Изчисляване на интеграла на Мор с помощта на правилото на Верещагин. Определяне на премествания по метода на Верещагин Умножаващи диаграми

В случаите, когато диаграмата Мz 1 (или Мz) е ограничен до прави линии. По същество това е техника за графично аналитично изчисляване на определен интеграл от произведението на две функции f(х) И φ (х), от които един напр φ (х), линеен, т.е. има формата

Нека разгледаме част от греда, в която диаграмата на огъващите моменти от единично натоварване е ограничена до една права линия Мz 1 = kx+ b, а огъващият момент от дадено натоварване се променя според произволен закон Мz. Тогава в тази област

Вторият интеграл представлява площта ω диаграми Мzв разглежданата област, а първият е статичният момент на тази област спрямо оста ги следователно е равен на произведението на площта ω до координатата на неговия център на тежестта х° С. По този начин,

.

Тук kx° С+ b- ордината г° Сдиаграми Мz 1 под центъра на тежестта на зоната ω . следователно

.

работа ω г° Сще бъде положителен, когато ω И г° Сразположени от едната страна на оста на диаграмата и отрицателни, ако са от противоположните страни на тази ос.

Така, според Методът на Верещагиноперацията интегриране се заменя с умножение по площ ω един участък на ордината г° Свтора (задължително линейна) диаграма, взета под центъра на тежестта на областта ω .

Важно е винаги да помните, че такова „умножение“ на диаграми е възможно само в областта, ограничена от една права линия на диаграмата, от която е взета ординатата г° С. Следователно, когато се изчисляват преместванията на секциите на гредата по метода на Верещагин, интегралът на Мор по цялата дължина на гредата трябва да бъде заменен от сумата от интегралите върху секциите, в които диаграмата на моментите от единично натоварване няма прегъвания. Тогава

.

За успешното прилагане на метода на Верещагин е необходимо да има формули, по които могат да се изчисляват площите ω и координати х° Стехните центрове на тежестта. Дадено в табл. Данните от 8.1 съответстват само на най-простите случаи на натоварване на лъча. По-сложните диаграми на моментите на огъване обаче могат да бъдат разделени на прости фигури, области ω аз, и координати гciкоито са известни, и след това намерете работата ω г° Сза такава сложна диаграма чрез сумиране на продуктите на площите ω азнеговите части към съответните им координати гci. Това се обяснява с факта, че разлагането на умножимата диаграма на части е еквивалентно на представянето на функцията Мz(х) в интеграла (8.46) като сума от интегралите. В някои случаи изграждането на слоести диаграми, т.е. от всяка от външните сили и двойки поотделно, опростява изчисленията.

Ако и двете диаграми МzИ Мz 1 линейни, крайният резултат от тяхното умножение не зависи от това дали площта на първата диаграма е умножена по ординатата на втората или, обратно, площта на втората по ординатата на първата.

За да изчислите практически преместванията по метода на Верещагин, трябва:

1) изградете диаграма на моментите на огъване от дадено натоварване (основна диаграма);

3) изградете диаграма на моментите на огъване от единичен товар (единична диаграма);

4) разделете диаграми на дадени товари в отделни области ω ази изчислете ординатите гCiедна диаграма под центровете на тежестта на тези области;

5) композира произведение ω азгCiи ги обобщете.

Таблица 8.1.

Тип диаграма Мz	Квадрат ω	Координата на центъра на тежестта х° С
(*) - Тези формули не са валидни за този случай на натоварване

ЕЕ "БСУИР"

Катедра Инженерна графика

РЕЗЮМЕ

по темата за:

“ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ПРЕМЕСТВАНИЯТА ПО МЕТОДА НА МОР. ПРАВИЛОТО НА ВЕРЕЩАГИН"

МИНСК, 2008 г

Нека сега разгледаме общ метод за определяне на премествания, подходящ за всяка линейно деформируема система при всякакво натоварване. Този метод е предложен от изключителния немски учен О. Мор.

Нека, например, искате да определите вертикалното изместване на точка А на гредата, показана на фиг. 7.13, а. Означаваме даденото (натоварено) състояние с буквата k.Нека изберем спомагателно състояние на същата греда с единица

сила, действаща в точка А и в посока на желаното преместване. Означаваме спомагателното състояние с буквата i (фиг. 7.13,6).

Нека изчислим работата на външните и вътрешните сили на спомагателното състояние върху преместванията, причинени от действието на силите на натовареното състояние.

Работата на външните сили ще бъде равна на произведението на единица сила и желаното изместване ya

а работата на вътрешните сили по абсолютна стойност е равна на интеграла

(1)

Формула (7.33) е формулата на Мор (интеграл на Мор), която дава възможност да се определи преместването във всяка точка на линейно деформируема система.

В тази формула интегрантът на MiMk е положителен, ако и двата огъващи момента имат един и същи знак, и отрицателен, ако Mi и Mk имат различни знаци.

Ако трябваше да определим ъгловото изместване в точка А, тогава в състояние i ще трябва да приложим момент, равен на единица (без измерение) в точка А.

