"Har xil turdagi tenglamalarni echish" mavzusidagi 4-sonli topshiriqni tahlil qilish

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, sharhlaringizni, sharhlaringizni, istaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshirilgan.

9-sinf uchun Integral internet-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-sinf uchun interfaol algebra qoidalari va mashqlari
9-sinf uchun multimedia darsligi "10 daqiqada algebra"

Vazifa raqami 4 har xil turdagi tenglamalarni echish qobiliyatini talab qiladi. Bolalar, siz kvadrat tenglamalarni, kasrli ratsional tenglamalarni, oddiy chiziqli tenglamalarni to'g'ri echish usullarini o'zlashtirishingiz kerak. Bundan tashqari, siz polinomlar bilan operatsiyalarni bajarishda usta bo'lishingiz kerak: ko'pburchakni polinomga ko'paytirish va bo'lish. Eritma maydoniga kiritilgan tenglamaning ildizlarini tanlab, qaysi ildizlarni tashlash va e'tiborsiz qoldirish kerakligini aniqlashingiz kerakmi?

Ushbu topshiriqni tayyorlashda sizga yordam beradigan darslar:

1. Lineer funktsiyalarning asosiy ta'riflari va echimlari misollari.
2. Monomial tushunchasi va standart shakli.
3. Polinom, standart shakl, qisqartirish, o'zgartirish.
4. Raqamli iboralar uchun misollar. O'zgaruvchilar bilan algebraik ifodalar va ular bilan amallar.
5. Tenglamalar, tenglamalarni echishga misollar.
6. Kvadrat tenglamalar. Rivojlanish darsi.
7. Fraksiyonel ratsional tenglamalar. Rivojlanish darsi.
8. Kvadrat ildiz. Rivojlanish darsi.

Keling, echimlar misollarini tahlil qilishga o'tamiz.

1-misol.
Tenglamaning ildizlarini toping: $ 16x ^ 2-1 \u003d 0 $.

Qaror.
E'tibor bering, bizga kvadrat tenglama berilgan, ammo to'liq emas. Xdagi koeffitsient nolga teng. Keyin biz qoidani boshqaramiz: "x ning kvadratchasi bo'lgan iboralar, chap tomonda qoldiramiz va barcha raqamlarni o'ngga o'tkazamiz".
Keling, o'z ifodamizni o'zgartiraylik: $ 16x ^ 2 \u003d 1 $.

Tenglamaning ikkala tomonini x kvadratidagi koeffitsientga ajratamiz: $ x ^ 2 \u003d \\ frac (1) (16) $.

Ushbu tenglamani echish uchun kvadrat ildiz haqida bilim kerak. Keling, manfiy sonni ham hisobga olishimiz kerakligini unutmay, ildizni chiqaramiz: $ x \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (16)) \u003d ± \\ frac (1) (4) \u003d ± 0.25 $.
Javob: $ x \u003d ± 0,25 $.

2-misol.
Tenglamani eching: $ x ^ 2 \u003d 18-7x $.

Qaror.
Barcha ifodalarni tenglamaning chap tomoniga o'tkazing: $ x ^ 2 + 7x-18 \u003d 0 $.

Biz odatdagi kvadrat tenglamani ikki yo'l bilan hal qilishimiz mumkin:
1. "boshga", diskriminantni hisoblash;
2. Vetta teoremasidan foydalanish.

1 usul.
Kvadrat tenglama uchun barcha koeffitsientlarni yozamiz: $ a \u003d 1 $, $ b \u003d 7 $, $ c \u003d -18 $.

Diskriminantni toping: $ D \u003d b ^ 2-4ac \u003d (7) ^ 2-4 * 1 * (- 18) \u003d 49 + 72 \u003d 121 \u003d (11) ^ 2\u003e 0 $.
Tenglama 2 ta ildizga ega ekanligini angladik.
Ushbu ildizlarni topish biz uchun qoladi:
$ x_1 \u003d \\ frac (-b + \\ sqrt (D)) (2a) \u003d \\ frac (-7 + 11) (2) \u003d 2 $.
$ x_2 \u003d \\ frac (-b- \\ sqrt (D)) (2a) \u003d \\ frac (-7-11) (2) \u003d - 9 $.

2-usul.
Vetta teoremasidan foydalanamiz. Vetta teoremasi ko'pincha kvadrat tenglamalarning echimini ko'p marta soddalashtiradi, ayniqsa $ a \u003d 1 $ koeffitsienti bo'lganda. Bu holda, tenglama ildizlari ko'paytmasi $ c $ koeffitsientiga, tenglama ildizlari yig'indisi $ b $ bo'lgan koeffitsientni minusga teng bo'ladi:
$ x_1 + x_2 \u003d - \\ frac (b) (a) $.
$ x_1 * x_2 \u003d \\ frac (c) (a) $.

Bizning misolimizda $ c \u003d -18 $ va $ b \u003d 7 $. Biz mahsulot juft minus o'n sakkizga teng bo'lgan juft sonlarni saralashni boshlaymiz. Aqlga keladigan birinchi raqamlar to'qqiz va ikkitadir. Bir nechta oddiy ko'paytma va qo'shimchalar kiritgandan so'ng, $ x \u003d -9 $ va $ x \u003d 2 $ ildizlari biz uchun mos ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.
$ x_1 * x_2 \u003d -9 * 2 \u003d -18 \u003d \\ frac (c) (a) $.
x $ _1 + x_2 \u003d -9 + 2 \u003d -7 \u003d - \\ frac (b) (a) $.
Javob: $ x \u003d -9 $, $ x \u003d 2 $.

3-misol.
$ X- \\ frac (x) (7) \u003d \\ frac (15) (7) $ tenglamasini eching.

Qaror.
Bizga kasr koeffitsientlari bilan oddiy chiziqli tenglama berilgan. Ushbu tenglamani echish uchun oddiy kasrlar bilan to'g'ri harakat qilish kerak.
Birinchi qadam tenglamaning chap tomonini o'zgartirib, uni soddalashtiramiz: $ x- \\ frac (x) (7) \u003d \\ frac (7x) (7) - \\ frac (x) (7) \u003d \\ frac (6x) (7)) $.
$ \\ Frac (6x) (7) \u003d \\ frac (15) (7) $ tenglamasini oldik.
Tenglamaning o'ng tomonini x: $ x \u003d \\ frac (\\ frac (15) (7)) (\\ frac (6) (7)) $ koeffitsientiga bo'ling.

Bo'linishni alohida ko'rib chiqing: $ \\ frac (\\ frac (15) (7)) (\\ frac (6) (7)) \u003d \\ frac (15) (7) * \\ frac (7) (6) \u003d \\ frac (15) ) (6) \u003d 2 \\ frac (3) (6) \u003d 2 \\ frac (1) (2) \u003d 2.5 $.

Qabul qilingan: $ x \u003d 2,5 $.
Javob: $ x \u003d $ 2.5.

4-misol.
Tenglamani eching: $ (x + 2) ^ 2 \u003d (x-4) ^ 2 $.

