Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα , ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισότητες, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικό. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: είναι απαραίτητο να καθοριστεί ποιος τύπος προβλήματος επιλύεται, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν σε το επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.

Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για να εκτελέσετε μετασχηματισμοί ταυτότηταςκαι υπολογιστών.

Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τεκμηριωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.

Με εμφάνισηεξίσωση, μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».
2. Φέρτε την εξίσωση σε «πανομοιότυπες συναρτήσεις».
3. παραμετροποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.

Ας σκεφτούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς γνωστές συνιστώσες.

Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Λύση.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Αντικατάσταση μεταβλητής

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να μειώσετε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).

Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε το αποτέλεσμα αλγεβρική εξίσωση.

Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.

Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Λύση.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού:

αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Λύση.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ομογενείς εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα

α) a sin x + b cos x = 0 ( ομοιογενής εξίσωσηπρώτου βαθμού)

ή στη θέα

β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και πάρτε την εξίσωση για το tan x:

α) a tan x + b = 0;

β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Λύση.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Έστω tg x = t, τότε

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ή t = -4, που σημαίνει

tg x = 1 ή tg x = -4.

Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλα τα είδη τριγωνομετρικούς τύπους, ανάγουμε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που επιλύεται με τις μεθόδους I, II, III, IV.

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.

Λύση.

1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.

Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Επίλυση δεξιοτήτων και ικανοτήτων τριγωνομετρικές εξισώσειςείναι πολύ σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.

Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων ενσωματώνει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται με τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία εκμάθησης των μαθηματικών και της προσωπικής ανάπτυξης γενικότερα.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Οι κύριες μέθοδοι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι: η αναγωγή των εξισώσεων στην απλούστερη (χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους), η εισαγωγή νέων μεταβλητών και η παραγοντοποίηση. Ας δούμε τη χρήση τους με παραδείγματα. Προσοχή στη μορφή γραφής λύσεων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Απαραίτητη προϋπόθεση για την επιτυχή επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι η γνώση τριγωνομετρικών τύπων (θέμα 13 της εργασίας 6).

Παραδείγματα.

1. Εξισώσεις ανάγονται στην απλούστερη.

1) Λύστε την εξίσωση

Λύση:

Απάντηση:

2) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, που ανήκουν στο τμήμα.

Λύση:

Απάντηση:

2. Εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικό.

1) Λύστε την εξίσωση 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Λύση:Χρησιμοποιώντας τον τύπο sin 2 x = 1 – cos 2 x, παίρνουμε

Απάντηση:

2) Λύστε την εξίσωση cos 2x = 1 + 4 cosx.

Λύση:Χρησιμοποιώντας τον τύπο cos 2x = 2 cos 2 x – 1, παίρνουμε

Απάντηση:

3) Λύστε την εξίσωση tgx – 2ctgx + 1 = 0

Λύση:

Απάντηση:

3. Ομογενείς εξισώσεις

1) Λύστε την εξίσωση 2sinx – 3cosx = 0

Λύση: Έστω cosx = 0, μετά 2sinx = 0 και sinx = 0 – αντίφαση με το γεγονός ότι sin 2 x + cos 2 x = 1. Αυτό σημαίνει cosx ≠ 0 και μπορούμε να διαιρέσουμε την εξίσωση με cosx. Παίρνουμε

Απάντηση:

2) Λύστε την εξίσωση 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Λύση:

Χρησιμοποιούμε τους τύπους 1 = sin 2 x + cos 2 x και sin 2x = 2 sinxcosx, παίρνουμε

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Έστω cosx = 0, τότε sin 2 x = 0 και sinx = 0 – αντίφαση με το γεγονός ότι sin 2 x + cos 2 x = 1.
Αυτό σημαίνει cosx ≠ 0 και μπορούμε να διαιρέσουμε την εξίσωση με cos 2 x . Παίρνουμε

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Ας συμβολίσουμε tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
α) tgx = 4, x= arctan4 + 2 κ, κ
β) tgx = 2, x= arctan2 + 2 κ, κ .

Απάντηση: arctg4 + 2 κ, arctan2 + 2 κ, κ

4. Εξισώσεις της φόρμας ένα sinx + σι cosx = s, s≠ 0.

1) Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Απάντηση:

5. Εξισώσεις που λύνονται με παραγοντοποίηση.

1) Λύστε εξίσωση αμαρτίας 2x – sinx = 0.

Ρίζα της εξίσωσης φά (Χ) = φ ( Χ) μπορεί να χρησιμεύσει μόνο ως αριθμός 0. Ας ελέγξουμε αυτό:

cos 0 = 0 + 1 – η ισότητα είναι αληθής.

Ο αριθμός 0 είναι η μόνη ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Απάντηση: 0.

Έννοια επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

  • Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, μετατρέψτε την σε μία ή περισσότερες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Η επίλυση μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης καταλήγει τελικά στην επίλυση των τεσσάρων βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

  • Επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

    • Υπάρχουν 4 τύποι βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων:
    • sin x = a; cos x = α
    • tan x = a; ctg x = α
    • Η επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων περιλαμβάνει την εξέταση των διαφορετικών θέσεων "x". κύκλος μονάδας, και χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανή).
    • Παράδειγμα 1. sin x = 0,866. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανή) θα λάβετε την απάντηση: x = π/3. Ο μοναδιαίος κύκλος δίνει άλλη απάντηση: 2π/3. Θυμήσου τα πάντα τριγωνομετρικές συναρτήσειςείναι περιοδικές, δηλαδή οι τιμές τους επαναλαμβάνονται. Για παράδειγμα, η περιοδικότητα των sin x και cos x είναι 2πn και η περιοδικότητα των tg x και ctg x είναι πn. Επομένως η απάντηση γράφεται ως εξής:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Παράδειγμα 2. cos x = -1/2. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανή) θα λάβετε την απάντηση: x = 2π/3. Ο μοναδιαίος κύκλος δίνει άλλη απάντηση: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • Παράδειγμα 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Απάντηση: x = π/4 + πn.
    • Παράδειγμα 4. ctg 2x = 1,732.
    • Απάντηση: x = π/12 + πn.

  • Μετασχηματισμοί που χρησιμοποιούνται στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

    • Για τον μετασχηματισμό τριγωνομετρικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται αλγεβρικοί μετασχηματισμοί (παραγοντοποίηση, αναγωγή ομοιογενή μέληκλπ) και τριγωνομετρικές ταυτότητες.
    • Παράδειγμα 5: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, η εξίσωση sin x + sin 2x + sin 3x = 0 μετατρέπεται στην εξίσωση 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Έτσι, οι ακόλουθες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις πρέπει να λυθεί: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Εύρεση γωνιών χρησιμοποιώντας γνωστές τιμές συνάρτησης.

      • Πριν μάθετε πώς να λύνετε τριγωνομετρικές εξισώσεις, πρέπει να μάθετε πώς να βρίσκετε γωνίες χρησιμοποιώντας γνωστές τιμές συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών ή μια αριθμομηχανή.
      • Παράδειγμα: cos x = 0,732. Η αριθμομηχανή θα δώσει την απάντηση x = 42,95 μοίρες. Ο μοναδιαίος κύκλος θα δώσει πρόσθετες γωνίες, το συνημίτονο του οποίου είναι επίσης 0,732.

    • Αφήστε το διάλυμα στην άκρη στον κύκλο της μονάδας.

      • Μπορείτε να σχεδιάσετε λύσεις σε μια τριγωνομετρική εξίσωση στον μοναδιαίο κύκλο. Οι λύσεις μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης στον μοναδιαίο κύκλο είναι οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου.
      • Παράδειγμα: Οι λύσεις x = π/3 + πn/2 στον μοναδιαίο κύκλο αντιπροσωπεύουν τις κορυφές του τετραγώνου.
      • Παράδειγμα: Οι λύσεις x = π/4 + πn/3 στον μοναδιαίο κύκλο αντιπροσωπεύουν τις κορυφές ενός κανονικού εξαγώνου.

    • Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

      • Εάν μια δεδομένη τριγωνομετρική εξίσωση περιέχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση, λύστε αυτή την εξίσωση ως βασική τριγωνομετρική εξίσωση. Εάν μια δεδομένη εξίσωση περιλαμβάνει δύο ή περισσότερες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τότε υπάρχουν 2 μέθοδοι για την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης (ανάλογα με την πιθανότητα μετασχηματισμού της).
        • Μέθοδος 1.
      • Μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: f(x)*g(x)*h(x) = 0, όπου f(x), g(x), h(x) είναι οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.
      • Παράδειγμα 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Λύση. Χρησιμοποιώντας τον διπλό τύπο γωνία αμαρτία 2x = 2*sin x*cos x, αντικαταστήστε το sin 2x.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Λύστε τώρα τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos x = 0 και (sin x + 1) = 0.
      • Παράδειγμα 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Λύση: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos 2x = 0 και (2cos x + 1) = 0.
      • Παράδειγμα 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
      • Λύση: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε μια εξίσωση της μορφής: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos 2x = 0 και (2sin x + 1) = 0 .
        • Μέθοδος 2.
      • Μετατρέψτε τη δεδομένη τριγωνομετρική εξίσωση σε εξίσωση που περιέχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτήν την τριγωνομετρική συνάρτηση με κάποια άγνωστη, για παράδειγμα, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, κ.λπ.).
      • Παράδειγμα 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • Λύση. Σε αυτήν την εξίσωση, αντικαταστήστε το (cos^2 x) με το (1 - sin^2 x) (σύμφωνα με την ταυτότητα). Η μετασχηματισμένη εξίσωση είναι:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Αντικαταστήστε το sin x με t. Τώρα η εξίσωση είναι: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Αυτό είναι τετραγωνική εξίσωση, έχοντας δύο ρίζες: t1 = -1 και t2 = 9/5. Η δεύτερη ρίζα t2 δεν ικανοποιεί το εύρος συναρτήσεων (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Παράδειγμα 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Λύση. Αντικαταστήστε το tg x με το t. Ξαναγράψτε την αρχική εξίσωση ως εξής: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Τώρα βρείτε το t και μετά βρείτε το x για t = tan x.

    • Δίνονται οι σχέσεις μεταξύ των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων - ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης τριγωνομετρικούς τύπους. Και δεδομένου ότι υπάρχουν πολλές συνδέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτό εξηγεί την αφθονία των τριγωνομετρικών τύπων. Ορισμένοι τύποι συνδέουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις της ίδιας γωνίας, άλλοι - συναρτήσεις πολλαπλής γωνίας, άλλοι - σας επιτρέπουν να μειώσετε τη μοίρα, τέταρτο - να εκφράσετε όλες τις συναρτήσεις μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας κ.λπ.

    Σε αυτό το άρθρο θα παραθέσουμε με τη σειρά όλους τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, οι οποίοι επαρκούν για την επίλυση της συντριπτικής πλειοψηφίας των τριγωνομετρικών προβλημάτων. Για ευκολία απομνημόνευσης και χρήσης, θα τα ομαδοποιήσουμε κατά σκοπό και θα τα καταχωρήσουμε σε πίνακες.

    Πλοήγηση στη σελίδα.

    Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

    Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητεςνα ορίσετε τη σχέση μεταξύ ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μιας γωνίας. Προκύπτουν από τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, καθώς και της έννοιας του μοναδιαίου κύκλου. Σας επιτρέπουν να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς οποιαδήποτε άλλη.

    Για μια λεπτομερή περιγραφή αυτών των τύπων τριγωνομετρίας, την παραγωγή τους και παραδείγματα εφαρμογής, δείτε το άρθρο.

    Φόρμουλες μείωσης




    Φόρμουλες μείωσηςακολουθούν από τις ιδιότητες του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, δηλαδή αντανακλούν την ιδιότητα της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, την ιδιότητα της συμμετρίας, καθώς και την ιδιότητα της μετατόπισης κατά μια δεδομένη γωνία. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι σάς επιτρέπουν να μετακινηθείτε από την εργασία με αυθαίρετες γωνίες στην εργασία με γωνίες που κυμαίνονται από μηδέν έως 90 μοίρες.

    Το σκεπτικό αυτών των τύπων, ένας μνημονικός κανόνας για την απομνημόνευσή τους και παραδείγματα εφαρμογής τους μπορούν να μελετηθούν στο άρθρο.

    Τύποι προσθήκης

    Τριγωνομετρικοί τύποι πρόσθεσηςΔείξτε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο γωνιών ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών. Αυτοί οι τύποι χρησιμεύουν ως βάση για την εξαγωγή των ακόλουθων τριγωνομετρικών τύπων.

    Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία



    Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία (λέγονται και τύποι πολλαπλών γωνιών) δείχνουν πώς οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του διπλού, του τριπλού κ.λπ. Οι γωνίες () εκφράζονται ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μόνο γωνίας. Η παραγωγή τους βασίζεται σε τύπους πρόσθεσης.

    Αναλυτικότερες πληροφορίες συλλέγονται στους τύπους του άρθρου για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία

    Τύποι μισής γωνίας

    Τύποι μισής γωνίαςνα δείξετε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μισής γωνίας ως προς το συνημίτονο μιας ολόκληρης γωνίας. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι προκύπτουν από τους τύπους διπλής γωνίας.

    Το συμπέρασμά τους και παραδείγματα εφαρμογής βρίσκονται στο άρθρο.

    Τύποι μείωσης πτυχίου


    Τριγωνομετρικοί τύποι για μείωση μοιρώνέχουν σχεδιαστεί για να διευκολύνουν τη μετάβαση από τις φυσικές δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ημίτονο και συνημίτονο στον πρώτο βαθμό, αλλά σε πολλαπλές γωνίες. Με άλλα λόγια, σας επιτρέπουν να μειώσετε τις δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην πρώτη.

    Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεων


    Ο κύριος σκοπός τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεωνείναι να πάτε στο γινόμενο των συναρτήσεων, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο κατά την απλοποίηση τριγωνομετρικές εκφράσεις. Αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, καθώς σας επιτρέπουν να συνυπολογίσετε το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων.

    Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτονοειδών συνημιτόνων


    Η μετάβαση από το γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ένα άθροισμα ή διαφορά πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τους τύπους για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτόνου προς συνημίτονο.

    Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση

    Ολοκληρώνουμε την ανασκόπηση των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας με τύπους που εκφράζουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας. Αυτή η αντικατάσταση κλήθηκε καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση. Η ευκολία του έγκειται στο γεγονός ότι όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εκφράζονται σε όρους εφαπτομένης μισής γωνίας ορθολογικά χωρίς ρίζες.

    Βιβλιογραφία.

    • Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 σελ.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
    • Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
    • Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14η έκδ. - M.: Education, 2004. - 384 σελ.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
    • Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

    Πνευματικά δικαιώματα από έξυπνους μαθητές

    Ολα τα δικαιώματα διατηρούνται.
    Προστατεύεται από το νόμο περί πνευματικών δικαιωμάτων. Κανένα μέρος του ιστότοπου, συμπεριλαμβανομένων των εσωτερικών υλικών και της εμφάνισης, δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μορφή ή να χρησιμοποιηθεί χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του κατόχου των πνευματικών δικαιωμάτων.

    Τριγωνομετρικές εξισώσεις .

    Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις .

    Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

    Τριγωνομετρικές εξισώσεις. Μια εξίσωση που περιέχει ένα άγνωστο κάτω λέγεται το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης τριγωνομετρική.

    Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.



    Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων. Η επίλυση μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης αποτελείται από δύο στάδια: μετασχηματισμός εξίσωσηςγια να το πάρεις πιο απλότύπου (βλ. παραπάνω) και λύσητο πιο απλό που προκύπτει τριγωνομετρική εξίσωση.Υπάρχουν επτά βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

    1. Αλγεβρική μέθοδος. Αυτή η μέθοδος μας είναι πολύ γνωστή από την άλγεβρα.

    (μέθοδος αντικατάστασης και αντικατάστασης μεταβλητής).

    2. Παραγοντοποίηση. Ας δούμε αυτή τη μέθοδο με παραδείγματα.

    Παράδειγμα 1. Λύστε την εξίσωση:αμαρτία Χ+κος Χ = 1 .

    Λύση Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους της εξίσωσης προς τα αριστερά:

    Αμαρτία Χ+κος Χ – 1 = 0 ,

    Ας μετασχηματίσουμε και παραγοντοποιήσουμε την έκφραση

    Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

    Παράδειγμα 2. Λύστε την εξίσωση: cos 2 Χ+ αμαρτία Χ cos Χ = 1.

    Λύση: cos 2 Χ+ αμαρτία Χ cos Χ– αμαρτία 2 Χ– cos 2 Χ = 0 ,

    Αμαρτία Χ cos Χ– αμαρτία 2 Χ = 0 ,

    Αμαρτία Χ· (συν Χ– αμαρτία Χ ) = 0 ,

    Παράδειγμα 3. Λύστε την εξίσωση: cos 2 Χ– συν 8 Χ+ cos 6 Χ = 1.

    Λύση: cos 2 Χ+ cos 6 Χ= 1 + συν 8 Χ,

    2 ως 4 Χ cos 2 Χ= 2κοσ² 4 Χ ,

    Cos 4 Χ · (συν 2 Χ– cos 4 Χ) = 0 ,

    Cos 4 Χ · 2 αμαρτία 3 Χαμαρτία Χ = 0 ,

    1). cos 4 Χ= 0, 2). αμαρτία 3 Χ= 0, 3). αμαρτία Χ = 0 ,

    3.

    Οδηγει σε ομοιογενής εξίσωση. Η εξίσωση που ονομάζεται ομοιογενής από Σχετικά με αμαρτίαΚαι cos , Αν όλα αυτά όρους του ίδιου βαθμού σε σχέση με αμαρτίαΚαι cosίδια γωνία. Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση, χρειάζεστε:

    ΕΝΑ) μετακινήστε όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά.

    σι) βάλτε όλους τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων.

    V) εξισώνουν όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με μηδέν.

    σολ) παρενθέσεις ίσες με μηδέν δίνουν ομοιογενής εξίσωση μικρότερου βαθμού, η οποία πρέπει να χωριστεί σε

    cos(ή αμαρτία) στο ανώτερο πτυχίο?

    ρε) λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει ως προςβυρσοδέψω .

    ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Λύστε την εξίσωση: 3αμαρτία 2 Χ+ 4 αμαρτία Χ cos Χ+ 5 κοσ 2 Χ = 2.

    Λύση: 3 sin 2 Χ+ 4 αμαρτία Χ cos Χ+ 5 co 2 Χ= 2 αμαρτία 2 Χ+ 2 συν 2 Χ ,

    Αμαρτία 2 Χ+ 4 αμαρτία Χ cos Χ+ 3 co 2 Χ = 0 ,

    Μαύρισμα 2 Χ+ 4 μαύρισμα Χ + 3 = 0 , από εδώ y 2 + 4y +3 = 0 ,

    Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι:y 1 = - 1, y 2 = - 3, επομένως

    1) μαύρισμα Χ= –1, 2) μαύρισμα Χ = –3,

    4. Μετάβαση στη μισή γωνία. Ας δούμε αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα:

    ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Λύστε την εξίσωση: 3αμαρτία Χ– 5 κοσ Χ = 7.

    Λύση: 6 αμαρτία ( Χ/ 2) cos ( Χ/ 2) – 5 cos² ( Χ/ 2) + 5 αμαρτία² ( Χ/ 2) =

    7 αμαρτία² ( Χ/ 2) + 7 cos² ( Χ/ 2) ,

    2 αμαρτία² ( Χ/ 2) – 6 αμαρτία ( Χ/ 2) cos ( Χ/ 2) + 12 cos² ( Χ/ 2) = 0 ,

    μαύρισμα²( Χ/ 2) – 3 μαύρισμα ( Χ/ 2) + 6 = 0 ,

    . . . . . . . . . .

    5. Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας. Θεωρήστε μια εξίσωση της μορφής:

    ένααμαρτία Χ + σι cos Χ = ντο ,

    Οπου ένα, σι, ντο– συντελεστές·Χ– άγνωστο.

    Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, και συγκεκριμένα: συντελεστής (απόλυτη τιμή) του καθενός