Za dvije linije u prostoru moguća su četiri slučaja:

Prave linije se poklapaju;

Prave su paralelne (ali se ne poklapaju);

Linije se seku;

Prave se ukrštaju, tj. nemaju zajedničkih tačaka i nisu paralelne.

Razmotrimo dva načina da opišemo prave linije: kanonske jednačine i opšte jednačine. Neka su linije L 1 i L 2 date kanonskim jednadžbama:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Za svaku liniju iz njenih kanonskih jednadžbi odmah određujemo tačku na njoj M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) ∈ L 2 i koordinate vektora pravca s 1 = (l 1; m 1; n 1) za L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) za L 2.

Ako se linije poklapaju ili su paralelne, tada su njihovi vektori smjera s 1 i s 2 kolinearni, što je ekvivalentno jednakosti omjera koordinata ovih vektora:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Ako se linije poklapaju, tada je vektor M 1 M 2 kolinearan s vektorima smjera:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Ova dvostruka jednakost takođe znači da tačka M 2 pripada pravoj L 1. Prema tome, uslov da se prave poklapaju je da istovremeno zadovolje jednakosti (6.10) i (6.11).

Ako se prave sijeku ili ukrštaju, onda su njihovi vektori smjera nekolinearni, tj. uslov (6.10) je prekršen. Prave koje se seku leže u istoj ravni i, prema tome, vektori s 1 , s 2 i M 1 M 2 su komplanarnoodrednica trećeg reda, sastavljen od njihovih koordinata (vidi 3.2):

Uslov (6.12) je zadovoljen u tri od četiri slučaja, jer za Δ ≠ 0 prave ne pripadaju istoj ravni i stoga se seku.

Hajde da spojimo sve uslove:


Međusobni dogovor prave linije karakteriše broj rješenja sistema (6.13). Ako se linije poklapaju, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Ako se linije seku, onda ovaj sistem ima jedina odluka. U slučaju paralele ili ukrštanja nema direktnih rješenja. Posljednja dva slučaja mogu se razdvojiti pronalaženjem vektora smjera linija. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati dva vektorsko umjetničko djelo n 1 × n 2 i n 3 × n 4, gdje je n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Ako su rezultirajući vektori kolinearni, tada su date prave paralelne. Inače se križaju.

Primjer 6.4.


Vektor pravca s 1 prave L 1 nalazi se pomoću kanonske jednačine ova linija: s 1 = (1; 3; -2). Vektor pravca s 2 prave L 2 izračunava se pomoću vektorski proizvod normalni vektori ravnina čiji je presjek:

Pošto je s 1 = -s 2, tada su prave paralelne ili se poklapaju. Hajde da saznamo koja je od ovih situacija realizovana za ove linije. Da bismo to učinili, zamijenimo koordinate tačke M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 u opšte jednačine prava linija L 2. Za prvu od njih dobijamo 1 = 0. Prema tome, tačka M 0 ne pripada pravoj L 2 i razmatrane prave su paralelne.

Ugao između pravih linija. Ugao između dvije prave linije može se pronaći pomoću vektori smjera ravno Oštar ugao između pravih linija jednaka uglu između njihovih vektora pravca (slika 6.5) ili je dodatna uz njega ako je ugao između vektora pravca tup. Dakle, ako su za linije L 1 i L 2 poznati njihovi vektori pravca s x i s 2, onda oštri ugaoφ između ovih linija određuje se kroz skalarni proizvod:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Na primjer, neka je s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Koristeći formule (2.9) i (2.14) za izračunavanje dužina vektora i skalarni proizvod u koordinatama, dobijamo

Ako dvije prave leže na ravni, tada su moguća tri različita slučaja njihovog relativnog položaja: 1) prave se sijeku (tj. imaju jednu zajednička tačka), 2) prave su paralelne i ne poklapaju se, 3) prave se poklapaju.

