Диаграмма Эйлера-Венна - наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств. Количество пересечений (областей) n определяется по формуле:
n=2 N ,
где N - количество множеств.
Таким образом, если в задаче используется два множества, то n=2 2 =4, если три множества, то n=2 3 =8, если четыре множества, то n=2 4 =16. Поэтому диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для двух или трех множеств.
Множества изображаются в виде кругов (если используется 2-3 множества) и эллипсов (если используется 4 множества), помещенных в прямоугольник (универсум).
Универсальное множество (универсум) U (в контексте задачи) - множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.
Пустое множество Ø
(в контексте задачи) - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.
На диаграмме строят пересекающиеся множества, заключают их в универсум. Выделяют области, количество которых равно количеству пересечений.
Диаграммы Эйлера-Венна также используются для визуального представления логических операций.
Разберем примеры построения диаграмм Эйлера-Венна для двух и трех множеств.
Пример 1
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6}
Диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств А и В:
Пример 2
Пусть есть следующие множества чисел:
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6,7}
Диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств А, В, С:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
| А |
B |
C |
Обозначение области | Числа |
|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0) | 0 |
| 0 |
0 |
1 |
1) | 7 |
| 0 |
1 |
0 |
2) | 5 |
| 0 |
1 |
1 |
3) | 6 |
| 1 |
0 |
0 |
4) | 2 |
| 1 |
0 |
1 |
5) | 1 |
| 1 |
1 |
0 |
6) | 4 |
| 1 |
1 |
1 |
7) | 3 |
Пример 3
Пусть есть следующие множества чисел:
А={0,1,2,3,4,5,6,7}
В={3,4,5,7,8,9,10,13}
С={0,2,3,7,8,10,11,12}
D={0,3,4,6,9,10,11,14}
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, В, С, D:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
| А |
B |
C |
D | Обозначение области | Числа |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0 | 0) | 15 |
| 0 |
0 |
0 |
1 | 1) | 14 |
| 0 |
0 |
1 |
0 | 2) | 12 |
| 0 |
0 |
1 |
1 | 3) | 11 |
| 0 |
1 |
0 |
0 | 4) | 13 |
| 0 |
1 |
0 |
1 | 5) | 9 |
| 0 |
1 |
1 |
0 | 6) | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 7) | 10 |
| 1 |
0 |
0 |
0 | 8) | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 9) | 6 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 10) | 2 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 11) | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 12) | 5 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 13) | 4 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 14) | 7 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 15) | 3 |
Если Вы хотите порешать типовые задач на множества, то перейдите к статье.
Некоторые задачи удобно и наглядно решать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Например, задачи на множества. Если Вы не знаете, что такое диаграммы Эйлера-Венна и как их строить, то сначала прочтите .
Теперь разберем типовые задачи о множествах.
Задача 1.
В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?
Ответ: 3.
Решение:
- множество школьников, изучающих английский ("А");
- множество школьников изучающих французский ("Ф");
- множество школьников изучающих немецкий ("Н").
Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.
Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1
как "х" (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.
0) Область А=0, Ф=0, Н=0
: 24 школьника - дано по условию задачи.
1) Область А=0, Ф=0, Н=1 : 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.
2) Область А=0, Ф=1, Н=0 : 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.
3) Область А=0, Ф=1, Н=1
: 13-х школьников.
4) Область А=1, Ф=0, Н=0 : 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.
5) Область А=1, Ф=0, Н=1 : 8-х школьников.
6) Область А=1, Ф=1, Н=0 : 8-х школьников.
| № области | А |
Ф |
Н |
Количество школьников |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
24 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
7+х |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
5+х |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
13-х |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
32+х |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
8-х |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
8-х |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
х |
Определим х:
24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.
х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.
Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:
Задача 2.
На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600. 600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300 человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?
Ответ: 100.
Решение:
Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
- множество задач по алгебре ("А");
- множество задач по геометрии ("Г");
- множество задач по тригонометрии ("Т").
Изобразим то, что нам надо найти:
Определим количество школьников для всех возможных областей.
Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0
как "х" (в таблице ниже область №0).
Найдем остальные области:
1) Область А=0, Г=0, Т=1 : школьников нет.
2) Область А=0, Г=1, Т=0 : школьников нет.
3) Область А=0, Г=1, Т=1 : 100 школьников.
4) Область А=1, Г=0, Т=0 : школьников нет.
5) Область А=1, Г=0, Т=1 : 200 школьников.
6) Область А=1, Г=1, Т=0 : 300 школьников.
7) Область А=1, Г=1, Т=1 : 300 школьников.
Запишем значения областей в таблицу:
| № области | А |
Г |
Т |
Количество школьников |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
х |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
0 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
100 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
200 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
300 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
300 |
Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
Определим х:
х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.
A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.
Получили, что 100 школьников
не решило ни одной задачи.
Задача 3.
На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?
Ответ: 350.
Решение:
Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
- множество задач по кинематике ("К");
- множество задач по термодинамике ("Т");
- множество задач по оптике ("О").
Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:
Изобразим то, что нам надо найти:
Определим количество школьников для всех возможных областей:
0) Область К=0, Т=0, О=0 : не определено.
1) Область К=0,Т=0, О=1 : 50 школьников.
2) Область К=0, Т=1, О=0 : школьников нет.
3) Область К=0, Т=1, О=1 : 50 школьников.
4) Область К=1, Т=0, О=0 : школьников нет.
5) Область К=1, Т=0, О=1 : 100 школьников.
6) Область К=1, Т=1, О=0 : 200 школьников.
7) Область К=1, Т=1, О=1 : 100 школьников.
Запишем значения областей в таблицу:
| № области | К |
Т |
О |
Количество школьников |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
- |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
50 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
50 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
100 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
200 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
100 |
Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
Определим х.
х=200+100+50=350.
Получили, 350 школьников решило две задачи.
Задача 4.
Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: "Какое домашнее животное у Вас есть?". По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 - собака, у 50 - птичка. У 60 человек есть кошка и собака, у 20 - кошка и птичка, у 30 - собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка. Сколько прохожих приняли участие в опросе?
Ответ: 300.
Решение:
Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
- множество людей, у которых есть кошка ("К");
- множество людей, у которых есть собака ("С");
- множество людей, у которых есть птичка ("П").
Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:
Изобразим то, что нам надо найти:
Определим количество человек для всех возможных областей:
0) Область К=0, С=0, П=0 : 70 человек.
1) Область К=0, С=0, П=1 : 10 человек.
2) Область К=0, С=1, П=0 : 50 человек.
3) Область К=0, С=1, П=1 : 20 человек.
4) Область К=1, С=0, П=0 : 80 человек.
5) Область К=1, Т=0, О=1 : 10 человек.
6) Область К=1, Т=1, О=0 : 50 человек.
7) Область К=1, Т=1, О=1 : 10 человек.
Запишем значения областей в таблицу:
| № области | К |
C |
П |
Количество человек |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
70 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
10 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
50 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
20 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
80 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
10 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
50 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
10 |
Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
Определим х:
х=U (универсум)
U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
Получили, что 300 человек
приняли участие в опросе.
Задача 5.
На одну специальность в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по информатике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, информатику - 40. 30 абитуриентов сдали математику и информатику, 30 - математику и русский язык, 25 - информатику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек - провалили. Сколько абитуриентов сдали русский язык?
Wikispaces was founded in 2005 and has since been used by educators, companies and individuals across the globe.
Unfortunately, the time has come where we have had to make the difficult business decision to end the Wikispaces service.
We first announced the site closure in January 2018, through a site-wide banner that appeared to all logged-in users and needed to be clicked on to dismiss
During the closure period a range of banners were shown to users, including a countdown banner in the final month. Additionally, the home page of Wikispaces.com became a blog, detailing the reasons for the closure. Private Label Site Administrators were contacted separately regarding the closure
| Wikispaces Tier | Closedown Date |
|---|---|
| Classroom and Free Wikis end of service | 31st July 2018 |
| Plus and Super Wikis end of service | 30th September 2018 |
| Private Label Wikis end of service | 31st January 2019 |
Why has Wikispaces closed?
Approximately 18 months ago, we completed a technical review of the infrastructure and software we used to serve Wikispaces users. As part of the review, it became apparent that the required investment to bring the infrastructure and code in line with modern standards was very substantial. We explored all possible options for keeping Wikispaces running but had to conclude that it was no longer viable to continue to run the service in the long term. So, sadly, we had to close the site - but we have been touched by the messages from users all over the world who began creating wikis with it and now running them on new platforms.
We would like to take this opportunity to thank you for your support over the years.