Означавайки с буквата Δ всяко движение (линейно или ъглово), записваме формулата на Мор (интеграл) във формата

(2)

В общия случай аналитичният израз Mi и Mk може да бъде различен в различните сечения на греда или еластична система като цяло. Следователно вместо формула (2) трябва да се използва по-общата формула

(3)

Ако прътите на системата работят не при огъване, а при опън (компресия), както например в ферми, тогава формулата на Мор има формата

(4)

В тази формула продуктът NiNK е положителен, ако и двете сили са опън или и двете са натиск. Ако прътите работят едновременно при огъване и опън (компресия), тогава в обикновените случаи, както показват сравнителните изчисления, преместванията могат да бъдат определени, като се вземат предвид само моментите на огъване, тъй като влиянието на надлъжните сили е много малко.

По същите причини, както беше отбелязано по-рано, в обикновените случаи влиянието на силите на срязване може да се пренебрегне.

Вместо директно изчисляване на интеграла на Мор, можете да използвате графоаналитичната техника „метод на умножаване на диаграми“ или правилото на Верещагин.

Нека разгледаме две диаграми на огъващи моменти, едната от които Mk има произволен контур, а другата Mi е праволинейна (фиг. 7.14, а и б).

(5)

Стойността MKdz е елементарната площ dωk на Mk диаграмата (защрихована на фигурата). По този начин,

(6)

следователно,

(8)

Но представлява статичният момент на площта на диаграмата Mk спрямо някаква ос y, минаваща през точката O, равна на ωkzc, където ωk е площта на диаграмата на момента; zc е разстоянието от оста y до центъра на тежестта на Mk диаграмата. От чертежа става ясно, че

където Msi е ординатата на диаграмата Mi, разположена под центъра на тежестта на диаграмата Mk (под точка C). следователно

(10)

т.е. необходимият интеграл е равен на произведението на площта на диаграмата Mk (всяка форма) от ординатата на праволинейната диаграма Msi, разположена под нейния център на тежестта. Стойността на ωkМсi се счита за положителна, ако и двете диаграми са разположени от една и съща страна на пръта, и отрицателна, ако са разположени от различни страни. Положителен резултат от умножаване на диаграми означава, че посоката на движение съвпада с посоката на единична сила (или момент).

Трябва да се помни, че ординатата Msi трябва да се вземе в праволинейна диаграма. В конкретния случай, когато и двете диаграми са праволинейни, можете да умножите площта на всяка от тях по съответната ордината на другата.

За пръти с променливо напречно сечение правилото на Верешчагин за умножаване на диаграми не е приложимо, тъй като в този случай вече не е възможно да се премахне стойността EJ от интегралния знак. В този случай EJ трябва да се изрази като функция на абсцисата на сечението и след това да се изчисли интегралът на Мор (1).

Когато стъпаловидно променяте твърдостта на пръта, интегрирането (или умножаването на диаграми) се извършва за всяка секция поотделно (със собствена стойност на EJ) и след това резултатите се сумират.

В табл 1 показва площите на някои прости диаграми и координатите на техния център на тежестта.

маса 1

Тип диаграма	Площ на диаграмата	Разстояние до центъра на тежестта

За да ускорите изчисленията, можете да използвате готови таблици за умножение на диаграми (Таблица 2).

В тази таблица в клетките на пресечната точка на съответните елементарни диаграми са дадени резултатите от умножаването на тези диаграми.

При разбиването на сложна диаграма на елементарни, представени в табл. 1 и 7.2, трябва да се има предвид, че параболичните диаграми са получени от действието само на един разпределен товар.

В случаите, когато в сложна диаграма се получават извити сечения от едновременното действие на концентрирани моменти, сили и равномерно разпределено натоварване, за да се избегнат грешки, сложната диаграма трябва първо да бъде „наслоена“, т.е. разделена на няколко независими диаграми: от действието на съсредоточени моменти, сили и от действието на равномерно разпределен товар.

Можете също така да използвате друга техника, която не изисква стратификация на диаграмите, а изисква само избор на криволинейната част на диаграмата по дължината на хордата, свързваща нейните крайни точки.

Ще демонстрираме и двата метода с конкретен пример.

Нека, например, искате да определите вертикалното изместване на левия край на гредата (фиг. 7.15).

Общата диаграма на натоварването е представена на фиг. 7.15, а.

Таблица 7.2

Диаграмата на действието на единична сила в точка А е показана на фиг. 7.15, град

За да се определи вертикалното изместване в точка А, е необходимо диаграмата на натоварването да се умножи по диаграмата на единичната сила. Отбелязваме обаче, че в участъка BC на общата диаграма криволинейната диаграма се получава не само от действието на равномерно разпределено натоварване, но и от действието на концентрирана сила P. В резултат на това в участъка BC има вече няма да бъде елементарна параболична диаграма, дадена в таблици 7.1 и 7.2, а според по същество сложна диаграма, за която данните в тези таблици са невалидни.

