U mehanici vanjske sile u odnosu na zadani sustav materijalnih točaka (tj. takav skup materijalnih točaka u kojem kretanje svake točke ovisi o položajima ili gibanjima svih ostalih točaka), nazivaju se one sile koje predstavljaju djelovanje na ovaj sustav drugih tijela (drugi sustavi materijalnih točaka) koja nismo uvrstili u ovaj sustav. Unutarnje sile su sile međudjelovanja između pojedinih materijalnih točaka danog sustava. Podjela sila na vanjske i unutarnje potpuno je uvjetna: kada se promijeni zadani sastav sustava, neke sile koje su prije bile vanjske mogu postati unutarnje, i obrnuto. Tako npr. pri razmatranju
gibanja sustava koji se sastoji od Zemlje i njenog satelita Mjeseca, sile interakcije između tih tijela bit će unutarnje sile za ovaj sustav, a sile privlačenja sunca, drugih planeta, njihovih satelita i svih zvijezda bit će vanjske sile u odnosu na ovaj sustav. Ali ako promijenimo sastav sustava i promatramo kretanje sunca i svih planeta kao kretanje jednog zajednički sustav, zatim vanjski sile će biti samo sile privlačenja koje vrše zvijezde; ipak, sile interakcije između planeta, njihovih satelita i sunca postaju unutarnje sile za ovaj sustav. Na isti način, ako tijekom kretanja parne lokomotive odaberemo klip parnog cilindra kao odvojeni sustav materijalne točke, podložne našem razmatranju, tada će tlak pare na klip u odnosu na njega biti vanjska sila, a isti tlak pare bit će jedan od unutarnje sile, ako promatramo kretanje cijele lokomotive kao cjeline; u tom će slučaju vanjske sile u odnosu na cijelu lokomotivu, uzetu kao jedan sustav, biti: trenje između tračnica i kotača lokomotive, sila teže lokomotive, reakcija tračnica i otpor zraka; unutarnje sile bit će sve sile međudjelovanja između dijelova lokomotive, na primjer. sile međudjelovanja između pare i klipa cilindra, između klizača i njegovih paralela, između klipnjače i koljenastog svornjaka itd. Kao što vidimo, između vanjskih i unutarnjih sila u biti nema razlike, dok relativna razlika između njih određuje se samo ovisno o tome uključujemo li koja tijela u sustav koji razmatramo, a koja smatramo da nisu dijelom sustava. Međutim, navedena relativna razlika sila je od vrlo značajne važnosti u proučavanju gibanja danog sustava; prema trećem Newtonovom zakonu (o jednakosti akcije i reakcije), unutarnje sile međudjelovanja između svake dvije materijalne točke sustava jednake su veličine i usmjerene duž iste ravne crte u suprotnim smjerovima; zahvaljujući tome, pri rješavanju različitih pitanja o gibanju sustava materijalnih točaka, moguće je iz jednadžbi gibanja sustava isključiti sve unutarnje sile i time omogućiti samo proučavanje gibanja cijelog sustava. Ova metoda isključivanja unutarnjih, u većini slučajeva nepoznatih, sila vezivanja bitna je u izvođenju različitih zakona mehanike sustava.
Apsolutno elastičan udar- sudar dvaju tijela, uslijed čega na oba tijela koja sudjeluju u sudaru ne ostaju nikakve deformacije, a cjelokupna kinetička energija tijela prije udarca nakon udarca ponovno se pretvara u izvornu kinetičku energiju (napominjemo da je ovo idealizirana slučaj).
Za apsolutno elastični udar zadovoljeni su zakon održanja kinetičke energije i zakon održanja količine gibanja.
Označimo brzine loptica masa m 1 i m 2 prije udarca v 1 I v 2, nakon udara - kroz v 1 " I v 2 "(Sl. 1). Za izravni središnji udar, vektori brzine kuglica prije i poslije udarca leže na ravnoj liniji koja prolazi kroz njihova središta. Projekcije vektora brzine na ovaj pravac jednake su modulima brzine. Njihove smjerove ćemo uzeti u obzir znakovima: pozitivno ćemo povezati s kretanjem udesno, negativno - s kretanjem ulijevo.
Sl. 1
Pod ovim pretpostavkama, zakoni očuvanja imaju oblik
(1)
(2)
Provodeći odgovarajuće transformacije u izrazima (1) i (2), dobivamo
(3)
(4)
Rješavajući jednadžbe (3) i (5), nalazimo
(7)
Pogledajmo nekoliko primjera.
1. Kada v 2=0
(8) 
(9)
Analizirajmo izraze (8) u (9) za dvije lopte različitih masa:
a) m 1 \u003d m 2. Ako je druga kuglica visjela nepomično prije udarca ( v 2=0) (slika 2), tada će se nakon udarca prva kuglica zaustaviti ( v 1 "=0), a druga će se kretati istom brzinom iu istom smjeru kao prva kuglica prije udara ( v 2 "=v 1);
sl.2
b) m 1 > m 2. Prva se lopta nastavlja kretati u istom smjeru kao i prije udarca, ali manjom brzinom ( v 1 "<v 1). Brzina druge lopte nakon udarca veća je od brzine prve nakon udarca ( v 2 ">v 1 ") (slika 3);
sl.3
c) m 1
sl.4
d) m 2 >>m 1 (npr. sudar lopte sa zidom). Jednadžbe (8) i (9) impliciraju da v 1 "= -v 1; v 2 "≈ 2m1 v 2 "/m2.
2. Kada je m 1 =m 2 izrazi (6) i (7) će izgledati ovako v 1 "= v 2; v 2 "= v 1; tj. kuglice jednake mase, takoreći, izmjenjuju brzine.