Qaror.
1-usul.
Qoplamaning kvadrati uchun formuladan foydalanamiz: $ (x + 2) ^ 2 \u003d x ^ 2 + 4x + 4 $.
$ (x-4) ^ 2 \u003d x ^ 2-8x + 16 $.
Qabul qilingan: $ x ^ 2 + 4x + 4 \u003d x ^ 2-8x + 16 $.
Tenglamamizni soddalashtiramiz:
$ x ^ 2 + 4x-x ^ 2 + 8x \u003d 16-4 $.
$ 12x \u003d $ 12.
$ x \u003d 1 $.

2-usul.
Ushbu tenglamani echishda biz kvadratchalar farqi formulasidan foydalanishimiz mumkin. $ (x + 2) ^ 2- (x-4) ^ 2 \u003d 0 $.
$ (x + 2 + x-4) (x + 2-x + 4) \u003d 0 $.
$ (2x-2) * (6) \u003d 0 $.
$ 2x-2 \u003d $ 0.
$ 2x \u003d 2 $.
$ x \u003d 1 $.
Javob: $ x \u003d 1 $.

5-misol.
Tenglamani eching: $ \\ frac (9) (x-14) \u003d \\ frac (14) (x-9) $.

Qaror.
Bizga kasrli ratsional tenglama taqdim etiladi. Ushbu tenglamalarni echishda siz nolga bo'linmasligingizni yodda tutish kerak. Shuning uchun tenglamaning ildizlari har doim ularni asl tenglamaning maxrajiga almashtirish bilan tekshirilishi kerak.
O'zaro faoliyat qoidadan foydalanamiz: $ 9 (x-9) \u003d 14 (x-14) $.
Biz chiziqli tenglamani oldik:
$ 9x-81 \u003d $ 14x-196.
$ 9x-14x \u003d -196 + $ 81.
$ -5x \u003d -115 $.
$ x \u003d 23 $.
Ildizimizni tekshirgandan so'ng, dastlabki tenglama kasrlari maxrajlari yo'qolmasligiga ishonch hosil qilamiz.
Javob: $ x \u003d 23 $.

6-misol.
Tizimni qondiradigan echimlarni toping: $ \\ begin (case) x ^ 2 + 9x-22 \u003d 0, \\\\ x≤1 \\ end (case) $.

Qaror.
Birinchidan, Vetta teoremasi yordamida kvadratik tenglamani echamiz. Bizning ildizlarimiz mahsuloti $ 22 $, yig'indisi $ -9 $.
Keling, ildizlarni yig'amiz:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Biz ikkita ildiz oldik: $ x_1 \u003d -11 $ va $ x_2 \u003d 2 $. Ushbu ildizlardan birinchi ildiz $ x≤1 $ tengsizligini qondiradi va bu javob bo'ladi.
Javob: $ x \u003d -11 $.

7-misol.
Tenglamani eching: $ 23x-60-x ^ 2 \u003d 0 $.
Javobda ildiz farqining modulini ko'rsating.

Qaror.
Dastlabki tenglamani $ -1 $: $ x ^ 2-23x + 60 \u003d 0 $ ga ko'paytiring.
Ushbu shaklda tenglama ancha tanish ko'rinishga ega.
Biz Vetta teoremasidan foydalanamiz va tenglamamizni ikki atama natijasi sifatida ifodalaymiz:
$ (x-20) (x-3) \u003d 0 $.
$ X_1 \u003d $ 20 va $ x_2 \u003d $ 3 ikkita ildiz oldik.
Farqning modulini toping: $ | x_1-x_2 | \u003d | 20-3 | \u003d | 17 | \u003d 17 $.
Javob: 17.

8-misol.
$ X ^ 6-x ^ 2 \u003d 0 tenglama necha ildizga ega?

Qaror.
Eng kichik darajadagi omil: $ x ^ 2 (x ^ 4-1) \u003d 0 $.
Endi kvadratchalar farqi uchun formuladan foydalanamiz:
$ x ^ 2 (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) \u003d 0 $.
Va yana biz bir xil formuladan foydalanamiz:
$ x ^ 2 (x-1) (x + 1) (x ^ 2 + 1) \u003d 0 $.
Ushbu tenglama tenglamalar to'plamiga teng: Biz bu tenglamaning uchta ildizi borligini angladik.
Javob: 3.

9-misol.
Tenglamani eching: $ \\ frac {(x-2) (2x + 1)) (2-x) \u003d 0 $.
Agar tenglama bir nechta ildizga ega bo'lsa, unda ularning kattaroq qismini javob sifatida yozing.

Qaror.
Asl tenglama quyidagi to'plamga teng: Keling, har bir tenglamani echib olaylik: kasrning maxraji nolga teng bo'lolmagani uchun bizda echim yo'q. $ X \u003d -0,5 $ tenglamaning bitta ildizi qabul qilindi.
Javob: -0.5.

Aleksandr Shabalin

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati juda muhimdir.

Kvadrat tenglama - bu ax 2 + bx + c \u003d 0 shaklidagi tenglama, bu erda a, b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar va a ≠ 0 bo'ladi.

Muayyan echim usullarini o'rganishdan oldin barcha kvadrat tenglamalarni shartli ravishda uchta sinfga bo'lish mumkinligini ta'kidlaymiz:

  1. Ildiz yo'q;
  2. To'liq bitta ildizga ega bo'ling;
  3. Ularning ikkita alohida ildizi bor.

Bu kvadrat har doim mavjud va noyob bo'lgan kvadrat va chiziqli tenglamalar o'rtasidagi muhim farqdir. Tenglama necha ildizga ega ekanligini qanday aniqlaysiz? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

Ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tenglama berilsin.Shunda diskriminant shunchaki D \u003d b 2 - 4ac soniga teng.

Ushbu formulani yoddan bilishingiz kerak. Qaerdan kelib chiqqanligi - bu endi muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminant belgisi bilan siz kvadrat tenglamaning necha ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

  1. Agar D.< 0, корней нет;
  2. Agar D \u003d 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
  3. Agar D\u003e 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

Iltimos, diqqat qiling: diskriminant ildizlarning sonini bildiradi va ularning belgilarini emas, chunki ko'pchilik biron bir sababga ko'ra ishonishadi. Misollarga qarang - va siz hamma narsani tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar necha ildizga ega:

  1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
  3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 1 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Demak, diskriminant ijobiy, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani shunga o'xshash tarzda tahlil qilamiz:
a \u003d 5; b \u003d 3; c \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Oxirgi tenglama qoladi:
a \u003d 1; b \u003d -6; c \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 1 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriminant nolga teng - bitta ildiz bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, zerikarli - lekin siz koeffitsientlarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz "qo'lingizni to'ldirsangiz", bir muncha vaqt o'tgach, siz barcha koeffitsientlarni yozishingizga hojat qolmaydi. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Ko'pchilik buni 50-70 tenglama echilganidan keyin biron bir joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadratik ildizlar

Endi echimga o'tamiz. Agar diskriminant D\u003e 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar orqali topish mumkin:

Kvadrat tenglama ildizlari uchun asosiy formula

D \u003d 0 bo'lganda, ushbu formulalardan istalganidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil sonni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
  2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
  3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d -2; c \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 1 (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; b \u003d -2; c \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 (-1) 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\\ [\\ begin (align) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ chap (-1 \\ right)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ chap (-1 \\ o'ng)) \u003d 3. \\\\ \\ end (align) \\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; c \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Istalgan formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblashni bilsangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha, formuladagi salbiy koeffitsientlarni almashtirishda xatolar yuzaga keladi. Bu erda yana yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulani so'zma-so'z ko'rib chiqing, har bir qadamni tavsiflang - va yaqin orada siz xatolardan xalos bo'lasiz.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglama ta'rifda keltirilganidan bir oz farq qiladi. Masalan:

  1. x 2 + 9x \u003d 0;
  2. x 2 - 16 \u003d 0.

