Ιδιότητες πολυγώνου

Το πολύγωνο είναι γεωμετρικό σχήμα, συνήθως ορίζεται ως κλειστή πολυγραμμή χωρίς αυτο-τομές (απλό πολύγωνο (Εικ. 1α)), αλλά μερικές φορές επιτρέπονται αυτο-τομές (τότε το πολύγωνο δεν είναι απλό).

Οι κορυφές της πολυγραμμής ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου και τα τμήματα λέγονται πλευρές του πολυγώνου. Οι κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται παρακείμενες εάν είναι τα άκρα μιας πλευράς του. Τα τμήματα γραμμής που συνδέουν μη γειτονικές κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται διαγώνιες.

Η γωνία (ή εσωτερική γωνία) ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή, ενώ η γωνία θεωρείται από την πλευρά του πολυγώνου. Συγκεκριμένα, η γωνία μπορεί να υπερβεί τους 180 ° εάν το πολύγωνο είναι μη κυρτό.

Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με την εσωτερική γωνία του πολυγώνου σε αυτήν την κορυφή. Γενικά, η εξωτερική γωνία είναι η διαφορά μεταξύ 180 ° και της εσωτερικής γωνίας. Κάθε κορυφή του -gon για> 3 φύλλα -3 διαγώνιες, οπότε ο συνολικός αριθμός των διαγωνίων του -gon είναι ίσος με.

Ένα πολύγωνο με τρεις κορυφές ονομάζεται τρίγωνο, με τέσσερα τετράπλευρο, πέντε πεντάγωνο κ.λπ.

Πολύγωνο με νκορυφές ονομάζονται n-τετράγωνο.

Ένα επίπεδο πολύγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και ένα πεπερασμένο τμήμα της περιοχής που οριοθετείται από αυτό.

Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες (ισοδύναμες) προϋποθέσεις:

  • 1. βρίσκεται στη μία πλευρά οποιασδήποτε ευθείας που συνδέει τις παρακείμενες κορυφές της. (δηλαδή, οι προεκτάσεις των πλευρών του πολυγώνου δεν τέμνουν τις άλλες πλευρές του).
  • 2. είναι η τομή (δηλ. Το κοινό μέρος) αρκετών ημιεπίπεδων.
  • 3. οποιοδήποτε τμήμα με καταληκτικά σημεία σε σημεία που ανήκουν στο πολύγωνο ανήκει εξ ολοκλήρου σε αυτό.

Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται κανονικό εάν όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες είναι ίσες, για παράδειγμα, ισόπλευρο τρίγωνο, τετράγωνο και πεντάγωνο.

Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται περιγεγραμμένο για έναν κύκλο εάν όλες οι πλευρές του αγγίζουν κάποιο κύκλο

Ένα κανονικό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο στο οποίο όλες οι γωνίες και όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Ιδιότητες πολυγώνου:

1 Κάθε διαγώνιος ενός κυρτού -γώνου, όπου> 3, το διασπά σε δύο κυρτά πολύγωνα.

2 Το άθροισμα όλων των γωνιών ενός κυρτού -gon είναι.

D.S.: Αποδεικνύουμε το θεώρημα με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Για = 3, είναι προφανές. Ας υποθέσουμε ότι το θεώρημα ισχύει για το -gon, όπου <, και να το αποδείξετε για το -gon.

Αφήνω να είναι ένα δεδομένο πολύγωνο. Ας σχεδιάσουμε τη διαγώνιο αυτού του πολυγώνου. Σύμφωνα με το Θεώρημα 3, το πολύγωνο αποσυντίθεται σε τρίγωνο και κυρτό -γωνάκι (Εικ. 5). Με την υπόθεση επαγωγής. Στην άλλη πλευρά, . Προσθέτοντας αυτές τις ισότητες και λαμβάνοντας υπόψη αυτό (- εσωτερική γωνία δέσμης ) και (- εσωτερική γωνία δέσμης ), όταν παίρνουμε :.

3 Γύρω από κάθε κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο, και επιπλέον, μόνο έναν.

D -in: Αφήστε ένα κανονικό πολύγωνο, και και - διχοτόμους γωνιών, και (εικ. 150). Από τότε, λοιπόν, * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке Ο.Ας το αποδείξουμε Ο = ΟΑ 2 = Ο =… = ΟΑ NS . Τρίγωνο Οισοσκελή, επομένως Ο= Ο... Σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο ισότητας τριγώνων, επομένως, Ο = Ο... Ομοίως μπορεί να αποδειχθεί ότι Ο = Οκαι τα λοιπά. Το θέμα λοιπόν Οίση απόσταση από όλες τις κορυφές του πολυγώνου, άρα ο κύκλος με το κέντρο Οακτίνα κύκλου Οείναι περιγραμμένο για ένα πολύγωνο.

