IN školski kurs U stereometriji, jedna od najjednostavnijih figura, koja ima dimenzije različite od nule duž tri prostorne ose, je četverokutna prizma. Razmotrimo u članku kakva je to figura, od kojih se elemenata sastoji, kao i kako možete izračunati njegovu površinu i volumen.
Koncept prizme
U geometriji, prizma je prostorna figura koju čine dva po istoj osnovi i bočne površine koje spajaju stranice ovih baza. Imajte na umu da se obje baze prenose jedna na drugu pomoću operacije paralelnog prijenosa na određeni vektor. Ova definicija prizme dovodi do činjenice da su sve njene stranice uvijek paralelogrami.
Broj strana baze može biti proizvoljan, počevši od tri. Kako ovaj broj teži beskonačnosti, prizma se glatko pretvara u cilindar, jer njena osnova postaje krug, a bočni paralelogrami, spajajući se, tvore cilindričnu površinu.
Kao i svaki poliedar, prizmu karakteriziraju stranice (ravnine koje ograničavaju lik), ivice (segmenti duž kojih se sijeku bilo koje dvije strane) i vrhovi (tačke susreta triju strana, za prizmu dvije su bočne, a treća je baza). Količine tri imenovana elementa figure povezane su jedna s drugom sljedećim izrazom:
Ovdje su P, C i B broj ivica, stranica i vrhova, redom. Ovaj izraz je matematički prikaz Ojlerove teoreme.
Iznad je slika koja prikazuje dvije prizme. U osnovi jednog od njih (A) leži pravilan šesterokut, a bočne stranice su okomite na baze. Slika B prikazuje drugu prizmu. Njegove stranice više nisu okomite na osnovice, a osnova jeste pravilan pentagon.
četvorougaoni?
Kao što je jasno iz prethodnog opisa, tip prizme je prvenstveno određen tipom poligona koji čini osnovu (obe baze su iste, pa možemo govoriti o jednoj od njih). Ako je ovaj poligon paralelogram, onda dobijamo četvorougaonu prizmu. Dakle, sve strane ovoga su paralelogrami. Četvorougaona prizma ima svoje ime - paralelepiped.
Broj stranica paralelepipeda je šest, a svaka strana ima sličan paralelepiped. Budući da su osnove paralelepipeda dvije strane, preostale četiri su bočne.
Broj vrhova paralelepipeda je osam, što je lako vidjeti ako se sjetite da se vrhovi prizme formiraju samo na vrhovima osnovnih poligona (4x2=8). Primjenom Ojlerove teoreme dobijamo broj ivica:
P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12
Od 12 rebara, samo 4 su formirana nezavisno od bočnih strana. Preostalih 8 leže u ravninama osnova figure.
Vrste paralelepipeda
Prva vrsta klasifikacije leži u karakteristikama paralelograma koji leži u osnovi. Može izgledati ovako:
- obični, čiji uglovi nisu jednaki 90 o;
- pravougaonik;
- kvadrat je pravilan četvorougao.
Druga vrsta klasifikacije je ugao pod kojim stranica siječe bazu. Ovdje su moguća dva različita slučaja:
- ovaj ugao nije pravi, tada se prizma naziva kosom ili kosom;
- ugao je 90 o, tada je takva prizma pravokutna ili jednostavno ravna.
Treći tip klasifikacije odnosi se na visinu prizme. Ako je prizma pravokutna i u osnovi ima kvadrat ili pravougaonik, tada se naziva kockast. Ako je u osnovi kvadrat, prizma je pravougaona, a visina joj je jednaka dužini stranice kvadrata, onda dobijamo dobro poznatu figuru kocke.
Površina i površina prizme
Skup svih tačaka koje leže na dvije osnove prizme (paralelogrami) i na njenim stranicama (četiri paralelograma) čine površinu figure. Površina ove površine može se izračunati izračunavanjem površine baze i ove vrijednosti za bočnu površinu. Tada će njihov zbir dati željenu vrijednost. Matematički to piše ovako:
Ovdje su S o i S b površina baze i bočne površine, respektivno. Pojavljuje se broj 2 prije S o jer postoje dvije baze.
Imajte na umu da napisana formula vrijedi za bilo koju prizmu, a ne samo za područje četverokutne prizme.
Korisno je podsjetiti da se površina paralelograma S p izračunava po formuli:
Gdje simboli a i h označavaju dužinu jedne od njenih stranica i visinu povučenu na ovu stranu, respektivno.
Površina pravokutne prizme s kvadratnom osnovom
Osnova je kvadrat. Radi određenosti, označimo njegovu stranu slovom a. Da biste izračunali površinu pravilne četverokutne prizme, morate znati njenu visinu. Prema definiciji za ovu vrijednost, ona je jednaka dužini okomice spuštene s jedne baze na drugu, odnosno jednaka je udaljenosti između njih. Označimo ga slovom h. Budući da su sve bočne strane okomite na osnovice za tip prizme koji se razmatra, visina pravilne četverokutne prizme bit će jednaka dužini njene bočne ivice.
Opća formula za površinu prizme ima dva člana. Površina baze u ovom slučaju je lako izračunati, jednaka je:
Da bismo izračunali površinu bočne površine, razmišljamo na sljedeći način: ovu površinu čine 4 identična pravokutnika. Štaviše, stranice svake od njih jednake su a i h. To znači da će površina S b biti jednaka:
Imajte na umu da je proizvod 4*a obim kvadratne osnove. Ako generaliziramo ovaj izraz na slučaj proizvoljne baze, tada se za pravokutnu prizmu bočna površina može izračunati na sljedeći način:
Gdje je P o perimetar baze.
Vraćajući se na problem izračunavanja površine pravilne četverokutne prizme, možemo napisati konačnu formulu:
S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)
Područje kosog paralelepipeda
Nešto je teže izračunati nego za pravougaoni. U ovom slučaju, površina osnove četverokutne prizme izračunava se pomoću iste formule kao i za paralelogram. Promjene se odnose na metodu određivanja bočne površine.
Da biste to učinili, koristite istu formulu kroz perimetar kao što je dato u gornjem paragrafu. Samo što će sada imati malo drugačije množitelje. Opća formula za S b u slučaju kose prizme je:
Ovdje je c dužina bočne ivice slike. Vrijednost P sr je obim pravokutnog reza. Ovo okruženje je konstruisano na sledeći način: potrebno je presjeći sve bočne strane ravninom tako da ona bude okomita na sve njih. Rezultirajući pravougaonik bit će željeni rez.
Gornja slika prikazuje primjer kosog paralelepipeda. Njegov zasjenjeni dio sa stranicama formira prave uglove. Obim presjeka je P sr. Sastoji se od četiri visine bočnih paralelograma. Za ovu četvorougaonu prizmu, površina bočne površine se izračunava pomoću gornje formule.
Dijagonalna dužina pravokutnog paralelepipeda
Dijagonala paralelepipeda je segment koji spaja dva vrha koji nemaju zajedničke stranice koje ih formiraju. Svaka četvorougaona prizma ima samo četiri dijagonale. Za pravougaoni paralelepiped sa pravougaonikom u osnovi, dužine svih dijagonala su jedna drugoj.
Slika ispod prikazuje odgovarajuću sliku. Crveni segment je njegova dijagonala.
D = √(A 2 + B 2 + C 2)
Ovdje je D dužina dijagonale. Preostali simboli su dužine stranica paralelepipeda.
Mnogi ljudi brkaju dijagonalu paralelepipeda sa dijagonalama njegovih stranica. Ispod je crtež na kojem su dijagonale strana figure prikazane u obojenim segmentima.
Dužina svakog od njih je također određena Pitagorinom teoremom i jednaka je kvadratni korijen iz zbira kvadrata odgovarajućih dužina stranica.
Volumen prizme
Pored površine pravilne četvorougaone prizme ili drugih vrsta prizmi, za rešavanje nekih geometrijski problemi trebali biste znati i njihovu zapreminu. Ova vrijednost za apsolutno bilo koju prizmu izračunava se pomoću sljedeće formule:
Ako je prizma pravokutna, dovoljno je izračunati površinu njezine baze i pomnožiti je s dužinom bočne ivice kako bi se dobio volumen figure.
Ako je prizma pravilna četverokutna, tada će njen volumen biti jednak:
Lako je vidjeti da se ova formula pretvara u izraz za volumen kocke ako je dužina bočne ivice h jednaka strani osnove a.
Problem sa pravougaonim paralelepipedom
Za konsolidaciju proučavanog materijala riješit ćemo sljedeći zadatak: postoji pravougaoni paralelepiped čije su stranice 3 cm, 4 cm i 5 cm. Potrebno je izračunati njegovu površinu, dužinu dijagonale i zapreminu.
S = 2*S o + S b = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 cm 2
Da biste odredili dužinu dijagonale i volumen figure, možete direktno koristiti gornje izraze:
D = √(3 2 +4 2 +5 2) = 7,071 cm;
V = 3*4*5 = 60 cm3.
Problem kosog paralelepipeda
Na slici ispod prikazana je kosa prizma. Njegove stranice su jednake: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm. Potrebno je pronaći površinu ove figure.
Prvo, odredimo površinu baze. Iz slike je jasno da oštri ugao jednako 50 o. Tada je njegova površina jednaka:
S o = h*a = sin(50 o)*b*a
Da biste odredili površinu bočne površine, pronađite perimetar zasjenjenog pravokutnika. Stranice ovog pravougaonika su a*sin(45o) i b*sin(60o). Tada je obim ovog pravougaonika:
P sr = 2*(a*sin(45 o)+b*sin(60 o))
Ukupna površina ovog paralelepipeda je:
S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))
Podatke iz uslova zadatka zamenimo dužinama stranica figure i dobijemo odgovor:
Iz rješenja ovog problema jasno je da se trigonometrijske funkcije koriste za određivanje površina kosih figura.
IN školski program Na kursu stereometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednak poligon, koji leže u paralelnim ravnima. Poseban slučaj je pravilna četvorougaona prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverougla, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika, ako prizma nije nagnuta).
Kako izgleda prizma?
Pravilna četverokutna prizma je šesterokut čije su osnove 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijska figura- ravan paralelepiped.
Crtež koji prikazuje četvorougaonu prizmu je prikazan ispod.
Možete vidjeti i na slici bitnih elemenata, od kojih se sastoji geometrijsko tijelo . To uključuje:
Ponekad u problemima geometrije možete naići na koncept preseka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravni. Presjek može biti okomit (siječe rubove figure pod uglom od 90 stepeni). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se može konstruirati je 2), koji prolazi kroz 2 ivice i dijagonale baze.
Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s osnovama ni sa bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.
Za pronalaženje reduciranih prizmatičkih elemenata koriste se različite relacije i formule. Neki od njih su poznati iz kursa planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu osnove prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).
Površina i zapremina
Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njene baze i visinu:
V = Sbas h
Pošto je osnova pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:
V = a²·h
Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:
Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njen razvoj.
Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravougaonika. Njegova površina se izračunava kao proizvod opsega baze i visine figure:
Sside = Posn h
Uzimajući u obzir da je obim kvadrata jednak P = 4a, formula ima oblik:
Sside = 4a h
za kocku:
Sside = 4a²
Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, morate bočnoj površini dodati 2 osnovne površine:
Puno = Sside + 2Smain
U odnosu na četvorougaonu pravilnu prizmu, formula izgleda ovako:
Stotal = 4a h + 2a²
Za površinu kocke:
Puno = 6a²
Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.
Pronalaženje elemenata prizme
Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti dužinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima, formule se mogu izvesti:
- dužina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
- visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
- osnovna površina: Sbas = V / h;
- bočna površina lica: Side gr = bočna strana / 4.
Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati dužinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. dakle:
Sdiag = ah√2
Da biste izračunali dijagonalu prizme, koristite formulu:
dprize = √(2a² + h²)
Da biste razumjeli kako primijeniti date odnose, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.
Primjeri problema sa rješenjima
Evo nekoliko zadataka na državnim završnim ispitima iz matematike.
Vježba 1.
Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegovog nivoa je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali sa duplo dužim postoljem?
To treba obrazložiti na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom kontejneru se nije promijenila, odnosno njegova zapremina u njima je ista. Dužinu baze možete označiti sa a. U ovom slučaju, za prvu kutiju zapremina supstance će biti:
V₁ = ha² = 10a²
Za drugu kutiju, dužina baze je 2a, ali visina nivoa pijeska nije poznata:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Zbog V₁ = V₂, možemo izjednačiti izraze:
10a² = 4ha²
Nakon što smanjimo obje strane jednačine za a², dobijamo:
Kao rezultat toga, novi nivo pijeska će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Zadatak 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je ispravna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.
Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati figuru.
Pošto je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da se u osnovi nalazi kvadrat dijagonale 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu veličinu, stoga i bočna strana ima oblik kvadrata jednakog osnovi. Ispada da su sve tri dimenzije - dužina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.
Dužina bilo koje ivice određuje se kroz poznatu dijagonalu:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Ukupna površina se nalazi pomoću formule za kocku:
Puno = 6a² = 6 6² = 216
Zadatak 3.
Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina prostorije je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?
Pošto su pod i plafon kvadrati, odnosno pravilni četvorouglovi, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je u pitanju pravilna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.
Dužina sobe je a = √9 = 3 m.
Prostor će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².
Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50·30 = 1500 rubalja
Dakle, za rješavanje zadataka koji uključuju pravokutnu prizmu, dovoljno je znati izračunati površinu i obim kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.
Kako pronaći površinu kocke
Prizma je geometrijska trodimenzionalna figura čije se karakteristike i svojstva proučavaju u srednjim školama. U pravilu, prilikom proučavanja uzimaju se u obzir veličine kao što su volumen i površina. U ovom članku ćemo raspravljati o malo drugačijem pitanju: predstavit ćemo metodu za određivanje dužine dijagonala prizme na primjeru četverokutne figure.
Koji oblik se naziva prizma?
U geometriji je data sljedeća definicija prizme: to je trodimenzionalna figura omeđena dvije identične poligonalne stranice koje su međusobno paralelne i određenim brojem paralelograma. Na slici ispod prikazan je primjer prizme koja odgovara ovu definiciju.
Vidimo da su dva crvena peterokuta jednaka jedan drugom i da se nalaze u dvije paralelne ravni. Pet ružičastih paralelograma povezuje ove peterokute u čvrsti predmet - prizmu. Dva peterokuta nazivaju se osnovama figure, a njeni paralelogrami su bočne strane.
Prizme mogu biti ravne ili kose, također se nazivaju pravougaone ili kose. Razlika između njih leži u uglovima između baze i bočnih ivica. Za pravougaonu prizmu, svi ovi uglovi su jednaki 90 o.
Na osnovu broja stranica ili vrhova poligona u osnovi, govore o trouglastim, peterokutnim, četverokutnim prizmama itd. Štaviše, ako je ovaj poligon pravilan, a sama prizma ravna, onda se takva figura naziva pravilna.
Prizma prikazana na prethodnoj slici je peterokutna nagnuta. Ispod je pentagonalna desna prizma, koja je pravilna.
Pogodno je izvršiti sve proračune, uključujući metodu za određivanje dijagonala prizme, posebno za ispravne figure.
Koji elementi karakterišu prizmu?
Elementi figure su komponente koje je formiraju. Konkretno za prizmu, mogu se razlikovati tri glavne vrste elemenata:
- vrhovi;
- ivice ili strane;
- rebra
Licima se smatraju osnove i bočne ravni, koje u opštem slučaju predstavljaju paralelograme. U prizmi, svaka strana je uvijek jedna od dvije vrste: ili je poligon ili paralelogram.
Rubovi prizme su oni segmenti koji ograničavaju svaku stranu figure. Poput lica, ivice također dolaze u dvije vrste: one koje pripadaju osnovnoj i bočnoj površini ili one koje pripadaju samo bočnoj površini. Prvih je uvijek dvostruko više nego drugih, bez obzira na vrstu prizme.
Vrhovi su presečne tačke tri ivice prizme, od kojih dva leže u ravni osnove, a treća pripada dvema bočnim stranama. Svi vrhovi prizme su u ravninama osnova figure.
Brojevi opisanih elemenata povezani su u jednu jednakost, koja ima sljedeći oblik:
P = B + C - 2.
Ovdje je P broj ivica, B - vrhova, C - stranica. Ova jednakost se naziva Eulerov teorem za poliedar.
Na slici je prikazana trouglasta pravilna prizma. Svako može računati da ima 6 vrhova, 5 strana i 9 ivica. Ove brojke su u skladu s Ojlerovom teoremom.
Dijagonale prizme
Nakon svojstava kao što su zapremina i površina, u geometrijskim problemima često se susrećemo sa informacijama o dužini određene dijagonale dotične figure, koja je ili data ili treba da se pronađe pomoću drugih poznatih parametara. Razmotrimo koje dijagonale ima prizma.
Sve dijagonale se mogu podijeliti u dvije vrste:
- Ležanje u ravni lica. Oni povezuju nesusjedne vrhove bilo poligona u osnovi prizme ili paralelograma na bočnoj površini. Vrijednost dužina takvih dijagonala određuje se na osnovu poznavanja dužina odgovarajućih ivica i uglova između njih. Za određivanje dijagonala paralelograma uvijek se koriste svojstva trokuta.
- Prizme koje leže unutar volumena. Ove dijagonale povezuju različite vrhove dvije baze. Ove dijagonale su potpuno unutar figure. Njihove dužine je nešto teže izračunati nego za prethodni tip. Metoda proračuna uključuje uzimanje u obzir dužine rebara i osnove, te paralelograma. Za ravne i pravilne prizme proračun je relativno jednostavan jer se izvodi korištenjem Pitagorine teoreme i svojstava trigonometrijskih funkcija.
Dijagonale stranica četverokutne desne prizme
Na gornjoj slici su prikazane četiri identične ravne prizme, a dati su parametri njihovih rubova. Na prizmama dijagonala A, dijagonala B i dijagonala C, isprekidana crvena linija pokazuje dijagonale tri različita lica. Pošto je prizma prava linija visine 5 cm, a njena osnova je predstavljena pravougaonikom sa stranicama 3 cm i 2 cm, nije teško pronaći označene dijagonale. Da biste to učinili, morate koristiti Pitagorinu teoremu.
Dužina dijagonale osnove prizme (dijagonala A) jednaka je:
D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.
Za bočnu stranu prizme, dijagonala je jednaka (vidi Dijagonalu B):
D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.
Konačno, dužina druge bočne dijagonale je (vidi Dijagonalu C):
D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.
Dužina unutrašnje dijagonale
Sada izračunajmo dužinu dijagonale četvorougaone prizme, koja je prikazana na prethodnoj slici (dijagonala D). To nije tako teško učiniti ako primijetite da je to hipotenuza trokuta u kojem će katete biti visine prizme (5 cm) i dijagonale D A prikazane na slici gore lijevo (dijagonala A). Tada dobijamo:
D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.
Pravilna četvorougaona prizma
Dijagonala pravilne prizme, čija je osnova kvadrat, izračunava se na isti način kao u gornjem primjeru. Odgovarajuća formula je:
D = √(2*a 2 +c 2).
Gdje su a i c dužine stranice baze i bočne ivice, respektivno.
Imajte na umu da smo u proračunima koristili samo Pitagorinu teoremu. Odrediti dužine dijagonala pravilnih prizmi sa veliki broj vrhova (pentagonalnih, heksagonalnih i tako dalje) već je potrebno primijeniti trigonometrijske funkcije.
Stereometrija je važan dio opšti kurs geometrije, koja ispituje karakteristike prostornih figura. Jedna takva figura je četvorougaona prizma. U ovom članku ćemo detaljnije razmotriti pitanje kako izračunati volumen četverokutne prizme.
Šta je četvorougaona prizma?
Očigledno, prije nego što damo formulu za volumen četverokutne prizme, potrebno je dati jasnu definiciju ove geometrijske figure. Pod takvom prizmom podrazumijevamo trodimenzionalni poliedar, koji je ograničen sa dva proizvoljna identična četverougla koji leže u paralelnim ravnima i četiri paralelograma.
Označeni četvorouglovi koji su međusobno paralelni nazivaju se osnovama figure, a četiri paralelograma su stranice. Ovdje treba pojasniti da su paralelogrami također četverouglovi, ali osnovice nisu uvijek paralelogrami. Primjer nepravilnog četverokuta, koji može biti osnova prizme, prikazan je na donjoj slici.
Bilo koja četverokutna prizma sastoji se od 6 stranica, 8 vrhova i 12 rubova. Postoje četvorougaone prizme različite vrste. Na primjer, figura može biti kosa ili ravna, nepravilna i pravilna. Kasnije u članku ćemo pokazati kako možete izračunati volumen četverokutne prizme, uzimajući u obzir njen tip.
Kosa prizma s neispravnom bazom
Ovo je najasimetričniji tip četverokutne prizme, tako da će izračunati njen volumen biti relativno teško. Sljedeći izraz vam omogućava da odredite volumen figure:
Simbol Dakle, ovdje označava površinu baze. Ako je ova baza romb, paralelogram ili pravougaonik, onda je lako izračunati vrijednost So. Dakle, za romb i paralelogram vrijedi formula:
gdje je a strana osnove, ha je dužina visine spuštene na ovu stranu od vrha baze.
Ako je osnova nepravilan poligon (vidi gore), tada njegovu površinu treba podijeliti na jednostavnije oblike (na primjer, trokute), izračunati njihove površine i pronaći njihov zbir.
U formuli za zapreminu, simbol h označava visinu prizme. Predstavlja dužinu okomitog segmenta između dvije baze. Budući da je prizma nagnuta, visinu h treba izračunati koristeći dužinu bočne ivice b i diedralne uglove između bočnih strana i baze.
Tačna figura i njen volumen
Ako je osnova četverokutne prizme kvadrat, a sama figura ravna, onda se naziva pravilna. Treba pojasniti da se ravna prizma naziva kada su sve njene stranice pravokutne i svaka od njih je okomita na osnovice. Ispravna slika je prikazana ispod.
Zapremina pravilne četvorougaone prizme može se izračunati koristeći istu formulu kao i zapremina nepravilne figure. Budući da je baza kvadrat, njegova površina se izračunava jednostavno:
Visina prizme h jednaka je dužini bočne ivice b (strane pravougaonika). Tada se volumen pravilne četverokutne prizme može izračunati pomoću sljedeće formule:
Pravilna prizma sa kvadratnom bazom naziva se pravougaoni paralelepiped. Ako su stranice a i b jednake, ovaj paralelepiped postaje kocka. Zapremina potonjeg se izračunava na sljedeći način:
Napisane formule za volumen V ukazuju na to da što je veća simetrija figure, potrebno je manje linearnih parametara za izračunavanje ove vrijednosti. Dakle, u slučaju obične prizme, potreban broj parametara je dva, au slučaju kocke - jedan.
Problem sa ispravnom figurom
Razmatrajući pitanje pronalaženja zapremine četvorougaone prizme sa teorijske tačke gledišta, stečeno znanje primenićemo u praksi.
Poznato je da pravilni paralelepiped ima dužinu dijagonale osnove 12 cm.Dužina dijagonale njegove stranice je 20 cm. Potrebno je izračunati zapreminu paralelepipeda.
Označimo dijagonalu osnove simbolom da, a dijagonalu bočne strane simbolom db. Za dijagonalu da vrijede sljedeći izrazi:
Što se tiče vrijednosti db, to je dijagonala pravokutnika sa stranicama a i b. Za njega možemo napisati sljedeće jednakosti:
db2 = a2 + b2 =>
b = √(db2 - a2)
Zamjenom pronađenog izraza za a u posljednju jednakost, dobijamo:
b = √(db2 - da2/2)
Sada možete zamijeniti rezultirajuće formule u izraz za volumen regularne figure:
V = a2*b = da2/2*√(db2 - da2/2)
Zamjenom da i db brojevima iz navoda problema dolazimo do odgovora: V ≈ 1304 cm3.
Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli površinu baze prizme, morat ćete razumjeti koju vrstu ima.
Opća teorija
Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štaviše, njegova baza može biti bilo koji poliedar - od trokuta do n-ugla. Štaviše, baze prizme su uvijek jednake jedna drugoj. Ono što se ne odnosi na bočne strane je da se mogu značajno razlikovati po veličini.
Prilikom rješavanja problema ne nailazi se samo na površinu osnove prizme. Može zahtijevati poznavanje bočne površine, odnosno svih lica koja nisu baze. Puna površina već će postojati sjedinjenje svih lica koja čine prizmu.
Ponekad problemi uključuju visinu. Ona je okomita na baze. Dijagonala poliedra je segment koji spaja u paru bilo koja dva vrha koji ne pripadaju istoj površini.
Treba napomenuti da površina osnove ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjoj i donjoj strani, tada će njihove površine biti jednake.
Trouglasta prizma
U osnovi ima lik sa tri vrha, odnosno trokut. Kao što znate, može biti drugačije. Ako je tako, dovoljno je zapamtiti da je njegova površina određena polovicom proizvoda nogu.
Matematička notacija izgleda ovako: S = ½ av.
Da biste saznali površinu baze općenito, korisne su formule: Čaplja i ona u kojoj se polovina stranice uzima visinom koja joj se povlači.
Prvu formulu treba napisati na sljedeći način: S = √(r (r-a) (r-v) (r-s)). Ova notacija sadrži poluperimetar (p), odnosno zbir tri strane podijeljen sa dva.
Drugo: S = ½ n a * a.
Ako želite saznati površinu osnove trokutaste prizme, koja je pravilna, tada se ispostavlja da je trokut jednakostraničan. Za to postoji formula: S = ¼ a 2 * √3.
Četvorougaona prizma
Njegova osnova je bilo koji od poznatih četverouglova. Može biti pravougaonik ili kvadrat, paralelepiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu baze prizme, trebat će vam vlastita formula.
Ako je osnova pravougaonik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = ab, gdje su a, b stranice pravougaonika.
Kada je u pitanju četverokutna prizma, površina osnove pravilne prizme izračunava se pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u temelju. S = a 2.
U slučaju kada je baza paralelepiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S = a * n a. Dešava se da su stranica paralelepipeda i jedan od uglova date. Zatim, da biste izračunali visinu, moraćete da koristite dodatnu formulu: n a = b * sin A. Štaviše, ugao A je susedan strani „b“, a visina n je suprotna ovom uglu.
Ako se u osnovi prizme nalazi romb, tada će vam trebati ista formula kao i za paralelogram za određivanje njegove površine (pošto je to poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovo: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.
Pravilna petougaona prizma
Ovaj slučaj uključuje podjelu poligona na trouglove čije je površine lakše pronaći. Iako se dešava da figure mogu imati različit broj vrhova.
Pošto je osnova prizme pravilan petougao, može se podijeliti na pet jednakostraničnih trouglova. Tada je površina osnove prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore), pomnožena sa pet.
Pravilna heksagonalna prizma
Koristeći princip opisan za pentagonalnu prizmu, moguće je podijeliti šesterokut baze na 6 jednakostraničnih trouglova. Formula za osnovnu površinu takve prizme slična je prethodnoj. Samo to treba pomnožiti sa šest.
Formula će izgledati ovako: S = 3/2 a 2 * √3.
Zadaci
Broj 1. Zadata pravilna prava linija, njena dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu osnove prizme i cijele površine.
Rješenje. Osnova prizme je kvadrat, ali njena stranica je nepoznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njenom visinom (h). x 2 = d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment “x” je hipotenuza u trokutu čiji su kraci jednaki stranici kvadrata. To jest, x 2 = a 2 + a 2. Tako ispada da je a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Zamijenite broj 22 umjesto d, a "n" zamijenite njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm. Sada samo saznajte površinu baze: 12 * 12 = 144 cm 2.
Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dva puta osnovnu površinu i učetvorostručiti bočnu površinu. Potonje se lako može pronaći pomoću formule za pravougaonik: pomnožite visinu poliedra i stranu baze. To jest, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. ukupna površina Ispada da je površina prizme 960 cm 2.
Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm 2. Ukupna površina je 960 cm 2.
2. Zadato U osnovi je trokut sa stranicom od 6 cm.U ovom slučaju dijagonala bočne strane je 10 cm.Izračunajte površine: osnovica i bočna površina.
Rješenje. Pošto je prizma pravilna, njena osnova je jednakostranični trougao. Stoga se ispostavlja da je njegova površina jednaka 6 na kvadrat, pomnoženo sa ¼ i kvadratnim korijenom od 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.
Sve bočne strane su iste i predstavljaju pravokutnike sa stranicama od 6 i 10 cm. Da biste izračunali njihove površine, samo pomnožite ove brojeve. Zatim ih pomnožite sa tri, jer prizma ima upravo toliko bočnih strana. Tada se ispostavlja da je površina bočne površine rane 180 cm 2.
Odgovori. Površine: osnova - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.
