Σημάδια αριθμών διαίρεσης- Αυτοί είναι κανόνες που επιτρέπουν τα μη παραγωγικά τμήματα σχετικά γρήγορα να μάθουν εάν ο αριθμός αυτός διαιρείται σε ένα δεδομένο χωρίς υπολείμματα.
Μερικά απο Σημάδια διαίρεσης Πολύ απλό, μερικά πιο σκληρά. Σε αυτή τη σελίδα θα βρείτε ως σημάδια διαίρεσης των πρωταρχικών αριθμών, όπως, για παράδειγμα, 2, 3, 5, 7, 11, και σημάδια διαίρεσης των εξαρτημάτων, όπως 6 ή 12.
Ελπίζω ότι αυτές οι πληροφορίες θα είναι χρήσιμες για εσάς.
Ευχάριστη μάθηση!
Σημάδι διαίρεσης στις 2
Αυτό είναι ένα από τα ευκολότερα σημάδια διαίρεσης. Ακούγεται έτσι: Εάν η εγγραφή ενός φυσικού αριθμού τελειώνει με έναν αναγνώστη, τότε είναι ομοιόμορφα (διαιρείται χωρίς υπολείμματα κατά 2) και εάν η εγγραφή του αριθμού τελειώνει σε ένα περίεργο ψηφίο, τότε αυτός ο αριθμός είναι περίεργος.
Με άλλα λόγια, εάν ο τελευταίος αριθμός ψηφίων είναι ίσος 2
, 4
, 6
, 8
ή 0
- ο αριθμός χωρίζεται σε 2, αν όχι, δεν είναι διαιρεμένο
Για παράδειγμα, αριθμοί: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
Διαχωρίζονται σε 2, επειδή είναι ακόμη και.
Αριθμοί: 23 5
, 137
, 2303
Στις 2 δεν χωρίζονται, επειδή είναι περίεργοι.
Σημάδι διαίρεσης στις 3
Αυτό το χαρακτηριστικό του τμήματος είναι εντελώς διαφορετικό: εάν ο αριθμός των αριθμών διαιρείται με 3, τότε ο αριθμός διαιρείται με 3. Εάν η ποσότητα αριθμού αριθμών δεν διαιρείται με 3, τότε ο αριθμός δεν διαιρείται με 3.
Έτσι, για να καταλάβουμε αν ο αριθμός χωρίζεται σε 3, είναι απαραίτητο μόνο να προσθέσετε τους αριθμούς μεταξύ τους από τους εαυτούς τους από τους οποίους αποτελείται.
Φαίνεται ότι αυτό: 3987 και 141 διαιρείται με 3, επειδή στην πρώτη περίπτωση 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 3 \u003d 9 - διαιρείται χωρίς τα υπολείμματα των 3) και στο δεύτερο 1 + 4 + 1 \u003d 6
(6: 3 \u003d 2 - διαιρείται επίσης χωρίς τα υπολείμματα της 3).
Αλλά οι αριθμοί: 235 και 566 δεν χωρίζονται σε 3, επειδή 2 + 3 + 5 \u003d 10
και 5 + 6 + 6 \u003d 17
(Και γνωρίζουμε ότι ούτε 10 ή 17 χωρίζονται σε 3 χωρίς υπολείμματα).
Σημάδι διαίρεσης στις 4
Αυτό το σημάδι διαίρεσης θα είναι πιο περίπλοκο. Εάν τα τελευταία 2 ψηφία αριθμών σχηματίζουν τον αριθμό διαιρούμενο με 4 ή είναι 00, τότε ο αριθμός διαιρείται σε 4, διαφορετικά αυτός ο αριθμός δεν διαιρείται σε 4 χωρίς υπολείμματα.
Για παράδειγμα: 1. 00
και 3. 64
διαιρούμενο με 4, επειδή στην πρώτη περίπτωση ο αριθμός τελειώνει 00
, και στο δεύτερο 64
η οποία με τη σειρά του χωρίζεται σε 4 χωρίς υπολείμματα (64: 4 \u003d 16)
Αριθμοί 3. 57
και 8. 86
Μην διαιρείτε το 4 επειδή δεν υπάρχει ούτε 57
n. 86
4 δεν είναι διαιρεμένα και ως εκ τούτου δεν αντιστοιχούν σε αυτό το σημάδι διαίρεσης.
Σημάδι διαίρεσης στις 5
Και πάλι, έχουμε ένα μάλλον απλό σημάδι διαίρεσης: αν η εγγραφή του φυσικού αριθμού τελειώνει με έναν αριθμό 0 ή 5, τότε αυτός ο αριθμός διαιρείται χωρίς υπολείμματα κατά 5. Εάν ο αριθμός του αριθμού τελειώσει με διαφορετικό ψηφίο, Κατόπιν ο αριθμός χωρίς υπολείμματα δεν χωρίζεται σε 5.
Αυτό σημαίνει ότι τυχόν αριθμοί που τελειώνουν σε αριθμούς 0
και 5
, για παράδειγμα, 1235. 5
και 43. 0
, να πέσουν έναν κανόνα και διαιρούμενο κατά 5.
Α, για παράδειγμα, 1549 3
και 56. 4
Μην τελειώσετε στο σχήμα 5 ή 0, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να μοιράζονται για 5 χωρίς υπολείμματα.
Σημάδι διαίρεσης στις 6
Έχουμε ένα σύνθετο αριθμό 6, το οποίο είναι προϊόν αριθμών 2 και 3. Επομένως, ένα σημάδι διαίρεσης κατά 6 είναι επίσης σύνθετο: έτσι ώστε ο αριθμός να διαιρεθεί με 6, πρέπει να αντιστοιχεί σε δύο σημάδια διανομής ταυτόχρονα: ένα σημάδι της διαίρεσης στις 2 και ένα σημάδι διαίρεσης κατά 3. ταυτόχρονα, σημειώστε ότι ένας τέτοιος σύνθετος αριθμός ως 4 έχει ένα μεμονωμένο σημάδι διαίρεσης, επειδή είναι η απόδειξη του αριθμού 2 από μόνο του. Αλλά πίσω στο σημάδι της διαίρεσης στις 6.
Οι αριθμοί 138 και 474 αντιστοιχούν ακόμη και στα σημάδια διαίρεσης κατά 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 και 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), πράγμα που σημαίνει ότι είναι διαιρεμένοι Μέχρι 6. αλλά 123 και 447, αν και διαιρούνται σε 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 και 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), αλλά είναι περίεργοι και Επομένως, δεν αντιστοιχεί στο σημάδι διαίρεσης κατά 2, και επομένως, δεν αντιστοιχούν στο σημάδι διαίρεσης κατά 6.
Σημάδι διαίρεσης στις 7
Αυτό το σημάδι διαίρεσης είναι πιο περίπλοκο: ο αριθμός χωρίζεται σε 7 εάν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης της διπλής διάρκειας των δεκάδων αυτού του αριθμού διαιρείται σε 7 ή ίσο με το 0.
Ακούγεται αρκετά συγκεχυμένη, αλλά στην πράξη είναι εύκολο. Δείτε τον εαυτό μας: Αριθμός 95
9 χωρίζεται σε 7, επειδή 95
-2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 διαιρούμενο με 7 χωρίς υπολείμματα). Και αν ο αριθμός με τον αριθμό που λαμβάνεται κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών προέκυψε (λόγω του μεγέθους του, είναι δύσκολο να κατανοηθεί, χωρίζεται σε 7 ή όχι, τότε αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί όσες φορές αισθανθείτε).
Για παράδειγμα, 45
5 Ι. 4580
1 Διαθέτει σημάδια διαίρεσης σε 7. Στην πρώτη περίπτωση, όλα είναι αρκετά απλά: 45
-2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Στη δεύτερη περίπτωση θα το κάνουμε αυτό: 4580
-2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Είναι δύσκολο για εμάς να καταλάβουμε αν χωρίζεται αν 457
8 έως 7, οπότε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία: 457
-2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. Και πάλι χρησιμοποιούμε ένα σημάδι διαίρεσης, επειδή είμαστε ακόμα μπροστά μας Τρισδιάψινος αριθμός 44
1. Έτσι 44
-2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, δηλ. Το 42 διαιρείται με 7 χωρίς ισορροπία, πράγμα που σημαίνει ότι είναι 45801 διαιρούμενο με 7.
Αλλά οι αριθμοί 11
1 Ι. 34
5 δεν χωρίζονται σε 7, επειδή 11
-2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 δεν διαιρείται χωρίς υπολείμματα κατά 7) και 34
-2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 δεν διαιρείται χωρίς υπολείμματα κατά 7).
Σημάδι διαίρεσης στις 8
Το σημάδι της διαίρεσης σε 8 ακούγεται έτσι: Εάν τα τελευταία 3 ψηφία σχηματίζουν έναν αριθμό διαιρούμενο κατά 8, ή είναι 000, τότε ο καθορισμένος αριθμός διαιρείται κατά 8.
Αριθμοί 1. 000
ή 1. 088
διαιρούμενο με 8: το πρώτο άκρο 000
, δεύτερο 88
: 8 \u003d 11 (διαιρούμενο με 8 χωρίς υπολείμματα).
Αλλά αριθμός 1 100
ή 4. 757
Μην διαιρείτε στις 8, Δεδομένου ότι οι αριθμοί 100
και 757
Μην μοιράζεστε χωρίς υπολείμματα.
Σημάδι διαίρεσης στις 9
Αυτό το σημάδι διαίρεσης είναι παρόμοιο με ένα σημάδι διαίρεσης κατά 3: εάν ο αριθμός των αριθμών διαιρείται με 9, τότε ο αριθμός χωρίζεται σε 9, Εάν ο αριθμός των αριθμών δεν χωρίζεται σε 9, τότε ο αριθμός δεν χωρίζεται σε 9.
Για παράδειγμα: 3987 και 144 χωρίζονται σε 9, επειδή στην πρώτη περίπτωση 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 9 \u003d 3 - διαιρείται χωρίς τα υπολείμματα 9) και στο δεύτερο 1 + 4 + 4 \u003d 9
(9: 9 \u003d 1 - διαιρείται επίσης χωρίς τα υπολείμματα του 9).
Αλλά οι αριθμοί: 235 και 141 δεν χωρίζονται σε 9, επειδή 2 + 3 + 5 \u003d 10
και 1 + 4 + 1 \u003d 6
(Και γνωρίζουμε ότι ούτε 10 ούτε 6 χωρίζονται σε 9 χωρίς υπολείμματα).
Σημάδια διαίρεσης στις 10, 100, 1000 και άλλες μονάδες bit
Αυτά τα σημάδια διαίρεσης που συνδυάζουν επειδή μπορούν να περιγραφούν εξίσου: ο αριθμός χωρίζεται σε μονάδα εκκένωσης εάν ο αριθμός των μηδενικών στο τέλος του αριθμού είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον αριθμό των μηδενικών σε ένα δεδομένο κομμάτι.
Με άλλα λόγια, για παράδειγμα, έχουμε τέτοιους αριθμούς: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. Από αυτά, όλοι χωρίζονται σε 1 0
; 46400
και 867. 000
Χωρίζονται σε 1 00
? Και μόνο ένας από αυτούς - 867 000
διαιρούμενο με 1. 000
.
Οποιοσδήποτε αριθμός στους οποίους ο αριθμός των μηδενικών στο τέλος είναι μικρότερος από εκείνη της μονάδας εκκένωσης, δεν χωρίζονται σε αυτή τη μονάδα εκκένωσης, για παράδειγμα 600 30
και 7. 93
Μην μοιράζεστε 1. 00
.
Σημάδι διαίρεσης στις 11
Προκειμένου να μάθετε αν ο αριθμός χωρίζεται σε 11, είναι απαραίτητο να επιτευχθεί η διαφορά στα ποσά ενός ομοιόμορφου και του περίεργου αριθμού αυτού του αριθμού. Αν ένα Αυτή τη διαφορά ίση με 0 ή διαιρούμενο με 11 χωρίς υπολείμματα, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με 11 χωρίς υπολείμματα.
Για να καταστεί σαφέστερο, προτείνω να εξετάσω τα παραδείγματα: 2
35
4 διαιρείται με 11, επειδή ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 διαιρείται επίσης σε 11, δεδομένου ότι ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Αλλά 1. 1
1 ή 4
35
4 δεν χωρίζονται με 11, δεδομένου ότι στην πρώτη περίπτωση έχουμε (1 + 1) - 1
\u003d 1, και στο δεύτερο ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Σημάδι διαίρεσης στις 12
Ο αριθμός 12 είναι σύνθετος. Το σημάδι διαίρεσης του είναι η αλληλογραφία των σημείων διαίρεσης κατά 3 και στις 4 ταυτόχρονα.
Για παράδειγμα, τα 300 και 636 αντιστοιχούν στα σημάδια διαίρεσης σε 4 (τα τελευταία 2 ψηφία είναι μηδενικά ή χωρίζονται σε 4) και ενδείξεις διαίρεσης κατά 3 (το άθροισμα των αριθμών και ο πρώτος και ο διεξοδικός αριθμός χωρίζεται σε 3) και θα εφαρμοστεί, διαιρούν 12 χωρίς ισορροπία.
Αλλά 200 ή 630 δεν χωρίζονται σε 12, διότι στην πρώτη περίπτωση ο αριθμός ανταποκρίνεται μόνο με ένα σημάδι διαίρεσης κατά 4, και στο δεύτερο - μόνο ένα σημάδι διαίρεσης κατά 3. αλλά όχι και τα δύο σημεία ταυτόχρονα .
Σημάδι διαίρεσης στις 13
Το σημάδι διαίρεσης στο 13 είναι ότι εάν ο αριθμός των δεκάδων αριθμών, διπλωμένος με πολλαπλασιασμένος κατά 4 μονάδες αυτού του αριθμού, θα είναι πολλαπλά 13 ή ίσα με 0, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με 13.
Πάρτε για παράδειγμα 70
2. Έτσι 70
+ 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 διαιρείται χωρίς υπολείμματα κατά 13), σημαίνει 70
2 διαιρείται με 13 χωρίς υπολείμματα. Ένα άλλο παράδειγμα είναι ο αριθμός 114
4. 114
+ 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Ο αριθμός 130 χωρίζεται σε 13 χωρίς υπολείμματα, πράγμα που σημαίνει ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός αντιστοιχεί σε ένα σημάδι διαίρεσης κατά 13.
Εάν παίρνετε αριθμούς 12
5 ή 21
2, τότε παίρνουμε 12
+ 4 * 5 \u003d 32 και 21
+ 4 * 2 \u003d 29 αντιστοιχεί και ούτε 32 ή 29 χωρίζονται σε 13 χωρίς υπολείμματα, πράγμα που σημαίνει ότι οι καθορισμένοι αριθμοί δεν χωρίζονται χωρίς υπολείμματα κατά 13.
Χωριστήριο αριθμών
Όπως μπορεί να φανεί από τα παραπάνω, μπορεί να υποτεθεί ότι σε οποιοδήποτε από αυτά Φυσικοί αριθμοί Μπορείτε να επιλέξετε το μεμονωμένο σημάδι της διαίρεσης ή μιας λειτουργίας "σύνθετου" εάν ο αριθμός είναι πολλαπλάς από πολλούς διαφορετικούς αριθμούς. Αλλά ως πρακτική δείχνει κυρίως Περισσότερος αριθμός, τόσο πιο δύσκολο είναι ένα σημάδι. Ίσως ο χρόνος που δαπανάται για τον έλεγχο ενός σημείου διανομής μπορεί να είναι ίσο ή περισσότερο από το ίδιο το τμήμα. Ως εκ τούτου, συνήθως χρησιμοποιούμε το απλούστερο από τα σημάδια διαίρεσης.
Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε Τμήμα ακέραιων με το υπόλειμμα. Ας ξεκινήσουμε από τον S. κοινή αρχή Η διαίρεση των ακεραίων με το υπόλειμμα, διαμορφώνουμε και αποδεικνύουμε το θεώρημα σχετικά με τη διαίρεση των ακεραίων με το υπόλειμμα, εντοπίστε τη σύνδεση μεταξύ του διαιρέτη, διαχωριστή, ελλιπούς ιδιωτικού και του υπολείμματος. Στη συνέχεια, ας φωνάξουμε τους κανόνες στους οποίους διεξάγεται η κατανομή των ακεραίων με το υπόλειμμα και εξετάζουμε τη χρήση αυτών των κανόνων κατά την επίλυση παραδειγμάτων. Μετά από αυτό, μάθετε πώς να ελέγχετε το αποτέλεσμα των διαχωριστικών ακέραιων με το υπόλειμμα.
Πλοήγηση σελίδας.
Γενική άποψη της διαίρεσης των ακεραίων με το υπόλειμμα
Η διαίρεση των ακεραίων με το υπόλειμμα θα θεωρούμε ως γενίκευση τμήματος με το υπόλειμμα φυσικών αριθμών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν αναπόσπαστο μέρος των ακεραίων.
Ας ξεκινήσουμε με όρους και ονομασίες που χρησιμοποιούνται στην περιγραφή.
Κατ 'αναλογία με τη διαίρεση των φυσικών αριθμών με το υπόλειμμα, θα υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης με το υπόλειμμα δύο ακέραιων Α και Β (Β δεν είναι μηδέν) είναι δύο ακέραιοι γ και Δ. Οι αριθμοί Α και Β καλούνται διαιρετός και διαιρών Συνεπώς, ο αριθμός D - υπόλειμμα από το τμήμα Α στο Β, και ένας ακέραιος c ονομάζεται Ατελής ιδιωτικός (ή απλά ΙδιωτικόςΕάν το υπόλειμμα είναι μηδέν).
Συμφωνούμε να υποθέσουμε ότι το υπόλειμμα είναι ένας μη αρνητικός αριθμός και η αξία του δεν υπερβαίνει το B, δηλαδή, συναντήσαμε, όταν μας είπαν για τη σύγκριση τριών και περισσότερων ακεραίων).
Εάν ο αριθμός C είναι ελλιπώς ιδιωτικός και ο αριθμός D είναι το υπόλειμμα από τη διαίρεση ενός ακέραιου Α, ανά ακέραιο Β, τότε αυτό το γεγονός θα καταγράψουμε σύντομα ως ισότητα της μορφής Α: B \u003d C (OST D).
Σημειώστε ότι κατά τη διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού Α σε έναν ακέραιο Β, το υπόλειμμα μπορεί να είναι μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι το Α χωρίζεται σε Β χωρίς υπολείμματα (ή Νήμα). Έτσι, η διαίρεση των ακεραίων χωρίς υπολείμματα είναι μια ειδική περίπτωση διαίρεσης ακεραίων με το υπόλειμμα.
Αξίζει επίσης να το να το να το δηλώσετε μηδέν για κάποιο ακέραιο, ασχολούμαστε πάντοτε με ένα τμήμα χωρίς ισορροπία, δεδομένου ότι στην περίπτωση αυτή το ιδιωτικό θα είναι μηδέν (βλέπε τμήμα της θεωρίας του μηδενικού τμήματος από έναν ακέραιο) και το υπόλειμμα θα είναι επίσης μηδέν.
Καθορίζεται με ορολογία και ονομασίες, τώρα θα καταλάβουμε με την έννοια των διαχωριστικών ακέραιων με το υπόλοιπο.
Η διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού Α σε ένα ολόκληρο θετικό αριθμό Β μπορεί επίσης να δοθεί στο νόημα. Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε έναν εντελώς αρνητικό αριθμό ως χρέος. Φανταστείτε αυτή την κατάσταση. Ένα χρέος που κάνει τα στοιχεία πρέπει να εξοφλήσει το άτομο Β κάνοντας την ίδια συμβολή. Η απόλυτη αξία του ελλιπούς ιδιωτικού C στην περίπτωση αυτή θα καθορίσει το ποσό του χρέους καθενός από αυτούς τους ανθρώπους και το υπόλειμμα D θα δείξει πόσα στοιχεία θα παραμείνουν μετά την πληρωμή του χρέους. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι 2 άτομα θα έπρεπε 7 μήλα. Εάν υποθέσουμε ότι ο καθένας από αυτούς πρέπει να είναι 4 μήλα, τότε μετά την πληρωμή του χρέους, θα παραμείνουν 1 μήλο. Αυτή η κατάσταση αντιστοιχεί στην ισότητα (-7): 2 \u003d -4 (OST. 1).
Ένα τμήμα με το υπόλειμμα ενός αυθαίρετου ακέραιου α για έναν εντελώς αρνητικό αριθμό δεν θα δώσουμε κανένα σημείο, αλλά θα αφήσουμε το δικαίωμα να υπάρχει.
Θεώρημα για τη διαίρεση των ακεραίων με το υπόλειμμα
Όταν μιλήσαμε για τη διαίρεση των φυσικών αριθμών με το υπόλειμμα, ανακάλυψαν ότι ο διαιρέτης Α, διαιρέτης Β, ελλιπής ιδιωτικός C και το υπόλειμμα D σχετίζονται με την ισότητα Α \u003d B · C + D. Για τους ακέραιους, τα Α, Β, C και D χαρακτηρίζονται από την ίδια σύνδεση. Αυτός ο σύνδεσμος εγκρίνεται από τα ακόλουθα Ορισμός Θεώρημα με το υπόλειμμα.
Θεώρημα.
Οποιοσδήποτε ακέραιος Α μπορεί να είναι ο μόνος τρόπος μέσω ενός ακέραιου και διαφορετικού από τον αριθμό μηδέν β ως a \u003d b · + r, όπου τα q και r είναι μερικοί ακέραιοι, και.
Απόδειξη.
Πρώτον, αποδεικνύουμε τη δυνατότητα αναπαράστασης a \u003d b · + r.
Εάν οι ακεραίοι Α και Β έτσι ώστε το Α να χωρίζεται σε Β στοχεύει, τότε εξ ορισμού υπάρχει ένας τέτοιος ακέραιος Q ότι a \u003d b · q. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει μια ισότητα a \u003d b · + r στο r \u003d 0.
Τώρα υποθέτουμε ότι το Β είναι ένας ακέραιος θετικός αριθμός. Επιλέξτε έναν ακέραιο Q κατά τέτοιο τρόπο ώστε το προϊόν B · Q να μην υπερβαίνει τον αριθμό Α και το προϊόν B · (+ 1) ήταν ήδη μεγαλύτερο από ένα. Δηλαδή, πάρτε q έτσι ώστε οι ανισότητες b · q Παραμένει να αποδείξει τη δυνατότητα αναπαράστασης A \u003d B · + R για αρνητικό b. Δεδομένου ότι η ενότητα του αριθμού Β στην περίπτωση αυτή είναι ένας θετικός αριθμός, τότε για την παρουσίαση, όπου το Q 1 είναι μερικοί ακέραιοι και το R είναι ένας ακέραιος ικανοποιητικός όροι. Στη συνέχεια, υιοθετώντας το q \u003d -q 1, λαμβάνουμε την ιδέα της οπτικής αναπαράστασης a \u003d b · + r για το αρνητικό b. Πηγαίνετε στην απόδειξη της μοναδικότητας. Ας υποθέσουμε ότι εκτός από την αναπαράσταση Α \u003d β · + r, q και r-ιμάντες και, υπάρχει μια άλλη αναπαράσταση a \u003d b · q 1 + r 1, όπου τα q 1 και r 1 είναι μερικοί ακέραιοι και q 1 ≠ Q και. Μετά την αφαίρεση από το αριστερό και το δεξί μέρος της πρώτης ισότητας, αντίστοιχα, το αριστερό και το δεξί μέρος της δεύτερης ισότητας, λαμβάνουμε 0 \u003d b · (q - q 1) + RR 1, το οποίο ισοδυναμεί με την ισότητα RR 1 \u003d b · (q 1 -q). Στη συνέχεια, η ισότητα του είδους πρέπει να είναι αλήθεια Από τις συνθήκες και μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα αυτό. Καθώς το Q και το Q 1 είναι ακέραιο και q ≠ q 1, τότε όπου καταλήγουμε στο συμπέρασμα αυτό Ισότητα Α \u003d B · C + D σας επιτρέπει να βρείτε ένα άγνωστο χάσμα, εάν ένας διαιρέτης Β είναι γνωστός, ελλιπής ιδιωτικός c και το υπόλειμμα d. Εξετάστε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα. Αυτό που είναι εξίσου διαιρείται αν είναι δυνατό για ένα ακέραιο -21, ένα ελλιπές ιδιωτικό 5 και ένα υπόλειμμα 12; Απόφαση. Πρέπει να υπολογίσουμε το Delimi A, όταν ο διαιρέτης Β \u003d -21 είναι γνωστός, αρκετά ελλιπής C \u003d 5 και το υπόλειμμα D \u003d 12. Επικοινωνία με την ισότητα Α \u003d B · C + D, λαμβάνουμε a \u003d (- 21) · 5 + 12. Παρατηρώ, πρώτα, ξοδεύουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων -21 και 5 ανάλογα με τον κανόνα πολλαπλασιασμού των ακεραίων με διαφορετικά σημάδια, μετά την οποία εκτελούμε την προσθήκη ακέραιων με διαφορετικά σημάδια: (-21) · 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93. Απάντηση: −93
.
Οι σχέσεις μεταξύ διαιροφών, διαδομάτων, ελλιπούς ιδιωτικού και υπολείμματος εκφράζονται επίσης από ισοτιμίες του εντύπου Β \u003d (α-δ): C, C \u003d (Α - D): Β και D \u003d Α-Β · Γ. Αυτές οι ισοτιμίες επιτρέπουν τον υπολογισμό του διαχωρισμού, ελλιπούς ιδιωτικού και υπολειμμάτων, αντίστοιχα. Συχνά πρέπει να βρούμε ένα υπόλειμμα από τη διαίρεση ενός ακέραιου Α σε έναν ακέραιο Β, όταν ένα χάσμα, διαχωριστικό και ελλιπές ιδιωτικό, χρησιμοποιώντας τον τύπο D \u003d A-B · C. Έτσι, δεν υπάρχουν ερωτήσεις στο μέλλον, θα αναλύσουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του υπολείμματος. Παράδειγμα. Βρείτε την ισορροπία από τη διαίρεση ενός ακέραιου -19 σε έναν ακέραιο 3, εάν είναι γνωστό ότι είναι ατελή ιδιωτική ίση με -7. Απόφαση. Για τον υπολογισμό του υπολείμματος από τη διαίρεση, χρησιμοποιούμε τον τύπο της φόρμας D \u003d A - B · C. Από την κατάσταση έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα Α \u003d -19, Β \u003d 3, C \u003d -7. Λαμβάνουμε D \u003d Ab · C \u003d -19-3 · (-7) \u003d -19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (διαφορά -19 - (- 21) Υπολογίσαμε σύμφωνα με τον κανόνα αφαίρεσης του έναν ολόκληρο αρνητικό αριθμό). Απάντηση: Όπως έχουμε επανειλημμένα σημειώσει, όλοι οι θετικοί αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί. Επομένως, η διαίρεση με το υπόλειμμα ολόκληρων θετικών αριθμών πραγματοποιείται σε όλους τους κανόνες διαίρεσης με το υπόλειμμα φυσικών αριθμών. Είναι πολύ σημαντικό να είστε σε θέση να εκτελέσετε εύκολα τη διαίρεση με το υπόλειμμα φυσικών αριθμών, καθώς αποτελεί τη βάση της διαίρεσης όχι μόνο ολόκληρων θετικών αριθμών, αλλά και στην καρδιά όλων των κανόνων διαίρεσης με το υπόλειμμα αυθαίρετων ακέραιων αριθμών. Από την άποψή μας, είναι πιο βολικό να εκτελέσετε το τμήμα από μια στήλη, αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να πάρετε και ελλιπή ιδιωτική (ή απλά ιδιωτική) και το υπόλειμμα. Εξετάστε ένα παράδειγμα διαίρεσης με το υπόλειμμα ολόκληρων θετικών αριθμών. Παράδειγμα. Εκτελέστε ένα τμήμα με το υπόλειμμα του αριθμού 14 671 κατά 54. Απόφαση. Εκτελέστε το τμήμα αυτών των θετικών αριθμών από το στάδιο: Ο ελλιπής ιδιωτικός αποδείχθηκε ότι είναι ίσος με 271 και το υπόλειμμα είναι 37. Απάντηση: 14 671: 54 \u003d 271 (OST. 37). Διατυπώνεται ένας κανόνας που σας επιτρέπει να εκτελέσετε διαίρεση με έναν εντελώς θετικό αριθμό σε έναν εντελώς αρνητικό αριθμό. Ελλιπής ιδιωτικός από τη διαίρεση ενός ακέραιου θετικού αριθμού Α σε ένα σύνολο αρνητικού αριθμού Β είναι ένας αριθμός απέναντι από την ατελείωτη ιδιωτική από τη διαίρεση Α στην ενότητα Α προς το σημείο Β και το υπόλειμμα από το τμήμα Α στο Β είναι ίσο με το υπόλοιπο της διαίρεσης . Αυτός ο κανόνας υποδηλώνει ότι η ατελής ιδιωτική από τη διαίρεση του ακέραιου θετικού αριθμού σε έναν ολόκληρο αρνητικό αριθμό αποτελεί ακεραιότητα. Επαναλαμβάνουμε τον ανακοινωθέντα κανόνα στον αλγόριθμο διαίρεσης με το υπόλειμμα ενός ολόκληρου θετικού αριθμού επαρκούς: Δίνουμε ένα παράδειγμα χρήσης ενός αλγορίθμου για τη διαίρεση ενός ολόκληρου θετικού αριθμού σε ένα σύνολο αρνητικό. Παράδειγμα. Εκτελέστε ένα τμήμα με το υπόλειμμα ενός θετικού αριθμού 17 σε ένα ολόκληρο αρνητικό αριθμό -5. Απόφαση. Χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο διαίρεσης με το υπόλειμμα ενός θετικού αριθμού σε ένα σύνολο αρνητικό. Μοιρασιά Ο αριθμός είναι το αντίθετο του αριθμού 3 είναι -3 -3. Έτσι, ο επιθυμητός ελλιπής ιδιωτικός από τη διαίρεση 17 έως -5 είναι -3 και το υπόλειμμα είναι 2. Απάντηση: 17: (- 5) \u003d - 3 (OST. 2). Παράδειγμα. διαιρέστε 45 σε -15. Απόφαση. Οι μονάδες Delimo και διαχωρισμού είναι 45 και 15, αντίστοιχα. Ο αριθμός 45 χωρίζεται σε 15 χωρίς υπολείμματα, ο ιδιωτικός είναι ίσος με 3. Κατά συνέπεια, ένας ακέραιος θετικός αριθμός 45 χωρίζεται σε ένα σύνολο αρνητικό αριθμό -15 χωρίς υπολείμματα, ο ιδιωτικός ταυτόχρονα είναι ίσος με τον αριθμό απέναντι από 3, δηλαδή, -3. Πράγματι, σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης των ακεραίων με διαφορετικά σημεία που έχουμε. Απάντηση: 45:(−15)=−3
.
Θα δώσουμε τη διατύπωση των κανόνων διαίρεσης με το υπόλοιπο ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού σε ένα ολόκληρο θετικό. Προκειμένου να αποκτήσετε έναν ελλιπή ιδιωτικό C από τη διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού Α σε έναν εντελώς θετικό αριθμό Β, πρέπει να πάρετε έναν αριθμό απέναντι από την ατελείωτη ιδιωτική από τη διαίρεση των μονάδων των αρχικών αριθμών και να αφαιρέσετε τη μονάδα από αυτήν, μετά το οποίο το υπόλειμμα D υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο D \u003d Ab · C. Από αυτόν τον κανόνα της διαίρεσης με το υπόλειμμα, προκύπτει ότι η ατελής ιδιωτική από τη διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού για έναν ολόκληρο θετικό αριθμό είναι ένας εντελώς αρνητικός αριθμός. Από τον εκφρασμένο κανόνα συνεπάγεται τον αλγόριθμο διαίρεσης με την ισορροπία ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού Α στο συνολικό θετικό Β: Θα αναλύσουμε τη λύση του παραδείγματος στο οποίο χρησιμοποιούμε τον καταγεγραμμένο αλγόριθμο διαίρεσης με το υπόλειμμα. Παράδειγμα. Βρείτε ένα ελλιπές ιδιωτικό και υπόλειμμα από τη διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού -17 για ένα ολόκληρο θετικό αριθμό 5. Απόφαση. Η μονάδα dividera -17 είναι 17, και η μονάδα διαχωριστή 5 είναι 5. Μοιρασιά 17 έως 5, έχουμε ελλιπή ιδιωτική 3 και υπολείμματα 2. Ο αριθμός απέναντι 3 είναι -3. Αφαιρέσουμε από -3 μονάδα: -3-1 \u003d -4. Έτσι, ο επιθυμητός ελλιπής ιδιωτικός είναι -4. Παραμένει να υπολογίσετε το υπόλειμμα. Στο παράδειγμά μας Α \u003d -17, Β \u003d 5, C \u003d -4, στη συνέχεια d \u003d Α-Β · C \u003d -17-5 · (-4) \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Έτσι, ο ελλιπής ιδιωτικός από τη διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού -17 σε έναν ακέραιο θετικό αριθμό 5 είναι -4 και το υπόλειμμα είναι 3. Απάντηση: (-17): 5 \u003d -4 (OST 3). Παράδειγμα. Διαχωρίστε ολόκληρο τον αρνητικό αριθμό -1 404 με ένα θετικό αριθμό 26. Απόφαση. Η μονάδα μερίσματος είναι 1 404, η μονάδα διαχωριστή είναι 26. Διαχωρίζουμε 1 404 στο 26ο στάδιο: Δεδομένου ότι η δομοστοιχείο διαχωρισμού χωρίστηκε σε μια μονάδα διαχωριστή χωρίς υπολείμματα, οι αρχικοί ακέραιοι ακέραιοι διαιρούν χωρίς υπολείμματα και ο επιθυμητός ιδιωτικός είναι ίσος με τον αριθμό απέναντι από το 54, δηλαδή -54. Απάντηση: (−1 404):26=−54
.
Διατυπώζουμε έναν κανόνα διαίρεσης με το υπόλειμμα όλων των αρνητικών αριθμών. Προκειμένου να επιτευχθεί ένας ελλιπής ιδιωτικός C από τη διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού Α σε έναν ολόκληρο αρνητικό αριθμό Β, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον ελλιπή ιδιωτικό στο τμήμα των μονάδων αρχικών αριθμών και να προσθέσετε μια μονάδα σε αυτό, μετά από αυτό το υπόλειμμα d υπολογίζει σύμφωνα με τον τύπο d \u003d ab · c. Αυτός ο κανόνας υποδηλώνει ότι η ατελής ιδιωτική από τη διαίρεση ολόκληρων αρνητικών αριθμών είναι ένας εντελώς θετικός αριθμός. Ξαναγράμε τον εκφρασμένο κανόνα με τη μορφή ενός αλγορίθμου για τη διαίρεση ολόκληρων αρνητικών αριθμών: Εξετάστε τη χρήση του αλγορίθμου για τη διαίρεση ολόκληρων αρνητικών αριθμών κατά την επίλυση ενός παραδείγματος. Παράδειγμα. Βρείτε ένα ελλιπές ιδιωτικό και υπόλειμμα από τη διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού -17 σε έναν ολόκληρο αρνητικό αριθμό -5. Απόφαση. Χρησιμοποιούμε τον αντίστοιχο αλγόριθμο του τμήματος με το υπόλειμμα. Η μονάδα μερίσματος είναι 17, η μονάδα διαχωριστή είναι 5. Διαίρεση 17 Στις 5 δίνει ελλιπή ιδιωτική 3 και υπολείμματα 2. Με ελλιπή ιδιωτική 3 προσθήκη μονάδας: 3 + 1 \u003d 4. Κατά συνέπεια, ο επιθυμητός ελλιπής ιδιωτικός από τη διαίρεση -17 έως -5 είναι 4. Παραμένει να υπολογίσετε το υπόλειμμα. Σε αυτό το παράδειγμα, a \u003d -17, b \u003d -5, c \u003d 4, κατόπιν d \u003d Α-Β · C \u003d -17 - (- 5) · 4 \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Έτσι, ο ελλιπής ιδιωτικός από τη διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού -17 σε ένα ολόκληρο αρνητικό αριθμό -5 είναι 4, και το υπόλειμμα είναι 3. Απάντηση: (-17): (- 5) \u003d 4 (OST 3). Μετά τον προσδιορισμό των ακεραίων με το υπόλειμμα γίνεται, είναι χρήσιμο να ελέγχεται το αποτέλεσμα που λαμβάνεται. Ο έλεγχος πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο ελέγχεται αν το υπόλειμμα D είναι μη αρνητικός αριθμός και η κατάσταση ελέγχεται. Εάν όλες οι συνθήκες του πρώτου σταδίου της επιταγής γίνονται, τότε μπορείτε να ξεκινήσετε το δεύτερο στάδιο ελέγχου, διαφορετικά μπορεί να υποστηριχθεί ότι έγινε σφάλμα κατά τη διαίρεση με το υπόλειμμα. Στο δεύτερο στάδιο ελέγχεται η εγκυρότητα της ισότητας Α \u003d B · C + D. Εάν αυτή η ισότητα είναι έγκυρη, η διαίρεση με το υπόλειμμα διεξήχθη σωστά, διαφορετικά ένα σφάλμα έγινε κάπου. Εξετάστε τα διαλύματα παραδειγμάτων στα οποία εκτελείται το αποτέλεσμα της διαίρεσης των ακέραιων με το υπόλειμμα. Παράδειγμα. Κατά τη διαίρεση του αριθμού -521 σε -12, ελήφθησαν ελλιπείς ιδιωτικές 44 και υπολείμματα 7, ακολουθήστε το αποτέλεσμα. Απόφαση. -2 για Β \u003d -3, C \u003d 7, D \u003d 1. Εχω b · C + D \u003d -3 · 7 + 1 \u003d -21 + 1 \u003d -20. Έτσι, η ισότητα Α \u003d B · C + D είναι εσφαλμένη (στο παράδειγμά μας Α \u003d -19). Κατά συνέπεια, το τμήμα με το υπόλειμμα ήταν εσφαλμένο. Εξετάστε ένα απλό παράδειγμα: Μερικές φορές ο φυσικός αριθμός είναι πλήρως ικανός να διαιρέσει την εστίαση. Για παράδειγμα, εξετάστε την εργασία: Απόφαση: Γνωρίζουμε ότι 16 δεν είναι να μοιραστεί. Ο πλουσιότερος αριθμός που διαιρείται κατά 5 είναι 15 και 1 στο υπόλοιπο. Αριθμός 15 Μπορούμε να ζωγραφίσουμε ως 5⋅3. Ως αποτέλεσμα (16 - Delimi, 5 - διαιρέτης, 3 - ελλιπής ιδιωτική, 1 - υπολείμματα). Έλαβε τύπος Τμήμα με το υπόλειμμαπου μπορεί να γίνει Έλεγχος λύσης. ΕΝΑ.=
ΣΙ.⋅
ΝΤΟ.+
ΡΕ. Απάντηση: Κάθε παιδί θα πάρει 3 παιχνίδια και ένα παιχνίδι θα παραμείνει. Το υπόλειμμα πρέπει πάντα να είναι μικρότερο από το διαχωριστικό. Εάν κατά τη διαίρεση του υπολείμματος είναι μηδέν, σημαίνει ότι η διαιρέσιμη κοινή χρήση Νήμα Ή χωρίς ισορροπία στον διαιρέτη. Εάν κατά τη διαίρεση του υπολείμματος είναι περισσότερο διαιρέτης, σημαίνει ότι ο αριθμός που βρέθηκε δεν είναι ο μεγαλύτερος. Υπάρχει ένας μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί και το υπόλειμμα θα είναι μικρότερο από ένα διαχωριστικό. Ερωτήσεις σχετικά με το θέμα "Απόφαση με το υπόλειμμα":
Το υπόλειμμα μπορεί να είναι ίσο με το διαχωριστικό; Πώς να βρείτε διαιρέσιμα σε ελλιπή ιδιωτικό, διαχωριστικό και υπόλειμμα; Παράδειγμα Αριθμός 1:
Απόφαση: 258 - ΔΕΛΙΔΙ, β) Διαιρούμε τη στήλη: 1873 - DELIMI, Αντικαταστήστε τον τύπο και ελέγξτε αν αποφασίσαμε να λύσουμε το παράδειγμα: Παράδειγμα αριθμού 2:
Απάντηση: Παράδειγμα αριθμού 3:
Απάντηση: Παράδειγμα Αριθμός 4:
Απόφαση: β) επιλυθεί με τη βοήθεια του τύπου: Μια εργασία:
Σύρμα 4μ. Είναι απαραίτητο να κόψετε σε κομμάτια 13cm. Πόσα τέτοια κομμάτια θα λειτουργήσουν; Απόφαση: Απάντηση: 30 κομμάτια αποδειχθούν και 10 cm. Το καλώδιο θα παραμείνει. Το άρθρο διαλύεται η έννοια των διαχωριστικών ακέραιων με το υπόλειμμα. Αποδεικνύουμε το θεώρημα για τη διαίρεση των ακεραίων με το υπόλειμμα και να θεωρήσουμε τη σχέση μεταξύ διαιρέσεων και διαιρέτη, ελλιπείς ιδιωτικές και υπολείμματα. Εξετάστε τους κανόνες όταν οι ολόκληροι αριθμοί χωρίζονται με τα υπολείμματα, εξετάζονται λεπτομερώς στα παραδείγματα. Στο τέλος της απόφασης θα εκτελέσει έλεγχο. Η διαίρεση των ακέραιων με το υπόλειμμα θεωρείται ως γενικευμένος διαίρεση με το υπόλειμμα φυσικών αριθμών. Αυτό γίνεται επειδή οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν αναπόσπαστο μέρος του συνόλου. Η διαίρεση με το υπόλειμμα ενός αυθαίρετου αριθμού υποδηλώνει ότι ένας ακέραιος Α χωρίζεται με τον αριθμό Β, διαφορετικό από το μηδέν. Εάν b \u003d 0, τότε μην παράγετε ένα τμήμα με το υπόλειμμα. Εκτός από τη διαίρεση των φυσικών αριθμών με το υπόλειμμα, γίνεται η διαίρεση των ακεραίων Α και Β, με το B διαφορετικό από το μηδέν, στο C και D. Στην περίπτωση αυτή, τα Α και Β ονομάζονται διαιρέσιμα και διαιρέτη και το D είναι το υπόλειμμα ισορροπίας, το C είναι ένας ακέραιος ή ελλιπής ιδιωτικός. Εάν υποθέσουμε ότι το υπόλειμμα είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε η τιμή του δεν είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό b. Γράφουμε με αυτόν τον τρόπο: 0 ≤ d ≤ b. Αυτή η αλυσίδα ανισοτήτων χρησιμοποιείται κατά τη σύγκριση 3 και περισσότερων από τον αριθμό των αριθμών. Εάν το C είναι ένας ελλιπής ιδιωτικός, τότε το D είναι το υπόλειμμα από τη διάσπαση ενός ακέραιου Α ανά Β, μπορεί να στερεωθεί σύντομα: Α: Β \u003d C (OST. D). Το υπόλειμμα κατά τη διάρκεια της διαίρεσης των αριθμών Α στο Β είναι εφικτό μηδέν, τότε λένε ότι το Α χωρίζεται σε B μια εστίαση, δηλαδή χωρίς υπολείμματα. Η διαίρεση χωρίς υπολείμματα θεωρείται ειδική περίπτωση διαίρεσης. Εάν διαιρέσουμε το μηδέν για κάποιο αριθμό, λαμβάνουμε ως αποτέλεσμα μηδέν. Το υπόλειμμα ισορροπίας θα είναι επίσης μηδέν. Αυτό μπορεί να ανιχνευθεί από τη θεωρία της διαίρεσης του μηδέν από έναν ακέραιο. Τώρα εξετάστε το νόημα των διαχωριστικών ακέραιων με το υπόλειμμα. Είναι γνωστό ότι όλοι οι θετικοί αριθμοί είναι φυσικοί, τότε όταν διαιρείται με το υπόλειμμα, θα είναι η ίδια έννοια, όπως και στην κατανομή των φυσικών αριθμών με το υπόλειμμα. Όταν διαιρώντας έναν ολόκληρο αρνητικό αριθμό Α, ένα ολόκληρο θετικό Β υπάρχει ένα νόημα. Σκεφτείτε το παράδειγμα. Αντιπροσωπεύοντας την κατάσταση όταν έχουμε ένα χρέος αντικειμένων στο ποσό του Α, το οποίο πρέπει να πληρώσετε από το B. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να κάνετε την ίδια συμβολή σε όλους. Για να καθορίσετε το ποσό του χρέους για όλους, είναι απαραίτητο να δώσουμε προσοχή στο μέγεθος του ιδιωτικού με. Το υπόλειμμα D λέει ότι ορισμένα στοιχεία είναι γνωστά μετά από μια αποποίηση ευθυνών με χρέη. Εξετάστε το παράδειγμα με τα μήλα. Εάν 2 άτομα θα έπρεπε 7 μήλα. Σε περίπτωση που θεωρείται ότι όλοι πρέπει να επιστρέψουν σε 4 μήλα, μετά από έναν πλήρη υπολογισμό, θα παραμείνουν 1 μήλο. Γράφουμε με τη μορφή ισότητας: (- 7): 2 \u003d - 4 (o με t. 1). Το τμήμα οποιουδήποτε αριθμού και δεν έχει νόημα, αλλά ίσως ως επιλογή. Αποκαλύσαμε ότι ένα - αυτό είναι διαιρούμενο, τότε το Β είναι διαιρέτης, με - ελλιπές ιδιωτικό και το D είναι το υπόλειμμα. Συνδέονται μεταξύ τους. Αυτή η σύνδεση θα εμφανιστεί με τη βοήθεια της ισότητας Α \u003d B · C + D. Η σχέση μεταξύ τους χαρακτηρίζεται από το τμήμα θεωρητικού με το υπόλειμμα. Θεώρημα Οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αντιπροσωπεύεται μόνο μέσω ακέραιου και διαφορετικού από μηδενικό αριθμό Β με αυτόν τον τρόπο: a \u003d b · + r, όπου τα q και r είναι μερικοί ακέραιοι αριθμοί. Εδώ έχουμε 0 ≤ r ≤ b. Αποδεικνύουμε τη δυνατότητα ύπαρξης A \u003d B · Q + R. Απόδειξη Εάν υπάρχουν δύο αριθμοί Α και Β, και το Α χωρίζεται σε Β χωρίς υπολείμματα, τότε προκύπτει από τον ορισμό ότι υπάρχει ένας αριθμός Q, το οποίο θα είναι αληθινή ισότητα Α \u003d B · Q. Στη συνέχεια, η ισότητα μπορεί να θεωρηθεί αλήθεια: a \u003d b · + r με r \u003d 0. Τότε είναι απαραίτητο να πάρετε q έτσι ώστε αυτή η ανισότητα b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Έχουμε ότι η τιμή της έκφρασης Α - B · Q είναι μεγαλύτερη από μηδέν και δεν υπάρχει μεγαλύτερη τιμή του αριθμού Β, ακολουθεί ότι το R \u003d A - B · Q. Λαμβάνουμε ότι ο αριθμός Α μπορεί να αντιπροσωπεύεται ως a \u003d b · + r. Τώρα είναι απαραίτητο να εξεταστεί η πιθανότητα αναπαράστασης a \u003d b · + r για αρνητικές τιμές b. Η ενότητα του αριθμού λαμβάνεται θετική, τότε λαμβάνουμε a \u003d b · q 1 + r, όπου η τιμή q1 είναι μερικοί ακέραιοι, r είναι ένας ακέραιος που ταιριάζει στην κατάσταση 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Απόδειξη της μοναδικότητας Ας υποθέσουμε ότι τα a \u003d b · + r, q και r είναι ακέραιοι με μια πιστή κατάσταση 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где Q 1. και R 1. είναι ορισμένοι αριθμοί όπου q 1 ≠ q 0 ≤ r 1< b . Όταν η ανισότητα αφαιρείται από τα αριστερά και τα δεξιά μέρη, τότε λαμβάνουμε 0 \u003d b · (q - q 1) + R 1, το οποίο ισοδυναμεί με το R-R1 \u003d B · Q 1 - Q. Δεδομένου ότι χρησιμοποιείται η ενότητα, λαμβάνουμε την ισότητα R - R 1 \u003d B · Q 1 - Q. Η καθορισμένη κατάσταση υποδηλώνει ότι 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q.και Q 1.- ολόκληρο, και Q ≠ q 1, στη συνέχεια Q 1 - Q ≥ 1. Από εδώ έχουμε ότι το B · Q 1 - Q ≥ b. Έλαβε ανισότητες R - R 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. Επομένως, ένας διαφορετικός αριθμός Α παρουσιάζεται δεν μπορεί να παρουσιαστεί, εκτός από ένα τέτοιο αρχείο Α \u003d Β · + R. Με τη βοήθεια της ισότητας Α \u003d B · C + D, ένα άγνωστο τμήμα μπορεί να βρεθεί όταν ένας διαιρέτης Β είναι γνωστός με ένα ελλιπές ιδιωτικό c και το υπόλειμμα D. Παράδειγμα 1. Προσδιορίστε το Dividimi εάν ληφθεί η διαίρεση - 21, ελλιπής ιδιωτική 5 και υπολείμματα 12. Απόφαση
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το Delimi a με το γνωστό διαχωριστικό B \u003d - 21, ελλιπές ιδιωτικό C \u003d 5 και το υπόλειμμα D \u003d 12. Είναι απαραίτητο να αναφερθούμε στην ισότητα Α \u003d B · C + D, λαμβάνουμε ένα \u003d (- 21) · 5 + 12. Σύμφωνα με τη διαδικασία εκτέλεσης δράσεων, πολλαπλασιασμού - 21 έως 5, μετά από αυτό λαμβάνουμε (- 21) · 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93. Απάντηση: - 93 . Η σχέση μεταξύ του διαιρέτη και του ελλιπούς ιδιωτικού και του υπολείμματος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας εξισώσεις: b \u003d (a-d): C, C \u003d (Α - D): Β και D \u003d Α - Β · C. Με τη βοήθειά τους, μπορούμε να υπολογίσουμε τον διαιρέτη, ελλιπή ιδιωτικό και υπόλειμμα. Αυτό μειώνεται στο συνεχές εύρημα του υπολείμματος από τη διαίρεση ολόκληρου των ακεραίων Α στο Β με ένα γνωστό διαχωριστό, διαχωριστικό και ελλιπές ιδιωτικό. Ο τύπος D \u003d A - B · C εφαρμόζεται. Εξετάστε λεπτομερώς την απόφαση. Παράδειγμα 2. Βρείτε το υπόλειμμα από τη διαίρεση ενός ακέραιου μήνα - 19 από ένα σύνολο 3 με ένα γνωστό ελλιπές ιδιωτικό ίσο με 7. Απόφαση
Για να υπολογίσετε το υπόλειμμα από τη διαίρεση, εφαρμόζουμε τον τύπο της φόρμας d \u003d a - b · c. Με βάση, όλα τα δεδομένα Α \u003d - 19, Β \u003d 3, C \u003d-7 είναι διαθέσιμα. Από εδώ αποκτήσουμε D \u003d A - B · C \u003d - 19 - 3 · (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (η διαφορά είναι 19 - (- 21). Αυτό το παράδειγμα είναι υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα έκπτωσης. Ένας ολόκληρος αρνητικός αριθμός. Απάντηση: 2 . Όλοι οι ακέραιος θετικοί αριθμοί είναι φυσικοί. Επομένως, η διαίρεση πραγματοποιείται σε όλους τους κανόνες διαίρεσης με το υπόλειμμα φυσικών αριθμών. Ο ρυθμός εκτέλεσης της διαίρεσης με το υπόλειμμα φυσικών αριθμών είναι σημαντική, δεδομένου ότι ιδρύεται όχι μόνο η κατανομή των θετικών, αλλά και οι κανόνες για τη διαίρεση ολόκληρων αυθαίρετων. Η πιο βολική μέθοδος διαίρεσης είναι μια στήλη, καθώς είναι ευκολότερη και ταχύτερη για να πάρει ελλιπής ή απλά ιδιωτική με το υπόλειμμα. Εξετάστε την απόφαση λεπτομερέστερα. Παράδειγμα 3. Απόφαση 14671 ανά 54. Απόφαση
Αυτή η διαίρεση πρέπει να εκτελείται από μια στήλη: Δηλαδή, ελλιπής ιδιωτικός λαμβάνεται ίσος με 271 και το υπόλειμμα είναι 37. Απάντηση: 14 671: 54 \u003d 271. (OST 37) Για να διαιρέσει με το υπόλειμμα ενός θετικού αριθμού για ένα σύνολο αρνητικό, είναι απαραίτητο να διατυπωθεί ένας κανόνας. Ορισμός 1. Ελλιπής ιδιωτική από τη διαίρεση ενός ολόκληρου θετικού α σε ένα ολόκληρο αρνητικό Β λαμβάνετε έναν αριθμό που είναι αντίθετο από την ελλιπώς ιδιωτική από τη διαίρεση των αριθμών ανά β. Στη συνέχεια το υπόλειμμα είναι ίσο με το υπόλειμμα κατά τη διαίρεση ενός επί β. Από εδώ έχουμε ότι η ελλιπώς ιδιωτική από τη διαίρεση ενός ολόκληρου μοναδικού αριθμού για έναν ολόκληρο αρνητικό αριθμό θεωρείται ως ένας ακέραιος μη πνευματικός αριθμός. Λαμβάνουμε τον αλγόριθμο: Σκεφτείτε το παράδειγμα του αλγορίθμου για τη διαίρεση ενός ολόκληρου θετικού αριθμού σε ένα σύνολο αρνητικό. Παράδειγμα 4. Εκτελέστε τμήμα με το υπόλειμμα 17 έως 5. Απόφαση
Εφαρμόστε έναν αλγόριθμο διαίρεσης με ένα ολόκληρο θετικό αριθμό ενός ολόκληρου αρνητικού. Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τη μονάδα 17 έως 5. Από εδώ φτάνουμε ότι ο ελλιπής ιδιωτικός είναι 3, και το υπόλειμμα είναι 2. Λαμβάνουμε ότι ο επιθυμητός αριθμός από το τμήμα 17 έως 5 \u003d - 3 με το υπόλειμμα είναι ίσο με 2. Απάντηση: 17: (- 5) \u003d - 3 (OST 2). Παράδειγμα 5. Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε 45 έως 15. Απόφαση
Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τους αριθμούς από την ενότητα. Ο αριθμός 45 διαιρείται με 15, θα έχουμε ένα ιδιωτικό 3 χωρίς υπολείμματα. Έτσι, ο αριθμός 45 χωρίζεται σε 15 χωρίς υπολείμματα. Σε απάντηση, παίρνουμε - 3, δεδομένου ότι η διαίρεση πραγματοποιήθηκε στην ενότητα. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Απάντηση: 45: (− 15) = − 3 . Η διατύπωση των κανόνων διαίρεσης με το υπόλειμμα έχει ως εξής. Ορισμός 2. Προκειμένου να αποκτηθεί ένας ελλιπής ιδιωτικός c όταν διαιρώντας ένα ολόκληρο αρνητικό ένα ανά θετικό β, θα πρέπει να εφαρμόσετε το αντίθετο σε αυτόν τον αριθμό και να αφαιρέσετε από αυτό 1, τότε το υπόλειμμα D θα υπολογιστεί από τον τύπο: D \u003d A - B · ντο. Με βάση τον κανόνα, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι κατά τη διαίρεση, λαμβάνουμε έναν μη αρνητικό αριθμό. Για την ακρίβεια της λύσης, ο αλγόριθμος διαίρεσης Α στο Β χρησιμοποιείται με το υπόλειμμα: Εξετάστε το παράδειγμα μιας λύσης όπου ισχύει αυτός ο αλγόριθμος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Βρείτε μια ελλιπή ιδιωτική και ισορροπία από τη διαίρεση - 17 έως 5. Απόφαση
Διαιρούμε τους καθορισμένους αριθμούς στην ενότητα. Λαμβάνουμε ότι στη διαίρεση του ιδιωτικού ίση με την 3, και το υπόλοιπο 2. Δεδομένου ότι πήραν 3, αντίθετα - 3. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε 1. − 3 − 1 = − 4 . Η επιθυμητή τιμή είναι 100η ίση με 4. Για να υπολογίσετε το υπόλειμμα, είναι απαραίτητο a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, τότε d \u003d a - b · c \u003d - 17-5 · (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Έτσι, ο ελλιπής ιδιωτικός από τη διαίρεση είναι ο αριθμός - 4 με το υπόλειμμα ίσο με 3. Απάντηση: (- 17): 5 \u003d - 4 (OST 3). Παράδειγμα 7. Διαχωρίστε έναν ολόκληρο αρνητικό αριθμό - 1404 ανά θετικό 26. Απόφαση
Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τη στήλη και σε λάσπη. Έχουμε τη διαίρεση των μονάδων αριθμών χωρίς υπολείμματα. Αυτό σημαίνει ότι η διαίρεση εκτελείται χωρίς υπολείμματα, αλλά το καλλιτεχνικό ιδιωτικό \u003d - 54. Απάντηση: (− 1 404) : 26 = − 54 . Είναι απαραίτητο να διατυπωθεί ένας κανόνας διαίρεσης με το υπόλειμμα ολόκληρων αρνητικών αριθμών. Ορισμός 3. Για να αποκτήσετε έναν ελλιπή ιδιωτικό C από τη διαίρεση ενός ολόκληρου αρνητικού αριθμού Α σε ένα ολόκληρο αρνητικό Β, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την ενότητα στην ενότητα, μετά την οποία προσθέτουν 1, τότε μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς σύμφωνα με τον τύπο D \u003d A - B · ντο. Από εδώ ακολουθεί ότι ο ελλιπής ιδιωτικός από τη διαίρεση ολόκληρων αρνητικών αριθμών θα είναι ο αριθμός είναι θετικός. Διατυπώνεται αυτός ο κανόνας ως αλγόριθμος: Αυτός ο αλγόριθμος θα εξετάσει το παράδειγμα. Παράδειγμα 8. Βρείτε ένα ελλιπές ιδιωτικό και υπόλειμμα κατά τη διάρκεια της διαίρεσης - 17 έως 5. Απόφαση
Για την ορθότητα της απόφασης, εφαρμόζουμε έναν αλγόριθμο για τη διαίρεση με το υπόλειμμα. Να αρχίσει να αποσυρθεί ο αριθμός της μονάδας. Από εδώ φτάνουμε εκείνο το ατελές ιδιωτικό \u003d 3, και το υπόλειμμα είναι 2. Σύμφωνα με τον κανόνα, είναι απαραίτητο να προστεθεί ελλιπής ιδιωτικός και 1. Λαμβάνουμε ότι 3 + 1 \u003d 4. Από εδώ φτάνουμε ότι ο ελλιπής ιδιωτικός από τη διαίρεση των συγκεκριμένων αριθμών είναι 4. Για τον υπολογισμό του υπολείμματος, εφαρμόζουμε τον τύπο. Με την κατάσταση, έχουμε αυτό το a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο, λαμβάνουμε d \u003d a - b · c \u003d - 17 - (- 5) · 4 \u003d - 17 - ( - 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Η επιθυμητή απάντηση, δηλαδή, το υπόλειμμα είναι 3, και ο ελλιπής ιδιωτικός είναι 4. Απάντηση: (- 17): (- 5) \u003d 4 (OST 3). Μετά τη διαίρεση των αριθμών με το υπόλειμμα, πρέπει να ελέγξετε. Αυτός ο έλεγχος συνεπάγεται 2 στάδια. Αρχικά, υπάρχει έλεγχος του υπολείμματος D σε μη αρνητικότητα, την απόδοση της κατάστασης 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Εξετάστε τα παραδείγματα. Παράδειγμα 9. Το τμήμα παρήχθη - 521 σε - 12. Ιδιωτικό ίσο με 44, υπολείμματα 7. Εκτελέστε έλεγχο. Απόφαση
Δεδομένου ότι το υπόλειμμα είναι ένας θετικός αριθμός, τότε η τιμή του είναι μικρότερη από τη μονάδα διαιρέτη. Ο διαιρέτης είναι ίσος με 12, σημαίνει ότι η μονάδα του είναι 12. Μπορείτε να μεταβείτε στο επόμενο στοιχείο ελέγχου. Με βάση, έχουμε αυτό το a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. Από εδώ, υπολογίζουμε το B · C + D, όπου B · C + D \u003d - 12 · 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Επομένως, η ισότητα είναι σωστή. Ο έλεγχος μεταφέρεται. Παράδειγμα 10. Ελέγξτε το τμήμα (- 17): 5 \u003d - 3 (OST. - 2). Είναι η ισότητα αλήθεια; Απόφαση
Η έννοια του πρώτου σταδίου είναι ότι είναι απαραίτητο να ελέγχεται η διαίρεση των ακεραίων με το υπόλειμμα. Μπορεί να φανεί ότι η δράση γίνεται λανθασμένα, δεδομένου ότι το υπόλειμμα είναι ίσο με 2. Το υπόλειμμα δεν είναι ένας αρνητικός αριθμός. Έχουμε ότι η δεύτερη προϋπόθεση γίνεται, αλλά δεν επαρκεί για αυτή την περίπτωση. Απάντηση: δεν. Παράδειγμα 11. Ο αριθμός - 19 χωρίστηκε σε 3. Ελλιπής ιδιωτικός ίσος με 7, και υπόλειμμα 1. Ελέγξτε εάν ισχύει αυτός ο υπολογισμός. Απόφαση
Dan ένα υπόλειμμα ίσο με 1. Είναι θετικός. Με μέγεθος μικρότερο από τη μονάδα διαχωριστή, σημαίνει ότι το πρώτο στάδιο εκτελείται. Ας στραφούμε στο δεύτερο στάδιο. Υπολογίστε την τιμή της έκφρασης B · C + D. Με την κατάσταση, έχουμε ότι b \u003d-3, c \u003d 7, d \u003d 1, σημαίνει ότι υποκαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές, λαμβάνουμε B · C + D \u003d - 3,7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Επομένως, η ισότητα A \u003d B · C + D δεν εκτελείται, καθώς η κατάσταση δίνεται a \u003d - 19. Ως εκ τούτου, το συμπέρασμα ότι το τμήμα γίνεται με ένα σφάλμα. Απάντηση: δεν. Εάν παρατηρήσετε ένα λάθος στο κείμενο, επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter
, και λόγω των ιδιοτήτων της ενότητας του αριθμού - και της ισότητας 
.
. Από τις ληφθείσες ανισότητες και Επομένως, η ισότητα της μορφής Είναι αδύνατο στην παραδοχή μας. Επομένως, δεν υπάρχει άλλη αναπαράσταση του αριθμού Α, εκτός Α \u003d β · + r.Σύνδεσμοι μεταξύ διαιρέσιμων, διαιρέτη, ελλιπούς ιδιωτικού και υπολειμμάτων
Τμήμα με το υπόλειμμα ολόκληρων θετικών αριθμών, παραδείγματα
Ο κανόνας της διαίρεσης με το υπόλειμμα ενός θετικού αριθμού επαρκών, παραδειγμάτων
Τμήμα με έναν εντελώς αρνητικό αριθμό ακέραιων θετικών, παραδειγμάτων
Ο κανόνας της διαίρεσης με το υπόλειμμα όλων των αρνητικών αριθμών, παραδείγματα
Ελέγξτε το αποτέλεσμα των διαχωριστικών ακέραιων με το υπόλειμμα
15:5=3
Σε αυτό το παράδειγμα, ο φυσικός αριθμός των 15 χωρισμένων Νήμα3, χωρίς ισορροπία.
16 παιχνίδια βρισκόταν στο ντουλάπι. Η ομάδα είχε πέντε παιδιά. Κάθε παιδί πήρε τον ίδιο αριθμό παιχνιδιών. Πόσα παιχνίδια έχουν κάθε παιδί;
Διαχωρίζουμε τον αριθμό 16 σε 5 στήλη που έχουμε:
ΕΝΑ. - ΔΕΛΙΔΙ,
ΣΙ. - διαιρέτης,
ΝΤΟ. - ελλιπής ιδιωτική,
ΡΕ. - ισορροπία.Υπόλοιπο της διαίρεσης
Το υπόλοιπο μπορεί να είναι περισσότερο διαιρέτης;
Απάντηση: Όχι.
Απάντηση: Όχι.
Απάντηση: Οι τιμές του ελλιπούς ιδιωτικού, διαιρέτη και του υπολείμματος υποκαθίστανται στον τύπο και βρίσκουν διαιρέσιμα. Τύπος:
a \u003d b⋅c + d
Εκτελέστε ένα τμήμα με το υπόλειμμα και τον έλεγχο: α) 258: 7 b) 1873: 8
α) Διαιρούμε τη στήλη: 
7 - διαιρέτης,
36 - Ελλιπής ιδιωτική,
6 - Υπολείμματα. Κατάλοιπα λιγότερο διαιρέτη 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 - διαιρέτης,
234 - Ελλιπής ιδιωτική,
1 - Υπολείμματα. Το υπόλειμμα είναι μικρότερο από το διαχωριστικό 1<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
Ποια υπολείμματα λαμβάνονται κατά τη διαίρεση των φυσικών αριθμών: α) 3 β) 8;
α) Το υπόλειμμα είναι λιγότερο από το διαχωριστικό, επομένως, λιγότερο 3. Στην περίπτωσή μας, το υπόλειμμα μπορεί να είναι ίσο με 0, 1 ή 2.
β) Το υπόλειμμα είναι μικρότερο από το διαχωριστικό, επομένως, μικρότερο από 8. Στην περίπτωσή μας, το υπόλειμμα μπορεί να είναι ίσο με 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ή 7.
Τι θα μπορούσε να αποδειχθεί το μεγαλύτερο υπόλειμμα κατά τη διαίρεση φυσικών αριθμών: α) 9 β) 15;
α) Το υπόλειμμα είναι λιγότερο από το διαχωριστικό, επομένως, λιγότερο από 9. αλλά πρέπει να καθορίσουμε τη μεγαλύτερη ισορροπία. Αυτός είναι ο πλησιέστερος αριθμός στον διαχωριστικό. Αυτός είναι ο αριθμός 8.
β) Το υπόλειμμα είναι λιγότερο από το διαχωριστικό, επομένως, μικρότερο από 15. αλλά πρέπει να καθορίσουμε τη μεγαλύτερη ισορροπία. Αυτός είναι ο πλησιέστερος αριθμός στον διαχωριστικό. Αυτός είναι ο αριθμός 14.
Βρείτε διαιρέτη: α) Α: 6 \u003d 3 (OST 4) Β) C: 24 \u003d 4 (ανατολικά.11)
α) Απομένοντας με τη βοήθεια του τύπου:
a \u003d b⋅c + d
(A - DELIMI, B - Διαχωριστής, C - Ελλιπές ιδιωτικό, D - υπόλειμμα.)
Α: 6 \u003d 3 (OST.4)
(A - DELIMI, 6 - Διαχωριστής, 3 - Ελλιπής ιδιωτική, 4 - υπολείμματα) Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο:
A \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Απάντηση: a \u003d 22
a \u003d b⋅c + d
(A - DELIMI, B - Διαχωριστής, C - Ελλιπές ιδιωτικό, D - υπόλειμμα.)
C: 24 \u003d 4 (ανατολικά.11)
(C - DELIMI, 24 - Διαιρέτης, 4 - Ελλιπής ιδιωτικός, 11 - υπολείμματα) Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο:
C \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
Απάντηση: C \u003d 107
Πρώτα πρέπει να μεταφράσετε μετρητά σε εκατοστά.
4m. \u003d 400cm.
Μπορείτε να μοιραστείτε μια στήλη ή στο μυαλό που θα πάμε:
400: 13 \u003d 30 (OST.10)
Ελεγχος:
13⋅30+10=390+10=400Γενική άποψη της διαίρεσης των ακεραίων με υπολείμματα
Θεώρημα για τη διαίρεση των ακεραίων με το υπόλειμμα
Επικοινωνία μεταξύ διαιρέτου, διαχωριστικού, ελλιπούς ιδιωτικού και υπολειμμάτων
Ο κανόνας της διαίρεσης με το υπόλειμμα ενός θετικού αριθμού επαρκών, παραδειγμάτων
Ο κανόνας της διαίρεσης με το υπόλειμμα όλων των αρνητικών αριθμών, παραδείγματα
Ελέγξτε το αποτέλεσμα των διαχωριστικών ακέραιων με το υπόλειμμα