Hajde da saznamo kako da saznamo koji od ovih slučajeva se dešava ako se linijama daju sopstvene jednadžbe

Ako se prave sijeku, odnosno imaju jednu zajedničku tačku, tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti obje jednačine (15). Shodno tome, da bismo pronašli koordinate tačke preseka pravih, potrebno je zajedno rešiti njihove jednačine. U tu svrhu, eliminirajmo prvo nepoznato x, za što pomnožimo prvu jednačinu sa , a drugu sa A, i oduzmemo prvu od druge. imat će:

Da bismo isključili nepoznato y iz jednadžbi (15), pomnožimo prvu od njih sa, a drugu sa i oduzmemo drugu od prve. Dobijamo:

Ako tada iz jednačina (15) i (15") dobijemo rješenje sistema (15):

Formule (16) daju koordinate x, y preseka dviju pravih.

Dakle, ako se tada prave sijeku. Ako onda formule (16) nemaju smisla. Kako se nalaze linije u ovom slučaju? Lako je vidjeti da su u ovom slučaju prave paralelne. Zaista, iz uvjeta slijedi da (ako , tada su prave linije paralelne s Oy osi i, prema tome, paralelne jedna s drugom).

Dakle, ako su tada prave paralelne. Uvjet koji se razmatra može se zapisati u obliku da možemo reći da ako su u jednadžbama linija odgovarajući koeficijenti za trenutne koordinate proporcionalni, onda su prave paralelne.

Konkretno, paralelne prave se mogu poklapati. Hajde da saznamo koji je analitički znak podudarnosti linija. Da biste to učinili, razmotrite jednačine (15) i ). Ako su slobodni članovi ovih jednačina oba jednaka nuli, tj.

tj. koeficijenti nepoznanica i slobodnih članova jednačina (15) su proporcionalni. U ovom slučaju, jedna od jednačina sistema se dobija iz druge množenjem svih njenih članova nekim zajedničkim faktorom, tj. jednačine (15) su ekvivalentne. Shodno tome, razmatrane paralelne prave se poklapaju.

Ako barem jedan od besplatni članovi jednadžbe (15) i ) bit će različite od nule (ili ili

tada jednačine (15) i (15"), a samim tim i jednačine (15), neće imati rješenja (najmanje jedna od jednačina (15) ili (15") će biti nemoguća). U ovom slučaju, paralelne linije se neće poklapati.

Dakle, uslov (neophodan i dovoljan) za podudarnost dve prave je proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata njihovih jednačina:

Primer 1. Naći tačku preseka pravih linija

Zajedno rješavajući jednačine, pomnožite drugu sa 3.

https://accounts.google.com


Naslovi slajdova:

Prezentacija o likovnoj umjetnosti na temu: "Prave linije i organizacija prostora" Izvođač: nastavnik likovne kulture MOBU Srednje škole br. 1 po imenu I.D. Buvaltsev Krasnodar region Korenovsk Popović Galina Ivanovna

Kombinacija raznih pravokutnika i linija daje kompoziciju više raznolikosti i zabavu.

Prave linije su jednostavan, ali vrlo izražajan element.

Prije nego počnete raditi, odredite ulogu linije u kompoziciji. Prije svega, linija dijeli avion na odvojene dijelove.

Linija dijeli prostor i istovremeno jača međusobnu povezanost svih elemenata kompozicije. Linije pomažu da se ujedine u slikovnu cjelinu.

Linija unosi dinamiku i dodaje ritmičku ekspresivnost kompoziciji.

Emocionalne slike

Zlatne daske

Kompozicija se sastoji ne samo od vizuelnih elemenata, već i od prostora između njih. Smjenjivanje slikovnih elemenata i slobodnih prostora, njihova učestalost, zgušnjavanje i oskudnost je RITAM. Na ritam utiče stepen osvetljenosti elemenata i njihov oblik.

Glavna stvar je postići skladan raspored linija i pravokutnika, stvoriti holističku, ritmičku, uravnoteženu kompoziciju.

Linije više od pravougaonika. Oni utiču na ritmičku strukturu kompozicije. Svojim smjerom, gustinom i sjecištima određuju kretanje i izraz cjelokupne slike.

Postignite razlike u krupnom planu planova - to stvara vizualnu polifoniju, intonacijsko bogatstvo i, shodno tome, veću ekspresivnost kompozicije.

Ritam i naglašenost planova

ZADACI: Prave su element organizovanja planarne kompozicije. 1. Postavljanjem i međusobnim presijecanjem 3-4 prave linije različite debljine postići skladnu podjelu prostora (koristite linije koje se protežu). 2. Napravite kompoziciju od 2-3 pravougaonika i 3-4 prave linije, koje svojim rasporedom povezuju elemente u jedinstvenu kompozicionu celinu. Napravite: a) frontalnu kompoziciju; b) duboka kompozicija. 3. Napravite zanimljivu kompoziciju od proizvoljnog broja elemenata. Ritmičkim rasporedom elemenata na ravni postići emocionalni i figurativni utisak (npr. „let“, „suženje“, „usporavanje“ itd.)

Linija nije „tanji pravougaonik“, već samostalan grafički element. U radovima gdje je linija u pokretu, čini se da slikovitu radnju izvlači izvan okvira i čini kompoziciju otvorenom, otvorenijom i zanimljivijom.

Prave linije su element organizacije planarne kompozicije. 1. Postavljanjem i međusobnim presijecanjem 3-4 prave linije različite debljine postići skladnu podjelu prostora (koristite linije koje se protežu). 2. Napravite kompoziciju od 2-3 pravougaonika i 3-4 prave linije, koje svojim rasporedom povezuju elemente u jedinstvenu kompozicionu celinu. Napravite: a) frontalnu kompoziciju; b) duboka kompozicija. 3. Napravite zanimljivu kompoziciju od proizvoljnog broja elemenata. Ritmičkim rasporedom elemenata na ravni postići emocionalni i figurativni utisak (npr. „let“, „suženje“, „usporavanje“ itd.)

Korištena literatura: Udžbenik za 7-8 razred obrazovne institucije uredio B.M. Nemensky, Moskva „Prosvjeta“ 2008, rad nastavnika.

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com


Naslovi slajdova:

Prezentacija o likovnoj umjetnosti na temu: „Osnove kompozicije u konstruktivnoj umjetnosti. Harmonija, kontrast i emocionalna ekspresivnost planarne kompozicije" Izvodi: nastavnik likovne kulture srednje škole br. 1 po imenu I.D. Buvaltsev, Krasnodarska teritorija, Korenovsk Popovich Galina Ivanovna

elementi kompozicije Neka vas ne zbuni činjenica da se sve vježbe rade pomoću pravokutnika. Prvo, prilično su izražajne i, bez ometanja raznolikošću oblika, olakšavaju savladavanje kompozicijskih tehnika. Drugo, oni su prototip budućih rasporeda tekstualnih masa i ilustracija. Dizajn korica knjige

Sve pravokutne elemente kompozicije treba izrezati iz crnog ili bijelog papira (ovisno o odabranoj pozadini). Prije nego što ih konačno zalijepite, morate ih pomicati duž lista u potrazi za najbolja opcija rasporedom, smanjuju ili povećavaju njihovu veličinu, postižući uravnoteženu kompoziciju.

Stvorite sukob između bijelog polja i crne tačke. Radnja, ako želite - intriga, konstruktivna kompozicija sastoji se upravo od opozicije, kontrasta, omjera masa (u ovom slučaju - pravokutnika).

PRAKTIČNI RAD Uradimo vježbe za proučavanje principa ravnoteže i kretanja u planarnoj kompoziciji. Odabrat ćemo pravokutnike kao elemente kompozicije. Presavijte A4 list na pola i ponovo na pola - dobijamo četiri pravokutnika za četiri vježbe. Ove vježbe se mogu raditi i na računaru. Vježba 1. Ravnoteža mase. Razmotrite bijeli pravougaonik, procijenite bijeli prostor i za njega odaberite crni pravougaonik takve veličine da su crne i bijele boje izbalansirane, izbalansirane

Vježba 2. Dinamika mase. Zakomplikujmo zadatak i postavimo crni pravougaonik pod uglom u odnosu na bijelu ravan. Šta je zanimljivije? Izrazitije? Crni pravougaonik, zbog svoje lokacije, stvara osjećaj "pokretanja". Unošenjem dodatnih elemenata u kompoziciju možete pojačati osjećaj pokreta, ili, naprotiv, možete ga "zaustaviti"

Simetrija Ravnoteža kompozicije se često povezuje sa simetrijom. Od davnina se simetrija smatra jednim od uslova lepote. Stari Grci su vjerovali da je svemir simetričan samo zato što je simetrija lijepa. Ideja simetrije često je bila polazna tačka u hipotezama i teorijama naučnika prošlih vekova koji su verovali u matematički sklad univerzuma. Koncept simetrije nije ograničen na simetriju objekata. To se također odnosi na fizičke pojave i njihovi menadžeri fizički zakoni. To je simetrija koja nam omogućava da prihvatimo širok spektar tijela iz jedinstvene pozicije. "Simetrija" u prijevodu s grčkog znači "proporcionalnost"

Asimetrija Metoda harmonije, u kojoj je slika na lijevoj strani slična desnoj, gornja je slična donjoj dijagonalno, horizontalno, vertikalno ili duž druge izlomljene ose, naziva se simetrija, a sama kompozicija je simetrična. Simetrija postiže harmoniju nestankom slikovnog sukoba, a sama kompozicija se pretvara u ornament. Rezultat je ujednačenost i monotonija. Prisjetimo se Puškina u "Pikovoj dami": "Staričin namještaj stajao je u tužnoj simetriji." Asimetrija vam omogućava da postignete dinamiku i napetost u kompoziciji bez gubitka harmonije cjeline. Kada se koristi asimetrija, kompozicija postaje izražajnija i zanimljivija. U slučaju asimetrije nema ose ili ravni simetrije (Gaudi tabela) 14 godina

Ako se simetrična ravnotežna forma percipira lako i odmah, tada se asimetrična dinamička forma čita postepeno. Uravnotežena, uravnotežena kompozicija V. Lebedeva može se suprotstaviti dinamičnoj, asimetričnoj kompoziciji D. Shterenberga

Peter Cornelis Mondrian je apstraktni umjetnik koji je svoj život posvetio potrazi za ravnotežom i ravnotežom, stvarajući i vodeći grupu “Style” koja je ostavila svijetli trag u povijesti. savremena umetnost. U svojim radovima je „uništavao“ dinamiku. Njegove kompozicije su potpuno izbalansirane i besprijekorno izbalansirane. Osim toga, Mondrian je bio i osnivač "neoplasticizma" - strogog apstraktnog pokreta zasnovanog na korištenju rešetke horizontalnih i vertikalnih linija koje se seku kao glavnog kompozicionog motiva. Trideset godina svog života izvodio je sakralne radnje na platnima, slikao ih u pravokutnike i kvadrate i slikao nastala geometrijska polja ili intenzivnim jarkim bojama, ili (kasnije) laganim i prozirnim nijansama bijele, sive, bež ili plavičaste.

Vježba 3. Simetrija. Bijela ravan je već definirana. Izrežite nekoliko crnih ili obojenih pravokutnika i stvorite simetričnu kompoziciju.

Ritam Među kompozicionim obrascima treba izdvojiti grupu sredstava koje objedinjuje koncept ritma. Sama riječ "ritam", prevedena sa starogrčkog, znači "otkucaj" ili "proporcionalnost". Živimo u svijetu promjenjivih ritmova. Stavite ruku na grudi, slušajte ritam svog srca – ujednačeno i mirno. Slušajte ritmove grada - zvuk automobila, koraka, naleta vjetra, zvuk kapi kiše. Ritam se može uočiti ne samo slušno, već i vizualno. Posmatrajte izmjenu svjetla i sjene dok se krećete. Međutim, ritam je karakterističan ne samo za pokret, već i za statični objekt. Pogledajte redove klupa u učionici, naizmjence prozorskih otvora u školskim hodnicima. Ritam, zahvaljujući ponavljanju elemenata, stvara utisak uslovljenog pokreta. Smjenjivanje slikovnih elemenata i slobodnih prostora, njihova učestalost, zgušnjavanje i oskudnost naziva se ritam. Ritam može biti miran i nemiran, usmjeren u jednom smjeru ili konvergirajući prema centru, usmjeren i horizontalno i vertikalno. Možete mijenjati elemente, volumene, mrlje u boji, neke detalje itd.

Kontrasti su uticajna snaga kompozicije i određuju njenu ekspresivnost. Kontrast je oštro izražena suprotnost: dugo - kratko, debelo - tanko, veliko - malo. Kontrast je jedno od glavnih sredstava kompozicije. Postoje kontrasti u veličini, volumenu i ravni, svjetlu i sjeni (tonski kontrasti), toplim i hladnim bojama, različitim teksturama, itd. Kontrastna poređenja pomažu da se izoštri percepcija cjeline. Kontrast pojačava i naglašava razliku u svojstvima forme, čineći njihovo jedinstvo intenzivnijim i impresivnijim. Vrlo jak kontrast može vizualno uništiti kompozicionu strukturu, tako da je stupanj korištenog kontrasta ograničen zahtjevom da se održi integritet utiska. U obliku, proporcijama, boji, kontrastu naglašavaju jasno izraženu suprotnost, a nijansa u sebi nosi jedva primjetan prijelaz, nijansu. Nijansa je, kao i kontrast, način izražajnosti u kompoziciji. Ekspresivnost u kompoziciji usko je povezana sa harmonijom, čiji je glavni zadatak da stvori utisak ravnoteže, gracioznosti i preciznosti dela (El Lissitzky. poster „Pobijte bele crvenim klinom“, 1920.)

Vježba 4. Ritam. Kreirajmo ritmičku kompoziciju koristeći linije i pravokutnike, krugove i tačke. Zadatak možete dovršiti rezanjem ritmički naizmjeničnih linija. Preporučljivo je izrezati sve elemente kompozicije ne škarama, već nožem za matičnu ploču.

Statička frontalna kompozicija. Statičku frontalnu kompoziciju ili dinamičniju dubinsku kompoziciju treba graditi na razlici u veličinama pravougaonika. Dominantni je centar pažnje u kompoziciji (sl. 2). Dominantna nije uvijek najveći element kompozicije, ona može biti najmanja izolirana forma koja stvara plastični sukob. Da biste postigli ravnotežu mase, možete "gurnuti" pravokutnike jedan na drugi u kompoziciji. Figura unutar granica "preklapanja" bi trebala biti bijela ako su pravokutnici crni, i obrnuto

Obratite pažnju na tako banalan trenutak rada kao potpis. Pazite da je potpis napisan na poleđini lista i olovkom. Ubuduće, nakon upoznavanja sa fontom, možete kreirati svoju oznaku, svoj znak, kojim će svako označavati svoje radove, uključujući i izglede.


Prave linije i organizacija prostora

Prave linije - jednostavno, ali vrlo
ekspresivni element:
-linija deli ravan na
odvojeno
dijelovi;
-linija pomaže da se ujedinimo
kompozicija
u jedinstvenu celinu;
-line, u većoj meri od
pravougaonik
utiče na ritmičku konstrukciju
kompozicije.

Frontalne i duboke kompozicije linija
i pravougaonici

čak i najjednostavnijim sredstvima
možete postići emocionalno
slike

Linija nije "tanja"
pravougaonik", i nezavisni
figurativni element Priložena linija
ekspresivnost celokupne kompozicije. IN
radi tamo gdje linija prolazi do kraja (od ruba do ruba
list), ona kao da vadi
figurativno djelovanje izvan granica i
čini kompoziciju otvorenom, otvorenom
i zanimljivije.
Tanak, dug i
ravne linije su izrezane
duž linije

Radni
gore
njihov
kompozicije,
ostvariti razlike u veličini planova,
jer stvara vizuelno
polifonija, intonacijsko bogatstvo i,
shodno tome, veća ekspresivnost
kompozicije.

ZADACI
Prave linije - element planarne organizacije
kompozicije.
1. Lokacija i međusobni presek 3-4 prave
različite debljine postižu skladnu podjelu
prostor (koristite ravne linije).
2. Napravite kompoziciju od 2-3 pravougaonika i 3-4 prave linije
linije koje svojom lokacijom povezuju elemente u
jedinstvenu kompozicionu celinu. Kreirajte: a) frontalni
sastav; b) duboka kompozicija.
3. Napravite zanimljiv od proizvoljnog broja elemenata
kompozicija.
Ritmički ređajući elemente na ravni, postići
emocionalno-figurativni dojam (na primjer, "let", sužavanje, "usporavanje" itd.).
Zadaci se mogu obavljati na računaru.