Следователно е необходимо да се стратифицира сложната диаграма съгласно фиг. 7.15, и към елементарните диаграми, представени на фиг. 7.15, b и 7.15, c.

Диаграма съгласно фиг. 7.15, b се получава само от концентрирана сила, диаграма съгласно фиг. 7.15, c - само от действието на равномерно разпределено натоварване.

Сега можете да умножите диаграмите с помощта на таблицата. 1 или 2.

За да направите това, трябва да умножите триъгълната диаграма според фиг. 7.15, b към триъгълната диаграма съгласно фиг. 7.15, d и добавете към това резултата от умножаването на параболичната диаграма на фиг. 7.15, в трапецовидната диаграма на сечението BC съгласно фиг. 7.15, d, тъй като в раздел AB ординатите на диаграмата съгласно фиг. 7,15, in са равни на нула.

Нека сега покажем втория метод за умножаване на диаграми. Нека погледнем отново диаграмата на фиг. 7.15, а. Нека вземем началото на препратката в раздел B. Показваме, че в границите на кривата LMN моментите на огъване могат да бъдат получени като алгебрична сума на моментите на огъване, съответстващи на правата линия LN и моментите на огъване на параболичната диаграма LNML , същото като за обикновена греда с дължина a, натоварена с равномерно разпределен товар q:

Най-голямата ордината в средата ще бъде равна на .

За да докажем това, нека напишем действителния израз за огъващия момент в сечението на разстояние z от точка B

(А)

Нека сега напишем израза за огъващия момент в същия участък, получен като алгебрична сума от ординатите на правата LN и параболата LNML.

Уравнение на права LN

където k е тангенса на ъгъла на наклон на тази права

Следователно уравнението на огъващите моменти, получено като алгебрична сума от уравнението на правата линия LN и параболата LNMN, има формата

което съвпада с израз (А).

Когато умножавате диаграми според правилото на Верещагин, трябва да умножите трапеца BLNC по трапеца от единичната диаграма в участъка BC (вижте Фиг. 7.15, d) и да извадите резултата от умножаването на параболичната диаграма LNML (площ) по същия трапец от блоковата диаграма. Този метод на наслояване на диаграми е особено полезен, когато извитата част на диаграмата е разположена в една от средните секции на гредата.

Пример 7.7. Определете вертикалните и ъгловите премествания на конзолната греда в точката, където се прилага натоварването (фиг. 7.16).

Решение. Изграждаме диаграма на огъващите моменти за състоянието на натоварване (фиг. 7.16, а).

За да определим вертикалното изместване, избираме спомагателното състояние на гредата с единична сила в точката на прилагане на товара.

Изграждаме диаграма на огъващи моменти от тази сила (фиг. 7.16, b). Определяне на вертикално преместване по метода на Мор

Стойност на момента на огъване поради натоварване

Стойността на огъващия момент от единица сила

Заменяме тези стойности на МР и Mi под интегралния знак и интегрираме

Същият резултат беше получен преди това по различен метод.

Положителна стойност на деформация показва, че точката на прилагане на товара P се движи надолу (по посока на единичната сила). Ако насочим единична сила отдолу нагоре, ще имаме Mi = 1z и в резултат на интегрирането ще получим отклонение със знак минус. Знакът минус ще покаже, че движението не е нагоре, а надолу, както е в действителност.

Нека сега изчислим интеграла на Мор, като умножим диаграмите според правилото на Верещагин.

Тъй като и двете диаграми са праволинейни, няма значение от коя диаграма да се вземе площта и от коя да се вземе ординатата.

Площта на диаграмата на натоварване е равна на

Центърът на тежестта на тази диаграма е разположен на разстояние 1/3l от вграждането. Определяме ординатата на диаграмата на моментите от единица сила, разположена под

център на тежестта на диаграмата на натоварването. Лесно се проверява, че е равно на 1/3l.

Следователно.

Същият резултат се получава от таблицата на интегралите. Резултатът от умножаването на диаграмите е положителен, тъй като и двете диаграми са разположени в долната част на пръта. Следователно точката на приложение на товара се измества надолу, т.е. по приетата посока на единичната сила.

За да определим ъгловото преместване (ъгъл на въртене), избираме спомагателно състояние на гредата, при което в края на гредата действа концентриран момент, равен на единица.

Изграждаме диаграма на моментите на огъване за този случай (фиг. 7.16, c). Определяме ъгловото изместване чрез умножаване на диаграмите. Област на диаграма на натоварване

Ординатите на диаграмата от един момент навсякъде са равни на единица. Следователно желаният ъгъл на завъртане на сечението е равен на

Тъй като и двете диаграми са разположени по-долу, резултатът от умножението на диаграмите е положителен. Така крайната част на гредата се върти по посока на часовниковата стрелка (по посока на единичния момент).

Пример: Използвайки метода на Mohr-Vereshchagin, определете деформацията в точка D за гредата, показана на фиг. 7.17..

Решение. Изграждаме послойна диаграма на моментите от товара, т.е. изграждаме отделни диаграми от действието на всеки товар. В този случай, за удобство на умножаването на диаграми, е препоръчително да се конструират стратифицирани (елементарни) диаграми спрямо сечението, чието отклонение се определя в този случай спрямо сечение D.