Ας αποδείξουμε τώρα ότι υπάρχει μόνο ένας κύκλος. Εξετάστε τυχόν τρεις κορυφές ενός πολυγώνου, για παράδειγμα, ΕΝΑ 2 , ... Δεδομένου ότι μόνο ένας κύκλος περνάει από αυτά τα σημεία, γύρω από το πολύγωνο … περισσότεροι από ένας κύκλοι δεν μπορούν να περιγραφούν.

  • 4 Σε οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο και, επιπλέον, μόνο έναν.
  • 5 Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε κανονικό πολύγωνο αγγίζει τις πλευρές του πολυγώνου στα μεσαία τους σημεία.
  • 6 Το κέντρο ενός κύκλου περιγραμμένου γύρω από ένα κανονικό πολύγωνο συμπίπτει με το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου στο ίδιο πολύγωνο.
  • 7 Συμμετρία:

Λένε ότι ένα σχήμα έχει συμμετρία (συμμετρική) εάν υπάρχει μια τέτοια κίνηση (όχι πανομοιότυπη) που μεταφέρει αυτήν την εικόνα στον εαυτό της.

  • 7.1. Ένα γενικό τρίγωνο δεν έχει άξονες ή κέντρα συμμετρίας, είναι ασύμμετρο. Ένα ισοσκελές (αλλά όχι ισόπλευρο) τρίγωνο έχει έναν άξονα συμμετρίας: τον διάμεσο κάθετο στη βάση.
  • 7.2. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας (μεσαία κάθετα στις πλευρές) και περιστροφική συμμετρία γύρω από το κέντρο με γωνία περιστροφής 120 °.

7.3 Κάθε κανονικό n-gon έχει n άξονες συμμετρίας, όλοι περνούν από το κέντρο του. Έχει επίσης περιστροφική συμμετρία για το κέντρο της περιστροφής.

Με άρτιο νμερικοί άξονες συμμετρίας περνούν από αντίθετες κορυφές, άλλοι από τα μεσαία σημεία αντίθετων πλευρών.

Περιττός νκάθε άξονας περνάει από την κορυφή και τη μέση της αντίθετης πλευράς.

Το κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου με άρτιο αριθμό πλευρών είναι το κέντρο συμμετρίας του. Ένα κανονικό πολύγωνο με περιττό αριθμό πλευρών δεν έχει κέντρο συμμετρίας.

8 Ομοιότητα:

Εάν το u είναι παρόμοιο, το -gon πηγαίνει στο -gon, το μισό επίπεδο -στο μισό επίπεδο, επομένως το κυρτό ν-gon μετατρέπεται σε κυρτό ν-γκόν.

Θεώρημα: Εάν οι πλευρές και οι γωνίες των κυρτών πολυγώνων και ικανοποιούν τις ισότητες:

πού είναι ο συντελεστής λοβού

τότε αυτά τα πολύγωνα είναι παρόμοια.

  • 8.1 Ο λόγος των περιμέτρων δύο παρόμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον συντελεστή ομοιότητας.
  • 8.2. Ο λόγος των εμβαδών δύο κυρτών παρόμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του συντελεστή ομοιότητας.

περίμετρο θεώρημα τριγώνου

Οποιαδήποτε διαγώνιος διαιρεί τα πολύγωνα και στα δύο. Για και δηλώστε τον αριθμό των κορυφών στο και, αντίστοιχα. Ένα πολύγωνο είναι -μονοτονικό εάν δεν υπάρχουν κορυφές διαχωρισμού και συγχώνευσης σε αυτό.

ΚΟΡΥΦΑΙΑ - ΚΟΡΥΦΗ, στα μαθηματικά, το σημείο στο οποίο συναντώνται δύο πλευρές ενός τριγώνου ή άλλου πολύγωνου, ή τρεις ή περισσότερες πλευρές μιας πυραμίδας ή άλλου πολύεδρου. Αλγόριθμος ενός σημείου σε ένα πολύγωνο - Έλεγχος αν ένα δεδομένο σημείο ανήκει σε ένα δεδομένο πολύγωνο Ένα πολύγωνο και ένα σημείο δίνονται σε ένα επίπεδο. Ένα πολύγωνο μπορεί να είναι κυρτό ή μη κυρτό.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ - (Ελληνικά, από dia μέσω, και gonia angle). 1) μια ευθεία που συνδέει τις κορυφές δύο γωνιών σε μια ευθύγραμμη μορφή που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία. Ορισμός. Ένα πολύγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από όλες τις πλευρές από μια κλειστή πολυγραμμή, που αποτελείται από τρία ή περισσότερα τμήματα (συνδέσμους). Τα τμήματα (σύνδεσμοι) μιας κλειστής πολυγραμμής ονομάζονται πλευρές του πολυγώνου και τα κοινά σημεία δύο τμημάτων ονομάζονται κορυφές του.

