Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно. Какие числа взаимно простые? Каковы свойства взаимно простых чисел? Свойства взаимно простых чисел

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел - это всегда единица.

Примеры нод взаимно простых чисел.

НОД чисел 11 и 7

Числа 11 и 7 являются взаимно простыми и, одновременно, простыми.

У чисел 11 и 7 нет иных общих делителей кроме 1.

НОД(11, 7) = 1

НОД чисел 11 и 15

Числа 11 и 15 являются взаимно простыми. При этом 11 есть простое число, а 15 - составное.

Делители числа 11 есть 1 и 11.

Делители числа 15 есть 1, 3, 5, 15.

Как видно, единственный общий множитель чисел 11 и 15 есть число 1. Единица, таким образом, и есть НОД чисел 11 и 15:

НОД(11, 15) = 1

НОД чисел 10 и 21

Числа 10 и 21 являются взаимно простыми. При этом и число 10, и число 21 являются составными.

Множители числа 10 есть 1, 2, 5, 10.

Множители числа 21 есть 1, 3, 7, 21.

Как видно, единственный общий множитель чисел 10 и 21 есть число 1. Единица, таким образом, и есть НОД чисел 10 и 21:

НОД(21, 10) = 1

НОД чисел 16 и 23

Числа 16 и 23 являются взаимно простыми. При этом 23 есть простое число, а 16 - составное.

Натуральные числа a и b называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 (НОД(a ; b ) = 1). Другими словами, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.

Примеры пар взаимно простых чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 и т. п. Можно указать несколько взаимно простых чисел, например, числа 7, 9, 16 – взаимно просты.

Часто взаимно простые числа обозначают так: (a , b ) = 1. Например, (23, 30) = 1. Эта запись как бы является сокращенной записью обозначения наибольшего общего делителя двух чисел (НОД(23, 30) = 1), и говорит о том, что их наибольший общий делитель равен 1.

Два соседних натуральных числа всегда будут взаимно просты. Например, 15 и 16 - пара взаимно простых чисел, также как 16 и 17. Это легко понять, если принять во внимание «правило» о том, что если два натуральных числа a и b делятся на одно и то же натуральное число большее 1 (n > 1), то и их разница также должна делится на это число n (здесь имеется в виду, что a , b и их разность делятся нацело, т. е. кратны числу n ). Но если a и b два соседних числа (пусть a < b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Из определения взаимно простых чисел и простых чисел также следует, что разные простые числа всегда оказываются взаимно простыми . Ведь делителями любого простого числа являются лишь оно само и 1.

Свойства взаимно простых чисел

• Наименьшее общее кратное (НОК) пары взаимно простых чисел равно их произведению. Например, (3, 8) = 1 (это значит взаимно просты), следовательно, их НОК равен 3 × 8 = 24 (НОК(3, 8) = 24). Действительно, вы не найдете меньшее число, чем 24, которое было бы кратно и 3 и 8.
• Если числа a и b взаимно просты и число c кратно как a , так и b , то это число будет кратно и произведению ab . Это можно записать так: если с a и c b , то c ab . Например, (3, 10) = 1, число 60 кратно как 3, так и 10, а также кратно 30 (3 × 10).
• Если числа a и b взаимно просты и взято число c кратное b (c b ), то произведение ac также будет также кратно b (ac b ). Например, (2, 17) = 1, пусть c = 34. Число 34 кратно b = 17, тогда ac = 2 × 34 = 68. Проверяем: 68 ÷ 17 = 4, т. е. делится нацело, а значит 68 кратно 17.

Обычно выделяют больше свойств, чем приведено здесь. Кроме того, свойства взаимно простых чисел формулируются по разному. Также бывает требуется доказать эти свойства (в данном случае доказательства не приводятся).

Задание: Найдите НОД и НОК чисел наиболее удобным способом:

а) 12 и 40; б) 9 и 40; в) 12 и 72 .

На задание дается 5 мин.

Каким способом удобнее решать каждое упражнение?

Разбор по слайду.

а) Удобнее решать методом разложения на простые множители

12 = 2·2·3; 40 = 2·2·2·5

НОД(12;40)=2·2=4; НОК(12;40) = 2·2·2·3·5 = 120

б) есть ли общие делители у чисел 9 и 40? (есть, 1.)

Как называются эти числа? (взаимно простые.)

Чему равен НОД этих чисел? (НОД(9;40) = 1)

Чему равен НОК этих чисел? (НОК(9;40) = 9· 40=360.)

в) Что вы можете сказать о числах 12 и 72? (72 делиться на 12) Какое правило мы знаем? (если одно число делится на другое, то НОД = наименьшему числу, а НОК - наибольшему)

НОД(12;72) = 12; НОК(12;72) = 72

Сверьте данные, которые у вас получились, с эталоном который лежит на учительском столе.

ФО: Оценивают себя по критериям, написанным в листе эталона. Поставив напротив критерия галочку.

7 галочек – высокий уровень

6-4 галочки – средний уровень

1-3 галочки – низкий уровень

Физминутка

Быстро встали, улыбнулись,

Выше-выше подтянулись.

Ну-ка плечи распрямите,

Поднимите, опустите.

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь.

Сели, встали, сели, встали,

И на месте побежали.

Вопрос учителя: Где мы уже используем наши знания НОДа и НОКа чисел?

При решении задач.

Перед ними на учительском столе находиться «Ромашка заданий» состоящая из 21 лепестка.

Красный лепесток – задания уровня С.

Желтый лепесток – задания уровня В.

Зеленый лепесток – задания уровня А.

ФО: Преобладающее количество лепестков красного цвета показывает высокий уровень усвоения, желтого цвета - средний уровень усвоения и зеленого цвета – низкого уровня усвоения.