Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим .

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

(метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

Sin x + cos x – 1 = 0 ,

Преобразуем и разложим на множители выражение в

Левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

Sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

Sin x · (cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

Cos 4x · (cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

Cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а ) перенести все его члены в левую часть;

б ) вынести все общие множители за скобки;

в ) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos (или sin ) в старшей степени;

д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

Sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

Tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

Корни этого уравнения: y 1 = - 1, y 2 = - 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2) ,

2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0 ,

tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида :

a sin x + b cos x = c ,

Где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого

Чтобы успешно решать тригонометрические уравнения удобно пользоваться методом сведения к ранее решенным задачам. Давайте разберемся, в чем суть этого метода?

В любой предлагаемой задаче вам необходимо увидеть уже решенную ранее задачу, а затем с помощью последовательных равносильных преобразований попытаться свести данную вам задачу к более простой.

Так, при решении тригонометрических уравнений обычно составляют некоторую конечную последовательность равносильных уравнений, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Только важно помнить, что если навыки решения простейших тригонометрических уравнений не сформированы, то решение более сложных уравнений будет затруднено и малоэффективно.

Кроме того, решая тригонометрические уравнения, никогда не стоит забывать о возможности существования нескольких способов решения.

Пример 1. Найти количество корней уравнения cos x = -1/2 на промежутке .

Решение:

I способ. Изобразим графики функций y = cos x и y = -1/2 и найдем количество их общих точек на промежутке (рис. 1).

Так как графики функций имеют две общие точки на промежутке , то уравнение содержит два корня на данном промежутке.

II способ. С помощью тригонометрического круга (рис. 2) выясним количество точек, принадлежащих промежутку , в которых cos x = -1/2. По рисунку видно, что уравнение имеет два корня.

III способ. Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, решим уравнение cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку принадлежат корни 2π/3 и -2π/3 + 2π, k – целое число. Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.

Ответ: 2 .

В дальнейшем тригонометрические уравнения будут решаться одним из предложенных способов, что во многих случаях не исключает применения и остальных способов.

Пример 2. Найти количество решений уравнения tg (x + π/4) = 1 на промежутке [-2π; 2π].

Решение:

Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, получим:

x + π/4 = arctg 1 + πk, k – целое число (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – целое число (k € Z);

x = πk, k – целое число (k € Z);

Промежутку [-2π; 2π] принадлежат числа -2π; -π; 0; π; 2π. Итак, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.

Ответ: 5.

Пример 3. Найти количество корней уравнения cos 2 x + sin x · cos x = 1 на промежутке [-π; π].

Решение:

Так как 1 = sin 2 x + cos 2 x (основное тригонометрическое тождество), то исходное уравнение принимает вид:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x · cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Произведение равно нулю, а значит хотя бы один из множителей должен быть равен нулю, поэтому:

sin x = 0 или sin x – cos x = 0.

Так как значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями второго уравнения (синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю), то разделим обе части второго уравнения на cos x:

sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.

Во втором уравнении воспользуемся тем, что tg x = sin x / cos x, тогда:

sin x = 0 или tg x = 1. С помощью формул имеем:

x = πk или x = π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Из первой серии корней промежутку [-π; π] принадлежат числа -π; 0; π. Из второй серии: (π/4 – π) и π/4.

Таким образом, пять корней исходного уравнения принадлежат промежутку [-π; π].

Ответ: 5.

Пример 4. Найти сумму корней уравнения tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на промежутке [-π; 1,1π].

Решение:

Перепишем уравнение в следующем виде:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и сделаем замену.

Пусть tg x + сtgx = a. Обе части равенства возведем в квадрат:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Раскроем скобки:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2 .

Так как tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 , а значит

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Теперь исходное уравнение имеет вид:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. С помощью теоремы Виета получаем, что a = -1 или a = -2.

Сделаем обратную замену, имеем:

tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Решим полученные уравнения.

tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.

По свойству двух взаимно обратных чисел определяем, что первое уравнение не имеет корней, а из второго уравнения имеем:

tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-π; 1,1π] принадлежат корни: -π/4; -π/4 + π. Их сумма:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Ответ: π/2.

Пример 5. Найти среднее арифметическое корней уравнения sin 3x + sin x = sin 2x на промежутке [-π; 0,5π].

