Συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος.
Συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος αείναι τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζει το διάνυσμα με τους θετικούς ημιάξονες των συντεταγμένων.
Για να βρούμε τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος α, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες του διανύσματος με την απόλυτη τιμή του διανύσματος.
Ιδιοκτησία:Το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων κατεύθυνσης είναι ίσο με ένα.
Έτσι σε περίπτωση προβλήματος αεροπλάνουτα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a = (ax; ay) βρίσκονται με τους τύπους:
Παράδειγμα υπολογισμού συνημιτόνων κατεύθυνσης ενός διανύσματος:
Να βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a = (3; 4).
Λύση: |α| =
Έτσι μέσα περίπτωση χωροταξικού προβλήματοςτα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a = (ax; ay; az) βρίσκονται με τους τύπους:
Ένα παράδειγμα υπολογισμού συνημιτόνων κατεύθυνσης ενός διανύσματος
Να βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a = (2; 4; 4).
Λύση: |α| =
|
Η κατεύθυνση του διανύσματος στο χώρο καθορίζεται από τις γωνίες που σχηματίζει το διάνυσμα με τους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 12). Τα συνημίτονα αυτών των γωνιών ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος: , , .
Από τις ιδιότητες των προβολών:, , . Ως εκ τούτου, Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό 2) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε μοναδιαίου διανύσματος συμπίπτουν με τα συνημίτονα κατεύθυνσής του: . |
"Πώς να βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος"
Να συμβολίσετε με άλφα, βήτα και γάμμα τις γωνίες που σχηματίζει το διάνυσμα α με τη θετική φορά των αξόνων συντεταγμένων (βλ. Εικ. 1). Τα συνημίτονα αυτών των γωνιών ονομάζονται συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος α.
Εφόσον οι συντεταγμένες a στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι ίσες με τις προβολές του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων, τότε a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (γάμα). Ως εκ τούτου: cos (άλφα)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(γάμα)= a3/|a|. Σε αυτήν την περίπτωση |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Άρα cos (άλφα)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(γάμα)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).
Πρέπει να σημειωθεί η κύρια ιδιότητα των συνημιτόνων κατεύθυνσης. Το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων διεύθυνσης ενός διανύσματος είναι ίσο με ένα. Πράγματι, cos^2(άλφα)+cos^2(βήτα)+cos^2(γάμα)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.
Πρώτος τρόπος
Παράδειγμα: δεδομένο: διάνυσμα a=(1, 3, 5). Βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσής του. Λύση. Σύμφωνα με αυτά που βρήκαμε, γράφουμε: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Έτσι, η απάντηση μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16;0,5;0,84).
Δεύτερος τρόπος
Όταν βρίσκετε τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος α, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την τεχνική του προσδιορισμού των συνημιτόνων των γωνιών χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο. Στην περίπτωση αυτή, εννοούμε τις γωνίες μεταξύ του a και των διανυσμάτων μονάδας διεύθυνσης των ορθογώνιων καρτεσιανών συντεταγμένων i, j και k. Οι συντεταγμένες τους είναι (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), αντίστοιχα. Θα πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζεται ως εξής.
Αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι φ, τότε το κλιμακωτό γινόμενο δύο ανέμων (εξ ορισμού) είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των συντελεστών των διανυσμάτων και του cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Τότε, αν b=i, τότε (a, i) = |a||i|cos(alpha), ή a1 = |a|cos(alpha). Επιπλέον, όλες οι ενέργειες εκτελούνται παρόμοια με τη μέθοδο 1, λαμβάνοντας υπόψη τις συντεταγμένες j και k.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Διάνυσμαονομάζεται διατεταγμένο ζεύγος πόντων και (δηλαδή είναι γνωστό ποιο ακριβώς από τα σημεία αυτού του ζεύγους είναι το πρώτο).
Το πρώτο σημείο ονομάζεται αρχή του διανύσματος, και το δεύτερο είναι δικό του το τέλος.
Η απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους ενός διανύσματος ονομάζεται μήκοςή διανυσματική ενότητα.
Ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν ονομάζεται μηδένκαι συμβολίζεται με ; Το μήκος του θεωρείται μηδέν. Διαφορετικά, αν το μήκος του διανύσματος είναι θετικό, τότε καλείται μη μηδενικό.
Σχόλιο. Αν το μήκος ενός διανύσματος είναι ίσο με ένα, τότε ονομάζεται ortomή μονάδα διάνυσμακαι ορίζεται .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
| Ασκηση | Ελέγξτε αν είναι διάνυσμα  μονόκλινο. |
| Λύση | Ας υπολογίσουμε το μήκος ενός δεδομένου διανύσματος, είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων: Εφόσον το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με ένα, σημαίνει ότι το διάνυσμα είναι ορθός. |
| Απάντηση | Μονάδα διάνυσμα. |
Ένα μη μηδενικό διάνυσμα μπορεί επίσης να οριστεί ως κατευθυνόμενο τμήμα.
Σχόλιο. Η κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος δεν έχει καθοριστεί.
Συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος
ΟΡΙΣΜΟΣ
Συνημίτονα κατεύθυνσηςενός ορισμένου διανύσματος ονομάζονται τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζει το διάνυσμα με τις θετικές κατευθύνσεις των αξόνων συντεταγμένων.
Σχόλιο. Η κατεύθυνση ενός διανύσματος καθορίζεται μοναδικά από τα συνημίτονά του.
Για να βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος, είναι απαραίτητο να ομαλοποιήσετε το διάνυσμα (δηλαδή, να διαιρέσετε το διάνυσμα με το μήκος του):
Σχόλιο. Οι συντεταγμένες ενός μοναδιαίου διανύσματος είναι ίσες με τα συνημίτονα κατεύθυνσής του.
ΘΕΩΡΗΜΑ
(Ιδιότητα συνημιτόνων κατεύθυνσης). Το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων κατεύθυνσης είναι ίσο με ένα:
αυτά είναι τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζει το διάνυσμα με τους θετικούς ημιάξονες των συντεταγμένων. Τα συνημίτονα κατεύθυνσης καθορίζουν μοναδικά την κατεύθυνση του διανύσματος. Αν ένα διάνυσμα έχει μήκος 1, τότε τα συνημίτονά του είναι ίσα με τις συντεταγμένες του. Γενικά, για ένα διάνυσμα με συντεταγμένες ( ένα; σι; ντο) τα συνημίτονα κατεύθυνσης είναι ίσα:
όπου a, b, g είναι οι γωνίες που κάνει το διάνυσμα με τους άξονες Χ, y, zαντίστοιχα.
21) Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε μοναδιαία διανύσματα. Το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα συντεταγμένων συμβολίζεται με , οι άξονες με , και οι άξονες με (Εικ. 1).
Για κάθε διάνυσμα που βρίσκεται στο επίπεδο, λαμβάνει χώρα η ακόλουθη επέκταση:
Αν το διάνυσμα 
που βρίσκεται στο διάστημα, τότε η επέκταση σε μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων έχει τη μορφή:
22)Προϊόν με τελείεςδύο μη μηδενικά διανύσματα και ο αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας λέγεται:
23)Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων
Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι οξεία, τότε το βαθμωτό γινόμενο τους είναι θετικό. αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία, τότε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι αρνητικό. Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια.
24) Η συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο διανυσμάτων.
Προϋπόθεση για τα διανύσματα να είναι κάθετα
Τα διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι μηδέν Δίνονται δύο διανύσματα a(xa;ya) και b(xb;yb). Αυτά τα διανύσματα θα είναι κάθετα αν η έκφραση xaxb + yayb = 0.
25) Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.
Το διανυσματικό γινόμενο δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα c=a×b που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: 1) |c|=|a| |β| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Τα διανύσματα a, b, c σχηματίζουν μια δεξιά τριάδα διανυσμάτων.
26) Συγγραμμικά και συνεπίπεδα διανύσματα..
Τα διανύσματα είναι συγγραμμικά αν η τετμημένη του πρώτου διανύσματος σχετίζεται με την τετμημένη του δεύτερου με τον ίδιο τρόπο που η τεταγμένη του πρώτου είναι με τη τεταγμένη του δεύτερου. Δίνονται δύο διανύσματα ένα (xa;ναι) Και σι (xb;yb). Αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά αν xa = x βΚαι y α = y β, Οπου R.
Διανύσματα −→ ένα,−→σικαι −→ ντολέγονται ομοεπίπεδη, εάν υπάρχει επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα.
27) Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. Μικτό γινόμενο διανυσμάτων- κλιμακωτό γινόμενο του διανύσματος α και του διανυσματικού γινόμενου των διανυσμάτων β και γ. Να βρείτε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).
Λύση:
1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
28) Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο. Η απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών διαφορών των ίδιων συντεταγμένων αυτών των σημείων.
29) Διαίρεση τμήματος σε αυτή τη σχέση. Εάν το σημείο M(x; y) βρίσκεται σε μια ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία ( , ) και ( , ), και δίνεται μια σχέση στην οποία το σημείο M διαιρεί το τμήμα , τότε οι συντεταγμένες του σημείου M καθορίζονται από τους τύπους
Αν το σημείο Μ είναι το μέσο του τμήματος, τότε οι συντεταγμένες του καθορίζονται από τους τύπους
30-31. Κλίση ευθείας γραμμήςονομάζεται εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της ευθείας. Η κλίση μιας ευθείας γραμμής συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα κ. Τότε εξ ορισμού
Εξίσωση ευθείας με κλίσηέχει τη μορφή όπου κ- ευθεία κλίση, σι– κάποιο πραγματικό αριθμό. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με συντελεστή γωνίας, μπορείτε να καθορίσετε οποιαδήποτε ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα Oy(για ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων, ο γωνιακός συντελεστής δεν ορίζεται).
