dan keng foydalanganlar.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikkita ifodaning farqi kvadrati; ikki ifoda kvadratlarining farqi; yig‘indagi kub va ikkita ifodaning ayirma kubi; ikki ifoda kublarining yig’indisi va ayirmasi.
Misollarni echishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.
Ifodalarni soddalashtirish, polinomlarni faktorizatsiya qilish va polinomlarni standart shaklga keltirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalaniladi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilishingiz kerak.
A, b R. bo'lsin Keyin:
1. Ikki ifoda yig'indisining kvadrati quyidagicha birinchi ifodaning kvadrati, birinchi ifodaning ko'paytmasidan ikkinchisiga va ikkinchi ifodaning kvadratiga ikki baravar ko'paytiriladi.
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
2. Ikki ifodaning kvadrat farqi quyidagicha birinchi ifodaning kvadrati birinchi ifodaning ko'paytmasidan ikki baravariga, ikkinchisiga va ikkinchi ifodaning kvadratiga teng.
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadratlarning farqiikkita ifoda ushbu ifodalar farqi va ularning yig'indisi ko'paytmasiga teng.
a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)
4. Sum kubikkita ibora birinchi ifodaning kubiga ortiqcha birinchi ifodaning kvadratiga uch baravar, ikkinchisiga esa birinchi ifodaning uch baravariga va ikkinchisining kvadratiga va ikkinchi ifodaning kubiga teng.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Farq kubiikki ifoda birinchi ifodaning kvadratidan uch baravariga, ikkinchisiga esa birinchi ifodaning ko'paytmasidan uch baravar ko'pi va ikkinchisining kvadratiga ikkinchi ifoda kubini olib tashlagan holda birinchi ifodaning kubiga teng.
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kublar yig'indisiikkita ibora birinchi va ikkinchi ifodalar yig'indisining ushbu ifodalar ayirmasining to'liq bo'lmagan kvadrati bilan ko'paytmasiga teng.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Farq kublari ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining ushbu ifodalar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati bilan ko'paytmasiga teng.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Misollarni echishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.
1-misol.
Hisoblang
a) Ikki ifoda yig'indisi kvadratining formulasidan foydalanib, bizda
(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 40 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681
b) Ikki ifoda ayirmasi kvadrati formulasidan foydalanib, biz olamiz
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
2-misol.
Hisoblang
Ikki ifodaning kvadratlari orasidagi farqning formulasidan foydalanib, biz olamiz
3-misol.
Ifodani soddalashtiring
(x - y) 2 + (x + y) 2
Ikki ifodaning yig'indisi va ayirmasi kvadrati uchun formulalardan foydalanamiz
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Bir jadvalda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
