Korištenje kalkulatora

Za procjenu izraza morate unijeti niz koji će se procijeniti. Prilikom unosa brojeva, razdjelnik između cijelog i razlomljenog dijela je točka. Možete koristiti zagrade. Operacije nad kompleksnim brojevima su množenje (*), dijeljenje (/), zbrajanje (+), oduzimanje (-), stepenovanje (^) i druge. Za pisanje složenih brojeva možete koristiti eksponencijalne i algebarske oblike. Unesite zamišljenu jedinicu ja moguće je bez znaka množenja, u drugim slučajevima potreban je znak množenja, na primjer, između zagrada ili između broja i konstante. Mogu se koristiti i konstante: broj π upisuje se kao pi, eksponent e, svi izrazi u indikatoru moraju biti u zagradama.

Primjer linije za izračun: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), što odgovara izrazu \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Kalkulator može koristiti konstante, matematičke funkcije, dodatne operacije i složenije izraze; s tim značajkama možete se upoznati na stranici općih pravila za korištenje kalkulatora na ovoj stranici.

Stranica je u izradi, neke stranice možda neće biti dostupne.

Vijesti

07.07.2016
Dodan kalkulator za rješavanje sustava nelinearnih algebarskih jednadžbi: .

30.06.2016
Stranica ima responzivan dizajn, stranice se adekvatno prikazuju i na velikim monitorima i na mobilnim uređajima.

Sponzor

RGROnline.ru – trenutno rješenje za elektrotehnički rad na mreži.

Klasa 12 . Kompleksni brojevi.

12.1. Definicija kompleksnih brojeva u algebarskom obliku. Usporedba i prikaz kompleksnih brojeva na kompleksnoj ravnini. Složeno uparivanje. Zbrajanje, množenje, dijeljenje kompleksnih brojeva.

12.2. Modul, argument kompleksnog broja.

12.3. Trigonometrijski i eksponencijalni oblici zapisa kompleksnog broja.

12.4. Dizanje na cjelobrojnu potenciju i vađenje korijena kompleksnog broja.

Definicija kompleksnih brojeva u algebarskom obliku. Usporedba i prikaz kompleksnih brojeva na kompleksnoj ravnini. Složeno uparivanje. Zbrajanje, množenje, dijeljenje kompleksnih brojeva.

Kompleksni broj u algebarskom obliku je broj

Gdje
nazvao imaginarna jedinica I
- realni brojevi:
nazvao pravi (pravi) dio;
- imaginarni dio složeni broj . Kompleksni brojevi oblika
se zovu čisto imaginarni brojevi. Skup svih kompleksnih brojeva označava se slovom .

A-priorat,

Skup svih realnih brojeva je dio skupa
: . S druge strane, postoje kompleksni brojevi koji ne pripadaju skupu . Na primjer,
I
, jer
.

Kompleksni brojevi u algebarskom obliku nastaju prirodno pri rješavanju kvadratnih jednadžbi s negativnom diskriminantom.

Primjer 1. Riješite jednadžbu
.

Riješenje. ,

Dakle, navedena kvadratna jednadžba ima kompleksne korijene

,
.

Primjer 2. Pronađite realne i imaginarne dijelove kompleksnih brojeva

,

,
.

Prema tome, stvarni i imaginarni dio broja ,

Bilo koji složeni broj
predstavljena vektorom na kompleksnoj ravnini , koji predstavlja ravninu s kartezijevim koordinatnim sustavom
. Početak vektora leži u točki , a kraj je u točki s koordinatama
(Slika 1.) Os
naziva se realna os, a os
- imaginarna os kompleksne ravnine .

Kompleksni brojevi se međusobno uspoređuju samo predznacima
. . Ako je barem jedna od jednakosti:
prekrši se, dakle
. Zapisi tipa
nema smisla.

Po definiciji složeno broj
naziva se kompleksna konjugata broja
. U ovom slučaju pišu
. Očito je da
. Svugdje ispod, crtica iznad kompleksnog broja značit će složenu konjugaciju.

Na primjer, .

Možete izvoditi operacije nad složenim brojevima kao što su zbrajanje (oduzimanje), množenje i dijeljenje.

1. Zbrajanje kompleksnih brojeva napravljeno ovako:

Svojstva operacije sabiranja:

- svojstvo komutativnosti;

- svojstvo asocijativnosti.

Lako je vidjeti da geometrijski zbrajanje kompleksnih brojeva
znači dodavanje onih koji im odgovaraju u ravnini vektori prema pravilu paralelograma.

Operacija oduzimanja broja od broja napravljeno ovako:

2. Množenje kompleksnih brojeva napravljeno ovako:

Svojstva operacije množenja:

- svojstvo komutativnosti;

- svojstvo asocijativnosti;

- zakon distributivnosti.