33. Γενική εξίσωση ευθείας σε επίπεδο. Εξίσωση της φόρμας 
Υπάρχει γενική εξίσωση μιας ευθείας Oxy. Ανάλογα με τις τιμές σταθερά Α, Βκαι Γ είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - η ευθεία διέρχεται από την αρχή
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ox
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy
B = C = 0, A ≠0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy
A = C = 0, B ≠0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox
34.Εξίσωση ευθείας σε τμήματασε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyέχει τη μορφή όπου έναΚαι σι- μερικά μη μηδενικά πραγματικούς αριθμούς. Αυτό το όνομα δεν είναι τυχαίο, αφού απόλυτες τιμέςαριθμοί ΕΝΑΚαι σιείναι ίσα με τα μήκη των τμημάτων στα οποία κόβει η ευθεία γραμμή άξονες συντεταγμένων ΒόδιΚαι Oyαντίστοιχα (τα τμήματα υπολογίζονται από την προέλευση). Έτσι, η εξίσωση μιας γραμμής σε τμήματα διευκολύνει την κατασκευή αυτής της γραμμής σε ένα σχέδιο. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να σημειώσετε τα σημεία με συντεταγμένες και σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και να χρησιμοποιήσετε έναν χάρακα για να τα συνδέσετε με μια ευθεία γραμμή.
35. Η κανονική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή
πού είναι η απόσταση από την ευθεία προς την αρχή; – η γωνία μεταξύ της κανονικής προς την ευθεία και του άξονα.
Η κανονική εξίσωση μπορεί να ληφθεί από τη γενική εξίσωση (1) πολλαπλασιάζοντάς την με τον παράγοντα κανονικοποίησης, το πρόσημο είναι αντίθετο με το πρόσημο έτσι ώστε .
Τα συνημίτονα των γωνιών μεταξύ της ευθείας γραμμής και των αξόνων συντεταγμένων ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης, – η γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του άξονα, – μεταξύ της ευθείας γραμμής και του άξονα:
Έτσι, η κανονική εξίσωση μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
Απόσταση από το σημείο σε ευθεία γραμμήκαθορίζεται από τον τύπο 
36. Η απόσταση μεταξύ ενός σημείου και μιας ευθείας υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο: 
όπου x 0 και y 0 είναι οι συντεταγμένες του σημείου και τα A, B και C είναι συντελεστές από τη γενική εξίσωση της ευθείας
37. Αναγωγή της γενικής εξίσωσης μιας ευθείας σε κανονική. Η εξίσωση και το επίπεδο σε αυτό το πλαίσιο δεν διαφέρουν μεταξύ τους σε τίποτα άλλο εκτός από τον αριθμό των όρων στις εξισώσεις και τη διάσταση του χώρου. Επομένως, πρώτα θα πω τα πάντα για το αεροπλάνο και στο τέλος θα κάνω μια κράτηση για την ευθεία.
Έστω η γενική εξίσωση του επιπέδου: Ax + By + Cz + D = 0.
;. παίρνουμε το σύστημα: g;Mc=cosb, MB=cosa Ας το φέρουμε σε κανονική μορφή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον παράγοντα κανονικοποίησης M. Παίρνουμε: Max+Mvu+MCz+MD=0. Σε αυτή την περίπτωση MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa λαμβάνουμε το σύστημα:
M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g
Προσθέτοντας όλες τις εξισώσεις του συστήματος, παίρνουμε M*(A2 +B2+C2)=1 Τώρα το μόνο που μένει είναι να εκφράσουμε το M από εδώ για να ξέρουμε με ποιον παράγοντα κανονικοποίησης πρέπει να πολλαπλασιαστεί η αρχική γενική εξίσωση για να την φέρει σε κανονική μορφή:
M=-+1/ROOT KV A2 +B2 +C2
Το MD πρέπει πάντα να είναι μικρότερο από το μηδέν, επομένως το πρόσημο του αριθμού M λαμβάνεται αντίθετο από το πρόσημο του αριθμού D.
Με την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, όλα είναι ίδια, μόνο από τον τύπο για το M θα πρέπει απλώς να αφαιρέσετε τον όρο C2.
| Τσεκούρι + Με + Cz + ρε = 0, |
38.Γενική εξίσωση του αεροπλάνου στο χώρο λέγεται εξίσωση της μορφής
Οπου ΕΝΑ 2 + σι 2 + ντο 2 ≠ 0 .
Στον τρισδιάστατο χώρο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, οποιοδήποτε επίπεδο περιγράφεται με μια εξίσωση 1ου βαθμού (γραμμική εξίσωση). Και πίσω, οποιοδήποτε γραμμική εξίσωσηορίζει ένα επίπεδο.
40.Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα.Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyzστον τρισδιάστατο χώρο μια εξίσωση της μορφής 
, Οπου ένα, σιΚαι ντο– καλούνται πραγματικοί αριθμοί μη μηδενικοί εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα. Απόλυτες τιμές αριθμών ένα, σιΚαι ντοίσο με τα μήκη των τμημάτων που κόβει το επίπεδο στους άξονες συντεταγμένων Βόδι, OyΚαι Οζαντίστοιχα, μετρώντας από την προέλευση. Σημάδι αριθμών ένα, σιΚαι ντοδείχνει προς ποια κατεύθυνση (θετική ή αρνητική) είναι γραφικά τα τμήματα στους άξονες συντεταγμένων
41) Εξίσωση κανονικού επιπέδου.
