klasa: 10

Prezentacija za lekciju
































Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi lekcije: Proučavati stanje ravnoteže tijela, upoznati različite vrste ravnoteže; saznati uslove pod kojima je tijelo u ravnoteži.

Ciljevi lekcije:

  • edukativni: Proučiti dva uslova ravnoteže, tipove ravnoteže (stabilan, nestabilan, indiferentan). Saznajte pod kojim uslovima su tijela stabilnija.
  • edukativni: Promovirati razvoj kognitivnog interesa za fiziku. Razvoj vještina za upoređivanje, generalizaciju, isticanje glavne stvari, donošenje zaključaka.
  • edukativni: Negujte pažnju, sposobnost izražavanja i odbrane svog gledišta, razvijajte komunikacijske vještine studenti.

Vrsta lekcije: lekcija o učenju novog gradiva uz kompjutersku podršku.

Oprema:

  1. Disk „Rad i snaga“ iz „Elektronske lekcije i testovi.
  2. Tabela "Uslovi ravnoteže".
  3. Nagibna prizma sa viskom.
  4. Geometrijska tijela: cilindar, kocka, konus, itd.
  5. Računar, multimedijalni projektor, interaktivna tabla ili ekran.
  6. Prezentacija.

Tokom nastave

Danas ćemo u lekciji naučiti zašto ždral ne pada, zašto se igračka Vanka-Vstanka uvijek vraća u prvobitno stanje, zašto Krivi toranj u Pizi ne pada?

I. Ponavljanje i ažuriranje znanja.

  1. Navedite prvi Newtonov zakon. Na koji uslov se zakon odnosi?
  2. Na koje pitanje odgovara Njutnov drugi zakon? Formula i formulacija.
  3. Na koje pitanje odgovara Njutnov treći zakon? Formula i formulacija.
  4. Kolika je rezultujuća sila? Kako se ona nalazi?
  5. Sa diska “Kretanje i interakcija tijela” ispunite zadatak br. 9 “Rezultat sila različitih smjerova” (pravilo za sabiranje vektora (2, 3 vježbe)).

II. Učenje novog gradiva.

1. Šta se zove ravnoteža?

Ravnoteža je stanje mirovanja.

2. Uslovi ravnoteže.(slajd 2)

a) Kada tijelo miruje? Iz kog zakona ovo proizilazi?

Prvi uslov ravnoteže: Tijelo je u ravnoteži ako je geometrijski zbir spoljne sile, primijenjen na tijelo, jednak je nuli. ∑F = 0

b) Neka dvojica djeluju na tabli jednake sile, kao što je prikazano na slici.

Hoće li biti u ravnoteži? (Ne, ona će se okrenuti)

Samo centralna tačka miruje, ostali se kreću. To znači da je da bi tijelo bilo u ravnoteži, potrebno je da zbir svih sila koje djeluju na svaki element bude jednak 0.

Drugi uslov ravnoteže: Zbir momenata sila koje djeluju u smjeru kazaljke na satu mora biti jednak zbroju momenata sila koje djeluju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

∑ M u smjeru kazaljke na satu = ∑ M suprotno od kazaljke na satu

Moment sile: M = F L

L – krak sile – najkraća udaljenost od tačke oslonca do linije djelovanja sile.

3. Težište tijela i njegova lokacija.(slajd 4)

Telo težišta- to je tačka kroz koju prolazi rezultanta svih paralelnih sila gravitacije koje djeluju na pojedine elemente tijela (za bilo koji položaj tijela u prostoru).

Pronađite težište sljedećih figura:

4. Vrste ravnoteže.

A) (slajdovi 5–8)



zaključak: Ravnoteža je stabilna ako, uz malo odstupanje od ravnotežnog položaja, postoji sila koja teži da ga vrati u ovaj položaj.

Položaj u kojem se nalazi potencijalna energija minimalno. (slajd 9)

b) Stabilnost tijela smještenih na mjestu oslonca ili na liniji oslonca.(slajdovi 10–17)

zaključak: Za stabilnost tijela koje se nalazi u jednoj tački ili liniji oslonca, potrebno je da težište bude ispod tačke (linije) oslonca.

c) Stabilnost tijela koja se nalaze na ravnoj površini.

(slajd 18)

1) Potporna površina– ovo nije uvijek površina koja je u kontaktu sa tijelom (već ona koja je ograničena linijama koje spajaju noge stola, tronošca)

2) Analiza slajda iz „Elektronske lekcije i testovi“, disk „Rad i snaga“, lekcija „Vrste ravnoteže“.

Slika 1.

  1. Po čemu se stolice razlikuju? (područje podrške)
  2. Koji je stabilniji? (sa većom površinom)
  3. Po čemu se stolice razlikuju? (Lokacija centra gravitacije)
  4. Koji je najstabilniji? (koji je centar gravitacije niži)
  5. Zašto? (Zato što se može nagnuti pod veći ugao bez prevrtanja)

3) Eksperimentirajte sa otklonom prizmom

  1. Stavimo prizmu s viskom na ploču i počnimo je postepeno podizati za jednu ivicu. šta vidimo?
  2. Sve dok linija viska siječe površinu ograničenu osloncem, ravnoteža se održava. Ali čim vertikalna linija koja prolazi kroz centar gravitacije počne izlaziti izvan granica potporne površine, sve se prevrće.

Analiza slajdovi 19–22.

Zaključci:

  1. Tijelo koje ima najveću potporu je stabilno.
  2. Od dva tijela iste površine stabilno je ono čije je težište niže, jer može se nagnuti bez prevrtanja pod velikim uglom.

Analiza slajdovi 23–25.

Koji su brodovi najstabilniji? Zašto? (u kojoj se teret nalazi u skladištima, a ne na palubi)

Koji su automobili najstabilniji? Zašto? (Da bi se povećala stabilnost automobila pri skretanju, površina puta se naginje u smjeru skretanja.)

Zaključci: Ravnoteža može biti stabilna, nestabilna, indiferentna. Što je veća površina oslonca i niže težište, veća je stabilnost tijela.

III. Primena znanja o stabilnosti tela.

  1. Kojim specijalnostima su najpotrebnija znanja o ravnoteži tijela?
  2. Projektanti i konstruktori raznih konstrukcija ( visoke zgrade, mostovi, televizijski tornjevi, itd.)
  3. Cirkuski izvođači.
  4. Vozači i drugi profesionalci.

(slajdovi 28–30)

  1. Zašto se "Vanka-Vstanka" vraća u ravnotežni položaj pri bilo kom nagibu igračke?
  2. Zašto Kosi toranj u Pizi stoji pod uglom i ne pada?
  3. Kako biciklisti i motociklisti održavaju ravnotežu?

Zaključci sa lekcije:

  1. Postoje tri vrste ravnoteže: stabilna, nestabilna, indiferentna.
  2. Stabilan položaj tijela u kojem je njegova potencijalna energija minimalna.
  3. Što je veća površina oslonca i niže težište, veća je stabilnost tijela na ravnoj površini.

Zadaća: § 54 – 56 (G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky)

Korišteni izvori i literatura:

  1. G.Ya. Myakishev, B.B. Buhovcev, N.N. Socki. fizika. 10. razred.
  2. Filmska traka “Održivost” 1976. (skenirao sam na filmskom skeneru).
  3. Disk “Kretanje i interakcija tijela” iz “Elektronskih lekcija i testova”.
  4. Disk "Rad i snaga" iz "Elektronskih lekcija i testova".

Glavne vrste balansnih bodova

Neka je zadan linearni homogeni sistem drugog reda sa konstantnim koeficijentima: \[\left\( \begin(array)(l) \frac((dx))((dt)) = (a_(11))x + (a_ (12 ))y\\ \frac((dy))((dt)) = (a_(21))x + (a_(22))y \end(array) \right..\] Ovaj sistem jednadžbi je autonomna, budući da desne strane jednadžbe ne sadrže eksplicitno nezavisnu varijablu \(t.\)

IN matrični oblik sistem jednadžbi je zapisan kao \[ (\mathbf(X") = A\mathbf(X),\;\;\text(gdje)\;\;\mathbf(X) = \left((\begin( niz)( *(20)(c)) x\\ y \end(niz)) \desno),)\;\; (A = \left((\begin(niz)(*(20)(c) ) (( a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \right).) \] Položaji ravnoteže su iz rješenja stacionarne jednačine \ Ova jednačina ima jedinstveno rješenje \(\mathbf(X) = \mathbf(0),\) ako je matrica \(A\) nedegenerisan , tj. predviđeno \(\det A \ne 0.\) U slučaju singularna matrica sistem ima beskonačan broj tačaka ravnoteže.

Utvrđena je klasifikacija ravnotežnih pozicija sopstvene vrijednosti \((\lambda _1),(\lambda _2)\) matrice \(A.\) Brojevi \((\lambda _1),(\lambda _2)\) se nalaze iz rješenja karakteristična jednačina \[(\lambda ^2) - \left(((a_(11)) + (a_(22))) \desno)\lambda + (a_(11))(a_(22)) - (a_(12) ))(a_(21)) = 0.\] U opštem slučaju, kada je matrica \(A\) nesingularna, postoje \(4\) različite vrste tačaka ravnoteže:

Utvrđuje se stabilnost ravnotežnih položaja opšte teoreme o stabilnosti. Dakle, ako su stvarne svojstvene vrijednosti (ili stvarni dijelovi kompleksnih vlastitih vrijednosti) negativni, tada je ravnotežna točka asimptotski stabilan . Primjeri takvih ravnotežnih položaja su stabilan fokus .

Ako je realni dio barem jedne svojstvene vrijednosti pozitivan, tada je odgovarajući ravnotežni položaj nestabilno . Na primjer, moglo bi biti .

Konačno, u slučaju čisto imaginarnih korijena (ravnotežna tačka je centar) imamo posla sa klasičnom stabilnost u smislu Ljapunova .

Naš dalji cilj je proučavanje ponašanja rješenja u blizini ravnotežnih položaja. Za sisteme \(2\)-tog reda ovo je zgodno za grafički korištenje fazni portret , što je zbirka fazne trajektorije on koordinatna ravan. Strelice na faznim putanjama pokazuju smjer kretanja tačke (tj. neko specifično stanje sistema) tokom vremena.

Razmotrimo detaljnije svaku vrstu ravnotežne tačke i odgovarajuće fazne portrete.

Stabilan i nestabilan čvor

Vlastite vrijednosti \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) tačaka tipa "čvor" zadovoljavaju uslove: \[(\lambda _1),(\lambda _2) \in \Re, \;\;( \lambda _1) \cdot (\lambda _2) > 0.\] Ovdje se mogu pojaviti sljedeći posebni slučajevi.

Korijeni \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) su različiti \(\left(((\lambda _1) \ne (\lambda _2)) \desno)\) i negativni \(\ lijevo (((\lambda _1)
Konstruirajmo šematski fazni portret takve ravnotežne tačke. Neka je, radi određenosti, \(\left| ((\lambda _1)) \right|
Budući da su obje vlastite vrijednosti negativne, rješenje \(\mathbf(X) = \mathbf(0)\) je asimptotski stabilan . Ova ravnotežna pozicija se zove stabilan čvor . Na \(t \to \infty\) fazne krive teže ka nulu \(\mathbf(X) = \mathbf(0).\)

Pojasnimo smjer faznih trajektorija. Pošto je \[ (x\left(t \right) = (C_1)(V_(11))(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(12))(e^((\ lambda _2)t)),)\;\; (y\left(t\right) = (C_1)(V_(21))(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(22))(e^((\lambda _2) t)),) \] tada je izvod \(\large\frac((dy))((dx))\normalsize\) jednak \[\frac((dy))((dx)) = \frac ((( C_1)(V_(21))(\lambda _1)(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(22))(\lambda _2)(e^((\lambda _2)t ))))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1)(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2) (e^ ((\lambda _2)t)))).\] Podijelite brojilac i imenilac sa \(((e^((\lambda _1)t))):\) \[\frac((dy) )((dx )) = \frac(((C_1)(V_(21))(\lambda _1) + (C_2)(V_(22))(\lambda _2)(e^(\left(((\ lambda _2) - (\lambda _1)) \right)t))))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2)( e^(\ lijevo(((\lambda _2) - (\lambda _1)) \desno)t)))).\] U ovom slučaju \((\lambda _2) - (\lambda _1)
U slučaju \((C_1) = 0\), izvod za bilo koji \(t\) je jednak \[\frac((dy))((dx)) = \frac(((V_(22) )))((( V_(12)))),\] tj. fazna putanja leži na pravoj liniji usmjerenoj duž vlastitog vektora \((\mathbf(V)_2).\)

Sada razmotrimo ponašanje faznih putanja za \(t \do -\infty.\) Očigledno, koordinate \(x\left(t \right),y\left(t \right)\) teže beskonačnosti, a izvod \( \large\frac((dy))((dx))\normalsize\) za \((C_2) \ne 0\) ima sljedeći oblik: \[\frac((dy))(( dx)) = \frac (((C_1)(V_(21))(\lambda _1)(e^(\left(((\lambda _1) - (\lambda _2)) \desno)t)) + ( C_2)(V_(22 ))(\lambda _2)))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1)(e^(\left(((\lambda _1) - (\lambda _2) ) \right)t) ) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2))) = \frac(((V_(22))))(((V_(12)))),\] tj. fazne krive u tačkama u beskonačnosti postaju paralelne vektoru \((\mathbf(V)_2).\)

Prema tome, kada je \((C_2) = 0\) derivacija je jednaka \[\frac((dy))((dx)) = \frac(((V_(21))))(((V_(11) ))) ).\] U ovom slučaju, fazna putanja je određena smjerom vlastitog vektora \((\mathbf(V)_1).\)

Uzimajući u obzir razmatrana svojstva faznih putanja, fazni portret stabilan čvor ima oblik prikazan šematski na slici \(1.\)

Na sličan način se može proučavati ponašanje faznih putanja za druge vrste ravnotežnih položaja. Zatim ćemo, izostavljajući detaljnu analizu, izvršiti glavne kvalitativne karakteristike ostalih ravnotežnih tačaka.

Korijeni \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) su različiti \(\left(((\lambda _1) \ne (\lambda _2)) \desno)\) i pozitivni \(\ lijevo (((\lambda _1) > 0, (\lambda _2)) > 0\desno).\)
U ovom slučaju, tačka \(\mathbf(X) = \mathbf(0)\) se naziva nestabilan čvor . Njegov fazni portret prikazan je na slici \(2.\)

Imajte na umu da su i u slučaju stabilnih i nestabilnih čvorova, fazne putanje tangente na pravu liniju, koja je usmjerena duž svojstvenog vektora koji odgovara manjem apsolutna vrijednost vlastita vrijednost \(\lambda.\)

Dikritički čvor

Neka karakteristična jednadžba ima jedan nulti korijen višestrukosti \(2,\), tj. razmotrimo slučaj \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) \ne 0.\) U ovom slučaju sistem ima osnovu od dva svojstvena vektora, tj. geometrijski višestrukost svojstvene vrijednosti \(\lambda\) jednaka je \(2.\) U terminima linearna algebra to znači da je dimenzija svojstvenog podprostora matrice \(A\) jednaka \(2:\) \(\dim \ker A = 2.\) Ova situacija se realizuje u sistemima oblika \[ (\ frac((dx))((dt)) = \lambda x,)\;\; (\frac((dy))((dt)) = \lambda y.) \] Smjer faznih putanja zavisi od predznaka \(\lambda.\) Ovdje su moguća sljedeća dva slučaja:

Slučaj \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) Ova ravnotežna pozicija se naziva stabilan dikritički čvor (Slika \(3\)).

Slučaj \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) > 0.\) Ova kombinacija vlastitih vrijednosti odgovara nestabilan dikritički čvor (Slika \(4\)).

Degenerisani čvor

Neka su sopstvene vrijednosti matrice \(A\) opet iste: \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) \ne 0.\) Za razliku od prethodnog slučaja diktičkog čvora , pretpostavljamo da je geometrijska višestrukost vrijednosti vlastitih vrijednosti (ili drugim riječima, dimenzija svojstvenog podprostora) sada jednaka \(1.\) To znači da matrica \(A\) ima samo jedan svojstveni vektor \ ((\mathbf(V)_1).\) Drugi linearno nezavisni vektor, neophodan za sastavljanje baze, definiran je kao vektor \((\mathbf(W)_1),\) vezan za \((\mathbf( V)_1).\)

U slučaju \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) ravnotežna tačka se naziva stabilan degenerisani čvor (Slika \(5\)).

Kada je \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) > 0\) položaj ravnoteže se naziva nestabilan degenerisani čvor (Slika \(6\)).

Položaj ravnoteže je pod uslovima \[(\lambda _1),(\lambda _2) \in \Re,\;\;(\lambda _1) \cdot (\lambda _2) 0.\) Svojstvene vrijednosti \( (\lambda _1)\) i \((\lambda _2)\) pridruženi su odgovarajućim sopstvenim vektorima \((\mathbf(V)_1)\) i \((\mathbf(V)_2).\) linijama. usmjereni duž vlastitih vektora vektori \((\mathbf(V)_1),\) \((\mathbf(V)_2),\) se nazivaju separatrice . One su asimptote za preostale fazne putanje, koje imaju oblik hiperbole. Svaka od separatrica može biti povezana sa određenim smjerom kretanja. Ako je separatrica povezana s negativnom svojstvenom vrijednošću \((\lambda _1) 0,\) tj. za separatricu pridruženu vektoru \((\mathbf(V)_2),\) kretanje je usmjereno od početka. Fazni portret sedla je šematski prikazan na slici \(7.\)

Stabilan i nestabilan fokus

Neka su sada sopstvene vrijednosti \((\lambda _1),(\lambda _2)\) kompleksni brojevi , čiji realni dijelovi nisu jednaki nuli. Ako se matrica \(A\) sastoji od realni brojevi, tada će kompleksni korijeni biti predstavljeni u obliku kompleksni konjugat brojevi: \[(\lambda _(1,2)) = \alpha \pm i\beta .\] Hajde da saznamo kakav oblik imaju fazne putanje u blizini početka. Konstruirajmo kompleksno rješenje \((\mathbf(X)_1)\left(t \right)\) koje odgovara svojstvenoj vrijednosti \((\lambda _1) = \alpha + i\beta:\) \[ ((( \mathbf(X )_1)\left(t \right) = (e^((\lambda _1)t))(\mathbf(V)_1) ) = ((e^(\left((\alpha + i \beta ) \ desno)t))\left((\mathbf(U) + i\mathbf(W)) \desno),) \] gdje je \((\mathbf(V)_1) = \mathbf(U) + i\mathbf (W)\) je svojstveni vektor kompleksne vrijednosti povezan s brojem \((\lambda _1),\) \(\mathbf(U)\) i \(\mathbf(W)\) su realni vektorske funkcije. Kao rezultat transformacija, dobijamo \[ ((\mathbf(X)_1)\left(t \right) = (e^(\alpha t))(e^(i\beta t))\left(( \mathbf(U ) + i\mathbf(W)) \desno) ) = ((e^(\alpha t))\left((\cos \beta t + i\sin \beta t) \desno)\lijevo ((\mathbf (U) + i\mathbf(W)) \desno) ) = ((e^(\alpha t))\left((\mathbf(U)\cos \beta t + i\mathbf(U )\sin \ beta t + i\mathbf(W)\cos \beta t - \mathbf(W)\sin \beta t) \desno) ) = ((e^(\alpha t))\left((\ mathbf(U) \cos \beta t + - \mathbf(W)\sin \beta t) \desno) ) + (i(e^(\alpha t))\left((\mathbf(U)\sin \ beta t + \ mathbf(W)\cos \beta t) \right).) \] Realni i imaginarni dijelovi u posljednjem izrazu čine opće rješenje sistema, koje ima oblik: \[ (\mathbf(X )\left(t \right) = ( C_1)\text(Re)\left[ ((\mathbf(X)_1)\left(t \right)) \right] + (C_2)\text(Im)\ lijevo [ ((\mathbf(X)_1 )\left(t \desno)) \desno] ) = ((e^(\alpha t))\left[ ((C_1)\left((\mathbf(U) \cos \beta t - \mathbf(W )\sin \beta t) \desno)) \desno. ) + (\levo. ((C_2)\left((\mathbf(U)\sin \beta t + \ mathbf(W)\cos \beta t) \desno)) \desno] ) = ((e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\left(((C_1)\cos \beta t + (C_2)\sin \beta t) \desno)) \desno. ) + (\levo. (\mathbf(W)\left(((C_2)\cos \beta t - (C_1)\sin \beta t) \right)) \right].) \] Hajde da predstavimo konstante \(( C_1),(C_2)\) u obliku \[(C_1) = C\sin \delta ,\;\;(C_2) = C\cos \delta ,\] gdje je \(\delta\) neki pomoćni ugao. Tada se rješenje zapisuje kao \[ (\mathbf(X)\left(t \right) = C(e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\left((\sin \delta \ cos \ beta t + \cos \delta \sin \beta t) \desno)) \desno. ) + (\levo. (\mathbf(W)\left((\cos\delta \cos \beta t - \sin) \delta \sin \beta t) \right)) \right] ) = (C(e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\sin \left((\beta t + \delta ) \right )) \desno. + \left. (\mathbf(W)\cos \left((\beta t + \delta ) \right)) \right].) \] Dakle, rješenje \(\mathbf( X) \left(t \right)\) se proširuje preko baze određene vektorima \(\mathbf(U)\) i \(\mathbf(W):\) \[\mathbf(X)\left( t \right) = \mu \left(t \right)\mathbf(U) + \eta \left(t \right)\mathbf(W),\] gdje su koeficijenti proširenja \(\mu \left(t \ desno),\) \ (\eta \left(t \right)\) određene su formulama: \[ (\mu \left(t \right) = C(e^(\alpha t))\sin \ lijevo((\beta t + \delta ) \desno),)\;\; (\eta \left(t \desno) = C(e^(\alpha t))\cos\left((\beta t + \delta) \desno). ) \] Odavde je jasno da su fazne putanje spiralne. Kada \(\alpha stabilan fokus. Prema tome, za \(\alpha > 0\) imamo nestabilan fokus .

Smjer uvijanja spirala može se odrediti predznakom koeficijenta \((a_(21))\) u originalnoj matrici \(A.\) Zaista, razmotrite izvod \(\large\frac((dy ))((dt))\normalsize, \) na primjer, u tački \(\left((1,0) \right):\) \[\frac((dy))((dt))\left ((1,0) \desno) = (a_ (21)) \cdot 1 + (a_(22)) \cdot 0 = (a_(21)).\] Pozitivni koeficijent \((a_(21)) > 0\) odgovara uvrtanju spirala u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, kao što je prikazano na slici \(8.\) Za \((a_(21))
Dakle, uzimajući u obzir smjer uvijanja spirala, postoji ukupno \(4\) različitih tipova fokusa. Šematski su prikazani na slikama \(8-11.\)

Ako su svojstvene vrijednosti matrice \(A\) imaginarni brojevi, tada se ova ravnotežna pozicija naziva centar. Za matricu sa realnim elementima, imaginarne vlastite vrijednosti će biti kompleksno konjugirane. U slučaju centra, fazne putanje se formalno dobijaju iz jednadžbe spirala na \(\alpha = 0\) i predstavljaju elipse, tj. opisuju periodično kretanje tačke na faznoj ravni. Ravnotežne pozicije tipa "centar" su stabilne po Ljapunovu.

Moguća su dva tipa centara, koji se razlikuju u pravcu kretanja tačaka (slike \(12, 13\)). Kao iu slučaju spirala, smjer kretanja se može odrediti, na primjer, predznakom izvoda \(\large\frac((dy))((dt))\normalsize\) u bilo kojoj tački. Ako uzmemo tačku \(\left((1,0) \right),\) onda \[\frac((dy))((dt))\left((1,0) \right) = (a_ (21 )).\] tj. smjer rotacije je određen predznakom koeficijenta \((a_(21)).\)

Pa smo pogledali Razne vrste ravnotežne tačke u slučaju nesingularna matrica \(A\) \(\left((\det A \ne 0) \right).\) Uzimajući u obzir smjer faznih putanja, postoji \(13\) različitih faznih portreta, prikazanih, respektivno, na slikama \(1- 13.\)

A sada da pređemo na slučaj singularna matrica \(A.\)

Singularna matrica

Ako je matrica singularna, tada ima jednu ili obje vlastite vrijednosti jednake nuli. Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

Slučaj \((\lambda _1) \ne 0, (\lambda _2) = 0\).
Ovdje je opće rješenje zapisano kao \[\mathbf(X)\left(t \right) = (C_1)(e^((\lambda _1)t))(\mathbf(V)_1) + (C_2)( \ mathbf(V)_2),\] gdje je \((\mathbf(V)_1) = (\left(((V_(11)),(V_(21))) \desno)^T),\) \ ((\mathbf(V)_2) = (\left(((V_(12)),(V_(22))) \right)^T),\) su sopstveni vektori koji odgovaraju brojevima \((\lambda _1 )\) i \((\lambda _2).\) Ispada da se u ovom slučaju cijela prava linija koja prolazi kroz ishodište i usmjerena duž vektora \((\mathbf(V)_2),\) sastoji od ravnotežne tačke (ove tačke nemaju poseban naziv). Fazne trajektorije su zrake paralelne sa drugim sopstvenim vektorom \((\mathbf(V)_1).\) U zavisnosti od predznaka \((\lambda _1)\), kretanje na \(t \do \infty\) se dešava ili u pravcu prave \((\mathbf(V)_2)\) (sl.\(14\)), ili dalje od nje (sl.\(15\)). Slučaj \((\lambda _1) = (\lambda _2) = 0, \dim \ker A = 2.\)
U ovom slučaju, dimenzija svojstvenog podprostora matrice je jednaka \(2\) i, prema tome, postoje dva svojstvena vektora \((\mathbf(V)_1)\) i \((\mathbf(V) )_2).\) Ova situacija je moguća na nulta matrica \(A.\) Zajednička odluka izražava se formulom \[\mathbf(X)\left(t \right) = (C_1)(\mathbf(V)_1) + (C_2)(\mathbf(V)_2).\] Iz toga slijedi da je bilo koji. tačka u ravni je ravnotežni položaj sistema.

Slučaj \((\lambda _1) = (\lambda _2) = 0, \dim \ker A = 1.\)
Ovaj slučaj singularne matrice razlikuje se od prethodnog po tome što postoji samo \(1\) svojstveni vektor (matrica \(A\) u ovom slučaju će biti ne-nula). Za konstruisanje baze, kao drugog linearno nezavisnog vektora, možete uzeti vektor \((\mathbf(W)_1),\) vezan za \((\mathbf(V)_1).\) Opšte rešenje za vektor sistem je zapisan kao \[\mathbf (X)\left(t \right) = \left(((C_1) + (C_2)t) \right)(\mathbf(V)_1) + (C_2)(\mathbf (W)_1).\] Ovdje su sve tačke prave linije koje prolaze kroz početak i usmjerene duž svojstvenog vektora \((\mathbf(V)_1),\) nestabilne ravnotežne pozicije. Fazne putanje su prave linije paralelne sa \((\mathbf(V)_1).\) Smjer kretanja duž ovih pravih linija u \(t \do \infty\) zavisi od konstante \((C_2):\) na \(( C_2) 0\) - u suprotnom smjeru (sl.\(16\)).

Podsjetimo to nakon čega slijedi matrica je broj jednak zbiru dijagonalnih elemenata: \[ (A = \left((\begin(array)(*(20)(c)) ((a_(11)))&((a_(12) ))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \desno),)\;\; (\text(tr)\,A = (a_(11)) + (a_(22)),)\;\; (\det A = (a_(11))(a_(22)) - (a_(12))(a_(21)).) \] Zaista, karakteristična jednadžba matrice ima sljedeći oblik: \[( \lambda ^2 ) - \left(((a_(11)) + (a_(22))) \desno)\lambda + (a_(11))(a_(22)) - (a_(12))( a_(21) ) = 0.\] Može se napisati kroz determinantu i trag matrice: \[(\lambda ^2) - \text(tr)\,A \cdot \lambda + \det A = 0 .\] Diskriminatorno od ovoga kvadratna jednačina je određena relacijom \ Dakle, bifurkaciona kriva , omeđujući različite načine stabilnosti, je parabola na ravni \(\left((\text(tr)\,A,\det A) \desno)\) (Sl.\(17\)): \[\det A = (\left((\frac(\text(tr)\,A)(2)) \desno)^2).\] Iznad parabole postoje tačke ravnoteže kao što su fokus i centar. Tačke tipa "centar" nalaze se na pozitivnoj poluosi \(Oy,\), tj. pod uslovom \(\text(tr)\,A = 0.\) Ispod parabole nalaze se tačke tipa “čvor” ili “sedlo”. Sama parabola sadrži kritične ili degenerisane čvorove.

Stabilni načini kretanja postoje u gornjem lijevom kvadrantu bifurkacionog dijagrama. Preostala tri kvadranta odgovaraju nestabilnim pozicijama ravnoteže.

Algoritam za konstruisanje faznog portreta

Šematski konstruirati fazni portret linearne autonomni sistem\(2\)-ti red sa konstantnim koeficijentima \[ (\mathbf(X") = A\mathbf(X),)\;\; (A = \left((\begin(array)(*(20) ( c)) ((a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \right), ) \;\; (\mathbf(X) = \left((\begin(array)(*(20)(c)) x\\ y \end(array)) \right)) \] morate izvršiti sljedeće koraci:

    Pronađite svojstvene vrijednosti matrice rješavanjem karakteristične jednadžbe \[(\lambda ^2) - \left(((a_(11)) + (a_(22))) \desno)\lambda + (a_(11) ))(a_( 22)) - (a_(12))(a_(21)) = 0.\]

    Odredite vrstu ravnotežnog položaja i prirodu stabilnosti.

    Napomena: Tip ravnotežnog položaja može se odrediti i na osnovu bifurkacionog dijagrama (Sl.\(17\)), poznavajući trag i determinantu matrice: \[ (\text(tr)\,A = (a_( 11)) + (a_( 22)),)\;\; (\det A = \left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21))) &((a_(22))) \end(array)) \right| ) = ((a_(11))(a_(22)) - (a_(12))(a_(21)).) \]

    Nađi jednačinu izoklina: \[ (\frac((dx))((dt)) = (a_(11))x + (a_(12))y)\;\; (\levo(\text(vertikalna isoklina) \desno),) \] \[ (\frac((dy))((dt)) = (a_(21))x + (a_(22))y)\ ;\; (\lijevo(\text(horizontalna izoklina) \desno).) \]

    Ako je ravnotežni položaj čvor ili , tada je potrebno izračunati svojstvene vektore i nacrtati asimptote paralelno s njima koje prolaze kroz ishodište.

    Šematski nacrtajte fazni portret.

    Pokažite smjer kretanja duž faznih putanja (ovo ovisi o stabilnosti ili nestabilnosti ravnotežne točke). Kada fokus treba odrediti smjer uvijanja putanja. Ovo se može uraditi izračunavanjem vektora brzine \(\left((\large\frac((dx))((dt))\normalsize,\large\frac((dy))((dt))\normalsize) \ desno) \)u proizvoljnoj tački, na primjer, u tački \(\left((1,0) \right).\) Smjer kretanja se određuje na sličan način ako je ravnotežni položaj centar .

Opisani algoritam nije kruta shema. Prilikom proučavanja određenog sistema sasvim su prihvatljive različite varijacije i druge tehnike, koje u konačnici omogućavaju prikaz faznog portreta.

Grana mehanike u kojoj se proučavaju uslovi ravnoteže tijela naziva se statika. Najlakši način je da se u potpunosti uzmu u obzir uslovi ravnoteže solidan, tj. takvo tijelo čije se dimenzije i oblik mogu smatrati nepromijenjenim. Koncept apsolutno krutog tijela je apstrakcija, jer se sva stvarna tijela, pod utjecajem sila koje se na njih primjenjuju, deformiraju u jednom ili drugom stupnju, odnosno mijenjaju svoj oblik i veličinu. Veličina deformacija zavisi kako od sila koje se primenjuju na telo, tako i od svojstava samog tela - njegovog oblika i svojstava materijala od kojeg je napravljeno. U mnogim praktično važnim slučajevima deformacije su male i opravdana je upotreba pojmova apsolutno krutog tijela.

Model apsolutno krutog tijela. Međutim, malenost deformacija nije uvijek dovoljan uslov da se tijelo smatra apsolutno čvrstim. Da biste to ilustrirali, razmotrite sljedeći primjer. Daska koja leži na dva oslonca (slika 140a) može se smatrati apsolutno krutim tijelom, unatoč činjenici da se lagano savija pod utjecajem gravitacije. Doista, u ovom slučaju, uvjeti mehaničke ravnoteže omogućavaju određivanje reakcionih sila nosača bez uzimanja u obzir deformacije ploče.

Ali ako se ista ploča oslanja na iste nosače (Sl. 1406), onda je ideja o apsolutno krutom tijelu neprimjenjiva. Zapravo, neka vanjski oslonci budu na istoj horizontalnoj liniji, a srednji nešto niže. Ako je daska apsolutno čvrsta, odnosno uopšte se ne savija, onda uopšte ne vrši pritisak na srednji oslonac.Ako se daska savija, onda vrši pritisak na srednji oslonac, a što je veća deformacija, što je jači. Uslovi

Ravnoteža apsolutno krutog tijela u ovom slučaju ne dozvoljava nam da odredimo sile reakcije oslonaca, jer one dovode do dvije jednadžbe za tri nepoznate veličine.

Rice. 140. Reakcione sile koje djeluju na dasku koja leži na dva (a) i tri (b) oslonca

Takvi sistemi se nazivaju statički neodređeni. Za njihovo izračunavanje potrebno je uzeti u obzir elastična svojstva tijela.

Gornji primjer pokazuje da je primjenjivost modela apsolutno krutog tijela u statici određena ne toliko svojstvima samog tijela, koliko uvjetima u kojima se ono nalazi. Dakle, u razmatranom primjeru čak se i tanka slamka može smatrati apsolutno čvrstim tijelom ako leži na dva nosača. Ali čak i vrlo kruta greda ne može se smatrati apsolutno krutim tijelom ako se oslanja na tri oslonca.

Uslovi ravnoteže. Uslovi ravnoteže za apsolutno kruto tijelo su poseban slučaj dinamičke jednačine kada nema ubrzanja, iako je istorijski statika nastala iz potreba građevinske opreme skoro dva milenijuma pre dinamike. IN inercijski sistem referentna tačka, kruto tijelo je u ravnoteži ako vektorska suma svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo i vektorski zbir momenata tih sila jednak je nuli. Kada je ispunjen prvi uslov, ubrzanje centra mase tela je nula. Kada je ispunjen drugi uslov, nema ugaonog ubrzanja rotacije. Dakle, ako je tijelo u početnom trenutku mirovalo, onda će i dalje ostati u mirovanju.

U nastavku ćemo se ograničiti na proučavanje relativno jednostavnih sistema u kojima je sve aktivne snage leže u istoj ravni. U ovom slučaju, vektorski uslov

svodi na dva skalara:

ako pozicioniramo ose ravni djelovanja sila. Neke od vanjskih sila koje djeluju na tijelo uključene u ravnotežne uslove (1) mogu se specificirati, odnosno poznati su njihovi moduli i smjerovi. Što se tiče reakcionih sila veza ili oslonaca koje ograničavaju moguće kretanje tijela, one u pravilu nisu unaprijed određene i same su podložne određivanju. U nedostatku trenja, sile reakcije su okomite na dodirnu površinu tijela.

Rice. 141. Odrediti smjer reakcionih sila

Reakcione snage. Ponekad se pojavljuju sumnje u određivanju smjera sile reakcije veze, kao što je, na primjer, na sl. 141, koji pokazuje štap koji leži u tački A na glatkoj konkavnoj površini čaše i u tački B na oštroj ivici čaše.

Da biste odredili smjer reakcionih sila u ovom slučaju, možete mentalno lagano pomicati štap bez ometanja njegovog kontakta s čašom. Reakciona sila će biti usmjerena okomito na površinu duž koje kontaktna točka klizi. Dakle, u tački A sila reakcije koja djeluje na štap je okomita na površinu čaše, a u tački B je okomita na štap.

Trenutak snage. Moment M sile u odnosu na neku tačku

O se zove vektorski proizvod radijus vektor povučen od O do tačke primene sile, do vektora sile

Vektor M momenta sile je okomit na ravan u kojoj leže vektori

Jednačina momenata. Ako na tijelo djeluje više sila, onda se drugi uvjet ravnoteže povezan s momentima sila zapisuje u obliku

U ovom slučaju, tačka O iz koje se povlače radijus vektori mora biti odabrana tako da bude zajednička svim silama koje djeluju.

Za ravan sistem sila, vektori momenata svih sila su usmjereni okomito na ravan u kojoj sile leže, ako se momenti posmatraju u odnosu na tačku koja leži u istoj ravni. Stoga se vektorski uvjet (4) za momente svodi na jedan skalarni: u ravnotežnom položaju, algebarski zbir momenata svih vanjskih djelujućih sila jednak je nuli. Modul momenta sile u odnosu na tačku O jednak je proizvodu modula

sile na udaljenosti od tačke O do linije duž koje sila djeluje.U ovom slučaju, momenti koji teže rotaciji tijela u smjeru kazaljke na satu uzimaju se s istim predznakom, suprotno od kazaljke na satu - sa suprotnim predznakom. Izbor tačke u odnosu na koju se razmatraju momenti sila vrši se isključivo iz razloga pogodnosti: jednadžba momenata će biti jednostavnija, što više sila ima momente jednake nuli.

Primjer ravnoteže. Da bismo ilustrovali primenu uslova ravnoteže apsolutno krutog tela, razmotrimo sledeći primer. Lagane merdevine sastoje se od dva identična dela, pričvršćena na šarkama na vrhu i vezana užetom na dnu (Sl. 142). Odredimo kolika je sila zatezanja užeta, s kojim silama djeluju polovice ljestvi u šarki i s kojim silama pritiskaju pod, ako osoba težine R stoji u sredini jedne od njih.

Sistem koji se razmatra sastoji se od dva čvrsta tela - polovine lestvice, a uslovi ravnoteže se mogu primeniti i na sistem u celini i na njegove delove. Primjenjujući ravnotežne uslove na cijeli sistem u cjelini, mogu se naći sile reakcije poda i (Sl. 142). U nedostatku trenja, ove sile su usmjerene okomito prema gore i uvjet da vektorski zbir vanjskih sila bude jednak nuli (1) ima oblik

Uslov ravnoteže za momente vanjskih sila u odnosu na tačku A zapisuje se na sljedeći način:

gdje je dužina stepenica, ugao koji stepenice čine sa podom. Rješavajući sistem jednačina (5) i (6), nalazimo

Rice. 142. Vektorski zbir vanjskih sila i zbir momenata vanjskih sila u ravnoteži jednaki su nuli

Naravno, umjesto jednačine momenata (6) oko tačke A, mogla bi se napisati jednačina momenata oko tačke B (ili bilo koje druge tačke). Ovo bi rezultiralo sistemom jednačina koji je ekvivalentan korištenom sistemu (5) i (6).

Zatezna sila užeta i sila interakcije u šarki za razmatranje fizički sistem su interni i stoga se ne mogu odrediti iz ravnotežnih uslova cijelog sistema u cjelini. Za određivanje ovih sila potrebno je razmotriti ravnotežne uslove pojedinih delova sistema. Gde

uspješnim odabirom tačke u odnosu na koju se sastavlja jednadžba momenata sila, može se postići pojednostavljenje algebarski sistem jednačine. Tako, na primjer, u ovom sistemu možemo razmotriti uvjet ravnoteže momenata sila koje djeluju na lijevu polovinu stepeništa u odnosu na tačku C, gdje se nalazi šarka.

Sa ovim izborom tačke C, sile koje deluju na šarku neće biti uključene u ovaj uslov, i odmah nalazimo silu zatezanja užeta T:

gde, s obzirom da dobijamo

Uslov (7) znači da rezultanta sila T prolazi kroz tačku C, odnosno usmjerena je uz stepenice. Dakle, ravnoteža ove polovine merdevina je moguća samo ako je sila koja na nju deluje na šarku takođe usmerena duž merdevina (sl. 143), a njen modul je jednak modulu rezultujućih sila T i

Rice. 143. Linije djelovanja sve tri sile koje djeluju na lijevu polovinu stepeništa prolaze kroz jednu tačku

Apsolutna vrijednost sile koja djeluje u šarki na drugoj polovini ljestvice, na osnovu Njutnovog trećeg zakona, jednaka je i njen smjer je suprotan smjeru vektora.Smjer sile se može odrediti direktno iz Sl. 143, uzimajući u obzir da kada je tijelo u ravnoteži pod djelovanjem tri sile, linije duž kojih te sile djeluju seku se u jednoj tački. Zaista, razmotrimo tačku presjeka linija djelovanja dvije od ove tri sile i konstruirajmo jednadžbu momenata oko ove tačke. Momenti prve dvije sile oko ove tačke jednaki su nuli; To znači da i moment treće sile mora biti jednak nuli, što je u skladu sa (3) moguće samo ako i linija njenog djelovanja prolazi kroz ovu tačku.

Zlatno pravilo mehanike. Ponekad se problem statike može riješiti bez razmatranja uvjeta ravnoteže, već korištenjem zakona održanja energije u odnosu na mehanizme bez trenja: nijedan mehanizam ne daje dobit u radu. Ovaj zakon

nazvano zlatnim pravilom mehanike. Da bismo ilustrirali ovaj pristup, razmotrimo sljedeći primjer: težak teret težine P je okačen na bestežinski zglob sa tri karike (Sl. 144). Koju silu zatezanja mora izdržati spojne točke navoja A i B?

Rice. 144. Odrediti silu zatezanja navoja u šarki s tri karike koja nosi opterećenje težine P

Pokušajmo koristiti ovaj mehanizam za podizanje tereta P. Nakon što ste odvezali konac u tački A, povucite ga prema gore tako da se tačka B polako diže na rastojanje. Ova udaljenost je ograničena činjenicom da sila zatezanja konca T mora ostati nepromijenjena tokom kretanja. U ovom slučaju, kao što će biti jasno iz odgovora, sila T uopće ne ovisi o tome koliko je šarka stisnuta ili rastegnuta. Posao obavljen. Kao rezultat toga, opterećenje P raste do visine koja je, kao što je jasno iz geometrijskih razmatranja, jednaka Budući da u odsustvu trenja nema gubitaka energije, može se tvrditi da je promjena potencijalne energije tereta određena radom obavljenim tokom dizanja. Zbog toga

Očigledno, za šarku koja sadrži proizvoljan broj identičnih karika,

Nije teško pronaći silu zatezanja niti, a u slučaju kada je potrebno uzeti u obzir težinu same šarke, rad koji se obavlja pri podizanju treba izjednačiti sa zbirom promjena potencijalnih energija opterećenje i šarke. Za šarku identičnih karika, njeno središte mase raste za Prema tome

Formulisani princip (“ Zlatno pravilo mehanika") je primjenjiv i kada u toku procesa kretanja nema promjene potencijalne energije, a mehanizam se koristi za pretvaranje sile. Mjenjači, mjenjači, kapije, sistemi poluga i blokova - u svim takvim sistemima pretvorena sila se može odrediti izjednačavanjem rada pretvorene i primijenjene sile. Drugim riječima, u nedostatku trenja, omjer ovih sila određen je samo geometrijom uređaja.

Razmotrimo s ove tačke gledišta primjer sa merdevinama o kojem smo gore govorili. Naravno, korištenje ljestava kao mehanizma za podizanje, odnosno podizanje osobe približavanjem polovica ljestava, teško je preporučljivo. Međutim, to nas ne može spriječiti u primjeni opisane metode za pronalaženje sile zatezanja užeta. Izjednačavanje rada obavljenog kada se dijelovi ljestava spoje s promjenom potencijalne energije osobe na ljestvici i, iz geometrijskih razmatranja, povezivanje kretanja donjeg kraja ljestvi sa promjenom visine tereta (Sl. 145), dobijamo, kako bi se očekivalo, prethodno dati rezultat:

Kao što je već napomenuto, kretanje treba izabrati tako da se tokom procesa sila koja djeluje može smatrati konstantnom. Lako je vidjeti da u primjeru sa šarkom ovaj uvjet ne nameće ograničenja u kretanju, budući da sila zatezanja niti ne ovisi o kutu (Sl. 144). Naprotiv, u problemu stepenica pomak treba izabrati da bude mali, jer sila zatezanja užeta zavisi od ugla a.

Stabilnost ravnoteže. Ravnoteža može biti stabilna, nestabilna i indiferentna. Ravnoteža je stabilna (sl. 146a) ako pri malim pomeranjima tela iz ravnotežnog položaja delujuće sile teže da ga vrate nazad, a nestabilna (sl. 1466) ako ga sile odvode dalje od ravnotežnog položaja.

Rice. 145. Pokreti donjih krajeva merdevina i kretanje tereta kada se polovice merdevina spoje

Rice. 146. Stabilna (a), nestabilna (b) i indiferentna (c) ravnoteža

Ako su pri malim pomacima sile koje djeluju na tijelo i njihovi momenti i dalje uravnoteženi, tada je ravnoteža indiferentna (slika 146c). U indiferentnoj ravnoteži, ravnotežni su i susjedni položaji tijela.

Razmotrimo primjere proučavanja stabilnosti ravnoteže.

1. Stabilna ravnoteža odgovara minimalnoj potencijalnoj energiji tijela u odnosu na njegove vrijednosti u susjednim položajima tijela. Ovo svojstvo je često zgodno za korištenje pri pronalaženju položaja ravnoteže i prilikom proučavanja prirode ravnoteže.

Rice. 147. Stabilnost ravnoteže tijela i položaja centra mase

Vertikalni samostojeći stub je u stabilnoj ravnoteži, jer se pri malim nagibima njegovo težište diže. To se događa sve dok vertikalna projekcija centra mase ne pređe područje oslonca, tj. kut odstupanja od vertikale ne prelazi određenu maksimalnu vrijednost. Drugim riječima, područje stabilnosti se proteže od minimalne potencijalne energije (u vertikalnom položaju) do maksimuma koji joj je najbliži (slika 147). Kada se centar mase nalazi tačno iznad granice površine oslonca, stub je takođe u ravnoteži, ali nestabilan. Horizontalno ležeći stub odgovara mnogo širem rasponu stabilnosti.

2. Postoje dvije okrugle olovke poluprečnika i jedna je postavljena horizontalno, druga je na njoj balansirana u horizontalnom položaju tako da su osi olovaka međusobno okomite (sl. 148a). U kom odnosu poluprečnika je ravnoteža stabilna? Pod kojim najvećim uglom se gornja olovka može nagnuti od horizontale? Koeficijent trenja olovaka jedne o druge je jednak

Na prvi pogled može izgledati da je ravnoteža gornje olovke općenito nestabilna, jer centar mase gornje olovke leži iznad ose oko koje se može rotirati. Međutim, ovdje položaj osi rotacije ne ostaje nepromijenjen, pa ovaj slučaj zahtijeva posebno proučavanje. Budući da je gornja olovka uravnotežena u horizontalnom položaju, centri mase olovaka leže na ovoj vertikali (Sl.).

Nagnimo gornju olovku pod određenim uglom od horizontale. U nedostatku statičkog trenja, odmah bi kliznuo prema dolje. Kako za sada ne bismo razmišljali o mogućem proklizavanju, pretpostavit ćemo da je trenje prilično veliko. U ovom slučaju, gornja olovka se „kotrlja“ preko donje bez klizanja. Tačka oslonca iz pozicije A se pomera u novi položaj C, a tačka u kojoj je gornja olovka naslonjena na donju pre odstupanja

ide u poziciju B. Pošto nema klizanja, dužina luka je jednaka dužini segmenta

Rice. 148. Gornja olovka je horizontalno uravnotežena na donju olovku (a); na proučavanje stabilnosti ravnoteže (b)

Centar mase gornje olovke se pomiče u položaj . Ako vertikalna linija povučena prolazi lijevo od nove tačke oslonca C, tada gravitacija teži da vrati gornju olovku u njen ravnotežni položaj.

Izrazimo ovaj uslov matematički. Povlačeći vertikalnu liniju kroz tačku B, vidimo da uslov mora biti ispunjen

Pošto iz uslova (8) dobijamo

Budući da će sila gravitacije težiti da gornju olovku vrati u ravnotežni položaj samo pri Dakle, stabilna ravnoteža gornje olovke na donjoj je moguća samo kada je njen polumjer manji od polumjera donje olovke.

Uloga trenja. Da biste odgovorili na drugo pitanje, morate saznati koji razlozi ograničavaju dopušteni kut odstupanja. Prvo, pri velikim uglovima otklona, ​​vertikala povučena kroz centar mase gornje olovke može proći desno od tačke oslonca C. Iz uslova (9) je jasno da je za dati odnos poluprečnika olovaka maksimalni ugao otklona

Jesu li uvjeti ravnoteže krutog tijela uvijek dovoljni za određivanje reakcionih sila?

Kako se praktično može odrediti smjer reakcionih sila u odsustvu trenja?

Kako možete koristiti zlatno pravilo mehanike kada analizirate ravnotežne uslove?

Ako je u šarki prikazanoj na sl. 144, ne povežite navojem tačke A i B, već tačke A i C, kolika će onda biti njena sila zatezanja?

Kako je stabilnost ravnoteže sistema povezana sa njegovom potencijalnom energijom?

Koji uvjeti određuju maksimalni ugao otklona tijela koje počiva na ravni u tri tačke tako da se njegova stabilnost ne izgubi?

Da bismo procenili ponašanje tela u realnim uslovima, nije dovoljno znati da je ono u ravnoteži. Još treba da procenimo ovu ravnotežu. Postoje stabilna, nestabilna i indiferentna ravnoteža.

Balans tijela se zove održivo, ako pri odstupanju od njega nastaju sile koje vraćaju tijelo u ravnotežni položaj (sl. 1 pozicija 2). U stabilnoj ravnoteži, centar gravitacije tijela zauzima najniži od svih obližnjih položaja. Položaj stabilne ravnoteže povezan je sa minimumom potencijalne energije u odnosu na sve bliske susjedne položaje tijela.

Balans tijela se zove nestabilno, ako uz najmanje odstupanje od njega rezultanta sila koje djeluju na tijelo uzrokuje dalje odstupanje tijela od ravnotežnog položaja (Sl. 1, pozicija 1). U nestabilnom ravnotežnom položaju visina težišta je maksimalna, a potencijalna energija maksimalna u odnosu na druge bliske položaje tijela.

Ravnoteža, u kojoj pomicanje tijela u bilo kojem smjeru ne uzrokuje promjenu sila koje na njega djeluju i održava se ravnoteža tijela, naziva se indiferentan(Sl. 1 pozicija 3).

Indiferentna ravnoteža je povezana sa konstantnom potencijalnom energijom svih bliskih stanja, a visina centra gravitacije je ista u svim dovoljno bliskim položajima.

Tijelo sa osom rotacije (na primjer, jednolično ravnalo koje može rotirati oko ose koja prolazi kroz tačku O, prikazano na slici 2) je u ravnoteži ako okomita prava linija koja prolazi kroz težište tijela prolazi kroz osa rotacije. Štaviše, ako je težište C više od ose rotacije (slika 2.1), tada za bilo koje odstupanje od ravnotežnog položaja, potencijalna energija opada i moment gravitacije u odnosu na osu O odbija tijelo dalje od ravnoteže. ravnotežni položaj. Ovo je nestabilna ravnotežna pozicija. Ako je centar gravitacije ispod ose rotacije (slika 2.2), onda je ravnoteža stabilna. Ako se centar gravitacije i osa rotacije poklapaju (sl. 2,3), tada je ravnotežni položaj indiferentan.

Tijelo koje ima površinu oslonca je u ravnoteži ako okomita linija koja prolazi kroz težište tijela ne prelazi područje oslonca ovog tijela, tj. izvan konture koju formiraju tačke dodira tijela sa osloncem. Ravnoteža u ovom slučaju ne zavisi samo od udaljenosti između centra gravitacije i oslonca (tj. od njegove potencijalne energije u gravitacionom polju Zemlje), ali i na lokaciji i veličini potporne površine ovog tijela.

Slika 2 prikazuje tijelo u obliku cilindra. Ako je nagnut pod malim uglom, vratit će se u prvobitni položaj 1 ili 2. Ako je nagnut pod uglom (pozicija 3), tijelo će se prevrnuti. Za datu masu i površinu oslonca stabilnost tijela je veća, što je niže smješteno njegovo težište, tj. što je manji ugao između prave linije koja povezuje težište tela i krajnje tačke kontakta površine oslonca sa horizontalnom ravninom.

U statici apsolutno krutog tijela razlikuju se tri tipa ravnoteže.

1. Zamislite loptu koja se nalazi na konkavnoj površini. U položaju prikazanom na sl. 88, lopta je u ravnoteži: reakciona sila oslonca uravnotežuje silu gravitacije .

Ako je lopta skrenuta iz ravnotežnog položaja, tada vektorski zbroj sila gravitacije i reakcije oslonca više nije jednak nuli: nastaje sila , koji teži da vrati loptu u njenu prvobitnu ravnotežnu poziciju (do tačke O).

Ovo je primjer stabilne ravnoteže.

S u t i a t i o n Ova vrsta ravnoteže naziva se, pri izlasku iz koje nastaju sile ili momenti sila koje teže da vrate tijelo u ravnotežni položaj.

Potencijalna energija lopte u bilo kojoj tački na konkavnoj površini veća je od potencijalne energije u ravnotežnom položaju (u tački O). Na primjer, u tački A(Sl. 88) potencijalna energija je veća od potencijalne energije u nekoj tački O po iznosu E P ( A) - E n(0) = mgh.

U položaju stabilne ravnoteže, potencijalna energija tijela ima minimalnu vrijednost u odnosu na susjedne položaje.

2. Lopta na konveksnoj površini nalazi se u ravnotežnom položaju u gornjoj tački (slika 89), gdje je sila gravitacije uravnotežena reakcijskom silom oslonca. Ako odbijete loptu od tačke O, tada se pojavljuje sila usmjerena od ravnotežnog položaja.

Pod uticajem sile, lopta će se udaljiti od tačke O. Ovo je primjer nestabilne ravnoteže.

Nestabilno Ova vrsta ravnoteže naziva se, pri izlasku iz koje nastaju sile ili momenti sila koje teže da odvedu tijelo još dalje od ravnotežnog položaja.

Potencijalna energija lopte na konveksnoj površini je najveća vrijednost(maksimum) u tački O. U bilo kojoj drugoj tački potencijalna energija lopte je manja. Na primjer, u tački A(Sl. 89) potencijalna energija je manja nego u tački O, po iznosu E P ( 0 ) - E p ( A) = mgh.

U nestabilnom ravnotežnom položaju, potencijalna energija tijela ima maksimalnu vrijednost u odnosu na susjedne položaje.

3. Na horizontalnoj površini, sile koje djeluju na loptu su uravnotežene u bilo kojoj tački: (Sl. 90). Ako, na primjer, pomjerite loptu sa tačke O upravo A, zatim rezultantna sila
gravitacija i reakcija tla su i dalje nula, tj. u tački A lopta je takođe u ravnotežnom položaju.

Ovo je primjer indiferentne ravnoteže.

Ravnodušni Ova vrsta ravnoteže naziva se, po izlasku iz koje tijelo ostaje u novom položaju u ravnoteži.

Potencijalna energija lopte u svim tačkama horizontalne površine (slika 90) je ista.

U položajima indiferentne ravnoteže potencijalna energija je ista.

Ponekad je u praksi potrebno odrediti vrstu ravnoteže tijela raznih oblika u polju gravitacije. Da biste to učinili, morate zapamtiti slijedeći pravila:

1. Tijelo može biti u položaju stabilne ravnoteže ako je tačka primjene sile reakcije tla iznad centra gravitacije tijela. Štaviše, ove tačke leže na istoj vertikali (Sl. 91).

Na sl. 91, b Ulogu sile reakcije potpore igra sila zatezanja niti.

2. Kada je tačka primene sile reakcije tla ispod centra gravitacije, moguća su dva slučaja:

Ako je oslonac točkast (površina oslonca je mala), onda je ravnoteža nestabilna (Sl. 92). Uz neznatno odstupanje od ravnotežnog položaja, moment sile teži povećanju odstupanja od početnog položaja;

Ako je oslonac netočkast (površina oslonca je velika), tada je ravnotežni položaj stabilan u slučaju kada je linija djelovanja gravitacije aa" presijeca površinu oslonca tijela
(Sl. 93). U tom slučaju, uz neznatno odstupanje tijela od ravnotežnog položaja, dolazi do momenta sile i koji vraća tijelo u prvobitni položaj.


??? ODGOVORI NA PITANJA:

1. Kako se mijenja položaj težišta tijela ako se tijelo ukloni iz položaja: a) stabilne ravnoteže? b) nestabilna ravnoteža?

2. Kako se mijenja potencijalna energija tijela ako se njegov položaj promijeni u indiferentnoj ravnoteži?