Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών: αναμενόμενη αξία, διακύμανση και τυπική απόκλιση. Οι ιδιότητες και τα παραδείγματα τους.
Ο νόμος κατανομής (συνάρτηση διανομής και σειρά διανομής ή πυκνότητα πιθανότητας) περιγράφει πλήρως τη συμπεριφορά τυχαία μεταβλητή. Αλλά σε μια σειρά προβλημάτων, αρκεί να γνωρίζουμε ορισμένα αριθμητικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτη τιμής (για παράδειγμα, τη μέση τιμή της και πιθανή απόκλιση από αυτήν) για να απαντήσουμε στο ερώτημα που τίθεται. Ας εξετάσουμε τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά των διακριτών τυχαίων μεταβλητών.
Ορισμός 7.1.Μαθηματική προσδοκίαΜια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι το άθροισμα των γινομένων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους:
Μ(Χ) = Χ 1 R 1 + Χ 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)
Εάν ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρος, τότε εάν η σειρά που προκύπτει συγκλίνει απόλυτα.
Σημείωση 1.Η μαθηματική προσδοκία ονομάζεται μερικές φορές σταθμισμένος μέσος όρος, αφού είναι περίπου ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής στο μεγάλος αριθμόςπειράματα.
Σημείωση 2.Από τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας προκύπτει ότι η τιμή της δεν είναι μικρότερη από τη μικρότερη δυνατή τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής και όχι μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη.
Σημείωση 3.Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μη τυχαία(συνεχής. Θα δούμε αργότερα ότι το ίδιο ισχύει για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.
Παράδειγμα 1. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των τυπικών ανταλλακτικών μεταξύ τριών επιλεγμένων από μια παρτίδα 10 εξαρτημάτων, συμπεριλαμβανομένων 2 ελαττωματικών. Ας δημιουργήσουμε μια σειρά διανομής για Χ. Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι Χμπορεί να πάρει τιμές 1, 2, 3. Στη συνέχεια
Παράδειγμα 2. Προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των ρίψεων νομισμάτων πριν από την πρώτη εμφάνιση του οικόσημου. Αυτή η ποσότητα μπορεί να λάβει έναν άπειρο αριθμό τιμών (το σύνολο των πιθανών τιμών είναι το σύνολο φυσικούς αριθμούς). Η σειρά διανομής του έχει τη μορφή:
| Χ | … | Π | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)Π | … |
+ (κατά τον υπολογισμό, ο τύπος για το άθροισμα του άπειρα μειούμενο γεωμετρική πρόοδος: , που ).
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.
1) Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:
Μ(ΜΕ) = ΜΕ.(7.2)
Απόδειξη. Αν αναλογιστούμε ΜΕως διακριτή τυχαία μεταβλητή λαμβάνοντας μόνο μία τιμή ΜΕμε πιθανότητα R= 1, λοιπόν Μ(ΜΕ) = ΜΕ?1 = ΜΕ.
2) Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της μαθηματικής προσδοκίας:
Μ(CX) = ΕΚ(Χ). (7.3)
Απόδειξη. Αν η τυχαία μεταβλητή Χδίνεται ανά σειρά διανομής
Επειτα Μ(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = ΜΕ(Χ 1 R 1 + Χ 2 R 2 + … + x p r p) = ΕΚ(Χ).
Ορισμός 7.2.Καλούνται δύο τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητος, εάν ο νόμος κατανομής ενός από αυτούς δεν εξαρτάται από τις τιμές που έχει λάβει ο άλλος. Διαφορετικά οι τυχαίες μεταβλητές εξαρτώμενος.
Ορισμός 7.3.Ας καλέσουμε γινόμενο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ τυχαία μεταβλητή XY, οι πιθανές τιμές των οποίων είναι ίσες με τα γινόμενα όλων των πιθανών τιμών Χγια όλες τις πιθανές τιμές Υ, και οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι ίσες με τα γινόμενα των πιθανοτήτων των παραγόντων.
3) Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Μ(XY) = Μ(Χ)Μ(Υ). (7.4)
Απόδειξη. Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, περιοριζόμαστε στην περίπτωση όταν ΧΚαι Υπάρτε μόνο δύο πιθανές τιμές:
Ως εκ τούτου, Μ(XY) = Χ 1 y 1 ?Π 1 σολ 1 + Χ 2 y 1 ?Π 2 σολ 1 + Χ 1 y 2 ?Π 1 σολ 2 + Χ 2 y 2 ?Π 2 σολ 2 = y 1 σολ 1 (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) + + y 2 σολ 2 (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) = (y 1 σολ 1 + y 2 σολ 2) (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) = Μ(Χ)?Μ(Υ).
Σημείωση 1.Μπορείτε παρομοίως να αποδείξετε αυτήν την ιδιότητα για μεγαλύτερο αριθμό πιθανών τιμών των παραγόντων.
Σημείωση 2.Η ιδιότητα 3 ισχύει για το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, το οποίο αποδεικνύεται με μαθηματική επαγωγή.
Ορισμός 7.4.Ας ορίσουμε άθροισμα τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ ως τυχαία μεταβλητή Χ+Υ, οι πιθανές τιμές των οποίων είναι ίσες με τα αθροίσματα κάθε πιθανής τιμής Χμε κάθε δυνατή τιμή Υ; οι πιθανότητες τέτοιων ποσών είναι ίσες με τα γινόμενα των πιθανοτήτων των όρων (για εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές - τα γινόμενα της πιθανότητας ενός όρου με την υπό όρους πιθανότητα του δεύτερου).
4) Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών (εξαρτημένων ή ανεξάρτητων) είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:
Μ (Χ+Υ) = Μ (Χ) + Μ (Υ). (7.5)
Απόδειξη.
Ας εξετάσουμε ξανά τις τυχαίες μεταβλητές που ορίζονται από τη σειρά κατανομής που δίνεται στην απόδειξη της ιδιότητας 3. Στη συνέχεια, οι πιθανές τιμές Χ+Υείναι Χ 1 + στο 1 , Χ 1 + στο 2 , Χ 2 + στο 1 , Χ 2 + στο 2. Ας υποδηλώσουμε τις πιθανότητες τους αντίστοιχα ως R 11 , R 12 , R 21 και R 22. Θα βρούμε Μ(Χ+Υ) = (Χ 1 + y 1)Π 11 + (Χ 1 + y 2)Π 12 + (Χ 2 + y 1)Π 21 + (Χ 2 + y 2)Π 22 =
= Χ 1 (Π 11 + Π 12) + Χ 2 (Π 21 + Π 22) + y 1 (Π 11 + Π 21) + y 2 (Π 12 + Π 22).
Ας το αποδείξουμε R 11 + R 22 = R 1 . Πράγματι, το γεγονός που Χ+Υθα πάρει αξίες Χ 1 + στο 1 ή Χ 1 + στο 2 και η πιθανότητα του οποίου είναι R 11 + R 22 συμπίπτει με το γεγονός που Χ = Χ 1 (η πιθανότητα είναι R 1). Αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο ότι Π 21 + Π 22 = R 2 , Π 11 + Π 21 = σολ 1 , Π 12 + Π 22 = σολ 2. Που σημαίνει,
Μ(Χ+Υ) = Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2 + y 1 σολ 1 + y 2 σολ 2 = Μ (Χ) + Μ (Υ).
Σχόλιο. Από την ιδιότητα 4 προκύπτει ότι το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού τυχαίων μεταβλητών είναι ίσο με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων.
Παράδειγμα. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος του αριθμού των πόντων που λήφθηκαν κατά τη ρίψη πέντε ζαριών.
Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που ρίχνονται όταν ρίχνουμε ένα ζάρι:
Μ(Χ 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ο ίδιος αριθμός είναι ίσος με τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που ρίχνονται σε οποιοδήποτε ζάρι. Επομένως, κατά ιδιοκτησία 4 Μ(Χ)=
Διασπορά.
Για να έχουμε μια ιδέα για τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τις μαθηματικές προσδοκίες της. Εξετάστε δύο τυχαίες μεταβλητές: ΧΚαι Υ, καθορίζεται από τη σειρά διανομής της φόρμας
| Χ | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Υ | ||
| Π | 0,5 | 0,5 |
Θα βρούμε Μ(Χ) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, Μ(Υ) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Όπως μπορείτε να δείτε, οι μαθηματικές προσδοκίες και των δύο μεγεθών είναι ίσες, αλλά αν για HM(Χ) περιγράφει καλά τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής, καθώς είναι η πιο πιθανή δυνατή τιμή της (και οι υπόλοιπες τιμές δεν διαφέρουν πολύ από το 50), και στη συνέχεια οι τιμές Υαφαιρέθηκε σημαντικά από Μ(Υ). Επομένως, μαζί με τη μαθηματική προσδοκία, είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε πόσο οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής αποκλίνουν από αυτήν. Για τον χαρακτηρισμό αυτού του δείκτη, χρησιμοποιείται διασπορά.
Ορισμός 7.5.Διασπορά (σκέδαση)μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της από τη μαθηματική της προσδοκία:
ρε(Χ) = Μ (X-M(Χ))². (7.6)
Ας βρούμε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χ(αριθμός τυπικών εξαρτημάτων μεταξύ αυτών που επιλέχθηκαν) στο παράδειγμα 1 αυτής της διάλεξης. Ας υπολογίσουμε την τετραγωνική απόκλιση κάθε πιθανής τιμής από τη μαθηματική προσδοκία:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Ως εκ τούτου,
Σημείωση 1.Κατά τον προσδιορισμό της διασποράς, δεν αξιολογείται η απόκλιση από τον ίδιο τον μέσο όρο, αλλά το τετράγωνό του. Αυτό γίνεται έτσι ώστε οι αποκλίσεις διαφορετικών ζωδίων να μην αλληλοεξουδετερώνονται.
Σημείωση 2.Από τον ορισμό της διασποράς προκύπτει ότι αυτή η ποσότητα παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές.
Σημείωση 3.Υπάρχει ένας τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης που είναι πιο βολικός για τους υπολογισμούς, η εγκυρότητα του οποίου αποδεικνύεται στο ακόλουθο θεώρημα:
Θεώρημα 7.1.ρε(Χ) = Μ(Χ²) - Μ²( Χ). (7.7)
Απόδειξη.