На фиг. 7.17, а показва диаграма на огъващи моменти от реакция А (сечение AD) и от натоварване P = 4 T (сечение DC). Диаграмите са изградени върху компресирани влакна.

На фиг. 7.17, b показва диаграми на моменти от реакция B (секция BD), от ляво равномерно разпределено натоварване (секция AD) и от равномерно разпределено натоварване, действащо върху секция BC. Тази диаграма е показана на фиг. 7.17, b в областта DC по-долу.

След това избираме спомагателното състояние на гредата, за което прилагаме единична сила в точка D, където се определя деформацията (фиг. 7.17, c). Диаграмата на моментите от единица сила е показана на фиг. 7.17, г. Сега нека умножим диаграми от 1 до 7 по диаграми 8 и 9, като използваме таблици за умножение на диаграми, като вземем предвид знаците.

В този случай диаграмите, разположени от едната страна на лъча, се умножават със знак плюс, а диаграмите, разположени от противоположните страни на лъча, се умножават със знак минус.

При умножаване на диаграма 1 и диаграма 8 получаваме

Умножавайки графика 5 по графика 8, получаваме

Умножаването на графики 2 и 9 дава

Умножете диаграми 4 и 9

Умножете диаграми 6 и 9

Обобщавайки резултатите от умножителните диаграми, получаваме

Знакът минус показва, че точка D не се движи надолу, тъй като единичната сила е насочена, а нагоре.

Същият резултат беше получен по-рано с помощта на универсалното уравнение.

Разбира се, в този пример беше възможно да се стратифицира диаграмата само в раздел AD, тъй като в раздел DB общата диаграма е праволинейна и няма нужда да се стратифицира. В секцията BC не се изисква разслояване, тъй като от единица сила в тази секция диаграмата е равна на нула. Разслояването на диаграмата в участъка BC е необходимо за определяне на деформацията в точка C.

Пример. Определете вертикалните, хоризонталните и ъгловите премествания на сечение А на счупения прът, показан на фиг. 7.18, а. Твърдостта на напречното сечение на вертикалната секция на пръта е EJ1; твърдостта на напречното сечение на хоризонталната секция е EJ2.

Решение. Изграждаме диаграма на моментите на огъване поради натоварване. Показано е на фиг. 7.18, b (вижте пример 6.9). За да определим вертикалното изместване на секция А, избираме спомагателното състояние на системата, показано на фиг. 7.18, c. В точка А се прилага единична вертикална сила, насочена надолу.

Диаграмата на огъващите моменти за това състояние е показана на фиг. 7.18, c.

Определяме вертикалното изместване по метода на Мор, използвайки метода на умножаване на диаграми. Тъй като няма диаграма M1 на вертикалния прът в спомагателно състояние, ние умножаваме само диаграми, свързани с хоризонталния прът. Вземаме площта на диаграмата от състоянието на натоварване и ординатата от спомагателното състояние. Вертикалното преместване е

Тъй като и двете диаграми са разположени по-долу, вземаме резултата от умножението със знак плюс. Следователно точка А се движи надолу, т.е. по посока на единичната вертикална сила.

За да определим хоризонталното движение на точка А, избираме спомагателно състояние с хоризонтална единична сила, насочена наляво (фиг. 7.18, d). Там е представена моментната диаграма за този случай.

Умножаваме MP и M2 диаграмите и получаваме

Резултатът от умножените диаграми е положителен, тъй като умножените диаграми са разположени от една и съща страна на пръчките.

За да определим ъгловото преместване, избираме спомагателното състояние на системата съгласно фиг. 7.18.5 и изградете диаграма на моментите на огъване за това състояние (на същата фигура). Умножаваме диаграми MP и M3:

Резултатът от умножението е положителен, тъй като умножените диаграми са разположени от едната страна.

Следователно секция А се върти по посока на часовниковата стрелка

Същите резултати ще бъдат получени с помощта на таблици
умножителни диаграми.

Изгледът на деформирания прът е показан на фиг. 7.18, д, докато преместванията са значително увеличени.

ЛИТЕРАТУРА

Феодосиев V.I. Якост на материалите. 1986 г

Беляев Н.М. Якост на материалите. 1976 г

Красковски Е.Я., Дружинин Ю.А., Филатова Е.М. Изчисляване и проектиране на приборни механизми и компютърни системи. 1991 г

Работнов Ю.Н. Механика на деформируемите твърди тела. 1988 г

Степин П.А. Якост на материалите. 1990 г

Лекция 13 (продължение). Примери за решения за изчисляване на премествания по метода на Мор-Верещагин и задачи за самостоятелно решение

Определяне на премествания в греди

Пример 1.

Определете движението на точка ДА СЕгреди (вижте фигурата) с помощта на интеграла на Мор.

Решение.

1) Съставяме уравнение за огъващия момент от външна сила М Е .

2) Нанесете в точката ДА СЕединица сила Е = 1.

3) Записваме уравнението на огъващия момент от единица сила.

4) Определете движенията

Пример 2.

Определете движението на точка ДА СЕгреди по метода на Верещагин.

Решение.

1) Изграждаме карго диаграма.

2) Прилагаме единична сила в точка K.

3) Изграждаме една диаграма.

4) Определете деформацията

Пример 3.

Определете ъглите на въртене на опорите АИ IN

Решение.

Изграждаме диаграми от дадено натоварване и от отделни моменти, приложени в разрези АИ IN(виж снимката). Ние определяме необходимите премествания с помощта на интеграли на Мор

,

, което изчисляваме с помощта на правилото на Верещагин.

Намиране на параметрите на сюжета

° С 1 = 2/3, ° С 2 = 1/3,

и след това ъглите на завъртане на опорите АИ IN

Пример 4.

Определете ъгъла на завъртане на секцията СЪСза дадена греда (виж фигурата).

Решение.

Определяне на реакциите на подкрепа Р А =Р б ,

, , Р А = Р б = qa.

Изграждаме диаграми на огъващия момент от дадено натоварване и от отделен момент, приложен в сечението СЪС, където се търси ъгълът на завъртане. Изчисляваме интеграла на Мор, като използваме правилото на Верещагин. Намиране на параметрите на парцела

° С 2 = -° С 1 = -1/4,

и по тях желаното движение

Пример 5.

Определете деформацията в сечението СЪСза дадена греда (виж фигурата).

Решение.

Диаграма М Е(фиг. b)

Реакции на поддръжката:

БЪДА: , ,

, Р б + Р д = Е, Р д = 0;

AB: , Р А = Р IN = Е; , .

Изчисляваме моменти в характерни точки, М б = 0, М ° С = фаи изградете диаграма на огъващия момент от дадено натоварване.

Диаграма(фиг. c).

В напречно сечение СЪС, където се търси деформацията, прилагаме единична сила и изграждаме диаграма на огъващия момент от нея, като първо изчисляваме опорните реакции БЪДА - , , = 2/3; , , = 1/3, а след това моменти в характерни точки , , .

2. Определяне на желаната деформация. Нека използваме правилото на Верешчагин и първо изчислим параметрите на диаграмите и:

,

Деформация на секцията СЪС

Пример 6.

Определете деформацията в сечението СЪСза дадена греда (виж фигурата).

Решение.

СЪС.Използвайки правилото на Верещагин, изчисляваме параметрите на диаграмите ,

и намерете желаното отклонение

Пример 7.

Определете деформацията в сечението СЪСза дадена греда (виж фигурата).

Решение.

1. Построяване на диаграми на огъващи моменти.

Реакции на поддръжката:

, , Р А = 2qa,

, Р А + Р д = 3qa, Р д = qa.

Изграждаме диаграми на огъващи моменти от даден товар и от единична сила, приложена в точка СЪС.

2. Определяне на движенията. За да изчислим интеграла на Мор, използваме формулата на Симпсън, като я прилагаме последователно към всяка от трите секции, на които е разделен лъчът.

ПарцелAB :

Парцелслънце :

ПарцелСЪС д :

Необходимо движение

Пример 8.

Определете деформацията на секцията Аи ъгъл на завъртане на секцията дза дадена греда (фиг. А).

Решение.

1. Построяване на диаграми на огъващи моменти.

Диаграма М Е(ориз. V). След като определи опорните реакции

, , Р б = 19qa/8,

, Р д = 13qa/8, изграждаме диаграми на напречна сила Qи момент на огъване М Еот дадено натоварване.

Диаграма(фиг. d). В напречно сечение А, където се търси деформацията, прилагаме единична сила и от нея построяваме диаграма на огъващия момент.

Диаграма(фиг. д). Тази диаграма е изградена от един момент, приложен в секцията д, където се търси ъгълът на завъртане.

2. Определяне на движенията. Деформация на секцията Анамираме с помощта на правилото на Верещагин. Epure М Ена сайтовете слънцеИ CDРазбиваме го на прости части (фиг. d). Представяме необходимите изчисления под формата на таблица.

	-qa 3 /6	2qa 3 /3	-qa 3 /2				-qa 3 /2
° С аз
		-qa 4 /2	5qa 4 /12	-qa 4 /6	-qa 4 /12			-qa 4 /24

Получаваме.

Знакът минус в резултата означава, че точката Ане се движи надолу, както беше насочена единичната сила, а нагоре.

Ъгъл на завъртане на секцията днамираме по два начина: по правилото на Верешчагин и по формулата на Симпсън.

Според правилото на Верещагин, диаграми за умножение М Еи по аналогия с предишния получаваме

,

За да намерим ъгъла на въртене, използвайки формулата на Симпсън, изчисляваме предварителните моменти на огъване в средата на секциите:

Необходимата денивелация, увеличена с EI хведнъж,

Пример 9.

Определете при каква стойност на коеф котклонение на секцията СЪСще бъде равно на нула. Когато се намери стойността кизградете диаграма на огъващия момент и изобразете приблизителен изглед на еластичната линия на гредата (виж фигурата).

Решение.

Изграждаме диаграми на огъващи моменти от дадено натоварване и от единична сила, приложена в сечението СЪС, където се търси отклонението.

Според условията на проблема V ° С= 0. От друга страна, . Интеграл на парцела ABизчисляваме с помощта на формулата на Симпсън и в раздела слънце– според правилото на Верешчагин.

Намираме предварително

Преместване на раздел СЪС ,

Оттук , .

Когато се намери стойността копределяне на стойността на опорната реакция в точката А: , , , от което намираме позицията на екстремалната точка на диаграмата Мспоред състоянието .

Въз основа на стойностите на момента в характерни точки

Изграждаме диаграма на огъващия момент (фиг. d).

Пример 10.

INконзолна греда, показана на фигурата.

Решение.

Мот действието на външна концентрирана сила Е: М IN = 0, М А = –Е 2л(линеен график).

Според условията на проблема е необходимо да се определи вертикалното преместване при INточки INконзолна греда, следователно изграждаме единична диаграма на действието на вертикална единична сила Е аз = 1, приложено в точката IN.

Като се има предвид, че конзолната греда се състои от две секции с различна твърдост на огъване, диаграми и МНие умножаваме с помощта на правилото на Верешчагин по отделни секции. Диаграми Ми умножете първата секция, като използвате формулата , а диаграмите на втория участък - като площта на диаграмата Мвтори раздел Ет 2 / 2 към ордината 2 л/3 диаграми на втория участък под центъра на тежестта на триъгълната диаграма Мсъщата област.

В този случай формулата дава:

Пример 11.

Определете вертикалното движение на точка INгреда с един участък, показана на фигурата. Гредата има постоянна твърдост на огъване по цялата си дължина. EI.

Решение.

Изграждаме диаграма на моментите на огъване Мот действието на външно разпределено натоварване: М А = 0; М д = 0;

Нанесете в точката INединица вертикална сила Е аз = 1 и изградете диаграма (вижте фигурата):

където Р а = 2/3;

Където Р д = 1/3, така че М а = 0; М д = 0; .

Нека разделим въпросната греда на 3 части. Умножаването на диаграми на 1-ви и 3-ти раздел не създава затруднения, тъй като умножаваме триъгълни диаграми. За да приложим правилото на Верешчагин към 2-ри раздел, нека разделим диаграмата М 2-ри раздел на два компонента на диаграмата: правоъгълна и параболична с площ (виж таблицата).

Център на тежестта на параболичната част на диаграмата Млежи в средата на 2-ри дял.

Така че формулата използването на правилото на Верещагин дава:

Пример 12.

Определете максималната деформация в двуподпорна греда, натоварена с равномерно разпределен товар на интензитет р(виж снимката).

Решение.

Намиране на огъващи моменти:

От дадено натоварване

От единица сила, приложена в точка СЪСкъдето се търси отклонението.

Изчисляваме необходимата максимална деформация, която се получава в средната част на гредата

Пример 13.

Определете отклонението в точка INлъч, показан на фигурата.

Решение.

Изграждаме диаграми на огъващи моменти от даден товар и единична сила, приложена в точка IN.За да се умножат тези диаграми, лъчът трябва да бъде разделен на три секции, тъй като една диаграма е ограничена до три различни прави линии.

Операцията по умножаване на диаграми във втория и третия раздел се извършва просто. Трудности възникват при изчисляването на площта и координатите на центъра на тежестта на основната диаграма в първия раздел. В такива случаи конструирането на слоести диаграми значително опростява решението на проблема. В този случай е удобно да вземете една от секциите условно като неподвижна и да изградите диаграми за всяко от натоварванията, приближавайки се към тази секция отдясно и отляво. Препоръчително е да вземете участъка на мястото на счупване като стационарен в диаграмата на единичните натоварвания.

Слоеста диаграма, в която сечението се приема за стационарно IN, е показано на фигурата. След като изчислим площите на съставните части на слоестата диаграма и съответните ординати на единичната диаграма, получаваме

Пример 14.

Определете преместванията в точки 1 и 2 на гредата (фиг. а).

Решение.

Ето и диаграмите МИ Qза греди при А=2 m; р=10 kN/m; СЪС=1,5А; М=0,5qa 2 ; Р=0,8qa; М 0 =М; =200 MPa (фиг. bИ V).

Нека определим вертикалното изместване на центъра на сечението, където се прилага концентрираният момент. За да направите това, разгледайте греда в състояние под въздействието само на концентрирана сила, приложена в точка 1, перпендикулярна на оста на лъча (по посока на желаното изместване) (фиг. d).

Нека изчислим опорните реакции, като съставим три равновесни уравнения

Преглед

Реакциите бяха намерени правилно.

За да изградите диаграма, разгледайте три секции (фиг. d).

1 парцел

2-ри раздел

Раздел 3

Използвайки тези данни, изграждаме диаграма (фиг. д) от страната на опънатите влакна.

Нека определим по формулата на Мор, използвайки правилото на Верещагин. В този случай крива диаграма в областта между опорите може да бъде представена като добавяне на три диаграми. Стрелка

Знакът минус означава, че точка 1 се движи нагоре (в обратна посока).

Нека определим вертикалното изместване на точка 2, където е приложена концентрираната сила. За да направите това, разгледайте греда в състояние под въздействието само на концентрирана сила, приложена в точка 2, перпендикулярна на оста на лъча (по посока на желаното изместване) (фиг. д).

Диаграмата е изградена подобно на предишната.

Точка 2 се движи нагоре.

Нека определим ъгъла на въртене на сечението, където се прилага концентрираният момент.

В допълнение към разгледания по-горе аналитичен метод за определяне на преместването на греда, има други аналитични и графично-аналитични методи, приложими за по-сложни системи, например конструкции със счупена ос и статически неопределени системи.

Един такъв метод се основава на Интеграл на Мор И Правилото на Верешчагин. Същността на метода е да се приложи единично натоварване (сила или въртящ момент) в посоката на движение, което ни интересува, и да се изчисли интегралът на Мор. Изразът за интеграла на Мор е изведен въз основа на теоремата на Кастиляно, която е посочена тук без доказателство.

Теорема на Кастиляно. Производна на потенциалната енергия на деформация по отношение на обобщената сила и обобщеното изместване.

Потенциалната енергия на деформация на извита греда се изразява с формулата

Въз основа на теоремата на Кастиляно, обобщеното (линейно или ъглово) изместване D се определя като

Ако обобщената сила Q 06 равно на единица, тогава частната производна ще бъде числено равна на момента M° единично натоварване

в сечение r на гредата (частичните производни на моментите на други сили са равни на нула, тъй като тези моменти не зависят от единичното натоварване). Резултатът е формула, наречена интеграл на Мор.

За отделен участък от структурата интегралът на Мор е написан във формата

където D е обобщено (линейно или ъглово) движение; / - дължина на участъка; М - уравнение на моментите на външните сили; M° - уравнение на единичните товарни моменти; ?7 е твърдостта на секцията на конструкцията.

За да се определи линейното преместване, към сечението се прилага единична безразмерна сила, а за определяне на ъгловото изместване се прилага единичен безразмерен момент. За структура с постоянна коравина, тогава тя може да бъде извадена от интегралния знак

Като пример, нека изчислим интеграла на Мор за лъча, показан на фиг. 6.27

Ориз. 6.27

Тъй като функциите на огъващите моменти са графично изразени чрез моментни диаграми, изглежда възможно да се изрази интегралът на Мор по отношение на площите и ординатите на диаграмите по Правилото на Верешчагин , наречен иначе чрез умножаване на диаграми. Това правило е формулирано по следния начин: необходимият интеграл е равен на произведението на площта на диаграмата на натоварване M и ординатата на диаграмата на единицата, разположена под нейния център на тежестта.Карго е наречена диаграмата на огъващите моменти на външните сили.

Площите и ординатите на диаграмите се вземат със знаци плюс или минус, а положителен резултат означава, че посоката на желаното изместване съвпада с посоката на единичния товар. Ако разглежданата структура има няколко секции, тогава изчисленията се извършват за всяка секция поотделно и резултатът се сумира.

Като пример, нека определим, използвайки правилото на Верешчагин, линейното преместване и ъгъла на въртене на крайната част на гредата, показана на фиг. 6.24.

За да определим линейното преместване на свободния край на гредата, прилагаме вертикална единична сила към нейния край и разглеждаме диаграмата на натоварването и диаграмата на моментите на единичната сила. Тогава

което съвпада с израза за y V, получено в Пример 6.8.

За да определим ъгъла на завъртане на крайния участък на гредата, прилагаме единичен момент към края му и изграждаме диаграма. Тогава

Положителните отговори означават, че посоките на единични натоварвания и премествания съвпадат. Получаваме същия резултат, ако умножим площта на единичната диаграма по ординатата на диаграмата на натоварването, разположена над центъра на тежестта на площта на единичната диаграма.

За да се разкрие статичната неопределеност на системата, една от опорите трябва да се изхвърли, да се замени с реакции, да се приложи единично натоварване и след това да се построят диаграмите на товара и единицата. Чрез умножаване на диаграмите съгласно правилото на Верешчагин и приравняване на полученото изместване на нула, получаваме допълнително уравнение, необходимо за разкриване на статичната неопределеност на системата.

Пример 6.11

Разширете статичната неопределимост на двуопорна квадратна рамка със страна / показана на фиг. 6.28, А.

Решение. Нека изхвърлим опорите, като ги заменим с реакции Хь Y u Х 2, Y 2. След като съставихме уравнението на моментите около опорите и ги решихме, получаваме Y2-P , Y x = -P . Уравнение на проекцията върху хоризонталната ос P-X x + X 2 = 0 има две неизвестни. Нека приложим единична сила към десния край на рамката, както е показано на фиг. 6.28, д и построяване на диаграма на отделни моменти. На фиг. 6.28, vig Построени са диаграми на натоварване на огъващи моменти. Умножение по правилото

Ориз. 6.28

Верешчагин натоварване и единични диаграми, получаваме допълнително уравнение, необходимо за разкриване на статичната неопределеност на рамката.

