Τα σημάδια του ανήκειν είναι γνωστά από το μάθημα της επιπεδομετρίας. Καθήκον μας είναι να τα εξετάσουμε σε σχέση με προβολές γεωμετρικών αντικειμένων.

Ένα σημείο ανήκει σε ένα επίπεδο εάν ανήκει σε μια γραμμή που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

Το να ανήκεις σε ευθύ επίπεδο προσδιορίζεται με ένα από τα δύο κριτήρια:

α) μια ευθεία διέρχεται από δύο σημεία που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο.

β) μια ευθεία διέρχεται από ένα σημείο και είναι παράλληλη με ευθείες που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες, ας λύσουμε το πρόβλημα ως παράδειγμα. Αφήστε το επίπεδο να οριστεί από ένα τρίγωνο αλφάβητο. Απαιτείται η κατασκευή της προβολής που λείπει ρε 1 βαθμοί ρεπου ανήκουν σε αυτό το αεροπλάνο. Η σειρά των κατασκευών είναι η εξής (Εικ. 2.5).

Ρύζι. 2.5. Να κατασκευάσει προβολές σημείου που ανήκει σε επίπεδο

Μέσα από το σημείο ρε 2 πραγματοποιούμε μια ευθεία προβολή ρε, ξαπλωμένος στο αεροπλάνο αλφάβητο, τέμνοντας μια από τις πλευρές του τριγώνου και το σημείο ΕΝΑ 2. Τότε το σημείο 1 2 ανήκει στις γραμμές ΕΝΑ 2 ρε 2 και ντο 2 ΣΕ 2. Επομένως, μπορούμε να λάβουμε την οριζόντια προβολή του 1 1 επάνω ντο 1 ΣΕ 1 μέσω γραμμής επικοινωνίας. Σημεία σύνδεσης 1 1 και ΕΝΑ 1, παίρνουμε μια οριζόντια προβολή ρε 1 . Είναι ξεκάθαρο ότι η ουσία ρεΤο 1 ανήκει σε αυτό και βρίσκεται στη γραμμή προβολής σύνδεσης με το σημείο ρε 2 .

Τα προβλήματα προσδιορισμού του αν ανήκει ένα σημείο ή ένα ευθύ επίπεδο λύνονται πολύ απλά. Στο Σχ. Το Σχήμα 2.6 δείχνει την πρόοδο επίλυσης τέτοιων προβλημάτων. Για λόγους σαφήνειας της παρουσίασης του προβλήματος, ορίζουμε το επίπεδο με ένα τρίγωνο.

Ρύζι. 2.6. Προβλήματα προσδιορισμού εάν ένα σημείο ανήκει σε ευθύ επίπεδο.

Προκειμένου να καθοριστεί εάν ένα σημείο ανήκει μιεπίπεδο αλφάβητο, σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή μέσω της μετωπικής του προβολής Ε 2 ΕΝΑ 2. Υποθέτοντας ότι η ευθεία a ανήκει στο επίπεδο αλφάβητο, ας κατασκευάσουμε την οριζόντια προβολή του ΕΝΑ 1 στα σημεία τομής 1 και 2. Όπως βλέπουμε (Εικ. 2.6, α), ευθεία ΕΝΑ 1 δεν περνάει από το σημείο μι 1 . Ως εκ τούτου, το σημείο μι αλφάβητο.

Στο πρόβλημα του ανήκειν σε μια γραμμή Vτριγωνικά επίπεδα αλφάβητο(Εικ. 2.6, β), αρκεί να χρησιμοποιήσετε μία από τις ευθείες προεξοχές V 2 χτίστε ένα άλλο V 1 * λαμβάνοντας υπόψη ότι V αλφάβητο. Όπως βλέπουμε, V 1* και V 1 δεν ταιριάζουν. Επομένως, ευθεία V αλφάβητο.

2.4. Γραμμές επιπέδου σε ένα επίπεδο

Ο ορισμός των γραμμών επιπέδου δόθηκε νωρίτερα. Οι γραμμές στάθμης που ανήκουν σε ένα δεδομένο επίπεδο ονομάζονται κύριος . Αυτές οι ευθείες (ευθείες) παίζουν σημαντικό ρόλο στην επίλυση ορισμένων προβλημάτων περιγραφικής γεωμετρίας.

Ας εξετάσουμε την κατασκευή γραμμών επιπέδου στο επίπεδο που ορίζεται από το τρίγωνο (Εικ. 2.7).

Ρύζι. 2.7. Κατασκευάζοντας τις κύριες γραμμές ενός επιπέδου που ορίζεται από ένα τρίγωνο

Οριζόντιο επίπεδο αλφάβητοξεκινάμε σχεδιάζοντας την μετωπική του προβολή η 2, το οποίο είναι γνωστό ότι είναι παράλληλο προς τον άξονα OH. Εφόσον αυτή η οριζόντια γραμμή ανήκει σε αυτό το επίπεδο, διέρχεται από δύο σημεία του επιπέδου αλφάβητο, δηλαδή, σημεία ΕΝΑκαι 1. Έχοντας τις μετωπικές προβολές τους ΕΝΑ 2 και 1 2, μέσω της γραμμής επικοινωνίας λαμβάνουμε οριζόντιες προβολές ( ΕΝΑ 1 υπάρχει ήδη) 1 1 . Συνδέοντας τις τελείες ΕΝΑ 1 και 1 1 , έχουμε οριζόντια προβολή η 1 οριζόντιο επίπεδο αλφάβητο. Προβολή προφίλ η 3 οριζόντια επίπεδα αλφάβητοθα είναι παράλληλη προς τον άξονα OHα-πριό.

Μπροστινό αεροπλάνο αλφάβητοείναι κατασκευασμένο με παρόμοιο τρόπο (Εικ. 2.7) με τη μόνη διαφορά ότι το σχέδιό του ξεκινά με οριζόντια προβολή φά 1, αφού είναι γνωστό ότι είναι παράλληλος με τον άξονα OX. Προβολή προφίλ φά 3 μέτωπα πρέπει να είναι παράλληλα με τον άξονα OZ και να περνούν μέσα από τις προεξοχές ΜΕ 3, 2 3 των ίδιων σημείων ΜΕκαι 2.

Γραμμή προφίλ του αεροπλάνου αλφάβητοέχει οριζόντια R 1 και μπροστά R 2 προεξοχές παράλληλες στους άξονες OYΚαι ΟΖκαι την προβολή προφίλ RΤο 3 μπορεί να ληφθεί από μπροστά χρησιμοποιώντας σημεία τομής ΣΕκαι 3 δευτ αλφάβητο.

Όταν κατασκευάζετε τις κύριες γραμμές ενός επιπέδου, πρέπει να θυμάστε μόνο έναν κανόνα: για να λύσετε το πρόβλημα πρέπει πάντα να λαμβάνετε δύο σημεία τομής με ένα δεδομένο επίπεδο. Η κατασκευή των κύριων γραμμών που βρίσκονται σε ένα επίπεδο που ορίζεται με διαφορετικό τρόπο δεν είναι πιο περίπλοκη από ό,τι συζητήθηκε παραπάνω. Στο Σχ. Το σχήμα 2.8 δείχνει την κατασκευή του οριζόντιου και του μετωπικού επιπέδου που ορίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες ΕΝΑΚαι V.

Ρύζι. 2.8. Κατασκευή των κύριων γραμμών ενός επιπέδου που ορίζεται από τεμνόμενες ευθείες.

Το σημείο και η γραμμή είναι βασικά γεωμετρικά σχήματαστην επιφάνεια.

Ο ορισμός ενός σημείου και μιας ευθείας δεν εισάγεται στη γεωμετρία· αυτές οι έννοιες εξετάζονται σε ένα διαισθητικό εννοιολογικό επίπεδο.

Οι πόντοι χαρακτηρίζονται με κεφαλαία (κεφαλαία, κεφαλαία) λατινικά γράμματα: A, B, C, D, ...

Οι ευθείες γραμμές σημειώνονται με ένα πεζό (μικρό) λατινικό γράμμα, για παράδειγμα,

- ευθεία α.

Μια ευθεία αποτελείται από άπειρο αριθμό σημείων και δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. Το σχήμα απεικονίζει μόνο μέρος της ευθείας γραμμής, αλλά εννοείται ότι εκτείνεται απείρως μακριά στο χώρο, συνεχίζοντας απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Τα σημεία που βρίσκονται σε μια γραμμή λέγεται ότι ανήκουν σε αυτή τη γραμμή. Η υπαγωγή σημειώνεται με το σύμβολο ∈. Τα σημεία έξω από μια γραμμή λέγεται ότι δεν ανήκουν σε αυτή τη γραμμή. Το σύμβολο «δεν ανήκει» είναι ∉.

Για παράδειγμα, το σημείο Β ανήκει στη γραμμή a (γράψτε: B∈a),

Το σημείο F δεν ανήκει στην ευθεία a, (γράψτε: F∉a).

Βασικές ιδιότητες που ανήκουν σε σημεία και ευθείες σε ένα επίπεδο:

Όποια και αν είναι η ευθεία, υπάρχουν σημεία που ανήκουν σε αυτή τη γραμμή και σημεία που δεν ανήκουν σε αυτήν.

Μέσα από οποιαδήποτε δύο σημεία μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή, και μόνο ένα.

Οι γραμμές συμβολίζονται επίσης με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα, μετά τα ονόματα των σημείων που βρίσκονται στη γραμμή.

- ευθεία ΑΒ.

- αυτή η γραμμή μπορεί να ονομαστεί MK ή MN ή NK.

Δύο ευθείες μπορεί να τέμνονται ή όχι. Αν οι γραμμές δεν τέμνονται, δεν έχουν κοινά σημεία. Αν οι ευθείες τέμνονται, έχουν ένα κοινό σημείο. Σήμα διασταύρωσης - ∩ .

Για παράδειγμα, οι ευθείες α και β τέμνονται στο σημείο Ο

(γράψε ένα ∩ b=O).

Οι ευθείες c και d τέμνονται επίσης, αν και το σημείο τομής τους δεν φαίνεται στο σχήμα.

Ρύζι. 3.2Σχετική θέση γραμμών

Οι γραμμές στο διάστημα μπορούν να καταλαμβάνουν μία από τις τρεις θέσεις μεταξύ τους:

1) να είναι παράλληλη.

2) διασταυρώνονται?

3) διασταύρωση.

Παράλληλοονομάζονται ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.

Εάν οι γραμμές είναι παράλληλες μεταξύ τους, τότε στο ΣΟ οι προβολές τους με το ίδιο όνομα είναι επίσης παράλληλες (βλ. ενότητα 1.2).

Τέμνονταιονομάζονται ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και έχουν ένα κοινό σημείο.

Για τεμνόμενες ευθείες στη ΣΟ, οι προεξοχές με το ίδιο όνομα τέμνονται στις προβολές του σημείου ΕΝΑ. Επιπλέον, οι μετωπικές () και οριζόντιες () προεξοχές αυτού του σημείου πρέπει να βρίσκονται στην ίδια γραμμή επικοινωνίας.

Διασταύρωσηονομάζονται ευθείες που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα και δεν έχουν κοινά σημεία.

Εάν οι γραμμές τέμνονται, τότε στο ΣΟ οι προεξοχές τους με το ίδιο όνομα μπορούν να τέμνονται, αλλά τα σημεία τομής των προεξοχών με το ίδιο όνομα δεν θα βρίσκονται στην ίδια γραμμή σύνδεσης.

Στο Σχ. 3,4 βαθμοί ΜΕανήκει στη γραμμή σι, και σημείο ρε- ευθεία ΕΝΑ. Αυτά τα σημεία βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το μετωπικό επίπεδο προβολής. Παρόμοια με το σημείο μιΚαι φάανήκουν σε διαφορετικές γραμμές, αλλά βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το οριζόντιο επίπεδο των προβολών. Επομένως, στη ΣΟ οι μετωπικές προεξοχές τους συμπίπτουν.

Υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις θέσης ενός σημείου σε σχέση με το επίπεδο: το σημείο μπορεί να ανήκει στο επίπεδο ή να μην ανήκει σε αυτό (Εικ. 3.5).

Σημάδι ανήκει σε σημείο και ευθύ επίπεδο:

Το σημείο ανήκει στο αεροπλάνο, εάν ανήκει σε μια γραμμή που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

Η ευθεία ανήκει στο επίπεδο, αν έχει δύο κοινά σημεία μαζί του ή έχει ένα κοινό σημείο μαζί του και είναι παράλληλη με μια άλλη ευθεία που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

Στο Σχ. Το 3.5 δείχνει ένα επίπεδο και σημεία ρεΚαι μι. Τελεία ρεανήκει στο αεροπλάνο γιατί ανήκει στη γραμμή μεγάλο, που έχει δύο κοινά σημεία με αυτό το επίπεδο - 1 Και ΕΝΑ. Τελεία μιδεν ανήκει στο αεροπλάνο, γιατί είναι αδύνατο να τραβήξετε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό που βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Στο Σχ. Το 3.6 δείχνει ένα επίπεδο και μια ευθεία γραμμή t, ξαπλωμένος σε αυτό το αεροπλάνο, γιατί έχει ένα κοινό σημείο μαζί της 1 και παράλληλα με τη γραμμή ΕΝΑ.


Στο καρτεσιανό γινόμενο, όπου το M είναι ένα σύνολο σημείων, εισάγουμε μια σχέση 3 θέσεων d. Αν μια διατεταγμένη τριάδα σημείων (Α, Β, Γ) ανήκει σε αυτή τη σχέση, τότε θα λέμε ότι το σημείο Β βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Γ και χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό: Α-Β-Γ. Η εισαγόμενη σχέση πρέπει να ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

Αν το σημείο Β βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Γ, τότε τα Α, Β, Γ είναι τρία διαφορετικά σημεία στην ίδια ευθεία και το Β βρίσκεται μεταξύ Γ και Α.

Όποια και αν είναι τα σημεία Α και Β, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Γ τέτοιο ώστε το Β να βρίσκεται μεταξύ Α και Γ.

Ανάμεσα σε τρία σημεία σε μια γραμμή, υπάρχει το πολύ ένα που βρίσκεται ανάμεσα στα άλλα δύο.

Για να διατυπωθεί το τελευταίο, τέταρτο αξίωμα της δεύτερης ομάδας, είναι βολικό να εισαχθεί η ακόλουθη έννοια.

Ορισμός 3.1. Με τον όρο τμήμα (κατά τον Hilbert) εννοούμε ένα ζεύγος σημείων ΑΒ. Θα ονομάσουμε τα σημεία Α και Β τα άκρα του τμήματος, τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ των άκρων του - τα εσωτερικά σημεία του τμήματος ή απλά τα σημεία του τμήματος και τα σημεία της ευθείας ΑΒ που δεν βρίσκονται μεταξύ των άκρων Α και Β - τα εξωτερικά σημεία του τμήματος.

. (Αξίωμα του Pash) Έστω A, B και C τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, και l είναι μια ευθεία γραμμή του επιπέδου ABC που διέρχεται από αυτά τα σημεία. Τότε, εάν μια ευθεία γραμμή l διέρχεται από ένα σημείο σε ένα τμήμα AB, τότε περιέχει είτε ένα σημείο σε ένα τμήμα AC είτε ένα σημείο σε ένα τμήμα BC.

Από τα αξιώματα της πρώτης και της δεύτερης ομάδας προκύπτουν πολλά. γεωμετρικές ιδιότητεςσημεία, γραμμές και τμήματα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε τμήμα έχει τουλάχιστον ένα εσωτερικό σημείο, ανάμεσα σε τρία σημεία σε μια ευθεία υπάρχει πάντα ένα και μόνο ένα μεταξύ δύο άλλων, μεταξύ δύο σημείων σε μια ευθεία υπάρχουν πάντα άπειρα πολλά σημεία, που σημαίνει ότι υπάρχουν άπειρα πολλά σημεία σε μια γραμμή. Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι η δήλωση του αξιώματος του Pash ισχύει επίσης για σημεία που βρίσκονται στην ίδια ευθεία: εάν τα σημεία A, B και C ανήκουν στην ίδια ευθεία, η ευθεία l δεν διέρχεται από αυτά τα σημεία και τέμνει ένα από τα τμήματα , για παράδειγμα, AB στο εσωτερικό σημείο, τότε τέμνει είτε το τμήμα AC είτε το τμήμα BC σε ένα εσωτερικό σημείο. Σημειώστε επίσης ότι από τα αξιώματα της πρώτης και της δεύτερης ομάδας δεν προκύπτει ότι το σύνολο των σημείων σε μια ευθεία είναι αμέτρητο. Δεν θα παράσχουμε στοιχεία για αυτούς τους ισχυρισμούς. Ο αναγνώστης μπορεί να τα γνωρίσει στα εγχειρίδια, και. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο κύριο γεωμετρικές έννοιες, δηλαδή ακτίνα, ημιεπίπεδο και ημιδιάστημα, που εισάγονται χρησιμοποιώντας τα αξιώματα της ιδιότητας μέλους και της τάξης.

Η ακόλουθη δήλωση είναι αληθής:

Το σημείο Ο μιας ευθείας l διαιρεί το σύνολο των υπολειπόμενων σημείων αυτής της ευθείας σε δύο μη κενά υποσύνολα έτσι ώστε για οποιαδήποτε δύο σημεία Α και Β που ανήκουν στο ίδιο υποσύνολο, το σημείο Ο είναι εξωτερικό σημείο του τμήματος ΑΒ και για οποιοδήποτε δύο σημεία C και D που ανήκουν σε διαφορετικά υποσύνολα, το σημείο O είναι το εσωτερικό σημείο του τμήματος CD.

Κάθε ένα από αυτά τα υποσύνολα καλείται δέσμηευθεία γραμμή l με αρχή στο σημείο Ο. Οι ακτίνες θα συμβολίζονται με h, l, k, ...OA, OB, OC,..., όπου O είναι η αρχή της ακτίνας και A, B και C είναι τα σημεία της ακτίνας. Θα δώσουμε την απόδειξη αυτής της δήλωσης αργότερα, στην ενότητα 7, αλλά χρησιμοποιώντας μια διαφορετική αξιωματική του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου. Η έννοια της ακτίνας μας επιτρέπει να ορίσουμε το πιο σημαντικό γεωμετρικό αντικείμενο - μια γωνία.

Ορισμός 3.2.Με τον όρο γωνία (σύμφωνα με τον Hilbert) εννοούμε ένα ζεύγος ακτίνων h και k που έχουν κοινή αρχή Ο και δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Το σημείο Ο ονομάζεται κορυφή της γωνίας και οι ακτίνες h και k είναι οι πλευρές της. Για γωνίες θα χρησιμοποιήσουμε τη σημειογραφία . Ας εξετάσουμε την πιο σημαντική έννοια της στοιχειώδους γεωμετρίας - την έννοια του ημιεπίπεδου.

Θεώρημα 3.1.Μια ευθεία α που βρίσκεται στο επίπεδο α διαιρεί το σύνολο των σημείων της που δεν ανήκουν στην ευθεία σε δύο μη κενά υποσύνολα, έτσι ώστε αν τα σημεία Α και Β ανήκουν στο ίδιο υποσύνολο, τότε το τμήμα ΑΒ δεν έχει κοινά σημεία με την ευθεία l. , και αν τα σημεία Α και Β ανήκουν σε διαφορετικά υποσύνολα, τότε το τμήμα ΑΒ τέμνει την ευθεία l στο εσωτερικό του σημείο.

Απόδειξη.Στην απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη ιδιότητα της σχέσης ισοδυναμίας. Αν μια δυαδική σχέση εισάγεται σε ένα ορισμένο σύνολο, που είναι σχέση ισοδυναμίας, δηλ. ικανοποιεί τις συνθήκες της ανακλαστικότητας, της συμμετρίας και της μεταβατικότητας, τότε ολόκληρο το σύνολο χωρίζεται σε ασύνδετα υποσύνολα - τάξεις ισοδυναμίας και οποιαδήποτε δύο στοιχεία ανήκουν στην ίδια κλάση αν και μόνο αν είναι ισοδύναμα.

Ας εξετάσουμε το σύνολο των σημείων του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ευθεία α. Θα υποθέσουμε ότι δύο σημεία Α και Β βρίσκονται σε δυαδική σχέση d: AdB εάν και μόνο εάν δεν υπάρχουν εσωτερικά σημεία στο τμήμα ΑΒ που ανήκουν στην ευθεία α. Ας αναλογιστούμε επίσης Σημαίνει ότι οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται σε δυαδική σχέση d με τον εαυτό του. Ας δείξουμε ότι για οποιοδήποτε σημείο Α που δεν ανήκει στην ευθεία α, υπάρχουν σημεία διαφορετικά από το Α, τόσο αυτά που είναι όσο και εκείνα που δεν βρίσκονται σε δυαδική σχέση μαζί του. Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο P στην ευθεία a (βλ. Εικ. 6). Τότε, σύμφωνα με το αξίωμα, υπάρχει ένα σημείο Β στην ευθεία AP τέτοιο ώστε Ρ-Α-Β. Η ευθεία ΑΒ τέμνει το a στο σημείο P, το οποίο δεν βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Β, επομένως τα σημεία Α και Β βρίσκονται στη σχέση d. Σύμφωνα με το ίδιο αξίωμα, υπάρχει ένα σημείο C τέτοιο ώστε το A-R-C. Επομένως, το σημείο P βρίσκεται μεταξύ Α και Γ, τα σημεία Α και Γ δεν είναι σε σχέση με το d.

Ας αποδείξουμε ότι η σχέση d είναι σχέση ισοδυναμίας. Η συνθήκη ανακλαστικότητας προφανώς ικανοποιείται λόγω του ορισμού της δυαδικής σχέσης d: AdA. Έστω τα σημεία Α και Β σε σχέση d. Τότε δεν υπάρχουν σημεία στην ευθεία α στο τμήμα ΑΒ. Από αυτό προκύπτει ότι δεν υπάρχουν σημεία στην ευθεία a στο τμήμα BA, επομένως BdA, η σχέση συμμετρίας ικανοποιείται. Τέλος, ας δοθούν τρία σημεία A, B και C, έτσι ώστε τα AdB και BdC. Ας δείξουμε ότι τα σημεία Α και Γ βρίσκονται σε δυαδική σχέση d. Ας υποθέσουμε ότι το αντίθετο, στο τμήμα AC υπάρχει ένα σημείο P ευθείας α (Εικ. 7). Στη συνέχεια, δυνάμει του αξιώματος, του αξιώματος του Pash, η ευθεία γραμμή a τέμνει είτε το τμήμα BC είτε το τμήμα AB (στο Σχήμα 7 η ευθεία γραμμή a τέμνει το τμήμα BC). Φτάσαμε σε μια αντίφαση, αφού από τις συνθήκες АdВ και ВdС προκύπτει ότι η ευθεία α δεν τέμνει αυτά τα τμήματα. Έτσι, η σχέση d είναι μια σχέση ισοδυναμίας και διαιρεί το σύνολο των σημείων του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ευθεία a σε τάξεις ισοδυναμίας.

Ας ελέγξουμε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο τέτοιες τάξεις ισοδυναμίας. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδείξουμε ότι αν τα σημεία Α και Γ και Β και Γ δεν είναι ισοδύναμα, τότε τα σημεία Α και Β, με τη σειρά τους, είναι ισοδύναμα μεταξύ τους. Εφόσον τα σημεία A και C και B και C δεν βρίσκονται στη σχέση ισοδυναμίας d, η ευθεία a τέμνει τα τμήματα AC και BC στα σημεία P και Q (βλ. Εικ. 7). Αλλά τότε, δυνάμει του αξιώματος του Pash, αυτή η γραμμή δεν μπορεί να τέμνει το τμήμα AB. Επομένως, τα σημεία Α και Β είναι ισοδύναμα μεταξύ τους. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Κάθε μία από τις κλάσεις ισοδυναμίας που ορίζονται στο Θεώρημα 3.2 καλείται μισό αεροπλάνο.Έτσι, κάθε ευθεία γραμμή ενός αεροπλάνου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα, για τα οποία εξυπηρετεί σύνορο.

Παρόμοια με την έννοια του ημιεπίπεδου, εισάγεται η έννοια του μισού χώρου. Αποδεικνύεται ένα θεώρημα, το οποίο δηλώνει ότι οποιοδήποτε επίπεδο a του χώρου διαιρεί σημεία του χώρου σε δύο σύνολα. Ένα τμήμα του οποίου τα άκρα είναι σημεία ενός συνόλου δεν έχει κοινά σημεία με το επίπεδο α. Εάν τα άκρα ενός τμήματος ανήκουν σε διαφορετικά σύνολα, τότε ένα τέτοιο τμήμα έχει ένα επίπεδο σημείο α ως εσωτερικό του. Η απόδειξη αυτής της δήλωσης είναι παρόμοια με την απόδειξη του Θεωρήματος 3.2· δεν θα την παρουσιάσουμε.

Ας ορίσουμε την έννοια του εσωτερικού σημείου μιας γωνίας. Αφήστε τη γωνία να δοθεί. Θεωρήστε την ευθεία ΟΑ που περιέχει την ακτίνα ΟΑ, την πλευρά αυτής της γωνίας. Είναι σαφές ότι το σημείο της ακτίνας ΟΒ ανήκει στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ευθεία ΟΑ. Ομοίως, τα σημεία της ακτίνας ΟΑ, οι πλευρές μιας δεδομένης γωνίας, ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο b, το όριο του οποίου είναι απευθείας OB (Εικ. 8). Τα σημεία που ανήκουν στην τομή των ημιεπίπεδων α και β λέγονται εσωτερικά σημείαγωνία. Στο Σχήμα 8, το σημείο Μ είναι το εσωτερικό σημείο. Το σύνολο όλων των εσωτερικών σημείων μιας γωνίας ονομάζεται της εσωτερική περιοχή. Μια ακτίνα της οποίας η κορυφή συμπίπτει με την κορυφή μιας γωνίας και της οποίας όλα τα σημεία είναι εσωτερικά ονομάζεται εσωτερική δοκόγωνία. Το σχήμα 8 δείχνει την εσωτερική ακτίνα h της γωνίας AOB.

Οι παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς.

10 . Αν μια ακτίνα που ξεκινά από την κορυφή μιας γωνίας περιέχει τουλάχιστον ένα από τα εσωτερικά της σημεία, τότε είναι μια εσωτερική ακτίνα αυτής της γωνίας.

20 . Εάν τα άκρα ενός τμήματος βρίσκονται σε δύο διαφορετικές πλευρές μιας γωνίας, τότε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο του τμήματος είναι ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας.

τριάντα. Οποιαδήποτε εσωτερική ακτίνα μιας γωνίας τέμνει ένα τμήμα του οποίου τα άκρα βρίσκονται στις πλευρές της γωνίας.

Τις αποδείξεις αυτών των δηλώσεων θα τις εξετάσουμε αργότερα, στην παράγραφο 5. Χρησιμοποιώντας τα αξιώματα της δεύτερης ομάδας, ορίζονται οι έννοιες διακεκομμένη γραμμή, τρίγωνο, πολύγωνο, η έννοια της εσωτερικής περιοχής απλού πολυγώνου και αποδεικνύεται ότι ένα απλό πολύγωνο χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές, εσωτερική και εξωτερική του.

Η τρίτη ομάδα αξιωμάτων Hilbert του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου αποτελείται από τα λεγόμενα αξιώματα συνάφειας. Έστω S ένα σύνολο τμημάτων, A ένα σύνολο γωνιών. Στα καρτεσιανά προϊόντα θα εισαγάγουμε δυαδικές σχέσεις, τις οποίες θα ονομάσουμε σχέση συμφωνίας.

Σημειώστε ότι η σχέση που εισάγεται με αυτόν τον τρόπο δεν είναι η σχέση των κύριων αντικειμένων της εξεταζόμενης αξιωματικής, δηλ. σημεία γραμμών και επιπέδων. Η τρίτη ομάδα αξιωμάτων μπορεί να εισαχθεί μόνο όταν οριστούν οι έννοιες τμήμα και γωνία, δηλ. εισήχθη η πρώτη και η δεύτερη ομάδα των αξιωμάτων του Hilbert.

Ας συμφωνήσουμε επίσης να ονομάζουμε ίσα τμήματα ή γωνίες γεωμετρικά ίσα ή απλά ίσα τμήματα ή γωνίες· ο όρος «σύμφωνος», στην περίπτωση που αυτό δεν οδηγεί σε παρεξηγήσεις, θα αντικατασταθεί από τον όρο «ίσο» και θα δηλώνεται με το σύμβολο "=".