Σε προηγούμενα μαθήματα, εξετάσαμε δύο τρόπους για να παραγοντοποιήσουμε ένα πολυώνυμο: βάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων και τη μέθοδο ομαδοποίησης.
Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο να παραγοντοποιήσουμε ένα πολυώνυμο χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού.
Σας συνιστούμε να γράφετε κάθε τύπο τουλάχιστον 12 φορές. Για καλύτερη απομνημόνευσηγράψτε όλους τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό σε ένα μικρό φύλλο εξαπάτησης.
Ας θυμηθούμε πώς μοιάζει η διαφορά του τύπου κύβων.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Η διαφορά της φόρμουλας των κύβων δεν είναι πολύ εύκολο να θυμηθεί κανείς, γι' αυτό συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε μια ειδική μέθοδο για να τη θυμάστε.
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι οποιοσδήποτε συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού λειτουργεί επίσης αντιθετη πλευρα.
(α − β)(α 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Ας δούμε ένα παράδειγμα. Είναι απαραίτητο να συνυπολογίσουμε τη διαφορά των κύβων.
Σημειώστε ότι το "27a 3" είναι "(3a) 3", που σημαίνει ότι για τη διαφορά των τύπων κύβων, αντί για "a" χρησιμοποιούμε "3a".
Χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς κύβων. Στη θέση του "a 3" έχουμε "27a 3", και στη θέση του "b 3", όπως στον τύπο, υπάρχει "b 3".
Εφαρμόζοντας τη διαφορά των κύβων προς την αντίθετη κατεύθυνση
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Πρέπει να μετατρέψετε το γινόμενο των πολυωνύμων στη διαφορά των κύβων χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού.
Σημειώστε ότι το γινόμενο των πολυωνύμων "(x − 1)(x 2 + x + 1)" μοιάζει με τη δεξιά πλευρά της διαφοράς των κύβων του τύπου "", μόνο που αντί για "a" υπάρχει "x" και στη θέση του του «β» υπάρχει «1» .
Για το “(x − 1)(x 2 + x + 1)” χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς κύβων προς την αντίθετη κατεύθυνση.
Ας δούμε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα. Απαιτείται η απλοποίηση του γινομένου των πολυωνύμων.
Αν συγκρίνουμε το "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" με τη δεξιά πλευρά του τύπου διαφοράς των κύβων
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", τότε μπορείτε να καταλάβετε ότι στη θέση του "a" από την πρώτη αγκύλη υπάρχει το "y 2" και στη θέση του "b" υπάρχει το "1".
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού ή κανόνες χρησιμοποιούνται στην αριθμητική, πιο συγκεκριμένα στην άλγεβρα, για να επιταχύνουν τη διαδικασία αξιολόγησης μεγάλων αλγεβρικών παραστάσεων. Οι ίδιοι οι τύποι προέρχονται από κανόνες που υπάρχουν στην άλγεβρα για τον πολλαπλασιασμό πολλών πολυωνύμων.
Η χρήση αυτών των τύπων παρέχει μια αρκετά γρήγορη λύση σε διάφορα μαθηματικά προβλήματα, και βοηθά επίσης στην απλοποίηση των εκφράσεων. Οι κανόνες των αλγεβρικών μετασχηματισμών σάς επιτρέπουν να εκτελέσετε ορισμένους χειρισμούς με εκφράσεις, μετά τους οποίους μπορείτε να αποκτήσετε στην αριστερή πλευρά της ισότητας την έκφραση στη δεξιά πλευρά ή να μετατρέψετε τη δεξιά πλευρά της ισότητας (για να λάβετε την έκφραση στην αριστερή πλευρά μετά το πρόσημο ίσον).
Είναι βολικό να γνωρίζετε τους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό από τη μνήμη, καθώς χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση προβλημάτων και εξισώσεων. Παρακάτω παρατίθενται οι κύριοι τύποι που περιλαμβάνονται σε αυτή τη λίστακαι το όνομά τους.
Τετράγωνο του αθροίσματος
Για να υπολογίσετε το τετράγωνο του αθροίσματος, πρέπει να βρείτε το άθροισμα που αποτελείται από το τετράγωνο του πρώτου όρου, το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου όρου και του δεύτερου και το τετράγωνο του δεύτερου. Σε μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Τετράγωνη διαφορά
Για να υπολογίσετε το τετράγωνο της διαφοράς, πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα που αποτελείται από το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου αριθμού και του δεύτερου (που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο) και το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού. Σε μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας μοιάζει με αυτό: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Διαφορά τετραγώνων
Ο τύπος για τη διαφορά δύο αριθμών στο τετράγωνο είναι ίσος με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των αριθμών και της διαφοράς τους. Σε μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας μοιάζει με αυτό: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Κύβος αθροίσματος
Για να υπολογίσετε τον κύβο του αθροίσματος δύο όρων, πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα που αποτελείται από τον κύβο του πρώτου όρου, τριπλασιάστε το γινόμενο του τετραγώνου του πρώτου όρου και του δεύτερου, τριπλασιάστε το γινόμενο του πρώτου όρου και του δεύτερου τετράγωνο, και τον κύβο του δεύτερου όρου. Σε μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας μοιάζει με αυτό: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Άθροισμα κύβων
Σύμφωνα με τον τύπο, ισούται με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των όρων και τους μερικό τετράγωνοδιαφορές. Σε μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας μοιάζει με αυτό: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Παράδειγμα.Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο ενός σχήματος που σχηματίζεται προσθέτοντας δύο κύβους. Μόνο τα μεγέθη των πλευρών τους είναι γνωστά.
Εάν οι πλευρικές τιμές είναι μικρές, τότε οι υπολογισμοί είναι απλοί.
Εάν τα μήκη των πλευρών εκφράζονται σε δυσκίνητους αριθμούς, τότε σε αυτήν την περίπτωση είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο "Άθροισμα κύβων", ο οποίος θα απλοποιήσει σημαντικά τους υπολογισμούς.
Κύβος διαφοράς
Η έκφραση για την κυβική διαφορά ακούγεται ως εξής: ως άθροισμα της τρίτης δύναμης του πρώτου όρου, τριπλασιάστε το αρνητικό γινόμενο του τετραγώνου του πρώτου όρου με το δεύτερο, τριπλασιάστε το γινόμενο του πρώτου όρου με το τετράγωνο του δεύτερου και τον αρνητικό κύβο του δεύτερου όρου. Με τη μορφή μαθηματικής παράστασης, ο κύβος της διαφοράς μοιάζει με αυτό: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Διαφορά των κύβων
Ο τύπος διαφοράς κύβων διαφέρει από το άθροισμα των κύβων κατά ένα μόνο πρόσημο. Έτσι, η διαφορά των κύβων είναι ένας τύπος ίσος με το γινόμενο της διαφοράς αυτών των αριθμών και του ημιτελούς τετραγώνου του αθροίσματος. Στη μορφή, η διαφορά των κύβων μοιάζει με αυτό: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Παράδειγμα.Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο του σχήματος που θα παραμείνει μετά την αφαίρεση του ογκομετρικού σχήματος από τον όγκο του μπλε κύβου κίτρινο χρώμα, που είναι επίσης ένας κύβος. Μόνο το πλευρικό μέγεθος του μικρού και μεγάλου κύβου είναι γνωστό.
Εάν οι πλευρικές τιμές είναι μικρές, τότε οι υπολογισμοί είναι αρκετά απλοί. Και αν τα μήκη των πλευρών εκφράζονται σε σημαντικούς αριθμούς, τότε αξίζει να εφαρμόσετε τον τύπο με τίτλο "Διαφορά κύβων" (ή "Κύβος διαφοράς"), ο οποίος θα απλοποιήσει σημαντικά τους υπολογισμούς.
Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού (FMF) χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό και τον πολλαπλασιασμό αριθμών και παραστάσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι σάς επιτρέπουν να κάνετε υπολογισμούς πιο συμπαγή και γρήγορα.
Σε αυτό το άρθρο θα απαριθμήσουμε τους βασικούς τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό, θα τους ομαδοποιήσουμε σε έναν πίνακα, θα εξετάσουμε παραδείγματα χρήσης αυτών των τύπων και θα σταθούμε επίσης στις αρχές της απόδειξης τύπων για συντομευμένο πολλαπλασιασμό.
Για πρώτη φορά εξετάζεται το θέμα του FSU στο πλαίσιο του μαθήματος της Άλγεβρας για την 7η τάξη. Παρακάτω είναι 7 βασικοί τύποι.
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού
- τύπος για το τετράγωνο του αθροίσματος: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- τύπος τετραγωνικής διαφοράς: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- τύπος κύβου αθροίσματος: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- τύπος κύβου διαφοράς: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- τύπος τετραγωνικής διαφοράς: a 2 - b 2 = a - b a + b
- τύπος για το άθροισμα των κύβων: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- τύπος για τη διαφορά των κύβων: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
Τα γράμματα a, b, c σε αυτές τις εκφράσεις μπορεί να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, μεταβλητές ή εκφράσεις. Για ευκολία στη χρήση, είναι καλύτερο να μάθετε τις επτά βασικές φόρμουλες από την καρδιά. Ας τα βάλουμε σε έναν πίνακα και ας τα παρουσιάσουμε παρακάτω, περικυκλώνοντάς τα με ένα πλαίσιο.
Οι τέσσερις πρώτοι τύποι σας επιτρέπουν να υπολογίσετε, αντίστοιχα, το τετράγωνο ή τον κύβο του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο παραστάσεων.
Ο πέμπτος τύπος υπολογίζει τη διαφορά μεταξύ των τετραγώνων των παραστάσεων πολλαπλασιάζοντας το άθροισμα και τη διαφορά τους.
Ο έκτος και ο έβδομος τύπος, αντίστοιχα, πολλαπλασιάζουν το άθροισμα και τη διαφορά των παραστάσεων με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς και το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος.
Ο συντετμημένος τύπος πολλαπλασιασμού ονομάζεται μερικές φορές και συντετμημένες ταυτότητες πολλαπλασιασμού. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, αφού κάθε ισότητα είναι μια ταυτότητα.
Όταν αποφασίζει πρακτικά παραδείγματασυχνά χρησιμοποιούν συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού με την αριστερή και τη δεξιά πλευρά να εναλλάσσονται. Αυτό είναι ιδιαίτερα βολικό κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου.
Πρόσθετοι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού
Ας μην περιοριστούμε στο μάθημα της άλγεβρας της 7ης τάξης και ας προσθέσουμε μερικούς ακόμη τύπους στον πίνακα FSU μας.
Αρχικά, ας δούμε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα.
a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n
Εδώ C n k είναι οι διωνυμικοί συντελεστές που εμφανίζονται στον αριθμό n της γραμμής στο τρίγωνο του Pascal. Οι διωνυμικοί συντελεστές υπολογίζονται με τον τύπο:
C n k = n ! κ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Όπως μπορείτε να δείτε, το FSU για το τετράγωνο και τον κύβο της διαφοράς και το άθροισμα είναι ειδική περίπτωσηΟι διωνυμικοί τύποι του Νεύτωνα για n=2 και n=3, αντίστοιχα.
Αλλά τι γίνεται αν υπάρχουν περισσότεροι από δύο όροι στο άθροισμα που πρέπει να αυξηθεί σε μια ισχύ; Ο τύπος για το τετράγωνο του αθροίσματος τριών, τεσσάρων ή περισσότερων όρων θα είναι χρήσιμος.
α 1 + α 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Ένας άλλος τύπος που μπορεί να είναι χρήσιμος είναι ο τύπος για τη διαφορά μεταξύ των ντων δυνάμεων δύο όρων.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Αυτός ο τύπος συνήθως χωρίζεται σε δύο τύπους - για ζυγές και περιττές δυνάμεις, αντίστοιχα.
Για δείκτες ακόμη και 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Για περιττούς εκθέτες 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Η διαφορά των τετραγώνων και η διαφορά των τύπων κύβων, όπως μαντέψατε, είναι ειδικές περιπτώσεις αυτού του τύπου για n = 2 και n = 3, αντίστοιχα. Για διαφορά κύβων, το b αντικαθίσταται επίσης από - b.
Πώς να διαβάσετε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού;
Θα δώσουμε τα κατάλληλα σκευάσματα για κάθε τύπο, αλλά πρώτα θα κατανοήσουμε την αρχή της ανάγνωσης τύπων. Ο πιο βολικός τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι με ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε τον πρώτο τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Λένε: το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων α και β είναι ίσο με το άθροισμα του τετραγώνου της πρώτης παράστασης, διπλάσιο του γινόμενου των παραστάσεων και του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης.
Όλοι οι άλλοι τύποι διαβάζονται παρόμοια. Για το τετράγωνο της διαφοράς a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 γράφουμε:
το τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ δύο παραστάσεων α και β είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων αυτών των παραστάσεων μείον το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων.
Ας διαβάσουμε τον τύπο a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Ο κύβος του αθροίσματος δύο παραστάσεων a και b είναι ίσος με το άθροισμα των κύβων αυτών των παραστάσεων, τριπλασιάστε το γινόμενο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης με τη δεύτερη και τριπλασιάστε το γινόμενο του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης με το πρώτη έκφραση.
Ας προχωρήσουμε στην ανάγνωση του τύπου για τη διαφορά των κύβων a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Ο κύβος της διαφοράς μεταξύ δύο παραστάσεων a και b είναι ίσος με τον κύβο της πρώτης παράστασης μείον το τριπλό γινόμενο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης, συν το τριπλό γινόμενο του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης και της πρώτης παράστασης , μείον τον κύβο της δεύτερης έκφρασης.
Ο πέμπτος τύπος a 2 - b 2 = a - b a + b (διαφορά τετραγώνων) έχει ως εξής: η διαφορά των τετραγώνων δύο παραστάσεων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς και το άθροισμα των δύο παραστάσεων.
Για ευκολία, εκφράσεις όπως a 2 + a b + b 2 και a 2 - a b + b 2 ονομάζονται, αντίστοιχα, το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος και το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς.
Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων μπορούν να διαβαστούν ως εξής:
Το άθροισμα των κύβων δύο παραστάσεων είναι ίσο με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των παραστάσεων και το μερικό τετράγωνο της διαφοράς τους.
Η διαφορά μεταξύ των κύβων δύο παραστάσεων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς μεταξύ αυτών των παραστάσεων και του μερικού τετραγώνου του αθροίσματος τους.
Απόδειξη της FSU
Η απόδειξη του FSU είναι αρκετά απλή. Με βάση τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, θα πολλαπλασιάσουμε τα μέρη των τύπων σε αγκύλες.
Για παράδειγμα, εξετάστε τον τύπο για την τετραγωνική διαφορά.
a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
Για να αυξήσετε μια έκφραση στη δεύτερη δύναμη, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την έκφραση από μόνη της.
a - b 2 = a - b a - b .
Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:
a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
Η φόρμουλα είναι αποδεδειγμένη. Τα υπόλοιπα FSU αποδεικνύονται παρόμοια.
Παραδείγματα εφαρμογής FSU
Ο σκοπός της χρήσης συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού είναι ο γρήγορος και συνοπτικός πολλαπλασιασμός και η αύξηση των εκφράσεων σε δυνάμεις. Ωστόσο, αυτό δεν είναι ολόκληρο το πεδίο εφαρμογής της FSU. Χρησιμοποιούνται ευρέως στη μείωση των εκφράσεων, στη μείωση των κλασμάτων και στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων. Ας δώσουμε παραδείγματα.
Παράδειγμα 1. FSU
Ας απλοποιήσουμε την έκφραση 9 y - (1 + 3 y) 2.
Ας εφαρμόσουμε τον τύπο του αθροίσματος τετραγώνων και πάρουμε:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Παράδειγμα 2. FSU
Ας μειώσουμε το κλάσμα 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Σημειώνουμε ότι η έκφραση στον αριθμητή είναι η διαφορά των κύβων και στον παρονομαστή η διαφορά των τετραγώνων.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .
Μειώνουμε και παίρνουμε:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Τα FSU βοηθούν επίσης στον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων. Το κύριο πράγμα είναι να μπορείτε να παρατηρήσετε πού να εφαρμόσετε τον τύπο. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.
Ας τετραγωνίσουμε τον αριθμό 79. Αντί για δυσκίνητους υπολογισμούς, ας γράψουμε:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Φαίνεται ότι, σύνθετος υπολογισμόςπραγματοποιείται γρήγορα χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού και πίνακες πολλαπλασιασμού.
Ένα άλλο σημαντικό σημείο είναι η επιλογή του τετραγώνου του διωνύμου. Η έκφραση 4 x 2 + 4 x - 3 μπορεί να μετατραπεί σε 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Τέτοιοι μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται ευρέως στην ολοκλήρωση.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού.
Μελέτη συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού: το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων. διαφορά τετραγώνων δύο παραστάσεων. ο κύβος του αθροίσματος και ο κύβος της διαφοράς δύο παραστάσεων. αθροίσματα και διαφορές κύβων δύο παραστάσεων.
Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Για να απλοποιηθούν οι εκφράσεις, τα πολυώνυμα παραγόντων και η μείωση των πολυωνύμων σε τυπική μορφή, χρησιμοποιούνται συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού πρέπει να είναι γνωστοί από καρδιάς.
Έστω a, b R. Τότε:
1. Το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων είναι ίσο μετο τετράγωνο της πρώτης παράστασης συν το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης συν το τετράγωνο της δεύτερης παράστασης.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων είναι ίσο μετο τετράγωνο της πρώτης παράστασης μείον το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης συν το τετράγωνο της δεύτερης παράστασης.
(α - β) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Διαφορά τετραγώνωνδύο εκφράσεις ισούνται με το γινόμενο της διαφοράς αυτών των παραστάσεων και το άθροισμά τους.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Κύβος αθροίσματοςδύο εκφράσεις είναι ίσες με τον κύβο της πρώτης παράστασης συν το τριπλάσιο του γινόμενου του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και το δεύτερο συν το τριπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης και το τετράγωνο της δεύτερης συν τον κύβο της δεύτερης παράστασης.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Κύβος διαφοράςδύο εκφράσεις είναι ίσες με τον κύβο της πρώτης παράστασης μείον τριπλάσιο το γινόμενο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και η δεύτερη συν τριπλάσιο το γινόμενο της πρώτης παράστασης και το τετράγωνο της δεύτερης μείον τον κύβο της δεύτερης παράστασης.
(α - β) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Άθροισμα κύβωνδύο παραστάσεις ισούται με το γινόμενο του αθροίσματος της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων και το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς αυτών των παραστάσεων.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Διαφορά των κύβωνδύο παραστάσεις ισούται με το γινόμενο της διαφοράς της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων από το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος αυτών των παραστάσεων.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα 1.
Υπολογίζω
α) Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων, έχουμε
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
β) Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων, παίρνουμε
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Παράδειγμα 2.
Υπολογίζω
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων δύο παραστάσεων, παίρνουμε
Παράδειγμα 3.
Απλοποιήστε μια έκφραση
(x - y) 2 + (x + y) 2
Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού σε έναν πίνακα:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(α - β) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(α - β) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
