На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.
Формулировка темы урока
Рас-смот-рим фор-му-лу квад-ра-та суммы:
Выведение и доказательство формулы квадрата суммы
Итак, мы вы-ве-ли фор-му-лу квад-ра-та суммы:
Сло-вес-но эта фор-му-ла вы-ра-жа-ет-ся так: квад-рат суммы равен квад-ра-ту пер-во-го числа плюс удво-ен-ное про-из-ве-де-ние пер-во-го числа на вто-рое плюс квад-рат вто-ро-го числа.
Дан-ную фор-му-лу легко пред-ста-вить гео-мет-ри-че-ски.
Рас-смот-рим квад-рат со сто-ро-ной :
Пло-щадь квад-ра-та.
С дру-гой сто-ро-ны, этот же квад-рат можно пред-ста-вить иначе, раз-бив сто-ро-ну на а и b (рис. 1).
Рис. 1. Квад-рат
Тогда пло-щадь квад-ра-та можно пред-ста-вить в виде суммы пло-ща-дей:
По-сколь-ку квад-ра-ты были оди-на-ко-вы, то их пло-ща-ди равны, зна-чит:
Итак, мы до-ка-за-ли гео-мет-ри-че-ски фор-му-лу квад-ра-та суммы.
Решение примеров на формулу квадрат суммы
Рас-смот-рим при-ме-ры:
При-мер 1:
Ком-мен-та-рий: при-мер решен с при-ме-не-ни-ем фор-му-лы квад-ра-та суммы.
При-мер 2:
При-мер 3:
Выведение формулы квадрата разности
Вы-ве-дем фор-му-лу квад-ра-та раз-но-сти:
Итак, мы вы-ве-ли фор-му-лу квад-ра-та раз-но-сти:
Сло-вес-но эта фор-му-ла вы-ра-жа-ет-ся так: квад-рат раз-но-сти равен квад-ра-ту пер-во-го числа минус удво-ен-ное про-из-ве-де-ние пер-во-го числа на вто-рое плюс квад-рат вто-ро-го числа.
Решение примеров на формулу квадрат разности
Рас-смот-рим при-ме-ры:
При-мер 4:
При-мер 5:
При-мер 6:
Фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти могут ра-бо-тать как слева на-пра-во, так и спра-ва на-ле-во. При ис-поль-зо-ва-нии слева на-пра-во это будут фор-му-лы со-кра-щен-но-го умно-же-ния, они при-ме-ня-ют-ся при вы-чис-ле-нии и пре-об-ра-зо-ва-нии при-ме-ров. А при ис-поль-зо-ва-нии спра-ва на-ле-во - фор-му-лы раз-ло-же-ния на мно-жи-те-ли.
Рас-смот-рим при-ме-ры, в ко-то-рых нужно раз-ло-жить за-дан-ный мно-го-член на мно-жи-те-ли, при-ме-няя фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти. Для этого нужно очень вни-ма-тель-но по-смот-реть на мно-го-член и опре-де-лить, как имен-но его пра-виль-но раз-ло-жить.
Решение примеров на разложение многочлена на множители
При-мер 7:
Ком-мен-та-рий: для того, чтобы раз-ло-жить мно-го-член на мно-жи-те-ли, нужно опре-де-лить, что пред-став-ле-но в дан-ном вы-ра-же-нии. Итак, мы видим квад-рат и квад-рат еди-ни-цы. Те-перь нужно найти удво-ен-ное про-из-ве-де-ние - это . Итак, все необ-хо-ди-мые эле-мен-ты есть, нужно толь-ко опре-де-лить, это квад-рат суммы или раз-но-сти. Перед удво-ен-ным про-из-ве-де-ни-ем стоит знак плюс, зна-чит, перед нами квад-рат суммы.
При-мер 8:
При-мер 9:
Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го при-ме-ра нужно вы-не-сти минус за скоб-ки, чтобы можно было уви-деть нуж-ную нам фор-му-лу.
Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности
Пе-рей-дем к ре-ше-нию урав-не-ний:
При-мер 10:
Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го урав-не-ния нужно упро-стить левую часть, при-ме-няя фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та раз-но-сти, после этого при-ве-сти по-доб-ные члены. После этого пе-ре-не-сти все неиз-вест-ные в левую часть, а сво-бод-ный член в пра-вую и ре-шить эле-мен-тар-ное ли-ней-ное урав-не-ние.