3. Dijeljenje kompleksnih brojeva izvedivo samo sa
a radi se ovako:

Primjer 3. Pronaći
, Ako .

Primjer 4. Izračunati
, Ako .

z, jer
.

.(jao!)

Nije teško provjeriti (preporuča se da to učinite sami) valjanost sljedećih izjava:

Modul, argument kompleksnog broja.

Modul kompleksnog broja
(modul označen sa ) je nenegativan broj
, tj.
.

Geometrijsko značenje - duljina vektora koji predstavlja broj na kompleksnoj ravni . Jednadžba
definira skup svih brojeva (vektori po ), čiji krajevi leže na jediničnoj kružnici
.

Argument kompleksnog broja
(argument označen sa
) ovo je kut u radijanima između realne osi
i broj na kompleksnoj ravni , i pozitivan ako se računa od
prije suprotno od kazaljke na satu, i negativno ako mjereno od osi
prije u smjeru kazaljke na satu.

Dakle, argument broja određuje se višeznačno, do pojma
, Gdje
. Definitivno brojčani argument određeno unutar jednog kruga jedinične kružnice
na površini . Obično morate pronaći
unutar intervala
,ova se vrijednost naziva glavna vrijednost argumenta broja i naznačen je
.

I
brojevima može se pronaći iz jednadžbe
, pri čemu Obavezno treba uzeti u obzir, u kojoj četvrtini aviona leži kraj vektora - točka
:

Ako
(1. četvrtina aviona ), To ;

Ako
(2. četvrtina aviona ), To;

Ako
(3. četvrtina aviona ), To ;

Ako
(4. četvrtina aviona ), To .

Zapravo, modul i argument broja
, ovo su polarne koordinate
bodova
- kraj vektora na površini .

Primjer 5. Pronađite modul i glavnu vrijednost argumenta brojeva:

Argumenti brojeva koji leže na osi
, odvajajući četvrtine 1,2,3,4 kompleksne ravnine , mogu se odmah pronaći iz grafičkih prikaza ovih brojeva na ravnini .

Trigonometrijski i eksponencijalni oblici zapisa kompleksnog broja. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom i eksponencijalnom zapisu.

Trigonometrijski zapis složeni broj
ima oblik:

, (2)

Gdje - modul, - argument kompleksnog broja . Ovaj prikaz kompleksnih brojeva slijedi iz jednakosti.

Indikativno(eksponencijalni) oblik zapisa kompleksnog broja
ima oblik:

, (3)

Gdje - modul, - argument broja . Mogućnost prikazivanja kompleksnih brojeva u eksponencijalnom obliku (3) proizlazi iz trigonometrijskog oblika (2) i Eulerove formule:

. (4)

Ova formula je dokazana u kolegiju TFKP (Teorija funkcija kompleksne varijable).

Primjer 6. Pronađite trigonometrijski i eksponencijalni oblik za kompleksne brojeve: iz primjera 5.

Riješenje. Poslužimo se rezultatima primjera 5 u kojem se nalaze moduli i argumenti svih navedenih brojeva.

- trigonometrijski oblik zapisivanja broja ,

- eksponencijalni oblik zapisivanja broja .

- trigonometrijski oblik zapisivanja broja ,

- eksponencijalni oblik zapisivanja broja .

Trigonometrijski oblik zapisivanja broja ,

- eksponencijalni oblik zapisivanja broja .

- trigonometrijski oblik zapisivanja broja ,

- eksponencijalni oblik zapisivanja broja .

Trigonometrijski oblik broja ,

- trigonometrijski oblik zapisivanja broja ,

- eksponencijalni oblik broja .

- trigonometrijski oblik zapisivanja broja ,

- eksponencijalni oblik zapisivanja broja .

Eksponencijalni oblik zapisivanja kompleksnih brojeva dovodi do sljedećeg geometrijskog tumačenja operacija množenja i dijeljenja kompleksnih brojeva. Neka
- eksponencijalni oblici brojeva
.

1. Prilikom množenja kompleksnih brojeva, njihovi se moduli množe i zbrajaju njihovi argumenti.

2. Kod dijeljenja kompleksnog broja po broju ispada da je to kompleksan broj , modul koji je jednak omjeru modula , i argument - Razlike
brojčani argumenti
.

Dizanje na cjelobrojnu potenciju i vađenje korijena kompleksnog broja.

A-priorat,

Kad se podigne na cijelu snagu složeni broj
, trebate postupiti ovako: prvo pronađite modul i argument ovaj broj; predstaviti u demonstrativnom obliku
; pronaći
izvođenjem sljedećeg niza radnji

Gdje . (5)

Komentar. Argument
brojevima
ne mora pripadati intervalu
. U ovom slučaju prema dobivenoj vrijednosti pronaći glavni smisao argument

brojevima
, dodavanje (ili oduzimanje) broja
s ovim značenjem
, do

pripadao intervalu
. Nakon toga, potrebno je zamijeniti u formulama (5) na .