Ορισμός. Ένα τετράπλευρο είναι ένα επίπεδο γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τέσσερα σημεία (κορυφές ενός τετράπλευρου) και τέσσερα διαδοχικά τμήματα γραμμών (πλευρές ενός τετράπλευρου). Ένα τετράπλευρο δεν έχει ποτέ τρεις κορυφές σε μία ευθεία. Ένα ορθογώνιο είναι ένα ορθογώνιο με όλες τις γωνίες ευθείες. Μια κλειστή πολυγραμμή με αυτο-τομές και κανονικά αστεροειδή πολύγωνα μπορεί να ονομαστεί πολύγωνο.

Γραμμές και πολύγωνα

1) β ενός n-gon με τη β-πλευρά ή την γ-πλευρά σύμφωνα με την οποία η γωνία είναι δίπλα στο αριστερό άκρο του (όπως φαίνεται από το εσωτερικό). Εάν προσανατολίζεται διαφορετικά από το ABC, τότε η άνω πλευρά του, ίση και παράλληλη με το AB, είναι η πλευρά του P, και στη συνέχεια το n είναι άρτιο (δεν υπάρχουν παράλληλες πλευρές σε ένα κανονικό περιττό τρίγωνο).

Πολύγωνο που ορίζεται από μία πολύγραμμη

Ας αποδείξουμε ότι τουλάχιστον δύο διαγώνιες βγαίνουν από κάθε κορυφή του πολυγώνου. Στη συνέχεια, όμως, κάθε πλευρά ενός n-gon βρίσκεται σε ένα τρίγωνο του διαμερίσματος που περιέχει μία ακόμη πλευρά του. Σας δίνεται ένα κυρτό πολύγωνο, δύο πλευρές του οποίου δεν είναι παράλληλες.

Έτσι, οι γωνίες που αντιστοιχούν σε διαφορετικές πλευρές δεν επικαλύπτονται. Θα μετακινήσουμε μια ευθεία παράλληλη με το m και θα δούμε το μήκος του τμήματος που κόβεται σε αυτό από το πολύγωνο.

Χρώμα πλήρωσης πολυγώνου

Η τριγωνοποίηση οποιουδήποτε πολύγωνου δεν είναι μοναδική. Αυτό φαίνεται από το παράδειγμα στο σχήμα. Ένα απλό πολύγωνο είναι ένα σχήμα που οριοθετείται από μια κλειστή πολυγραμμή, οι πλευρές της οποίας δεν τέμνονται.

Ρύθμιση του στυλ πολυγώνου

Οποιοδήποτε απλό -εξωτερικό πολύγωνο έχει πάντα τριγωνισμό και τον αριθμό τριγώνων σε αυτό, ανεξάρτητα από την ίδια την τριγωνοποίηση. Στη γενική περίπτωση, σε ένα αυθαίρετο -gon υπάρχουν όλες οι πιθανές επιλογές για την κατασκευή διαγωνίων. Για ορισμένες κατηγορίες πολυγώνων, η προηγούμενη εκτίμηση μπορεί να βελτιωθεί. Για παράδειγμα, εάν το πολύγωνο είναι κυρτό, τότε αρκεί μόνο να επιλέξετε μία από τις κορυφές του και να το συνδέσετε με όλες τις άλλες, εκτός από τους γείτονές του.

Τότε θα αποδείξουμε ότι περιέχει κορυφές διαχωρισμού και συγχώνευσης. Για να φτιάξετε ένα πολύγωνο μονότονο, πρέπει να απαλλαγείτε από τις διαχωρισμένες και συγχωνευμένες κορυφές αντλώντας ασύνδετα διγωνάκια από τέτοιες κορυφές. Εξετάστε μια οριζόντια γραμμή σάρωσης, θα την μετακινήσουμε από πάνω προς τα κάτω κατά μήκος του επιπέδου στο οποίο βρίσκεται το αρχικό πολύγωνο. Θα το σταματήσουμε σε κάθε κορυφή του πολυγώνου.