Η κανονική εξίσωση ενός επιπέδου είναι η εξίσωσή του γραμμένη με τη μορφή
όπου , , είναι τα συνημίτονο κατεύθυνσης του επιπέδου κανονικό, π.χ
p είναι η απόσταση από την αρχή έως το επίπεδο. Κατά τον υπολογισμό των συνημιτόνων κατεύθυνσης της κανονικής, θα πρέπει να θεωρηθεί ότι κατευθύνεται από την αρχή στο επίπεδο (αν το επίπεδο διέρχεται από την αρχή, τότε η επιλογή της θετικής κατεύθυνσης της κανονικής είναι αδιάφορη).
42) Απόσταση από σημείο σε επίπεδο.Έστω το επίπεδο να δίνεται από την εξίσωση 
και δίνεται ένας βαθμός. Στη συνέχεια, η απόσταση από το σημείο στο επίπεδο καθορίζεται από τον τύπο
 |
Απόδειξη. Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι, εξ ορισμού, το μήκος της κάθετου που σύρεται από το σημείο στο επίπεδο
Γωνία μεταξύ των επιπέδων
Έστω τα επίπεδα και καθορίζονται από τις εξισώσεις και , αντίστοιχα. Πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ αυτών των επιπέδων.
Τα επίπεδα, που τέμνονται, σχηματίζουν τέσσερις δίεδρες γωνίες: δύο αμβλείες και δύο οξείες ή τέσσερις ορθές γωνίες, και οι δύο αμβλείες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, και οι δύο οξείες γωνίες είναι επίσης ίσες μεταξύ τους. Πάντα θα ψάχνουμε αιχμηρή γωνία. Για να προσδιορίσουμε την τιμή του, παίρνουμε ένα σημείο στη γραμμή τομής των επιπέδων και σε αυτό το σημείο σε καθένα από αυτά
επίπεδα, σχεδιάζουμε κάθετες στη γραμμή τομής.
Ιδιοκτησία:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
β) ορισμός γραμμικές πράξεις
το άθροισμα δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων είναι το διάνυσμα που προέρχεται από την κοινή αρχή των διανυσμάτων κατά μήκος της διαγώνιας ενός παραλληλογράμμου που έχει κατασκευαστεί σε αυτά τα διανύσματα
Η διανυσματική διαφορά είναι το άθροισμα ενός διανύσματος και ενός διανύσματος απέναντι από το διάνυσμα: 
. Ας συνδέσουμε τις αρχές των διανυσμάτων και , τότε το διάνυσμα κατευθύνεται από το τέλος του διανύσματος στο τέλος του διανύσματος. 
Η δουλειά ένα διάνυσμα με έναν αριθμό ονομάζεται διάνυσμα με συντελεστή , και στο και στο . Γεωμετρικά, ο πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό σημαίνει «έκταση» του διανύσματος κατά έναν παράγοντα, διατήρηση της κατεύθυνσης στο και αλλαγή προς το αντίθετο στο .
Από τους παραπάνω κανόνες για την πρόσθεση διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό τους με έναν αριθμό, ακολουθούν προφανείς δηλώσεις:
1. 
(η προσθήκη είναι αντικαταστατική).
2. 
(η προσθήκη είναι συνειρμική).
3. 
(ύπαρξη μηδενικού διανύσματος).
4. 
(ύπαρξη αντίθετου διανύσματος).
5. 
(η προσθήκη είναι συνειρμική).
6. (ο πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό είναι κατανεμητικός).
7. 
(η πρόσθεση του διανύσματος είναι διανεμητική).
γ) κλιμακωτό προϊόν και οι βασικές του ιδιότητες
Προϊόν με τελείεςδύο μη μηδενικά διανύσματα είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας. Εάν τουλάχιστον ένα από τα δύο διανύσματα είναι μηδέν, τότε η γωνία μεταξύ τους δεν ορίζεται και το βαθμωτό γινόμενο θεωρείται ίσο με μηδέν. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων και συμβολίζεται
, όπου και είναι τα μήκη των διανυσμάτων και , αντίστοιχα, και είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και .
Το κλιμακωτό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του ονομάζεται βαθμωτό τετράγωνο.
Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος.
Για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύουν τα ακόλουθα: ιδιότητες του προϊόντος με κουκκίδες:
η ανταλλακτική ιδιότητα ενός κλιμακωτού γινομένου.
επιμεριστική ιδιότητα 
ή 
;
συνειρμική ιδιότητα 
ή 
, όπου είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός.
το βαθμωτό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι πάντα μη αρνητικό αν και μόνο αν το διάνυσμα είναι μηδέν.