Χρησιμοποιώντας τι Μ(Χ) είναι μια σταθερή τιμή και οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας, μετατρέπουμε τον τύπο (7.6) στη μορφή:
ρε(Χ) = Μ(X-M(Χ))² = Μ(Χ² - 2 X?M(Χ) + Μ²( Χ)) = Μ(Χ²) - 2 Μ(Χ)?Μ(Χ) + Μ²( Χ) =
= Μ(Χ²) - 2 Μ²( Χ) + Μ²( Χ) = Μ(Χ²) - Μ²( Χ), που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε τις διακυμάνσεις των τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υπου συζητήθηκε στην αρχή αυτής της ενότητας. Μ(Χ) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
Μ(Υ) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Άρα, η διακύμανση της δεύτερης τυχαίας μεταβλητής είναι αρκετές χιλιάδες φορές μεγαλύτερη από τη διακύμανση της πρώτης. Έτσι, ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε τους νόμους κατανομής αυτών των μεγεθών, με βάση τις γνωστές τιμές διασποράς μπορούμε να δηλώσουμε ότι Χαποκλίνει ελάχιστα από τη μαθηματική προσδοκία του, ενώ για Υαυτή η απόκλιση είναι αρκετά σημαντική.
Ιδιότητες διασποράς.
1) Διακύμανση σταθερής τιμής ΜΕίσο με μηδέν:
ρε (ντο) = 0. (7.8)
Απόδειξη. ρε(ντο) = Μ((ΕΚ(ντο))²) = Μ((Γ-Γ)²) = Μ(0) = 0.
2) Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον:
ρε(CX) = ντο² ρε(Χ). (7.9)
Απόδειξη. ρε(CX) = Μ((CX-M(CX))²) = Μ((CX-CM(Χ))²) = Μ(ντο²( X-M(Χ))²) =
= ντο² ρε(Χ).
3) Η διακύμανση του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους:
ρε(Χ+Υ) = ρε(Χ) + ρε(Υ). (7.10)
Απόδειξη. ρε(Χ+Υ) = Μ(Χ² + 2 XY + Υ²) - ( Μ(Χ) + Μ(Υ))² = Μ(Χ²) + 2 Μ(Χ)Μ(Υ) +
+ Μ(Υ²) - Μ²( Χ) - 2Μ(Χ)Μ(Υ) - Μ²( Υ) = (Μ(Χ²) - Μ²( Χ)) + (Μ(Υ²) - Μ²( Υ)) = ρε(Χ) + ρε(Υ).
Συμπέρασμα 1.Η διακύμανση του αθροίσματος πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους.
Συμπέρασμα 2.Η διακύμανση του αθροίσματος μιας σταθεράς και μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.
4) Η διακύμανση της διαφοράς μεταξύ δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους:
ρε(Χ-Υ) = ρε(Χ) + ρε(Υ). (7.11)
Απόδειξη. ρε(Χ-Υ) = ρε(Χ) + ρε(-Υ) = ρε(Χ) + (-1)² ρε(Υ) = ρε(Χ) + ρε(Χ).
Η διακύμανση δίνει τη μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή. Για να αξιολογηθεί η ίδια η απόκλιση, χρησιμοποιείται μια τιμή που ονομάζεται τυπική απόκλιση.
Ορισμός 7.6.Τυπική απόκλισησ τυχαία μεταβλητή Χπου ονομάζεται Τετραγωνική ρίζααπό διασπορά:
Παράδειγμα. Στο προηγούμενο παράδειγμα, οι τυπικές αποκλίσεις ΧΚαι Υείναι ίσα αντίστοιχα
Όπως είναι ήδη γνωστό, ο νόμος κατανομής χαρακτηρίζει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή. Ωστόσο, συχνά ο νόμος διανομής είναι άγνωστος και κάποιος πρέπει να περιοριστεί σε λιγότερες πληροφορίες. Μερικές φορές είναι ακόμη πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιείτε αριθμούς που περιγράφουν την τυχαία μεταβλητή συνολικά. καλούνται τέτοιοι αριθμοί αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.
Ένα από τα σημαντικά αριθμητικά χαρακτηριστικά είναι η μαθηματική προσδοκία.
Η μαθηματική προσδοκία είναι περίπου ίση με τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής.
Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςείναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών και των πιθανοτήτων τους.
Εάν μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται από μια πεπερασμένη σειρά κατανομής:
| Χ | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | σελ 1 | σελ 2 | σελ 3 | … | r p |
τότε η μαθηματική προσδοκία M(X)καθορίζεται από τον τύπο:
Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής καθορίζεται από την ισότητα:
όπου είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ.
Παράδειγμα 4.7.Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που εμφανίζονται όταν ρίχνετε ένα ζάρι.
Λύση:
Τυχαία τιμή Χπαίρνει τις τιμές 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ας δημιουργήσουμε τον νόμο της κατανομής του:
| Χ | ||||||
| R |
Τότε η μαθηματική προσδοκία είναι:
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:
M (S) = S.
2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το σημάδι της μαθηματικής προσδοκίας:
M (CX) = CM (X).
3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Μ(ΧΥ) = Μ(Χ)Μ(Υ).
Παράδειγμα 4.8. Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υδίνονται από τους ακόλουθους νόμους διανομής:
| Χ | Υ | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής XY.
Λύση.
Ας βρούμε τις μαθηματικές προσδοκίες για καθεμία από αυτές τις ποσότητες:
Τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υανεξάρτητη, επομένως η απαιτούμενη μαθηματική προσδοκία είναι:
Μ(ΧΥ) = Μ(Χ)Μ(Υ)=
Συνέπεια.Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:
Μ (Χ + Υ) = Μ (Χ) + Μ (Υ).
Συνέπεια.Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος πολλών τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων.
Παράδειγμα 4.9.Εκτελούνται 3 βολές με πιθανότητες να χτυπηθεί ο στόχος ίσες με σελ 1 = 0,4; p2= 0,3 και σελ 3= 0,6. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του συνολικού αριθμού επισκέψεων.
Λύση.