Προσθήκη πολυγώνου στο χάρτη

Αφήστε και είναι η πλησιέστερη αριστερή και δεξιά ακμή σε σχέση με τις διαχωρισμένες κορυφές που τέμνονται αυτήν τη στιγμή. Ο τύπος κορυφής που είναι αποθηκευμένος δεν έχει σημασία. Έτσι, για να χτίσετε μια διαγώνιο για μια διασπασμένη κορυφή, πρέπει να ανατρέξετε στον δείκτη της αριστερής του άκρης, που τέμνεται αυτή τη στιγμή.

Στην προσέγγιση που περιγράφεται παραπάνω, πρέπει να βρείτε τις τομές της γραμμής σάρωσης και τις αριστερές άκρες του πολυγώνου. Ας δημιουργήσουμε μια ουρά προτεραιότητας κορυφών, στην οποία προτεραιότητα θα είναι ο -συντεταγμένος της κορυφής. Εάν δύο κορυφές έχουν τις ίδιες συντεταγμένες, η αριστερή έχει μεγαλύτερη προτεραιότητα. Οι θέσεις θα προστεθούν στις "στάσεις" της γραμμής σάρωσης.

Από εδώ δεν διασχίζει καμία από τις πλευρές σε ξένα σημεία. Δεδομένου ότι δεν μπορούν να υπάρχουν κορυφές στο εσωτερικό και τα δύο άκρα οποιασδήποτε προηγουμένως προστιθέμενης διαγώνιας πρέπει να βρίσκονται ψηλότερα, η διαγώνιος δεν μπορεί να τέμνει καμία από τις προηγουμένως προστιθέμενες διαγώνιες.

Θα πάμε από πάνω προς τα κάτω κατά μήκος των κορυφών του πολυγώνου, σχεδιάζοντας διαγώνιες όπου είναι δυνατόν. Κατά συνέπεια, το πολύγωνό μας βρίσκεται σε μια λωρίδα με όρια b και c, από όπου λαμβάνουμε ότι το P είναι η κορυφή του πολυγώνου πιο μακριά από τη γραμμή b που περιέχει την πλευρά a.

    Το Βικιλεξικό έχει ένα άρθρο "κορυφή". Το κορυφαίο είναι το κορυφαίο σημείο για κάτι. Ο όρος κορυφή μπορεί επίσης να σημαίνει: Στην τοπογραφία ... Wikipedia

    ΚΟΡΥΦΗ- (1) V. του κώνου είναι το σημείο τομής των γεννητριών του κώνου. (2) Το Β. Ενός πολύεδρου είναι το σημείο στο οποίο συγκλίνουν οι παρακείμενες άκρες του πολύεδρου. (3) Β. Πολύγωνο είναι το σημείο στο οποίο συγκλίνουν δύο γειτονικές πλευρές του πολυγώνου. (4) V. σημείο παραβολής ... ... Μεγάλη Εγκυκλοπαίδεια Πολυτεχνείου

    TOP, στα μαθηματικά, το σημείο στο οποίο συναντώνται δύο πλευρές ενός τριγώνου ή άλλου πολύγωνου ή τρεις ή περισσότερες πλευρές μιας πυραμίδας ή άλλου πολύεδρου. Η κορυφή ονομάζεται επίσης κορυφαίο σημείο του κώνου ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

    Κατασκευή κυρτού κύτους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο «διαίρει και κατέκτησε» για την κατασκευή κυρτού κύτους. Περιεχόμενα 1 Περιγραφή 2 Ορισμοί 3 Υλοποίηση ... Wikipedia

    Κατασκευή κυρτού κύτους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο «διαίρει και κατέκτησε» για την κατασκευή κυρτού κύτους. Περιεχόμενα 1 Περιγραφή 2 Ορισμοί 3 Εφαρμογή 4 Πολυπλοκότητα αλγορίθμων ... Wikipedia

    Έλεγχος αν ένα δεδομένο σημείο ανήκει σε ένα δεδομένο πολύγωνο Ένα πολύγωνο και ένα σημείο δίνεται στο επίπεδο. Ένα πολύγωνο μπορεί να είναι κυρτό ή μη κυρτό. Απαιτείται να λυθεί το ερώτημα αν ένα σημείο ανήκει σε πολύγωνο. Λόγω του ότι ... ... Wikipedia

    Ένα μέρος του χώρου που περιορίζεται από μια συλλογή ενός πεπερασμένου αριθμού επίπεδων πολυγώνων (βλέπε ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ) που συνδέεται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε πλευρά οποιουδήποτε πολύγωνου να είναι μια πλευρά ενός άλλου πολύγωνου (που ονομάζεται ... ... Εγκυκλοπαίδεια του Collier

    Η διακριτή ομάδα ολομορφικών μετασχηματισμών του (ανοιχτού) κύκλου Κ πάνω στη σφαίρα Riemann, δηλαδή έναν κύκλο ή ημιεπίπεδο στο σύνθετο επίπεδο. Τις περισσότερες φορές, το άνω μισό επίπεδο ή ο κύκλος μονάδας λαμβάνεται ως Kber. Εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών

Όταν ρωτήθηκε τι είναι ένα πολύγωνο που δόθηκε από τον συγγραφέα ευρωπαϊκόςη καλύτερη απάντηση είναι

Επίπεδη κλειστή πολυγραμμή.


Τύποι πολυγώνων
Ένα πολύγωνο με τρεις κορυφές ονομάζεται τρίγωνο, με τέσσερα τετράπλευρο, πέντε πεντάγωνο κ.ο.κ.
Ένα πολύγωνο με n κορυφές ονομάζεται n-gon.
Ένα επίπεδο πολύγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και ένα πεπερασμένο τμήμα της περιοχής που οριοθετείται από αυτό.
Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες (ισοδύναμες) προϋποθέσεις:
βρίσκεται στη μία πλευρά κάθε ευθείας που συνδέει τις παρακείμενες κορυφές της. (δηλαδή, οι προεκτάσεις των πλευρών του πολυγώνου δεν τέμνουν τις άλλες πλευρές του).
είναι η τομή (δηλαδή το κοινό μέρος) αρκετών ημιεπίπεδων.
Κάθε διαγώνιος βρίσκεται μέσα σε ένα πολύγωνο.
οποιοδήποτε τμήμα με άκρα σε σημεία που ανήκουν στο πολύγωνο ανήκει εξ ολοκλήρου σε αυτό.
Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται κανονικό εάν όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες είναι ίσες, για παράδειγμα, ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετράγωνο και ένα κανονικό πεντάγωνο.
Ένα κανονικό πολύγωνο με αυτο-τομές ονομάζεται αστρικό, για παράδειγμα, κανονικά πεντάκτινα και οκτάκτινα αστέρια.
Ένα κυρτό πολύγωνο λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο εάν όλες οι κορυφές του βρίσκονται σε έναν κύκλο.
Ένα κυρτό πολύγωνο λέγεται ότι είναι περιγεγραμμένο για έναν κύκλο εάν όλες οι πλευρές του αγγίζουν κάποιο κύκλο.
Οι κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται παρακείμενες εάν είναι τα άκρα μιας πλευράς του.
Τα τμήματα γραμμής που συνδέουν μη γειτονικές κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται διαγώνιες.
Η γωνία (ή εσωτερική γωνία) ενός πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή και βρίσκονται στην εσωτερική περιοχή του πολυγώνου. Συγκεκριμένα, η γωνία μπορεί να υπερβεί τους 180 ° εάν το πολύγωνο είναι μη κυρτό.
Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με την εσωτερική γωνία του πολυγώνου σε αυτήν την κορυφή. Γενικά, η εξωτερική γωνία είναι η διαφορά μεταξύ 180 ° και της εσωτερικής γωνίας, μπορεί να πάρει τιμές από -180 ° έως 180 °.

Απάντηση από Μικροσκόπιο[γκουρού]
Ένα πολύγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, που συνήθως ορίζεται ως κλειστή πολυγραμμή.

Υπάρχουν τρεις διαφορετικές επιλογές για τον ορισμό ενός πολυγώνου:
Επίπεδη κλειστή πολυγραμμή.
Επίπεδη κλειστή πολυγραμμή χωρίς αυτο-διασταυρώσεις.
Το τμήμα του επιπέδου που οριοθετείται από κλειστή πολυγραμμή.

Σε κάθε περίπτωση, οι κορυφές της πολυγραμμής ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου και τα τμήματα γραμμών είναι οι πλευρές του πολυγώνου.


Απάντηση από Βλάντισλαβ Μπορόβικ[αρχάριος]
ένα πολύγωνο είναι ένα σχήμα με πολλές πλευρές και γωνίες


Απάντηση από Γάμος[αρχάριος]
πολλά τετράγωνα είναι εκεί όπου υπάρχουν πολλές γωνίες


Απάντηση από safenrider sasha[αρχάριος]
πολλά τετράγωνα είναι εκεί όπου υπάρχουν πολλές γωνίες

Οι κορυφές του πολυγώνου και τα τμήματα γραμμών είναι οι πλευρές του πολυγώνου. Κορυφές του πολυγώνου - σελίδα №1 / 1

Γεωμετρία Βαθμός 8 K.K. Kurginyan Μέρος-1 * (με αστερίσκο).
Πολύγωνο.

Ορισμός:Το πολύγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από μια επίπεδη, κλειστή πολύγραμμη χωρίς αυτο-τομές. Οι κορυφές της πολυγραμμής ονομάζονται κορυφέςπολύγωνο και τα τμήματα γραμμής - πάρτιπολύγωνο.

Οι κορυφές του πολυγώνου ονομάζονται γειτονικόςαν είναι τα άκρα μιας πλευράς του. Οι γραμμές που συνδέουν μη γειτονικές κορυφές του πολυγώνου ονομάζονται διαγώνιες .

Εξωτερική γωνίαενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με την εσωτερική γωνία του πολυγώνου σε αυτήν την κορυφή. Γενικά, η εξωτερική γωνία είναι η διαφορά μεταξύ 180 ° και της εσωτερικής γωνίας, μπορεί να πάρει τιμές από -180 ° έως 180 °. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου είναι 360 °.

Κυρτό πολύγωνο.
Πολύγωνοονομάζεται κυρτό εάν:
ΟρισμόςΕγώ - για οποιαδήποτε δύο σημεία μέσα του, το τμήμα που τα συνδέει βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε αυτό.

ΟρισμόςII - κάθε εσωτερική γωνία είναι μικρότερη από 180 °.

ΟρισμόςIII - όλες οι διαγώνιές του βρίσκονται εξ ολοκλήρου μέσα σε αυτό.

ΟρισμόςIV – βρίσκεται στη μία πλευρά κάθε γραμμής που διέρχεται από δύο παρακείμενες κορυφές της.
Άθροισμα γωνιών ν -γκόν.
Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-gon είναι (n-2) ∙ 180 °.
Το άθροισμα των γωνιών ενός μη κυρτού n-gon είναι επίσης (n-2) ∙ 180 °. (Η απόδειξη είναι παρόμοια, αλλά επιπλέον χρησιμοποιεί το λήμμα ότι κάθε πολύγωνο μπορεί να κοπεί με διαγώνια σε τρίγωνα).
Αριθμός διαγωνίων ν -γκόν. *

Θεώρημα:Ο αριθμός των διαγωνίων οποιουδήποτε n-gon είναι n (n-3) 2.

Απόδειξη:Έστω n - ο αριθμός των κορυφών του πολυγώνου, υπολογίστε το p - ο αριθμός πιθανών διαφορετικών διαγωνίων. Κάθε κορυφή συνδέεται με διαγώνιες με όλες τις άλλες κορυφές, εκτός από δύο γειτονικές και, φυσικά, από μόνη της. Έτσι, διαγώνιες n-3 μπορούν να αντληθούν από μία κορυφή. το πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμό των κορυφών (n-3) ∙ n, ωστόσο, μετρήσαμε κάθε διαγώνιο δύο φορές (μία φορά για κάθε άκρο, επομένως, πρέπει να διαιρέσουμε με 2)-επομένως, p = n (n-3) 2.

Πρόβλημα *: σε ποιο κυρτό πολύγωνο υπάρχουν 25 περισσότερες διαγώνιες από ό, τι πλευρές;


25 + n = nn-32

50 + 2n = n 2 - 3n

n 2 - 5n - 50 = 0

Ας παραγοντοποιηθούμε

n 2 -25-5n -25 = 0


n = -5 δεν ικανοποιεί,

αφού δεν υπάρχει

ένα τέτοιο πολύγωνο

n = 10 ικανοποιεί


Απάντηση: Δέκα τετράγωνα.

Κομμάτια με ίσες διαγώνιες. *

Στην επιφάνεια υπάρχουν δύο κανονικά πολύγωνα με όλες οι διαγώνιες είναι ίσεςμεταξύ τους είναι τετράγωνοκαι κανονικό πεντάγωνο (πεντάγωνο)... Ένα τετράγωνο έχει δύο ίδιες διαγώνιες, που τέμνονται σε ορθή γωνία στο κέντρο. Ένα κανονικό πεντάγωνο έχει πέντε ίδιες διαγώνιες, οι οποίες μαζί σχηματίζουν ένα πεντάκτινο μοτίβο αστεριού (πεντάγραμμο).

Στο διάστημα υπάρχει μόνο ένα σωστό πολύεδρο (όχι πολύγωνο), ποιό απ'όλα όλες οι διαγώνιες είναι ίσεςμεταξύ τους είναι κανονικό οκτάεδρο (οκτάεδρο). Στο οκτάεδροτρεις διαγώνιες που τέμνονται σε ζεύγη κάθετα στο κέντρο. Όλες οι διαγώνιες του οκταέδρου είναι χωρικές (το οκτάεδρο δεν έχει διαγώνιες προσώπου, αφού έχει τριγωνικές όψεις).

