Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων για δύο γωνίες α και β μας επιτρέπουν να μετακινηθούμε από το άθροισμα αυτών των γωνιών στο γινόμενο των γωνιών α + β 2 και α - β 2. Ας σημειώσουμε αμέσως ότι δεν πρέπει να συγχέετε τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά των ημιτόνων και των συνημιτόνων με τους τύπους για τα ημίτονο και τα συνημίτονα του αθροίσματος και της διαφοράς. Παρακάτω παραθέτουμε αυτούς τους τύπους, δίνουμε τις παραγώγους τους και δείχνουμε παραδείγματα εφαρμογής για συγκεκριμένα προβλήματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων
Ας γράψουμε πώς μοιάζουν οι τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο
αμαρτία α + αμαρτία β = 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 αμαρτία α - αμαρτία β = 2 αμαρτία α - β 2 συν α + β 2
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για συνημίτονα
cos α + συν β = 2 συν α + β 2 συν α - β 2 συν α - συν β = - 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 , συν α - συν β = 2 αμαρτία α + β 2 · β - α 2
Αυτοί οι τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε γωνίες α και β. Οι γωνίες α + β 2 και α - β 2 ονομάζονται μισό άθροισμα και μισή διαφορά των γωνιών άλφα και βήτα αντίστοιχα. Ας δώσουμε τη διατύπωση για κάθε τύπο.
Ορισμοί τύπων για αθροίσματα και διαφορές ημιτόνων και συνημιτόνων
Άθροισμα ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημιαθροίσματος αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς.
Διαφορά ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος.
Άθροισμα συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών.
Διαφορά συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημι-αθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών, που λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο.
Εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημίτονων
Για την εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά του ημιτόνου και του συνημιτόνου δύο γωνιών, χρησιμοποιούνται τύποι πρόσθεσης. Ας τα παραθέσουμε παρακάτω
αμαρτία (α + β) = αμαρτία α · cos β + cos α · αμαρτία β sin (α - β) = αμαρτία α · cos β - cos α · αμαρτία β cos (α + β) = cos α · cos β - αμαρτία α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Ας φανταστούμε επίσης τις ίδιες τις γωνίες ως άθροισμα μισών αθροισμάτων και μισών διαφορών.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Προχωράμε απευθείας στην παραγωγή των τύπων αθροίσματος και διαφοράς για το sin και το cos.
Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων
Στο άθροισμα sin α + sin β, αντικαθιστούμε τα α και β με τις εκφράσεις για αυτές τις γωνίες που δίνονται παραπάνω. Παίρνουμε
αμαρτία α + αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2
Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο προσθήκης στην πρώτη έκφραση και στη δεύτερη - τον τύπο για το ημίτονο διαφορών γωνίας (βλ. τύπους παραπάνω)
αμαρτία α + β 2 + α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 sin α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 Ανοίξτε τις αγκύλες, προσθέστε παρόμοιους όρους και λάβετε τον απαιτούμενο τύπο
αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α + β 2 cos α - β 2
Τα βήματα για την παραγωγή των υπόλοιπων τύπων είναι παρόμοια.
Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά ημιτόνων
αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 - αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α - β 2 cos α + β 2
Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των συνημίτονων
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 + συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 συν α + β 2 cos α - β 2
Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά συνημιτόνων
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 - συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = - 2 αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2
Παραδείγματα επίλυσης πρακτικών προβλημάτων
Αρχικά, ας ελέγξουμε έναν από τους τύπους αντικαθιστώντας συγκεκριμένες τιμές γωνίας σε αυτόν. Έστω α = π 2, β = π 6. Ας υπολογίσουμε την τιμή του αθροίσματος των ημιτόνων αυτών των γωνιών. Αρχικά, ας χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα των βασικών τιμών τριγωνομετρικές συναρτήσεις, και στη συνέχεια εφαρμόστε τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων.
Παράδειγμα 1. Έλεγχος του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιών
α = π 2, β = π 6 αμαρτία π 2 + αμαρτία π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 αμαρτία π 2 + αμαρτία π 6 = 2 αμαρτία π 2 + π 6 2 συν π 2 - π 6 2 = 2 αμαρτία π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που οι τιμές γωνίας διαφέρουν από τις βασικές τιμές που παρουσιάζονται στον πίνακα. Έστω α = 165°, β = 75°. Ας υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ των ημιτόνων αυτών των γωνιών.
Παράδειγμα 2. Εφαρμογή του τύπου διαφοράς ημιτόνων
α = 165 °, β = 75 ° αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° αμαρτία 165 - αμαρτία 75 = 2 αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° 2 συν 165 ° + αμαρτία 75 ° 2 = = 2 αμαρτία 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημίτονων, μπορείτε να μετακινηθείτε από το άθροισμα ή τη διαφορά στο γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι για τη μετάβαση από ένα άθροισμα σε ένα γινόμενο. Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
ο ηλεκτρονικό πόροείναι ένα εξαιρετικό υλικό για τη διεξαγωγή διαδραστικής εκπαίδευσης σε σύγχρονα σχολεία. Είναι γραμμένο σωστά, έχει σαφή δομή και ανταποκρίνεται στο σχολικό πρόγραμμα. Χάρη σε λεπτομερείς εξηγήσεις, το θέμα που παρουσιάζεται στο μάθημα βίντεο θα γίνει σαφές σε όσο το δυνατόν περισσότερους μαθητές στην τάξη. Οι δάσκαλοι πρέπει να θυμούνται ότι δεν έχουν όλοι οι μαθητές τον ίδιο βαθμό αντίληψης, ταχύτητας κατανόησης ή βάσης. Τέτοια υλικά θα σας βοηθήσουν να αντιμετωπίσετε τις δυσκολίες και να καλύψετε τη διαφορά με τους συνομηλίκους σας, να βελτιώσετε τις ακαδημαϊκές σας επιδόσεις. Με τη βοήθειά τους, σε ένα ήσυχο οικιακό περιβάλλον, ανεξάρτητα ή μαζί με έναν δάσκαλο, ένας μαθητής μπορεί να κατανοήσει ένα συγκεκριμένο θέμα, να μελετήσει τη θεωρία και να δει παραδείγματα Πρακτική εφαρμογητον έναν ή τον άλλο τύπο κ.λπ.
Αυτό το μάθημα βίντεο είναι αφιερωμένο στο θέμα "Ημίτονο και συνημίτονο της διαφοράς των επιχειρημάτων". Υποτίθεται ότι οι μαθητές έχουν ήδη μάθει τα βασικά της τριγωνομετρίας, εξοικειωμένοι με τις βασικές συναρτήσεις και τις ιδιότητές τους, τύπους φαντασμάτων και πίνακες τριγωνομετρικών τιμών.
Επίσης, προτού προχωρήσετε στη μελέτη αυτού του θέματος, πρέπει να κατανοήσετε το ημίτονο και το συνημίτονο του αθροίσματος των ορισμάτων, να γνωρίζετε δύο βασικούς τύπους και να είστε σε θέση να τους χρησιμοποιήσετε.
Στην αρχή του βιντεομαθήματος, ο εκφωνητής υπενθυμίζει στους μαθητές αυτούς τους δύο τύπους. Στη συνέχεια, αποδεικνύεται ο πρώτος τύπος - το ημίτονο της διαφοράς των επιχειρημάτων. Εκτός από το πώς προέρχεται ο ίδιος ο τύπος, φαίνεται πώς προέρχεται από έναν άλλο. Έτσι, ο μαθητής δεν θα χρειαστεί να απομνημονεύσει μια νέα φόρμουλα χωρίς να την κατανοήσει, κάτι που είναι συνηθισμένο λάθος. Αυτό είναι πολύ σημαντικό για τους μαθητές αυτής της τάξης. Πρέπει πάντα να θυμάστε ότι μπορείτε να προσθέσετε ένα σύμβολο + μπροστά από το σύμβολο μείον και ένα μείον στο σύμβολο συν θα μετατραπεί τελικά σε μείον. Με αυτό το απλό βήμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το ημίτονο ενός αθροίσματος και να αποκτήσετε τον τύπο για το ημίτονο της διαφοράς των ορισμάτων.
Ο τύπος για το συνημίτονο της διαφοράς προκύπτει με παρόμοιο τρόπο από τον τύπο για το συνημίτονο του αθροίσματος των ορισμάτων.
Ο ομιλητής εξηγεί τα πάντα βήμα-βήμα, και ως αποτέλεσμα, προκύπτει ο γενικός τύπος για το συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς των ορισμάτων και του ημιτόνου.
Το πρώτο παράδειγμα από το πρακτικό μέρος αυτού του μαθήματος βίντεο προτείνει την εύρεση του συνημίτονος του Pi/12. Προτείνεται να παρουσιαστεί αυτή η τιμή με τη μορφή μιας ορισμένης διαφοράς, στην οποία το minuend και το subtrahend θα είναι τιμές πίνακα. Στη συνέχεια, θα εφαρμοστεί ο συνημίτονος τύπος για τη διαφορά των ορισμάτων. Αντικαθιστώντας την έκφραση, μπορείτε να αντικαταστήσετε τις προκύπτουσες τιμές και να λάβετε την απάντηση. Ο εκφωνητής διαβάζει την απάντηση, η οποία εμφανίζεται στο τέλος του παραδείγματος.
Το δεύτερο παράδειγμα είναι μια εξίσωση. Τόσο στη δεξιά όσο και στην αριστερή πλευρά βλέπουμε τα συνημίτονα των διαφορών των επιχειρημάτων. Το ηχείο μοιάζει με τύπους χύτευσης, οι οποίοι χρησιμοποιούνται για να αντικαταστήσουν και να απλοποιήσουν αυτές τις εκφράσεις. Αυτοί οι τύποι είναι γραμμένοι στη δεξιά πλευρά, έτσι ώστε οι μαθητές να μπορούν να καταλάβουν από πού προέρχονται ορισμένες αλλαγές.
Ένα άλλο παράδειγμα, το τρίτο, είναι ένα ορισμένο κλάσμα, όπου και στον αριθμητή και στον παρονομαστή έχουμε τριγωνομετρικές εκφράσεις, δηλαδή, οι διαφορές των προϊόντων.
Και εδώ, κατά την επίλυση, χρησιμοποιούνται τύποι αναγωγής. Έτσι, οι μαθητές μπορούν να δουν ότι αν χάσουν ένα θέμα στην τριγωνομετρία, θα είναι όλο και πιο δύσκολο να κατανοήσουν τα υπόλοιπα.
Και τέλος, το τέταρτο παράδειγμα. Αυτή είναι επίσης μια εξίσωση στην οποία είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν νέοι μαθημένοι και παλιοί τύποι κατά την επίλυσή τους.
Μπορείτε να δείτε τα παραδείγματα που δίνονται στο εκπαιδευτικό βίντεο με περισσότερες λεπτομέρειες και να προσπαθήσετε να το λύσετε μόνοι σας. Μπορούν να οριστούν ως εργασία για το σπίτιμαθητές.
ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:
Το θέμα του μαθήματος είναι «Ημίτονο και συνημίτονο της διαφοράς των επιχειρημάτων».
Στο προηγούμενο μάθημα γνωρίσαμε δύο τριγωνομετρικούς τύπουςημίτονο και συνημίτονο του αθροίσματος των ορισμάτων.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.
το ημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών είναι ίσο με το άθροισμα μεταξύ του γινομένου του ημιτόνου της πρώτης γωνίας και του συνημιτόνου της δεύτερης γωνίας και του γινόμενου του συνημιτόνου της πρώτης γωνίας και του ημιτόνου της δεύτερης γωνίας.
Το συνημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του γινομένου των συνημιτόνων αυτών των γωνιών και του γινόμενου του αθροίσματος αυτών των γωνιών.
Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, θα εξαγάγουμε τους τύπους Ημιτόνου και συνημίτονος της διαφοράς των ορισμάτων.
Ημίτονο διαφοράς ορισμών sin(x-y)
Δύο τύποι (ημίτονο του αθροίσματος και ημίτονο της διαφοράς) μπορούν να γραφτούν ως:
αμαρτία (χy) = αμαρτία x cos ycos x sin y.
Ομοίως, εξάγουμε τον τύπο για το συνημίτονο της διαφοράς:
Ας ξαναγράψουμε το συνημίτονο της διαφοράς μεταξύ των ορισμάτων ως άθροισμα και ας εφαρμόσουμε τον ήδη γνωστό τύπο για το συνημίτονο του αθροίσματος: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.
μόνο για ορίσματα x και -y. Αντικαθιστώντας αυτά τα ορίσματα στον τύπο, παίρνουμε cosxcos(- y) - sinxsin(- y).
sin(- y)= - siny). και παίρνουμε την τελική έκφραση cosxcosy + sinxsiny.
cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.
Αυτό σημαίνει cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.
Το συνημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών είναι ίσο με το άθροισμα μεταξύ του γινομένου των συνημιτόνων αυτών των γωνιών και του γινόμενου των ημιτόνων αυτών των γωνιών.
Συνδυάζοντας δύο τύπους (συνημίτονο του αθροίσματος και συνημίτονο της διαφοράς) σε έναν, γράφουμε
cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.
Ας θυμηθούμε ότι οι τύποι στην πράξη μπορούν να εφαρμοστούν τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και αντίστροφα.
Ας δούμε παραδείγματα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Υπολογίστε το cos (συνημίτονο του π διαιρούμενο με δώδεκα).
Λύση. Ας γράψουμε το pi διαιρούμενο με το δώδεκα ως τη διαφορά του pi με το τρία και το pi διαιρούμενο με το τέσσερα: = - .
Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο συνημιτόνου διαφοράς: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, επομένως cos = cos (-) = cos cos + sin sin
Γνωρίζουμε ότι cos = , cos = αμαρτία = , sin = . Εμφάνιση πίνακα τιμών.
Αντικαθιστούμε την τιμή του ημιτόνου και του συνημιτίου με αριθμητικές τιμές και παίρνουμε ∙ + ∙ όταν πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές, παίρνουμε
cos = cos (-) = cos cos + αμαρτία αμαρτία = ∙ + ∙ = = =.
Απάντηση: cos =.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Λύστε την εξίσωση cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (συνημίτονο δύο pi μείον πέντε x ισούται με συνημίτονο του pi επί δύο μείον πέντε x).
Λύση. Στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης εφαρμόζουμε τους τύπους αναγωγής cos(2π - cos (συνημίτονο δύο π μείον άλφα ίσο με συνημίτονοάλφα) και cos(- = sin (το συνημίτονο pi κατά δύο μείον το άλφα ισούται με το ημιτονικό άλφα), παίρνουμε cos 5x = sin 5x, το ανάγουμε στη μορφή μιας ομοιογενούς εξίσωσης πρώτου βαθμού και παίρνουμε cos 5x - sin 5x = 0. Αυτή είναι μια ομοιογενής εξίσωση πρώτου βαθμού Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές του όρου της εξίσωσης με το cos 5x. Έχουμε:
cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, επειδή cos 5x: cos 5x = 1, και sin 5x: cos 5x = tan 5x, τότε παίρνουμε:
Εφόσον γνωρίζουμε ήδη ότι η εξίσωση tgt = a έχει λύση t = arctga + πn, και αφού έχουμε t = 5x, a = 1, παίρνουμε
5x = αρκτάν 1 + πn,
και η τιμή του arctg είναι 1, τότε tg 1= Εμφάνιση πίνακα
Αντικαταστήστε την τιμή στην εξίσωση και λύστε την:
Απάντηση: x = +.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Να βρείτε την τιμή του κλάσματος. (στον αριθμητή είναι η διαφορά του γινόμενου συνημιτόνων εβδομήντα πέντε μοιρών και εξήντα πέντε μοιρών και το γινόμενο των ημιτόνων εβδομήντα πέντε μοιρών και εξήντα πέντε μοιρών, και στον παρονομαστή είναι η διαφορά του γινόμενου του ημιτόνου ογδόντα πέντε μοιρών και συνημιτόνου τριάντα πέντε μοιρών και το γινόμενο συνημιτόνου ογδόντα πέντε μοιρών και ημιτόνου τριάντα πέντε μοιρών) .
Λύση. Στον αριθμητή αυτού του κλάσματος, η διαφορά μπορεί να «συμπέσει» στο συνημίτονο του αθροίσματος των ορισμάτων 75° και 65°, και στον παρονομαστή, η διαφορά μπορεί να «συμπέσει» στο ημίτονο της διαφοράς μεταξύ των ορισμάτων 85° και 35°. Παίρνουμε
Απάντηση: - 1.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Λύστε την εξίσωση: cos(-x) + sin(-x) = 1(συνημίτονο της διαφοράς του pi επί τέσσερα και x συν το ημίτονο της διαφοράς του pi επί τέσσερα και το x είναι ίσο με ένα).
Λύση. Ας εφαρμόσουμε τους τύπους διαφορά συνημιτόνου και διαφορά ημιτόνου.
Εμφάνιση συνημιτονικού τύπου γενικής διαφοράς
Τότε cos (-x) = cos cos x + sinsinх
Δείξτε τον γενικό τύπο για τη διαφορά ημιτόνου
και αμαρτία (-х)= αμαρτία cosх - cos sinх
Αντικαταστήστε αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση cos(-x) + sin(-x) = 1 και λάβετε:
cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,
Αφού cos= και sin= Δείξτε στον πίνακα τη σημασία του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς
Παίρνουμε ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,
ο δεύτερος και ο τέταρτος όρος είναι αντίθετοι, επομένως αλληλοεξουδετερώνονται, αφήνοντας:
∙ cos + ∙ cos = 1,
Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση και ας το πάρουμε
2∙ ∙ cos x= 1,
Αφού γνωρίζουμε ήδη ότι η εξίσωση cos = a έχει λύση t = arcosένα+ 2πκ, και αφού έχουμε t=x, a =, παίρνουμε
x = arccos + 2πn,
και εφόσον η τιμή είναι arccos, τότε cos =