Ushbu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini ko'rish oson. Bunday kvadratik tenglamalarni echish standartlardan ko'ra osonroq: ular uchun diskriminantni hisoblashning hojati yo'q. Shunday qilib, yangi kontseptsiyani taqdim etamiz:

Ax 2 + bx + c \u003d 0 tenglama, agar b \u003d 0 yoki c \u003d 0 bo'lsa, ya'ni to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementdagi koeffitsient nolga teng.

Albatta, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda, juda qiyin vaziyat mumkin: b \u003d c \u003d 0. Bu holda tenglama ax 2 \u003d 0 shaklini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bitta ildizga ega: x \u003d 0.

Qolgan ishlarni ko'rib chiqamiz. B \u003d 0 bo'lsin, shunda ax 2 + c \u003d 0 shaklidagi to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamani olamiz.

Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik faqat (−c / a) ≥ 0 uchun mantiqiy bo'ladi.

  1. Agar (2c / a) ≥ 0 tengsizlik ax 2 + c \u003d 0 shakldagi to'liqsiz kvadrat tenglamada bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
  2. Agar (−c / a) bo'lsa< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant talab qilinmadi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda umuman murakkab hisob-kitoblar mavjud emas. Darhaqiqat, (−c / a) ≥ 0. tengsizligini eslashning hojati ham yo'q, x 2 qiymatini ifodalash va teng belgining narigi tomonida nima turganini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Agar salbiy bo'lsa, hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi erkin element nolga teng bo'lgan ax 2 + bx \u003d 0 shaklidagi tenglamalar bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni ajratish kifoya:

Qavslar umumiy omil

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi. Bu erdan ildizlar. Xulosa qilib, biz bir nechta bunday tenglamalarni tahlil qilamiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni eching:

  1. x 2 - 7x \u003d 0;
  2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
  3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Hech qanday ildiz yo'q, chunki kvadrat manfiy songa teng bo'lolmaydi.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d -1,5.

O'qituvchi : Yurgenson Veronika Aleksandrovna

Sinf: 9

Mavzu: Algebra

Dars mavzusi: 9-sinf "Kvadrat tenglamalar" da OGEga dars tayyorlash.

Ushbu mavzu bo'yicha mashg'ulotlar bosqichi : imtihonga tayyorgarlik.

Dars turi: Bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish darsi

Maqsad:

Faoliyat: Talabalarning harakatlarning tartibga solish usullarini amalga oshirish ko'nikmalarini shakllantirish.

Tarkib: - kvadrat tenglamalarni echish usullarini ishlab chiqish;

Yechishning eng oqilona usulini tanlash qobiliyatini rivojlantirish;

Rivojlanayotgan: talabalarning asosiy kompetensiyalarini shakllantirish: informatsion (ma'lumotni tahlil qilish, taqqoslash, xulosa chiqarish qobiliyati), muammoli (muammolarni qo'yish qobiliyati va vaziyatdan chiqish yo'lini topish uchun mavjud bilimlardan foydalanish qobiliyati); kommunikativ (guruhlarda ishlash qobiliyati, boshqalarni tinglash va tinglash, boshqalarning fikrlarini qabul qilish qobiliyati)

O'qituvchi uchun vazifalar:

Kvadrat tenglamalarni echish bo'yicha talabalarning bilimlarini yangilashga hissa qo'shish;

Kvadrat tenglamalarni echish usullarini mashq qilish bo'yicha mashg'ulotlarni tashkil etish;

Yechishning eng oqilona usulini tanlash qobiliyatini rivojlantirish ko'nikmalarini shakllantirish uchun sharoit yaratish;

Normativ EIAni shakllantirish uchun sharoit yaratish: maqsadni belgilash, o'zini o'zi baholash va o'zini o'zi boshqarish, rejalashtirish.

Texnologiya: Ko'p darajali o'rganish

O'qitish usullari: Vizual, og'zaki, o'zaro tekshirish usuli, birgalikda optimal variantni topish usuli, guruhlarda vaqtincha ishlash, muammoli vaziyat yaratish, reproduktiv (ko'rsatma, illyustratsiya, tushuntirish, amaliy mashg'ulotlar). O'z-o'zini boshqarish usullari.

Talabalarning bilish faoliyatini tashkil etishning foydalanilgan shakllari:

Kollektiv ish shakli (frontal so'rov, og'zaki ish), guruhli, yakka tartibdagi ish (mustaqil ish). Juftlikda ishlash (so'roq).

Uskunalar va asosiy ma'lumot manbalari:

    Kompyuter, proektor, ekran, dars uchun taqdimot, "Kvadrat tenglamalarni echish usullari" mavzusida.

    Monitoring va o'z-o'zini nazorat qilish uchun ishlash varaqasi.

    Ko'p darajali mustaqil ish uchun topshiriq kartalari

Texnologik dars xaritasi:

Faoliyat

o'quvchi

Tashkiliy

Talabalar bilan salomlashish

O'qituvchining salomi

Darsning maqsadi va vazifalarini belgilash. Talabalarning o'quv faoliyati motivatsiyasi

Yakuniy sertifikatlashda ko'pincha kvadrat tenglamalarni echishga qodir bo'lgan vazifalar uchraydi.

Darsning maqsadi to'g'risida xabar :

Bugun darsda biz kvadrat tenglamalarni echish usullarini, usullarini va usullarini takrorlaymiz, umumlashtiramiz, tizimga kiritamiz.

Ularning ishlarining natijalariga ko'ra, ya'ni to'plangan ballar soniga ko'ra, hamma baho oladi.

Dars shiori: "Biz o'ylaymiz, o'ylaymiz, ishlaymiz va bir-birimizga yordam beramiz"

(Slayd 2.) ).

O'qituvchini tinglang.

Bilimlarni yangilash.

    Bolalar, biz odatda darsni uy vazifasini tekshirishdan boshlaymiz.

    Kvadrat tenglamalar haqida takrorlash kerak edi deb kim aytishi mumkin?

    Kvadrat tenglamalar nima?

    Nima ular?

    Kvadrat tenglamalarni echishning qanday usullarini bilasiz?

O'qituvchilar savollarga javob berishadi va o'z bilimlarini o'zlari baholaydilar.

Bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish

1. O'zaro nazoratning roli.

Mana tenglamalar (slayd 3)

    x 2 + 7 x – 18 = 0;

    2 x 2 + 1 = 0;

    x 2 –2 x + 9 = 0;

    2 y 2 – 3y + 1 = 0;

    2 y 2 = 1;

    –2 x 2 – x + 1 = 0;

    x 2 + 6 x = 0;

    4x 2 =0;

    – x 2 – 6 x \u003d 1

    2 x + x 2 – 1=0

Sizning stolingizda siz javob berishingiz kerak bo'lgan savollar bilan kartangiz bor (1-ilova).

(slayd 4.) ) Natijalarni tekshirish, qo'shni bilan kartalarni almashtirish.

Savollarga javob bering

2. Sinf bilan frontal ishlash.

Yoqilgan(slayd 5) etishmayotgan elementlari bo'lgan formulalar yoziladi. Sinfning vazifasi - bu formulaning nima ekanligini va ushbu formulani yozishda nima etishmayotganligini aniqlash.

    D. = b ² – * a * .

    D. > 0 , * ildiz degan ma'noni anglatadi.

    D. * 0 , 1 ta ildizni anglatadi.

    D. * 0 degani * ildizlar.

Savollarga javob berish

to'g'ri bilim.

Tenglamalarni kartadan echib oling. Guruh a'zolaridan biri echimini doskada namoyish etadi.

Javoblaringizni to'g'ri bilan solishtiring, har bir to'g'ri javob uchun - 1 ball

Tenglamalarni echish

Yechimini tushuntiring.

Sinf bilan frontal ishlash

Ayting-chi, darhol hisob-kitob qilmasdan, mening savolimga javob bera olasizmi: "Kvadrat tenglama ildizlari yig'indisi va ko'paytmasi nima?" (Doskada bir kishi Vetnam teoremasi formulalarini yozib oladi).

(slayd6)

Keyingi vazifa: teorema bo'yicha tenglama ildizlari yig'indisi va farqini og'zaki toping:

(Javoblar: 5 va 6; 9 va 20; -3 va 2) Ba'zi kvadrat tenglamalarning og'zaki yechimi bilan tanishish.

Vieta teoremasi shaklning tenglamalarida keng qo'llanilishini topadiax 2 + bx + c \u003d 0.

Ba'zi xususiyatlardan foydalanish kvadrat tenglamalarni echishda tezkor javoblar uchun muhim afzalliklarni beradi.

Ushbu xususiyatlarni ko'rib chiqing(slayd 7)

1) a + b + c \u003d 0 x 1 \u003d 1, x 2 \u003d s / a.

5x 2 + 4x - 9 \u003d 0; x 1 \u003d 1, x 2 = - 9/2.

2) a -b + c \u003d 0 x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - s / a.

Masalan: 4x 2 + 11x + 7 \u003d 0; x 1 \u003d - 1, x 2 = - 7/4.

(slayd8)

3) a c + c0

Tenglamani og'zaki hal qiling: x 2 + bx + ac \u003d 0

Uning ildizlarini a ga ajrating.

a) 2x 2 - 11x + 5 \u003d 0.

Tenglamani og'zaki ravishda hal qilamiz: x 2 - 11x + 10 \u003d 0. Uning ildizlari 1 va 10 ga teng.

Keyin x 1 \u003d, x 2 = 5.

Javob :; besh.

(slayd 9)

c) 6x 2 –7x - 3 \u003d 0

Tenglamani og'zaki ravishda hal qilamiz: x 2 –7x - 18 \u003d 0. Uning ildizlari -2 va 9. 6 ga bo'ling.

Keyin x 1 \u003d -, x 2 = .

Javob: -; ...

Savollarga javob beradi. Bilimdagi bo'shliqlarni to'ldiring

Ko'p darajali guruhlarda ishlash

"Muvofiqlik" qabulxonasi

"Xatoni ushlang" qabulxonasi

Ushbu xususiyatlardan foydalangan holda tenglamalarni eching(slayd 10)

Menguruh.

1) tenglama ildizlari yig’indisini toping

2x 2 - 3x + 1 \u003d 0

2) Tenglama ildizlari hosilasini toping

x 2 + 9x +20 \u003d 0

3) tenglamani echish

10x 2 - 8x - 2 \u003d 0

IIguruh.

1) tenglama ildizlari yig'indisi va hosilasini toping

3x 2 - 8x + 5 \u003d 0

Tenglamalarni eching

2) x 2 + 2x -24 \u003d 0

3) 2 x 2 -7x +5 \u003d 0

III Guruh

Uranni echish:

1) x 2 + 5x-6 \u003d 0

2) 5x 2 -7x + 2 \u003d 0

3) 100x 2 -99x-199 \u003d 0

Tenglamalarni echish

Yechimni tekshiring.

Bilimni tuzatish.

2. Kvadrat tenglamalarni bog'lang va ularni qanday echish kerak:

(slayd 11)

2x 2 - 3x + 11 \u003d 0

7 x 2 \u003d 8x

x 2 - 10x + 100 \u003d 0

x 2 –5x –6 \u003d 0

– 2x 2 + x + 14 \u003d 0

-faktorizatsiya

- umumiy ildiz formulasi

-Vieta teoremasi

3. Tenglamalarni echishda xatolarni toping \u003d

Ishni tezda tugatgan bolalar qo'shimcha vazifani hal qilishlari mumkin(slayd 14), doskada yozilgan.

Tugatgandan so'ng tezkor tekshirish amalga oshiriladi.(slayd15)

Endi ballarning yakuniy sonini hisoblang va o'zingizga baho bering.(slayd16)

30-24 ball - 5 ball;

23-18 ball - 4 ball;

12-17 ball -. 4. hisob

Va shunga qaramay, har biriga o'qituvchi tomonidan faollik, jasorat, qat'iyatlilik uchun baho beriladi. Xo'sh, agar kimdir, bugun, ijobiy baholash uchun ball to'play olmagan bo'lsa, unda muvaffaqiyat hali oldinda, va bu albatta keyingi safar siz bilan bo'ladi.

Tenglamalarni echish

o'z-o'zini baholashni amalga oshirish.

Ko'zgu.

Bugun darsda nima qilganimizni kim ayta oladi?

Bizning buni qanday qilganimiz sizga yoqdimi?

So'zlarni davom eting:

    Endi aniq bilaman ...

    Tushundim …

    Men o'rgandim …

    Mening fikrim …

Ularning har birining stolida rangli kartochkalar mavjud.

    Agar siz darsdan qoniqsangiz va qoniqsangiz, yashil kartani ko'taring.

    Agar dars qiziqarli bo'lsa va siz faol ishlagan bo'lsangiz, ko'taring - sariq kartochka.

o'z-o'zini baholashni amalga oshirish.

Uy vazifasi

(slayd 17) Muammolar kitobidagi tenglamalarni eching

Davlat yakuniy sertifikati

9-sinf bitiruvchilari.

A.V. Semenov, A.S. Trepalin, I.V.Yashchenko

daraja bo'yicha

Vazifalarni ularning darajasiga qarab tanlang

! Nazariyadan amaliyotga;

! Oddiydan murakkabga

"Platoshinskaya o'rta maktabi" MAOU,

matematika o'qituvchisi Melexina G.V.


Lineer tenglamaning umumiy ko'rinishi: bolta + b = 0 ,

Qaerda a va b - raqamlar (koeffitsientlar).

  • agar a a \u003d 0 va b \u003d 0 keyin 0x + 0 = 0 - cheksiz ko'p ildizlar;
  • agar a a \u003d 0 va b ≠ 0 keyin 0x + b \u003d 0 - echimlar yo'q;
  • agar a a ≠ 0 va b = 0 keyin bolta + 0 = 0 - bitta ildiz, x \u003d 0;
  • agar a a ≠ 0 va b ≠ 0 keyin bolta + b = 0 - bitta ildiz,

! Agar X birinchi darajada bo'lsa va maxrajda mavjud bo'lmasa, unda bu chiziqli tenglama


! Va agar chiziqli tenglama - murakkab :

! Shartlar X bilan chapga, X holda o'ngga.


! Ushbu tenglamalar - shuningdek, chiziqli .

! Mutanosiblikning asosiy xususiyati (o'zaro faoliyat).

! Qavslarni X-ni chapga, X-ni o‘ngga qarab kengaytiring.



  • agar koeffitsient bo'lsa a \u003d 1 , keyin tenglama chaqiriladi berilgan :
  • agar koeffitsient bo'lsa b = 0 yoki (va) c \u003d 0 , keyin tenglama chaqiriladi to'liqsiz :

! Asosiy formulalar

! Boshqa formulalar



Ikki kvadratik tenglama - shaklning tenglamasi deyiladi bolta 4 + bx 2 + c \u003d 0 .

Ikki kvadratik tenglama ga kamaytiriladi kvadrat tenglama almashtirish bilan, keyin

Biz kvadrat tenglamani olamiz:

Keling, ildizlarni topamiz va almashtirishga qaytamiz:


1-misol:

X tenglamasini eching 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Qaror:

O'zgartirish: x 2 \u003d t.

t 2 + 5t - 36 \u003d 0. Tenglamaning ildizlari t 1 \u003d -9 va t 2 \u003d 4.

x 2 \u003d -9 yoki x 2 \u003d 4.

Javob: Birinchi tenglamada ildizlar yo'q, ikkinchisidan: x \u003d ± 2.

2-misol:

Tenglamani eching (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

Qaror:

O'zgartirish: (2x - 1) 2 \u003d t.

t 2 - 25t + 144 \u003d 0. Tenglamaning ildizlari t 1 \u003d 9 va t 2 \u003d 16.

(2x - 1) 2 \u003d 9 yoki (2x - 1) 2 \u003d 16.

2x - 1 \u003d ± 3 yoki 2x - 1 \u003d ± 4.

Birinchi tenglamadan ikkita ildiz bor: x \u003d 2 va x \u003d -1, ikkinchisidan ikkita ildiz ham bor: x \u003d 2,5 va x \u003d -1,5.

Javob: -1,5; -1; 2; 2.5.


1) x 4 - 9 x 2 = 0; 2) 4 x 4 - x 2 \u003d 0;

1) x 4 + x 2 - 2 = 0;

2) x 4 - 3 x 2 - 4 = 0; 3) 9 x 4 + 8 x 2 - 1 = 0; 4) 20 x 4 - x 2 - 1 = 0.


Chap tomondan tanlab, tenglamalarni eching to'liq kvadrat :

1) x 4 - 20 x 2 + 64 = 0; 2) x 4 - 13 x 2 + 36 = 0; 3) x 4 - 4 x 2 + 1 = 0; 4) x 4 + 2 x 2 +1 = 0.

! Yilning kvadrati va farqning kvadratini eslang


Ratsional ifoda raqamlar va o'zgaruvchidan tashkil topgan algebraik ifoda x tabiiy ko'rsatkich bilan qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish va darajalash operatsiyalaridan foydalanish.

Agar r (x) ratsional ifoda, keyin tenglama r (x) \u003d 0 ratsional tenglama deb ataladi.

Ratsional tenglamani echish algoritmi:

1. Tenglamaning barcha shartlarini bitta qismga o'tkazing.

2. Tenglamaning ushbu qismini algebraik kasrga aylantiring p (x) / q (x)

3. Tenglamani eching p (x) \u003d 0

4. Tenglamaning har bir ildizi uchun p (x) \u003d 0 uning shartni qondirishini tekshiring q (x) ≠ 0 yoki yo'q. Agar shunday bo'lsa, unda bu berilgan tenglamaning ildizi; agar bo'lmasa, unda bu begona ildiz va javob sifatida kiritilmasligi kerak.


! Kesirli ratsional tenglamaning echimini eslang:


! Tenglamalarni echish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini esga olish foydalidir:



Agar tenglamada o'zgaruvchi kvadrat ildiz belgisi ostida joylashgan bo'lsa, unda tenglama deyiladi mantiqsiz .

Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirish - irratsional tenglamalarni echishning asosiy usuli.

Olingan ratsional tenglamani echib bo'lgach, bu juda muhimdir tekshirish , begona ildizlarni yo'q qilish.


Javob: 5; 4

Yana bir misol:

Tekshirish:

Ushbu ibora mantiqiy emas.

Javob: echimlar yo'q.



"Kvadrat tenglama" atamasida kalit so'z "kvadratik" dir. Bu shuni anglatadiki, tenglama o'zgaruvchiga (bir xil x) kvadratga ega bo'lishi kerak va uchinchi (yoki undan katta) darajada x bo'lmasligi kerak.

Ko'pgina tenglamalarning echimi kvadrat tenglamalar echimiga tushiriladi.

Keling, boshqalarga emas, balki kvadrat tenglamaga ega ekanligimizni qanday aniqlashni bilib olaylik.

1-misol.

Keling, ajratuvchidan qutulamiz va tenglamadagi har bir hadni ko'paytiramiz

Barchasini chap tomonga o'tkazing va shartlarni x darajalarining kamayish tartibida joylashtiring

Endi biz bu tenglama kvadratik deb bemalol ayta olamiz!

2-misol.

Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiramiz:

Ushbu tenglama, avvaliga unda bo'lgan bo'lsa ham, to'rtburchak emas!

3-misol.

Keling, hamma narsani ko'paytiramiz:

Qo'rqinchli? To'rtinchi va ikkinchi darajalar ... Ammo, agar biz almashtirishni amalga oshirsak, bizda oddiy kvadrat tenglama borligini ko'ramiz:

4-misol.

Aftidan u erda, ammo batafsil ko'rib chiqaylik. Barchasini chap tomonga o'tkazing:

Ko'rdingizmi, u qisqargan - endi bu oddiy chiziqli tenglama!

Endi quyidagi tenglamalardan qaysi biri kvadratik va qaysi biri emasligini o'zingiz aniqlab olishga harakat qiling:

Misollar:

Javoblar:

  1. kvadrat;
  2. kvadrat;
  3. kvadrat emas;
  4. kvadrat emas;
  5. kvadrat emas;
  6. kvadrat;
  7. kvadrat emas;
  8. kvadrat.