Εκτός από το οκτάεδρο, υπάρχει ένα ακόμη κανονικό πολύεδρο, το οποίο έχει όλες οι διαγώνιες του διαστήματος είναι ίσεςμεταξύ τους είναι κύβος (εξάεδρο), εκτός από τα χωρικά, ο κύβος έχει διαγώνιες στις όψεις του... Ο κύβος έχει τέσσερις ίδιες χωρικές διαγώνιες που τέμνονται στο κέντρο. Η γωνία μεταξύ των διαγώνιων του κύβου είναι είτε arccos (1/3) ≈ 70,5 ° (για ένα ζεύγος διαγώνιων που τραβιούνται σε γειτονικές κορυφές) είτε arccos (–1/3) ≈ 109,5 ° (για ένα ζεύγος διαγωνίων που τραβιούνται προς μη -γειτονικές κορυφές).

Τετράγωνα.
Κάθε τετράγωνο έχει τέσσερις κορυφές, τέσσερις πλευρές και δύο διαγώνιες.

Δύο μη γειτονικές πλευρές ονομάζονται απέναντι.

Δύο μη γειτονικές κορυφές ονομάζονται απέναντι.
1 παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο με αντίθετες πλευρές παράλληλες σε ζεύγη.
Ιδιότητες παραλληλόγραμμου:
1) Οι αντίθετες πλευρές του παραλληλογράμμου είναι ίσες. AB = DC, AD = BC.

2) Οι αντίθετες γωνίες του παραλληλογράμμου είναι ίσες. A = C, B = D.

3) Οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου τέμνονται και το σημείο τομής μειώνεται στο μισό. AO = OC, BO = OD.

4) Το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με τη μία πλευρά είναι 180 °. A + D = 180, A + B = 180, B + C = 180, D + C = 180.

5) Το άθροισμα όλων των γωνιών είναι 360 °. A + B + C + D = 360 °.

6) * Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ισούται με το διπλάσιο άθροισμα των τετραγώνων των δύο παρακείμενων πλευρών του: AC 2 + BD 2 = 2 ∙ (AB 2 + AD 2).


Εργασία 1 *:Βρείτε τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου αν είναι γνωστό ότι το μήκος μιας διαγώνιας είναι AC = 9 cm, και οι πλευρές είναι AD = 7 cm και AB = 4 cm.

Λύση:Αντικαθιστώντας τις τιμές στον τύπο, παίρνουμε:

81 + BD 2 = 2 ∙ (49 + 16),

ΒΔ 2 = 49, άρα η δεύτερη διαγώνιος είναι ίση με ΒΔ = 7 εκ. Απάντηση: 7 εκ.
Εργασία 2 *:Βρείτε τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου αν είναι γνωστό ότι το μήκος μιας διαγώνιας είναι BD = 10 cm, και οι πλευρές είναι AD = 8 cm και AB = 2 cm.

Λύση:Οι συνθήκες του προβλήματος δεν είναι αληθείς, αφού το άθροισμα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι πάντα μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά. Απάντηση: το πρόβλημα δεν έχει λύσεις (νόημα).

Εργασία 3 *:α) Βρείτε την πλευρά του παραλληλογράμμου αν είναι γνωστό ότι το μήκος των διαγωνίων είναι ίσο με BD = 6 cm, AC = 8, και η μία πλευρά AB = 5 cm. β) Πώς λέγεται αυτό το παραλληλόγραμμο.
Πρόβλημα 4 **:Το άθροισμα των μηκών των διαγώνιων του παραλληλογράμμου είναι 12 cm και το γινόμενο είναι 32 βρείτε την τιμή του αθροίσματος των τετραγώνων όλων των πλευρών του.
Πρόβλημα 5 **:Βρείτε τη μεγαλύτερη περίμετρο του παραλληλογράμμου, των οποίων οι διαγώνιες είναι 6 cm και 8 cm.

Λύση:Ας το αποδείξουμε μεταξύ όλων των παραλληλογράμμων με δεδομένα διαγώνια μήκη, ο ρόμβος έχει τη μεγαλύτερη περίμετρο .

Πράγματι, ας ένακαι σιΕίναι τα μήκη των παρακείμενων πλευρών του παραλληλογράμμου και είναι τα μήκη των διαγωνίων του (βλ. Εικ. 2). Τότε η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι: Π = 2(ένα + σι).

Από την ισότητα που εκφράζει το θεώρημα επί του αθροίσματος τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου, προκύπτει ότι όλα τα παραλληλόγραμμα με δεδομένες διαγώνιες έχουν σταθερή τιμή το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών.

Με την ανισότητα μεταξύ της αριθμητικής μέσης και του μέσου τετραγώνου: , και η ισότητα επιτυγχάνεται κ.λπ., όταν ένα = σι... Ως εκ τούτου, το παραλληλόγραμμο με τη μεγαλύτερη περίμετρο είναι ρόμβος. Βρίσκουμε την πλευρά αυτού του ρόμβου: = 5 (cm). Απάντηση: 20 εκ.

2. Ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες ευθείες.
Ορισμός 2: Είναι τετράπλευρο με όλες τις γωνίες ευθείες.

Ορισμός 3: Είναι παραλληλόγραμμο με μία γωνία ευθείας.

Ορισμός 4: Αυτό είναι ένα παραλληλόγραμμο με ίσες γωνίες.
Ιδιότητες ορθογωνίου: +
1) Οι διαγώνιες του ορθογωνίου είναι ίσες.

2) * Το τετράγωνο της διαγώνιας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών. AC 2 = AB 2 + DC 2


Στόχος 1:Η μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου είναι 5cm, οι διαγώνιες τέμνονται υπό γωνία 60 °. Βρείτε τις διαγώνιες του ορθογωνίου.
Εργασία 2:Η μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου είναι 24, οι διαγώνιες τέμνονται υπό γωνία 120 °. Βρείτε τις διαγώνιες και τη μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου.
Εργασία 3 *:Η πλευρά του ορθογωνίου είναι 3 εκ., Η διαγώνιος 5 εκ. Βρείτε την άλλη πλευρά του ορθογωνίου.
Εργασία 4 *:Η πλευρά του ορθογωνίου είναι 6 εκ., Η διαγώνιος είναι 10 εκ. Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

3. Ρόμπα είναι παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.
Ορισμός 2: Αυτό είναι ένα τετράπλευρο με όλες τις πλευρές ίσες.
Ιδιότητες διαμαντιού: ίδιες ιδιότητες με το παραλληλόγραμμο +
1) Οι διαγώνιες του ρόμβου είναι αμοιβαία κάθετες (AC ⊥ BD).

2) Οι διαγώνιες ενός ρόμβου διαιρούν τις γωνίες του στο μισό (δηλαδή, οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του - ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = CDB).

3) * Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων είναι ίσο με το τετράγωνο της πλευράς πολλαπλασιασμένο με 4 (συνέπεια της ταυτότητας παραλληλογράμμου). AC 2 + BD 2 = 4 AB 2
Στόχος 1:Οι διαγώνιες του ρόμβου είναι 6 και 8 εκ. Βρείτε την πλευρά του ρόμβου.
Εργασία 2:Η πλευρά του ρόμβου είναι 10 εκατοστά, μία από τις γωνίες είναι 60 °. Βρείτε τη μικρή διαγώνιο του ρόμβου.
4. Τετράγωνο είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι γωνίες είναι 90 και όλες οι πλευρές είναι ίσες.
Ορισμός 2: Αυτό είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι γωνίες και οι πλευρές είναι ίσες.

Ορισμός 3: Αυτό είναι ένα τετράπλευρο στο οποίο όλες οι γωνίες και οι πλευρές είναι ίσες.

Ορισμός 4: Πρόκειται για ρόμβο με μία γωνία ευθείας.

Ορισμός 5: Αυτός είναι ένας ρόμβος με ίσες γωνίες.

Ορισμός 6: Είναι ένα ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες.
Τετραγωνικές ιδιότητες: ίδιες ιδιότητες με το παραλληλόγραμμο +
1) Οι διαγώνιες του τετραγώνου είναι ίσες.

2) Οι διαγώνιες του τετραγώνου είναι αμοιβαία κάθετες (AC ⊥ BD).

3) Οι διαγώνιες ενός τετραγώνου χωρίζουν τις γωνίες του στο μισό (δηλαδή, οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του - ∠DCA = ∠BCA = ∠ABD = ∠CBD = ∠BAC = ∠DAC = ∠ADB = CDB = 45).

4) * Το τετράγωνο της διαγώνιας είναι ίσο με το διπλάσιο του τετραγώνου της πλευράς. AC 2 = 2 AB 2


5.Trapeze είναι ένα τετράπλευρο στο οποίο δύο πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο δεν είναι παράλληλες.
Οι παράλληλες πλευρές ονομάζονται βάσεις και οι άλλες δύο λέγονται πλευρές.

Ένα τραπεζοειδές ονομάζεται ισοσκελές αν οι πλευρές του είναι ίσες.

Ένα τραπεζοειδές ονομάζεται ορθογώνιο εάν μία από τις γωνίες του είναι ευθεία.
Εργο:Αποδείξτε ότι ένα τραπεζοειδές δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ισοσκελές.