Σε αυτή την ενότητα θα εφαρμόσουμε το νόμο της διατήρησης της ενέργειας στην κίνηση υγρού ή αερίου μέσω σωλήνων. Η κίνηση του υγρού μέσω των σωλήνων συναντάται συχνά στην τεχνολογία και την καθημερινή ζωή. Οι σωλήνες νερού παρέχουν νερό στην πόλη σε σπίτια και χώρους κατανάλωσης. Στα αυτοκίνητα ρέουν μέσα από σωλήνες λάδι για λίπανση, καύσιμο για κινητήρες κ.λπ.. Η κίνηση του υγρού μέσω των σωλήνων συναντάται συχνά στη φύση. Αρκεί να πούμε ότι η κυκλοφορία του αίματος των ζώων και των ανθρώπων είναι η ροή του αίματος μέσω σωλήνων – αιμοφόρων αγγείων. Σε κάποιο βαθμό, η ροή του νερού στα ποτάμια είναι επίσης ένας τύπος ροής υγρών μέσω σωλήνων. Η κοίτη του ποταμού είναι ένα είδος σωλήνα για τη ροή του νερού.

Όπως είναι γνωστό, ένα ακίνητο υγρό σε ένα δοχείο, σύμφωνα με το νόμο του Pascal, μεταδίδει εξωτερική πίεση προς όλες τις κατευθύνσεις και σε όλα τα σημεία του όγκου χωρίς αλλαγή. Ωστόσο, όταν το υγρό ρέει χωρίς τριβές μέσω ενός σωλήνα, η περιοχή διατομήπου είναι διαφορετικό σε διαφορετικές περιοχές, η πίεση δεν είναι ίδια κατά μήκος του σωλήνα. Ας μάθουμε γιατί η πίεση σε ένα κινούμενο ρευστό εξαρτάται από την περιοχή διατομής του σωλήνα. Αλλά πρώτα, ας εξοικειωθούμε με ένα σημαντικό χαρακτηριστικό οποιασδήποτε ροής υγρού.

Ας υποθέσουμε ότι το υγρό ρέει μέσω ενός οριζόντιου σωλήνα, η διατομή του οποίου είναι διαφορετική σε διαφορετικά σημεία, για παράδειγμα, μέσω ενός σωλήνα, μέρος του οποίου φαίνεται στο Σχήμα 207.

Εάν σχεδιάζαμε νοερά πολλά τμήματα κατά μήκος ενός σωλήνα, των οποίων οι επιφάνειες είναι αντίστοιχα ίσες, και μετρούσαμε την ποσότητα του υγρού που ρέει μέσα από καθένα από αυτά για μια ορισμένη χρονική περίοδο, θα βρίσκαμε ότι η ίδια ποσότητα υγρού ρέει μέσα από κάθε σωλήνα. Ενότητα. Αυτό σημαίνει ότι όλο το υγρό που διέρχεται από το πρώτο τμήμα ταυτόχρονα περνάει από το τρίτο τμήμα, αν και είναι σημαντικά μικρότερο σε εμβαδόν από το πρώτο. Εάν δεν συνέβαινε αυτό και, για παράδειγμα, περνούσε λιγότερο υγρό από ένα τμήμα με εμβαδόν με την πάροδο του χρόνου παρά μέσα από ένα τμήμα με εμβαδόν, τότε η περίσσεια υγρού θα έπρεπε κάπου να συσσωρευτεί. Αλλά το υγρό γεμίζει ολόκληρο τον σωλήνα και δεν υπάρχει πουθενά να συσσωρευτεί.

Πώς μπορεί ένα υγρό που έχει ρέει μέσα από ένα ευρύ τμήμα να καταφέρει να «στριμώξει» μέσα από ένα στενό τμήμα στον ίδιο χρόνο; Προφανώς, για να συμβεί αυτό, όταν περνάμε από στενά μέρη του σωλήνα, η ταχύτητα κίνησης πρέπει να είναι μεγαλύτερη, και ακριβώς όσες φορές είναι μικρότερη η περιοχή της διατομής.

Πράγματι, ας εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο τμήμα μιας κινούμενης στήλης υγρού, το οποίο στην αρχική χρονική στιγμή συμπίπτει με ένα από τα τμήματα του σωλήνα (Εικ. 208). Με την πάροδο του χρόνου, αυτή η περιοχή θα μετακινηθεί σε απόσταση ίση με την ταχύτητα ροής του ρευστού. Ο όγκος V του υγρού που ρέει μέσα από ένα τμήμα ενός σωλήνα είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού αυτού του τμήματος και του μήκους

Ένας όγκος υγρού ρέει ανά μονάδα χρόνου -

Ο όγκος του υγρού που ρέει ανά μονάδα χρόνου μέσω μιας διατομής ενός σωλήνα είναι ίσος με το γινόμενο της επιφάνειας διατομής του σωλήνα και της ταχύτητας ροής.

Όπως μόλις είδαμε, αυτός ο όγκος πρέπει να είναι ίδιος σε διαφορετικά τμήματα του σωλήνα. Επομένως, όσο μικρότερη είναι η διατομή του σωλήνα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα κίνησης.

Πόσο υγρό περνά από ένα τμήμα ενός σωλήνα σε συγκεκριμένο χρόνο, πρέπει να περάσει η ίδια ποσότητα σε τέτοιο

ταυτόχρονα μέσω οποιουδήποτε άλλου τμήματος.

Ταυτόχρονα, πιστεύουμε ότι μια δεδομένη μάζα υγρού έχει πάντα τον ίδιο όγκο, ότι δεν μπορεί να συμπιέσει και να μειώσει τον όγκο της (ένα υγρό λέγεται ότι είναι ασυμπίεστο). Είναι γνωστό, για παράδειγμα, ότι σε στενά σημεία ενός ποταμού η ταχύτητα ροής του νερού είναι μεγαλύτερη από ό,τι σε πλατιά. Αν υποδηλώσουμε την ταχύτητα ροής του ρευστού σε τμήματα ανά περιοχές, τότε μπορούμε να γράψουμε:

Μπορεί να φανεί από αυτό ότι όταν το υγρό περνά από ένα τμήμα ενός σωλήνα με μεγαλύτερη επιφάνεια διατομής σε ένα τμήμα με μικρότερη επιφάνεια διατομής, η ταχύτητα ροής αυξάνεται, δηλ. το υγρό κινείται με επιτάχυνση. Και αυτό, σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, σημαίνει ότι μια δύναμη δρα στο υγρό. Τι είδους δύναμη είναι αυτή;

Αυτή η δύναμη μπορεί να είναι μόνο η διαφορά μεταξύ των δυνάμεων πίεσης στα πλατιά και τα στενά τμήματα του σωλήνα. Έτσι, σε ένα ευρύ τμήμα, η πίεση του υγρού πρέπει να είναι μεγαλύτερη από ό,τι σε ένα στενό τμήμα του σωλήνα.

