U slučajevima kada dijagram Mz 1 (ili Mz) ograničeno je na ravne linije. U biti ovo je tehnika za grafički analitički izračun određenog integrala umnoška dviju funkcija f(x) I φ (x), od kojih je npr. jedan φ (x), linearan, tj. ima oblik

Razmotrimo dio grede unutar kojeg je dijagram momenata savijanja od jediničnog opterećenja ograničen na jednu ravnu liniju Mz 1 = kx+ b, a moment savijanja od zadanog opterećenja mijenja se prema nekom proizvoljnom zakonu Mz. Zatim unutar ovog područja

Drugi integral predstavlja površinu ω dijagrami Mz u području koje se razmatra, a prvi je statički moment ovog područja u odnosu na os g i prema tome jednak umnošku površine ω na koordinatu svog težišta xc. Tako,

.

Ovdje kxc+ b- ordinata gc dijagrami Mz 1 ispod težišta područja ω . Stoga,

.

Raditi ω gc bit će pozitivno kada ω I gc smještene s jedne strane osi dijagrama, a negativne ako su na suprotnim stranama ove osi.

Dakle, prema Vereščaginova metoda operacija integracije zamjenjuje se množenjem površine ω jedna parcela po ordinati gc drugi (nužno linearni) dijagram uzet ispod težišta područja ω .

Važno je uvijek zapamtiti da je takvo "množenje" dijagrama moguće samo u području ograničenom jednom ravnom linijom dijagrama iz koje je uzeta ordinata gc. Stoga, kada se izračunavaju pomaci dijelova grede Vereshchaginovom metodom, Mohrov integral po cijeloj duljini grede mora se zamijeniti zbrojem integrala po dijelovima unutar kojih dijagram momenata od jediničnog opterećenja nema pregiba. Zatim

.

Za uspješnu primjenu Vereščaginove metode potrebno je imati formule pomoću kojih se mogu izračunati površine ω i koordinate xc njihova težišta. Dano u tablici. 8.1 podaci odgovaraju samo najjednostavnijim slučajevima opterećenja grede. Međutim, složeniji dijagrami momenata savijanja mogu se rastaviti na jednostavne figure, područja ω ja, i koordinate gci koji su poznati, a zatim naći posao ω gc za tako složen dijagram zbrajanjem umnožaka površina ω ja njegove dijelove na njihove odgovarajuće koordinate gci. To se objašnjava činjenicom da je rastavljanje multiplikacijskog dijagrama na dijelove ekvivalentno prikazu funkcije Mz(x) u integral (8.46) kao zbroj integrala. U nekim slučajevima konstrukcija slojevitih dijagrama, tj. iz svake vanjske sile i para zasebno, pojednostavljuje izračune.

Ako oba dijagrama Mz I Mz 1 linearni, konačni rezultat njihovog množenja ne ovisi o tome hoće li se područje prvog dijagrama pomnožiti s ordinatom drugog ili, obrnuto, područje drugog s ordinatom prvog.

Za praktično izračunavanje pomaka Vereščaginovom metodom potrebno je:

1) konstruirati dijagram momenata savijanja od zadanog opterećenja (glavni dijagram);

3) konstruirati dijagram momenata savijanja od jediničnog opterećenja (jedinični dijagram);

4) podijeliti dijagrame zadanih opterećenja u posebna područja ω ja i izračunajte ordinate gCi jedan dijagram ispod težišta ovih područja;

5) komponirati djelo ω jagCi i sažmi ih.


Tablica 8.1.

Vrsta dijagrama Mz Kvadrat ω Koordinata težišta xc
(*) - Ove formule nisu važeće za ovaj slučaj opterećenja

EE "BSUIR"

Zavod za tehničku grafiku

SAŽETAK

na temu:

“ODREĐIVANJE POMAKA METODOM MOR. VEREŠČAGINOVA VLADINA"

MINSK, 2008


Razmotrimo sada opću metodu za određivanje pomaka, prikladnu za bilo koji linearno deformabilni sustav pod bilo kojim opterećenjem. Ovu metodu predložio je izvanredni njemački znanstvenik O. Mohr.

Recimo, na primjer, da želite odrediti vertikalni pomak točke A grede prikazane na sl. 7.13, a. Zadano stanje (opterećenje) označavamo slovom k. Odaberimo pomoćno stanje iste grede s jedinicom

sila koja djeluje u točki A i u smjeru željenog pomaka. Pomoćno stanje označavamo slovom i (sl. 7.13,6).

Izračunajmo rad vanjskih i unutarnjih sila pomoćnog stanja na pomake uzrokovane djelovanjem sila stanja opterećenja.

Rad vanjskih sila bit će jednak umnošku jedinice sile i željenog pomaka ya

a rad unutarnjih sila po apsolutnoj vrijednosti jednak je integralu

(1)

Formula (7.33) je Mohrova formula (Mohrov integral), koja omogućuje određivanje pomaka u bilo kojoj točki linearno deformabilnog sustava.

U ovoj formuli, integrand od MiMk je pozitivan ako oba momenta savijanja imaju isti predznak, a negativan ako Mi i Mk imaju različite predznake.

Ako bismo odredili kutni pomak u točki A, tada bismo u stanju i morali primijeniti moment jednak jedan (bez dimenzije) u točki A.

Označavajući slovom Δ svako kretanje (linearno ili kutno), Mohrovu formulu (integral) zapisujemo u obliku

(2)

U općem slučaju, analitički izrazi Mi i Mk mogu biti različiti u različitim presjecima grede ili elastičnog sustava općenito. Stoga umjesto formule (2) treba koristiti općenitiju formulu

(3)

Ako šipke sustava ne rade na savijanje, već na napetost (kompresiju), kao, na primjer, u rešetkama, tada Mohrova formula ima oblik

(4)

U ovoj formuli, produkt NiNK je pozitivan ako su obje sile vlačne ili obje tlačne. Ako šipke istodobno rade na savijanju i napetosti (kompresiji), tada se u uobičajenim slučajevima, kao što pokazuju usporedni izračuni, pomaci mogu odrediti uzimajući u obzir samo momente savijanja, budući da je utjecaj uzdužnih sila vrlo mali.

Iz istih razloga, kao što je ranije navedeno, u uobičajenim slučajevima utjecaj posmičnih sila može se zanemariti.

Umjesto izravnog izračuna Mohrovog integrala, možete koristiti grafoanalitičku tehniku ​​"metodu množenja dijagrama" ili Vereščaginovo pravilo.

Razmotrimo dva dijagrama momenata savijanja, od kojih jedan Mk ima proizvoljan obris, a drugi Mi je pravocrtan (sl. 7.14, a i b).

(5)

Vrijednost MKdz je elementarna površina dωk Mk dijagrama (osjenčana na slici). Tako,

(6)

stoga,

(8)

Ali predstavlja statički moment područja dijagrama Mk u odnosu na neku os y koja prolazi kroz točku O, jednak ωkzc, gdje je ωk područje dijagrama momenta; zc je udaljenost od y-osi do težišta Mk dijagrama. Iz crteža je jasno da

gdje je Msi ordinata dijagrama Mi, koja se nalazi ispod težišta dijagrama Mk (ispod točke C). Stoga,

(10)

tj. traženi integral jednak je umnošku površine dijagrama Mk (bilo kojeg oblika) s ordinatom pravocrtnog dijagrama Msi koji se nalazi ispod njegovog težišta. Vrijednost ωkMsi smatra se pozitivnom ako se oba dijagrama nalaze na istoj strani štapa, a negativnom ako se nalaze na različitim stranama. Pozitivan rezultat množenja dijagrama znači da se smjer kretanja poklapa sa smjerom jedinične sile (ili momenta).

Mora se upamtiti da se ordinata Msi mora uzeti u pravocrtnom dijagramu. U posebnom slučaju kada su oba dijagrama pravocrtna, možete pomnožiti površinu bilo kojeg od njih s odgovarajućom ordinatom drugog.

Za šipke promjenjivog presjeka, Vereščaginovo pravilo dijagrama množenja nije primjenjivo, jer u ovom slučaju više nije moguće ukloniti vrijednost EJ ispod znaka integrala. U ovom slučaju, EJ treba izraziti kao funkciju apscise presjeka i zatim izračunati Mohrov integral (1).

Pri stupnjevitoj promjeni krutosti štapa, integracija (ili množenje dijagrama) se provodi za svaku sekciju zasebno (s vlastitom EJ vrijednošću), a zatim se rezultati zbrajaju.

U tablici 1 prikazuje površine nekih jednostavnih dijagrama i koordinate njihovog težišta.

stol 1

Vrsta dijagrama Područje dijagrama Udaljenost do centra gravitacije

Da biste ubrzali izračune, možete koristiti gotove tablice množenja dijagrama (tablica 2).

U ovoj tablici, u ćelijama na sjecištu odgovarajućih elementarnih dijagrama, dani su rezultati množenja tih dijagrama.

Prilikom rastavljanja složenog dijagrama na elementarne, prikazane u tablici. 1 i 7.2, treba imati na umu da su parabolični dijagrami dobiveni djelovanjem samo jednog raspodijeljenog opterećenja.

U slučajevima kada su u složenom dijagramu zakrivljeni presjeci dobiveni istodobnim djelovanjem koncentriranih momenata, sila i jednoliko raspodijeljenog opterećenja, da bi se izbjegle pogreške, složeni dijagram treba najprije "raslojiti", tj. podijeliti na nekoliko nezavisni dijagrami: od djelovanja koncentriranih momenata, sila i od djelovanja jednoliko raspodijeljenog opterećenja.

Također možete koristiti drugu tehniku ​​koja ne zahtijeva stratifikaciju dijagrama, već samo zahtijeva odabir krivocrtnog dijela dijagrama duž tetive koja povezuje njegove krajnje točke.

Obje metode ćemo demonstrirati na konkretnom primjeru.

Recimo, na primjer, da želite odrediti okomiti pomak lijevog kraja grede (slika 7.15).

Ukupni dijagram opterećenja prikazan je na sl. 7.15, a.


Tablica 7.2

Dijagram djelovanja jedinične sile u točki A prikazan je na sl. 7.15, grad

Za određivanje vertikalnog pomaka u točki A potrebno je dijagram opterećenja pomnožiti s dijagramom jedinične sile. Međutim, napominjemo da se u presjeku BC ukupnog dijagrama krivolinijski dijagram ne dobiva samo djelovanjem jednoliko raspodijeljenog opterećenja, već i djelovanjem koncentrirane sile P. Kao rezultat toga, u presjeku BC postoji više neće biti elementarni parabolički dijagram dan u tablicama 7.1 i 7.2, već prema u biti složenom dijagramu za koji podaci u ovim tablicama nisu valjani.

Stoga je potrebno složeni dijagram stratificirati prema sl. 7.15, te na elementarne dijagrame prikazane na sl. 7.15, b i 7.15, c.

Dijagram prema Sl. 7.15, b dobiven je samo iz koncentrirane sile, dijagram prema Sl. 7.15, c - samo od djelovanja ravnomjerno raspoređenog opterećenja.

Sada možete umnožiti dijagrame pomoću tablice. 1 ili 2.

Da biste to učinili, trebate umnožiti trokutasti dijagram prema Sl. 7.15, b na trokutasti dijagram prema sl. 7.15, d i tome dodajte rezultat množenja paraboličkog dijagrama na sl. 7.15, u trapezoidnom dijagramu presjeka BC prema sl. 7.15, d, budući da su u odjeljku AB ordinate dijagrama prema Sl. 7.15, in jednaki su nuli.

Pokažimo sada drugu metodu množenja dijagrama. Pogledajmo ponovno dijagram na sl. 7.15, a. Uzmimo ishodište reference u odjeljku B. Pokazujemo da se unutar granica LMN krivulje momenti savijanja mogu dobiti kao algebarski zbroj momenata savijanja koji odgovaraju ravnoj liniji LN i momenata savijanja paraboličkog dijagrama LNML, isto kao i za jednostavnu gredu duljine a, opterećenu jednoliko raspodijeljenim opterećenjem q:

Najveća ordinata u sredini bit će jednaka .

Da bismo to dokazali, napišimo stvarni izraz za moment savijanja u presjeku na udaljenosti z od točke B

(A)

Napišimo sada izraz za moment savijanja u istom presjeku, dobiven kao algebarski zbroj ordinata pravca LN i parabole LNML.

Jednadžba pravca LN

gdje je k tangens kuta nagiba ove linije

Prema tome, jednadžba momenata savijanja dobivena kao algebarski zbroj jednadžbe pravca LN i parabole LNMN ima oblik

što se podudara s izrazom (A).

Kada množite dijagrame prema Vereščaginovom pravilu, trebali biste pomnožiti trapez BLNC s trapezom iz jediničnog dijagrama u odjeljku BC (vidi sl. 7.15, d) i oduzeti rezultat množenja paraboličkog dijagrama LNML (površina ) s istim trapezom iz jediničnog dijagrama. Ova metoda slojevitosti dijagrama posebno je korisna kada se zakrivljeni dio dijagrama nalazi u jednom od srednjih dijelova grede.

Primjer 7.7. Odredite vertikalne i kutne pomake konzolne grede na mjestu primjene opterećenja (slika 7.16).

Riješenje. Konstruiramo dijagram momenata savijanja za stanje opterećenja (slika 7.16, a).

Za određivanje vertikalnog pomaka odabiremo pomoćno stanje grede s jediničnom silom u točki primjene opterećenja.

Iz ove sile konstruiramo dijagram momenata savijanja (slika 7.16, b). Određivanje vertikalnog pomaka Mohrovom metodom

Vrijednost momenta savijanja uslijed opterećenja

Vrijednost momenta savijanja iz jedinice sile

Zamjenjujemo ove vrijednosti MR i Mi pod znakom integrala i integriramo

Isti rezultat prethodno je dobiven drugom metodom.

Pozitivna vrijednost otklona označava da se točka primjene opterećenja P pomiče prema dolje (u smjeru jedinične sile). Kad bismo jediničnu silu usmjerili odozdo prema gore, imali bismo Mi = 1z i kao rezultat integracije dobili bismo otklon s predznakom minus. Znak minus bi značio da kretanje nije gore, nego dolje, kao što je u stvarnosti.

Izračunajmo sada Mohrov integral množenjem dijagrama prema Vereščaginovom pravilu.

Budući da su oba dijagrama pravocrtna, nije bitno iz kojeg dijagrama uzeti površinu, a iz kojeg uzeti ordinatu.

Površina dijagrama opterećenja jednaka je

Težište ovog dijagrama nalazi se na udaljenosti od 1/3l od ugradnje. Određujemo ordinatu dijagrama momenata iz jedinice sile, koja se nalazi ispod

težište dijagrama opterećenja. Lako je provjeriti da je jednak 1/3l.

Stoga.

Isti rezultat dobiva se iz tablice integrala. Rezultat množenja dijagrama je pozitivan, jer se oba dijagrama nalaze na dnu šipke. Posljedično, točka primjene opterećenja pomiče se prema dolje, tj. duž prihvaćenog smjera jedinične sile.

Za određivanje kutnog pomaka (kuta zakreta) odabiremo pomoćno stanje grede u kojem na kraju grede djeluje koncentrirani moment jednak jedinici.

Konstruiramo dijagram momenata savijanja za ovaj slučaj (slika 7.16, c). Kutni pomak određujemo množenjem dijagrama. Područje dijagrama opterećenja

Ordinate dijagrama iz jednog trenutka svugdje su jednake jedinici. Stoga je željeni kut zakreta presjeka jednak

Budući da se oba dijagrama nalaze ispod, rezultat množenja dijagrama je pozitivan. Dakle, krajnji dio grede rotira u smjeru kazaljke na satu (u smjeru jediničnog momenta).

Primjer: pomoću Mohr-Vereshchaginove metode odredite progib u točki D za gredu prikazanu na sl. 7.17..

Riješenje. Gradimo slojeviti dijagram momenata od opterećenja, tj. gradimo zasebne dijagrame od djelovanja svakog opterećenja. U ovom slučaju, radi praktičnosti množenja dijagrama, preporučljivo je konstruirati stratificirane (elementarne) dijagrame u odnosu na presjek, čiji se otklon određuje u ovom slučaju u odnosu na presjek D.

Na sl. 7.17, a prikazuje dijagram momenata savijanja od reakcije A (presjek AD) i od opterećenja P = 4 T (presjek DC). Dijagrami su izgrađeni na komprimiranom vlaknu.

Na sl. 7.17, b prikazuje dijagrame momenata od reakcije B (odjeljak BD), od lijevog jednoliko raspodijeljenog opterećenja (odjeljak AD) i od jednoliko raspodijeljenog opterećenja koje djeluje na presjeku BC. Ovaj dijagram je prikazan na sl. 7.17, b u području DC ispod.

Zatim odabiremo pomoćno stanje grede, za koje primjenjujemo jediničnu silu u točki D, gdje se određuje otklon (slika 7.17, c). Dijagram momenata jedinice sile prikazan je na sl. 7.17, d. Sada pomnožimo dijagrame od 1 do 7 s dijagramima 8 i 9, koristeći tablice množenja dijagrama, uzimajući u obzir znakove.

U tom slučaju dijagrami koji se nalaze na jednoj strani grede množe se znakom plus, a dijagrami koji se nalaze na suprotnim stranama grede množe se znakom minus.

Množenjem dijagrama 1 i dijagrama 8 dobivamo

Množenjem dijagrama 5 sa dijagramom 8, dobivamo

Množenje dijagrama 2 i 9 daje

Pomnožite dijagrame 4 i 9

Pomnožite grafikone 6 i 9

Sumirajući rezultate dijagrama množenja, dobivamo

Znak minus pokazuje da se točka D ne kreće prema dolje, jer je jedinična sila usmjerena, već prema gore.

Isti rezultat dobiven je ranije korištenjem univerzalne jednadžbe.

Naravno, u ovom primjeru bilo je moguće stratificirati dijagram samo u presjeku AD, jer je u presjeku DB ukupni dijagram pravocrtan i nema potrebe za stratifikacijom. U presjeku BC nije potrebno raslojavanje, budući da je iz jedinice sile u ovom odjeljku dijagram jednak nuli. Raslojavanje dijagrama u presjeku BC potrebno je za određivanje progiba u točki C.

Primjer. Odredite vertikalne, horizontalne i kutne pomake presjeka A slomljene šipke prikazane na sl. 7.18, a. Krutost poprečnog presjeka okomitog presjeka štapa je EJ1; krutost poprečnog presjeka vodoravnog presjeka je EJ2.

Riješenje. Konstruiramo dijagram momenata savijanja uslijed opterećenja. Prikazano je na sl. 7.18, b (vidi primjer 6.9). Za određivanje vertikalnog pomaka presjeka A odabiremo pomoćno stanje sustava prikazano na sl. 7.18, c. U točki A djeluje jedinična okomita sila usmjerena prema dolje.

Dijagram momenata savijanja za ovo stanje prikazan je na sl. 7.18, c.

Vertikalni pomak određujemo Mohrovom metodom, metodom množenja dijagrama. Kako na okomitom štapu u pomoćnom stanju nema dijagrama M1, množimo samo dijagrame koji se odnose na horizontalni štap. Uzimamo površinu dijagrama iz stanja opterećenja, a ordinatu iz pomoćnog stanja. Vertikalni pomak je

Budući da se oba dijagrama nalaze ispod, rezultat množenja uzimamo sa znakom plus. Zbog toga se točka A pomiče prema dolje, tj. u smjeru jedinične vertikalne sile.

Da bismo odredili horizontalno kretanje točke A, odabiremo pomoćno stanje s horizontalnom jediničnom silom usmjerenom ulijevo (slika 7.18, d). Tu je prikazan dijagram trenutaka za ovaj slučaj.

Pomnožimo MP i M2 dijagrame i dobijemo

Rezultat množenja dijagrama je pozitivan, jer se umnoženi dijagrami nalaze na istoj strani štapića.

Za određivanje kutnog pomaka odabiremo pomoćno stanje sustava prema sl. 7.18.5 i konstruirajte dijagram momenata savijanja za to stanje (na istoj slici). Množimo dijagrame MP i M3:

Rezultat množenja je pozitivan, jer se umnoženi dijagrami nalaze s jedne strane.

Posljedično, odjeljak A rotira u smjeru kazaljke na satu

Isti rezultati bi se dobili korištenjem tablica
dijagrami množenja.

Pogled na deformiranu šipku prikazan je na sl. 7.18, e, dok su pomaci znatno povećani.


KNJIŽEVNOST

Feodosiev V.I. Čvrstoća materijala. 1986. godine

Belyaev N.M. Čvrstoća materijala. 1976. godine

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Proračun i projektiranje mehanizama instrumenata i računalnih sustava. 1991. godine

Rabotnov Yu.N. Mehanika deformabilnih krutih tijela. 1988. godine

Stepin P.A. Čvrstoća materijala. 1990. godine

Predavanje 13 (nastavak). Primjeri rješenja za proračun pomaka Mohr-Vereshchagin metodom i zadaci za samostalno rješavanje

Definiranje pomaka u gredama

Primjer 1.

Odrediti kretanje točke DO grede (vidi sliku) pomoću Mohrovog integrala.

Riješenje.

1) Sastavljamo jednadžbu za moment savijanja od vanjske sile M F .

2) Nanesite na točku DO jedinica sile F = 1.

3) Zapisujemo jednadžbu momenta savijanja iz jedinice sile.

4) Odredite pokrete

Primjer 2.

Odrediti kretanje točke DO grede prema Vereščaginovoj metodi.

Riješenje.

1) Gradimo dijagram tereta.

2) Djelujemo jediničnom silom u točki K.

3) Gradimo jedan dijagram.

4) Odredite otklon

Primjer 3.

Odrediti kutove zakreta na osloncima A I U

Riješenje.

Dijagrame konstruiramo od zadanog opterećenja i od pojedinačnih momenata primijenjenih u presjecima A I U(vidi sliku). Tražene pomake određujemo pomoću Mohrovih integrala

,

, koji izračunavamo pomoću Vereščaginovog pravila.

Pronalaženje parametara parcele

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

a zatim i kutove rotacije na osloncima A I U

Primjer 4.

Odredite kut zakreta presjeka S za datu gredu (vidi sliku).

Riješenje.

Određivanje reakcija podrške R A =R B ,

, , R A = R B = qa.

Konstruiramo dijagrame momenta savijanja iz zadanog opterećenja i iz jednog momenta primijenjenog u presjeku S, gdje se traži kut rotacije. Mohrov integral izračunavamo koristeći Vereščaginovo pravilo. Pronalaženje parametara parcele

C 2 = -C 1 = -1/4,

a uz njih željeno kretanje

Primjer 5.

Odredite progib u presjeku S za datu gredu (vidi sliku).

Riješenje.

Dijagram M F(Slika b)

Reakcije podrške:

BITI: , ,

, R B + R E = F, R E = 0;

AB: , R A = R U = F; , .

Računamo momente u karakterističnim točkama, M B = 0, M C = Fa te izgraditi dijagram momenta savijanja od zadanog opterećenja.

Dijagram(Slika c).

U presjeku S, gdje se traži progib, primjenjujemo jediničnu silu i iz nje konstruiramo dijagram momenta savijanja, prvo izračunavajući reakcije oslonca BITI - , , = 2/3; , , = 1/3, a zatim momenti u karakterističnim točkama , , .

2. Određivanje željenog ugiba. Upotrijebimo Vereščaginovo pravilo i prvo izračunajmo parametre dijagrama i:

,

Otklon sekcije S

Primjer 6.

Odredite progib u presjeku S za datu gredu (vidi sliku).

Riješenje.

S. Pomoću Vereščaginovog pravila izračunavamo parametre dijagrama ,

i pronađite željeni otklon

Primjer 7.

Odredite progib u presjeku S za datu gredu (vidi sliku).

Riješenje.

1. Konstruiranje dijagrama momenata savijanja.

Reakcije podrške:

, , R A = 2qa,

, R A + R D = 3qa, R D = qa.

Konstruiramo dijagrame momenata savijanja od zadanog opterećenja i od jedinice sile koja djeluje na točku S.

2. Određivanje pokreta. Za izračun Mohrovog integrala koristimo Simpsonovu formulu, uzastopno je primjenjujući na svaki od tri dijela na koje je greda podijeljena.

ZemljišteAB :

ZemljišteSunce :

ZemljišteS D :

Potreban pokret

Primjer 8.

Odredite progib presjeka A i kut rotacije presjeka E za datu gredu (sl. A).

Riješenje.

1. Konstruiranje dijagrama momenata savijanja.

Dijagram M F(riža. V). Utvrdivši reakcije podrške

, , R B = 19qa/8,

, R D = 13qa/8, gradimo dijagrame poprečne sile Q i moment savijanja M F od datog opterećenja.

Dijagram(Slika d). U presjeku A, gdje se traži otklon, primjenjujemo jediničnu silu i iz nje konstruiramo dijagram momenta savijanja.

Dijagram(Slika e). Ovaj dijagram je konstruiran od jednog trenutka primijenjenog u odjeljku E, gdje se traži kut rotacije.

2. Određivanje pokreta. Otklon sekcije A nalazimo koristeći Vereščaginovo pravilo. Epure M F na nalazištima Sunce I CD Rastavljamo ga na jednostavne dijelove (slika d). Predstavljamo potrebne izračune u obliku tablice.

-qa 3 /6

2qa 3 /3

-qa 3 /2

-qa 3 /2

C ja

-qa 4 /2

5qa 4 /12

-qa 4 /6

-qa 4 /12

-qa 4 /24

Dobivamo.

Znak minus u rezultatu znači da je točka A ne kreće se prema dolje, kako je jedinična sila bila usmjerena, nego prema gore.

Kut rotacije sekcije E nalazimo na dva načina: Vereščaginovim pravilom i Simpsonovom formulom.

Prema Vereščaginovom pravilu, dijagrami množenja M F te po analogiji s prethodnim dobivamo

,

Da bismo pronašli kut rotacije pomoću Simpsonove formule, izračunavamo preliminarne momente savijanja u sredini presjeka:

Potrebni pomak, uvećan za EI x jednom,

Primjer 9.

Odredite pri kojoj vrijednosti koeficijenta k progib presjeka S bit će jednaka nuli. Kada se vrijednost pronađe k konstruirajte dijagram momenta savijanja i oslikajte približan pogled na elastičnu liniju grede (vidi sliku).

Riješenje.

Konstruiramo dijagrame momenata savijanja od zadanog opterećenja i od jedinice sile koja djeluje u presjeku S, gdje se traži otklon.

Prema uvjetima problema V C= 0. S druge strane, . Integral na parceli AB računamo pomoću Simpsonove formule, a u odjeljku Sunce– prema Vereščaginovom pravilu.

Nalazimo unaprijed

Premještanje odjeljka S ,

Odavde , .

Kada se vrijednost pronađe k odrediti vrijednost reakcije oslonca u točki A: , , , iz čega nalazimo položaj točke ekstrema na dijagramu M prema stanju .

Na temelju vrijednosti momenta u karakterističnim točkama

Gradimo dijagram momenta savijanja (slika d).

Primjer 10.

U konzolna greda prikazana na slici.

Riješenje.

M od djelovanja vanjske koncentrirane sile F: M U = 0, M A = –F 2l(linearni prikaz).

Prema uvjetima zadatka potrebno je odrediti vertikalni pomak na U bodova U konzolna greda, stoga gradimo jedinični dijagram djelovanja vertikalne jedinične sile F ja = 1 primijenjeno u točki U.

S obzirom da se konzolna greda sastoji od dva presjeka različite krutosti savijanja, dijagrami i M Množimo pomoću Vereščaginovog pravila po odjeljcima zasebno. Dijagrami M i pomnožite prvi odjeljak pomoću formule , a dijagrami drugog odjeljka - kao područje dijagrama M drugi odjeljak Fl 2 / 2 do ordinate 2 l/3 dijagrama drugog odsječka ispod težišta trokutastog dijagrama M isto područje.

U ovom slučaju formula daje:

Primjer 11.

Odredite vertikalni pomak točke U jednorasponska greda prikazana na slici. Greda ima konstantnu krutost na savijanje cijelom svojom dužinom. EI.

Riješenje.

Gradimo dijagram momenata savijanja M od djelovanja vanjskog raspodijeljenog opterećenja: M A = 0; M D = 0;

Nanesite na točku U jedinična okomita sila F ja = 1 i izradite dijagram (vidi sliku):

gdje R a = 2/3;

Gdje R d = 1/3, dakle M a = 0; M d = 0; .

Podijelimo dotičnu gredu na 3 dijela. Množenje dijagrama 1. i 3. odjeljka ne uzrokuje poteškoće, budući da množimo trokutaste dijagrame. Kako bismo primijenili Vereščaginovo pravilo na 2. odjeljak, podijelimo dijagram M 2. presjek na dvije komponente dijagrama: pravokutnu i paraboličnu s površinom (vidi tablicu).

Težište paraboličnog dijela dijagrama M leži u sredini 2. odjeljka.

Dakle, formula korištenje Vereščaginovog pravila daje:

Primjer 12.

Odrediti najveći progib u gredi s dva nosača opterećenom jednoliko raspodijeljenim opterećenjem intenziteta q(vidi sliku).

Riješenje.

Određivanje momenata savijanja:

Od zadanog opterećenja

Od jedinice sile primijenjene na točku S gdje se traži otklon.

Izračunavamo potreban maksimalni otklon koji se javlja u srednjem dijelu grede

Primjer 13.

Odredite otklon u točki U greda prikazana na slici.

Riješenje.

Konstruiramo dijagrame momenata savijanja iz zadanog opterećenja i jedinice sile koja djeluje na točku U. Za umnožavanje ovih dijagrama, greda mora biti podijeljena u tri dijela, budući da je jedan dijagram ograničen na tri različite ravne linije.

Operacija množenja dijagrama u drugom i trećem odjeljku provodi se jednostavno. Poteškoće nastaju pri izračunavanju površine i koordinata težišta glavnog dijagrama u prvom dijelu. U takvim slučajevima konstruiranje slojevitih dijagrama uvelike pojednostavljuje rješenje problema. U ovom slučaju, prikladno je uzeti jedan od odjeljaka uvjetno kao stacionarni i konstruirati dijagrame za svako od opterećenja, približavajući se ovom dijelu s desne i lijeve strane. Preporučljivo je presjek na mjestu loma uzeti kao stacionarni u dijagramu jediničnih opterećenja.

Slojeviti dijagram u kojem se presjek uzima kao stacionarni U, prikazano je na slici. Izračunavanjem površina sastavnih dijelova slojevitog dijagrama i odgovarajućih ordinata jediničnog dijagrama dobivamo

Primjer 14.

Odredite pomake u točkama 1 i 2 grede (slika a).

Riješenje.

Evo dijagrama M I Q za grede na A=2 m; q=10 kN/m; S=1,5A; M=0,5qa 2 ; R=0,8qa; M 0 =M; =200 MPa (Sl. b I V).

Odredimo okomiti pomak središta presjeka na koji djeluje koncentrirani moment. Da biste to učinili, razmotrite gredu u stanju pod utjecajem samo koncentrirane sile primijenjene u točki 1 okomito na os grede (u smjeru željenog pomaka) (slika d).

Izračunajmo reakcije potpore sastavljanjem triju jednadžbi ravnoteže

Ispitivanje

Reakcije su pronađene ispravno.

Za konstruiranje dijagrama razmotrite tri dijela (slika d).

1 parcela

2. odjeljak

odjeljak 3

Koristeći te podatke, konstruiramo dijagram (slika e) sa strane rastegnutih vlakana.

Odredimo Mohrovom formulom koristeći Vereščaginovo pravilo. U ovom slučaju, zakrivljeni dijagram u području između nosača može se prikazati kao zbrajanje triju dijagrama. Strijela

Znak minus znači da se točka 1 pomiče prema gore (u suprotnom smjeru).

Odredimo vertikalni pomak točke 2, gdje djeluje koncentrirana sila. Da biste to učinili, razmotrite gredu u stanju pod utjecajem samo koncentrirane sile koja se primjenjuje u točki 2 okomito na os grede (u smjeru željenog pomaka) (slika e).

Dijagram je konstruiran slično prethodnom.

Točka 2 se pomiče prema gore.

Odredimo kut zakreta presjeka na koji djeluje koncentrirani moment.

Uz prethodno razmatranu analitičku metodu za određivanje pomaka grede, postoje i druge analitičke i grafičko-analitičke metode primjenjive na složenije sustave, na primjer, konstrukcije s lomljenom osi i statički neodređene sustave.

Jedna takva metoda temelji se na Mohrov integral I Vereščaginovo pravilo. Bit metode je primijeniti jedinično opterećenje (sila ili moment) u smjeru kretanja koji nas zanima i izračunati Mohrov integral. Izraz za Mohrov integral izveden je na temelju Castiglianove teoreme, koja je ovdje navedena bez dokaza.

Castiglianov teorem. Derivacija potencijalne energije deformacije s obzirom na generaliziranu silu i generalizirani pomak.

Potencijalna energija deformacije zakrivljene grede izražava se formulom

Na temelju Castiglianove teoreme, generalizirani (linearni ili kutni) pomak D definiran je kao

Ako generalizirana sila Q 06 jednaka jedinici, tada će parcijalna derivacija biti numerički jednaka trenutku M° jedinično opterećenje

u presjeku r grede (parcijalne derivacije momenata ostalih sila jednake su nuli, budući da ti momenti ne ovise o jediničnom opterećenju). Rezultat je formula nazvana Mohrov integral.

Za poseban dio strukture, Mohrov integral je zapisan u obliku

gdje je D generalizirano (linearno ili kutno) kretanje; / - duljina dionice; M - jednadžba momenata vanjskih sila; M° - jednadžba jediničnih momenata opterećenja; ?7 je krutost dijela strukture.

Za određivanje linearnog pomaka, na presjek se primjenjuje jedinična bezdimenzijska sila, a za određivanje kutnog pomaka, jedinični bezdimenzionalni moment. Za strukturu s konstantnom krutošću, tada se može izbaciti iz predznaka integrala

Kao primjer, izračunajmo Mohrov integral za gredu prikazanu na sl. 6.27

Riža. 6.27

Budući da su funkcije momenata savijanja grafički izražene dijagramima momenta, čini se mogućim izraziti Mohrov integral u smislu površina i ordinata dijagrama duž Vereščaginovo pravilo , drugačije nazvan množenjem dijagrama. Ovo je pravilo formulirano na sljedeći način: traženi integral jednak je umnošku površine dijagrama opterećenja M i ordinate jediničnog dijagrama koji se nalazi ispod njegovog težišta.Teret imenuje se dijagram momenata savijanja vanjskih sila.

Površine i ordinate dijagrama uzimaju se s predznakom plus ili minus, a pozitivan rezultat znači da se smjer željenog pomaka poklapa sa smjerom jediničnog opterećenja. Ako struktura koja se razmatra ima nekoliko odjeljaka, izračuni se provode za svaki odjeljak zasebno, a rezultat se zbraja.

Kao primjer, odredimo, koristeći Vereščaginovo pravilo, linearni pomak i kut rotacije krajnjeg presjeka grede prikazanog na sl. 6.24.

Da bismo odredili linearni pomak slobodnog kraja grede, na njegov kraj djelujemo vertikalnom jediničnom silom i razmatramo dijagram opterećenja i dijagram momenata jedinične sile. Zatim

što se poklapa s izrazom za y V, dobiven u primjeru 6.8.

Da bismo odredili kut rotacije krajnjeg dijela grede, primjenjujemo jedinični moment na njegov kraj i konstruiramo dijagram. Zatim

Pozitivni odgovori znače da se smjerovi jediničnih opterećenja i pomaka podudaraju. Dobivamo isti rezultat ako pomnožimo površinu jediničnog dijagrama s ordinatom dijagrama opterećenja koja se nalazi iznad težišta područja jediničnog dijagrama.

Da bi se otkrila statička neodređenost sustava, treba odbaciti jedan od nosača, zamijeniti ga reakcijama, primijeniti jedinično opterećenje, a zatim konstruirati opterećenje i jedinični dijagram. Množenjem dijagrama prema Vereščaginovom pravilu i izjednačavanjem rezultirajućeg pomaka s nulom, dobivamo dodatnu jednadžbu potrebnu za otkrivanje statičke neodređenosti sustava.

Primjer 6.11

Proširite statičku neodređenost kvadratnog okvira s dva oslonca sa stranicom / prikazanom na sl. 6.28, A.

Riješenje. Odbacimo potpore, zamijenimo ih reakcijama Hʹ Y u H 2, Y 2. Sastavljanjem jednadžbe momenata oko oslonaca i njihovim rješavanjem dobivamo Y2-P , Y x = -P . Jednadžba projekcije na horizontalnu os P-X x + X 2 = 0 ima dvije nepoznanice. Primjenimo jediničnu silu na desni kraj okvira, kao što je prikazano na sl. 6.28, d te konstruirati dijagram pojedinih momenata. Na sl. 6.28, vig Konstruirani su dijagrami opterećenja momentima savijanja. Množenje prema pravilu

Riža. 6.28

Vereščaginovih dijagrama opterećenja i jediničnih dijagrama, dobivamo dodatnu jednadžbu potrebnu za otkrivanje statičke neodređenosti okvira.

Znak minus u trećem članu nastaje jer dijagrami aktivne sile R i jedinica sile nalaze se na suprotnim stranama od osi štapa.

Nakon što smo izvršili izračune, dobivamo , gdje. Minus u odgovoru znači da je reakcija X 2 usmjerena u suprotnom smjeru. Dalje nalazimo

U općem slučaju (štap promjenjivog presjeka, složen sustav opterećenja) Mohrov integral se određuje numeričkom integracijom. U mnogim praktično važnim slučajevima, kada je krutost presjeka konstantna duž duljine štapa, Mohrov integral se može izračunati pomoću Vereščaginovog pravila. Razmotrimo definiciju Mohrovog integrala u odsječku od a do 6 (sl. 9.18).

Riža. 9.18. Vereščaginovo pravilo za izračunavanje Mohrovog integrala

Dijagrami momenta iz jednog faktora sile sastoje se od ravnih segmenata. Bez gubitka općenitosti, pretpostavljamo da unutar područja

gdje su A i B parametri linije:

Mohrov integral na razmatranom presjeku konstantnog presjeka ima oblik

gdje je F površina ispod krivulje (područje dijagrama momenata savijanja vanjskih sila u presjeku z).

gdje je apscisa težišta područja.

Jednakost (109) vrijedi kada se znak ne mijenja unutar područja i može se smatrati elementom područja dijagrama. Sada iz relacija (107)-(109) dobivamo

Moment od jediničnog opterećenja u presjeku

Pomoćna tablica za korištenje Vereščaginovog pravila data je na sl. 9.19.

Bilješke. 1. Ako je dijagram djelovanja vanjskih sila na presjeku linearan (na primjer, pod djelovanjem koncentriranih sila i momenata), tada se pravilo može primijeniti u obrnutom obliku: pomnožite područje dijagrama s pojedinačni faktor sile po ordinati dijagrama koja odgovara težištu područja. To proizlazi iz gornjeg dokaza.

2. Vereščaginovo pravilo može se proširiti na Mohrov integral u općem obliku (jednadžba (103)).

Riža. 9.19. Područja i položaji težišta momentnih dijagrama

Riža. 9.20. Primjeri određivanja kutova otklona i rotacije pomoću Vereščaginovog pravila

Glavni zahtjev je sljedeći: unutar presjeka faktori unutarnje sile od jediničnog opterećenja moraju biti linearne funkcije duž osi štapa (linearni dijagrami!).

Primjeri. 1. Odredite otklon u točki A konzolne šipke pod djelovanjem koncentriranog momenta M (Sl. 9.20, a).

Otklon u točki A određuje se formulom (radi sažetosti, indeks je izostavljen)

Znak minus je zbog činjenice da imaju različite predznake.

2. Odredite progib u točki A u konzolnom štapu pod djelovanjem raspodijeljenog opterećenja.

Progib se određuje formulom

Dijagrami momenta savijanja M i posmične sile Q od vanjskog opterećenja prikazani su na sl. 9.20, b, dolje na ovoj slici su dijagrami pod djelovanjem jedinice sile. Dalje nalazimo

3. Odredite progib u točki A i kut zakreta u točki B za dvonosnu gredu opterećenu koncentriranim momentom (sl. 9.20.).

Progib se određuje formulom (zanemarujemo posmične deformacije)

Budući da dijagram momenta jedinice sile nije prikazan jednom linijom; tada integral dijelimo na dva dijela:

Kut rotacije u točki B jednak je

Komentar. Iz gornjih primjera jasno je da Vereshchaginova metoda u jednostavnim slučajevima omogućuje brzo određivanje otklona i kutova rotacije. Važno je samo primijeniti jedno pravilo znakova za Ako se pri savijanju šipke dogovorimo da ćemo konstruirati dijagrame momenata savijanja na "istegnutom vlaknu" (vidi sl. 9.20), tada je odmah lako vidjeti pozitivne i negativne vrijednosti momenata.

Posebna prednost Vereščaginovog pravila je da se može koristiti ne samo za šipke, već i za okvire (odjeljak 17).

Ograničenja primjene Vereščaginova pravila.

Ova ograničenja proizlaze iz izvođenja formule (110), ali obratimo im ponovno pozornost.

1. Dijagram momenta savijanja od jediničnog opterećenja treba biti u obliku jedne ravne linije. Na sl. 9.21, i prikazuje slučaj kada ovaj uvjet nije ispunjen. Mohrov integral mora se izračunati odvojeno za I. i II.

2. Moment savijanja od vanjskog opterećenja unutar presjeka mora imati isti predznak. Na sl. Slika 9.21, b prikazuje slučaj kada Vereshchaginovo pravilo treba primijeniti za svaki odjeljak zasebno. Ovo ograničenje ne odnosi se na moment od jednog opterećenja.

Riža. 9.21. Ograničenja pri korištenju Vereščaginovog pravila: a - dijagram ima prekid; b - dijagram ima različite predznake; c - štap ima različite presjeke

3. Krutost šipke unutar sekcije mora biti konstantna, inače se integracija treba proširiti zasebno na sekcije s konstantnom krutošću. Ograničenja konstantne krutosti mogu se izbjeći iscrtavanjem dijagrama.