Δ) το διανυσματικό προϊόν και οι ιδιότητές του
διανυσματικό προϊόνΤο διάνυσμα a στο διάνυσμα b ονομάζεται διάνυσμα c, το μήκος του οποίου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που είναι κατασκευασμένο στα διανύσματα a και b, κάθετα στο επίπεδο αυτών των διανυσμάτων και κατευθύνεται έτσι ώστε η μικρότερη περιστροφή από το a στο Το b γύρω από το διάνυσμα c είναι αριστερόστροφα όταν το βλέπουμε από το ακραίο διάνυσμα c
Τύποι για τον υπολογισμό του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων
Διάνυσμα έργα τέχνηςδύο διανύσματα a = (a x; a y; a z) και b = (b x; b y; b z) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι ένα διάνυσμα του οποίου η τιμή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:
- Το διασταυρούμενο γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων a και b είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
- Διάνυσμα c ίσο διανυσματικό προϊόνμη μηδενικά διανύσματα a και b, είναι κάθετο σε αυτά τα διανύσματα.
- a × b = -b × a
- (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
- (α + β) × γ = α × γ + β × γ
Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο
Α) εξίσωση ευθείας με συντελεστή γωνίας
Κλίση ευθείας γραμμήςονομάζεται εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της ευθείας.
Η κλίση μιας ευθείας γραμμής συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα κ. Τότε εξ ορισμού.
Αν η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα των τεταγμένων, τότε η κλίση δεν υπάρχει (στην περίπτωση αυτή λέγεται επίσης ότι η κλίση πηγαίνει στο άπειρο).
Μια θετική κλίση μιας γραμμής υποδηλώνει αύξηση στο γράφημα της συνάρτησης, μια αρνητική κλίση υποδηλώνει μείωση. Η εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή έχει τη μορφή y=kx+b, όπου k είναι ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας, b είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας με έναν γωνιακό συντελεστή, μπορείτε να καθορίσετε οποιαδήποτε ευθεία που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα Oy (για μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων, ο γωνιακός συντελεστής δεν ορίζεται).
Β) είδη ευθύγραμμων εξισώσεων
Η εξίσωση 
που ονομάζεται γενική εξίσωσηευθείαστην επιφάνεια.
Οποιαδήποτε εξίσωση πρώτου βαθμού με δύο μεταβλητές ΧΚαι yείδος , Οπου ΕΝΑ, ΣΕΚαι ΜΕ– μερικοί πραγματικοί αριθμοί και ΕΝΑΚαι ΣΕδεν είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα, ορίζει μια ευθεία γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyστο επίπεδο, και κάθε γραμμή στο επίπεδο δίνεται από μια εξίσωση της μορφής .
Γραμμική εξίσωση της μορφής , όπου έναΚαι σι– καλούνται ορισμένοι πραγματικοί αριθμοί εκτός του μηδενός εξίσωση ευθείας σε τμήματα. Αυτό το όνομα δεν είναι τυχαίο, αφού οι απόλυτες τιμές των αριθμών ΕΝΑΚαι σιίσο με τα μήκη των τμημάτων που κόβει η ευθεία στους άξονες συντεταγμένων ΒόδιΚαι Oyαντίστοιχα (τα τμήματα υπολογίζονται από την προέλευση).
Γραμμική εξίσωση της μορφής , όπου ΧΚαι y- μεταβλητές και κΚαι σι– καλούνται μερικοί πραγματικοί αριθμοί εξίσωση ευθείας με κλίση (κ– κλίση)
Κανονική εξίσωση γραμμής σε επίπεδοσε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxyμοιάζει με 
, όπου και είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί, και ταυτόχρονα δεν είναι ίσοι με το μηδέν.
Προφανώς, η ευθεία που ορίζεται από την κανονική εξίσωση της ευθείας διέρχεται από το σημείο. Με τη σειρά τους, οι αριθμοί και στους παρονομαστές των κλασμάτων αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης αυτής της ευθείας. Ετσι, κανονική εξίσωσηευθεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyστο επίπεδο αντιστοιχεί μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης .
Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδομοιάζει 
, όπου και είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί, και ταυτόχρονα δεν είναι ίσοι με μηδέν, και είναι μια παράμετρος που παίρνει οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές.
Οι εξισώσεις παραμετρικών γραμμών καθορίζουν μια άρρητη σχέση μεταξύ των τετμημάτων και των τεταγμένων σημείων σε μια ευθεία γραμμή χρησιμοποιώντας μια παράμετρο (εξ ου και το όνομα αυτού του τύπου εξίσωσης γραμμής).
Ένα ζεύγος αριθμών που υπολογίζονται από τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας για κάποια πραγματική τιμή της παραμέτρου αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου της ευθείας. Για παράδειγμα, όταν έχουμε 
, δηλαδή το σημείο με συντεταγμένες βρίσκεται σε ευθεία γραμμή.
Πρέπει να σημειωθεί ότι οι συντελεστές και για την παράμετρο in παραμετρικές εξισώσειςγραμμή είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης αυτής της ευθείας
Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία
Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία είναι:
Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να είναι ίσος με μηδέν. Στο επίπεδο, η εξίσωση της ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:
αν x 1 ≠ x 2 και x = x 1, εάν x 1 = x 2.
Λέγεται το κλάσμα = k κλίσηευθεία.
Γ) υπολογισμός της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών
αν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως
.
Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2. Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1 / k 2.
Θεώρημα.Οι ευθείες Ax + Bу + C = 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 = λA, B 1 = λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης C 1 = λC, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.
Δ) προϋποθέσεις για παραλληλισμό και καθετότητα δύο ευθειών
Προϋποθέσεις για παραλληλισμό δύο ευθειών:
α) Αν οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις με γωνιακό συντελεστή, τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι η ισότητα των γωνιακών τους συντελεστών:
κ 1 = κ 2 .
β) Για την περίπτωση που οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις στο γενική εικόνα(6), απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι οι συντελεστές για τις αντίστοιχες τρέχουσες συντεταγμένες στις εξισώσεις τους να είναι ανάλογοι, δηλ.
Προϋποθέσεις για την καθετότητα δύο ευθειών:
α) Στην περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με γωνιακό συντελεστή, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την καθετότητά τους είναι οι γωνιακοί συντελεστές τους να είναι αντίστροφοι σε μέγεθος και αντίθετοι σε πρόσημο, δηλ.
Αυτή η συνθήκη μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα
κ 1 κ 2 = -1.
β) Αν οι εξισώσεις των ευθειών δίνονται με τη γενική μορφή (6), τότε προϋπόθεση για την καθετότητά τους (απαραίτητη και επαρκής) είναι να ικανοποιείται η ισότητα
ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + σι 1 σι 2 = 0.
Όριο λειτουργίας
Α) όριο αλληλουχίας
Η έννοια του ορίου χρησιμοποιήθηκε από τον Νεύτωνα στο δεύτερο μισό του 17ου αιώνα και από μαθηματικούς του 18ου αιώνα όπως ο Euler και ο Lagrange, αλλά κατάλαβαν το όριο διαισθητικά. Οι πρώτοι αυστηροί ορισμοί του ορίου ακολουθίας δόθηκαν από τον Bolzano το 1816 και τον Cauchy το 1821.
Ο αριθμός καλείται όριο σειρά αριθμών , εάν η ακολουθία είναι απειροελάχιστη, δηλαδή όλα τα στοιχεία της, ξεκινώντας από ένα ορισμένο, είναι λιγότερα σε απόλυτη τιμή από οποιονδήποτε προκαθορισμένο θετικό αριθμό.
Εάν μια αριθμητική ακολουθία έχει ένα όριο με τη μορφή πραγματικού αριθμού, καλείται συγκεντρούμενος σε αυτόν τον αριθμό. Διαφορετικά, καλείται η ακολουθία αποκλίνων . Εάν, επιπλέον, είναι απεριόριστο, τότε το όριό του θεωρείται ίσο με το άπειρο.
Επιπλέον, εάν όλα τα στοιχεία μιας αδέσμευτης ακολουθίας, ξεκινώντας από έναν ορισμένο αριθμό, έχουν θετικό πρόσημο, τότε το όριο μιας τέτοιας ακολουθίας λέγεται ότι είναι συν το άπειρο .
Εάν τα στοιχεία μιας αδέσμευτης ακολουθίας, ξεκινώντας από έναν ορισμένο αριθμό, έχουν αρνητικό πρόσημο, τότε λένε ότι το όριο μιας τέτοιας ακολουθίας είναι ίσο με μείον το άπειρο .
Β) όριο της συνάρτησης
Όριο λειτουργίας (οριακή τιμή συνάρτησης) V δεδομένο σημείο, περιοριστικό για τον τομέα ορισμού μιας συνάρτησης, είναι η τιμή στην οποία τείνει η τιμή της υπό εξέταση συνάρτησης καθώς το όρισμά της τείνει σε ένα δεδομένο σημείο.
Όριο λειτουργίαςείναι μια γενίκευση της έννοιας ενός ορίου μιας ακολουθίας: αρχικά, το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο κατανοήθηκε ως το όριο μιας ακολουθίας στοιχείων του τομέα τιμών μιας συνάρτησης που αποτελείται από εικόνες σημείων μιας ακολουθία στοιχείων του τομέα ορισμού μιας συνάρτησης που συγκλίνει σε ένα δεδομένο σημείο (το όριο στο οποίο εξετάζεται). Εάν υπάρχει ένα τέτοιο όριο, τότε η συνάρτηση λέγεται ότι συγκλίνει στην καθορισμένη τιμή. Εάν δεν υπάρχει τέτοιο όριο, τότε η συνάρτηση λέγεται ότι αποκλίνει.
Όριο λειτουργίας- μία από τις βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Η τιμή ονομάζεται όριο (οριακή τιμή) μιας συνάρτησης σε ένα σημείο εάν για οποιαδήποτε ακολουθία σημείων που συγκλίνει προς αλλά δεν περιέχει ένα από τα στοιχεία της (δηλαδή σε μια τρυπημένη γειτονιά), η ακολουθία τιμών της συνάρτησης συγκλίνει σε .
Η τιμή ονομάζεται όριο (οριακή τιμή) συναρτάται στο σημείο εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό που λαμβάνεται εκ των προτέρων υπάρχει ένας αντίστοιχος θετικός αριθμός τέτοιος ώστε για όλα τα ορίσματα που ικανοποιούν τη συνθήκη η ανισότητα να ικανοποιείται.