Ο αριθμός των χτυπημάτων στην πρώτη βολή είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ 1, το οποίο μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές: 1 (χτύπημα) με πιθανότητα σελ 1= 0,4 και 0 (αστοχία) με πιθανότητα q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των χτυπημάτων στην πρώτη βολή είναι ίση με την πιθανότητα ενός χτυπήματος:
Ομοίως, βρίσκουμε τις μαθηματικές προσδοκίες για τον αριθμό των χτυπημάτων για τη δεύτερη και την τρίτη βολή:
M(X 2)= 0,3 και Μ(Χ 3)= 0,6.
Ο συνολικός αριθμός χτυπημάτων είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή που αποτελείται από το άθροισμα των επιτυχιών σε καθεμία από τις τρεις βολές:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Η απαιτούμενη μαθηματική προσδοκία ΧΤο βρίσκουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος.
Αναμενόμενη αξία- η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής (κατανομή πιθανότητας μιας σταθερής τυχαίας μεταβλητής) όταν ο αριθμός των δειγμάτων ή ο αριθμός των μετρήσεων (μερικές φορές ονομάζεται αριθμός δοκιμών) τείνει στο άπειρο.
Αριθμητικός μέσος όρος μιας μονοδιάστατης τυχαίας μεταβλητής πεπερασμένος αριθμόςονομάζονται συνήθως δοκιμές μαθηματική εκτίμηση προσδοκιών. Καθώς ο αριθμός των δοκιμών μιας στατικής τυχαίας διαδικασίας τείνει στο άπειρο, η εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας τείνει στη μαθηματική προσδοκία.
Η μαθηματική προσδοκία είναι μια από τις βασικές έννοιες στη θεωρία πιθανοτήτων).
Εγκυκλοπαιδικό YouTube
1 / 5
✪ Προσδοκία και διακύμανση - bezbotvy
✪ Θεωρία Πιθανοτήτων 15: Προσδοκία
✪ Μαθηματική προσδοκία
✪ Προσδοκία και διακύμανση. Θεωρία
✪ Μαθηματική προσδοκία στις συναλλαγές
Υπότιτλοι
Ορισμός
Αφήστε ένα διάστημα πιθανότητας να δοθεί (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))και μια τυχαία μεταβλητή που ορίζεται σε αυτό X (\displaystyle X). Δηλαδή εξ ορισμού, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) )- μετρήσιμη λειτουργία. Αν υπάρχει ολοκλήρωμα Lebesgue του X (\displaystyle X)από το διάστημα Ω (\displaystyle \Omega), τότε ονομάζεται μαθηματική προσδοκία, ή μέση (αναμενόμενη) τιμή και συμβολίζεται M [ X ] (\displaystyle M[X])ή E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).
M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega).)Βασικοί τύποι για τη μαθηματική προσδοκία
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).
Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής κατανομής
P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1),τότε από τον ορισμό του ολοκληρώματος Lebesgue προκύπτει άμεσα ότι
M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).Προσδοκία ακέραιας τιμής
P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)τότε η μαθηματική προσδοκία του μπορεί να εκφραστεί μέσω της γεννητικής συνάρτησης της ακολουθίας ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))ως τιμή της πρώτης παραγώγου σε μονάδα: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Αν η μαθηματική προσδοκία X (\displaystyle X)άπειρα λοιπόν lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty )και θα γράψουμε P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty )
Τώρα ας πάρουμε τη συνάρτηση δημιουργίας Q (s) (\displaystyle Q(s))ακολουθίες ουρών διανομής ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))
q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)Αυτή η συνάρτηση δημιουργίας σχετίζεται με τη συνάρτηση που καθορίστηκε προηγουμένως P (s) (\displaystyle P(s))ιδιοκτησία: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))στο | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Από αυτό, από το θεώρημα της μέσης τιμής, προκύπτει ότι η μαθηματική προσδοκία είναι απλώς ίση με την τιμή αυτής της συνάρτησης σε μονάδα:
M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1))Μαθηματική προσδοκία μιας απολύτως συνεχούς κατανομής
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).Μαθηματική προσδοκία ενός τυχαίου διανύσματος
Αφήνω X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( R)^(n))- τυχαίο διάνυσμα. Τότε εξ ορισμού
M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\dots ,M)^(\top )),Δηλαδή, η μαθηματική προσδοκία ενός διανύσματος καθορίζεται συνιστώσα προς συνιστώσα.
Προσδοκία μετασχηματισμού τυχαίας μεταβλητής
Αφήνω g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) )είναι μια συνάρτηση Borel τέτοια ώστε η τυχαία μεταβλητή Y = g (X) (\displaystyle Y=g(X))έχει μια πεπερασμένη μαθηματική προσδοκία. Τότε ο τύπος ισχύει για αυτό
M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i , (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_( Εγώ),)Αν X (\displaystyle X)έχει διακριτή κατανομή.
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x , (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x )f_(X)(x)\,dx,)Αν X (\displaystyle X)έχει μια απολύτως συνεχή κατανομή.
Αν η διανομή P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X))τυχαία μεταβλητή X (\displaystyle X)γενική άποψη λοιπόν
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) . (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).)Στην ειδική περίπτωση όταν g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), αναμενόμενη αξία M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M)που ονομάζεται k (\displaystyle k)-m ροπή της τυχαίας μεταβλητής.
Οι απλούστερες ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας
- Η μαθηματική προσδοκία ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.
- Η μαθηματική προσδοκία είναι γραμμική, δηλαδή
Στην προηγούμενη, παρουσιάσαμε έναν αριθμό τύπων που μας επιτρέπουν να βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων όταν είναι γνωστοί οι νόμοι κατανομής των ορισμάτων. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις, για να βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε καν τους νόμους κατανομής των ορισμάτων, αλλά αρκεί να γνωρίζουμε μόνο μερικά από τα αριθμητικά χαρακτηριστικά τους. Ταυτόχρονα, γενικά κάνουμε χωρίς νόμους διανομής. Ο προσδιορισμός των αριθμητικών χαρακτηριστικών των συναρτήσεων από δεδομένα αριθμητικών χαρακτηριστικών ορισμάτων χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και μπορεί να απλοποιήσει σημαντικά τη λύση ενός αριθμού προβλημάτων. Οι περισσότερες από αυτές τις απλοποιημένες μεθόδους σχετίζονται με γραμμικές συναρτήσεις. Ωστόσο, ορισμένες στοιχειώδεις μη γραμμικές συναρτήσεις επιτρέπουν επίσης μια παρόμοια προσέγγιση.
Στο παρόν θα παρουσιάσουμε έναν αριθμό θεωρημάτων για τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων, τα οποία μαζί αντιπροσωπεύουν μια πολύ απλή συσκευή για τον υπολογισμό αυτών των χαρακτηριστικών, εφαρμόσιμη σε ένα ευρύ φάσμα συνθηκών.
1. Μαθηματική προσδοκία μιας μη τυχαίας τιμής
Η διατυπωμένη ιδιότητα είναι αρκετά προφανής. μπορεί να αποδειχθεί θεωρώντας μια μη τυχαία μεταβλητή ως ειδικό τύπο τυχαίας, με μία πιθανή τιμή με πιθανότητα μία. τότε σύμφωνα με τον γενικό τύπο για τη μαθηματική προσδοκία:
.
2. Διακύμανση μη τυχαίας ποσότητας
Εάν είναι μια μη τυχαία τιμή, τότε
3. Αντικατάσταση μη τυχαίας τιμής για το πρόσημο της μαθηματικής προσδοκίας
, (10.2.1)
Δηλαδή, μια μη τυχαία τιμή μπορεί να αφαιρεθεί ως σημάδι της μαθηματικής προσδοκίας.
Απόδειξη.
α) Για ασυνεχείς ποσότητες
β) Για συνεχείς ποσότητες
.
4. Αντικατάσταση μη τυχαίας τιμής για το πρόσημο της διασποράς και της τυπικής απόκλισης
Αν είναι μια μη τυχαία ποσότητα και είναι τυχαία, τότε
, (10.2.2)
Δηλαδή, μια μη τυχαία τιμή μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της διασποράς τετραγωνίζοντάς την.
Απόδειξη. Εξ ορισμού της διακύμανσης
Συνέπεια
,
Δηλαδή, μια μη τυχαία τιμή μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της τυπικής απόκλισης από την απόλυτη τιμή της. Λαμβάνουμε την απόδειξη παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα από τον τύπο (10.2.2) και λαμβάνοντας υπόψη ότι το r.s.o. - μια σημαντικά θετική τιμή.
5. Μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών
Ας αποδείξουμε ότι για οποιεσδήποτε δύο τυχαίες μεταβλητές και
δηλαδή η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους.
Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή ως το θεώρημα της πρόσθεσης των μαθηματικών προσδοκιών.
Απόδειξη.
α) Έστω ένα σύστημα ασυνεχών τυχαίων μεταβλητών. Ας εφαρμόσουμε τον γενικό τύπο (10.1.6) στο άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών για τη μαθηματική προσδοκία μιας συνάρτησης δύο ορισμάτων:
.
Το Ho δεν αντιπροσωπεύει τίποτα περισσότερο από τη συνολική πιθανότητα ότι η ποσότητα θα λάβει την τιμή:
;
ως εκ τούτου,
.
Θα το αποδείξουμε ομοίως
,
και το θεώρημα αποδεικνύεται.
β) Έστω ένα σύστημα συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Σύμφωνα με τον τύπο (10.1.7)
. (10.2.4)
Ας μετατρέψουμε το πρώτο από τα ολοκληρώματα (10.2.4):
;
ομοίως
,
και το θεώρημα αποδεικνύεται.
Θα πρέπει να σημειωθεί ιδιαίτερα ότι το θεώρημα για την προσθήκη μαθηματικών προσδοκιών ισχύει για τυχαίες μεταβλητές - εξαρτημένες και ανεξάρτητες.
Το θεώρημα για την προσθήκη μαθηματικών προσδοκιών γενικεύεται σε έναν αυθαίρετο αριθμό όρων:
, (10.2.5)
Δηλαδή, η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος πολλών τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους.
Για να το αποδείξουμε, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πλήρους επαγωγής.
6. Μαθηματική προσδοκία γραμμικής συνάρτησης
Εξετάστε μια γραμμική συνάρτηση πολλών τυχαίων ορισμάτων:
όπου είναι μη τυχαίοι συντελεστές. Ας το αποδείξουμε
, (10.2.6)
δηλ. η μαθηματική προσδοκία μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ίση με την ίδια γραμμική συνάρτηση των μαθηματικών προσδοκιών των ορισμάτων.
Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα πρόσθεσης του m.o. και τον κανόνα της τοποθέτησης μιας μη τυχαίας ποσότητας έξω από το πρόσημο του μ.ο., λαμβάνουμε:
.
7. Διασκεπαυτό το άθροισμα τυχαίων μεταβλητών
Η διακύμανση του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των αποκλίσεων τους συν το διπλάσιο της ροπής συσχέτισης:
Απόδειξη. Ας υποδηλώσουμε
Σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης των μαθηματικών προσδοκιών
Ας περάσουμε από τις τυχαίες μεταβλητές στις αντίστοιχες κεντραρισμένες μεταβλητές. Αφαιρώντας την ισότητα (10.2.9) ανά όρο από την ισότητα (10.2.8), έχουμε:
Εξ ορισμού της διακύμανσης
Q.E.D.
Ο τύπος (10.2.7) για τη διακύμανση του αθροίσματος μπορεί να γενικευτεί σε οποιονδήποτε αριθμό όρων:
,
(10.2.10)
όπου είναι η ροπή συσχέτισης των ποσοτήτων, το πρόσημο κάτω από το άθροισμα σημαίνει ότι το άθροισμα επεκτείνεται σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς τυχαίων μεταβλητών ανά ζεύγη 
.
Η απόδειξη είναι παρόμοια με την προηγούμενη και προκύπτει από τον τύπο για το τετράγωνο ενός πολυωνύμου.
Ο τύπος (10.2.10) μπορεί να γραφτεί με άλλη μορφή:
, (10.2.11)
όπου το διπλό άθροισμα εκτείνεται σε όλα τα στοιχεία του πίνακα συσχέτισης του συστήματος των μεγεθών , που περιέχει τόσο ροπές συσχέτισης όσο και διακυμάνσεις.
Αν όλες οι τυχαίες μεταβλητές , που περιλαμβάνονται στο σύστημα, δεν συσχετίζονται (δηλαδή, όταν ), ο τύπος (10.2.10) έχει τη μορφή:
, (10.2.12)
δηλαδή η διακύμανση του αθροίσματος των μη συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων των όρων.
Αυτή η θέση είναι γνωστή ως το θεώρημα της πρόσθεσης διακυμάνσεων.
8. Διακύμανση γραμμικής συνάρτησης
Ας εξετάσουμε μια γραμμική συνάρτηση πολλών τυχαίων μεταβλητών.
όπου υπάρχουν μη τυχαίες ποσότητες.
Ας αποδείξουμε ότι η διασπορά αυτής της γραμμικής συνάρτησης εκφράζεται με τον τύπο
, (10.2.13)
όπου είναι η ροπή συσχέτισης των μεγεθών , .
Απόδειξη. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:
. (10.2.14)
Εφαρμόζοντας τον τύπο (10.2.10) για τη διασπορά του αθροίσματος στη δεξιά πλευρά της παράστασης (10.2.14) και λαμβάνοντας υπόψη ότι , παίρνουμε:
πού είναι η ροπή συσχέτισης των μεγεθών:
.
Ας υπολογίσουμε αυτή τη στιγμή. Εχουμε:
;
ομοίως
Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση σε (10.2.15), φτάνουμε στον τύπο (10.2.13).
Στην ειδική περίπτωση που όλες οι ποσότητες δεν είναι συσχετισμένα, ο τύπος (10.2.13) έχει τη μορφή:
, (10.2.16)
δηλαδή η διακύμανση μιας γραμμικής συνάρτησης ασύνδετων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων των τετραγώνων των συντελεστών και των διακυμάνσεων των αντίστοιχων ορισμάτων.
9. Μαθηματική προσδοκία γινομένου τυχαίων μεταβλητών
Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους συν τη ροπή συσχέτισης:
Απόδειξη. Θα προχωρήσουμε από τον ορισμό της ροπής συσχέτισης:
Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
που είναι προφανώς ισοδύναμο με τον τύπο (10.2.17).
Εάν οι τυχαίες μεταβλητές δεν είναι συσχετισμένες, τότε ο τύπος (10.2.17) παίρνει τη μορφή:
Δηλαδή, η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ασύνδετων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.
Αυτή η θέση είναι γνωστή ως το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των μαθηματικών προσδοκιών.
Ο τύπος (10.2.17) δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια έκφραση της δεύτερης μικτής κεντρικής ροπής του συστήματος μέσω της δεύτερης μικτής αρχικής στιγμής και των μαθηματικών προσδοκιών:
. (10.2.19)
Αυτή η έκφραση χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη κατά τον υπολογισμό της ροπής συσχέτισης με τον ίδιο τρόπο που για μια τυχαία μεταβλητή η διακύμανση υπολογίζεται συχνά μέσω της δεύτερης αρχικής στιγμής και της μαθηματικής προσδοκίας.
Το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των μαθηματικών προσδοκιών γενικεύεται σε έναν αυθαίρετο αριθμό παραγόντων, μόνο που σε αυτή την περίπτωση, για την εφαρμογή του, δεν αρκεί να είναι ασυσχετισμένες οι ποσότητες, αλλά απαιτείται ορισμένες υψηλότερες μικτές ροπές, ο αριθμός των οποίων εξαρτάται σχετικά με τον αριθμό των όρων στο προϊόν, εξαφανίζονται. Αυτές οι προϋποθέσεις βεβαίως ικανοποιούνται εάν οι τυχαίες μεταβλητές που περιλαμβάνονται στο προϊόν είναι ανεξάρτητες. Σε αυτήν την περίπτωση
, (10.2.20)
δηλαδή η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.
Αυτή η πρόταση μπορεί εύκολα να αποδειχθεί με πλήρη επαγωγή.