Apsolutno neelastični udar- sudar dvaju tijela, uslijed čega su tijela povezana, krećući se dalje kao jedinstvena cjelina. Apsolutno neelastični udar može se pokazati pomoću kuglica od plastelina (gline) koje se kreću jedna prema drugoj (slika 5).
sl.5
Ako su mase loptica m 1 i m 2 , njihove brzine prije udara v 1 I v 2, zatim, koristeći zakon održanja količine gibanja
Gdje v- brzina loptice nakon udarca. Zatim
(15.10)
U slučaju da se kuglice kreću jedna prema drugoj, one će se zajedno nastaviti kretati u smjeru u kojem se kuglica kretala s velikim zamahom. U konkretnom slučaju, ako su mase kuglica jednake (m 1 \u003d m 2), tada
Odredimo kako se mijenja kinetička energija kuglica tijekom središnjeg apsolutno neelastičnoga udarca. Budući da u procesu sudaranja kuglica između njih djeluju sile koje ovise o njihovim brzinama, a ne o samim deformacijama, radi se o disipativnim silama sličnim silama trenja, pa zakon održanja mehaničke energije u ovom slučaju ne bi trebao vrijediti. biti promatran. Uslijed deformacije dolazi do smanjenja kinetičke energije koja se pretvara u toplinsku ili druge oblike energije. Ovo smanjenje može se odrediti razlikom u kinetičkoj energiji tijela prije i poslije udara:
Koristeći (10), dobivamo
Ako je tijelo koje se udara u početku bilo nepomično (ν 2 =0), tada
Kada je m 2 >> m 1 (masa nepomičnog tijela vrlo velika), tada ν <<v 1 a praktički se sva kinetička energija tijela pri udaru pretvara u druge oblike energije. Stoga, na primjer, da bi se dobila značajna deformacija, nakovanj mora biti mnogo masivniji od čekića. Naprotiv, kod zabijanja čavala u zid masa čekića treba biti mnogo veća (m 1 >> m 2), zatim ν≈ν 1 i gotovo sva energija se troši na što veće pomicanje čavla, a ne na zaostalu deformaciju stijenke.
Savršeno neelastični udar je primjer gubitka mehaničke energije zbog disipativnih sila.
1. Rad promjenljive sile.
Promotrimo materijalnu točku koja se giba pod djelovanjem sile P pravocrtno. Ako djelujuća sila konstantna i usmjerena duž ravne linije, a pomak jednak s, tada je, kao što je poznato iz fizike, rad A te sile jednak umnošku Ps. Sada ćemo izvesti formulu za izračunavanje rada promjenjive sile.
Neka se točka pomiče po x-osi pod djelovanjem sile čija je projekcija na x-osu funkcija f na x. Ovdje ćemo pretpostaviti da je f kontinuirana funkcija. Pod djelovanjem te sile materijalna se točka pomaknula iz točke M (a) u točku M (b) (slika 1, a). Pokažimo da se u ovom slučaju rad A izračunava po formuli
(1)
Podijelimo segment [a; b] na n odsječaka iste duljine.To su odsječci [a; x 1 ], ,..., (slika 1.6). Rad sile na cijelom segmentu [a; b] jednak je zbroju rada te sile na dobivenim segmentima. Budući da je f kontinuirana funkcija od x, za dovoljno mali segment [a; x 1] rad sile na ovom segmentu približno je jednak f (a) (x 1 -a) (zanemarujemo činjenicu da se f mijenja na segmentu). Slično tome, rad sile na drugom segmentu je približno jednak f (x 1) (x 2 - x 1), itd.; rad sile na n-tom segmentu približno je jednak f (x n-1) (b - x n-1). Posljedično, rad sile na cijelom segmentu [a; b] približno je jednako:
a točnost približne jednakosti je to veća što su odsječci na koje je odsječak [a; b] kraći. Naravno, ta približna jednakost prelazi u točnu, ako pretpostavimo da je n→∞:
Kako A n pri n →∞ teži integralu razmatrane funkcije od a do b, izvodi se formula (1).
2. Snaga.
Snaga P je brzina kojom se rad obavlja
Ovdje je v brzina materijalna točka na koje se primjenjuje sila
Sve sile koje se javljaju u mehanici obično se dijele na konzervativne i nekonzervativne.
Sila koja djeluje na materijalnu točku naziva se konzervativnom (potencijalnom) ako rad te sile ovisi samo o početnom i konačnom položaju točke. Rad konzervativne sile ne ovisi ni o vrsti putanje ni o zakonu gibanja materijalne točke duž putanje (vidi sl. 2): 
.
Promjena smjera gibanja točke po malom odsječku u suprotan uzrokuje promjenu predznaka elementarnog rada, dakle, . Dakle, rad konzervativne sile duž zatvorene putanje 1 a 2b 1 je nula: 
.
Točke 1 i 2, kao i dionice zatvorene putanje 1 a 2 i 2 b 1 može se odabrati potpuno proizvoljno. Dakle, rad konzervativne sile duž proizvoljne zatvorene putanje L točke njezine primjene jednak je nuli:
U ovoj formuli kružić na znaku integrala pokazuje da se integracija izvodi po zatvorenoj putanji. Često zatvorena putanja L naziva zatvorena petlja L(slika 3). Obično se postavlja smjerom obilaska konture L u smjeru kazaljke na satu. Smjer vektora elementarnog pomaka podudara se sa smjerom obilaska konture L. U ovom slučaju formula (5) glasi: cirkulacija vektora po zatvorenoj petlji L jednaka je nuli.
Treba napomenuti da su sile gravitacije i elastičnosti konzervativne, a sile trenja nekonzervativne. Doista, budući da je sila trenja usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka ili brzine, rad sila trenja duž zatvorene staze uvijek je negativan i stoga nije jednak nuli.
Disipativni sustav(ili disipativna struktura, od lat. rasipanje- “Raspojim, uništim”) je otvoreni sustav koji radi daleko od termodinamičke ravnoteže. Drugim riječima, ovo je stabilno stanje koje se javlja u neravnotežnom mediju pod uvjetom disipacije (raspršivanja) energije koja dolazi izvana. Ponekad se naziva i disipativni sustav stacionarni otvoreni sustav ili neravnotežni otvoreni sustav.
Disipativni sustav karakterizira spontana pojava složene, često kaotične strukture. Posebnost takvi sustavi - neočuvanje volumena u faznom prostoru, odnosno neispunjenje Liouvilleovog teorema.
Jednostavan primjer takav sustav su Benardove stanice. što više teški primjeri zvani laseri, reakcija Belousov-Zhabotinsky i biološki život.
Pojam "disipativna struktura" uveo je Ilya Prigogine.
Nedavna istraživanja u području "disipativnih struktura" omogućuju nam da zaključimo da se proces "samoorganizacije" odvija puno brže u prisutnosti vanjskih i unutarnjih "šumova" u sustavu. Dakle, učinci buke dovode do ubrzanja procesa "samoorganizacije".
Kinetička energija
energije mehanički sustav, ovisno o brzinama njegovih točaka. K. e. T materijalna točka mjeri se polovicom umnoška mase m ovu točku kvadratom njezine brzine υ, tj. T = 1/ 2 mυ 2 . K. e. mehanički sustav jednak je aritmetički zbroj K. e. sve njegove točke: T =Σ 1 / 2 m k υ 2 k . Izraz K. e. sustavi se također mogu prikazati kao T = 1 / 2 Mυ c 2 + Tc, Gdje M je masa cijelog sustava, υ c je brzina centra mase, T c - K. e. sustav u svom kretanju oko središta mase. K. e. čvrsto tijelo, pomicanje naprijed, izračunava se na isti način kao K. e. točka koja ima masu jednaku masi cijelog tijela. Formule za izračunavanje K. e. tijelo koje rotira oko nepomične osi, vidi čl. Rotacijsko kretanje.
Promjena K. e. sustav kada se pomakne s pozicije (konfiguracija) 1
u poziciju 2
nastaje pod djelovanjem vanjskih i unutarnjih sila primijenjenih na sustav i jednak je zbroju rada 
.
Ova jednakost izražava teorem o promjeni K. e., uz pomoć kojega se rješavaju mnogi problemi dinamike.
Pri brzinama bliskim brzini svjetlosti, K. e. materijalna točka
Gdje m0 je masa točke mirovanja, S je brzina svjetlosti u vakuumu ( m 0 s 2 je energija točke mirovanja). Pri malim brzinama ( υ<< c ) zadnja relacija ulazi u uobičajenu formulu 1/2 mυ 2 .
Kinetička energija.
Kinetička energija – energija tijela koje se kreće. (Od grčke riječi kinema - kretanje). Prema definiciji, kinetička energija tijela koje miruje u danom referentnom sustavu nestaje.
Neka se tijelo kreće pod djelovanjem trajnog sila u smjeru sile.
Zatim: 
.
Jer kretanje je jednoliko ubrzano, tada je:
Stoga: 
.
- naziva kinetička energija
Sile koje djeluju na bilo koju točku mehaničkog sustava dijele se na unutarnje i vanjske.
fi- unutarnja snaga
Fe- vanjska sila
unutarnje nazivamo silama kojima točke uključene u sustav djeluju jedna na drugu.
Vanjski nazivaju se sile koje na točke djeluju izvana, odnosno iz drugih točaka ili tijela koja nisu uključena u sustav. Podjela sila na unutarnje i vanjske je uvjetna.
mg - vanjska sila
Ftr - unutarnja sila
mehanički sustav. Sile vanjske i unutarnje.
Mehanički sustav materijalnih točaka ili tijela je takav njihov skup u kojem položaj ili kretanje svake točke (ili tijela) ovisi o položaju i kretanju svih ostalih.
Također ćemo razmatrati materijalno apsolutno kruto tijelo kao sustav materijalnih točaka koje tvore to tijelo i koje su međusobno povezane tako da se udaljenosti između njih ne mijenjaju, već ostaju konstantne cijelo vrijeme.
Klasičan primjer mehaničkog sustava je Sunčev sustav u kojem su sva tijela povezana silama međusobnog privlačenja. Drugi primjer mehaničkog sustava je bilo koji stroj ili mehanizam u kojem su sva tijela povezana šarkama, šipkama, sajlama, remenima itd. (tj. različiti geometrijski odnosi). U ovom slučaju sile međusobnog pritiska ili napetosti djeluju na tijela sustava, prenošene preko veza.
Skup tijela između kojih nema interakcijskih sila (na primjer, skupina zrakoplova koji leti u zraku) ne čini mehanički sustav.
Sukladno prethodnom, sile koje djeluju na točke ili tijela sustava mogu se podijeliti na vanjske i unutarnje.
Vanjske sile nazivaju se sile koje na točke sustava djeluju iz točaka ili tijela koja nisu dio tog sustava.
Unutarnjim silama nazivamo sile koje na točke sustava djeluju iz drugih točaka ili tijela istog sustava. Vanjske sile označavat ćemo simbolom - , a unutarnje - .
I vanjske i unutarnje sile mogu pak biti aktivne ili reakcije veza.
Reakcije odnosa ili jednostavno reakcije su sile koje ograničavaju kretanje točaka sustava (njihove koordinate, brzinu itd.). U statici su to bile sile koje zamjenjuju veze. U dinamici se za njih uvodi općenitija definicija.
Sve druge sile nazivamo djelatnim ili danim silama, sve osim reakcija.
Nužnost ove klasifikacije snaga postat će jasna u sljedećim poglavljima.
Podjela sila na vanjske i unutarnje je uvjetna i ovisi o gibanju kojeg sustava tijela razmatramo. Na primjer, ako uzmemo u obzir kretanje cijelog Sunčevog sustava kao cjeline, tada će sila privlačenja Zemlje prema Suncu biti unutarnja; pri proučavanju gibanja Zemlje u njenoj orbiti oko Sunca ista će se sila smatrati vanjskom.
Unutarnje sile imaju sljedeća svojstva:
1. Geometrijski zbroj (glavni vektor) svih unutarnjih sila F12 i F21 sustava jednak je nuli. Doista, prema trećem zakonu dinamike, bilo koje dvije točke sustava (slika 31) djeluju jedna na drugu s jednakim i suprotno usmjerenim silama i čiji je zbroj jednak nuli. Budući da sličan rezultat vrijedi za bilo koji par točaka u sustavu, tada
2. Zbroj momenata (glavni moment) svih unutarnjih sila sustava u odnosu na bilo koje središte ili os jednak je nuli. Doista, ako uzmemo proizvoljno središte O, tada je jasno sa slike 18 da je . Sličan rezultat će se dobiti kada se računaju momenti oko osi. Stoga će za cijeli sustav biti:
Međutim, iz dokazanih svojstava ne proizlazi da su unutarnje sile međusobno uravnotežene i da ne utječu na gibanje sustava, budući da te sile djeluju na različite materijalne točke ili tijela i mogu uzrokovati međusobne pomake tih točaka ili tijela. Unutarnje sile će biti uravnotežene kada je sustav koji se razmatra apsolutno kruto tijelo.
30Teorem o gibanju središta mase.
Težina sustava jednak je algebarskom zbroju masa svih točaka ili tijela sustava u jednoličnom gravitacijskom polju, za koje je težina bilo koje čestice tijela proporcionalna njegovoj masi. Dakle, raspodjelu masa u tijelu možemo odrediti položajem njegova težišta – geometrijske točke C čije se koordinate nazivaju središtem mase ili središtem tromosti mehaničkog sustava.
Teorem o gibanju središta mase mehaničkog sustava : središte mase mehaničkog sustava kreće se kao materijalna točka čija je masa jednaka masi sustava i na koju djeluju sve vanjske sile koje djeluju na sustav
Zaključci:
Mehanički sustav ili kruto tijelo može se smatrati materijalnom točkom, ovisno o prirodi njegova gibanja, a ne o veličini.
Unutarnje sile nisu uzete u obzir teoremom o gibanju središta mase.
Teorem o gibanju središta mase ne karakterizira rotacijsko gibanje mehaničkog sustava, već samo translatorno
Zakon očuvanja gibanja središta mase sustava:
1. Ako je zbroj vanjskih sila (glavni vektor) stalno jednak nuli, tada središte mase mehaničkog sustava miruje ili se giba jednoliko i pravocrtno.
2. Ako je zbroj projekcija svih vanjskih sila na bilo koju os jednak nuli, tada je projekcija brzine središta mase sustava na istu os konstantna veličina.
Jednadžba i izražava teorem o gibanju središta mase sustava: umnožak mase sustava i ubrzanja njegova središta mase jednak je geometrijskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav. Usporedbom s jednadžbom gibanja materijalne točke dobivamo još jedan izraz teorema: središte mase sustava giba se kao materijalna točka čija je masa jednaka masi cijelog sustava i kojoj sve vanjske primjenjuju se sile koje djeluju na sustav.
Ako izraz (2) stavimo u (3), uzimajući u obzir činjenicu da, dobivamo:
(4') - izražava teorem o gibanju središta mase sustava: središte mase sustava giba se kao materijalna točka na koju djeluju sve sile sustava.
Zaključci:
1. Unutarnje sile ne utječu na pomicanje središta mase sustava.
2. Ako je , kretanje središta mase sustava događa se konstantnom brzinom.
3. , tada se kretanje središta mase sustava u projekciji na os odvija konstantnom brzinom.
Ove jednadžbe su diferencijalne jednadžbe gibanja središta mase u projekcijama na osi Kartezijevog koordinatnog sustava.
Smisao dokazanog teorema je sljedeći.
1) Teorem daje opravdanje za metode dinamike točaka. Iz jednadžbi je vidljivo da rješenja koja dobijemo promatrajući određeno tijelo kao materijalnu točku određuju zakon gibanja centra mase tog tijela, tj. imaju vrlo specifično značenje.
Konkretno, ako se tijelo giba naprijed, tada je njegovo gibanje potpuno određeno gibanjem centra mase. Dakle, tijelo koje se progresivno kreće uvijek možemo smatrati materijalnom točkom s masom jednakom masi tijela. U ostalim slučajevima tijelo se može smatrati materijalnom točkom samo kada je u praksi za određivanje položaja tijela dovoljno znati položaj njegova središta mase.
2) Teorem omogućuje, pri određivanju zakona gibanja središta mase bilo kojeg sustava, isključivanje iz razmatranja svih prethodno nepoznatih unutarnjih sila. To je njegova praktična vrijednost.
Dakle, kretanje automobila na vodoravnoj ravnini može se dogoditi samo pod djelovanjem vanjskih sila, sila trenja koje djeluju na kotače sa strane ceste. I kočenje automobila također je moguće samo tim silama, a ne trenjem između kočionih pločica i kočionog bubnja. Ako je cesta glatka, koliko god kotači kočili, klizit će i neće zaustaviti auto.
Ili će se nakon eksplozije letećeg projektila (pod utjecajem unutarnjih sila) njegovi krhotine raspršiti tako da će se njihov centar mase kretati istom putanjom.
Teorem o gibanju središta mase mehaničkog sustava trebao bi se koristiti za rješavanje problema u mehanici koji zahtijevaju:
Prema silama koje djeluju na mehanički sustav (najčešće na čvrsto tijelo) odrediti zakon gibanja središta mase;
Prema zadanom zakonu gibanja tijela uključenih u mehanički sustav, pronaći reakcije vanjskih ograničenja;
Na temelju zadanog međusobnog gibanja tijela uključenih u mehanički sustav odredite zakon gibanja tih tijela u odnosu na neki stalni referentni okvir.
Pomoću ovog teorema može se sastaviti jedna od jednadžbi gibanja mehaničkog sustava s više stupnjeva slobode.
Pri rješavanju zadataka često se koriste posljedice teorema o gibanju središta mase mehaničkog sustava.
Korolar 1. Ako je glavni vektor vanjskih sila koje djeluju na mehanički sustav jednak nuli, tada središte mase sustava miruje ili se giba jednoliko i pravocrtno. Budući da je akceleracija centra mase nula, .
Korolar 2. Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju os jednaka nuli, tada središte mase sustava ili ne mijenja svoj položaj u odnosu na ovu os, ili se jednoliko pomiče u odnosu na nju.
Na primjer, ako na tijelo počnu djelovati dvije sile koje tvore par sila (slika 38), tada će se njegovo središte mase C kretati istom putanjom. I samo tijelo će se okretati oko centra mase. I nije važno gdje se primjenjuje nekoliko sila.
mehanički sustav naziva se takav skup materijalnih točaka ili tijela u kojem položaj ili kretanje svake točke ili tijela ovisi o položaju i kretanju svih ostalih. Tako, na primjer, kada proučavamo kretanje Zemlje i Mjeseca u odnosu na Sunce, kombinacija Zemlje i Mjeseca je mehanički sustav koji se sastoji od dvije materijalne točke; kada se projektil razbije na fragmente, smatramo da su fragmenti mehanički sustav. Mehanički sustav je svaki mehanizam ili stroj.
Ako se udaljenosti između točaka mehaničkog sustava ne mijenjaju kada se sustav giba ili miruje, tada se takav mehanički sustav naziva nepromjenjiv.
Koncept nepromjenjivog mehaničkog sustava omogućuje proučavanje proizvoljnog gibanja krutih tijela u dinamici. U ovom slučaju, kao i u statici i kinematici, pod čvrstim tijelom razumijevamo takvo materijalno tijelo, kod kojeg se razmak između svake dvije točke ne mijenja kada se tijelo giba ili miruje. Svako čvrsto tijelo može se mentalno podijeliti na dovoljno velik broj dovoljno malih dijelova, čija se ukupnost može približno smatrati mehaničkim sustavom. Budući da čvrsto tijelo čini kontinuirani produžetak, da bi se utvrdila njegova točna (a ne približna) svojstva, potrebno je napraviti granični prijelaz, graničnu fragmentaciju tijela, kada dimenzije razmatranih dijelova tijela istovremeno teže na nulu.
Dakle, poznavanje zakona gibanja mehaničkih sustava omogućuje proučavanje zakona proizvoljnih gibanja čvrstih tijela.
Sve sile koje djeluju na točke mehaničkog sustava dijele se na vanjske i unutarnje sile.
Vanjske sile u odnosu na određeni mehanički sustav su sile koje na točke tog sustava djeluju iz materijalnih točaka ili tijela koja nisu uključena u sustav. Oznake: - vanjska sila koja djeluje na -tu točku; 
- glavni vektor vanjskih sila; 
- glavni moment vanjskih sila u odnosu na pol.
Unutarnje sile su sile kojima materijalne točke ili tijela uključena u određeni mehanički sustav djeluju na točke ili tijela istog sustava. Drugim riječima, unutarnje sile su sile međudjelovanja između točaka ili tijela određenog mehaničkog sustava. Oznake: - unutarnja sila primijenjena na -tu točku; 
- glavni vektor unutarnjih sila; 
- glavni moment unutarnjih sila u odnosu na pol.
3.2 Svojstva unutarnjih sila.
Prvo imanje.Glavni vektor svih unutarnjih sila mehaničkog sustava jednak je nuli, tj.
. (3.1)
Drugo svojstvo.Glavni moment svih unutarnjih sila mehaničkog sustava u odnosu na bilo koji pol ili os je nula, tj.
, 
. (3.2)
|
Kako bismo dokazali ova svojstva, napominjemo da, budući da su unutarnje sile sile međudjelovanja materijalnih točaka uključenih u sustav, tada, prema Newtonovom trećem zakonu, bilo koje dvije točke sustava (slika 17) djeluju jedna na drugu silama a jednaki po apsolutnoj vrijednosti i suprotni prema. Dakle, za svaku unutarnju silu postoji izravno suprotna unutarnja sila i, prema tome, unutarnje sile tvore određeni skup parno suprotnih sila. Ali geometrijski zbroj dviju suprotnih sila je nula, dakle
.
Kao što je prikazano u statici, geometrijski zbroj momenata dviju suprotnih sila oko istog pola je nula, pa je
.
Sličan rezultat se dobiva kada se računa glavni moment oko osi
.
3.3 Diferencijalne jednadžbe gibanja mehaničkog sustava.
Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od materijalnih točaka čije su mase . Za svaku točku primjenjujemo osnovnu jednadžbu dinamike točke
, 
,
, (3.3)
de je rezultanta vanjskih sila primijenjenih na -tu točku i rezultanta unutarnjih sila.
Sustav diferencijalnih jednadžbi (3.3) naziva se diferencijalne jednadžbe gibanja mehaničkog sustava u vektorskom obliku.
Projiciranjem vektorskih jednadžbi (3.3) na pravokutne kartezijeve koordinatne osi dobivamo diferencijalne jednadžbe gibanja mehaničkog sustava u koordinatnom obliku:
,
, (3.4)
,
.
Ove jednadžbe su sustav običnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda. Stoga je za pronalaženje gibanja mehaničkog sustava prema zadanim silama i početnim uvjetima za svaku točku tog sustava potrebno integrirati sustav diferencijalnih jednadžbi. Integracija sustava diferencijalnih jednadžbi (3.4), općenito govoreći, uključuje značajne, često nepremostive matematičke poteškoće. Međutim, u teorijskoj mehanici razvijene su metode koje omogućuju zaobilaženje glavnih poteškoća koje se javljaju pri korištenju diferencijalnih jednadžbi gibanja mehaničkog sustava u obliku (3.3) ili (3.4). Tu spadaju metode koje daju opće teoreme dinamike mehaničkog sustava kojima se utvrđuju zakonitosti promjene nekih ukupnih (integralnih) karakteristika sustava kao cjeline, a ne zakonitosti gibanja pojedinih njegovih elemenata. To su takozvane mjere gibanja – glavni vektor količine gibanja; glavni moment količine gibanja; kinetička energija. Poznavajući prirodu promjene tih veličina, moguće je formirati djelomičnu, a ponekad i potpunu ideju o kretanju mehaničkog sustava.
IV. OSNOVNI (OPĆI) TEOREMI DINAMIKE TOČKE I SUSTAVA
4.1 Teorem o gibanju središta mase.
4.1.1. Središte mase mehaničkog sustava.
Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od materijalnih točaka čije su mase .
Masa mehaničkog sustava, koji se sastoji od materijalnih točaka, nazvat ćemo zbroj masa točaka sustava:
Definicija. Središte mase mehaničkog sustava je geometrijska točka, čiji je radijus vektor određen formulom:
gdje je radijus vektor centra mase; -radijus-vektora točaka sustava; -njihove mase (slika 18).
; 
; . (4.1")
Središte mase nije materijalna točka, već geometrijski. Ne mora se poklapati ni s jednom materijalnom točkom mehaničkog sustava. U jednoličnom gravitacijskom polju središte mase koincidira s težištem. To, međutim, ne znači da su pojmovi centra mase i centra gravitacije isti. Pojam centra mase primjenjiv je na sve mehaničke sustave, a pojam težišta primjenjiv je samo na mehaničke sustave koji su pod djelovanjem sile teže (odnosno privlačenja prema Zemlji). Tako, na primjer, u nebeskoj mehanici, kada se razmatra problem gibanja dva tijela, na primjer, Zemlje i Mjeseca, može se uzeti u obzir centar mase ovog sustava, ali se ne može uzeti u obzir centar gravitacije.
Dakle, pojam centra mase je širi od pojma težišta.
4.1.2. Teorem o gibanju središta mase mehaničkog sustava.
Teorema. Središte mase mehaničkog sustava kreće se kao materijalna točka čija je masa jednaka masi cijelog sustava i na koju djeluju sve vanjske sile koje djeluju na sustav, tj.
.
(4.2)
Ovdje je glavni vektor vanjskih sila.
Dokaz. Razmotrimo mehanički sustav čije se materijalne točke pomiču pod djelovanjem vanjskih i unutarnjih sila. je rezultanta vanjskih sila primijenjenih na -tu točku i rezultanta unutarnjih sila. Prema (3.3) jednadžba gibanja -te točke ima oblik
, .
Zbrajanjem lijeve i desne strane ovih jednadžbi dobivamo
.
Kako je glavni vektor unutarnjih sila jednak nuli (odjeljak 3.2, prvo svojstvo), tada
.
Transformirajmo lijevu stranu ove jednakosti. Iz formule (4.1), koja određuje radijus vektor centra mase, slijedi:
.
Svugdje u nastavku smatrat ćemo da se razmatraju samo mehanički sustavi stalnog sastava, tj. i . Uzmimo drugu derivaciju u odnosu na vrijeme s obje strane ove jednakosti
Jer 
, -
ubrzanje centra mase sustava, zatim, konačno,
.
Projicirajući oba dijela ove vektorske jednakosti na koordinatne osi, dobivamo:
,
, (4.3)
,
gdje su , , projekcije sile ;
Projekcije glavnog vektora vanjskih sila na koordinatne osi.
Jednadžbe (4.3) - diferencijalne jednadžbe gibanja središta mase mehaničkog sustava u projekcijama na Kartezijeve koordinatne osi.
Jednadžbe (4.2) i (4.3) impliciraju da Nemoguće je samo unutarnjim silama promijeniti prirodu gibanja središta mase mehaničkog sustava. Unutarnje sile mogu posredno djelovati na kretanje središta mase samo vanjskim silama. Na primjer, u automobilu unutarnje sile koje razvija motor utječu na pomicanje središta mase preko sila trenja između kotača i ceste.
4.1.3. Zakoni očuvanja gibanja centra mase
(posljedice iz teoreme).
Iz teorema o gibanju središta mase mogu se dobiti sljedeći korolari.
Posljedica 1.Ako je glavni vektor vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada njegovo središte mase miruje ili se giba pravocrtno i jednoliko.
Doista, ako je glavni vektor vanjskih sila , tada iz jednadžbe (4.2):
Naime, ako je početna brzina središta mase , tada središte mase miruje. Ako je početna brzina , tada se središte mase giba pravocrtno i jednoliko.
Posljedica 2.Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju nepomičnu os jednaka nuli, tada se projekcija brzine centra mase mehaničkog sustava na tu os ne mijenja.
Ovaj korolar slijedi iz jednadžbi (4.3). Neka, na primjer, onda
,
odavde. Ako u isto vrijeme u početnom trenutku, tada:
odnosno projekcija centra mase mehaničkog sustava na os u ovom slučaju neće se kretati duž osi. Ako je , tada se projekcija središta mase na os pomiče jednoliko.
4.2 Momentalna količina točke i sustava.
Teorem o promjeni količine gibanja.
4.2.1. Količina kretanja točke i sustava.
Definicija. Moment količine gibanja materijalne točke je vektor jednak umnošku mase točke i njezine brzine, tj
. (4.5)
Vektor kolinearna na vektor i usmjerena tangencijalno na putanju materijalne točke (slika 19).
Moment količine gibanja točke u fizici se često naziva impuls materijalne točke.
Jedinica količine gibanja je SI-kg m/s ili N s.
Definicija. Moment mehaničkog sustava naziva se vektor koji je jednak vektorskom zbroju brojeva gibanja (glavni vektor brojeva gibanja) pojedinačnih točaka uključenih u sustav, tj.
(4.6)
Projekcije količine gibanja na pravokutne kartezijeve koordinatne osi:
Vektor impulsa sustava za razliku od vektora količine gibanja, točka nema točku primjene. Vektor količine gibanja točke primjenjuje se na samu pokretnu točku i vektor je slobodni vektor.
Lema momenta. Količina gibanja mehaničkog sustava jednaka je masi cijelog sustava pomnoženoj s brzinom njegova središta mase, tj.
Dokaz. Iz formule (4.1), koja određuje radijus vektor centra mase, slijedi:
.
Uzmite vremensku derivaciju obje strane
, ili 
.
Odavde dobivamo
, što je trebalo dokazati.
Iz formule (4.8) se vidi da ako se tijelo giba tako da njegovo središte mase ostaje nepomično, tada je količina gibanja tijela jednaka nuli. Na primjer, impuls tijela koje rotira oko nepomične osi koja prolazi kroz njegovo središte mase (slika 20),
, jer
Ako je gibanje tijela planparalelno, tada količina gibanja neće karakterizirati rotacijski dio gibanja oko središta mase. Na primjer, za kotač koji se kotrlja (slika 21), bez obzira na to kako se kotač okreće oko središta mase. Količina gibanja karakterizira samo translatorni dio gibanja zajedno sa središtem mase.
4.2.2. Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava
u diferencijalnom obliku.
Teorema.Vremenska derivacija količine gibanja mehaničkog sustava jednaka je geometrijskom zbroju (glavnom vektoru) vanjskih sila koje djeluju na taj sustav, tj.
.
(4.9)
Dokaz. Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od materijalnih točaka čije su mase ; je rezultanta vanjskih sila primijenjenih na i-tu točku. U skladu s lemom o momentu, formula (4.8):
Uzmite vremensku derivaciju obje strane ove jednakosti
.
Desni dio te jednakosti iz teorema o gibanju središta je formula mase (4.2):
.
Konačno:
i teorem je dokazan .
U projekcijama na pravokutne kartezijeve koordinatne osi:
; 
; 
, (4.10)
to je vremenska derivacija projekcije količine gibanja mehaničkog sustava na bilo koju koordinatnu os jednaka je zbroju projekcija (projekcija glavnog vektora) svih vanjskih sila sustava na istu os.
4.2.3. Zakoni očuvanja količine gibanja
(posljedice iz teoreme)
Korolar 1.Ako je glavni vektor svih vanjskih sila mehaničkog sustava jednak nuli, tada je količina gibanja sustava konstantna po veličini i smjeru.
Doista, ako 
,
onda iz teorema o promjeni količine gibanja, tj. iz jednakosti (4.9), slijedi da
Posljedica 2.Ako je projekcija glavnog vektora svih vanjskih sila mehaničkog sustava na određenu fiksnu os jednaka nuli, tada projekcija količine gibanja sustava na tu os ostaje konstantna.
Neka je projekcija glavnog vektora svih vanjskih sila na os jednaka nuli: 
. Zatim iz prve jednakosti (4.10):
4.2.4. Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava
u integralnom obliku.
Elementarni impuls sile naziva se vektorska veličina jednaka umnošku vektora sile s elementarnim vremenskim intervalom
. (4.11)
Smjer elementarnog impulsa poklapa se sa smjerom vektora sile.
Impuls sile tijekom konačnog vremenskog razdoblja jednak je određenom integralu elementarne količine gibanja
. (4.12)
Ako je sila konstantna po veličini i smjeru (), tada je njezina količina kretanja tijekom vremena jednako:
Projekcije impulsa sile na koordinatne osi:
Dokažimo teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u integralnom obliku.
Teorema.Promjena količine gibanja mehaničkog sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je geometrijskom zbroju impulsa vanjskih sila sustava u istom vremenskom razdoblju, tj.
(4.14)
Dokaz. Neka u trenutku vremena količina gibanja mehaničkog sustava bude , a u trenutku vremena - ; je moment vanjske sile koja djeluje na tu točku u vremenu.
Koristimo teorem o promjeni količine gibanja u diferencijalnom obliku - jednakost (4.9):
.
Množenjem oba dijela ove jednakosti i integracijom unutar granica od do , Dobivamo
, 
, 
.
Dokazuje se teorem o promjeni količine gibanja u integralnom obliku.
U projekcijama na koordinatnim osima, prema (4.14):
,
, (4.15)
.
4.3. Teorem o promjeni kinetičkog momenta.
4.3.1. Kinetički moment točke i sustava.
U statici su uvedeni i široko korišteni pojmovi momenata sile u odnosu na pol i os. Budući da je moment količine gibanja materijalne točke vektor, moguće je odrediti njegove momente u odnosu na pol i os na isti način kao što se određuju momenti sile.
Definicija. u odnosu na pol naziva se moment vektora količine gibanja u odnosu na isti pol, tj.
. (4.16)
Kutni moment materijalne točke u odnosu na pol je vektor (slika 22) usmjeren okomito na ravninu koja sadrži vektor i pol u smjeru iz kojeg je vektor u odnosu na pol vidi se rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Vektorski modul
jednak umnošku modula i kraka - duljine okomice spuštene s pola na liniju djelovanja vektora:
Zamah u odnosu na pol može se prikazati kao vektorski produkt: kinetički moment materijalne točke u odnosu na pol jednak je vektorskom umnošku polumjera vektora povučenog od pola do točke pomoću vektora količine gibanja:
(4.17)
Definicija. Kinetički moment materijalne točke relativno osi naziva se moment njenog vektora količine gibanja u odnosu na istu os, tj.
. (4.18)
Kutni moment materijalne točke oko osi (Sl. 23) jednaka je umnošku vektorske projekcije na ravninu okomitu na os, uzeta s predznakom plus ili minus , na ramenu ove projekcije:
gdje je rame duljina okomice spuštene s točke sjecište osi s ravninom na liniji djelovanja projekcije , dok , ako, gleda prema osi , možete vidjeti projekciju oko točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i inače.
Jedinica kutne količine gibanja je SI-kg m 2 /s ili N m s.
Definicija. Kutna količina gibanja ili glavni moment količine gibanja mehaničkog sustava u odnosu na pol je vektor jednak geometrijskom zbroju kutne količine gibanja svih materijalnih točaka sustava u odnosu na taj pol:
.
(4.19)
Definicija. Kutna količina gibanja ili glavni moment količine gibanja mehaničkog sustava u odnosu na os je algebarski zbroj kinetičkih momenata svih materijalnih točaka sustava u odnosu na tu os:
. (4.20)
Kinetički momenti mehaničkog sustava u odnosu na pol i os koja prolazi kroz ovaj pol povezani su istom ovisnošću kao i glavni momenti sustava sila u odnosu na pol i os:
-projekcija kinetičkog momenta mehaničkog sustava u odnosu na pol na os ,koja prolazi kroz ovaj pol jednaka je kutnoj količini gibanja sustava oko te osi, tj.
. (4.21)
4.3.2. Teoremi o promjeni kinetičkog momenta mehaničkog sustava.
Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od materijalnih točaka čije su mase . Dokažimo teorem o promjeni kinetičkog momenta mehaničkog sustava s obzirom na pol.
Teorema.Vremenska derivacija kutne količine gibanja mehaničkog sustava u odnosu na nepomični pol jednaka je glavnom momentu vanjskih sila sustava u odnosu na isti pol, tj.
.
(4.22)
Dokaz. Odaberemo neki fiksni stup . Kutni moment mehaničkog sustava u odnosu na taj pol je, po definiciji, jednakost (4.19):
.
Razlikujmo ovaj izraz s obzirom na vrijeme:
Razmotrite desnu stranu ovog izraza. Izračunavanje derivacije proizvoda:
, (4.24)
Ovdje se uzima u obzir da . Vektori i imaju isti smjer, njihov vektorski umnožak jednak je nuli, otuda prvi zbroj u jednakosti (4.24).
Vanjske sile nazivaju se sile koje djeluju na tijelo iz točaka ili tijela koja nisu uključena u to tijelo ili sustav. Sile kojima točke određenog tijela djeluju jedna na drugu nazivamo unutarnjim silama.
Uništenje ili čak jednostavno slom konstrukcijskog elementa moguće je samo uz povećanje unutarnjih sila i kada one prođu kroz određenu ograničavajuću barijeru. Pogodno je računati visinu ove barijere od razine koja odgovara odsutnosti vanjskih sila. U biti, potrebno je uzeti u obzir samo dodatne unutarnje sile koje nastaju samo u prisutnosti vanjskih sila. Te dodatne unutarnje sile nazivaju se u mehanici jednostavno unutarnjim silama u užem, mehaničkom smislu.
Unutarnje sile određuju se pomoću "metode presjeka", koja se temelji na prilično očitoj tvrdnji: ako je tijelo kao cjelina u ravnoteži, tada je svaki dio koji je od njega odvojen također u tom stanju
Slika 2.1.5
Promotrimo štap koji je u ravnoteži pod djelovanjem sustava vanjskih sila, sl. 2.1.5, a. S presjekom AB, mentalno ga podijelimo na dva dijela, sl. 2.1.5, b. Na svaki od presjeka AB lijevog i desnog dijela djelujemo sustavom sila koji odgovara unutarnjim silama koje djeluju u realnom tijelu, sl. 1.7, c. Tako se metodom presjeka unutarnje sile pretvaraju u vanjske sile u odnosu na svaki od odsječenih dijelova tijela, čime se one mogu odrediti iz uvjeta ravnoteže za svaki od tih dijelova posebno.
Odsječak AB može biti usmjeren na bilo koji način, ali presjek okomit na uzdužnu os štapa ispada da je pogodniji za daljnje razmišljanje.
Uvedimo oznaku:
glavni vektori i glavni momenti vanjskih i unutarnjih sila koje djeluju na lijevi odsječni dio. Uzimajući u obzir uvedenu oznaku, uvjeti ravnoteže za ovo tijelo mogu se napisati kao:
0, + =0 (2.1.1)
Slični izrazi mogu se napraviti za desni odrezani dio štapa. Nakon jednostavnih transformacija, možete dobiti:
=- , =- (2.1.1)
što se može tumačiti kao posljedica poznatog zakona mehanike: radnju uvijek prati jednaka i suprotno usmjerena reakcija.
U slučaju rješavanja problema dinamičkog djelovanja na štap, može se pozvati na dobro poznati d'Alembertov princip, prema kojem se inercijalnim silama dodaju vanjske sile, što opet svodi problem na jednadžbe ravnoteže. Stoga ostaje postupak metode presjeka
Vrijednosti i ne ovise o orijentaciji presjeka AB (vidi sl. 2.1.5). Međutim, u praktičnim izračunima najprikladnija je uporaba poprečnog presjeka. U ovom slučaju, normala na presjek poklapa se s uzdužnom osi štapa. Nadalje, glavni vektor i glavni moment unutarnjih sila obično se prikazuju kao njihove projekcije na ortogonalne koordinatne osi, a jedna od osi (na primjer, x os) je poravnata sa spomenutom normalom, vidi sl. 2.1.6.
Slika 2.1.6
Raširimo vektore , , , po koordinatnim osima, sl. 2.1.6, a-d. Glavni vektor i komponente glavnog momenta imaju zajedničke nazive. Sila N x normalna na ravninu presjeka naziva se normalna (uzdužna) sila, a Q x i Q y poprečne (rezne) sile. Momenti u odnosu na ose na I z, tj. M y i M z će biti savijanje i moment oko uzdužne osi x, tj. M x - uvijanje.
Komponente glavnog momenta unutarnjih sila u otporu materijala najčešće se prikazuju kao na sl. 2.1.6, e i f.
Jednadžbe vektorske ravnoteže mogu se prikazati kao projekcija na koordinatne osi:
Stoga se svaka komponenta glavnog vektora za glavni moment unutarnjih sila izračunava kao zbroj projekcija svih vanjskih sila na odgovarajuću os ili kao zbroj momenata svih vanjskih sila oko te osi (uzimajući u obzir accepted sign rule) koji se nalazi na jednoj strani odjeljka.
Projekcija vektora na koordinatnu os, kao skalarna veličina, može biti pozitivna ili negativna. Ovisi o tome poklapa li se smjer projekcije s pozitivnim ili negativnim smjerom osi. Za unutarnje sile ovo pravilo vrijedi samo za slučaj kada je normala x je vanjski, kao što je bio slučaj za lijevi odrezani dio na sl. 2.1.6. U situaciji u kojoj je normalno x je unutarnji, pogledajte desni odrezani dio na sl. 2.1.6, predznak unutarnje sile uzima se pozitivan kada se njegov smjer podudara s negativnim smjerom osi. Na sl. 2.1.6 sve projekcije unutarnjih sila N x , Q x , Q y , M x, M y i M z (i u odnosu na lijeve i u odnosu na desne presječne dijelove) prikazane su pozitivne.
Deformacija, čvrstoća i krutost.Čvrstoća materijala dio je mehanike koji se bavi proračunom konstrukcijskih elemenata na čvrstoću, krutost i stabilnost.
Čvrstoća materijala temelji se na poznavanju teorijske mehanike. Ali ako je objekt teorijske mehanike apsolutno kruto tijelo, tada se deformabilna čvrsta tijela razmatraju u otporu materijala.
U praksi su stvarni dijelovi strojeva i konstrukcija izloženi različitim silama. Pod djelovanjem tih sila tijela se deformiraju,tj. promjena relativnog položaja čestica materijala. Ako su sile dovoljno jake, moguće je uništenje tijela.
Sposobnost tijela da percipira opterećenja bez razaranja i velikih deformacija naziva se čvrstoća i krutost.
Neka ravnotežna stanja tijela i struktura pokazuju se nestabilnima, tj. oni pod kojima beznačajni mehanički utjecaji, u pravilu, slučajne prirode, mogu dovesti do značajnih odstupanja od tih stanja. Ako su i odstupanja mala, tada se takva stanja ravnoteže nazivaju stabilnima.
vanjske sile. Vanjske sile koje djeluju na konstrukciju uključuju aktivne sile (opterećenja) i reakcije vanjskih veza. Postoji nekoliko vrsta opterećenja.
Koncentrirana sila primijenjena na točku. Uvodi se umjesto stvarnih sila koje djeluju na malom području površine konstrukcijskog elementa, čije se dimenzije mogu zanemariti.
raspoređene snage. Na primjer, sile pritiska tekućine na dno posude odnose se na opterećenja raspoređena po površini i mjere se u jedinicama, dok se sile težine odnose na opterećenje raspoređeno po volumenu i mjere se u . U nekim slučajevima uvodi se opterećenje, raspoređeno duž linije, čiji se intenzitet mjeri
Jedna od opcija opterećenja je koncentrirani moment (par sila).
Unutarnje sile u štapu. Najčešći konstrukcijski element je šipka, stoga se u otpornosti materijala njoj pridaje glavna pozornost.
Uzdužna os i presjek glavni su geometrijski elementi štapa. Pretpostavlja se da presjeci štapa
okomito na uzdužnu os, a uzdužna os prolazi kroz težišta poprečnih presjeka.
Unutarnje sile štapa su sile međudjelovanja između njegovih pojedinih dijelova, koje nastaju pod djelovanjem vanjskih sila (pretpostavlja se da su unutarnje sile u nedostatku vanjskih sila jednake nuli).
Razmotrimo štap koji je u ravnoteži pod djelovanjem nekog sustava vanjskih sila (slika 1, a). Nacrtajmo u mislima proizvoljni presjek koji dijeli štap na dva dijela L i P. Na desnoj strani štapa P s lijeve strane L djeluje sustav sila raspoređen po površini presjeka - unutarnje sile u odnosu na štap u cjelini. Taj se sustav sila može svesti na glavni vektor i glavni moment M tako da se za središte redukcije uzme težište presjeka - točka O.
Čimbenici unutarnje sile. Odaberimo koordinatni sustav, postavljajući osi x, y u presjek, a os okomitu na njega, i rastavljamo i M na komponente duž tih osi: (Sl. 1, b).
Ovih šest veličina nazivaju se unutarnjim faktorima sile štapa (ili unutarnjim silama) u odjeljku koji razmatramo. Svaki od ovih napora ima svoj naziv, koji odgovara njegovom smjeru ili određenoj vrsti deformacije štapa, koja je uzrokovana ovim naporom. Sile se nazivaju transverzalne (rezne) sile, a - normalne (uzdužne) sile. Momenti se nazivaju momenti savijanja, a zakretni momenti.