Знакът минус в третия член възниква поради диаграмите на активната сила Р и единица сила са разположени от противоположните страни на оста на пръта.

След като извършихме изчисленията, получаваме , където. Минус в отговора означава, че реакцията X 2 насочени в обратна посока. След това намираме

В общия случай (пръчка с променливо напречно сечение, сложна система от товари) интегралът на Мор се определя чрез числено интегриране. В много практически важни случаи, когато твърдостта на сечението е постоянна по дължината на пръта, интегралът на Мор може да се изчисли с помощта на правилото на Верещагин. Нека разгледаме определението на интеграла на Мор в участъка от а до 6 (фиг. 9.18).

Ориз. 9.18. Правилото на Верещагин за изчисляване на интеграла на Мор

Диаграмите на момента от един фактор на силата се състоят от прави сегменти. Без загуба на общоприетост приемаме, че в рамките на района

където A и B са параметрите на линията:

Интегралът на Мор върху разглеждания участък с постоянно напречно сечение има формата

където F е площта под кривата (площта на диаграмата на огъващите моменти от външни сили в сечение z).

където е абсцисата на центъра на тежестта на площта.

Равенството (109) е валидно, когато знакът не се променя в областта и може да се разглежда като елемент от областта на диаграмата. Сега от отношенията (107)-(109) получаваме

Момент от единица товар в сечение

Помощна таблица за използване на правилото на Верешчагин е дадена на фиг. 9.19.

Бележки. 1. Ако диаграмата от действието на външни сили върху секция е линейна (например под действието на концентрирани сили и моменти), тогава правилото може да се приложи в обратна форма: умножете площта на диаграмата от a единичен фактор на силата по ординатата на диаграмата, съответстваща на центъра на тежестта на площта. Това следва от горното доказателство.

2. Правилото на Верещагин може да се разшири до интеграла на Мор в общ вид (уравнение (103)).

Ориз. 9.19. Площи и позиции на центровете на тежестта на моментните диаграми

Ориз. 9.20. Примери за определяне на ъглите на отклонение и въртене по правилото на Верещагин

Основното изискване е следното: в рамките на сечението вътрешните силови фактори от единичен товар трябва да бъдат линейни функции по оста на пръта (линейни диаграми!).

Примери. 1. Определете деформацията в точка А на конзолния прът под действието на концентриран момент М (фиг. 9.20, а).

Деформацията в точка А се определя по формулата (за краткост индексът е пропуснат)

Знакът минус се дължи на факта, че те имат различни знаци.

2. Определете деформацията в точка А на конзолния прът под действието на разпределено натоварване.

Деформацията се определя по формулата

Диаграмите на огъващия момент M и силата на срязване Q от външното натоварване са показани на фиг. 9.20, b, по-долу на тази фигура са диаграми под действието на единична сила. След това намираме

3. Определете деформацията в точка А и ъгъла на завъртане в точка В за двуопорна греда, натоварена със концентриран момент (фиг. 9.20.).

Деформацията се определя по формулата (пренебрегваме деформацията на срязване)

Тъй като диаграмата на момента от единица сила не е изобразена с една линия; след това разделяме интеграла на две части:

Ъгълът на завъртане в точка В е равен на

Коментирайте. От горните примери става ясно, че методът на Верешчагин в прости случаи ви позволява бързо да определите отклоненията и ъглите на въртене. Важно е само да се прилага едно правило за знаци за Ако при огъване на пръчка се съгласим да конструираме диаграми на огъващи моменти върху „опънато влакно“ (виж Фиг. 9.20), тогава веднага е лесно да се видят положителните и отрицателни стойности на моментите.

Специално предимство на правилото на Верещагин е, че може да се използва не само за пръти, но и за рамки (раздел 17).

Ограничения за прилагане на правилото на Верешчагин.

Тези ограничения следват от извеждането на формула (110), но нека отново им обърнем внимание.

1. Диаграмата на огъващия момент от единичен товар трябва да бъде под формата на една права линия. На фиг. 9.21 и показва случая, когато това условие не е изпълнено. Интегралът на Мор трябва да се изчисли отделно за секции I и II.

2. Моментът на огъване от външното натоварване в сечението трябва да има същия знак. На фиг. Фигура 9.21, b показва случая, когато правилото на Верешчагин трябва да се прилага за всеки раздел поотделно. Това ограничение не важи за момента от едно натоварване.

Ориз. 9.21. Ограничения при използване на правилото на Верещагин: а - диаграмата има прекъсване; b - диаграмата има различни знаци; c - прътът има различни секции

3. Коравината на пръта в дадена секция трябва да бъде постоянна, в противен случай интегрирането трябва да се разшири отделно до секции с постоянна коравина. Ограниченията на постоянната коравина могат да бъдат избегнати чрез начертаване на диаграми.