10. Διακύμανση του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών
Ας το αποδείξουμε αυτό για ανεξάρτητες ποσότητες
Απόδειξη. Ας υποδηλώσουμε . Εξ ορισμού της διακύμανσης
Δεδομένου ότι οι ποσότητες είναι ανεξάρτητες, και
Όταν είναι ανεξάρτητες, οι ποσότητες είναι επίσης ανεξάρτητες. ως εκ τούτου,
,
Αλλά δεν υπάρχει τίποτα περισσότερο από τη δεύτερη αρχική στιγμή μεγέθους και, ως εκ τούτου, εκφράζεται μέσω της διασποράς:
;
ομοίως
.
Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με τον τύπο (10.2.22) και φέρνοντας παρόμοιους όρους, φτάνουμε στον τύπο (10.2.21).
Στην περίπτωση που πολλαπλασιάζονται κεντραρισμένες τυχαίες μεταβλητές (μεταβλητές με μαθηματικές προσδοκίες ίσες με μηδέν), ο τύπος (10.2.21) παίρνει τη μορφή:
, (10.2.23)
δηλαδή η διακύμανση του γινομένου των ανεξάρτητων κεντραρισμένων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των διακυμάνσεων τους.
11. Μεγαλύτερες ροπές του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών
Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι υψηλότερες ροπές του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Ας αποδείξουμε κάποιες σχέσεις που σχετίζονται εδώ.
1) Αν οι ποσότητες είναι ανεξάρτητες, τότε
Απόδειξη.
από όπου, σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των μαθηματικών προσδοκιών
Αλλά η πρώτη κεντρική στιγμή για οποιαδήποτε ποσότητα είναι μηδέν. οι δύο μεσαίοι όροι εξαφανίζονται και ο τύπος (10.2.24) αποδεικνύεται.
Η σχέση (10.2.24) γενικεύεται εύκολα με επαγωγή σε έναν αυθαίρετο αριθμό ανεξάρτητων όρων:
. (10.2.25)
2) Η τέταρτη κεντρική ροπή του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών εκφράζεται με τον τύπο
πού είναι οι διακυμάνσεις των ποσοτήτων και .
Η απόδειξη είναι εντελώς παρόμοια με την προηγούμενη.
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της πλήρους επαγωγής, είναι εύκολο να αποδειχθεί η γενίκευση του τύπου (10.2.26) σε έναν αυθαίρετο αριθμό ανεξάρτητων όρων.
– ο αριθμός των αγοριών μεταξύ 10 νεογνών.
Είναι απολύτως σαφές ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων και τα επόμενα δέκα παιδιά που θα γεννηθούν μπορεί να περιλαμβάνουν:
Ή αγόρια - ένα και μοναδικόαπό τις επιλογές που αναφέρονται.
Και, για να παραμείνουμε σε φόρμα, λίγη φυσική αγωγή:
– απόσταση άλματος εις μήκος (σε ορισμένες μονάδες).
Ακόμη και ένας κύριος του αθλητισμού δεν μπορεί να το προβλέψει :)
Ωστόσο, οι υποθέσεις σας;
2) Συνεχής τυχαία μεταβλητή – αποδέχεται Ολααριθμητικές τιμές από κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα.
Σημείωση : οι συντομογραφίες DSV και NSV είναι δημοφιλείς στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία
Αρχικά, ας αναλύσουμε τη διακριτή τυχαία μεταβλητή και μετά - συνεχής.
Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
- Αυτό αλληλογραφίαμεταξύ των πιθανών τιμών αυτής της ποσότητας και των πιθανοτήτων τους. Τις περισσότερες φορές, ο νόμος γράφεται σε έναν πίνακα: 
Ο όρος εμφανίζεται αρκετά συχνά σειρά
διανομή, αλλά σε κάποιες περιπτώσεις ακούγεται διφορούμενο, και έτσι θα μείνω στον «νόμο».
Και τώρα πολύ σημαντικό σημείο: αφού η τυχαία μεταβλητή Αναγκαίωςθα δεχθεί μία από τις αξίες, τότε σχηματίζονται τα αντίστοιχα συμβάντα πλήρης ομάδακαι το άθροισμα των πιθανοτήτων εμφάνισής τους είναι ίσο με μία:
ή, εάν γράφεται συμπυκνωμένο:
Έτσι, για παράδειγμα, ο νόμος της κατανομής πιθανοτήτων των σημείων που κυλούν σε μια μήτρα έχει την ακόλουθη μορφή: 
Χωρίς σχόλια.
Μπορεί να έχετε την εντύπωση ότι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει μόνο «καλές» ακέραιες τιμές. Ας διαλύσουμε την ψευδαίσθηση - μπορεί να είναι οτιδήποτε:
Παράδειγμα 1
Κάποιο παιχνίδι έχει τον ακόλουθο νόμο διανομής νίκης: 
...μάλλον ονειρευόσασταν από καιρό τέτοιες εργασίες :) Θα σας πω ένα μυστικό - κι εγώ. Ειδικά μετά την ολοκλήρωση της εργασίας θεωρία πεδίου.
Λύση: δεδομένου ότι μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει μόνο μία από τις τρεις τιμές, σχηματίζονται τα αντίστοιχα συμβάντα πλήρης ομάδα, που σημαίνει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με ένα: 
Αποκαλύπτοντας τον «κομματικό»: 
– έτσι, η πιθανότητα να κερδίσετε συμβατικές μονάδες είναι 0,4.
Έλεγχος: αυτό έπρεπε να βεβαιωθούμε.
Απάντηση:
Δεν είναι ασυνήθιστο όταν χρειάζεται να συντάξετε μόνοι σας έναν νόμο διανομής. Για αυτό χρησιμοποιούν κλασικός ορισμός της πιθανότητας, Θεωρήματα πολλαπλασιασμού/προσθήκης για πιθανότητες γεγονότωνκαι άλλες μάρκες τερβέρα:
Παράδειγμα 2
Το κουτί περιέχει 50 λαχεία, μεταξύ των οποίων τα 12 κερδίζουν, και 2 από αυτά κερδίζουν 1000 ρούβλια το καθένα και τα υπόλοιπα - 100 ρούβλια το καθένα. Σχεδιάστε έναν νόμο για την κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής - το μέγεθος των κερδών, εάν ένα δελτίο τραβηχτεί τυχαία από το κουτί.
Λύση: όπως παρατηρήσατε, συνήθως τοποθετούνται οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής με αύξουσα σειρά. Επομένως, ξεκινάμε με τα μικρότερα κέρδη, δηλαδή τα ρούβλια.
Υπάρχουν 50 τέτοια εισιτήρια συνολικά - 12 = 38, και σύμφωνα με κλασικός ορισμός:
– η πιθανότητα ένα εισιτήριο που κληρώθηκε τυχαία να είναι χαμένο.
Σε άλλες περιπτώσεις όλα είναι απλά. Η πιθανότητα να κερδίσετε ρούβλια είναι:
Ελέγξτε: – και αυτή είναι μια ιδιαίτερα ευχάριστη στιγμή τέτοιων εργασιών!
Απάντηση: ο επιθυμητός νόμος κατανομής των κερδών: 
Την παρακάτω εργασία πρέπει να την λύσετε μόνοι σας:
Παράδειγμα 3
Η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο είναι . Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για μια τυχαία μεταβλητή - τον αριθμό των χτυπημάτων μετά από 2 βολές.
...το ήξερα ότι σου έλειψε :) Ας θυμηθούμε θεωρήματα πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.
Ο νόμος κατανομής περιγράφει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή, αλλά στην πράξη μπορεί να είναι χρήσιμο (και μερικές φορές πιο χρήσιμο) να γνωρίζουμε μόνο μερικές από αυτές αριθμητικά χαρακτηριστικά .
Προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Με απλά λόγια, αυτό είναι μέση αναμενόμενη τιμήόταν η δοκιμή επαναλαμβάνεται πολλές φορές. Αφήστε την τυχαία μεταβλητή να λάβει τιμές με πιθανότητες 
αντίστοιχα. Τότε η μαθηματική προσδοκία αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με άθροισμα προϊόντωνόλες τις τιμές του στις αντίστοιχες πιθανότητες:
ή κατέρρευσε: 
Ας υπολογίσουμε, για παράδειγμα, τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής - τον αριθμό των σημείων που κυλήθηκαν σε μια μήτρα:
Ας θυμηθούμε τώρα το υποθετικό μας παιχνίδι: 
Γεννιέται το ερώτημα: είναι κερδοφόρο να παίζεις καθόλου αυτό το παιχνίδι; ...ποιος έχει εντυπώσεις; Οπότε δεν μπορείς να το πεις «αυθόρμητα»! Αλλά αυτή η ερώτηση μπορεί εύκολα να απαντηθεί με τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας, ουσιαστικά - σταθμισμένος μέσος όροςκατά πιθανότητα νίκης:
Έτσι, η μαθηματική προσδοκία αυτού του παιχνιδιού χάνοντας.
Μην εμπιστεύεστε τις εντυπώσεις σας - εμπιστευτείτε τους αριθμούς!
Ναι, εδώ μπορείς να κερδίσεις 10 ή και 20-30 φορές στη σειρά, αλλά μακροπρόθεσμα, μας περιμένει αναπόφευκτη καταστροφή. Και δεν θα σε συμβούλευα να παίζεις τέτοια παιχνίδια :) Λοιπόν, ίσως μόνο για πλάκα.
Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι η μαθηματική προσδοκία δεν είναι πλέον τυχαία τιμή.
Δημιουργική εργασία για ανεξάρτητη έρευνα:
Παράδειγμα 4
Ο κύριος Χ παίζει ευρωπαϊκή ρουλέτα χρησιμοποιώντας το ακόλουθο σύστημα: ποντάρει συνεχώς 100 ρούβλια στο "κόκκινο". Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής - τα κέρδη της. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία των κερδών και στρογγυλοποιήστε την στο πλησιέστερο καπίκι. Πόσα μέση τιμήΧάνει ο παίκτης για κάθε εκατό που στοιχηματίζει;
Αναφορά : Η ευρωπαϊκή ρουλέτα περιέχει 18 κόκκινους, 18 μαύρους και 1 πράσινο τομέα («μηδέν»). Εάν εμφανιστεί ένα "κόκκινο", ο παίκτης πληρώνεται το διπλάσιο του στοιχήματος, διαφορετικά πηγαίνει στα έσοδα του καζίνο
Υπάρχουν πολλά άλλα συστήματα ρουλέτας για τα οποία μπορείτε να δημιουργήσετε τους δικούς σας πίνακες πιθανοτήτων. Αλλά αυτό συμβαίνει όταν δεν χρειαζόμαστε νόμους ή πίνακες διανομής, γιατί έχει διαπιστωθεί με βεβαιότητα ότι η μαθηματική προσδοκία του παίκτη θα είναι ακριβώς η ίδια. Το μόνο που αλλάζει από σύστημα σε σύστημα είναι