Решение:

Воспользуемся формулой sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тогда

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x и уравнение принимает вид

2sin 2x · cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Вынесем общий множитель sin 2x за скобки

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решим полученное уравнение:

sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 или cos x = 1/2;

2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Таким образом, имеем корни

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-π; 0,5π] принадлежат корни -π; -π/2; 0; π/2 (из первой серии корней); π/3 (из второй серии); -π/3 (из третьей серии). Их среднее арифметическое равно:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Ответ: -π/6.

Пример 6. Найти количество корней уравнения sin x + cos x = 0 на промежутке [-1,25π; 2π].

Решение:

Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе его части на cosx (значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, так как синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю). Исходное уравнение имеет вид:

x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-1,25π; 2π] принадлежат корни -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).

Таким образом, заданному промежутку принадлежат три корня уравнения.

Ответ: 3.

Научитесь делать самое главное – четко представлять план решения задачи, и тогда любое тригонометрическое уравнение будет вам по плечу.

Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (баз.)

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус - это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C (0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P α ° и P β ° , симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P α°:

α° ≈ 37° + 360°n , где n - любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P β ° - конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n , где n - любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n , –37° + 360°n , где n - любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус - это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D (0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P φ и P π–φ , симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP φ катет KP φ равен половине гипотенузы OP φ, значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой P φ :

где n - любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P π–φ :

где n - любое целое число.

Ответ: где n - любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC . Прямая OC пересекает единичную окружность в точках P α ° и P β° - концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n - целое число). С помощью транспортира находим, что угол P α° OP 0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n - целое число)

Ответ: –50° + 180°n , n ∈ Z.

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

3. Простейшие тригонометрические уравнения

Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.

При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.

4. Формулы приведения

Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ . Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:

1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ острым углом;

2) название меняют только функции углов и

	φ + 2πn

5. Свойства и график функции y = sin x

Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.

6. Свойства и график функции y = cos x

Задачу построения графика функции y = cos x можно свести к построению графика функции y = sin x . Действительно, поскольку график функции y = cos x можно получить из графика функции y = sin x сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на

7. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x

Область определения функции y = tg x включает в себя все числа, кроме чисел вида где n ∈ Z . Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y = tg x на промежутке

В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y = tg x прижимается к прямой уходя вместе с ней неограниченно вверх.

8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Равенства и выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.

tg φ · ctg φ = 1

Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x 2 + y 2 = 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.

Основное тригонометрическое тождество

cos 2 φ + sin 2 φ = 1

9. Синус и косинус суммы и разности двух углов

Формула косинуса суммы

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Формула косинуса разности

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Формула синуса разности

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Формула синуса суммы

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

10. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов

Формула тангенса суммы

Формула тангенса разности

Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава - домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

11. Тригонометрические функции двойного угла

Формула тангенса двойного угла

cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1

Пример задания. Решить уравнение

Решение.

13. Решение тригонометрических уравнений

В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример задания. Решить уравнение 2 cos 2 x + 3 sinx = 0

Решение . С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx :

2cos 2 x + 3sinx = 0, 2(1 – sin 2 x ) + 3sinx = 0,

2 – 2sin 2 x + 3sinx = 0, 2sin 2 x – 3sinx – 2 = 0

Введем новую переменную y = sin x , тогда уравнение примет вид: 2y 2 – 3y – 2 = 0.

Корни этого уравнения y 1 = 2, y 2 = –0,5.

Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие тригонометрические уравнения:

1) sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x ;

2) sin x = –0,5,

Ответ :

Однородные тригонометрические уравнения

Пример задания. Решить уравнение 2sin 2 x – 3sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1) cosx = 0 и 2) cosx ≠ 0.

Случай 1. Если cos x = 0, то уравнение принимает вид 2sin 2 x = 0, откуда sinx = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx = 0, так как ни при каком x косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.

Случай 2. Если cos x ≠ 0, то можно разделить уравнение на cos 2 x «Алгебра и начало математического анализа. 10 класс» , как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением .

#ADVERTISING_INSERT#

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Уравнение cos (x) = a

Объяснение и обоснование

Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть

x 2 = -arccos а.

Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при

x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

Частные случаи решения уравнения cosx = а.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

x = 2πп, k € Z.

Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

Уравнение sin (x) = a

Объяснение и обоснование

Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

А. Эйнштейн

Цели урока:

Образовательные :
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
Воспитательные :
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
Развивающие :
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к, к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а)

Ответ:

№ 174 (а)

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0 , где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

Рассмотрим уравнение

sin x – cos x = 0 . Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0 . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

tg x = 1,

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

Рассмотрим уравнение

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с , где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде: