Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο των πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.
Απόδειξη:
Θεωρήστε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC. Έστω πλευρά BC = a σε αυτό, πλευρά CA = b και S το εμβαδόν αυτού του τριγώνου. Είναι απαραίτητο να το αποδείξουμε S = (1/2)*a*b*sin(C).
Αρχικά, εισάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και τοποθετούμε την αρχή στο σημείο C. Ας τοποθετήσουμε το σύστημα συντεταγμένων μας έτσι ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στη θετική κατεύθυνση του άξονα Cx και το σημείο Α να έχει θετική τεταγμένη.
Εάν όλα γίνονται σωστά, θα πρέπει να λάβετε το παρακάτω σχήμα.
Το εμβαδόν ενός δεδομένου τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: S = (1/2)*a*h, όπου h το ύψος του τριγώνου. Στην περίπτωσή μας, το ύψος του τριγώνου h είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου Α, δηλαδή h \u003d b * sin (C).
Δεδομένων των αποτελεσμάτων που προέκυψαν, ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.
Επίλυση προβλήματος
Εργασία 1. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC αν α) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, γωνία A = 60 μοίρες β) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, γωνία B= 45 μοίρες γ ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, γωνία C = 48 μοίρες.
Σύμφωνα με το θεώρημα που αποδείχθηκε παραπάνω, το εμβαδόν S του τριγώνου ABC είναι ίσο με:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Ας κάνουμε τους υπολογισμούς:
α) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.
β) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.
γ) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.
Υπολογίζουμε την τιμή του ημιτόνου της γωνίας σε μια αριθμομηχανή ή χρησιμοποιούμε τις τιμές από τον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών γωνιών. Απάντηση:
α) 12*√6 cm^2.
γ) περίπου 36,41 cm^2.
Πρόβλημα 2. Το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι 60 cm^2. Βρείτε την πλευρά AB εάν AC = 15 cm, γωνία A = 30˚.
Έστω S το εμβαδόν του τριγώνου ABC. Με το θεώρημα του εμβαδού του τριγώνου έχουμε:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Αντικαταστήστε τις τιμές που έχουμε σε αυτό:
60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.
Από εδώ εκφράζουμε το μήκος της πλευράς ΑΒ: AB = (60*4)/15 = 16.
Εάν στο πρόβλημα δίνονται τα μήκη των δύο πλευρών ενός τριγώνου και η γωνία μεταξύ τους, τότε μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο για την περιοχή του τριγώνου μέσω του ημιτονοειδούς.
Ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το ημίτονο. Δίνονται πλευρές a = 3, b = 4, και γωνία γ= 30°. Το ημίτονο γωνίας 30° είναι 0,5 
Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι 3 τετρ. εκ.
Μπορεί επίσης να υπάρχουν και άλλες προϋποθέσεις. Εάν δίνεται το μήκος μιας πλευράς και οι γωνίες, τότε πρώτα πρέπει να υπολογίσετε τη γωνία που λείπει. Επειδή το άθροισμα όλων των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°, τότε:
Το εμβαδόν θα είναι ίσο με το μισό του τετραγώνου της πλευράς πολλαπλασιαζόμενο επί το κλάσμα. Στον αριθμητή του είναι το γινόμενο των ημιτόνων των διπλανών γωνιών και στον παρονομαστή το ημίτονο της αντίθετης γωνίας. Τώρα υπολογίζουμε το εμβαδόν χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους:
Για παράδειγμα, δίνεται ένα τρίγωνο με πλευρά a=3 και γωνίες γ=60°, β=60°. Υπολογίστε την τρίτη γωνία: 
Αντικατάσταση των δεδομένων στον τύπο
Παίρνουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι 3,87 τετραγωνικά μέτρα. εκ.
II. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς το συνημίτονο
Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε τα μήκη όλων των πλευρών. Με το θεώρημα του συνημιτόνου, μπορείτε να βρείτε άγνωστες πλευρές και μόνο τότε να χρησιμοποιήσετε .
Σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων, το τετράγωνο της άγνωστης πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των υπόλοιπων πλευρών μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.
Από το θεώρημα εξάγουμε τύπους για την εύρεση του μήκους της άγνωστης πλευράς:
Γνωρίζοντας πώς να βρείτε την πλευρά που λείπει, έχοντας δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την περιοχή. Η φόρμουλα για το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς το συνημίτονο σας βοηθά να βρείτε γρήγορα και εύκολα μια λύση σε διάφορα προβλήματα.
Ένα παράδειγμα υπολογισμού του τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου μέσω συνημιτόνου
Δίνεται τρίγωνο με γνωστές πλευρές a = 3, b = 4, και γωνία γ= 45°. Ας βρούμε πρώτα το μέρος που λείπει. από. Κατά συνημίτονο 45°=0,7. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τα δεδομένα στην εξίσωση που προέρχεται από το θεώρημα του συνημιτόνου.
Τώρα χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρίσκουμε
Στη ζωή, έχουμε συχνά να αντιμετωπίσουμε μαθηματικά προβλήματα: στο σχολείο, στο πανεπιστήμιο και στη συνέχεια να βοηθήσουμε το παιδί μας στις εργασίες του. Οι άνθρωποι ορισμένων επαγγελμάτων θα συναντούν τα μαθηματικά σε καθημερινή βάση. Επομένως, είναι χρήσιμο να απομνημονεύουμε ή να ανακαλούμε μαθηματικούς κανόνες. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε ένα από αυτά: την εύρεση του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Τι είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο
Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα τριών τμημάτων που συνδέουν σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και μία από τις γωνίες αυτού του σχήματος είναι 90 μοίρες. Οι πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται σκέλη και η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα.
Εύρεση του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να μάθετε το μήκος του ποδιού. Θα ήθελα να τα εξετάσω λεπτομερέστερα.
Πυθαγόρειο θεώρημα για την εύρεση του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου
Αν γνωρίζουμε την υποτείνουσα και το σκέλος, τότε μπορούμε να βρούμε το μήκος του άγνωστου σκέλους χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ακούγεται ως εξής: «Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών». Τύπος: c²=a²+b², όπου c είναι η υποτείνουσα, a και b είναι τα σκέλη. Μετασχηματίζουμε τον τύπο και παίρνουμε: a²=c²-b².
Παράδειγμα. Η υποτείνουσα είναι 5 εκ. και το πόδι είναι 3 εκ. Μετασχηματίζουμε τον τύπο: c²=a²+b² → a²=c²-b². Στη συνέχεια, αποφασίζουμε: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Τριγωνομετρικές σχέσεις για την εύρεση του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου
Είναι επίσης δυνατό να βρεθεί ένα άγνωστο σκέλος εάν είναι γνωστή οποιαδήποτε άλλη πλευρά και οποιαδήποτε οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου. Υπάρχουν τέσσερις επιλογές για την εύρεση του ποδιού χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις: κατά ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη. Για να λύσουμε τα προβλήματα, θα μας βοηθήσει ο παρακάτω πίνακας. Ας εξετάσουμε αυτές τις επιλογές.
Βρείτε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας το ημίτονο
Το ημίτονο μιας γωνίας (αμαρτία) είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα. Τύπος: sin \u003d a / c, όπου a είναι το σκέλος απέναντι από τη δεδομένη γωνία και c είναι η υποτείνουσα. Στη συνέχεια, μετασχηματίζουμε τον τύπο και παίρνουμε: a=sin*c.
Παράδειγμα. Η υποτείνουσα είναι 10 cm και η γωνία Α είναι 30 μοίρες. Σύμφωνα με τον πίνακα, υπολογίζουμε το ημίτονο της γωνίας Α, είναι ίσο με 1/2. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμένο τύπο, λύνουμε: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Βρείτε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας συνημίτονο
Το συνημίτονο μιας γωνίας (cos) είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Τύπος: cos \u003d b / c, όπου b είναι το σκέλος δίπλα στη δεδομένη γωνία και c είναι η υποτείνουσα. Ας μετασχηματίσουμε τον τύπο και πάρουμε: b=cos*c.
Παράδειγμα. Η γωνία Α είναι 60 μοίρες, η υποτείνουσα είναι 10 εκ. Σύμφωνα με τον πίνακα, υπολογίζουμε το συνημίτονο της γωνίας Α, είναι ίσο με 1/2. Στη συνέχεια, λύνουμε: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Βρείτε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη
Η εφαπτομένη μιας γωνίας (tg) είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό. Τύπος: tg \u003d a / b, όπου το a είναι το πόδι απέναντι από τη γωνία και το b είναι δίπλα. Ας μετασχηματίσουμε τον τύπο και πάρουμε: a=tg*b.
Παράδειγμα. Η γωνία Α είναι 45 μοίρες, η υποτείνουσα είναι 10 εκ. Σύμφωνα με τον πίνακα, υπολογίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας Α, ισούται με Επίλυση: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Βρείτε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας την συνεφαπτομένη
Η συνεφαπτομένη μιας γωνίας (ctg) είναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος. Τύπος: ctg \u003d b / a, όπου b είναι το πόδι δίπλα στη γωνία και είναι απέναντι. Με άλλα λόγια, η συνεφαπτομένη είναι η «ανεστραμμένη εφαπτομένη». Παίρνουμε: b=ctg*a.
Παράδειγμα. Η γωνία Α είναι 30 μοίρες, το αντίθετο σκέλος είναι 5 εκ. Σύμφωνα με τον πίνακα, η εφαπτομένη της γωνίας Α είναι √3. Υπολογίστε: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Έτσι, τώρα ξέρετε πώς να βρείτε το πόδι σε ορθογώνιο τρίγωνο. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν είναι τόσο δύσκολο, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε τους τύπους.
Το ημίτονο είναι μια από τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η εφαρμογή της οποίας δεν περιορίζεται μόνο στη γεωμετρία. Πίνακες για τον υπολογισμό τριγωνομετρικών συναρτήσεων, όπως οι αριθμομηχανές μηχανικής, δεν είναι πάντα διαθέσιμοι και ο υπολογισμός του ημιτόνου είναι μερικές φορές απαραίτητος για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Γενικά, ο υπολογισμός του ημιτονοειδούς θα βοηθήσει στην εδραίωση των δεξιοτήτων σχεδίασης και της γνώσης των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.
Παιχνίδια με χάρακες και μολύβι
Μια απλή εργασία: πώς να βρείτε το ημίτονο μιας γωνίας που σχεδιάστηκε σε χαρτί; Για να λύσετε, χρειάζεστε έναν κανονικό χάρακα, ένα τρίγωνο (ή μια πυξίδα) και ένα μολύβι. Ο απλούστερος τρόπος για να υπολογίσετε το ημίτονο μιας γωνίας είναι διαιρώντας το μακρινό σκέλος ενός τριγώνου με ορθή γωνία με τη μεγάλη πλευρά - την υποτείνουσα. Έτσι, πρώτα πρέπει να συμπληρώσετε την οξεία γωνία προς το σχήμα ενός ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζοντας μια γραμμή κάθετη σε μία από τις ακτίνες σε αυθαίρετη απόσταση από την κορυφή της γωνίας. Θα χρειαστεί να παρατηρήσουμε μια γωνία ακριβώς 90 °, για την οποία χρειαζόμαστε ένα γραφικό τρίγωνο.
Η χρήση μιας πυξίδας είναι λίγο πιο ακριβής, αλλά θα διαρκέσει περισσότερο. Σε μία από τις ακτίνες, πρέπει να σημειώσετε 2 σημεία σε μια ορισμένη απόσταση, να ορίσετε μια ακτίνα στην πυξίδα περίπου ίση με την απόσταση μεταξύ των σημείων και να σχεδιάσετε ημικύκλια με κέντρα σε αυτά τα σημεία μέχρι να τέμνονται αυτές οι γραμμές. Συνδέοντας τα σημεία τομής των κύκλων μας μεταξύ τους, παίρνουμε μια αυστηρή κάθετη στην ακτίνα της γωνίας μας, μένει μόνο να επεκτείνουμε τη γραμμή μέχρι να τέμνεται με μια άλλη ακτίνα.
Στο τρίγωνο που προκύπτει, πρέπει να μετρήσετε την πλευρά απέναντι από τη γωνία και τη μακριά πλευρά σε μία από τις ακτίνες με χάρακα. Ο λόγος της πρώτης μέτρησης προς τη δεύτερη θα είναι η επιθυμητή τιμή του ημιτόνου της οξείας γωνίας.
Βρείτε το ημίτονο για γωνία μεγαλύτερη από 90°
Για μια αμβλεία γωνία, το έργο δεν είναι πολύ πιο δύσκολο. Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια ακτίνα από την κορυφή προς την αντίθετη κατεύθυνση χρησιμοποιώντας έναν χάρακα για να σχηματίσουμε μια ευθεία γραμμή με μια από τις ακτίνες της γωνίας που μας ενδιαφέρει. Με την προκύπτουσα οξεία γωνία, θα πρέπει να προχωρήσετε όπως περιγράφεται παραπάνω, τα ημίτονο των γειτονικών γωνιών, που σχηματίζουν μαζί μια ανεπτυγμένη γωνία 180 °, είναι ίσα.
Υπολογισμός του ημιτόνου από άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Επίσης, ο υπολογισμός του ημιτόνου είναι δυνατός εάν είναι γνωστές οι τιμές άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας ή τουλάχιστον του μήκους των πλευρών του τριγώνου. Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες θα μας βοηθήσουν σε αυτό. Ας δούμε κοινά παραδείγματα.
Πώς να βρείτε το ημίτονο με ένα γνωστό συνημίτονο μιας γωνίας; Η πρώτη τριγωνομετρική ταυτότητα, που προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, λέει ότι το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας είναι ίσο με ένα.
Πώς να βρείτε το ημίτονο με μια γνωστή εφαπτομένη μιας γωνίας; Η εφαπτομένη προκύπτει διαιρώντας το μακρινό σκέλος με το κοντινό ή διαιρώντας το ημίτονο με το συνημίτονο. Έτσι, το ημίτονο θα είναι το γινόμενο του συνημιτόνου και της εφαπτομένης, και το τετράγωνο του ημιτόνου θα είναι το τετράγωνο αυτού του γινόμενου. Αντικαθιστούμε το τετράγωνο συνημίτονο με τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και του τετραγωνικού ημίτονου σύμφωνα με την πρώτη τριγωνομετρική ταυτότητα και, με απλούς χειρισμούς, φέρνουμε την εξίσωση για να υπολογίσουμε το τετράγωνο ημίτονο μέσω της εφαπτομένης, αντίστοιχα, για να υπολογίσουμε το ημίτονο, θα πρέπει να εξάγετε τη ρίζα από το αποτέλεσμα που προκύπτει.
Πώς να βρείτε το ημίτονο με μια γνωστή συνεφαπτομένη γωνίας; Η τιμή της συνεφαπτομένης μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας το μήκος του κοντινού σκέλους από τη γωνία του ποδιού με το μήκος του μακριού, καθώς και διαιρώντας το συνημίτονο με το ημίτονο, δηλαδή, η συνεφαπτομένη είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης ως προς το στον αριθμό 1. Για να υπολογίσετε το ημίτονο, μπορείτε να υπολογίσετε την εφαπτομένη χρησιμοποιώντας τον τύπο tg α \u003d 1 / ctg α και να χρησιμοποιήσετε τον τύπο στη δεύτερη επιλογή. Μπορείτε επίσης να εξαγάγετε έναν άμεσο τύπο κατ' αναλογία με την εφαπτομένη, που θα μοιάζει με αυτό.
Πώς να βρείτε το ημίτονο των τριών πλευρών ενός τριγώνου
Υπάρχει ένας τύπος για την εύρεση του μήκους της άγνωστης πλευράς οποιουδήποτε τριγώνου, όχι μόνο ενός ορθογωνίου τριγώνου, με δεδομένες δύο γνωστές πλευρές χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική συνάρτηση του συνημιτόνου της αντίθετης γωνίας. Μοιάζει κάπως έτσι.
πλευράΤα τρίγωνα μπορούν να ανιχνευθούν όχι μόνο κατά μήκος της περιμέτρου και της περιοχής, αλλά και κατά μήκος μιας δεδομένης πλευράς και γωνιών. Για αυτό, χρησιμοποιούνται τριγωνομετρικές συναρτήσεις - κόλποςκαι συν κόλπος. Προβλήματα με την εφαρμογή τους εντοπίζονται στο σχολικό μάθημα της γεωμετρίας, καθώς και στο πανεπιστημιακό μάθημα αναλυτικής γεωμετρίας και γραμμικής άλγεβρας.