Primjer 7. Pronaći I
, Ako
.

1)
=
(vidi broj iz primjera 6).

2)
, Gdje
.
.
.

Stoga, može se zamijeniti sa i, što znači

Gdje
.

3)
, Gdje
.
.

Mi ćemo zamijeniti na . Stoga,

Vađenje korijena ti stupanj
od kompleksnog broja
provedeno prema Moivre-Laplaceovoj formuli

Kompleksni brojevi

Zamišljeno I kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata

složeni broj. Konjugirani kompleksni brojevi.

Operacije s kompleksnim brojevima. Geometrijski

predstavljanje kompleksnih brojeva. Složena ravnina.

Modul i argument kompleksnog broja. Trigonometrijski

složeni brojčani oblik. Operacije sa složenim

brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivreova formula.

Osnovne informacije o zamišljena I kompleksni brojevi dati su u odjeljku “Imaginarni i kompleksni brojevi”. Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučajD< 0 (здесь D– diskriminanta kvadratne jednadžbe). Dugo vremena ti brojevi nisu našli fizičku primjenu, zbog čega su ih nazvali "imaginarnim" brojevima. Međutim, sada se vrlo široko koriste u raznim područjima fizike.

i tehnologije: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti i dr.

Kompleksni brojevi zapisuju se u obliku:a+bi. Ovdje a I b – realni brojevi , A ja – imaginarna jedinica, tj. e. ja 2 = –1. Broj a nazvao apscisa, a b – ordinatasloženi broja + bi.Dva kompleksna brojaa+bi I a–bi se zovu konjugirati kompleksni brojevi.

Glavni ugovori:

1. Realni brojAmože se napisati i u oblikukompleksni broj:a+ 0 ja ili a – 0 ja. Na primjer, zapisi 5 + 0ja i 5 – 0 jaznači isti broj 5 .

2. Složeni broj 0 + dvonazvao čisto imaginarno broj. Snimitidvoznači isto što i 0 + dvo.

3. Dva kompleksna brojaa+bi Ic + dismatraju se jednakima akoa = c I b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.

Dodatak. Zbroj kompleksnih brojevaa+bi I c + dinaziva se kompleksan broj (a+c ) + (b+d ) jaTako, prilikom dodavanja kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se zbrajaju zasebno.

Ova definicija odgovara pravilima za rad s običnim polinomima.

Oduzimanje. Razlika dva kompleksna brojaa+bi(smanjeno) i c + di(oduzeti) naziva se kompleksan broj (a–c ) + (b–d ) ja

Tako, Pri oduzimanju dva kompleksna broja njihove apscise i ordinate oduzimaju se odvojeno.

Množenje. Umnožak kompleksnih brojevaa+bi I c + di naziva se kompleksan broj:

(ac–bd ) + (ad+bc ) jaOva definicija proizlazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+bi I c + dimora se množiti kao algebarski binomi,

2) broj jaima glavno svojstvo:ja 2 = – 1.

PRIMJER ( a+ bi )(a–bi) = a 2 + b 2 . Stoga, raditi

dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom

pozitivan broj.

Podjela. Podijelite složeni broja+bi (djeljiv) drugimc + di(šestar) - znači pronaći treći broje + f i(chat), koji kad se pomnoži djeliteljemc + di, rezultira dividendoma + bi.

Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8 +ja ) : (2 – 3 ja) .

Rješenje. Zapišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenje njegovog brojnika i nazivnika sa 2 + 3ja

I Nakon što smo izvršili sve transformacije, dobivamo:

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su prikazani točkama na brojevnom pravcu:

Ovdje je poanta Aznači broj –3, točkaB– broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni točkama na koordinatnoj ravnini. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijeve) koordinate s istim mjerilima na obje osi. Zatim kompleksni broja+bi bit će predstavljen točkom P s apscisom a i ordinata b (vidi sliku). Taj se koordinatni sustav naziva složena ravnina .

Modul kompleksni broj je duljina vektoraOP, koji predstavlja kompleksni broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Modul kompleksnog brojaa+bi označeno | a+bi| ili pismo r

Za rješavanje problema s kompleksnim brojevima morate razumjeti osnovne definicije. Glavni cilj ovog preglednog članka je objasniti što su kompleksni brojevi i predstaviti metode za rješavanje osnovnih problema s kompleksnim brojevima. Dakle, kompleksan broj nazivamo brojem oblika z = a + bi, Gdje a, b- realni brojevi, koji se nazivaju realni i imaginarni dio kompleksnog broja, odnosno, i označavaju a = Re(z), b=Im(z).
ja naziva imaginarna jedinica. i 2 = -1. Konkretno, bilo koji realni broj može se smatrati složenim: a = a + 0i, gdje je a realan. Ako a = 0 I b ≠ 0, tada se broj obično naziva čisto imaginarnim.

Sada uvedimo operacije nad kompleksnim brojevima.
Razmotrimo dva kompleksna broja z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i.

Razmotrimo z = a + bi.

Skup kompleksnih brojeva proširuje skup realnih brojeva, koji zauzvrat proširuju skup racionalnih brojeva, itd. Ovaj lanac ulaganja može se vidjeti na slici: N – prirodni brojevi, Z – cijeli brojevi, Q – racionalni, R – realni, C – kompleksni.

Predstavljanje kompleksnih brojeva

Algebarski zapis.

Razmotrimo složeni broj z = a + bi, ovaj oblik pisanja kompleksnog broja zove se algebarski. Već smo detaljno govorili o ovom obliku snimanja u prethodnom odjeljku. Sljedeći vizualni crtež se često koristi

Trigonometrijski oblik.

Sa slike se vidi da broj z = a + bi može se napisati drugačije. Očito je da a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, stoga z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) naziva se argument kompleksnog broja. Ovakav prikaz kompleksnog broja naziva se trigonometrijski oblik. Trigonometrijski oblik zapisa ponekad je vrlo prikladan. Na primjer, prikladno ga je koristiti za podizanje kompleksnog broja na cjelobrojnu potenciju, naime, if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, To z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ova formula se zove Moivreova formula.

Demonstrativni oblik.

Razmotrimo z = rcos(φ) + rsin(φ)i- kompleksan broj u trigonometrijskom obliku, napišite ga u drugom obliku z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, posljednja jednakost slijedi iz Eulerove formule, čime smo dobili novi oblik zapisa kompleksnog broja: z = reiφ, koji se zove indikativan. Ovaj oblik zapisa također je vrlo prikladan za dizanje kompleksnog broja na potenciju: z n = r n e inφ, Ovdje n nije nužno cijeli broj, ali može biti proizvoljan realan broj. Ovaj oblik notacije često se koristi za rješavanje problema.

Temeljni teorem više algebre

Zamislimo da imamo kvadratnu jednadžbu x 2 + x + 1 = 0. Očito je da je diskriminant ove jednadžbe negativan i da nema pravih korijena, ali ispada da ova jednadžba ima dva različita kompleksna korijena. Dakle, temeljni teorem više algebre kaže da svaki polinom stupnja n ima barem jedan kompleksni korijen. Iz ovoga slijedi da svaki polinom stupnja n ima točno n kompleksnih korijena, uzimajući u obzir njihovu višestrukost. Ovaj je teorem vrlo važan rezultat u matematici i naširoko se koristi. Jednostavna posljedica ovog teorema je da postoji točno n različitih korijena stupnja n jedinice.

Glavne vrste zadataka

Ovaj odjeljak će razmotriti glavne vrste jednostavnih problema koji uključuju složene brojeve. Konvencionalno, problemi koji uključuju kompleksne brojeve mogu se podijeliti u sljedeće kategorije.

Izvođenje jednostavnih aritmetičkih operacija nad složenim brojevima.
Traženje korijena polinoma u kompleksnim brojevima.
Dizanje kompleksnih brojeva na potencije.
Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva.
Korištenje kompleksnih brojeva za rješavanje drugih problema.

Sada pogledajmo općenite metode za rješavanje ovih problema.

Najjednostavnije aritmetičke operacije s kompleksnim brojevima izvode se prema pravilima opisanim u prvom odjeljku, ali ako su složeni brojevi predstavljeni u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku, tada ih u tom slučaju možete pretvoriti u algebarski oblik i izvoditi operacije prema poznatim pravilima.

Traženje korijena polinoma obično se svodi na pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Pretpostavimo da imamo kvadratnu jednadžbu, ako je njezina diskriminanta nenegativna, tada će njezini korijeni biti stvarni i mogu se pronaći prema dobro poznatoj formuli. Ako je diskriminant negativan, tj. D = -1∙a 2, Gdje a je određeni broj, tada se diskriminant može predstaviti kao D = (ia) 2, stoga √D = i|a|, a zatim možete koristiti već poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe.

Primjer. Vratimo se na gore spomenutu kvadratnu jednadžbu x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminirajući - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Sada možemo lako pronaći korijene:

Podizanje složenih brojeva na potencije može se učiniti na nekoliko načina. Ako trebate podignuti kompleksni broj u algebarskom obliku na malu potenciju (2 ili 3), tada to možete učiniti izravnim množenjem, ali ako je potencija veća (u zadacima je često puno veća), tada trebate zapisati taj broj u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku i koristiti već poznate metode.

Primjer. Uzmimo z = 1 + i i podignemo ga na desetu potenciju.
Zapišimo z u eksponencijalnom obliku: z = √2 e iπ/4.
Zatim z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vratimo se algebarskom obliku: z 10 = -32i.

Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva operacija je obratna od potenciranja i stoga se izvodi na sličan način. Za izvlačenje korijena često se koristi eksponencijalni oblik pisanja broja.

Primjer. Nađimo sve korijene stupnja 3 jedinice. Da bismo to učinili, pronaći ćemo sve korijene jednadžbe z 3 = 1, korijene ćemo tražiti u eksponencijalnom obliku.
Zamijenimo u jednadžbu: r 3 e 3iφ = 1 ili r 3 e 3iφ = e 0 .
Dakle: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, stoga je φ = 2πk/3.
Različiti korijeni se dobivaju pri φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Stoga su 1, e i2π/3, e i4π/3 korijeni.
Ili u algebarskom obliku:

Posljednja vrsta problema uključuje veliku raznolikost problema i ne postoje općenite metode za njihovo rješavanje. Navedimo jednostavan primjer takvog zadatka:

Pronađite iznos sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Iako formulacija ovog problema ne uključuje složene brojeve, može se lako riješiti uz njihovu pomoć. Za njegovo rješavanje koriste se sljedeći prikazi:

Ako sada taj prikaz zamijenimo u zbroj, tada se problem svodi na zbrajanje uobičajene geometrijske progresije.

Zaključak

Kompleksni brojevi imaju široku primjenu u matematici; ovaj pregledni članak ispitao je osnovne operacije nad kompleksnim brojevima, opisao nekoliko tipova standardnih problema i ukratko opisao opće metode za njihovo rješavanje; za detaljnije proučavanje mogućnosti kompleksnih brojeva preporuča se koristiti specijaliziranu literaturu.

Književnost

§ 1. Kompleksni brojevi: definicije, geometrijska interpretacija, akcije u algebarskom, trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku

Definicija kompleksnog broja

Složene jednakosti

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva

Modul i argument kompleksnog broja

Algebarski i trigonometrijski oblici kompleksnog broja

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja

Eulerove formule

§ 2. Cjelovite funkcije (polinomi) i njihova osnovna svojstva. Rješavanje algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva

Definicija algebarske jednadžbe th stupnja

Osnovna svojstva polinoma

Primjeri rješavanja algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva

Pitanja za samotestiranje

Glosar

§ 1. Kompleksni brojevi: definicije, geometrijska interpretacija, operacije u algebarskom, trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku

Definicija kompleksnog broja ( Navedite definiciju kompleksnog broja)

Kompleksni broj z je izraz sljedećeg oblika:

Kompleksni broj u algebarskom obliku,(1)

Gdje je x, g Î;

- kompleksno konjugirani broj broj z ;

- suprotni broj broj z ;

- kompleksna nula ;

– tako se označava skup kompleksnih brojeva.

1)z = 1 + jaÞ Re z= 1, im z = 1, = 1 – ja, = –1 – ja ;

2)z = –1 + jaÞ Re z= –1, im z = , = –1 – ja, = –1 –ja ;

3)z = 5 + 0ja= 5 Þ Re z= 5, im z = 0, = 5 – 0ja = 5, = –5 – 0ja = –5

Þ ako sam z= 0, tada z = x- pravi broj;

4)z = 0 + 3ja = 3jaÞ Re z= 0, im z = 3, = 0 – 3ja = –3ja , = –0 – 3ja = – 3ja

Þ ako je Re z= 0, tada z = iy - čisto imaginarni broj.

Složene jednakosti (Formulirajte značenje složene jednakosti)

1) ;

2) .

Jedna složena jednakost ekvivalentna je sustavu dviju realnih jednakosti. Ove realne jednakosti dobivaju se iz složene jednakosti razdvajanjem realnog i imaginarnog dijela.

1) ;

2) .

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva ( Što je geometrijski prikaz kompleksnih brojeva?)

Složeni broj z predstavljen točkom ( x , g) na kompleksnoj ravnini ili radijus vektoru ove točke.

Znak z u drugoj četvrtini znači da će se Kartezijev koordinatni sustav koristiti kao kompleksna ravnina.

Modul i argument kompleksnog broja ( Što je modul i argument kompleksnog broja?)

Modul kompleksnog broja je nenegativan realan broj

.(2)

Geometrijski, modul kompleksnog broja je duljina vektora koji predstavlja broj z, ili polarni radijus točke ( x , g).

Nacrtaj sljedeće brojeve na kompleksnoj ravnini i zapiši ih u trigonometrijskom obliku.

1)z = 1 + ja Þ

Þ ;

5),

odnosno za z = 0 bit će

, j neodređeno.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima (Dati definicije i navesti glavna svojstva aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.)

Zbrajanje (oduzimanje) kompleksnih brojeva

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + ja (g 1 ± g 2),(5)

odnosno pri zbrajanju (oduzimanju) kompleksnih brojeva zbrajaju se (oduzimaju) njihovi realni i imaginarni dijelovi.

1)(1 + ja) + (2 – 3ja) = 1 + ja + 2 –3ja = 3 – 2ja ;

2)(1 + 2ja) – (2 – 5ja) = 1 + 2ja – 2 + 5ja = –1 + 7ja .

Osnovna svojstva sabiranja

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Množenje kompleksnih brojeva u algebarskom obliku

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + ja 2g 1g 2 = (6)

= (x 1x 2 – g 1g 2) + ja (x 1g 2 + g 1x 2),

odnosno množenje kompleksnih brojeva u algebarskom obliku provodi se prema pravilu algebarskog množenja binoma binomom, nakon čega slijedi zamjena i redukcija sličnih u realnim i imaginarnim terminima.

1)(1 + ja)∙(2 – 3ja) = 2 – 3ja + 2ja – 3ja 2 = 2 – 3ja + 2ja + 3 = 5 – ja ;

2)(1 + 4ja)∙(1 – 4ja) = 1 – 42 ja 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + ja)2 = 22 + 4ja + ja 2 = 3 + 4ja .

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + ja grijeh j 1)× r 2 (cos j 2 + ja grijeh j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + ja cos j 1sin j 2 + ja grijeh j 1cos j 2 + ja 2 grijeh j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – grijeh j 1sin j 2) + ja(cos j 1sin j 2 + grijeh j 1cos j 2))

Umnožak kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, odnosno pri množenju kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku množe se njihovi moduli i zbrajaju njihovi argumenti.

Osnovna svojstva množenja

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - komutativnost;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - asocijativnost;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - distributivnost s obzirom na zbrajanje;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Dijeljenje je operacija obratna od množenja, dakle

Ako z × z 2 = z 1 i z 2 ¹ 0, tada .

Prilikom dijeljenja u algebarskom obliku, brojnik i nazivnik razlomka množe se kompleksnim konjugatom nazivnika:

Dijeljenje kompleksnih brojeva u algebarskom obliku.(7)

Prilikom dijeljenja u trigonometrijskom obliku, moduli se dijele, a argumenti se oduzimaju:

Dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku.(8)

2)
.

Dizanje kompleksnog broja na prirodni potenc

Pogodnije je izvoditi potenciranje u trigonometrijskom obliku:

Moivreova formula, (9)

to jest, kada se kompleksni broj podigne na prirodni potenciju, njegov modul se podigne na tu potenciju, a argument se pomnoži s eksponentom.

Izračunaj (1 + ja)10.

Bilješke

1. Prilikom izvođenja operacija množenja i dizanja na prirodni potenciju u trigonometrijskom obliku, mogu se dobiti vrijednosti kutova iznad jednog punog okretaja. Ali uvijek se mogu svesti na kutove ili ispuštanjem cijelog broja punih okretaja koristeći svojstva periodičnosti funkcija i .

2. Značenje zove se glavna vrijednost argumenta kompleksnog broja;

u ovom slučaju, vrijednosti svih mogućih kutova označene su s ;

očito je da , .

Vađenje korijena prirodnog stupnja iz kompleksnog broja

Eulerove formule(16)

za koje se trigonometrijske funkcije i realna varijabla izražavaju preko eksponencijalne funkcije (eksponenta) s čisto imaginarnim eksponentom.

§ 2. Cjelovite funkcije (polinomi) i njihova osnovna svojstva. Rješavanje algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva

Dva polinoma istog stupnja n međusobno identički jednaki ako i samo ako se njihovi koeficijenti podudaraju za iste potencije varijable x, to je

Dokaz

w Identitet (3) vrijedi za "xO (ili "xO)

Þ vrijedi za ; zamjenom , dobivamo an = bn .

Poništimo sporazumno uvjete u (3) an I bn i podijelite oba dijela po x :

Ovaj identitet vrijedi i za " x, uključujući kada x = 0

Þ pod pretpostavkom x= 0, dobivamo an – 1 = bn – 1.

Poništimo sporazumno uvjete u (3") an– 1 i a n– 1 i obje strane podijelite s x, kao rezultat dobivamo

Nastavljajući slično razmišljanje, dobivamo to an – 2 = bn –2, …, A 0 = b 0.

Dakle, dokazano je da identična jednakost 2-x polinoma implicira podudarnost njihovih koeficijenata na istim stupnjevima x .