Matematiklar barcha kvadrat tenglamalarni shartli ravishda quyidagi shaklga ajratadilar:

  • To'liq kvadrat tenglamalarni to'ldiring - tenglamalar, bu erda koeffitsientlar va shuningdek, erkin atama nolga teng emas (misolda bo'lgani kabi). Bundan tashqari, to'liq kvadrat tenglamalar orasida ham mavjud berilgan - bu koeffitsient bo'lgan tenglamalar (birinchi misoldagi tenglama nafaqat to'liq, balki kamaytirilgan!)
  • To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar - koeffitsient va yoki erkin atama c nolga teng bo'lgan tenglamalar:

    Ular to'liq emas, chunki ular ba'zi elementlarga ega emaslar. Ammo tenglamada har doim x kvadrat bo'lishi kerak !!! Aks holda, u endi kvadrat emas, balki boshqa tenglama bo'ladi.

Nega bunday bo'linishni o'ylab topdingiz? $ X $ kvadratiga o'xshaydi va yaxshi. Ushbu bo'linish hal qilish usullari bilan bog'liq. Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish

Boshlash uchun to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalarni echishga e'tibor qaratsak - ular ancha oson!

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar quyidagi turlarga bo'linadi:

  1. , bu tenglamada koeffitsient.
  2. , bu tenglamada erkin atama.
  3. , bu tenglamada koeffitsient va kesma teng.

1. va. Kvadrat ildizni olishni bilganimiz uchun keling, bu tenglamadan ifoda etamiz

Ifoda salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Kvadrat sonni manfiy deb bo'lmaydi, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirganda natija doimo musbat songa ega bo'ladi, shuning uchun: agar tenglamada echimlar bo'lmasa.

Va agar bo'lsa, unda biz ikkita ildizni olamiz. Ushbu formulalarni yodlash shart emas. Eng asosiysi, shuni bilishingiz kerak va har doim esda tutingki, undan kam narsa bo'lmaydi.

Keling, bir nechta misollarni echishga harakat qilaylik.

5-misol:

Tenglamani eching

Endi ildizni chap va o'ng tomondan ajratib olish qoladi. Ildizlarni qanday chiqarishni eslaysizmi?

Javob:

Salbiy ildizlar haqida hech qachon unutmang !!!

6-misol:

Tenglamani eching

Javob:

7-misol:

Tenglamani eching

Oh! Sonning kvadrati manfiy bo‘lishi mumkin emas, demak, tenglama

ildiz yo'q!

Ildizlari bo'lmagan bunday tenglamalar uchun matematiklar maxsus belgi - (bo'sh to'plam) ni ishlab chiqdilar. Va javobni shunday yozish mumkin:

Javob:

Shunday qilib, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Bu erda hech qanday cheklovlar yo'q, chunki biz ildizni chiqarib olmadik.
8-misol:

Tenglamani eching

Qavs ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Shunday qilib,

Ushbu tenglama ikkita ildizga ega.

Javob:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning eng oddiy turi (garchi ularning barchasi oddiy bo'lsa ham, shunday emasmi?). Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Bu erda biz misollarsiz qilamiz.

To'liq kvadrat tenglamalarni echish

Sizga shuni eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglama bu erda tenglama tenglamasi

Kvadrat tenglamalarni bajarish uchun echim berilganlarga qaraganda biroz qiyinroq (salgina).

Esingizda bo'lsa, har qanday kvadratik tenglamani diskriminant yordamida yechish mumkin! Hatto to'liq emas.

Qolgan usullar buni tezroq bajarishga yordam beradi, ammo agar siz kvadrat tenglamalar bilan bog'liq muammolarga duch kelsangiz, avval diskriminant yordamida yechimni o'rganing.

1. Diskriminant yordamida kvadratik tenglamalarni echish.

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda echish juda oddiy, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir.

Agar bo'lsa, unda tenglamaning ildizi bor Siz qadamga alohida e'tibor berishingiz kerak. Diskriminant () bizga tenglamaning ildizlari sonini aytadi.

  • Agar shunday bo'lsa, unda qadamdagi formulalar kamaytiriladi. Shunday qilib, tenglama butun ildizga ega bo'ladi.
  • Agar bo'lsa, unda biz qadamni diskriminantdan ildizini chiqarib ololmaymiz. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Keling, tenglamalarimizga qaytib, bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.

9-misol:

Tenglamani eching

1-qadam o'tish

2-qadam.

Biz diskriminantni topamiz:

Demak, tenglama ikkita ildizga ega.

3-qadam.

Javob:

10-misol:

Tenglamani eching

Tenglama standart shaklda keltirilgan, shuning uchun 1-qadam o'tish

2-qadam.

Biz diskriminantni topamiz:

Demak, tenglamaning bitta ildizi bor.

Javob:

11-misol:

Tenglamani eching

Tenglama standart shaklda keltirilgan, shuning uchun 1-qadam o'tish

2-qadam.

Biz diskriminantni topamiz:

Shuning uchun biz diskriminantdan ildizni chiqarib ololmaymiz. Tenglamaning ildizlari yo'q.

Endi biz bunday javoblarni qanday qilib to'g'ri yozishni bilamiz.

Javob:Ildiz yo'q

2. Vetnam teoremasi yordamida kvadratik tenglamalarni echish.

Yodingizda bo'lsa, qisqartirilgan deb ataladigan tenglamalar turi mavjud (a koeffitsienti teng bo'lganda):

Vetnam teoremasi yordamida bunday tenglamalarni echish juda oson:

Ildizlarning yig'indisi berilgan kvadrat tenglama, ildizlarning hosilasi esa.

12-misol:

Tenglamani eching

Ushbu tenglama Vetnam teoremasi yordamida echishga mos keladi, chunki ...

Tenglama ildizlari yig'indisi teng, ya'ni. biz birinchi tenglamani olamiz:

Va mahsulot quyidagilarga teng:

Keling, tizimni tuzamiz va hal qilaylik:

  • va. Miqdor teng;
  • va. Miqdor teng;
  • va. Miqdor teng.

va tizimning echimi:

Javob: ; .

13-misol:

Tenglamani eching

Javob:

14-misol:

Tenglamani eching

Tenglama qisqartirildi, bu quyidagilarni anglatadi:

Javob:

KVADRATIK Tenglama. O'RTACHA DARAJASI

Kvadrat tenglama nima?

Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglama bu shaklning tenglamasidir, bu erda noma'lum, ba'zi sonlar va.

Raqam katta yoki birinchi imkoniyat kvadrat tenglama, - ikkinchi koeffitsientva - bepul a'zo.

Nima uchun? Agar bo'lsa, tenglama darhol chiziqli bo'ladi, chunki yo'qoladi.

Bundan tashqari, va nolga teng bo'lishi mumkin. Ushbu stulda tenglama to'liqsiz deb nomlanadi. Agar barcha shartlar joyida bo'lsa, ya'ni tenglama to'liq.

Har xil turdagi kvadrat tenglamalarga echimlar

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish usullari:

Dastlab, to'liqsiz kvadrat tenglamalarni echish usullarini tahlil qilaylik - ular sodda.

Quyidagi tenglamalarni ajratish mumkin:

I., bu tenglamada koeffitsient va kesma teng.

II. , bu tenglamada koeffitsient.

III. , bu tenglamada erkin atama.

Keling, ushbu pastki turlarning har birining echimini ko'rib chiqamiz.

Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Kvadrat sonini manfiy deb bo'lmaydi, chunki ikkita salbiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirganda natija doimo ijobiy songa ega bo'ladi. Shuning uchun:

agar bo'lsa, unda tenglamada echimlar yo'q;

agar, bizda ikkita ildiz bor

Ushbu formulalarni yodlash shart emas. Yodda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa - bu kam bo'lmasligi mumkin.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Salbiy ildizlar haqida hech qachon unutmang!

Sonning kvadrati manfiy bo‘lishi mumkin emas, demak, tenglama

ildiz yo'q.

Muammoning echimi yo'qligini qisqacha yozish uchun biz bo'sh to'plam belgisidan foydalanamiz.

Javob:

Demak, bu tenglama ikkita ildizga ega: va.

Javob:

Qavs ichidagi umumiy omilni torting:

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu shuni anglatadiki, tenglama quyidagi holatlarga ega:

Demak, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega: va.

Misol:

Tenglamani eching.

Qaror:

Tenglamaning chap tomoniga omil bering va ildizlarini toping:

Javob:

To'liq kvadratik tenglamalarni echish usullari:

1. Diskriminant

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda echish oson, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir. Esingizda bo'lsin, har qanday kvadrat tenglamani diskriminant yordamida echish mumkin! Hatto to'liq emas.

Ildiz formulasida diskriminantning ildizini payqadingizmi? Ammo diskriminant salbiy bo'lishi mumkin. Nima qilish kerak? Siz 2-bosqichga alohida e'tibor berishingiz kerak. Diskriminant bizga tenglamaning ildizlari sonini ko'rsatadi.

  • Agar bo'lsa, unda tenglamaning ildizi bor:
  • Agar tenglama bir xil ildizga ega bo'lsa, aslida bitta ildizga ega:

    Bunday ildizlar juft ildizlar deb ataladi.

  • Agar bo'lsa, unda diskriminantning ildizi olinmaydi. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Nima uchun ildizlarning soni boshqacha? Keling, kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosiga murojaat qilaylik. Funktsiya grafigi parabola:

Kvadrat tenglama bo'lgan maxsus holatda ,. Va bu kvadrat tenglamaning ildizlari abssissa o'qi (o'qi) bilan kesishish nuqtalari ekanligini anglatadi. Parabola o'qni umuman kesib o'tmasligi yoki uni bitta (parabola tepasi o'qda yotganda) yoki ikkita nuqtada kesib o'tishi mumkin emas.

Bundan tashqari, koeffitsient parabola shoxlari yo'nalishi uchun javobgardir. Agar bo'lsa, u holda parabola shoxlari yuqoriga, va agar - keyin pastga yo'naltiriladi.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Javob:.

Javob:

Shunday qilib, echimlar yo'q.

Javob:.

2. Vetnam teoremasi

Vetnam teoremasidan foydalanish juda oson: siz shunchaki juft sonni tanlashingiz kerak, uning hosilasi tenglamaning erkin muddatiga teng, yig'indisi esa qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsient.

Shuni esda tutish kerakki, Vetnam teoremasi faqat qo'llanilishi mumkin qisqartirilgan kvadrat tenglamalar ().

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

Misol # 1:

Tenglamani eching.

Qaror:

Ushbu tenglama Vetnam teoremasi yordamida echishga mos keladi, chunki ... Boshqa koeffitsientlar :; ...

Tenglama ildizlari yig'indisi:

Va mahsulot quyidagilarga teng:

Keling, hosilasi teng bo'lgan bunday juft sonlarni yig'amiz va ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

  • va. Miqdor teng;
  • va. Miqdor teng;
  • va. Miqdor teng.

va tizimning echimi:

Shunday qilib, va bizning tenglamamizning ildizlari.

Javob :; ...

Misol # 2:

Qaror:

Keling, mahsulotda beradigan bunday juft juftlarni tanlaymiz va keyin ularning yig'indisi tengligini tekshiramiz:

va: qo'shish.

va: summani bering. Buni olish uchun siz taxmin qilingan ildizlarning belgilarini o'zgartirishingiz kerak: va, oxir-oqibat, mahsulot.

Javob:

Misol # 3:

Qaror:

Tenglamaning erkin atamasi manfiy, demak, ildizlarning hosilasi manfiy songa teng. Bu ildizlardan biri salbiy, ikkinchisi ijobiy bo'lsagina mumkin. Shuning uchun, ildizlarning yig'indisi ularning modullari farqi.

Keling, mahsulotda beradigan va ularning farqi teng bo'lgan bunday juft juftlarni tanlaymiz:

va: ularning farqi teng - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos keladi. Faqatgina ildizlarning biri salbiy ekanligini eslash qoladi. Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerak bo'lganligi sababli, mutlaq qiymatdagi eng kichikning ildizi manfiy bo'lishi kerak:. Biz tekshiramiz:

Javob:

Misol # 4:

Tenglamani eching.

Qaror:

Tenglama qisqartirildi, bu quyidagilarni anglatadi:

Erkin atama salbiy, shuning uchun ildizlarning hosilasi salbiydir. Va bu tenglamaning bir ildizi manfiy, ikkinchisi musbat bo'lgan taqdirdagina mumkin bo'ladi.

Biz hosil bo'lgan mahsulot teng bo'lgan bunday juft juftlarni tanlaymiz va keyin qaysi ildizlarning salbiy belgisi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:

Shubhasiz, faqat ildizlar va birinchi shartga mos keladi:

Javob:

Misol # 5:

Tenglamani eching.

Qaror:

Tenglama qisqartirildi, bu quyidagilarni anglatadi:

Ildizlarning yig’indisi manfiy, demak ildizlarning kamida bittasi manfiydir. Ammo ularning mahsuloti ijobiy bo'lganligi sababli, ikkala ildiz ham minus belgisi bilan.

Keling, mahsuloti teng bo'lgan bunday juft juftlarni tanlaymiz.

Shubhasiz, ildizlar raqamlar va.

Javob:

Qabul qilaman, bu juda qulay - bu yomon diskriminantni hisoblash o'rniga, og'zaki ravishda ildizlarni yaratish. Vetnam teoremasidan iloji boricha tez-tez foydalanishga harakat qiling.

Ammo Vetnam teoremasi ildizlarni topishni osonlashtirish va tezlashtirish uchun zarurdir. Undan foydali foydalanish uchun siz harakatlarni avtomatiklikka etkazishingiz kerak. Va buning uchun yana beshta misol haqida qaror qabul qiling. Ammo aldamang: diskriminantdan foydalana olmaysiz! Vetnam teoremasi faqat:

Mustaqil ish uchun vazifalarni hal qilish:

Vazifa 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vetnam teoremasi bo'yicha:

Odatdagidek, biz tanlovni bir qism bilan boshlaymiz:

Muvofiq emas, chunki miqdori;

: miqdori sizga kerak bo'lgan narsadir.

Javob :; ...

Vazifa 2.

Va yana bizning sevimli Vetnam teoremasi: yig'indisi ishlab chiqishi kerak, ammo mahsulot teng.

Ammo bunday bo'lmasligi kerak edi, lekin biz ildizlarning belgilarini o'zgartiramiz: va (jami).

Javob :; ...

Vazifa 3.

Hmm ... Bu qayerda?

Barcha shartlarni bitta qismga o'tkazish kerak:

Ildizlarning yig'indisi hosilaga teng.

Shunday qilib to'xtang! Tenglama berilmagan. Ammo Vetnam teoremasi faqat yuqoridagi tenglamalarda qo'llaniladi. Shunday qilib, avval siz tenglamani keltirishingiz kerak. Agar siz uni olib kela olmasangiz, ushbu tashabbusni tashlab, uni boshqa yo'l bilan hal qiling (masalan, diskriminant orqali). Shuni eslatib o'tamanki, kvadratik tenglamani keltirish etakchi koeffitsientni quyidagiga tenglashtirishi kerak:

Zo'r. Keyin ildizlarning yig'indisi va hosilasi teng bo'ladi.

Bu erda olish oson: axir - asosiy raqam (tavtologiya uchun uzr).

Javob :; ...

Vazifa 4.

Bepul muddat salbiy. Buning o'ziga xos xususiyati nimada? Va ildizlarning turli xil belgilarga ega bo'lishi. Va endi, tanlov paytida biz ildizlarning yig'indisini emas, balki ularning modullarining farqini tekshiramiz: bu farq teng, ammo hosila.

Shunday qilib, ildizlar teng va, lekin ulardan biri minus bilan. Vetnam teoremasi bizga ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgisi bilan ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi, ya'ni. Bu shuni anglatadiki, kichikroq ildiz minusga ega bo'ladi: va, buyon.

Javob :; ...

Vazifa 5.

Birinchi narsa nima? To'g'ri, tenglamani bering:

Shunga qaramay: biz raqam omillarini tanlaymiz va ularning farqi quyidagicha bo'lishi kerak:

Ildizlari teng va, lekin ulardan biri minus bilan. Qaysi biri? Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerak, ya'ni minus bilan katta ildiz bo'ladi.

Javob :; ...

Xulosa qilish uchun:
  1. Vieta teoremasi faqat berilgan kvadrat tenglamalarda qo'llaniladi.
  2. Vetnam teoremasidan foydalanib, ildizlarni tanlov asosida, og'zaki ravishda topishingiz mumkin.
  3. Agar tenglama berilmagan bo'lsa yoki bo'sh sonli ko'paytuvchilar uchun mos juftlik bo'lmasa, unda butun ildizlar yo'q va siz uni boshqa yo'l bilan hal qilishingiz kerak (masalan, diskriminant orqali).

3. To'liq kvadratni tanlash usuli

Agar noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalar qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan atamalar shaklida ifodalangan bo'lsa - yig'indisi yoki farqi kvadrati - o'zgaruvchilar o'zgarganidan so'ng, tenglama turning to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Masalan:

1-misol:

Tenglamani eching:.

Qaror:

Javob:

2-misol:

Tenglamani eching:.

Qaror:

Javob:

Umuman olganda, transformatsiya quyidagicha bo'ladi:

Bu quyidagilarni anglatadi:.

Hech narsaga o'xshamaydimi? Bu diskriminant! To'g'ri, biz diskriminant formulani oldik.

KVADRATIK Tenglama. ASOSIY HAQIDA QISQA

Kvadrat tenglamashaklning tenglamasi, bu erda noma'lum, kvadrat tenglamaning koeffitsientlari, erkin atama.

To'liq kvadrat tenglama - koeffitsientlar nolga teng bo'lmagan tenglama.

Kvadrat tenglama kamaytirilgan - koeffitsient, ya'ni: tenglama.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - koeffitsient va yoki erkin atama c nolga teng bo'lgan tenglama:

  • agar koeffitsient bo'lsa, tenglama quyidagi shaklga ega:
  • agar erkin muddat bo'lsa, tenglama quyidagi shaklga ega:
  • agar va bo'lsa, tenglama quyidagi shaklga ega:.

1. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish algoritmi

1.1. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamasi, bu erda ,:

1) Noma'lumni bildiraylik:

2) ifoda belgisini tekshiring:

  • agar tenglamada echimlar bo'lmasa,
  • agar bo'lsa, unda tenglama ikkita ildizga ega.

1.2. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamasi, bu erda ,:

1) Qavsdan umumiy omilni oling :,

2) Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Shuning uchun tenglama ikkita ildizga ega:

1.3. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamasi, bu erda:

Ushbu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:.

2. qaerda bo'lgan shaklning to'liq kvadratik tenglamalarini echish algoritmi

2.1. Diskriminant eritma

1) tenglamani standart shaklga keltiramiz:

2) diskriminantni quyidagi formula bo'yicha hisoblang, bu tenglamaning ildizlari sonini bildiradi:

3) tenglamaning ildizlarini toping:

  • agar bo'lsa, unda tenglama quyidagi formula bo'yicha topilgan ildizlarga ega:
  • agar bo'lsa, unda tenglama quyidagi formula bo'yicha topilgan ildizga ega:
  • agar bo'lsa, unda tenglamaning ildizi yo'q.

2.2. Vetnam teoremasidan foydalangan holda echim

Kislatilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi (shaklning tenglamasi, bu erda) tengdir va ildizlarning ko'paytmasi tengdir, ya'ni. va.

2.3. To'liq kvadrat eritma

Agar shaklning kvadratik tenglamasi ildizlarga ega bo'lsa, unda uni quyidagi shaklda yozish mumkin:.

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o'z-o'zidan biror narsani egallashga qodir. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, demak siz o'sha 5% ga egasiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani aniqladingiz. Va yana, bu ... bu shunchaki super! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyat qismidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Imtihonni muvaffaqiyatli topshirish uchun institutga byudjet va eng muhimi, umr bo'yi kirish.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ta'lim olgan odamlar, o'qimaganlarga qaraganda ancha ko'proq pul ishlashadi. Bu statistika.

Ammo bu ham asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular KO'Proq Baxtli (bunday tadqiqotlar mavjud). Ehtimol, ular oldida ko'plab imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Ammo o'zingiz o'ylab ko'ring ...

Imtihonda boshqalardan ko'ra yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

Ushbu mavzudagi muammolarni echib, qo'lingizni oling.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi vazifalarni bir muddat hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (A LOT!), Albatta, siz ahmoqona yo'l bilan biron joyga borasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Xuddi sportda bo'lgani kabi - g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.

Istagan joyingizda to'plamni toping, albatta echimlar, batafsil tahlil bilan va qaror, qaror, qaror!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Bizning vazifalarimiz bilan qo'lingizni to'ldirish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining umrini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanday? Ikkita variant mavjud:

  1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni baham ko'ring -
  2. O'quv qo'llanmasidagi barcha 99 ta maqoladagi barcha yashirin vazifalarga kirish huquqini oching - Darslik sotib oling - 899 rubl

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va barcha vazifalar va undagi barcha yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun faoliyati davomida taqdim etiladi.

Xulosa...

Agar bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya haqida to'xtamang.

"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!