Αυτό προκύπτει επίσης από το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Πράγματι, αν η ταχύτητα κίνησης του ρευστού σε στενά σημεία ενός σωλήνα αυξάνεται, τότε αυξάνεται και η κινητική του ενέργεια. Και επειδή υποθέσαμε ότι το υγρό ρέει χωρίς τριβή, αυτή η αύξηση της κινητικής ενέργειας θα πρέπει να αντισταθμιστεί από μια μείωση δυναμική ενέργεια, γιατί η συνολική ενέργεια πρέπει να παραμένει σταθερή. Για ποια δυνητική ενέργεια μιλάμε εδώ; Εάν ο σωλήνας είναι οριζόντιος, τότε η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης με τη Γη σε όλα τα μέρη του σωλήνα είναι η ίδια και δεν μπορεί να αλλάξει. Αυτό σημαίνει ότι παραμένει μόνο η δυναμική ενέργεια της ελαστικής αλληλεπίδρασης. Η δύναμη πίεσης που αναγκάζει το υγρό να ρέει μέσω του σωλήνα είναι η ελαστική δύναμη συμπίεσης του υγρού. Όταν λέμε ότι ένα υγρό είναι ασυμπίεστο, εννοούμε μόνο ότι δεν μπορεί να συμπιεστεί τόσο πολύ ώστε να αλλάξει αισθητά ο όγκος του, αλλά αναπόφευκτα εμφανίζεται πολύ μικρή συμπίεση, προκαλώντας την εμφάνιση ελαστικών δυνάμεων. Αυτές οι δυνάμεις δημιουργούν πίεση ρευστού. Είναι αυτή η συμπίεση του υγρού που μειώνεται στα στενά μέρη του σωλήνα, αντισταθμίζοντας την αύξηση της ταχύτητας. Σε στενές περιοχές σωλήνων, η πίεση του υγρού θα πρέπει επομένως να είναι μικρότερη από ό,τι σε μεγάλες περιοχές.

Αυτός είναι ο νόμος που ανακάλυψε ο ακαδημαϊκός της Αγίας Πετρούπολης Daniil Bernoulli:

Η πίεση του ρέοντος ρευστού είναι μεγαλύτερη σε εκείνα τα τμήματα της ροής στα οποία η ταχύτητα της κίνησής του είναι μικρότερη και,

Αντίθετα, σε εκείνα τα τμήματα στα οποία η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, η πίεση είναι μικρότερη.

Όσο παράξενο κι αν φαίνεται, όταν ένα υγρό «συμπιέζει» μέσα από στενά τμήματα ενός σωλήνα, η συμπίεσή του δεν αυξάνεται, αλλά μειώνεται. Και η εμπειρία το επιβεβαιώνει καλά.

Εάν ο σωλήνας μέσω του οποίου ρέει το υγρό είναι εξοπλισμένος με ανοιχτούς σωλήνες συγκολλημένους σε αυτόν - μετρητές πίεσης (Εικ. 209), τότε θα μπορείτε να παρατηρήσετε την κατανομή πίεσης κατά μήκος του σωλήνα. Σε στενές περιοχές του σωλήνα, το ύψος της στήλης υγρού στον σωλήνα πίεσης είναι μικρότερο από ό,τι σε μεγάλες περιοχές. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει λιγότερη πίεση σε αυτά τα μέρη. Όσο μικρότερη είναι η διατομή του σωλήνα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα ροής και τόσο χαμηλότερη είναι η πίεση. Είναι δυνατόν, προφανώς, να επιλέξετε ένα τμήμα στο οποίο η πίεση είναι ίση με την εξωτερική ατμοσφαιρική πίεση (το ύψος της στάθμης του υγρού στο μανόμετρο θα είναι τότε ίσο με μηδέν). Και αν πάρουμε ένα ακόμη μικρότερο τμήμα, τότε η πίεση του υγρού σε αυτό θα είναι μικρότερη από την ατμοσφαιρική.

Αυτή η ροή ρευστού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την άντληση αέρα. Η λεγόμενη αντλία εκτόξευσης νερού λειτουργεί με αυτήν την αρχή. Το Σχήμα 210 δείχνει ένα διάγραμμα μιας τέτοιας αντλίας. Ένα ρεύμα νερού περνά μέσα από το σωλήνα Α με μια στενή τρύπα στο άκρο. Η πίεση του νερού στο άνοιγμα του σωλήνα είναι μικρότερη από την ατμοσφαιρική πίεση. Να γιατί

αέριο από τον αντλούμενο όγκο αναρροφάται μέσω του σωλήνα Β στο άκρο του σωλήνα Α και απομακρύνεται μαζί με το νερό.

Όλα όσα έχουν ειπωθεί για την κίνηση του υγρού μέσω σωλήνων ισχύουν και για την κίνηση του αερίου. Εάν η ταχύτητα ροής του αερίου δεν είναι πολύ υψηλή και το αέριο δεν συμπιέζεται τόσο πολύ ώστε να μεταβάλλεται ο όγκος του και εάν, επιπλέον, παραμεληθεί η τριβή, τότε ο νόμος του Bernoulli ισχύει επίσης για τις ροές αερίων. Σε στενά μέρη σωλήνων, όπου το αέριο κινείται πιο γρήγορα, η πίεσή του είναι μικρότερη από ό,τι σε μεγάλα τμήματα και μπορεί να γίνει μικρότερη από την ατμοσφαιρική πίεση. Σε ορισμένες περιπτώσεις, δεν απαιτεί καν σωλήνες.

Μπορείτε να κάνετε ένα απλό πείραμα. Αν φυσήξετε σε ένα φύλλο χαρτιού κατά μήκος της επιφάνειάς του, όπως φαίνεται στην Εικόνα 211, θα δείτε ότι το χαρτί θα αρχίσει να ανεβαίνει. Αυτό συμβαίνει λόγω της μείωσης της πίεσης στο ρεύμα αέρα πάνω από το χαρτί.

Το ίδιο φαινόμενο συμβαίνει όταν ένα αεροπλάνο πετάει. Μια αντίθετη ροή αέρα ρέει στην κυρτή άνω επιφάνεια του πτερυγίου ενός ιπτάμενου αεροσκάφους και λόγω αυτού, εμφανίζεται μείωση της πίεσης. Η πίεση πάνω από το φτερό είναι μικρότερη από την πίεση κάτω από το φτερό. Αυτό είναι που προκαλεί την ανύψωση της πτέρυγας.

Άσκηση 62

1. Η επιτρεπόμενη ταχύτητα ροής λαδιού μέσω σωλήνων είναι 2 m/sec. Τι όγκος λαδιού διέρχεται από έναν σωλήνα με διάμετρο 1 m σε 1 ώρα;

2. Μετρήστε την ποσότητα του νερού που ρέει από μια βρύση για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα Προσδιορίστε την ταχύτητα ροής του νερού μετρώντας τη διάμετρο του σωλήνα μπροστά από τη βρύση.

3. Ποια πρέπει να είναι η διάμετρος του αγωγού μέσω του οποίου πρέπει να ρέει νερό ανά ώρα; Η επιτρεπόμενη ταχύτητα ροής νερού είναι 2,5 m/sec.

Ο νόμος του Bernoulli Ο νόμος του Bernoulli Ελβετός επιστήμονας στον τομέα των μαθηματικών, της μηχανικής, της φυσιολογίας, της ιατρικής, ακαδημαϊκός (1725), ξένο επίτιμο μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης (1733). Ένας από τους ιδρυτές της θεωρητικής υδροδυναμικής. Εξήγαγε τη βασική εξίσωση για τη στατική κίνηση ενός ιδανικού ασυμπίεστου ρευστού υπό την επίδραση μόνο της βαρύτητας. Ανέπτυξε κινητικές έννοιες των αερίων. ()




1. Τι λέει ο νόμος διατήρησης της ολικής μηχανικής ενέργειας; 2. Τι ονομάζεται ολική μηχανική ενέργεια; 3. Ποια ενέργεια ονομάζεται κινητική; Με ποιο τύπο υπολογίζεται; 4. Ποια ενέργεια ονομάζεται δυναμικό; Τύποι δυνητικής ενέργειας.



Όταν ένα υγρό περνά από ένα ευρύ τμήμα σε ένα στενό τμήμα, η ταχύτητα ροής αυξάνεται, πράγμα που σημαίνει ότι κάπου στο όριο μεταξύ του στενού και του φαρδιού τμήματος του σωλήνα το υγρό λαμβάνει επιτάχυνση. Και σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, για να συμβεί αυτό, μια δύναμη πρέπει να δράσει σε αυτό το όριο. Αυτή η δύναμη μπορεί να είναι μόνο η διαφορά μεταξύ των δυνάμεων πίεσης στα πλατιά και τα στενά τμήματα του σωλήνα. Σε ένα ευρύ τμήμα του σωλήνα, η πίεση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από ότι σε ένα στενό τμήμα. Αυτό το συμπέρασμα προκύπτει από το νόμο της διατήρησης της ενέργειας.


Η δύναμη πίεσης ενός υγρού είναι η ελαστική δύναμη ενός συμπιεσμένου υγρού. Στο φαρδύ τμήμα του σωλήνα, το υγρό συμπιέζεται ελαφρώς περισσότερο από ότι στο στενό μέρος. Αλήθεια, μόλις είπαμε ότι το υγρό θεωρείται ασυμπίεστο. Αλλά αυτό σημαίνει ότι το υγρό δεν είναι τόσο συμπιεσμένο ώστε ο όγκος του να αλλάξει αισθητά. Η πολύ μικρή συμπίεση που προκαλεί ελαστική δύναμη είναι αναπόφευκτη. Μειώνεται σε στενά μέρη του σωλήνα.


Εάν η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται σε στενά σημεία του σωλήνα, αυξάνεται και η κινητική του ενέργεια. Και αφού έχουμε συμφωνήσει ότι το υγρό ρέει χωρίς τριβή, αυτή η αύξηση της κινητικής ενέργειας πρέπει να αντισταθμιστεί με μείωση της δυναμικής ενέργειας, γιατί η συνολική ενέργεια πρέπει να παραμείνει σταθερή. Αλλά αυτό δεν είναι δυναμική ενέργεια mgh, επειδή ο σωλήνας είναι οριζόντιος και το ύψος h είναι το ίδιο παντού. Αυτό σημαίνει ότι παραμένει μόνο η δυναμική ενέργεια που σχετίζεται με την ελαστική δύναμη.


Για να κατανοήσουμε τους λόγους για τη μείωση της πίεσης σε στενά μέρη και την αύξηση σε μεγάλα τμήματα, χρησιμοποιούμε το νόμο της διατήρησης της ενέργειας και τις μαθηματικές δεξιότητες. Το έργο των δυνάμεων πίεσης που εκτελούνται σε ένα στοιχείο υγρού όταν κινείται είναι ίσο με: Συμπέρασμα: Όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα ροής του ρευστού, τόσο μικρότερη είναι η πίεσή του.


Η εξάρτηση της πίεσης από την ταχύτητα ροής ονομάζεται αποτέλεσμα και η εξίσωση ονομάζεται νόμος του Bernoulli προς τιμήν του συγγραφέα, του Ελβετού επιστήμονα Daniel Bernoulli, ο οποίος εργάστηκε στην Αγία Πετρούπολη. Ο νόμος του Bernoulli για τις στρωτές ροές υγρών και αερίων είναι συνέπεια του νόμου της διατήρησης της ενέργειας. Εδώ η πυκνότητα ρευστού, η πυκνότητα, ο ρυθμός ροής, η ταχύτητα, το ύψος στο οποίο βρίσκεται το εν λόγω στοιχείο ρευστού, το ύψος, η πίεση στο σημείο του χώρου όπου βρίσκεται το κέντρο μάζας του εν λόγω ρευστού στοιχείου, επιτάχυνση πίεσης ελεύθερη πτώση.ένταση βαρύτητος


Πρακτικές συνέπειες Ο νόμος του Bernoulli εξηγεί την επίδραση της έλξης μεταξύ σωμάτων που βρίσκονται κοντά στα όρια των ροών κινούμενων υγρών (αερίων). Μερικές φορές αυτή η έλξη μπορεί να δημιουργήσει κίνδυνο για την ασφάλεια. Για παράδειγμα, όταν το τρένο υψηλής ταχύτητας Sapsan κινείται (η ταχύτητα ταξιδιού είναι μεγαλύτερη από 200 km/h), οι άνθρωποι στις αποβάθρες κινδυνεύουν να πεταχτούν κάτω από το τρένο.





Ερχόμενα τρένα. Τα τρένα υψηλής ταχύτητας πρέπει να επιβραδύνουν όταν συναντηθούν, διαφορετικά τα τζάμια στα βαγόνια θα σπάσουν. Γιατί; Προς ποια κατεύθυνση πέφτει το τζάμι: μέσα στα αυτοκίνητα ή έξω; Μπορεί να συμβεί αυτό εάν τα τρένα κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση; Θα σας τραβήξουν προς ή θα σας απωθήσουν από ένα τρένο εάν είστε πολύ κοντά σε ένα τρένο που κινείται γρήγορα; (Δημιουργείται ένα μέτωπο υψηλής πίεσης μπροστά από ένα τρένο που κινείται γρήγορα, ακολουθούμενο από μια περιοχή χαμηλής πίεσης. Όταν τα αντίθετα τρένα προσπερνούν το ένα το άλλο, τα παράθυρα στα βαγόνια μπορούν να ωθηθούν έξω επειδή μια περιοχή ​​αναπτύσσεται χαμηλή πίεση μεταξύ των τρένων).





Το φθινόπωρο του 1912, το ατμόπλοιο Olympic έπλεε στην ανοιχτή θάλασσα και σχεδόν παράλληλα με αυτό, σε απόσταση εκατοντάδων μέτρων, περνούσε με μεγάλη ταχύτητα ένα άλλο πλοίο, πολύ μικρότερο, το θωρακισμένο καταδρομικό Gauk. Όταν και τα δύο πλοία πήραν τη θέση που φαίνεται στην εικόνα, συνέβη κάτι απροσδόκητο: το μικρότερο πλοίο γρήγορα βγήκε από το δρόμο, σαν να υπάκουε σε μια άγνωστη δύναμη, γύρισε τη μύτη του προς μεγάλο πλοίοκαι, μη υπακούοντας στο τιμόνι, κινήθηκε σχεδόν ευθεία προς το μέρος του. Το Gauk έπεσε με τη μύτη του στο πλάι του Olympic.Το χτύπημα ήταν τόσο δυνατό που ο Gauk έκανε μια μεγάλη τρύπα στο πλάι του Olympic. Εξετάστηκε η περίπτωση σύγκρουσης δύο πλοίων ναυτικό δικαστήριο. Ο καπετάνιος του πλοίου «Olympic» κατηγορήθηκε ότι δεν έδωσε εντολή να περάσει το θωρηκτό. Τι πιστεύετε ότι συνέβη; Γιατί το μικρότερο πλοίο, μη υπακούοντας στο πηδάλιο, πέρασε απέναντι από τον Ολυμπιακό;


Η εξίσωση Bernoulli θεωρείται ένας από τους βασικούς νόμους της μηχανικής των ρευστών· καθιερώνει μια σύνδεση μεταξύ της πίεσης σε μια ροή ρευστού και της ταχύτητας της κίνησής του στα υδραυλικά συστήματα: με την αύξηση της ταχύτητας της ροής, η πίεση σε αυτό πρέπει να πέσει. . Βοηθά στην εξήγηση πολλών υδροδυναμικών επιδράσεων.


Ας δούμε μερικά γνωστά. Η ανύψωση και ο ψεκασμός του υγρού σε ένα μπουκάλι ψεκασμού (Εικ. 1) συμβαίνει λόγω της μειωμένης πίεσης σε ένα ρεύμα αέρα που διέρχεται με υψηλή ταχύτητα πάνω από ένα σωλήνα που έχει χαμηλώσει σε ένα δοχείο με υγρό. Το υγρό ανεβαίνει προς τα πάνω λόγω της ατμοσφαιρικής πίεσης, η οποία είναι μεγαλύτερη από την πίεση στο ρεύμα αέρα.





Αν φυσήξετε ανάμεσα σε δύο φύλλα χαρτιού που αγγίζουν το ένα το άλλο (Εικ. 5), δεν θα χωριστούν, όπως φαίνεται ότι θα έπρεπε να συμβεί, αλλά, αντίθετα, θα πιεστούν το ένα πάνω στο άλλο. Τα φύλλα θα κινηθούν το ένα προς το άλλο, αν και φαίνεται ότι φυσήξατε «περισσότερο» αέρα μεταξύ τους και θα έπρεπε να έχουν απομακρυνθεί. Αλλά φυσάτε τον αέρα ανάμεσα στα φύλλα, δημιουργώντας μια πίεση εδώ που είναι ακόμη χαμηλότερη από ό,τι γύρω του. Αυτό σημαίνει ότι η πίεση του αέρα μεταξύ των φύλλων γίνεται μικρότερη από ό,τι έξω και δημιουργείται μια δύναμη που τα φέρνει κοντά.


ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟ ΜΕ ΜΠΑΛΑ Στερεώστε μια κλωστή μήκους 4050 cm σε μια μπάλα του πινγκ πονγκ με πλαστελίνη και κρατώντας την μπάλα από την κλωστή, φέρτε την σε μια ροή νερού. Γιατί η μπάλα έλκεται και κρατιέται στο ρεύμα; Όταν ένα ρεύμα νερού ρέει από μια βρύση, συμπαρασύρει το παρακείμενο στρώμα αέρα. Όταν η μπάλα φέρεται κοντά στο πίδακα, συμβαίνει το εξής: κοντά στο πίδακα, ο αέρας κινείται με συγκεκριμένη ταχύτητα και η πίεση εδώ είναι μικρότερη από την άλλη πλευρά της μπάλας. Ως αποτέλεσμα, λόγω της διαφοράς πίεσης, μια δύναμη ασκεί την μπάλα, πιέζοντάς την προς τον πίδακα.






Κατάσταση 1. Άνεμος κάτω από το κτίριο. Στις ΗΠΑ, προτάθηκε ένα οικιστικό έργο στο οποίο τα δάπεδα, όπως οι γέφυρες, «αιωρούνται» ανάμεσα σε δύο ισχυρούς τοίχους και ο χώρος κάτω από το σπίτι παραμένει ανοιχτός. Εξωτερικά, ένα τέτοιο κτίριο φαίνεται πολύ ελκυστικό, αλλά δεν είναι απολύτως κατάλληλο για περιοχές με ανέμους. Ένα από αυτά τα κτίρια χτίστηκε στην επικράτεια της Μασαχουσέτης Ινστιτούτο τεχνολογίας. Και όταν έπνεαν οι ανοιξιάτικοι άνεμοι, η ταχύτητα του ανέμου κάτω από το κτίριο έφτασε τα 160 km/h. Τι προκάλεσε μια τόσο ισχυρή αύξηση της ταχύτητας του ανέμου; (Ο άνεμος που πέφτει στο κτίριο διοχετεύεται εν μέρει από τον κάτω φεγγίτη. Ταυτόχρονα, η ταχύτητά του αυξάνεται).


Σε βροχερό, θυελλώδη καιρό, ο καθένας μας έχει παρατηρήσει ότι οι ανοιχτές ομπρέλες μερικές φορές «γυρίζουν από μέσα προς τα έξω». Γιατί συμβαίνει αυτό; Ένας ισχυρός τυφώνας έχει παρόμοια επίδραση στις στέγες των σπιτιών. (Η ροή του αέρα που ρέει στην καμπύλη επιφάνεια της ομπρέλας κινείται κατά μήκος της κλίνης ενός είδους κωνικού σωλήνα με μεγαλύτερη ταχύτητα από τον αέρα στο κάτω μέρος, επομένως, η πίεση από κάτω είναι μεγαλύτερη από ό,τι στο επάνω μέρος και η ομπρέλα γυρίζει από μέσα προς τα έξω)


Η δράση του (νόμος Bernoulli) μπορεί να παρατηρηθεί στο Καθημερινή ζωήΜόλις ανοίξετε το νερό στο ντους, η κουρτίνα σκάει στην καμπίνα, επειδή η αύξηση της ταχύτητας του αέρα και του νερού προκαλεί άλμα στην πίεση. Η διαφορά πίεσης μέσα και έξω από την καμπίνα προκαλεί το τράβηγμα της κουρτίνας προς τα μέσα.


Πείραμα Για το πείραμα θα φτιάξουμε έναν κύλινδρο από χοντρό, αλλά όχι χοντρό χαρτί με διάμετρο 5 εκ. και μήκος εκ. Θα τυλίξουμε μια κορδέλα γύρω από τον κύλινδρο, τη μια άκρη της οποίας θα στερεώσουμε σε χάρακα. Με μια απότομη κίνηση κατά μήκος της οριζόντιας επιφάνειας του τραπεζιού, προσδίδουμε στον κύλινδρο μια σύνθετη κίνηση (μεταφραστική και περιστροφική). Σε υψηλή ταχύτητα, ο κύλινδρος ανεβαίνει και περιγράφει έναν μικρό κάθετο βρόχο. Εξηγήστε γιατί συμβαίνει αυτό. Η εξίσωση του Bernoulli εξηγεί αυτή τη συμπεριφορά ενός κυλίνδρου (και μιας περιστρεφόμενης μπάλας): η περιστροφή διαταράσσει τη συμμετρία της ροής λόγω του φαινομένου κολλήματος. Στη μία πλευρά του κυλίνδρου χαρτιού, η ταχύτητα ροής είναι μεγαλύτερη (πάνω από τον κύλινδρο, το διάνυσμα ταχύτητας αέρα ευθυγραμμίζεται με το διάνυσμα ταχύτητας κυλίνδρου), που σημαίνει ότι η πίεση εκεί μειώνεται και κάτω από τον κύλινδρο, το διάνυσμα ταχύτητας αέρα είναι αντιπαράλληλο στο διάνυσμα ταχύτητας κυλίνδρου. Ως αποτέλεσμα της διαφοράς πίεσης, εμφανίζεται μια δύναμη ανύψωσης, που ονομάζεται δύναμη Magnus. Αυτή η δύναμη ανυψώνει τον κύλινδρο προς τα πάνω, παρά σε μια παραβολή.


Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο Magnus, που πήρε το όνομά του από τον επιστήμονα που το ανακάλυψε και το μελέτησε πειραματικά. Το φαινόμενο Magnus εκδηλώνεται σε τέτοια φυσικά φαινόμενα, όπως ο σχηματισμός ανεμοστρόβιλων πάνω από την επιφάνεια του ωκεανού. Στο σημείο συνάντησης δύο μαζών αέρα με διαφορετικές θερμοκρασίες και ταχύτητες, μια στήλη αέρα περιστρέφεται γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα και ορμάει προς τα εμπρός. Σε διάμετρο, μια τέτοια κολόνα μπορεί να φτάσει εκατοντάδες μέτρα και ορμά με ταχύτητα περίπου 100 m/s. Λόγω της γρήγορης περιστροφής, αέρας εκτοξεύεται προς την περιφέρεια της δίνης και η πίεση στο εσωτερικό της μειώνεται. Όταν μια τέτοια στήλη πλησιάζει το νερό, το ρουφάει μέσα της, θέτοντας τεράστιο κίνδυνο για τα πλοία.


Κατάσταση 6. Στο ποδόσφαιρο, ένα από τα ύπουλα σουτ για έναν τερματοφύλακα είναι το λεγόμενο «στεγνό φύλλο». Ένα παρόμοιο κομμένο πλάνο - "σπληνός" - χρησιμοποιείται στο τένις και σε άλλα παιχνίδια με μπάλα. Είναι αρκετά δύσκολο για έναν άπειρο αθλητή να προβλέψει πού θα πάει ένα τέτοιο curveball. Εξηγήστε γιατί συμβαίνει αυτό. (Για όλα φταίει η δύναμη του Magnus, η οποία εκδηλώνεται κατά την κίνηση ενός συμμετρικού σώματος στριμμένου κατά τον άξονά του - μια μπάλα, ένας κύλινδρος κ.λπ.).


Δυστυχώς, ο μεγάλος Μπερνούλι δεν γνώριζε για το φαινόμενο της εκτίναξης. Ο εκτοξευτής, ταυτόχρονα με τον εγχυτήρα, εφευρέθηκε στη Γαλλία από τον μηχανικό Henri Giffard το 1858, έναν αιώνα μετά τη δημοσίευση της φόρμουλας του Bernoulli. Αποδεικνύεται ότι ο Μπερνούλι έκανε την ανακάλυψή του με βάση τις μετρήσεις μιας συσκευής μέτρησης, η οποία μέτρησε καθόλου την πίεση στη ροή, αλλά το άθροισμα της στατικής πίεσης και της έντασης εκτίναξης. Δεν υπάρχει μέρος σε μια ροή υγρού ή αερίου όπου δεν υπάρχει κίνηση του μέσου, απλώς σε ορισμένα σημεία είναι στρωτή και σε άλλα είναι τυρβώδης, αλλά η εκτόξευση εκδηλώνεται και στις δύο περιπτώσεις. Επομένως, θα ήταν πιο σωστό να ονομαστεί ένα τέτοιο "μανόμετρο" "εκτοξόμετρο". Η εκτίναξη είναι η διαδικασία αναρρόφησης ενός υγρού ή αερίου λόγω της κινητικής ενέργειας ενός πίδακα ενός άλλου υγρού ή αερίου.


Ο εκτοξευτής, που λειτουργεί σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα, χρησιμοποιεί την πρώτη ροή σωματιδίων με υψηλή κινητική ενέργεια για να μεταφέρει τη ροή των σωματιδίων του περιβάλλοντός του μέσου, πέφτοντας στην πρώτη ροή υπό την πίεση του ίδιου περιβάλλον, η οποία δημιουργεί μειωμένη πίεση στον χώρο που περιβάλλει τη διατομή της υψηλής ταχύτητας ροής του πρώτου μέσου, η οποία με τη σειρά της προκαλεί την αναρρόφηση σωματιδίων άλλου μέσου σε αυτόν τον χώρο. Και η στατική πίεση στην πρώτη ροή είναι σχεδόν πάντα μεγαλύτερη από ό,τι στον περιβάλλοντα χώρο.

Μήνυμα από τον διαχειριστή:

Παιδιά! Ποιος ήθελε εδώ και καιρό να μάθει αγγλικά;
Πηγαίνετε στο και πάρε δύο δωρεάν μαθήματα Στο σχολείο Στα Αγγλικά SkyEng!
Σπουδάζω εκεί ο ίδιος - είναι πολύ ωραίο. Υπάρχει πρόοδος.

Στην εφαρμογή μπορείτε να μάθετε λέξεις, να εκπαιδεύσετε την ακρόαση και την προφορά.

Δοκίμασε το. Δύο μαθήματα δωρεάν χρησιμοποιώντας τον σύνδεσμο μου!
Κάντε κλικ

Για μια σταθερή ροή (αέριο ή υγρό), το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας, η πίεση ανά μονάδα όγκου είναι σταθερό σε οποιοδήποτε σημείο αυτής της ροής.

Ο πρώτος και ο δεύτερος όρος στο Ο νόμος του Μπερνούλιέχουν την έννοια της κινητικής και δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου υγρού. Και ο τρίτος όρος στον τύπο μας είναι το έργο των δυνάμεων πίεσης και δεν αποθηκεύει καθόλου ενέργεια. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η διάσταση όλων των όρων είναι μονάδα ενέργειας ανά μονάδα όγκου υγρού ή αερίου.

Σταθερά στη δεξιά πλευρά Εξισώσεις Bernoulliονομάζεται ολική πίεση και εξαρτάται σε γενικές περιπτώσεις μόνο από τη γραμμή ροής.

Εάν έχετε έναν οριζόντιο σωλήνα, τότε η Εξίσωση του Bernoulli παίρνει διαφορετική μορφή. Εφόσον h=0, η δυναμική ενέργεια θα είναι μηδέν, και τότε παίρνουμε:

Ένα σημαντικό συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί από την εξίσωση Bernoulli. Όταν η διατομή της ροής μειώνεται, αυξάνεται η ταχύτητα κίνησης του αερίου ή του υγρού (αυξάνεται η δυναμική πίεση), αλλά ταυτόχρονα μειώνεται η στατική πίεση, συνεπάγεται ότι όταν η διατομή της ροής μειωθεί, λόγω στην αύξηση της ταχύτητας, δηλαδή στη δυναμική πίεση, η στατική πίεση πέφτει.

Ας μάθουμε πώς πετούν τα αεροπλάνα. Ο Daniel Bernoulli συνδύασε τους νόμους της μηχανικής του Νεύτωνα με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας και την συνθήκη της συνέχειας του ρευστού και μπόρεσε να εξαγάγει την εξίσωση (), σύμφωνα με την οποία η πίεση από ένα ρευστό μέσο (υγρό ή αέριο) μειώνεται με την αύξηση του ο ρυθμός ροής αυτού του μέσου. Στην περίπτωση ενός αεροπλάνου, ο αέρας ρέει γύρω από το φτερό του αεροπλάνου από κάτω πιο αργά παρά από πάνω. Και χάρη σε αυτό το αποτέλεσμα της αντίστροφης σχέσης μεταξύ πίεσης και ταχύτητας, η πίεση του αέρα από κάτω, κατευθυνόμενη προς τα πάνω, αποδεικνύεται μεγαλύτερη από την πίεση από πάνω, κατευθυνόμενη προς τα κάτω. Ως αποτέλεσμα, καθώς το αεροσκάφος κερδίζει ταχύτητα, η διαφορά πίεσης προς τα πάνω αυξάνεται και η δύναμη ανύψωσης που αυξάνεται καθώς επιταχύνεται δρα στα φτερά του αεροσκάφους. Μόλις αρχίσει να υπερβαίνει τη δύναμη της βαρυτικής έλξης του αεροπλάνου προς το έδαφος, το αεροπλάνο κυριολεκτικά πετάει στον ουρανό. Η ίδια δύναμη κρατά το αεροπλάνο σε οριζόντια πτήση: σε ταχύτητα πλεύσης και ύψος, η δύναμη ανύψωσης εξισορροπεί τη δύναμη της βαρύτητας.

Μεγάλο μέρος του κόσμου γύρω μας υπακούει στους νόμους της φυσικής. Αυτό δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη, γιατί ο όρος «φυσική» προέρχεται από την ελληνική λέξη, που μεταφράζεται ως «φύση». Και ένας από αυτούς τους νόμους που λειτουργούν συνεχώς γύρω μας είναι ο νόμος του Bernoulli.

Ο ίδιος ο νόμος δρα ως συνέπεια της αρχής της διατήρησης της ενέργειας. Αυτή η ερμηνεία μας επιτρέπει να δώσουμε μια νέα κατανόηση σε πολλά παλαιότερα γνωστά φαινόμενα. Για να κατανοήσουμε την ουσία του νόμου, αρκεί να θυμηθούμε απλώς ένα ρέον ρεύμα. Εδώ κυλάει, τρέχει ανάμεσα σε πέτρες, κλαδιά και ρίζες. Σε άλλα σημεία γίνεται πιο φαρδύ, σε άλλα είναι πιο στενό. Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι όπου το ρέμα είναι ευρύτερο, το νερό ρέει πιο αργά, και όπου είναι στενότερο, το νερό ρέει πιο γρήγορα. Αυτή είναι η αρχή του Bernoulli, η οποία καθιερώνει τη σχέση μεταξύ της πίεσης σε μια ροή ρευστού και της ταχύτητας κίνησης μιας τέτοιας ροής.

Είναι αλήθεια ότι τα εγχειρίδια φυσικής το διατυπώνουν κάπως διαφορετικά, και σχετίζεται με την υδροδυναμική και όχι με ένα ρέον ρεύμα. Στο αρκετά δημοφιλές Bernoulli, μπορεί να δηλωθεί με αυτόν τον τρόπο: η πίεση ενός υγρού που ρέει σε έναν σωλήνα είναι υψηλότερη όπου η ταχύτητά του είναι χαμηλότερη, και αντίστροφα: όπου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, η πίεση είναι χαμηλότερη.

Για να το επιβεβαιώσετε αυτό, αρκεί να πραγματοποιήσετε ένα απλό πείραμα. Πρέπει να πάρετε ένα φύλλο χαρτιού και να φυσήξετε κατά μήκος του. Το χαρτί θα ανέβει προς τα πάνω, προς την κατεύθυνση κατά την οποία περνά η ροή του αέρα.

Όλα είναι πολύ απλά. Όπως λέει ο νόμος του Bernoulli, όπου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, η πίεση είναι χαμηλότερη. Αυτό σημαίνει ότι κατά μήκος της επιφάνειας του φύλλου, όπου υπάρχει λιγότερη ροή αέρα, και στο κάτω μέρος του φύλλου, όπου δεν υπάρχει ροή αέρα, η πίεση είναι μεγαλύτερη. Έτσι το φύλλο ανεβαίνει προς την κατεύθυνση που η πίεση είναι μικρότερη, δηλ. όπου περνά η ροή του αέρα.

Το περιγραφόμενο αποτέλεσμα χρησιμοποιείται ευρέως στην καθημερινή ζωή και στην τεχνολογία. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα πιστόλι ψεκασμού ή αερογράφο. Χρησιμοποιούν δύο σωλήνες, ο ένας με μεγαλύτερη διατομή και ο άλλος με μικρότερη διατομή. Αυτό που έχει μεγαλύτερη διάμετρο στερεώνεται στο δοχείο του χρώματος, ενώ αυτό με μικρότερη διατομή περνά αέρα με μεγάλη ταχύτητα. Λόγω της διαφοράς πίεσης που προκύπτει, το χρώμα εισέρχεται στη ροή του αέρα και μεταφέρεται από αυτή τη ροή στην επιφάνεια που πρόκειται να βαφτεί.

Μια αντλία μπορεί να λειτουργήσει με την ίδια αρχή. Στην πραγματικότητα, αυτό που περιγράφεται παραπάνω είναι μια αντλία.

Δεν είναι λιγότερο ενδιαφέρον ο νόμος του Μπερνούλι όταν εφαρμόζεται σε βάλτους αποστράγγισης. Όπως πάντα, όλα είναι πολύ απλά. Ο υγρότοπος συνδέεται με τάφρους με το ποτάμι. Υπάρχει ρεύμα στο ποτάμι, αλλά όχι στο βάλτο. Και πάλι, προκύπτει μια διαφορά πίεσης και το ποτάμι αρχίζει να ρουφάει νερό από τον υγρότοπο. Υπάρχει μια καθαρή επίδειξη του έργου του νόμου της φυσικής.

Ο αντίκτυπος αυτής της επίδρασης μπορεί επίσης να είναι καταστροφικός. Για παράδειγμα, αν δύο πλοία περάσουν το ένα κοντά στο άλλο, η ταχύτητα του νερού μεταξύ τους θα είναι μεγαλύτερη από την άλλη πλευρά. Ως αποτέλεσμα, θα προκύψει μια πρόσθετη δύναμη που θα τραβήξει τα πλοία το ένα προς το άλλο και η καταστροφή θα είναι αναπόφευκτη.

Όλα όσα έχουν ειπωθεί μπορούν να παρουσιαστούν με τη μορφή τύπων, αλλά δεν είναι καθόλου απαραίτητο να γράψουμε τις εξισώσεις του Bernoulli για να κατανοήσουμε τη φυσική ουσία αυτού του φαινομένου.

Για καλύτερη κατανόηση, θα δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα χρήσης του περιγραφόμενου νόμου. Όλοι φαντάζονται έναν πύραυλο. Σε έναν ειδικό θάλαμο, καίγεται καύσιμο και σχηματίζεται ένα ρεύμα πίδακα. Για να το επιταχύνετε, χρησιμοποιείται ένα ειδικά στενωμένο τμήμα - το ακροφύσιο. Εδώ συμβαίνει η επιτάχυνση του ρεύματος αερίου και, ως αποτέλεσμα, η ανάπτυξη

Υπάρχουν πολλές περισσότερες διαφορετικές επιλογές για τη χρήση του νόμου του Bernoulli στην τεχνολογία, αλλά είναι απλά αδύνατο να εξεταστούν όλες στο πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου.

Έτσι, διατυπώθηκε ο νόμος του Bernoulli, δόθηκε μια εξήγηση της φυσικής ουσίας των διεργασιών που λαμβάνουν χώρα και χρησιμοποιήθηκαν παραδείγματα από τη φύση και την τεχνολογία για να δείξουν πιθανές επιλογέςεφαρμογή του νόμου αυτού.

Ας εξετάσουμε τη στρωτή κίνηση ενός ιδανικού (δηλαδή, χωρίς εσωτερική τριβή) ασυμπίεστου ρευστού σε έναν καμπύλο σωλήνα διαφορετικών διαμέτρων. Γνωρίζουμε ήδη ότι από την εξίσωση συνέχειας ρευστού S⋅v = const. Ποια άλλα συμπεράσματα μπορούν να εξαχθούν;

Ας εξετάσουμε έναν σωλήνα διαφορετικών τμημάτων:

Ας πάρουμε μια φέτα υγρό σε ένα σωληνάριο. Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει ότι όσο μειώνεται η διατομή του σωλήνα, αυξάνεται ο ρυθμός ροής του ρευστού. Εάν η ταχύτητα αυξάνεται, τότε σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα δρα η δύναμη F = m⋅a. Αυτή η δύναμη προκύπτει λόγω της διαφοράς πίεσης μεταξύ των τοιχωμάτων της διατομής της ροής του ρευστού. Αυτό σημαίνει ότι η πίεση στο πίσω μέρος είναι μεγαλύτερη από ότι στο μπροστινό μέρος του τμήματος. Αυτό το φαινόμενο περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Daniel Bernoulli.

Ο νόμος του Μπερνούλι

Σε εκείνες τις περιοχές της ροής του ρευστού όπου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, η πίεση είναι χαμηλότερη και αντίστροφα.

Όπως κάθε σώμα, ένα υγρό λειτουργεί όταν κινείται, δηλ. απελευθερώνει ή απορροφά ενέργεια. Ο νόμος διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι η ενέργεια ενός σώματος δεν εξαφανίζεται ούτε εμφανίζεται ποτέ ξανά, μπορεί μόνο να μετατραπεί από τον έναν τύπο στον άλλο. Αυτός ο νόμος είναι παγκόσμιος. Έχει τη δική του διατύπωση σε διάφορους κλάδους της φυσικής.

Ας δούμε τη δουλειά που κάνει το ρευστό:

  • Εργασία πίεσης ρευστού (E P). Η πίεση του υγρού εκφράζεται στο γεγονός ότι το υγρό πίσω πιέζει το υγρό μπροστά.
  • Εργαστείτε για να μετακινήσετε το υγρό σε ύψος h (E h). Όταν το υγρό χαμηλώνει, αυτό το έργο είναι αρνητικό, όταν ανεβαίνει, είναι θετικό.
  • Εργαστείτε για να προσδώσετε ταχύτητα στο ρευστό (E v). Όταν ο σωλήνας στενεύει, το έργο είναι θετικό, όταν διαστέλλεται, είναι αρνητικό. Αυτό ονομάζεται επίσης κινητική ενέργεια ή δυναμική πίεση.

Δεδομένου ότι εξετάζουμε ένα ιδανικό ρευστό, δεν υπάρχει τριβή, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχει εργασία από τη δύναμη τριβής. Αλλά σε πραγματικό υγρό υπάρχει.

Σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας:

E p + E h + E v = συνεχ

Ας προσδιορίσουμε τώρα τι ισοδυναμεί με καθεμία από αυτές τις εργασίες.

Εργασία πίεσης ρευστού (E P)

Ο τύπος πίεσης είναι: P = F/S, F = P⋅S. Το έργο της δύναμης που δημιουργεί πίεση:

E P = P⋅S⋅ΔL = P⋅V

Εργαστείτε για να μετακινήσετε το υγρό σε ύψος h (E h)

Το έργο που γίνεται για να μετακινηθεί ένα ρευστό σε ύψος h είναι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας που ισούται με:

E h = m⋅g⋅h = V⋅ρ⋅g⋅h

Εργαστείτε για να προσδώσετε ταχύτητα στο ρευστό (E v)

Το έργο για τη μετάδοση ταχύτητας σε ένα ρευστό είναι η κινητική ενέργεια, η οποία εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και την ταχύτητά του και είναι ίση με:

E k = m⋅v 2 /2 = V⋅ρ⋅v 2 /2

Λαμβάνουμε τον τύπο διατήρησης της ενέργειας του ρευστού:

P⋅V + V⋅ρ⋅g⋅h + V⋅ρ⋅v 2 /2 = const

Ας μειώσουμε κάθε όρο κατά V. Παίρνουμε την εξίσωση:

Ο τύπος του Bernoulli

P + ρ⋅g⋅h + ρ⋅v 2 /2 = σταθερ

Ας διαιρέσουμε κάθε όρο της τελευταίας εξίσωσης ρ⋅g, παίρνουμε

h+ Π  +  v 2 = συνθ
ρ⋅g 2 γρ

όπου h είναι η γεωμετρική κεφαλή, m;
P / ρ∙g - πιεζομετρική πίεση, m;
v 2 / 2g - κεφαλή ταχύτητας, m.

Η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται εξίσωση Bernoulli για ένα στοιχειώδες ρεύμα ενός ιδανικού ρευστού. Αποκτήθηκε από τον Daniel Bernoulli το 1738.

Το άθροισμα των τριών όρων της εξίσωσης ονομάζεται ολική πίεση.

Ή μπορούμε να το πούμε διαφορετικά - για ένα ιδανικό κινούμενο ρευστό, το άθροισμα τριών πιέσεων: γεωμετρική, πιεζομετρική και ταχύτητα είναι μια σταθερή τιμή κατά μήκος του ρεύματος.