Obratna izjava je s pravom očigledna, tj. ako dva polinoma imaju iste koeficijente, onda su to identične funkcije, dakle, njihove vrijednosti se podudaraju za sve vrijednosti argumenta, što znači da su identično jednake. Svojstvo 1 je potpuno dokazano. v

Kod dijeljenja polinoma Pn (x) po razlici ( x – x 0) ostatak je jednak Pn (x 0), tj

Bezoutov teorem, (4)

Gdje Qn – 1(x) - cijeli dio dijeljenja, je polinom stupnja ( n – 1).

Dokaz

w Napišimo formulu dijeljenja s ostatkom:

Pn (x) = (x – x 0)∙Qn – 1(x) + A ,

Gdje Qn – 1(x) - polinom stupnja ( n – 1),

A- ostatak, koji je broj zbog dobro poznatog algoritma za dijeljenje polinoma binomom "u stupcu".

Ova jednakost vrijedi za " x, uključujući kada x = x 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (x 0), itd. v

Korolar Bezoutovog teorema. O dijeljenju polinoma binomom bez ostatka

Ako broj x 0 je nula polinoma, tada se taj polinom dijeli s razlikom ( x – x 0) bez ostatka, tj

Þ .(5)

1), budući da P 3(1) º 0

2) jer P 4(–2) º 0

3) jer P 2(–1/2) º 0

Dijeljenje polinoma na binome "u stupcu":

Svaki polinom stupnja n ³ 1 ima barem jednu nulu, realnu ili kompleksnu

Dokaz ovog teorema je izvan opsega našeg tečaja. Stoga prihvaćamo teorem bez dokaza.

Poradimo na ovom teoremu i Bezoutovom teoremu s polinomom Pn (x).

Nakon n-višestrukom primjenom ovih teorema dobivamo da

Gdje a 0 je koeficijent pri x n V Pn (x).

Korolar osnovnog teorema algebre. O rastavljanju polinoma na linearne faktore

Bilo koji polinom stupnja na skupu kompleksnih brojeva može se rastaviti na n linearni faktori, tj

Proširenje polinoma na linearne faktore, (6)

gdje su x1, x2, ... xn nule polinoma.

Štoviše, ako k brojevi iz skupa x 1, x 2, … xn podudaraju međusobno i s brojem a, tada je u umnošku (6) množitelj ( x– a) k. Zatim broj x= a se zove k-struka nula polinoma Pn ( x) . Ako k= 1, tada se poziva nula jednostavna nula polinoma Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - jednostavna nula, x 2 = 4 - trostruka nula;

2)P 4(x) = (x – ja)4 Þ x = ja- nulti višestrukost 4.

Svojstvo 4 (o broju korijena algebarske jednadžbe)

Svaka algebarska jednadžba Pn(x) = 0 stupnja n ima točno n korijena u skupu kompleksnih brojeva, ako svaki korijen brojimo onoliko puta koliko mu je višestrukost.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - algebarska jednadžba drugog stupnja

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± ja- dva korijena;

2)x 3 + 1 = 0 - algebarska jednadžba trećeg stupnja

Þ x 1,2,3 = - tri korijena;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, jer P 3(1) = 0.

Podijelite polinom P 3(x) na ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Izvorna jednadžba

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - jednostavan korijen, x 2 = –1 - dvostruki korijen.

1) – upareni kompleksni konjugirani korijeni;

Svaki polinom s realnim koeficijentima rastavlja se na umnožak linearnih i kvadratnih funkcija s realnim koeficijentima.

Dokaz

w Neka x 0 = a + dvo- nula polinoma Pn (x). Ako su svi koeficijenti ovog polinoma realni brojevi, onda je i on nula (po svojstvu 5).

Izračunajmo umnožak binoma :

jednadžba polinoma kompleksnog broja

dobio ( x – a)2 + b 2 - kvadratni trinom s realnim koeficijentima.

Dakle, svaki par binoma s kompleksno konjugiranim korijenima u formuli (6) vodi do kvadratnog trinoma s realnim koeficijentima. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Primjeri rješavanja algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva ( Navedite primjere rješavanja algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva)

1. Algebarske jednadžbe prvog stupnja:

, jedini je jednostavan korijen.

2. Kvadratne jednadžbe:

, – uvijek ima dva korijena (različita ili jednaka).

1) .

3. Binomne jednadžbe stupnja:

, – uvijek ima različite korijene.

Odgovor: , .

4. Riješite kubnu jednadžbu.

Jednadžba trećeg stupnja ima tri korijena (stvarna ili kompleksna), a svaki korijen treba prebrojati onoliko puta koliki je njegov višestruki broj. Budući da su svi koeficijenti ove jednadžbe realni brojevi, kompleksni korijeni jednadžbe, ako postoje, bit će par kompleksnih konjugata.

Odabirom nalazimo prvi korijen jednadžbe, jer .

Posljedicom Bezoutovog teorema. Ovu podjelu izračunavamo "u stupcu":

_

_

_

Sada predstavljajući polinom kao produkt linearnog i kvadratnog faktora, dobivamo:

Ostale korijene nalazimo kao korijene kvadratne jednadžbe:

Odgovor: , .

5. Konstruirati algebarsku jednadžbu najmanjeg stupnja s realnim koeficijentima, ako je poznato da brojevi x 1 = 3 i x 2 = 1 + ja su njegovi korijeni, i x 1 je dvostruki korijen, i x 2 - jednostavno.

Broj je također korijen jednadžbe, jer koeficijenti jednadžbe moraju biti realni.

Ukupno tražena jednadžba ima 4 korijena: x 1, x 1,x 2, . Stoga je njegov stupanj 4. Polinom 4. stupnja sastavljamo s nulama x

11. Što je kompleksna nula?

13. Formulirajte značenje složene jednakosti.

15. Što je modul i argument kompleksnog broja?

17. Što je argument kompleksnog broja?

18. Koji je naziv ili značenje formule?

19. Objasnite značenje oznake u ovoj formuli:

27. Dajte definicije i navedite glavna svojstva aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.

28. Koji je naziv ili značenje formule?

29. Objasnite značenje oznake u ovoj formuli:

31. Koji je naziv ili značenje formule?

32. Objasnite značenje oznake u ovoj formuli:

34. Koji je naziv ili značenje formule?

35. Objasnite značenje oznake u ovoj formuli:

61. Navedite glavna svojstva polinoma.

63. Navedite svojstvo dijeljenja polinoma razlikom (x – x0).

65. Koji je naziv ili značenje formule?

66. Objasnite značenje oznake u ovoj formuli:

67. ⌂ .

69. Navedite teorem: temeljni teorem algebre.

70. Koji je naziv ili značenje formule?

71. Objasnite značenje oznake u ovoj formuli:

75. Navedite svojstvo o broju korijena algebarske jednadžbe.

78. Navedite svojstvo o rastavljanju polinoma s realnim koeficijentima na linearne i kvadratne faktore.

Glosar

K-struka nula polinoma je... (str. 18)

algebarski polinom naziva se... (str. 14)

algebarska jednadžba n-tog stupnja naziva se... (str. 14)

algebarski oblik kompleksnog broja naziva se... (str. 5)

argument kompleksnog broja je... (stranica 4)

realni dio kompleksnog broja z je... (strana 2)

kompleksno konjugirani broj je... (stranica 2)

kompleksna nula je... (stranica 2)

kompleksan broj se zove... (strana 2)

korijen stupnja n kompleksnog broja naziva se... (str. 10)

korijen jednadžbe je... (str. 14)

koeficijenti polinoma su... (str. 14)

imaginarna jedinica je... (stranica 2)

imaginarni dio kompleksnog broja z je... (strana 2)

modul kompleksnog broja naziva se... (str. 4)

nula funkcije naziva se... (str. 14)

eksponencijalni oblik kompleksnog broja naziva se... (str. 11)

polinom se zove... (str. 14)

jednostavna nula polinoma naziva se... (str. 18)

suprotan broj je... (strana 2)

stupanj polinoma je... (str. 14)

trigonometrijski oblik kompleksnog broja naziva se... (str. 5)

Moivreova formula je... (str. 9)

Eulerove formule su... (stranica 13)

cijela funkcija se zove... (str. 14)

čisto imaginaran broj je... (str. 2)

Kako zbrajati kompleksne brojeve. Modul i argument kompleksnog broja. Trigonometrijski. Algebarski zapis

Korištenje kalkulatora

Vijesti

Sponzor

Modul i argument kompleksnog broja. Trigonometrijski

Predstavljanje kompleksnih brojeva

Algebarski zapis.

Trigonometrijski oblik.

Demonstrativni oblik.

Temeljni teorem više algebre

Glavne vrste zadataka

Zaključak

Književnost

§ 1. Kompleksni brojevi: definicije, geometrijska interpretacija, operacije u algebarskom, trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku

Definicija kompleksnog broja ( Navedite definiciju kompleksnog broja)

Složene jednakosti (Formulirajte značenje složene jednakosti)

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva ( Što je geometrijski prikaz kompleksnih brojeva?)

Modul i argument kompleksnog broja ( Što je modul i argument kompleksnog broja?)

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima (Dati definicije i navesti glavna svojstva aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.)

Zbrajanje (oduzimanje) kompleksnih brojeva

Osnovna svojstva sabiranja

Množenje kompleksnih brojeva u algebarskom obliku

Osnovna svojstva množenja

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Dizanje kompleksnog broja na prirodni potenc

Vađenje korijena prirodnog stupnja iz kompleksnog broja

§ 2. Cjelovite funkcije (polinomi) i njihova osnovna svojstva. Rješavanje algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva

Primjeri rješavanja algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva ( Navedite primjere rješavanja algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva)