Μετασχηματισμοί τυχαίων μεταβλητών. Πιθανότητες και Στατιστικά - Βασικά Γεγονότα Επικεντρωμένες και Κανονοποιημένες Τυχαίες Μεταβλητές

Μετασχηματισμοί τυχαίων μεταβλητών

Για κάθε τυχαία μεταβλητή Χκαθορίστε τρεις ακόμη ποσότητες - κεντραρισμένες Υ, κανονικοποιημένη Vκαι δεδομένο U. Κεντροποιημένη τυχαία μεταβλητή Υείναι η διαφορά μεταξύ μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής Χκαι τη μαθηματική του προσδοκία M(X),εκείνοι. Υ = X – M(X).Προσδοκία μιας κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής Υισούται με 0, και η διακύμανση είναι η διακύμανση μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής: Μ(Υ) = 0, ρε(Υ) = ρε(Χ). Λειτουργία διανομής F Y(Χ) κεντραρισμένη τυχαία μεταβλητή Υπου σχετίζονται με τη συνάρτηση διανομής φά(Χ) αρχική τυχαία μεταβλητή Χαναλογία:

F Y(Χ) = φά(Χ + Μ(Χ)).

Οι πυκνότητες αυτών των τυχαίων μεταβλητών έχουν την ακόλουθη ισότητα:

στ Υ(Χ) = φά(Χ + Μ(Χ)).

Κανονικοποιημένη τυχαία μεταβλητή Vείναι ο λόγος μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής Χστην τυπική του απόκλιση, δηλ. . Προσδοκία και διακύμανση μιας κανονικοποιημένης τυχαίας μεταβλητής Vεκφράζεται μέσα από χαρακτηριστικά ΧΕτσι:

,

Οπου v– συντελεστής διακύμανσης της αρχικής τυχαίας μεταβλητής Χ. Για τη συνάρτηση διανομής F V(Χ) και πυκνότητα f V(Χ) κανονικοποιημένη τυχαία μεταβλητή Vέχουμε:

Οπου φά(Χ) – συνάρτηση κατανομής της αρχικής τυχαίας μεταβλητής Χ, ΕΝΑ φά(Χ) – η πυκνότητα πιθανότητας του.

Μειωμένη τυχαία μεταβλητή Uείναι μια κεντραρισμένη και κανονικοποιημένη τυχαία μεταβλητή:

.

Για τη δεδομένη τυχαία μεταβλητή

Οι κανονικοποιημένες, κεντραρισμένες και μειωμένες τυχαίες μεταβλητές χρησιμοποιούνται συνεχώς τόσο σε θεωρητικές μελέτες όσο και σε αλγόριθμους, προϊόντα λογισμικού, κανονιστική, τεχνική και εκπαιδευτική τεκμηρίωση. Ειδικότερα, γιατί οι ισότητες καθιστούν δυνατή την απλοποίηση της αιτιολόγησης των μεθόδων, τη διατύπωση θεωρημάτων και τους τύπους υπολογισμού.

Χρησιμοποιούνται μετασχηματισμοί τυχαίων μεταβλητών και γενικότερων. Οπότε αν Υ = τσεκούρι + σι, Οπου έναΚαι σι– μερικοί αριθμοί, λοιπόν

Παράδειγμα 7.Αν τότε Υείναι η μειωμένη τυχαία μεταβλητή και οι τύποι (8) μετατρέπονται σε τύπους (7).

Με κάθε τυχαία μεταβλητή Χμπορείτε να συσχετίσετε πολλές τυχαίες μεταβλητές Υ, που δίνεται από τον τύπο Υ = τσεκούρι + σισε διαφορετικά ένα> 0 και σι. Αυτό το σύνολο ονομάζεται οικογένεια μετατόπισης κλίμακας, που δημιουργείται από την τυχαία μεταβλητή Χ. Λειτουργίες διανομής F Y(Χ) αποτελούν μια οικογένεια διανομών μετατόπισης κλίμακας που δημιουργείται από τη συνάρτηση διανομής φά(Χ). Αντί Υ = τσεκούρι + σιχρησιμοποιούν συχνά εγγραφή

Αριθμός Μεονομάζεται παράμετρος shift και αριθμός ρε- παράμετρος κλίμακας. Ο τύπος (9) δείχνει ότι Χ– το αποτέλεσμα της μέτρησης μιας ορισμένης ποσότητας – μπαίνει U– το αποτέλεσμα της μέτρησης της ίδιας ποσότητας εάν η αρχή της μέτρησης μετακινηθεί στο σημείο Μεκαι, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τη νέα μονάδα μέτρησης, στο ρεφορές μεγαλύτερο από το παλιό.

Για την οικογένεια μετατόπισης κλίμακας (9), η κατανομή του X ονομάζεται τυπική. Σε πιθανολογικές στατιστικές μεθόδους λήψης αποφάσεων και σε άλλες εφαρμοσμένες έρευνες, χρησιμοποιούνται η τυπική κανονική κατανομή, η τυπική κατανομή Weibull-Gnedenko, η τυπική κατανομή γάμμα κ.λπ. (βλ. παρακάτω).

Χρησιμοποιούνται επίσης άλλοι μετασχηματισμοί τυχαίων μεταβλητών. Για παράδειγμα, για μια θετική τυχαία μεταβλητή Χεξετάζουν Υ= κούτσουρο Χ, όπου lg Χ– δεκαδικός λογάριθμος ενός αριθμού Χ. Αλυσίδα ισοτήτων

F Y (x) = P( lg Χ< x) = P(X < 10x) = F( 10Χ)

συνδέει συναρτήσεις διανομής ΧΚαι Υ.

Κεντροποιημένη τυχαία μεταβλητή που αντιστοιχεί σε SVΧείναι η διαφορά μεταξύ της τυχαίας μεταβλητής Χ και τη μαθηματική του προσδοκία

Η τυχαία μεταβλητή καλείται κανονικοποιημένη, αν η διακύμανσή της είναι 1. Καλείται μια κεντραρισμένη και κανονικοποιημένη τυχαία μεταβλητή πρότυπο.

Τυπική τυχαία μεταβλητή Ζ, που αντιστοιχεί στην τυχαία μεταβλητή Χβρίσκεται με τον τύπο:

(1.24)

1.2.5. Άλλα αριθμητικά χαρακτηριστικά

Διακριτή λειτουργία SV Χορίζεται ως μια τέτοια πιθανή τιμή Χ Μ, για το οποίο

Συνεχής μόδα SVΧονομάζεται πραγματικός αριθμός Μ 0 (Χ), ορίζεται ως το σημείο της μέγιστης κατανομής πυκνότητας πιθανότητας φά(Χ).

Έτσι, η μόδα SV Χείναι η πιο πιθανή τιμή του εάν μια τέτοια τιμή είναι μοναδική. Μια λειτουργία μπορεί να μην υπάρχει, να έχει μία μόνο τιμή (μονοτροπική κατανομή) ή να έχει πολλαπλές τιμές (πολυτροπική κατανομή).

Διάμεσος συνεχούς SVΧονομάζεται πραγματικός αριθμός Μ ρε (Χ), ικανοποιώντας την προϋπόθεση

Δεδομένου ότι αυτή η εξίσωση μπορεί να έχει πολλές ρίζες, η διάμεσος καθορίζεται, γενικά μιλώντας, διφορούμενα.

Η αρχική στιγμήΜ-η τάξη SVΧ (αν υπάρχει) λέγεται πραγματικός αριθμός Μ, καθορίζεται από τον τύπο

(1.27)

Κεντρική στιγμή της μθ τάξης SVΧ(αν υπάρχει) ονομάζεται αριθμός Μ, καθορίζεται από τον τύπο

(1.28)

Προσδοκία SV Χείναι η πρώτη αρχική στιγμή του και η διασπορά είναι η δεύτερη κεντρική του στιγμή.

Από τις στιγμές των υψηλότερων τάξεων, ιδιαίτερη σημασία έχουν οι κεντρικές στιγμές της 3ης και 4ης τάξης.

Ο συντελεστής ασυμμετρίας ("λοξότητα") Α(Χ) ονομάζεται ποσότητα

Ο συντελεστής κύρτωσης ("οξύτητα") E(Χ) ΒΑΧονομάζεται ποσότητα

1.3. Μερικοί νόμοι κατανομής διακριτών τυχαίων μεταβλητών

1.3.1. Γεωμετρική κατανομή

Διακριτό SV Χέχει γεωμετρική κατανομή αν οι πιθανές τιμές της είναι 0, 1, 2, …, Μ, ... αντιστοιχούν στις πιθανότητες που υπολογίζονται από τον τύπο

όπου 0< Π< 1,q= 1 –Π.

Στην πράξη, η γεωμετρική κατανομή συμβαίνει όταν γίνονται διάφορες ανεξάρτητες προσπάθειες για να επιτευχθεί κάποιο αποτέλεσμα. ΕΝΑκαι την πιθανότητα να συμβεί το συμβάν ΕΝΑσε κάθε προσπάθεια Π(ΕΝΑ) =Π. ΒΑ Χ– ο αριθμός των άχρηστων προσπαθειών (πριν από το πρώτο πείραμα στο οποίο εμφανίζεται το συμβάν ΕΝΑ), έχει μια γεωμετρική κατανομή με μια σειρά διανομής:

και αριθμητικά χαρακτηριστικά:

(1.30)

1.3.2. Υπεργεωμετρική κατανομή

Διακριτό SV Χμε πιθανές τιμές 0, 1,…, Μ, …,Μέχει υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους Ν,Μ,n, Αν

(1.31)

Οπου Μ≤Ν,Μ ≤n,n≤Ν,Μ,n,Ν,Μ- ακέραιοι αριθμοί.

Μια υπεργεωμετρική κατανομή εμφανίζεται σε περιπτώσεις όπως οι εξής: υπάρχει Ναντικείμενα, εκ των οποίων Μέχουν ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό. Από διαθέσιμα Ντα αντικείμενα επιλέγονται τυχαία nαντικείμενα.

ΒΑ Χ – ο αριθμός των αντικειμένων με το καθορισμένο χαρακτηριστικό μεταξύ αυτών που επιλέγονται κατανέμεται σύμφωνα με τον υπεργεωμετρικό νόμο.

Η υπεργεωμετρική κατανομή χρησιμοποιείται, ειδικότερα, κατά την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με τον ποιοτικό έλεγχο του προϊόντος.

Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής που έχει υπεργεωμετρική κατανομή είναι ίση με:

(1.32)

Η διαφορά μεταξύ μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας της ονομάζεται απόκλιση ή κεντραρισμένη τυχαία μεταβλητή:

Η σειρά διανομής μιας κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:

Ιδιότητεςκεντραρισμένη τυχαία μεταβλητή:

1. Η μαθηματική προσδοκία της απόκλισης είναι 0:

2. Διακύμανση απόκλισης τυχαίας μεταβλητής Χαπό τη μαθηματική του προσδοκία ισούται με τη διακύμανση της ίδιας της τυχαίας μεταβλητής Χ:

Με άλλα λόγια, η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και η διακύμανση της απόκλισής της είναι ίσες.

4.2. Εάν η απόκλιση Χ M(X)διαιρέστε με τυπική απόκλιση  (Χ), τότε λαμβάνουμε μια αδιάστατη κεντραρισμένη τυχαία μεταβλητή, η οποία ονομάζεται τυπική (κανονικοποιημένη) τυχαία μεταβλητή:

Ιδιότητεςτυπική τυχαία μεταβλητή:

Η μαθηματική προσδοκία μιας τυπικής τυχαίας μεταβλητής είναι μηδέν: Μ(Ζ) =0.

Η διακύμανση μιας τυπικής τυχαίας μεταβλητής είναι 1: ρε(Ζ) =1.

ΚΑΘΗΚΟΝΤΑ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΛΥΣΗ

Στην κλήρωση για 100 εισιτήρια κληρώνονται δύο πράγματα, το κόστος των οποίων είναι 210 και 60 USD. Να συντάξει νόμο για τη διανομή των κερδών για άτομο που έχει: α) 1 δελτίο, β) 2 δελτία. Βρείτε αριθμητικά χαρακτηριστικά.

Δύο σκοπευτές πυροβολούν μία φορά σε έναν στόχο. Τυχαία τιμή Χ– ο αριθμός των πόντων που σημειώθηκαν σε ένα σουτ από τον πρώτο σουτ – έχει νόμο κατανομής:

Ζ– το άθροισμα των πόντων που σημείωσαν και οι δύο σουτέρ. Προσδιορίστε αριθμητικά χαρακτηριστικά.

Δύο σκοπευτές πυροβολούν στον στόχο τους, εκτοξεύοντας έναν πυροβολισμό ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο. Η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο για τον πρώτο σκοπευτή είναι 0,7, για τον δεύτερο - 0,8. Τυχαία τιμή Χ 1 – αριθμός χτυπημάτων από τον πρώτο σουτέρ, Χ 2 - αριθμός χτυπημάτων από τον δεύτερο σκοπευτή. Βρείτε τον νόμο κατανομής: α) τον συνολικό αριθμό των επισκέψεων. β) τυχαία μεταβλητή Ζ=3Χ 1  2Χ 2 . Προσδιορίστε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του συνολικού αριθμού επισκέψεων. Ελέγξτε την εκπλήρωση των ιδιοτήτων της μαθηματικής προσδοκίας και διασποράς: Μ(3 Χ  2 Υ)=3 Μ(Χ)  2 Μ(Υ), ρε(3 Χ  2 Υ)=9 ρε(Χ)+4 ρε(Υ).

Τυχαία τιμή Χ– έσοδα της εταιρείας – έχει νόμο περί διανομής:

Βρείτε τον νόμο κατανομής για μια τυχαία μεταβλητή Ζ- τα κέρδη της εταιρείας. Προσδιορίστε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του.

Τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Uανεξάρτητα και έχουν τον ίδιο νόμο διανομής:

Έχουν οι τυχαίες μεταβλητές τους ίδιους νόμους κατανομής; ΧΚαι Χ + U ?

Να αποδείξετε ότι η μαθηματική προσδοκία μιας τυπικής τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με μηδέν και η διακύμανση είναι ίση με 1.

έχει διακύμανση ίση με 1 και μαθηματική προσδοκία ίση με 0.

Κανονικοποιημένη τυχαία μεταβλητή V είναι ο λόγος μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής X προς την τυπική της απόκλιση σ

Τυπική απόκλισηείναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης

Η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση της κανονικοποιημένης τυχαίας μεταβλητής V εκφράζονται μέσω των χαρακτηριστικών του X ως εξής:

MV= M(X)σ=1v, DV= 1,

όπου v είναι ο συντελεστής διακύμανσης της αρχικής τυχαίας μεταβλητής X.

Για τη συνάρτηση κατανομής F V (x) και την πυκνότητα κατανομής f V (x) έχουμε:

F V (x) = F(σx), f V (x) = σf(σx),

Οπου F(x)– συνάρτηση κατανομής της αρχικής τυχαίας μεταβλητής Χ, ΕΝΑ f(x)– η πυκνότητα πιθανότητας του.

Συντελεστής συσχέτισης.

Συντελεστής συσχέτισηςείναι ένας δείκτης της φύσης της αμοιβαίας στοχαστικής επίδρασης των αλλαγών σε δύο τυχαίες μεταβλητές. Ο συντελεστής συσχέτισης μπορεί να πάρει τιμές από -1 έως +1. Εάν η απόλυτη τιμή είναι πιο κοντά στο 1, τότε αυτό σημαίνει την παρουσία ισχυρής σύνδεσης, και εάν είναι πιο κοντά στο 0, η σύνδεση απουσιάζει ή είναι σημαντικά μη γραμμική. Όταν ο συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος σε συντελεστή με ένα, μιλάμε για μια συναρτησιακή σχέση (δηλαδή μια γραμμική εξάρτηση), δηλαδή, οι αλλαγές σε δύο μεγέθη μπορούν να περιγραφούν από μια γραμμική συνάρτηση.

Η διαδικασία ονομάζεται στοχαστική, εάν περιγράφεται από τυχαίες μεταβλητές των οποίων η τιμή αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.

Συντελεστής συσχέτισης Pearson.

Για τα μετρικά μεγέθη, χρησιμοποιείται ο συντελεστής συσχέτισης Pearson, ο ακριβής τύπος του οποίου προήλθε από τον Francis Hamilton. Έστω X και Y δύο τυχαίες μεταβλητές που ορίζονται στον ίδιο χώρο πιθανοτήτων. Τότε ο συντελεστής συσχέτισής τους δίνεται από τον τύπο:

Οι ανισότητες του Chebyshev.

Η ανισότητα του Markov.

Η ανισότητα του Markovστη θεωρία πιθανοτήτων, δίνει μια εκτίμηση της πιθανότητας μια τυχαία μεταβλητή να υπερβεί μια σταθερή θετική σταθερά σε απόλυτη τιμή, ως προς τη μαθηματική της προσδοκία. Η εκτίμηση που προκύπτει είναι συνήθως αρκετά πρόχειρη. Ωστόσο, επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει μια συγκεκριμένη ιδέα για τη διανομή όταν η τελευταία δεν είναι ρητά γνωστή.

Ας οριστεί μια τυχαία μεταβλητή σε ένα χώρο πιθανοτήτων και η μαθηματική προσδοκία της είναι πεπερασμένη. Επειτα

,

Οπου ένα > 0.

Ανισότητα Chebyshev-Bienieme.

Αν η Ε< ∞ (E – математическое ожидание), то для любого , справедливо

Νόμος των μεγάλων αριθμών.

Νόμος των Μεγάλων Αριθμώνδηλώνει ότι ο εμπειρικός μέσος όρος (αριθμητικός μέσος όρος) ενός αρκετά μεγάλου πεπερασμένου δείγματος από μια σταθερή κατανομή είναι κοντά στον θεωρητικό μέσο όρο (μαθηματική προσδοκία) αυτής της κατανομής. Ανάλογα με τον τύπο της σύγκλισης, γίνεται διάκριση μεταξύ του ασθενούς νόμου των μεγάλων αριθμών, όταν συμβαίνει σύγκλιση στην πιθανότητα, και του ισχυρού νόμου των μεγάλων αριθμών, όταν η σύγκλιση εμφανίζεται σχεδόν παντού.

Θα υπάρχει πάντα ένας αριθμός δοκιμών στις οποίες, με οποιαδήποτε δεδομένη πιθανότητα εκ των προτέρων, η συχνότητα εμφάνισης κάποιου γεγονότος θα διαφέρει όσο το δυνατόν λιγότερο από την πιθανότητα του. Η γενική έννοια του νόμου των μεγάλων αριθμών είναι ότι η συνδυασμένη δράση ενός μεγάλου αριθμού τυχαίων παραγόντων οδηγεί σε ένα αποτέλεσμα που είναι σχεδόν ανεξάρτητο από την τύχη.

Ο αδύναμος νόμος των μεγάλων αριθμών.

Τότε Sn P M(X).

Ενισχυμένος νόμος των μεγάλων αριθμών.

Τότε το Sn→M(X) είναι σχεδόν βέβαιο.

Εκτός από τα χαρακτηριστικά θέσης - μέσες, τυπικές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής - χρησιμοποιείται ένας αριθμός χαρακτηριστικών, καθένα από τα οποία περιγράφει τη μία ή την άλλη ιδιότητα της κατανομής. Ως τέτοια χαρακτηριστικά χρησιμοποιούνται συχνότερα οι λεγόμενες στιγμές.

Η έννοια της ροπής χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανική για να περιγράψει την κατανομή των μαζών (στατικές ροπές, ροπές αδράνειας κ.λπ.). Ακριβώς οι ίδιες τεχνικές χρησιμοποιούνται στη θεωρία πιθανοτήτων για να περιγράψουν τις βασικές ιδιότητες της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές, δύο τύποι ροπών χρησιμοποιούνται στην πράξη: αρχική και κεντρική.

Η αρχική στιγμή της ης τάξης μιας ασυνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ένα άθροισμα της μορφής:

. (5.7.1)

Προφανώς, αυτός ο ορισμός συμπίπτει με τον ορισμό της αρχικής ροπής της τάξης s στη μηχανική, εάν οι μάζες συγκεντρώνονται στον άξονα της τετμημένης σε σημεία.

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή Χ, η αρχική ροπή ης τάξης ονομάζεται ολοκλήρωμα

. (5.7.2)

Είναι εύκολο να δούμε ότι το κύριο χαρακτηριστικό της θέσης που εισήχθη στο προηγούμενο n° - η μαθηματική προσδοκία - δεν είναι τίποτα άλλο από την πρώτη αρχική στιγμή της τυχαίας μεταβλητής.

Χρησιμοποιώντας το μαθηματικό πρόσημο προσδοκίας, μπορείτε να συνδυάσετε δύο τύπους (5.7.1) και (5.7.2) σε έναν. Πράγματι, οι τύποι (5.7.1) και (5.7.2) είναι εντελώς παρόμοιοι στη δομή με τους τύπους (5.6.1) και (5.6.2), με τη διαφορά ότι αντί για και υπάρχουν, αντίστοιχα, και . Επομένως, μπορούμε να γράψουμε έναν γενικό ορισμό της αρχικής ροπής της ης τάξης, που ισχύει τόσο για ασυνεχή όσο και για συνεχή μεγέθη:

, (5.7.3)

εκείνοι. Η αρχική στιγμή της ης τάξης μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία του ου βαθμού αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Πριν ορίσουμε την κεντρική στιγμή, εισάγουμε μια νέα έννοια της «κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής».

Ας υπάρχει μια τυχαία μεταβλητή με μαθηματική προσδοκία. Μια κεντραρισμένη τυχαία μεταβλητή που αντιστοιχεί στην τιμή είναι η απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Στο μέλλον, θα συμφωνήσουμε να συμβολίζουμε παντού την κεντραρισμένη τυχαία μεταβλητή που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη τυχαία μεταβλητή με το ίδιο γράμμα με ένα σύμβολο στην κορυφή.

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η μαθηματική προσδοκία μιας κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με μηδέν. Πράγματι, για μια ασυνεχή ποσότητα

ομοίως για μια συνεχή ποσότητα.

Το κεντράρισμα μιας τυχαίας μεταβλητής είναι προφανώς ισοδύναμο με τη μετακίνηση της αρχής των συντεταγμένων στο μεσαίο, «κεντρικό» σημείο, η τετμημένη της οποίας είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία.

Οι ροπές μιας κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής ονομάζονται κεντρικές ροπές. Είναι ανάλογες με στιγμές για το κέντρο βάρους στη μηχανική.

Έτσι, η κεντρική ροπή της τάξης s μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της ης δύναμης της αντίστοιχης κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής:

, (5.7.6)

και για συνεχές – από το ολοκλήρωμα

. (5.7.8)

Στη συνέχεια, σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει αμφιβολία σε ποια τυχαία μεταβλητή ανήκει μια δεδομένη στιγμή, για συντομία θα γράψουμε απλά και αντί για και .

Προφανώς, για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή η κεντρική ροπή της πρώτης τάξης είναι ίση με μηδέν:

, (5.7.9)

αφού η μαθηματική προσδοκία μιας κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής είναι πάντα ίση με μηδέν.

Ας εξάγουμε σχέσεις που συνδέουν τις κεντρικές και τις αρχικές στιγμές διαφορετικών τάξεων. Θα πραγματοποιήσουμε το συμπέρασμα μόνο για ασυνεχείς ποσότητες. Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι ακριβώς οι ίδιες σχέσεις ισχύουν για συνεχείς ποσότητες αν αντικαταστήσουμε τα πεπερασμένα αθροίσματα με ολοκληρώματα και τις πιθανότητες με στοιχεία πιθανότητας.

Ας εξετάσουμε το δεύτερο κεντρικό σημείο:

Ομοίως για την τρίτη κεντρική στιγμή λαμβάνουμε:

Εκφράσεις για κ.λπ. μπορεί να ληφθεί με παρόμοιο τρόπο.

Έτσι, για τις κεντρικές ροπές οποιασδήποτε τυχαίας μεταβλητής ισχύουν οι τύποι:

(5.7.10)

Σε γενικές γραμμές, οι στιγμές μπορούν να θεωρηθούν όχι μόνο σε σχέση με την αρχή (αρχικές στιγμές) ή μαθηματική προσδοκία (κεντρικές στιγμές), αλλά και σε σχέση με ένα αυθαίρετο σημείο:

. (5.7.11)

Ωστόσο, οι κεντρικές στιγμές έχουν ένα πλεονέκτημα έναντι όλων των άλλων: η πρώτη κεντρική στιγμή, όπως είδαμε, είναι πάντα ίση με μηδέν, και η επόμενη, η δεύτερη κεντρική στιγμή, με αυτό το σύστημα αναφοράς έχει μια ελάχιστη τιμή. Ας το αποδείξουμε. Για μια ασυνεχή τυχαία μεταβλητή at, ο τύπος (5.7.11) έχει τη μορφή:

. (5.7.12)

Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση:

Προφανώς, αυτή η τιμή φτάνει στο ελάχιστο όταν , δηλ. όταν λαμβάνεται η στιγμή σε σχέση με το σημείο.

Από όλες τις στιγμές, η πρώτη αρχική στιγμή (μαθηματική προσδοκία) και η δεύτερη κεντρική στιγμή χρησιμοποιούνται συχνότερα ως χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.

Η δεύτερη κεντρική ροπή ονομάζεται διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής. Λόγω της εξαιρετικής σημασίας αυτού του χαρακτηριστικού, μεταξύ άλλων σημείων, εισάγουμε μια ειδική ονομασία για αυτό:

Σύμφωνα με τον ορισμό της κεντρικής στιγμής

, (5.7.13)

εκείνοι. η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της αντίστοιχης κεντραρισμένης μεταβλητής.

Αντικαθιστώντας την ποσότητα στην έκφραση (5.7.13) με την έκφρασή της, έχουμε επίσης:

. (5.7.14)

Για να υπολογίσετε απευθείας τη διακύμανση, χρησιμοποιήστε τους ακόλουθους τύπους:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Αντίστοιχα για ασυνεχείς και συνεχείς ποσότητες.

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα χαρακτηριστικό της διασποράς, η διασπορά των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της. Η ίδια η λέξη «διασπορά» σημαίνει «διασπορά».

Αν στραφούμε στη μηχανική ερμηνεία της κατανομής, τότε η διασπορά δεν είναι τίποτα άλλο από τη ροπή αδράνειας μιας δεδομένης κατανομής μάζας σε σχέση με το κέντρο βάρους (μαθηματική προσδοκία).

Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη διάσταση του τετραγώνου της τυχαίας μεταβλητής. Για να χαρακτηρίσετε οπτικά τη διασπορά, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια ποσότητα της οποίας η διάσταση συμπίπτει με τη διάσταση της τυχαίας μεταβλητής. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Η τιμή που προκύπτει ονομάζεται τυπική απόκλιση (αλλιώς «τυπική») της τυχαίας μεταβλητής. Θα υποδηλώσουμε την τυπική απόκλιση:

, (5.7.17)

Για να απλοποιήσουμε τους συμβολισμούς, θα χρησιμοποιούμε συχνά τις συντομογραφίες για τυπική απόκλιση και διασπορά: και . Στην περίπτωση που δεν υπάρχει αμφιβολία με ποια τυχαία μεταβλητή σχετίζονται αυτά τα χαρακτηριστικά, μερικές φορές παραλείπουμε το σύμβολο x y και γράφουμε απλά και . Οι λέξεις "τυπική απόκλιση" μερικές φορές συντομεύονται για να αντικατασταθούν από τα γράμματα r.s.o.

Στην πράξη, χρησιμοποιείται συχνά ένας τύπος που εκφράζει τη διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής μέσω της δεύτερης αρχικής ροπής της (τη δεύτερη των τύπων (5.7.10)). Στη νέα σημείωση θα μοιάζει με αυτό:

Η προσδοκία και η διακύμανση (ή τυπική απόκλιση) είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Χαρακτηρίζουν τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά της κατανομής: τη θέση και τον βαθμό διασποράς της. Για μια πιο λεπτομερή περιγραφή της διανομής, χρησιμοποιούνται στιγμές υψηλότερων παραγγελιών.

Το τρίτο κεντρικό σημείο χρησιμεύει για τον χαρακτηρισμό της ασυμμετρίας (ή «λοξής») της κατανομής. Εάν η κατανομή είναι συμμετρική ως προς τη μαθηματική προσδοκία (ή, σε μια μηχανική ερμηνεία, η μάζα κατανέμεται συμμετρικά ως προς το κέντρο βάρους), τότε όλες οι ροπές περιττής τάξης (αν υπάρχουν) είναι ίσες με μηδέν. Πράγματι, συνολικά

όταν ο νόμος κατανομής είναι συμμετρικός ως προς το νόμο και περιττός, κάθε θετικός όρος αντιστοιχεί σε αρνητικό όρο ίσο σε απόλυτη τιμή, έτσι ώστε ολόκληρο το άθροισμα να είναι ίσο με μηδέν. Το ίδιο ισχύει προφανώς και για το ολοκλήρωμα

,

που ισούται με μηδέν ως ολοκλήρωμα στα συμμετρικά όρια μιας περιττής συνάρτησης.

Είναι λοιπόν φυσικό να επιλέξουμε μια από τις περιττές ροπές ως χαρακτηριστικό της ασυμμετρίας κατανομής. Το απλούστερο από αυτά είναι η τρίτη κεντρική στιγμή. Έχει τη διάσταση του κύβου μιας τυχαίας μεταβλητής: για να ληφθεί ένα αδιάστατο χαρακτηριστικό, η τρίτη ροπή διαιρείται με τον κύβο της τυπικής απόκλισης. Η τιμή που προκύπτει ονομάζεται "συντελεστής ασυμμετρίας" ή απλά "ασύμμετρος". θα το χαρακτηρίσουμε:

Στο Σχ. Το 5.7.1 δείχνει δύο ασύμμετρες κατανομές. ένα από αυτά (καμπύλη I) έχει θετική ασυμμετρία () η άλλη (καμπύλη II) είναι αρνητική ().

Το τέταρτο κεντρικό σημείο χρησιμεύει για να χαρακτηρίσει τη λεγόμενη «ψυχραιμία», δηλ. κορυφαία ή επίπεδη κατανομή. Αυτές οι ιδιότητες κατανομής περιγράφονται χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη κύρτωση. Η κύρτωση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η ποσότητα

Ο αριθμός 3 αφαιρείται από τον λόγο γιατί για τον πολύ σημαντικό και διαδεδομένο στη φύση νόμο κανονικής κατανομής (τον οποίο θα γνωρίσουμε αναλυτικά αργότερα) . Έτσι, για μια κανονική κατανομή η κύρτωση είναι μηδέν. Οι καμπύλες που είναι πιο κορυφαίες σε σύγκριση με την κανονική καμπύλη έχουν θετική κύρτωση. Οι καμπύλες που είναι πιο επίπεδης κορυφής έχουν αρνητική κύρτωση.

Στο Σχ. Το 5.7.2 δείχνει: κανονική κατανομή (καμπύλη I), κατανομή με θετική κύρτωση (καμπύλη II) και κατανομή με αρνητική κύρτωση (καμπύλη III).

Εκτός από τις αρχικές και κεντρικές ροπές που συζητήθηκαν παραπάνω, στην πράξη μερικές φορές χρησιμοποιούνται οι λεγόμενες απόλυτες ροπές (αρχικές και κεντρικές), που καθορίζονται από τους τύπους

Προφανώς, οι απόλυτες στιγμές ζυγών παραγγελιών συμπίπτουν με συνηθισμένες στιγμές.

Από τις απόλυτες στιγμές, η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη είναι η πρώτη απόλυτη κεντρική στιγμή.

, (5.7.21)

ονομάζεται αριθμητική μέση απόκλιση. Μαζί με τη διασπορά και την τυπική απόκλιση, η αριθμητική μέση απόκλιση χρησιμοποιείται μερικές φορές ως χαρακτηριστικό της διασποράς.

Η προσδοκία, ο τρόπος, οι διάμεσες, οι αρχικές και οι κεντρικές ροπές και, ειδικότερα, η διασπορά, η τυπική απόκλιση, η λοξότητα και η κύρτωση είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα αριθμητικά χαρακτηριστικά των τυχαίων μεταβλητών. Σε πολλά πρακτικά προβλήματα, ένα πλήρες χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής - ο νόμος κατανομής - είτε δεν χρειάζεται είτε δεν μπορεί να ληφθεί. Σε αυτές τις περιπτώσεις, περιορίζεται κανείς σε μια κατά προσέγγιση περιγραφή της τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας βοήθεια. Αριθμητικά χαρακτηριστικά, καθένα από τα οποία εκφράζει κάποια χαρακτηριστική ιδιότητα της κατανομής.

Πολύ συχνά, τα αριθμητικά χαρακτηριστικά χρησιμοποιούνται για την κατά προσέγγιση αντικατάσταση μιας διανομής με μια άλλη και συνήθως προσπαθούν να κάνουν αυτήν την αντικατάσταση με τέτοιο τρόπο ώστε πολλά σημαντικά σημεία να παραμένουν αμετάβλητα.

Παράδειγμα 1. Διενεργείται ένα πείραμα, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορεί να εμφανιστεί ή να μην εμφανιστεί ένα γεγονός, η πιθανότητα του οποίου είναι ίση με . Μια τυχαία μεταβλητή θεωρείται - ο αριθμός των εμφανίσεων ενός συμβάντος (χαρακτηριστική τυχαία μεταβλητή ενός συμβάντος). Προσδιορίστε τα χαρακτηριστικά του: μαθηματική προσδοκία, διασπορά, τυπική απόκλιση.

Λύση. Η σειρά διανομής αξίας έχει τη μορφή:

όπου είναι η πιθανότητα να μην συμβεί το συμβάν.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.6.1) βρίσκουμε τη μαθηματική προσδοκία της τιμής:

Η διασπορά της τιμής προσδιορίζεται από τον τύπο (5.7.15):

(Προτείνουμε στον αναγνώστη να λάβει το ίδιο αποτέλεσμα εκφράζοντας τη διασπορά ως προς τη δεύτερη αρχική στιγμή).

Παράδειγμα 2. Τρεις ανεξάρτητες βολές εκτοξεύονται σε ένα στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε κάθε βολή είναι 0,4. τυχαία μεταβλητή – αριθμός επισκέψεων. Προσδιορίστε τα χαρακτηριστικά μιας ποσότητας - μαθηματική προσδοκία, διασπορά, r.s.d., ασυμμετρία.

Λύση. Η σειρά διανομής αξίας έχει τη μορφή:

Υπολογίζουμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της ποσότητας:

Σημειώστε ότι τα ίδια χαρακτηριστικά θα μπορούσαν να υπολογιστούν πολύ πιο απλά χρησιμοποιώντας θεωρήματα για τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων (βλ. Κεφάλαιο 10).