Γ) δύο αξιοσημείωτα όρια
· Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο:
Συνέπειες
· 
· 
· 
· Το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο:
Συνέπειες
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Για ,
6. 
Δ) απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες συναρτήσεις
Λειτουργία y=f(x)που ονομάζεται απειροελάχιστοςστο x→aή πότε Χ→∞, εάν ή , δηλ. μια απειροελάχιστη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όριο σε ένα δεδομένο σημείο είναι μηδέν.
εάν η λειτουργία y=f(x)αντιπροσωπεύσιμο με x→aως άθροισμα ενός σταθερού αριθμού σικαι απειροελάχιστο μέγεθος α(x): f (x)=b+ α(x)Οτι .
Αντίθετα, αν , τότε f (x)=b+α(x), Οπου τσεκούρι)– απειροελάχιστο στο x→a.
Συμπέρασμα 1.Αν και, τότε.
Συμπέρασμα 2.Αν c= const, τότε .
Εάν η συνάρτηση f(x)είναι απείρως μεγάλο στο x→a, μετά συνάρτηση 1 /f(x)είναι απειροελάχιστο στο x→a.
Εάν η συνάρτηση f(x)- απειροελάχιστο στο x→a(ή x→∞)και δεν εξαφανίζεται, λοιπόν y= 1/f(x)είναι άπειρο εξαιρετική λειτουργία. οι απλούστερες ιδιότητες του απείρως μικρού και απείρως εξαιρετικές λειτουργίεςμπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες σχέσεις υπό όρους: ΕΝΑ≠ 0
Δ) αποκάλυψη αβεβαιοτήτων. Ο κανόνας του L'Hopital
κύριοι τύποι αβεβαιοτήτων: μηδέν διαιρούμενο με μηδέν ( 0 έως 0), το άπειρο διαιρούμενο με το άπειρο, το μηδέν πολλαπλασιασμένο με το άπειρο, το άπειρο μείον το άπειρο, ένα στη δύναμη του άπειρου, το μηδέν στη δύναμη του μηδέν, το άπειρο στη δύναμη του μηδέν.
Ο κανόνας του L'Hopitalπολύ ευρέως χρησιμοποιούμενο για υπολογισμούς ορίωνόταν υπάρχει αβεβαιότητα της μορφής μηδέν διαιρούμενο με μηδέν, άπειρο διαιρούμενο με άπειρο.
Αυτοί οι τύποι αβεβαιοτήτων περιλαμβάνουν τις αβεβαιότητες μηδέν επί άπειρο και άπειρο μείον άπειρο.
Εάν και εάν λειτουργεί f(x)Και g(x)είναι διαφοροποιήσιμες σε μια γειτονιά του σημείου, λοιπόν 
Στην περίπτωση που η αβεβαιότητα δεν εξαφανιστεί μετά την εφαρμογή του κανόνα της L'Hopital, μπορεί να εφαρμοστεί ξανά.
Υπολογισμός παραγώγων
Α) κανόνας διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία
Ας είναι σύνθετη λειτουργία , όπου η συνάρτηση είναι ένα ενδιάμεσο όρισμα. Θα δείξουμε πώς βρίσκουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, γνωρίζοντας την παράγωγο για τη συνάρτηση (θα τη συμβολίζουμε με) και την παράγωγο για τη συνάρτηση.
Θεώρημα 1. Αν μια συνάρτηση έχει παράγωγο σε ένα σημείο Χ, και η συνάρτηση έχει παράγωγο στο σημείο (), μετά τη μιγαδική συνάρτηση στο σημείο Χέχει παράγωγο, και = .
Διαφορετικά, η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου της δεδομένης συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος.
Β) διαφοροποίηση μιας συνάρτησης που καθορίζεται παραμετρικά
Ας δοθεί η συνάρτηση σε παραμετρική μορφή, δηλαδή με τη μορφή:
όπου οι συναρτήσεις και είναι καθορισμένες και συνεχείς σε ένα ορισμένο διάστημα μεταβολής της παραμέτρου . Ας βρούμε τα διαφορικά της δεξιάς και της αριστερής πλευράς καθεμιάς από τις ισότητες:
Για να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο, εκτελούμε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς:
Β) την έννοια της λογαριθμικής παραγώγου συνάρτησης
Η λογαριθμική παράγωγος μιας θετικής συνάρτησης ονομάζεται παράγωγός της. Αφού , τότε σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης λαμβάνουμε την ακόλουθη σχέση για τη λογαριθμική παράγωγο:
.
Χρησιμοποιώντας τη λογαριθμική παράγωγο είναι βολικό να υπολογιστεί η συνήθης παράγωγος σε περιπτώσεις όπου ο λογάριθμος απλοποιεί τη μορφή της συνάρτησης.
Η ουσία αυτής της διαφοροποίησης είναι η εξής: πρώτα, βρείτε τον λογάριθμο δεδομένη λειτουργία, και μόνο τότε υπολογίζεται η παράγωγος από αυτήν. Ας δοθεί κάποια συνάρτηση. Ας πάρουμε λογάριθμους της αριστερής και της δεξιάς πλευράς αυτής της έκφρασης:
Και μετά, εκφράζοντας την επιθυμητή παράγωγο, το αποτέλεσμα είναι:
Δ) παράγωγο αντίστροφη συνάρτηση
Αν y=f(x) και x=g(y) είναι ζεύγος αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων και η συνάρτηση y=f(x) έχει παράγωγο f"(x), τότε η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης g"( x)=1/f" (x).
Έτσι, οι παράγωγοι των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων είναι αμοιβαία μεγέθη. Τύπος για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης:
Δ) παράγωγο άρρητη λειτουργία
Αν μια συνάρτηση μιας μεταβλητής περιγράφεται από την εξίσωση y=φά(Χ), όπου η μεταβλητή yβρίσκεται στην αριστερή πλευρά και η δεξιά πλευρά εξαρτάται μόνο από το όρισμα Χ, τότε λένε ότι δίνεται η συνάρτηση ρητά. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες λειτουργίες καθορίζονται ρητά:
y=αμαρτία Χ,y=Χ 2+2Χ+5,y=lncos Χ.
Σε πολλά προβλήματα, ωστόσο, η λειτουργία μπορεί να καθοριστεί σιωπηρά, δηλ. ως εξίσωση
φά(Χ,y)=0.
για να βρείτε την παράγωγο y′( Χ) μια σιωπηρά καθορισμένη συνάρτηση δεν χρειάζεται να μετατραπεί σε ρητή μορφή. Για να γίνει αυτό, γνωρίζοντας την εξίσωση φά(Χ,y)=0, απλώς κάντε τα εξής:
Πρώτα πρέπει να διαφοροποιήσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε σχέση με τη μεταβλητή Χ, υποθέτοντας ότι y− είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση Χκαι χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η παράγωγος του μηδενός (στη δεξιά πλευρά) θα είναι επίσης ίση με μηδέν.
Σχόλιο: Εάν η δεξιά πλευρά είναι μη μηδενική, δηλ. η άρρητη εξίσωση είναι
φά(Χ,y)=σολ(Χ,y),
τότε διαφοροποιούμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.
Λύστε την εξίσωση που προκύπτει για την παράγωγο y′( Χ).
Έννοια του παραγώγου
Α) ορισμός παραγώγου
Παράγωγος συνάρτησης ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση ενσωμάτωση.
y ΧΧ
Ορισμός παραγώγου
Εξετάστε τη συνάρτηση φά(Χ Χ 0. Στη συνέχεια η συνάρτηση φά(Χ) είναι διαφοροποιήσιμοστο σημείο Χ 0, και αυτή παράγωγοκαθορίζεται από τον τύπο
φά′( Χ 0)=limΔ Χ→0Δ yΔ Χ=limΔ Χ→0φά(Χ 0+Δ Χ)−φά(Χ 0)Δ Χ.
Παράγωγος συνάρτησηςείναι μια από τις βασικές έννοιες των μαθηματικών, και σε μαθηματική ανάλυσητο παράγωγο μαζί με το ολοκλήρωμα κατέχει κεντρική θέση. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Η αντίστροφη πράξη - επαναφορά μιας συνάρτησης από μια γνωστή παράγωγο - ονομάζεται ενσωμάτωση.
Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Μια εκτίμηση του ρυθμού μεταβολής μπορεί να ληφθεί με τον υπολογισμό του λόγου της αλλαγής στη συνάρτηση Δ yσε αντίστοιχη αλλαγή στο όρισμα Δ Χ. Στον ορισμό της παραγώγου, μια τέτοια σχέση θεωρείται στο όριο υπό την προϋπόθεση Δ Χ→0. Ας προχωρήσουμε σε μια πιο αυστηρή διατύπωση:
Ορισμός παραγώγου
Εξετάστε τη συνάρτηση φά(Χ), το πεδίο του οποίου περιέχει κάποιο ανοιχτό διάστημα γύρω από το σημείο Χ 0. Στη συνέχεια η συνάρτηση φά(Χ) είναι διαφοροποιήσιμοστο σημείο Χ 0, και αυτή παράγωγοκαθορίζεται από τον τύπο
φά′( Χ 0)=limΔ Χ→0Δ yΔ Χ=limΔ Χ→0φά(Χ 0+Δ Χ)−φά(Χ 0)Δ Χ.
ΣΙ) γεωμετρική σημασίαπαράγωγο
Η παράγωγος της συνάρτησης, που υπολογίζεται για μια δεδομένη τιμή, είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα και τη θετική κατεύθυνση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης στο σημείο με την τετμημένη:
Εάν μια συνάρτηση έχει μια πεπερασμένη παράγωγο σε ένα σημείο, τότε στη γειτονιά μπορεί να προσεγγιστεί γραμμική συνάρτηση
Η συνάρτηση καλείται εφαπτομένη στο σημείο Αριθμός.
Δ) πίνακας παραγώγων των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων
