Odjeljci: Matematika

klasa: 11

Lekcija 1

Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)

Pojednostavljenje trigonometrijski izrazi.

Najjednostavnije rješenje trigonometrijske jednačine. (2 sata)

Ciljevi:

  • Sistematizirati, generalizirati, proširiti znanja i vještine učenika u vezi sa upotrebom trigonometrijskih formula i rješavanjem jednostavnih trigonometrijskih jednačina.

Oprema za nastavu:

Struktura lekcije:

  1. Organizacioni momenat
  2. Testiranje na laptopovima. Diskusija o rezultatima.
  3. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza
  4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
  5. Samostalan rad.
  6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaćeg zadatka.

1. Organizacioni momenat. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa, podsjeća ih da su prethodno dobili zadatak da ponove trigonometrijske formule i priprema učenike za testiranje.

2. Testiranje. (15 min + 3 min diskusije)

Cilj je provjeriti znanje trigonometrijske formule i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima laptop sa verzijom testa.

Može biti bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje proizvoda u zbir

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog ugla

7. 2sin5x cos5x;

e) formule za poluuglove

f) formule trostrukog ugla

g) univerzalna supstitucija

h) smanjenje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici vide svoje odgovore na laptopu pored svake formule.

Rad se odmah provjerava kompjuterom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ga svi mogli vidjeti.

Takođe, po završetku rada, tačni odgovori se prikazuju na laptopovima učenika. Svaki učenik vidi gdje je napravljena greška i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, uvježbati i konsolidirati korištenje osnovnih trigonometrijskih formula. Rješavanje zadataka B7 sa Jedinstvenog državnog ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih učenika (samostalan rad uz naknadno testiranje) i slabih učenika koji rade sa nastavnikom.

Zadatak za jake studente (unaprijed pripremljen na štampanoj osnovi). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog ugla, prema Jedinstvenom državnom ispitu 2011.

Pojednostavite izraze (za jake učenike):

Istovremeno, nastavnik radi sa slabim učenicima, raspravljajući i rješavajući zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Pojednostavite:

Bilo je vrijeme da se razgovara o rezultatima rada jake grupe.

Odgovori se pojavljuju na ekranu, a takođe, pomoću video kamere, rad 5 različiti studenti(po jedan zadatak za svakog).

Slaba grupa vidi stanje i način rješenja. Diskusija i analiza su u toku. Uz korištenje tehničkih sredstava to se događa brzo.

4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (30 min.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina i zapisati njihove korijene. Rješenje problema B3.

Svaka trigonometrijska jednadžba, bez obzira kako je riješimo, vodi do najjednostavnije.

Prilikom rješavanja zadatka učenici treba da obrate pažnju na zapisivanje korijena jednačina posebnih slučajeva i opšti pogled i o izboru korijena u posljednjoj jednadžbi.

Riješite jednačine:

Zapišite najmanji pozitivan korijen kao odgovor.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je testirati stečene vještine, identificirati probleme, greške i načine za njihovo otklanjanje.

Rad na više nivoa se nudi na izbor studenta.

Opcija "3"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednačinu

Opcija za "4"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Riješite jednačinu Zapišite najmanji pozitivan korijen u svom odgovoru.

Opcija "5"

1) Pronađite tanα ako

2) Pronađite korijen jednačine Zapišite najmanji pozitivan korijen kao odgovor.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik sumira činjenicu da su tokom časa ponavljali i pojačavali trigonometrijske formule i rješavali najjednostavnije trigonometrijske jednačine.

Set zadaća(unaprijed pripremljeno na štampanoj osnovi) uz provjeru na licu mjesta na sljedećem času.

Riješite jednačine:

9)

10) U svom odgovoru navedite najmanji pozitivni korijen.

Lekcija 2

Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Odabir korijena. (2 sata)

Ciljevi:

  • Uopštiti i sistematizirati znanja o rješavanju trigonometrijskih jednačina različitih tipova.
  • Promovišite razvoj matematičko razmišljanje učenika, sposobnost zapažanja, poređenja, generalizacije, klasifikacije.
  • Podsticati učenike na prevazilaženje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu i introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za nastavu: KRMu, laptop za svakog učenika.

Struktura lekcije:

  1. Organizacioni momenat
  2. Diskusija o d/z i sebi. rad od prosle lekcije
  3. Pregled metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
  4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
  5. Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
  6. Samostalan rad.
  7. Sažetak lekcije. Zadaća.

1. Organizacioni trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa i plan rada.

2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)

Cilj je provjeriti izvršenje. Jedan rad se prikazuje na ekranu pomoću video kamere, a ostali se selektivno prikupljaju za provjeru nastavnika.

b) Analiza samostalnog rada (3 min.)

Cilj je analizirati greške i ukazati na načine za njihovo prevazilaženje.

Odgovori i rješenja su na ekranu, a učenicima se unaprijed daje rad. Analiza se odvija brzo.

3. Pregled metoda rješavanja trigonometrijskih jednačina (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednačina znaju. Naglasite da postoje takozvane osnovne (često korištene) metode:

a primjenjuju se i metode:

  • koristeći formule za pretvaranje sume u proizvod i proizvoda u zbir,
  • prema formulama smanjenje stepena,
  • univerzalna trigonometrijska supstitucija
  • uvođenje pomoćnog ugla,
  • množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.

Također treba podsjetiti da se jedna jednačina može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednačina (30 min.)

Cilj je generalizacija i konsolidacija znanja i vještina na ovu temu, priprema za C1 rješenje iz Jedinstvenog državnog ispita.

Smatram da je preporučljivo rješavati jednačine za svaku metodu zajedno sa učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik ga zapisuje na tablet, a cijeli proces se prikazuje na ekranu. Ovo će vam omogućiti da se brzo i efikasno prisjetite prethodno obrađenog materijala u vašem sjećanju.

Riješite jednačine:

1) zamjenom varijable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogena jednačine greha 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje sume u proizvod cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje proizvoda u zbir 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) smanjenje stepena sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Prilikom rješavanja ove jednačine treba napomenuti da korištenjem ovu metodu dovodi do sužavanja opsega definicije, jer su sinus i kosinus zamijenjeni sa tg(x/2). Stoga, prije nego što napišete odgovor, trebate provjeriti da li su brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog ugla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Budući da u uslovima žestoke konkurencije pri upisu na fakultete nije dovoljno samo rješavanje prvog dijela ispita, većina studenata treba da obrati pažnju na zadatke drugog dijela (C1, C2, C3).

Stoga je cilj ove faze lekcije zapamtiti prethodno proučeno gradivo i pripremiti se za rješavanje zadatka C1 sa Jedinstvenog državnog ispita 2011.

Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima morate odabrati korijene kada pišete odgovor. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz pod parnim korijenom nije negativan, izraz pod predznakom logaritma je pozitivan, itd.

Takve jednačine se smatraju jednadžbama povećane složenosti i in verzija Jedinstvenog državnog ispita nalaze se u drugom dijelu, odnosno C1.

Riješite jednačinu:

Razlomak je jednak nuli ako je tada korišćenjem jedinični krug izaberimo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobijamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je izbor korena prikazan u krugu u slici u boji.

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk ne gubi svoje značenje. Onda

Koristeći jedinični krug, biramo korijene (vidi sliku 2)

Odjeljci: Matematika

klasa: 11

Lekcija 1

Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)

Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza.

Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)

Ciljevi:

  • Sistematizirati, generalizirati, proširiti znanja i vještine učenika u vezi sa upotrebom trigonometrijskih formula i rješavanjem jednostavnih trigonometrijskih jednačina.

Oprema za nastavu:

Struktura lekcije:

  1. Organizacioni momenat
  2. Testiranje na laptopovima. Diskusija o rezultatima.
  3. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza
  4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
  5. Samostalan rad.
  6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaćeg zadatka.

1. Organizacioni momenat. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa, podsjeća ih da su prethodno dobili zadatak da ponove trigonometrijske formule i priprema učenike za testiranje.

2. Testiranje. (15 min + 3 min diskusije)

Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima laptop sa verzijom testa.

Može biti bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje proizvoda u zbir

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog ugla

7. 2sin5x cos5x;

e) formule za poluuglove

f) formule trostrukog ugla

g) univerzalna supstitucija

h) smanjenje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici vide svoje odgovore na laptopu pored svake formule.

Rad se odmah provjerava kompjuterom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ga svi mogli vidjeti.

Takođe, po završetku rada, tačni odgovori se prikazuju na laptopovima učenika. Svaki učenik vidi gdje je napravljena greška i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, uvježbati i konsolidirati korištenje osnovnih trigonometrijskih formula. Rješavanje zadataka B7 sa Jedinstvenog državnog ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih učenika (samostalan rad uz naknadno testiranje) i slabih učenika koji rade sa nastavnikom.

Zadatak za jake studente (unaprijed pripremljen na štampanoj osnovi). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog ugla, prema Jedinstvenom državnom ispitu 2011.

Pojednostavite izraze (za jake učenike):

Istovremeno, nastavnik radi sa slabim učenicima, raspravljajući i rješavajući zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Pojednostavite:

Bilo je vrijeme da se razgovara o rezultatima rada jake grupe.

Odgovori se pojavljuju na ekranu, a uz pomoć video kamere se prikazuje rad 5 različitih učenika (po jedan zadatak za svakog).

Slaba grupa vidi stanje i način rješenja. Diskusija i analiza su u toku. Uz korištenje tehničkih sredstava to se događa brzo.

4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (30 min.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina i zapisati njihove korijene. Rješenje problema B3.

Svaka trigonometrijska jednadžba, bez obzira kako je riješimo, vodi do najjednostavnije.

Prilikom rješavanja zadatka učenici treba da obrate pažnju na pisanje korijena jednačina posebnih slučajeva i opšteg oblika i na odabir korijena u posljednjoj jednačini.

Riješite jednačine:

Zapišite najmanji pozitivan korijen kao odgovor.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je testirati stečene vještine, identificirati probleme, greške i načine za njihovo otklanjanje.

Rad na više nivoa se nudi na izbor studenta.

Opcija "3"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednačinu

Opcija za "4"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Riješite jednačinu Zapišite najmanji pozitivan korijen u svom odgovoru.

Opcija "5"

1) Pronađite tanα ako

2) Pronađite korijen jednačine Zapišite najmanji pozitivan korijen kao odgovor.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik sumira činjenicu da su tokom časa ponavljali i pojačavali trigonometrijske formule i rješavali najjednostavnije trigonometrijske jednačine.

Domaća zadaća se zadaje (unaprijed pripremljena na štampanoj osnovi) sa nasumičnom provjerom na sljedećem času.

Riješite jednačine:

9)

10) U svom odgovoru navedite najmanji pozitivni korijen.

Lekcija 2

Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Odabir korijena. (2 sata)

Ciljevi:

  • Uopštiti i sistematizirati znanja o rješavanju trigonometrijskih jednačina različitih tipova.
  • Promovirati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnost zapažanja, poređenja, generalizacije i klasifikacije.
  • Podsticati učenike na prevazilaženje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu i introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za nastavu: KRMu, laptop za svakog učenika.

Struktura lekcije:

  1. Organizacioni momenat
  2. Diskusija o d/z i sebi. rad od prosle lekcije
  3. Pregled metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
  4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
  5. Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
  6. Samostalan rad.
  7. Sažetak lekcije. Zadaća.

1. Organizacioni trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa i plan rada.

2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)

Cilj je provjeriti izvršenje. Jedan rad se prikazuje na ekranu pomoću video kamere, a ostali se selektivno prikupljaju za provjeru nastavnika.

b) Analiza samostalnog rada (3 min.)

Cilj je analizirati greške i ukazati na načine za njihovo prevazilaženje.

Odgovori i rješenja su na ekranu, a učenicima se unaprijed daje rad. Analiza se odvija brzo.

3. Pregled metoda rješavanja trigonometrijskih jednačina (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednačina znaju. Naglasite da postoje takozvane osnovne (često korištene) metode:

  • varijabilna zamjena,
  • faktorizacija,
  • homogene jednadžbe,

a primjenjuju se i metode:

  • koristeći formule za pretvaranje sume u proizvod i proizvoda u zbir,
  • prema formulama za smanjenje stepena,
  • univerzalna trigonometrijska supstitucija
  • uvođenje pomoćnog ugla,
  • množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.

Također treba podsjetiti da se jedna jednačina može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednačina (30 min.)

Cilj je generalizacija i konsolidacija znanja i vještina na ovu temu, priprema za C1 rješenje iz Jedinstvenog državnog ispita.

Smatram da je preporučljivo rješavati jednačine za svaku metodu zajedno sa učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik ga zapisuje na tablet, a cijeli proces se prikazuje na ekranu. Ovo će vam omogućiti da se brzo i efikasno prisjetite prethodno obrađenog materijala u vašem sjećanju.

Riješite jednačine:

1) zamjenom varijable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje sume u proizvod cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje proizvoda u zbir 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) smanjenje stepena sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe treba napomenuti da korištenje ove metode dovodi do sužavanja raspona definicije, jer su sinus i kosinus zamijenjeni sa tg(x/2). Stoga, prije nego što napišete odgovor, trebate provjeriti da li su brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog ugla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Budući da u uslovima žestoke konkurencije pri upisu na fakultete nije dovoljno samo rješavanje prvog dijela ispita, većina studenata treba da obrati pažnju na zadatke drugog dijela (C1, C2, C3).

Stoga je cilj ove faze lekcije zapamtiti prethodno proučeno gradivo i pripremiti se za rješavanje zadatka C1 sa Jedinstvenog državnog ispita 2011.

Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima morate odabrati korijene kada pišete odgovor. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz pod parnim korijenom nije negativan, izraz pod predznakom logaritma je pozitivan, itd.

Takve jednačine se smatraju jednadžbama povećane složenosti iu verziji Jedinstvenog državnog ispita nalaze se u drugom dijelu, odnosno C1.

Riješite jednačinu:

Razlomak je jednak nuli ako je tada pomoću jediničnog kruga izabraćemo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobijamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je izbor korena prikazan u krugu u slici u boji.

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk ne gubi svoje značenje. Onda

Koristeći jedinični krug, biramo korijene (vidi sliku 2)

Slika 2.

5)

Idemo na sistem:

U prvoj jednadžbi sistema pravimo zamenu log 2 (sinx) = y, zatim dobijamo jednačinu , vratimo se sistemu

pomoću jediničnog kruga biramo korijene (vidi sliku 5),

Slika 5.

6. Samostalni rad (15 min.)

Cilj je konsolidirati i provjeriti asimilaciju gradiva, identificirati greške i ukazati na načine za njihovo ispravljanje.

Rad se nudi u tri verzije, unapred pripremljene na štampanoj osnovi, na izbor studenata.

Jednačine možete rješavati na bilo koji način.

Opcija "3"

Riješite jednačine:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opcija za "4"

Riješite jednačine:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opcija "5"

Riješite jednačine:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Rezime lekcije, domaći (5 min.)

Nastavnik rezimira lekciju i još jednom skreće pažnju da se trigonometrijska jednačina može riješiti na više načina. Većina Najbolji način da bi se postigao brzi rezultat, to je ono što je najbolje naučiti određeni učenik.

Prilikom pripreme za ispit potrebno je sistematski ponavljati formule i metode za rješavanje jednačina.

Dijeli se domaći (unaprijed pripremljeni na štampanoj osnovi) i komentarišu se metode rješavanja nekih jednačina.

Riješite jednačine:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Srednja škola"

br. 18"

Engels, Saratovska oblast.

Nastavnik matematike.

"Trigonometrijski izrazi i njihove transformacije"

Uvod…………………………………………………………………………………………………..3

Poglavlje 1 Klasifikacija zadataka o upotrebi transformacija trigonometrijskih izraza ………………………….……………………………...5

1.1. Računski zadaci vrijednosti trigonometrijskih izraza……….5

1.2.Zadaci za pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza.... 7

1.3. Zadaci za pretvaranje brojevnih trigonometrijskih izraza.....7

1.4 Zadaci mješovitog tipa………………………………………………………………….9

Poglavlje 2. Metodološki aspekti organizovanja završnog ponavljanja teme „Transformacija trigonometrijskih izraza“………………………………………11

2.1 Tematsko ponavljanje u 10. razredu……………………………………………………………...11

Test 1……………………………………………………………………………………………..12

Test 2……………………………………………………………………………………………..13

Test 3……………………………………………………………………………………………..14

2.2 Završno ponavljanje u 11. razredu……………………………………………………………15

Test 1……………………………………………………………………………………………..17

Test 2……………………………………………………………………………………………..17

Test 3……………………………………………………………………………………………..18

Zaključak……………………………………………………………………………………………………..19

Spisak referenci……………………………………………………………………..…….20

Uvod.

U današnjim uslovima najvažnije je pitanje: „Kako pomoći da se otklone neke praznine u znanju učenika i da ih upozorimo na moguće greške na Jedinstvenom državnom ispitu?“ Da bi se ovo pitanje riješilo, potrebno je od učenika postići ne formalnu asimilaciju programskog materijala, već njegovo duboko i svjesno razumijevanje, razvoj brzine usmenih proračuna i transformacija, kao i razvoj vještina rješavanja jednostavnih zadataka „u um." Potrebno je uvjeriti studente da samo ako imaju aktivnu poziciju, prilikom izučavanja matematike, uz sticanje praktičnih vještina i sposobnosti i njihovu upotrebu, mogu računati na pravi uspjeh. Potrebno je iskoristiti svaku priliku da se pripremite za Jedinstveni državni ispit, uključujući izborne predmete od 10. do 11. razreda, i sprovodite redovne preglede teške zadatke sa učenicima, birajući najracionalniji način rješavanja problema na nastavi i dopunskoj nastavi.Pozitivan rezultat uoblasti rješavanja standardnih zadataka mogu se postići ako nastavnici matematike, kreiranjemdobru osnovnu obuku učenika, tražiti nove načine rješavanja problema koji su nam se otvorili, aktivno eksperimentirati, primjenjivati ​​moderno obrazovne tehnologije, metode, tehnike koje stvaraju povoljne uslove za efektivnu samorealizaciju i samoopredeljenje učenika u novim društvenim uslovima.

trigonometrija - komponentaškolski kurs matematike. Dobro znanje i jake veštine u trigonometriji dokaz su dovoljnog nivoa matematičke kulture, neophodan uslov za uspešno studiranje matematike, fizike i niza tehničkih oblasti na univerzitetu. discipline.

Relevantnost rada. Značajan broj maturanata pokazuje iz godine u godinu veoma lošu pripremljenost iz ovog značajnog odsjeka matematike, o čemu svjedoče i rezultati proteklih godina (procenat završenih u 2011. - 48,41%, 2012. - 51,05%), budući da je analiza uspješnosti Jedinstveni državni ispit je pokazao da učenici prave mnogo grešaka pri rješavanju zadataka iz ovog dijela ili ih uopće ne preuzimaju. U jednom državni ispit Pitanja iz trigonometrije nalaze se u gotovo tri vrste zadataka. Ovo uključuje rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi u zadatku B5 i rad s trigonometrijskim izrazima u zadatku B7 i istraživanje trigonometrijske funkcije u zadatku B14, kao i zadatku B12, u kojem se nalaze formule koje opisuju fizičke pojave i koji sadrži trigonometrijske funkcije. A ovo je samo dio zadataka B! Ali postoje i omiljene trigonometrijske jednadžbe sa izborom C1 korijena, i „ne baš omiljene“ geometrijski zadaci C2 i C4.

Cilj rada. Analiza Materijal za Jedinstveni državni ispit zadaci B7, posvećeni transformacijama trigonometrijskih izraza i klasifikaciji zadataka prema obliku njihovog prikaza u testovima.

Rad se sastoji od dva poglavlja, uvoda i zaključka. Uvod naglašava relevantnost rada. Prvo poglavlje daje klasifikaciju zadataka o upotrebi transformacija trigonometrijskih izraza u testu Zadaci objedinjenog državnog ispita(2012).

U drugom poglavlju se govori o organizaciji ponavljanja teme „Transformacija trigonometrijskih izraza“ u 10. i 11. razredu i izrađuju se testovi na ovu temu.

Spisak referenci obuhvata 17 izvora.

Poglavlje 1. Klasifikacija zadataka pomoću transformacija trigonometrijskih izraza.

U skladu sa standardom srednjeg (potpunog) obrazovanja i zahtjevima za stepen pripremljenosti učenika, kodifikator zahtjeva sadrži zadatke o poznavanju osnova trigonometrije.

Učenje osnova trigonometrije će biti najefikasnije kada:

    obezbijediće se pozitivna motivacija za učenike da ponavljaju prethodno naučeno gradivo;

    V obrazovni proces implementiraće se pristup usmjeren na osobu;

    koristiće se sistem zadataka koji pomaže u proširenju, produbljivanju i sistematizaciji znanja učenika;

    Koristit će se napredne pedagoške tehnologije.

Analizirajući literaturu i internet resurse o pripremi za Jedinstveni državni ispit, predložili smo jednu od mogućih klasifikacija zadataka B7 (KIM Jedinstveni državni ispit 2012-trigonometrija): računski zadacivrijednosti trigonometrijskih izraza; zadaci zapretvaranje numeričkih trigonometrijskih izraza; zadaci za pretvaranje literalnih trigonometrijskih izraza; zadaci mešovitog tipa.

1.1. Računski zadaci značenja trigonometrijskih izraza.

Jedan od najčešćih tipova jednostavnih trigonometrijskih problema je izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz vrijednosti jedne od njih:

a) Upotreba osnovnog trigonometrijskog identiteta i njegove posljedice.

Primjer 1 . Pronađite ako
I
.

Rješenje.
,
,

Jer , To
.

Odgovori.

Primjer 2 . Nađi
, Ako
i .

Rješenje.
,
,
.

Jer , To
.

Odgovori. .

b) Upotreba formula dvostrukog ugla.

Primjer 3 . Nađi
, Ako
.

Rješenje. , .

Odgovori.
.

Primjer 4 . Pronađite značenje izraza
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

1. Nađi , Ako
I
. Odgovori. -0.2

2. Nađi , Ako
I
. Odgovori. 0.4

3. Nađi
, Ako . Odgovori. -12.884. Nađi
, Ako
. Odgovori. -0,845. Pronađite značenje izraza:
. Odgovori. 66. Pronađite značenje izraza
.Odgovori. -19

1.2.Zadaci pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Formule redukcije treba da budu dobro razumljive studentima, jer će naći dalju primenu u geometriji, fizici i drugim srodnim disciplinama.

Primjer 5 . Pojednostavite izraze
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Pojednostavite izraz
. Odgovori. 0.62. Nađi
, Ako
I. Odgovori. 10.563. Pronađite značenje izraza
, Ako
. Odgovori. 2

1.3. Zadaci za pretvaranje brojevnih trigonometrijskih izraza.

Prilikom vježbanja vještina zadataka za pretvaranje numeričkih trigonometrijskih izraza, treba obratiti pažnju na poznavanje tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija, svojstava parnosti i periodičnosti trigonometrijskih funkcija.

a) Korištenje tačnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove.

Primjer 6 . Izračunati
.

Rješenje.
.

Odgovori.
.

b) Korištenje svojstava parnosti trigonometrijske funkcije.

Primjer 7 . Izračunati
.

Rješenje. .

Odgovori.

V) Korištenje svojstava periodičnostitrigonometrijske funkcije.

Primjer 8 . Pronađite značenje izraza
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Pronađite značenje izraza
. Odgovori. -40.52. Pronađite značenje izraza
. Odgovori. 17

3. Pronađite značenje izraza
. Odgovori. 6


. Odgovori. -24
Odgovori. -64

1.4 Zadaci mješovitog tipa.

Obrazac za certifikacijski test ima vrlo značajne karakteristike, pa je važno obratiti pažnju na zadatke koji se odnose na korištenje više trigonometrijskih formula istovremeno.

Primjer 9. Nađi
, Ako
.

Rješenje.
.

Odgovori.
.

Primjer 10 . Nađi
, Ako
I
.

Rješenje. .

Jer , To
.

Odgovori.
.

Primjer 11. Nađi
, Ako .

Rješenje. , ,
,
,
,
,
.

Odgovori.

Primjer 12. Izračunati
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

Primjer 13. Pronađite značenje izraza
, Ako
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Nađi
, Ako
. Odgovori. -1,75
2. Nađi
, Ako
. Odgovori. 33. Pronađite
, Ako .Odgovori. 0,254. Pronađite značenje izraza
, Ako
. Odgovori. 0.35. Pronađite značenje izraza
, Ako
. Odgovori. 5

Poglavlje 2. Metodološki aspekti organizovanja završnog ponavljanja teme „Transformacija trigonometrijskih izraza“.

Jedno od najvažnijih pitanja koje doprinosi daljem unapređenju akademskog uspjeha i postizanju dubokih i trajnih znanja kod studenata je pitanje ponavljanja prethodno obrađenog gradiva. Praksa pokazuje da je u 10. razredu svrsishodnije organizovati tematsko ponavljanje; u 11. razredu - završno ponavljanje.

2.1. Tematska kontrola u 10. razredu.

U procesu rada na matematički materijal posebno veliki značaj stiče ponavljanje svake završene teme ili cijelog dijela kursa.

Tematskim ponavljanjem, znanje učenika o nekoj temi se sistematizuje u završnoj fazi njenog završetka ili nakon određene pauze.

Za tematsko ponavljanje izdvajaju se posebne lekcije, u kojima se koncentrira i generalizira materijal jedne određene teme.

Ponavljanje na času odvija se kroz razgovor uz široko uključivanje učenika u ovaj razgovor. Nakon toga učenici dobijaju zadatak da ponove određenu temu i upozoravaju se da će se obaviti testni rad.

Test na temu treba da sadrži sva njena glavna pitanja. Nakon završetka rada analiziraju se karakteristične greške i organiziraju ponavljanja kako bi se otklonile.

Za tematske lekcije ponavljanja nudimo razvijene ocjenjivanje rada u obliku testova na temu "Transformacija trigonometrijskih izraza."

Test br. 1

Test br. 2

Test br. 3

Tabela odgovora

Test

2.2. Završna smotra u 11. razredu.

Završno ponavljanje se izvodi u završnoj fazi proučavanja osnovnih pitanja matematičkog kursa i izvodi se u logičkoj vezi sa studijem edukativni materijal za ovaj dio ili kurs u cjelini.

Završno ponavljanje obrazovnog materijala ima sljedeće ciljeve:

1. Aktivacija cjelokupnog materijala obuka razjasniti njegovu logičku strukturu i izgraditi sistem unutar predmetnih i međupredmetnih veza.

2. Produbljivanje i, ako je moguće, proširenje znanja studenata o glavnim pitanjima predmeta u procesu ponavljanja.

U kontekstu obaveznog ispita iz matematike za sve maturante, postupno uvođenje Jedinstvenog državnog ispita prisiljava nastavnike da zauzmu novi pristup pripremi i izvođenju nastave, vodeći računa o potrebi da svi školarci savladaju nastavno gradivo na osnovnoj razini. nivo, kao i mogućnost za motivisane studente zainteresovane za dobijanje visokih bodova za upis na fakultet, dinamičan napredak u savladavanju gradiva na naprednom i visokom nivou.

Tokom završnih lekcija za reviziju, možete razmotriti sljedeće zadatke:

Primjer 1 . Izračunajte vrijednost izraza.Rješenje. =
= =
=
=
=
=0,5. Odgovori. 0.5. Primjer 2. Navedite najveću vrijednost cijelog broja koju izraz može prihvatiti
.

Rješenje. Jer
može uzeti bilo koju vrijednost, koji pripadaju segmentu[-1; 1], zatim
uzima bilo koju vrijednost segmenta [–0,4; 0,4], dakle . Izraz ima jednu cjelobrojnu vrijednost – broj 4.

Odgovor: 4 Primjer 3 . Pojednostavite izraz
.

Rješenje: Upotrijebimo formulu za faktorizaciju zbira kocki: . Imamo

Imamo:
.

Odgovor: 1

Primjer 4. Izračunati
.

Rješenje. .

Odgovor: 0,28

Za završne lekcije revizije nudimo razvijene testove na temu „Transformacija trigonometrijskih izraza“.

Unesite najveći cijeli broj koji ne prelazi 1

Zaključak.

Nakon što je radio kroz odgovarajuće metodološka literatura na ovu temu, možemo zaključiti da su sposobnost i vještine rješavanja problema vezanih za trigonometrijske transformacije V školski kurs matematika je veoma bitna.

U toku obavljenog posla izvršena je klasifikacija zadataka B7. Razmatraju se trigonometrijske formule koje se najčešće koriste u CMM-ima 2012. godine. Dati su primjeri zadataka sa rješenjima. Razvijeni su diferencirani testovi za organizovanje ponavljanja i sistematizaciju znanja u pripremi za Jedinstveni državni ispit.

Preporučljivo je nastaviti rad započeti razmatranjem rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi u zadatku B5, proučavanje trigonometrijskih funkcija u zadatku B14, zadaci B12 koji sadrže formule koje opisuju fizičke pojave i sadrže trigonometrijske funkcije.

U zaključku, želio bih napomenuti da je efikasnost polaganje Jedinstvenog državnog ispita je u velikoj mjeri determinisano koliko je efikasno organizovan proces obuke na svim nivoima obrazovanja, sa svim kategorijama učenika. A ako budemo u stanju da učenicima usađujemo samostalnost, odgovornost i spremnost da nastave sa učenjem tokom čitavog života, onda ćemo ne samo ispuniti nalog države i društva, već i povećati sopstveno samopoštovanje.

Ponavljanje nastavnog materijala zahtijeva nastavnik kreativni rad. On mora obezbijediti jasnu vezu između vrsta ponavljanja i implementirati duboko promišljen sistem ponavljanja. Ovladavanje umijećem organiziranja ponavljanja zadatak je nastavnika. Snaga znanja učenika umnogome zavisi od njegovog rješenja.

Književnost.

    Vygodsky Ya.Ya., Priručnik za osnovnu matematiku. -M.: Nauka, 1970.

    Problemi povećane težine iz algebre i osnovne analize: Udžbenik za 10.-11. razred srednja škola/ B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwartzburd. – M.: Obrazovanje, 1990.

    Primjena osnovnih trigonometrijskih formula za transformaciju izraza (10. razred) //Festival pedagoške ideje. 2012-2013.

    Koryanov A.G. , Prokofjev A.A. Pripremamo dobre i odlične učenike za Jedinstveni državni ispit. - M.: Pedagoški univerzitet“Prvi septembar”, 2012.- 103 str.

    Kuznjecova E.N. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza. Rješavanje trigonometrijskih jednačina različitim metodama (priprema za Jedinstveni državni ispit). 11. razred. 2012-2013.

    Kulanin E. D. 3000 takmičarskih zadataka iz matematike. 4. izdanje, tačno. i dodatne – M.: Rolf, 2000.

    Mordkovich A.G. Metodološki problemi proučavanja trigonometrije u srednja škola// Matematika u školi. 2002. br. 6.

    Pichurin L.F. O trigonometriji i ne samo o njoj: -M. Prosvjeta, 1985

    Rešetnikov N.N. Trigonometrija u školi: -M. : Pedagoški univerzitet “Prvi septembar”, 2006, lx 1.

    Šabunjin M.I., Prokofjev A.A. Matematika. Algebra. Počeci matematičke analize Nivo profila: udžbenik za 10. razred - M.: BINOM. Laboratorij znanja, 2007.

    Edukativni portal za pripremu za Jedinstveni državni ispit.

    Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike „O, ova trigonometrija! http://festival.1september.ru/articles/621971/

    Projekat "Matematika? Lako!!!" http://www.resolventa.ru/

Video lekcija “Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza” je osmišljena da razvije vještine učenika u rješavanju trigonometrijskih problema koristeći osnovne trigonometrijske identitete. Tokom video lekcije razmatraju se vrste trigonometrijskih identiteta i primjeri rješavanja zadataka pomoću njih. Upotrebom vizuelnih pomagala nastavniku je lakše postići ciljeve časa. Živopisna prezentacija materijala pomaže pri pamćenju važnih tačaka. Korištenje efekata animacije i glasa na ekranu omogućava vam da potpuno zamijenite nastavnika u fazi objašnjavanja materijala. Dakle, korišćenjem ovog vizuelnog pomagala na časovima matematike, nastavnik može povećati efikasnost nastave.

Na početku video lekcije najavljuje se njegova tema. Zatim se prisjećamo trigonometrijskih identiteta koje smo ranije proučavali. Na ekranu se prikazuju jednakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdje je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, ispravno za t≠πk, gdje je kϵZ, tg t· ctg t=1, za t≠πk/2, gdje je kϵZ, nazvani osnovnim trigonometrijskim identitetima. Primjećuje se da se ovi identiteti često koriste u rješavanju problema gdje je potrebno dokazati jednakost ili pojednostaviti izraz.

U nastavku razmatramo primjere primjene ovih identiteta u rješavanju problema. Prvo, predlaže se razmatranje rješavanja problema pojednostavljivanja izraza. U primjeru 1 potrebno je pojednostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Da biste riješili primjer, prvo izvadite zajednički faktor cos 2 t iz zagrada. Kao rezultat ove transformacije u zagradi, dobija se izraz 1- cos 2 t, čija je vrijednost iz glavnog identiteta trigonometrije jednaka sin 2 t. Nakon transformacije izraza, očigledno je da se još jedan zajednički faktor sin 2 t može izvaditi iz zagrada, nakon čega izraz dobija oblik sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Iz istog osnovnog identiteta izvodimo vrijednost izraza u zagradama jednaku 1. Kao rezultat pojednostavljenja, dobijamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

U primjeru 2, izraz trošak/(1- sint)+ trošak/(1+ sint) treba biti pojednostavljen. Kako brojnici oba razlomka sadrže izraz trošak, on se može izvaditi iz zagrada kao zajednički faktor. Tada se razlomci u zagradama svode na zajednički nazivnik množenjem (1- sint)(1+ sint). Nakon donošenja sličnih članova, brojilac ostaje 2, a nazivnik 1 - sin 2 t. Na desnoj strani ekrana se prisjeća osnovni trigonometrijski identitet sin 2 t+cos 2 t=1. Koristeći ga, nalazimo imenilac razlomka cos 2 t. Nakon smanjenja razlomka, dobijamo pojednostavljeni oblik izraza trošak/(1- sint)+ trošak/(1+ sint)=2/trošak.

Zatim ćemo razmotriti primjere dokaza identiteta koji koriste stečeno znanje o osnovnim identitetima trigonometrije. U primjeru 3 potrebno je dokazati identičnost (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Desna strana ekrana prikazuje tri identiteta koji će biti potrebni za dokaz - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t sa ograničenjima. Za dokazivanje identiteta prvo se otvaraju zagrade, nakon čega se formira proizvod koji odražava izraz glavnog trigonometrijskog identiteta tg t·ctg t=1. Tada se, prema istovjetnosti iz definicije kotangensa, ctg 2 t transformira. Kao rezultat transformacija dobija se izraz 1-cos 2 t. Koristeći glavni identitet, pronalazimo značenje izraza. Dakle, dokazano je da (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

U primjeru 4, potrebno je pronaći vrijednost izraza tg 2 t+ctg 2 t ako je tg t+ctg t=6. Da biste izračunali izraz, prvo kvadrirajte desnu i lijevu stranu jednakosti (tg t+ctg t) 2 =6 2. Skraćena formula za množenje se poziva na desnoj strani ekrana. Nakon otvaranja zagrada na lijevoj strani izraza, formira se zbir tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, za transformaciju kojeg možete primijeniti jedan od trigonometrijskih identiteta tg t·ctg t=1 , čiji se oblik poziva na desnoj strani ekrana. Nakon transformacije dobija se jednakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Lijeva strana jednakosti se poklapa sa uslovom zadatka, pa je odgovor 34. Zadatak je riješen.

Video lekcija “Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza” preporučuje se za korištenje u tradicionalnoj školskoj lekciji matematike. Materijal će također biti koristan nastavniku koji implementira učenje na daljinu. U cilju razvijanja vještina rješavanja trigonometrijskih zadataka.

DEKODIRANJE TEKSTA:

"Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza."

Jednakosti

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus kosinus kvadrat te jednako jedan)

2)tgt =, za t ≠ + πk, kϵZ (tangenta te je jednaka omjeru sinusa te i kosinusa te pri čemu te nije jednako pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3)ctgt = , za t ≠ πk, kϵZ (kotangens te je jednak omjeru kosinusa te i sinusa te pri čemu te nije jednako pi ka, ka pripada zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ (proizvod tangente te sa kotangensom te jednak je jedan kada te nije jednako vrhuncu ka, podijeljeno sa dva, ka pripada zet)

nazivaju se osnovnim trigonometrijskim identitetima.

Često se koriste za pojednostavljivanje i dokazivanje trigonometrijskih izraza.

Pogledajmo primjere korištenja ovih formula za pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz kosinus na kvadrat te minus kosinus četvrtog stepena te plus sinus četvrtog stepena te).

Rješenje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(izvlačimo zajednički faktor kosinus kvadrat te, u zagradama dobijamo razliku između jedinice i kvadratnog kosinusa te, koji je jednak kvadratnom sinusu te po prvom identiku. Dobijamo zbir četvrtog sinusa te na kvadrat umnožak kosinus kvadrat te i sinus kvadrat te Izvadimo zajednički faktor sinus kvadrat te van zagrada, u zagradama dobijemo zbir kvadrata kosinusa i sinusa koji je, prema osnovnom trigonometrijskom identitetu, jednak 1 Kao rezultat, dobijamo kvadrat sinusa te).

PRIMJER 2. Pojednostavite izraz: + .

(izraz je zbir dva razlomka u brojiocu prvog kosinusa te u nazivniku jedan minus sinus te, u brojniku drugog kosinusa te u nazivniku drugog plus sinus te).

(Izvadimo zajednički faktor kosinus te iz zagrada, a u zagradama ga dovedemo do zajedničkog nazivnika, koji je proizvod jedan minus sin te sa jedan plus sinus te.

U brojiocu dobijamo: jedan plus sinus te plus jedan minus sin te, dajemo slične, brojilac je jednak dva nakon donošenja sličnih.

U nazivniku možete primijeniti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata) i dobiti razliku između jedinice i kvadrata sinusa te, koji prema osnovnom trigonometrijskom identitetu

jednak kvadratu kosinusa te. Nakon smanjenja kosinusom te dobijamo konačni odgovor: dva podijeljena kosinusom te).

Pogledajmo primjere korištenja ovih formula pri dokazivanju trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 3. Dokazati identičnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (proizvod razlike kvadrata tangente te i sinus te kvadrata kotangensa te jednak je kvadratu sine te).

Dokaz.

Transformirajmo lijevu stranu jednakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 2 t = sin 2 t

(Otvorimo zagrade; iz prethodno dobijene relacije poznato je da je proizvod kvadrata tangente te sa kotangensom te jednak jedan. Podsjetimo da je kotangens te jednak omjeru kosinus te po sinus te, što znači da je kvadrat kotangensa omjer kvadrata kosinusa te i kvadrata sinusa te.

Nakon redukcije za sinus kvadrat te dobijamo razliku između jedinice i kosinus kvadrata te, koja je jednaka sinusnom kvadratu te). Q.E.D.

PRIMJER 4. Pronađite vrijednost izraza tg 2 t + ctg 2 t ako je tgt + ctgt = 6.

(zbir kvadrata tangente te i kotangensa te, ako je zbir tangente i kotangensa šest).

Rješenje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadirajmo obje strane izvorne jednakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat zbira tangente te i kotangensa te jednak je šest na kvadrat). Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: Kvadrat zbira dvije veličine jednak je kvadratu prve plus dvostruki umnožak prve na drugu plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobijamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangenta na kvadrat te plus dvostruki proizvod tangente te sa kotangensom te plus kotangens na kvadrat te jednako je trideset i šest) .

Pošto je proizvod tangente te i kotangensa te jednak jedan, tada je tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (zbir kvadrata tangente te i kotangensa te i dva jednak je trideset šest),