Εντολή
1. Εάν μία από τις πλευρές του τριγώνου και η γωνία μεταξύ αυτού και της άλλης πλευράς του είναι διάσημη, χρησιμοποιήστε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις - κόλπος om and co κόλποςωμ. Φανταστείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο HBC, το οποίο έχει γωνία; ισούται με 60 μοίρες. Το τρίγωνο HBC φαίνεται στο σχήμα. Εξαιτίας κόλπος, όπως γνωρίζετε, είναι η αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα και προς κόλπος- την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα, για να λύσετε το πρόβλημα, χρησιμοποιήστε την περαιτέρω σχέση μεταξύ αυτών των παραμέτρων: sin?=HB/BCΑντίστοιχα, εάν θέλετε να μάθετε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου, εκφράστε το μέσω της υποτείνουσας στο τον παρακάτω τρόπο:
2. Εάν, αντίθετα, το σκέλος του τριγώνου δίνεται στην κατάσταση του προβλήματος, βρείτε την υποτείνησή του, καθοδηγούμενη από την περαιτέρω σχέση μεταξύ των δεδομένων τιμών: BC \u003d HB / sin; Κατ' αναλογία, βρείτε τις πλευρές του τριγώνου και χρησιμοποιώντας κόλποςα, αλλάζοντας την προηγούμενη έκφραση με τον εξής τρόπο: cos ?=HC/BC
3. Στα δημοτικά μαθηματικά υπάρχει αναπαράσταση του θεωρήματος κόλπος ov. Με γνώμονα τα γεγονότα που περιγράφει αυτό το θεώρημα, είναι επίσης δυνατό να βρούμε τις πλευρές του τριγώνου. Επιπλέον, σας επιτρέπει να βρείτε τις πλευρές ενός τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, εάν γνωρίζετε την ακτίνα του τελευταίου. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε την παρακάτω σχέση: a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2R .
4. Πέρα από το θεώρημα κόλπος ov, υπάρχει επίσης ένα θεώρημα παρόμοιο με αυτό στην ουσία κόλπος ov, το οποίο, όπως και το προηγούμενο, ισχύει και για τρίγωνα και των 3 ποικιλιών: ορθογώνια, οξεία γωνία και αμβλεία γωνία. Με γνώμονα τα γεγονότα που αποδεικνύουν αυτό το θεώρημα, είναι δυνατό να βρεθούν άγνωστα μεγέθη χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες σχέσεις μεταξύ τους: c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?
Ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τρία σημεία που δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία, που ονομάζονται κορυφές, και τρία ζεύγη τμήματα που τα συνδέουν, που ονομάζονται πλευρές, ονομάζεται τρίγωνο. Υπάρχουν πολλά προβλήματα για την εύρεση των πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου με δεδομένο έναν περιορισμένο αριθμό αρχικών δεδομένων, ένα από αυτά τα προβλήματα είναι η εύρεση της πλευράς ενός τριγώνου με δεδομένη μία από τις πλευρές του και δύο γωνίες .
Εντολή
1. Ας χτιστεί ένα τρίγωνο;ΑΒΓ και περίφημη - πλευρά Π.Χ και γωνίες ?? και ??. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι 180; θα είναι ίσο; = 180; – (?? + ??) Είναι δυνατόν να βρούμε τις πλευρές AC και AB εφαρμόζοντας το ημιτονικό θεώρημα, το οποίο διαβάζει AB / sin?? = π.Χ./αμαρτία;; = AC/αμαρτία;; \u003d 2 * R, όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου τριγώνου; Κύκλος ABC, τότε παίρνουμε R \u003d BC / sin??, AB \u003d 2 * R * sin??, AC \u003d 2 * R * sin Το ημιτονικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιεσδήποτε δεδομένες 2 γωνίες και μια πλευρά.
2. Οι πλευρές ενός δεδομένου τριγώνου μπορούν να βρεθούν υπολογίζοντας την έκτασή του χρησιμοποιώντας τον τύπο S \u003d 2 * R? *αμαρτία?? *αμαρτία?? * sin??, όπου R υπολογίζεται με τον τύπο R = BC / sin??, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου τριγώνου; ABC από εδώ Στη συνέχεια πλευράΤο AB μπορεί να βρεθεί υπολογίζοντας το ύψος που έχει χαμηλώσει h = BC * sin??, από τον τύπο S = 1/2 * h * AB έχουμε AB = 2 * S / h πλευράΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.
3. Αν οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου δίνονται ως γωνίες; και??, τότε είναι δυνατός ο εντοπισμός εσωτερικών γωνιών με την υποστήριξη των αντίστοιχων σχέσεων; = 180; – ???,??? = 180; – ???,??? = 180; – (?? + ??) Μετά ενεργούμε όπως τα δύο πρώτα σημεία.
Η κατανόηση των τριγώνων πραγματοποιείται από μαθηματικούς εδώ και αρκετές χιλιετίες. Η επιστήμη των τριγώνων - η τριγωνομετρία - χρησιμοποιεί ειδικές ποσότητες: ημίτονο και συνημίτονο.
Ορθογώνιο τρίγωνο
Αρχικά εμφανίστηκαν το ημίτονο και το συνημίτονο λόγω της ανάγκης υπολογισμού των ποσοτήτων σε ορθογώνια τρίγωνα. Παρατηρήθηκε ότι αν δεν αλλάξει η τιμή του μέτρου του βαθμού των γωνιών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε η αναλογία διαστάσεων, ανεξάρτητα από το πόσο αλλάζουν σε μήκος αυτές οι πλευρές, παραμένει πάντα ίδια. εισήχθη. Το ημίτονο οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα και το συνημίτονο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Θεωρήματα συνημιτόνων και ημιτόνων
Αλλά τα συνημίτονα και τα ημιτόνια μπορούν να χρησιμοποιηθούν όχι μόνο σε ορθογώνια τρίγωνα. Για να μάθετε την τιμή μιας αμβλείας ή οξείας γωνίας, της πλευράς οποιουδήποτε τριγώνου, αρκεί να εφαρμόσετε το θεώρημα του συνημιτόνου και του συνημιτόνου. το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων 2 πλευρών μείον το διπλό γινόμενο αυτών των πλευρών από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.» Υπάρχουν δύο ερμηνείες του ημιτονικού θεωρήματος: μικρή και εκτεταμένη. Σύμφωνα με το μικρό: «Σε ένα τρίγωνο οι γωνίες είναι ανάλογες με τις απέναντι πλευρές». Αυτό το θεώρημα επεκτείνεται συχνά λόγω της ιδιότητας του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο: "Σε ένα τρίγωνο, οι γωνίες είναι ανάλογες προς τις απέναντι πλευρές και η αναλογία τους είναι ίση με τη διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου."
Παράγωγα
Η παράγωγος είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που δείχνει πόσο γρήγορα αλλάζει μια συνάρτηση σε σχέση με τη μεταμόρφωση του ορίσματός της. Τα παράγωγα χρησιμοποιούνται στην άλγεβρα, τη γεωμετρία, τα οικονομικά και τη φυσική, καθώς και σε διάφορους τεχνικούς κλάδους. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να γνωρίζετε τις πινακοποιημένες τιμές των παραγώγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημίτονο και συνημίτονο. Η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο, και η παράγωγος του συνημίτονου είναι το ημίτονο, αλλά με πρόσημο μείον.
Εφαρμογή στα μαθηματικά
Ιδιαίτερα συχνά, ημίτονο και συνημίτονο χρησιμοποιούνται για την επίλυση ορθογώνιων τριγώνων και προβλημάτων που σχετίζονται με αυτά. Η ευκολία των ημιτονίων και των συνημιτόνων αντανακλάται στην τεχνολογία. Ήταν πρωτόγονο να υπολογίζουμε τις γωνίες και τις πλευρές χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα συνημιτόνου και ημιτόνου, σπάζοντας δύσκολα σχήματα και αντικείμενα σε «πρωτόγονα» τρίγωνα. Οι μηχανικοί και οι αρχιτέκτονες, που συχνά ασχολούνται με λόγους διαστάσεων και μοίρες, έχουν ξοδέψει πολύ χρόνο και προσπάθεια στον υπολογισμό των συνημιτόνων και των ημιτόνων των γωνιών εκτός πίνακα. Στη συνέχεια βοήθησαν τραπέζια Bradis, που περιείχαν χιλιάδες τιμές ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων διαφόρων γωνιών. Στη σοβιετική εποχή, ορισμένοι δάσκαλοι ανάγκαζαν τους θαλάμους τους να απομνημονεύουν τις σελίδες των τραπεζιών Bradys.