При-мер 11:
Вы-чис-лить: .
Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го при-ме-ра нужно при-ме-нить фор-му-лы раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та суммы, после этого со-кра-тить по-лу-чен-ную дробь.
При-мер 12:
До-ка-зать ра-вен-ство:
Раз-ло-жим на мно-жи-те-ли :
Из каж-до-го мно-жи-те-ля вы-не-сем минус еди-ни-цу за скоб-ки:
Мы до-ка-за-ли ра-вен-ство (a - b)2 = (b - a)2.
Дан-ное ра-вен-ство яв-ля-ет-ся очень по-лез-ным при упро-ще-нии вы-ра-же-ний. Рас-смот-рим при-мер.
При-мер 13:
Раз-ло-жить на мно-жи-те-ли: .
При-мер 14:
До-ка-жи-те, что квад-рат вся-ко-го нечет-но-го числа, умень-шен-ный на еди-ни-цу, де-лит-ся на во-семь.
Пред-ста-вим про-из-воль-ное нечет-ное число как , а его квад-рат, со-от-вет-ствен-но, как . За-пи-шем вы-ра-же-ние со-глас-но усло-вию:
Упро-стим по-лу-чен-ное вы-ра-же-ние:
Чтобы до-ка-зать, что по-лу-чен-ное вы-ра-же-ние крат-но вось-ми, нам нужно до-ка-зать, что оно де-лит-ся на 2 и на 4. Оче-вид-но, что вы-ра-же-ние крат-но че-ты-рем, так как в нем есть мно-жи-тель 4. По-это-му нам нужно до-ка-зать, что де-лит-ся на 2.
За-пись - это про-из-ве-де-ние двух по-сле-до-ва-тель-ных чисел, а оно все-гда крат-но двум, так как из двух по-сле-до-ва-тель-ных чисел одно все-гда будет чет-ным, а вто-рое, со-от-вет-ствен-но, нечет-ным, а про-из-ве-де-ние чет-но-го числа на нечет-ное крат-но двум, зна-чит, вы-ра-же-ние крат-но вось-ми. Итак, мы до-ка-за-ли, что квад-рат вся-ко-го нечет-но-го числа, умень-шен-ный на еди-ни-цу, де-лит-ся на во-семь.
Выводы по уроку
Вывод : на дан-ном уроке мы вы-ве-ли фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти и на-учи-лись ре-шать самые раз-но-об-раз-ные за-да-чи на при-ме-не-ние этих фор-мул.
На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.
Формулировка темы и цели урока и напоминание материала предыдущего урока
На-пом-ним, что на преды-ду-щем уроке мы рас-смот-ре-ли фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти. За-пи-шем их:
Вывод формулы разности квадратов
Вы-ве-дем фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов. Вы-пол-ним умно-же-ние дву-чле-нов по пра-ви-лу:
Сло-вес-но дан-ная фор-му-ла вы-гля-дит так: раз-ность квад-ра-тов двух вы-ра-же-ний равна про-из-ве-де-нию суммы этих вы-ра-же-ний на их раз-ность.
Мы на-зы-ва-ем раз-но-стью квад-ра-тов.
Мы на-зы-ва-ем квад-ра-том раз-но-сти, не сле-ду-ет пу-тать два этих вы-ра-же-ния.
Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки
Рас-смот-рим при-ме-не-ние фор-мул в ти-по-вых за-да-чах. Нач-нем с задач на пря-мое при-ме-не-ние фор-му-лы.
При-мер 1: 
.
При-мем за , за , по-лу-чим:
.
Рас-пи-шем со-глас-но фор-му-ле:
Пе-рей-дем к ис-ход-ным пе-ре-мен-ным:
Стан-дарт-ная ошиб-ка:
по-ме-ня-ем в скоб-ке со зна-ком плюс сла-га-е-мые ме-ста-ми, по-лу-чим:
.
Часто при такой за-пи-си пу-та-ют, какой квад-рат сле-ду-ет вы-честь из ка-ко-го:
Решение примеров на прямое применение формулы
При-мер 2:
Ком-мен-та-рий : если воз-ни-ка-ют за-труд-не-ния, можно, ана-ло-гич-но преды-ду-ще-му при-ме-ру, за-ме-нить одно из вы-ра-же-ний на а, а вто-рое на b, чтобы легче было уви-деть нуж-ную фор-му-лу.
При-мер 3:
Ком-мен-та-рий : в дан-ном при-ме-ре сле-ду-ет быть вни-ма-тель-ны-ми и не до-пу-стить ти-по-вую ошиб-ку, опи-сан-ную выше. Для этого удоб-но в пер-вой скоб-ке по-ме-нять сла-га-е-мые ме-ста-ми.
Пе-рей-дем к за-да-чам на об-рат-ное при-ме-не-ние фор-му-лы - раз-ло-же-ние на мно-жи-те-ли.
При-мер 4:
Ком-мен-та-рий: при-мер решен из опре-де-ле-ния раз-но-сти квад-ра-тов. Нужно толь-ко опре-де-лить, квад-ра-том ка-ко-го вы-ра-же-ния яв-ля-ет-ся пер-вый од-но-член и вто-рой.
При-мер 5:
При-мер 6:
Ком-мен-та-рий : в дан-ном при-ме-ре нужно несколь-ко раз при-ме-нить изу-ча-е-мую фор-му-лу. Может быть за-да-но из по-лу-чен-ной в конце длин-ной фор-му-лы по-лу-чить стан-дарт-ный вид мно-го-чле-на, тогда нужно по-сте-пен-но пе-ре-мно-жать скоб-ки между собой и сво-ра-чи-вать вы-ра-же-ние до про-стей-ше-го.
Примеры на комплексное применение нескольких формул
Сле-ду-ю-щий тип задач - ком-би-ни-ро-ван-ное при-ме-не-ние несколь-ких фор-мул.
При-мер 7 - упро-стить:
Ком-мен-та-рий: в дан-ном при-ме-ре нужно при-ме-нить две фор-му-лы: раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та раз-но-сти, в по-лу-чен-ном вы-ра-же-нии при-ве-сти по-доб-ные члены.
При-мер 8:
Решение уравнений и вычислительных задач
Пе-рей-дем к ре-ше-нию урав-не-ний.
При-мер 9:
Рас-смот-рим вы-чис-ли-тель-ные за-да-чи.
При-мер 10:
При-мер 11:
Выводы по уроку и домашнее задание
Вывод : на дан-ном уроке мы вы-ве-ли фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов и ре-ши-ли много раз-лич-ных при-ме-ров, а имен-но урав-не-ния, вы-чис-ли-тель-ные за-да-чи, за-да-ния на пря-мое и об-рат-ное ис-поль-зо-ва-ние вы-ве-ден-ной фор-му-лы и дру-гие. Кроме того, ре-ши-ли несколь-ко задач на ком-плекс-ное при-ме-не-ние несколь-ких фор-мул.
На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.
Выведение формулы разности кубов
При изу-че-нии фор-мул со-кра-щен-но-го умно-же-ния мы уже изу-чи-ли:
Квад-рат суммы и раз-но-сти;
Раз-ность квад-ра-тов.
Вы-ве-дем фор-му-лу раз-но-сти кубов.
Наша за-да-ча - до-ка-зать, что при рас-кры-тии ско-бок в пра-вой части и при-ве-де-нии по-доб-ных сла-га-е-мых мы при-дем в ре-зуль-та-те к левой части.
Вы-ра-же-ние на-зы-ва-ет-ся непол-ным квад-ра-том суммы, так как от-сут-ству-ет двой-ка перед про-из-ве-де-ни-ем вы-ра-же-ний.
Выведение формулы суммы кубов
Опре-де-ле-ние
Раз-ность кубов двух вы-ра-же-ний есть про-из-ве-де-ние раз-но-сти этих вы-ра-же-ний на непол-ный квад-рат их суммы.
Вы-ве-дем фор-му-лу суммы кубов.
Вы-пол-ня-ем умно-же-ние мно-го-чле-нов:
Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.
Вы-ра-же-ние на-зы-ва-ет-ся непол-ным квад-ра-том раз-но-сти, так как от-сут-ству-ет двой-ка перед про-из-ве-де-ни-ем вы-ра-же-ний.
Задачи на упрощение выражений
Опре-де-ле-ние
Сумма кубов двух вы-ра-же-ний есть про-из-ве-де-ние суммы этих вы-ра-же-ний на непол-ный квад-рат их раз-но-сти.
При-мер 1 - упро-стить вы-ра-же-ние:
Пусть и , имеем:
Это изу-ча-е-мая фор-му-ла - раз-но-сти кубов:
При-мер 2 - упро-стить вы-ра-же-ние:
Пусть и , имеем:
Это изу-ча-е-мая фор-му-ла - суммы кубов.
Применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители, быстрого умножения многочленов. Большинство формул сокращенного умножения можно получить из бинома Ньютона - в этом Вы скоро убедитесь.
Формулы для квадратов применяют в вычислениях чаще. Их начинают изучать в школьной программе начиная с 7 класса и до конца обучения формулы для квадратов и кубов школьники должны знать на зубок.
Формулы для кубов не сильно сложные и их нужно знать при сведении многочленов к стандартному виду, для упрощения подъема суммы или разности переменной и числа к кубу.
Формулы обозначены красным получают из предыдущих группировкой подобных слагаемых.
Формулы для четвертого и пятого степени в школьном курсе мало кому пригодятся, однако есть задачи при изучении высшей математики где нужно вычислять коэффициенты при степенях.
Формулы для степени
n
расписаны
через биномиальные коэффициенты с использованием факториалов следующие
Примеры применения формул сокращенного умножения
Пример 1. Вычислить 51^2.
Решение.
Если есть калькулятор то без проблем находите
Это я пошутил - с калькулятором мудрые все, без него... (не будем о грустном).
Не имея калькулятора и зная приведенные выше правила квадрат числа находим по правилу
Пример 2. Найти 99^2.
Решение.
Применим вторую формулу
Пример 3.
Возвести в квадрат выражение
(x+y-3).
Решение. Сумму первых двух слагаемых мысленно считаем одним слагаемым и по второй формуле сокращенного умножения имеем
Пример 4.
Найти разность квадратов
11^2-9^2.
Решение. Поскольку числа небольшие то можно просто подставить значения квадратов
Но цель у нас совсем другая - научиться использовать формулы сокращенного умножения для упрощения вычислений. Для этого примера применим третью формулу
Пример 5.
Найти разность квадратов
17^2-3^2
.
Решение. На этом примере Вы уже захотите изучить правила чтобы вычисления свести к одной строке
Как видите - ничего удивительного мы не делали.
Пример 6.
Упростить выражение
(x-y)^2-(x+y)^2.
Решение.
Можно раскладывать квадраты, а позже сгруппировать подобные слагаемые. Однако можно прямо применить разность квадратов
Просто и без длинных решений.
Пример 7.
Возвести в куб многочлен
x^3-4.
Решение
. Применим 5 формулу сокращенного умножения
Пример 8.
Записать в виде разности квадратов или их сумме
а) x^2-8x+7
б) x^2+4x+29
Решение. а) Перегруппируем слагаемые
б) Упрощаем на основе предыдущих рассуждений
Пример 9.
Разложить рациональную дробь
Решение.
Применим формулу разности квадратов
Составим систему уравнений для определения констант
К утроенному первому уравнению добавим второе. Найденное значение подставляем в первое уравнение
Окончательно разложение примет вид 
Разложить рациональную дробь часто необходимо перед интегрированием, чтобы снизить степень знаменателя.
Пример 10.
Используя бином Ньютона расписать
выражение (x-a)^7.
Решение. Что такое бином Ньютона Вы вероятно уже знаете. Если нет то ниже приведены биномиальные коэффициенты
Они образуются следующим образом: по краю идут единицы, коэффициенты между ними в нижней строке образуют суммированием соседних верхних. Если ищем разницу в каком-то степени, то знаки в расписании чередуются от плюса к минусу. Таким образом для седьмого порядка получим такой расклад
Внимательно также посмотрите как меняются показатели - для первой переменной они уменьшаются на единицу в каждом следующем слагаемом, соответственно для второй - на единицу растут. В сумме показатели всегда должны быть равны степени разложения (=7 ).
Думаю на основе приведенного выше материала Вы сможете решить задачи на бином Ньютона. Изучайте формулы сокращенного умножения и применяйте везде, где это может упростить вычисления и сэкономит время выполнения задания.
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.
И так вот они:
Первая х 2 - у 2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.
Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Третья (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Пятая (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
Седьмая х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).
О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.
Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .
Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.
Формулы сокращенного умножения.
Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .
Пусть а, b R. Тогда:
1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Пример 1.
Вычислить
а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем
(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Пример 2.
Вычислить
Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим
Пример 3.
Упростить выражение
(х - у) 2 + (х + у) 2
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2
Формулы сокращенного умножения в одной таблице:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
