Proučavanje funkcije kontinuiteta u točki se provodi na već rutinski shemu, koja je provjera tri uvjeta kontinuiteta:

Primjer 1.

Istražite funkciju kontinuiteta. Odredite prirodu pauza funkcije ako postoje. Izvesti crtež.

Odluka:

1) Pod vidikom je jedina točka u kojoj funkcija nije definirana.

Jednostrane granice su konačni i jednaki.

Dakle, u točki funkcija pati od mjenjaka za jednokratnu upotrebu.

Kako izgleda graf ove funkcije?

Želim biti pojednostavljen i čini se da je uobičajena parabola. ALI Početna funkcija nije definirana u točki, tako da je potrebna sljedeća rezervacija:

Izvedite crtež:

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom, osim točke u kojoj se povlači mjesnicom za jednokratnu upotrebu.

Funkcija se može učiniti dobro ili ne na vrlo načinu, ali pod uvjetom to nije potrebno.

Kažete li primjer koji je izazvan? Nikako. Desetine puta sastali su se u praksi. Gotovo sve zadatke stranice dolaze iz stvarnih neovisnih i testnih radova.

Podijeljeni smo s vašim omiljenim modulima:

Primjer 2.

Istražite funkciju Za kontinuitet. Odredite prirodu pauza funkcije ako postoje. Izvesti crtež.

Odluka: Iz nekog razloga učenici se boje i ne vole funkcije s modulom, iako ništa ne komplicirano. Već smo dotaknuli takve stvari u lekciji. Geometrijske transformacije grafikona, Budući da je modul ne-negativan, otkriveno je kako slijedi: gdje je "alfa" neki izraz. U tom slučaju, naša funkcija bi trebala potpisati plan:

Ali frakcije oba komada moraju se smanjiti. Smanjenje, kao u prethodnom primjeru, neće proći bez posljedica. Početna funkcija nije definirana u točki, budući da denominator dodaje nulu. Stoga bi sustav trebao dodatno odrediti stanje, a prva nejednakost treba biti stroga:

Sada o vrlo korisnoj odluci o odluci.: Prije završetka, zadatak u nacrtu je profitabilan za crtanje (bez obzira na to je li to potrebno po uvjenutosti ili ne). To će, prvo, odmah, odmah vidjeti točke kontinuiteta i točke razmaka, a drugo, 100% će uštedjeti od pogrešaka pri pronalaženju jednostranih granica.

Izvedite crtež. U skladu s našim kalkulacijama, na lijevo od točke, potrebno je nacrtati fragment parabole (plave), a na desnoj strani - komad parabole (crveno), a funkcija se ne definira na samom mjestu:

Ako postoje sumnje, uzmite nekoliko vrijednosti "X", zamjenite ih funkciji (Bez zaborava da modul uništava moguće "minus" znak) i provjerite raspored.

Istraživamo funkciju kontinuiteta analitički:

1) Funkcija se ne definira u točki, tako da možete odmah reći da nije kontinuirano u njemu.

2) Uspostaviti prirodu jaza, za to izračunavamo jednosmjerne granice:

Jednosmjerna ograničenja su konačna i različita, to znači da funkcija tolerira jaz prvog roda s skokom na točki. Imajte na umu da nije bitna, funkcija je definirana na točkama ili ne.

Sada ostaje da se pomakne crtež iz nacrta (izrađen je kao da koristite studiju ;-)) i dovršite zadatak:

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom osim točke u kojoj tolerira prvu vrstu jaza s skokom.

Ponekad trebate dodatno odrediti skok za curenje. Izračunava se da je elementarna - od desne granice morate oduzeti lijevu granicu:, to jest, na mjestu prekida, naša je funkcija skočila s 2 jedinice (kao što kažemo "minus" znak).

Primjer 3.

Istražite funkciju Za kontinuitet. Odredite prirodu pauza funkcije ako postoje. Napravite crtanje.

To je primjer za neovisno rješenje, primjeru otopine uzorka na kraju lekcije.

Okrenimo se najpopularnijoj i zajedničkoj verziji zadatka kada se funkcija sastoji od tri komada:

Primjer 4.

Istražite funkciju kontinuiteta i izgradite funkcijski graf

Odluka: Očito je da su sva tri dijela funkcije kontinuirana u odgovarajućim intervalima, tako da ostaje samo dva boda "zglob" između komada. Prvo, izvest ću crtež na nacrtu, konstrukcijskoj tehnici, požalio sam se detaljno u prvom dijelu članka. Jedini, potrebno je pažljivo pratiti naše posebne točke: zbog nejednakosti, vrijednost pripada ravnoj liniji (zelena točka), te na temelju nejednakosti, vrijednost pripada parabole (crvena točka):

Pa, u načelu, sve je jasno \u003d) ostaje donijeti odluku. Za svaku od dvije točke "stražnjice" u standardnim uvjetima 3 kontinuiteta:

Jednosmjerna ograničenja su konačna i različita, to znači da funkcija tolerira jaz prvog roda s skokom na točki.

Izračunajte GAP skok kao razliku između desne i lijeve granice:
, to jest, raspored je požurio u jednu jedinicu.

Ii) Istražite točku kontinuiteta

1) - Funkcija je definirana u ovom trenutku.

2) Pronaći ćemo jednosmjerne granice:

- Jednostrana ograničenja su konačna i jednaka, što znači da postoji opća granica.

U završnoj fazi prenosimo crtež na prvi Chistik, nakon čega smo stavili konačni akord:

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom, osim za točku u kojoj tolerira prvu vrstu jaza s skokom.

Primjer 5.

Istražite kontinuitet i izgradite njegov raspored .

To je primjer za neovisno rješenje, kratko rješenje i primjer uzorka dizajna zadataka na kraju lekcije.

Može biti dojam da u jednom trenutku funkcija mora nužno biti kontinuirana, au drugom - mora biti jaz. U praksi to nije uvijek slučaj. Pokušajte ne zanemariti preostale primjere - bit će nekoliko zanimljivih i važnih žetona:

Primjer 6.

Dana značajka , Istražite funkciju kontinuiteta na točkama. Izgraditi grafikon.

Odluka: I opet ću odmah izvesti crtež u nacrtu:

Značajka ovog rasporeda je da je s komadom funkcije postavljena jednadžba Abscisa osi. Ovdje je ovo područje nacrtano zelenim, au prijenosnom računalu obično je izbilo jednostavnom olovkom. I, naravno, ne zaboravite na naše ovnove: vrijednost se odnosi na tangentsku granu (crvenu dot), a vrijednost pripada liniji.

Od crteža sve je jasno - funkcija je kontinuirana na cijeloj numeričkoj liniji, ostaje da se otopino dovodi do potpunog automatizma doslovno nakon 3-4 takve primjere:

I) Istražite točku kontinuiteta

2) izračunati jednosmjerna ograničenja:

Tako da ukupna granica postoji.

To se ovdje dogodilo malo zanimljivosti. Činjenica je da sam stvorio mnogo materijala na granicama funkcijeI htjela sam nekoliko puta, ali nekoliko puta sam zaboravio na jedno jednostavno pitanje. I tako, nevjerojatni napor će se uzrokovati da ne izgubi svoju misao \u003d) najvjerojatnije, neki čitatelji "detiki" sumnja: Što je konstantna granica? Konstantna granica je jednaka samoj konstantu. U tom slučaju, nulta granica je sama nula (ljevica).

3) - Limicijska funkcija na točki jednaka je vrijednosti ove funkcije u ovom trenutku.

Dakle, funkcija je kontinuirana u trenutku kako bi se odredio kontinuitet funkcije na točki.

Ii) Istražite točku kontinuiteta

1) - Funkcija je definirana u ovom trenutku.

2) Pronaći ćemo jednosmjerne granice:

I ovdje, u desnom ograničenju - granica jedinice jednaka jedinstvu.

- Postoji ukupna granica.

3) - Limicijska funkcija na točki jednaka je vrijednosti ove funkcije u ovom trenutku.

Dakle, funkcija je kontinuirana u trenutku kako bi se odredio kontinuitet funkcije na točki.

Kao i obično, nakon studije prenosimo naš crtež u Cleanstik.

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na točkama.

Imajte na umu da u stanju nismo pitali ništa o proučavanju cijele funkcije kontinuiteta, a smatra se dobrim matematičkim tonom točan i jasan Odgovor na upitno pitanje. Usput, ako po uvjetima nije potrebno izgraditi raspored, onda imate puno pravo njega i ne graditi (međutim, onda učitelj može učiniti to učiniti).

Mala matematička "brbljanje" za neovisno rješenje:

Primjer 7.

Dana značajka .

Istražite funkciju kontinuiteta na točkama. Klasificirajte točke razmaka ako su. Izvesti crtež.

Pokušajte "odbiti" sve "riječi" \u003d) i raspored za crtanje preciznije, točnosti, neće biti previše ;-)

Kao što se sjećate, preporučio sam odmah crtanje crteža na nacrtu, ali s vremena na vrijeme postoje takve primjere, gdje nećete odmah razumjeti kako raspored izgleda. Stoga je u nekim slučajevima poželjno prvo pronaći jednostrane granice i tek tada na temelju studije, prikazuje grane. U dva konačna primjera, osim toga, svladat ćemo tehniku \u200b\u200bizračunavanja nekih jednostranih ograničenja:

Primjer 8.

Istražite funkciju kontinuiteta i izgradite njegov shematski graf.

Odluka: Loše bodove su očite: (crpi ime pokazatelja na nulu) i (crpi denamoter cijele frakcije na nulu). Lagano, kako izgleda raspored ove funkcije, i stoga je bolje provesti studiju.

I)Istražite točku kontinuiteta

2) Pronaći ćemo jednosmjerne granice:

obrati pozornost na tipičan prijem izračuna jednosmjerne granice: Funkcija umjesto "iksa" zamjenjujemo. U denominatoru, nema kriminala: "aditiva" "minus nula" ne igra uloge, a "četiri" se dobiva. No, u broju se nalazi mali triler: prvo u denominatoru, ubijamo -1 i 1, što rezultiramo rezultatom. Ujedinjen stoga je jednaka "minus beskonačnosti", stoga :. I konačno, "dvostruko" beskrajno veliki negativni stupanj jednaka nuli :. Ili, ako više čita više: .

Izračunajte desni granicu:

I ovdje - umjesto "iksa" zamjenjujemo. U denominatoru "dodatak" ponovno ne igra uloge :. Numener se provodi slično prethodnoj granici djelovanja: uništimo suprotne brojeve i podijelite jedinicu :

Pravi granica je beskrajna, to znači da funkcija pati jaz od 2. vrsta u točki.

Ii)Istražite točku kontinuiteta

1) Funkcija se ne definira u ovom trenutku.

2) izračunati lijevo granicu:

Metoda je ista: zamjenjujemo funkciju umjesto "iksa". U numeritoru, ništa zanimljivo je konačni pozitivan broj. A u nazivniku otkrivamo nosače, uklanjamo "trojku", a odlučujuća uloga igraju aditiv ".

Prema finalu, konačni pozitivan broj podijeljen s beskrajno mali pozitivan broj, daje "plus beskonačnost" :.

Desna granica kao što je blizan brata, samo iznimka koju demominator lebdi beskrajno mali negativni broj:

Jednosmjerna ograničenja su beskonačna, to znači da funkcija pati jaz od 2. roda u točki.

Dakle, imamo dvije točke jaz, i, očito, tri grana kočione. Za svaku granu, preporučljivo je izvršiti trenutnu konstrukciju, tj. Uzmite nekoliko vrijednosti "x" i zamijenite ih. Imajte na umu da je pod uvjetom da se izgradi konvencionalni stupanj, a takvo opuštanje je prirodno za ručno izrađeno. Gradim grafike uz pomoć programa, tako da nemam takve poteškoće, ovdje je prilično točna slika:

Ravne su vertikalni asimptotami Za graf ove funkcije.

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom osim za točke u kojima tolerira pauze od 2. vrste.

Jednostavnija značajka za samo rješenja:

Primjer 9.

Ispitati funkciju kontinuiteta i izvesti shematski crtež.

Primjeri otopina uzorka na kraju, koje se praska nezapaženo.

Vidimo se uskoro!

Rješenja i odgovori:

Primjer 3:Odluka : Pretvorimo funkciju: , S obzirom na pravilo otkrivanja modula i činjenica da , ponovno napišite funkciju u obliku komada:

Istražimo funkciju kontinuiteta.

1) Funkcija nije definirana na točki .

Jednostrana granica su konačna i različita, to znači da funkcija tolerira prazninu 1. roda s skokom na točki , Izvedite crtež:

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na svim numeričkim izravnim, osim točke u kojoj tolerira prvu vrstu jaza s skokom. Gap skok: (Dvije jedinice).

Primjer 5:Odluka : Svaki od tri dijela funkcije kontinuirano je na njegovom intervalu.
I)
1)

2) izračunati jednosmjerna ograničenja:

Tako da ukupna granica postoji.
3) - Limicijska funkcija na točki jednaka je vrijednosti ove funkcije u ovom trenutku.
Dakle, funkcija Kontinuirano u točki Određivanjem kontinuiteta funkcije u točki.
Ii) Istražite točku kontinuiteta

1) - Funkcija je definirana u ovom trenutku. Funkcija tolerira prazninu 2. vrste, na mjestu

Kako pronaći područje definicije funkcije?

Primjeri otopina

Ako negdje ne postoji nešto, onda negdje nešto postoji

Nastavljamo istraživati \u200b\u200bodjeljak "funkcije i grafikone" i sljedeću stanicu našeg putovanja - Područje definiranja funkcije, Aktivna rasprava ovog koncepta započela je u prvoj lekciji o grafikonima funkcijagdje sam pogledao osnovne funkcije, a posebno, njihova definicija područja. Stoga preporučujem pokrenuti čajnik s Azovom, jer se neću ponovno zaustaviti u nekim osnovnim trenucima.

Pretpostavlja se da čitatelj zna polje određivanja glavnih funkcija: linearna, kvadratna, kubična funkcija, polinom, eksponenti, logaritam, sinus, kosinus. Oni su definirani na. Za tangente, arcsinuses, tako biti, zbogom \u003d) više rijetki grafikoni se ne sjećaju odmah.

Područje definiranja - čini se da je to jednostavna stvar, a nastaje prirodno pitanje, što će članak biti? U ovoj lekciji razmotrit ću zajedničke zadatke kako bih pronašao područje definiranja polja. Osim toga, ponavljamo nejednakosti s jednom varijabličije će vještine rješenja biti potrebne u drugim zadacima veće matematike. Materijal, usput, cijela škola, tako da će biti korisno ne samo studentima, već i studentima. Informacije, naravno, ne pretvaraju se da enciklopediziraju, ali ovdje nisu uhvaćeni "mrtvi" primjeri, ali prženi kesteni koji se uzimaju iz ovog praktičnog rada.

Počnimo s izravnim zatvaranjem na temu. Ukratko o glavnoj stvari: govorimo o funkciji jedne varijable. Područje definicije je mnoge vrijednosti "X"za koji postojati Vrijednosti "Igarekov". Razmotrite uvjetni primjer:

Područje definicije ove funkcije je sjecište praznina:
(Za one koji su zaboravili: - ikonu Unije). Drugim riječima, ako uzmete bilo kakvo značenje "X" iz intervala, ili od, ili izvana, za svaki takav "X" će postojati značenje "igreka".

Otprilike govoreći, gdje postoji područje definicije postoji raspored funkcije. Ali polu-interval i "CE" nisu uključeni u područje definicija, tako da tamo nema grafike.

Da, usput, ako ništa nije jasno iz terminologije i / ili sadržaj prvih stavki, bolje je vratiti se u članak Grafikoni i svojstva osnovnih funkcija.

Funkcija kontinuiteta. Točku rupture.

Postoji bika, ljuljanje, uzdah u pokretu:
- Oh, ploča završava, sada ću pasti!

U ovoj lekciji analizirat ćemo koncept kontinuiteta funkcije, klasifikaciju GAP bodova i zajednički praktični zadatak funkcije istraživanja za kontinuitet, Iz samog imena tema, mnogi intuitivno shvaćaju što će biti potrošeno i mislim da je materijal vrlo jednostavan. To je istina. Ali upravo su jednostavniji zadaci najčešće kažnjeni za zanemarivanje i površni pristup njihovom rješavanju. Stoga preporučujem proučavati članak vrlo pažljivo i uhvatiti sve suptilnosti i tehničke tehnike.

Što trebate znati i biti u mogućnosti?Ne stvarno puno. Za visoko kvalitetnu lekciju učenja, potrebno je razumjeti što je granica funkcije, Čitatelji niske pripreme dovoljni su za razumijevanje članka Granice funkcija. Primjeri otopina i vidjeti geometrijsko značenje granice u metodama Grafikoni i svojstva osnovnih funkcija, Također je poželjno upoznati geometrijske transformacije grafikonaBudući da praksa u većini slučajeva uključuje izgradnju crteža. Izgledi su optimistični za svakoga, pa čak i potpuni čajnik će se moći samostalno nositi sa zadatkom u sljedećem satu - drugom!

Funkcija kontinuiteta. Rippoints i njihova klasifikacija

Koncept funkcije kontinuiteta

Razmotrite određenu funkciju, kontinuirano na cijeloj numeričkoj liniji:

Ili, govoreći više sažeti, naša je funkcija kontinuirana (više brojeva).

Koji je "filistijski" kriterij kontinuiteta? Očito, grafikon kontinuirane funkcije može se izvući bez uzimanja olovke iz papira.

U isto vrijeme, treba jasno razlikovati dva jednostavna pojma: područje definiranja funkcije i funkcija kontinuiteta, Općenito ovo nije isto, Na primjer:

Ova funkcija je definirana na cijeloj numeričkoj liniji, tj. sVAKI Značenje "X" postoji njegovo značenje "igara". Posebno, ako, onda. Imajte na umu da još jedna točka populacije, jer po definiciji funkcije, vrijednost argumenta mora odgovarati jedina stvar Vrijednost funkcije. Na ovaj način, domena Naša funkcija:.

ali ova značajka nije kontinuirana! Očito, na mjestu ona tolerira pauza, Pojam je također vrlo razumljiv i posjećen, doista, olovka ovdje za svakoga će morati otkinuti papir. Malo kasnije, mi ćemo razmotriti klasifikaciju jaz bodova.

Kontinuitet funkcije na mjestu iu intervalu

U određenom matematičkom problemu možemo govoriti o kontinuitetu funkcije u točki, kontinuitet funkcije u intervalu, polu-intervala ili kontinuitet funkcije na segmentu. I.e, ne postoji "samo kontinuitet" - Funkcija može biti kontinuirana negdje. I temeljna "cigla" svega ostalog je funkcija kontinuiteta u točki .

Teorija matematičke analize daje definiciju kontinuiteta funkcije u točki uz pomoć Delte i Epsilon okolnog područja, ali u praksi, još jednu definiciju, koju ćemo platiti pozornost.

Prvo zapamtite jednostrana ograničenjaTko je ušao u naš život u prvoj lekciji o grafikonima funkcija, Razmotrite situaciju tjedna:

Ako pristupite osi do točke lijevo (Crvena strelica), onda će odgovarajuće vrijednosti "igareka" ići duž osi do točke (strelica malina). Matematički, ta je činjenica popravljena lijevo ograničenje:

Obratite pozornost na unos (IKS čita s lijeve strane "). "Aditiva" "minus nula" simbolizira Zapravo, to znači da se približavamo s lijeve strane.

Slično tome, ako se približavate točki "Ka" desno (plava strelica), a zatim će "paljenje" doći do istog značenja, ali već na zelenoj strelici, i desna granica će biti kako slijedi:

"Additive" simbolizira A snimanje se čita ovako: "X teži za desno".

Ako su jednostrane granice konačne i jednake (kao u našem slučaju): , reći ćemo da postoji zajednička granica. Sve je jednostavno, ukupna granica je naša "obična" granica funkcijejednak konačnom broju.

Imajte na umu da ako funkcija nije definirana na (ispunite crnu točku na grafičkoj grafikonu), zatim navedeni izračuni ostaju važeći. Kao što je opetovano zabilježeno, posebno u članku o beskonačno malim funkcijama, izrazi znače da je "X" beskrajno blizu prilazi točku u isto vrijeme NevažanSama funkcija je definirana u ovom trenutku ili ne. Dobar primjer će biti ispunjen u sljedećem odlomku kada se analizira funkcija.

Definicija: Funkcija je kontinuirana u točki ako je granica funkcije u ovoj točki jednaka vrijednosti funkcije u ovom trenutku :.

Definicija je detaljno opisana pod sljedećim uvjetima:

1) Funkcija se mora definirati na točki, odnosno mora postojati vrijednost.

2) Mora postojati zajednička granica funkcije. Kao što je gore navedeno, to podrazumijeva postojanje i jednakost jednosmjernih granica: .

3) Granica funkcije u ovom trenutku treba biti jednaka vrijednosti funkcije u ovom trenutku :.

Ako je povrijeđeno najmanje jedan Od tri uvjeta, funkcija gubi vlasništvo kontinuiteta na točki.

Funkcija kontinuiteta na intervalu Formulirati duhovite i vrlo jednostavne: funkcija je kontinuirana u intervalu ako je kontinuirana u svakoj točki ovog intervala.

Konkretno, mnoge funkcije su kontinuirane na beskonačnom intervalu, odnosno na različitim važećim brojevima. Ovo je linearna funkcija, polinom, eksponent, sinus, kosinus itd. I općenito, bilo koji osnovna funkcija Kontinuirano na mojoj područja definicijaNa primjer, logaritamska funkcija je kontinuirana u intervalu. Nadam se da ću to učiniti dovoljno jasno za ovaj trenutak, kako izgleda grafika osnovnih funkcija. Za više informacija o njihovom kontinuitetu možete učiti od dobre osobe po imenu Fihtenddovci.

Uz kontinuitet funkcije na segmentu i polu-intervalima, sve je jednostavno, ali je prikladnije reći u lekciji o pronalaženju minimalnih i maksimalnih vrijednosti funkcije na segmentuU međuvremenu nećemo čekati glavu.

Klasifikacija točaka rupture

Fascinantan život funkcija je bogat svim vrstama posebnih točaka, a jaz bodova su samo jedna od stranica njihove biografije.

Bilješka : samo u slučaju da ću se usredotočiti na elementarni trenutak: točka razmaka je uvijek odvojena točka - Ne postoji "nekoliko točaka razbijanja u nizu", to jest, ne postoji takva stvar kao "razbijanje interval".

Ove točke zauzvrat podijeljene su u dvije velike skupine: prva vrsta praznina i rALES druge vrste, Svaka vrsta rupture ima svoje karakteristične značajke koje sada gledamo:

Prva vrsta prekida

Ako je stanje kontinuiteta prekinut na točki i jednostrane granice finije onda se zove mjesto razbijanja prve vrste.

Počnimo s najtiptičnijim slučajem. Na početnoj ideji lekcije, htjela sam reći teoriji "u općem obliku", ali kako bih pokazao stvarnost materijala, zaustavio sam se na varijanti s određenim akterima.

Fotografija mladenci je tužna u pozadini vječnog plamena, ali je sljedeći okvir općenito prihvaćen. Slike u funkciji rasporeda crteža:

Ova funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom, osim za točku. I zapravo, nazivnik ne može biti nula. Međutim, u skladu sa značenjem granice - možemo beskrajno blizu Pristupite "nuli" i na lijevoj i desnoj strani, to jest, jednostrani granice postoje i, očito, podudaraju se:
(Kontinuitet 2 je završeno).

No, funkcija se ne definira na točki, stoga je stanje kontinuiteta 1 povrijeđeno, a funkcija se povlači u ovom trenutku.

Razbijanje takve vrste (s postojećim zajednička granicaBiti jednokratna ruptura, Zašto se uklanja? Jer funkcija može pouzdan Na mjestu prekida:

Izgleda čudno? Može biti. Ali takav zapis funkcije ne proturječi ništa! Sada je jaz eliminiran i svi su sretni:

Izvršite formalnu provjeru:

2) - postoji ukupna granica;
3)

Dakle, sva tri uvjeta su napravljene, a funkcija je kontinuirana u trenutku određivanja kontinuiteta funkcije u točki.

Međutim, matana mrzitelji mogu utjecati na funkciju s lošom načinom, na primjer :

Znatiželjno je da su ovdje izvedeni prvi uvjeti kontinuiteta:
1) - funkcija je definirana u ovom trenutku;
2) - Postoji ukupna granica.

Ali treća granica nije putovana: na točki postoji granična funkcija nejednak Vrijednost ove funkcije u ovom trenutku.

Dakle, u točki funkcija pati pauzu.

Drugo, to se zove tužniji slučaj rip prve vrste s skokom, I tuga se izvlače jednostrane granice konačni i različiti, Primjer je prikazan na drugom crtežu lekcije. Takav jaz se javlja, u pravilu, u određene funkcijekoji su već spomenuti u članku na grafikonu transformacije.

Razmotrite komad PIE funkcije I izvedite svoj crtež. Kako izgraditi grafikon? Jako jednostavno. Na polu-intervalu, parabol fragment (zeleno), na intervalu - ravnu liniju (crvena) i na polu-interval - izravna (plava boja).

U isto vrijeme, zbog nejednakosti, vrijednost se definira za kvadratnu funkciju (zelenu točku), a na temelju nejednakosti, vrijednost se definira za linearnu funkciju (plavu dot):

U vrlo teškom slučaju, slučaj treba pribjeći trenutnoj izgradnji svakog dijela grafike (vidi prvi lekcija na grafikonima funkcija).

Sada ćemo biti zainteresirani samo za točku. Istražite ga za kontinuitet:

2) izračunati jednostrane granice.

Na lijevoj strani imamo crvenu redak, tako da je lijevo ograničenje:

Pravo - plavo ravno i desna granica:

Kao rezultat toga, dobiven konačni brojevi, i oni nejednak, Od jednosmjernih ograničenja konačni i različiti: , onda naša funkcija tolerira jaz prve vrste s skokom.

Logično je da se jaz ne eliminira - funkcija je stvarno ne činiti to i "ne ljepilo", kao u prethodnom primjeru.

Druge vrste prekida

Tipično, ova kategorija lukava uključuje sve ostale slučajeve rupture. Neću navesti sve, jer u praksi na 99%, postotak zadataka će vas upoznati beskonačni odmor - Kada su lijevo ili desno, i češće, obje granice su beskonačne.

I, naravno, najprikladnija slika - hiperbola na točki nule. Ovdje je jednostrana granica beskrajna: Stoga funkcija tolerira razmak drugog sorta na točki.

Pokušavam ispuniti svoje članke s najrazličitijim sadržajem, pa pogledajmo raspored funkcije koja se još nije upoznala:

Prema standardnoj shemi:

1) Funkcija se ne definira u ovom trenutku, budući da se nazivnik odnosi na nulu.

Naravno, možete odmah zaključiti da funkcija pati jaz na točki, ali bilo bi dobro klasificirati prirodu jaza, koja se često zahtijeva uvjetom. Za ovo:

Podsjećam vas da je ispod zapisa shvaćeno beskrajno mali negativni broji ispod rekord - beskrajno mali pozitivan broj.

Jednosmjerna ograničenja su beskonačna, to znači da funkcija pati jaz od 2. roda u točki. Ordinatna os je vertikalna asimptota Za raspored.

Situacija nije rijetka kada postoje i jednostrane granice, ali samo jedan od njih je beskrajan, na primjer:

Ovo je graf funkcije.

Istražite točku kontinuiteta:

1) Funkcija se ne definira u ovom trenutku.

2) izračunati jednosmjerna ograničenja:

Razgovarat ćemo o metodi izračunavanja takvih jednostranih ograničenja u posljednja dva primjera predavanja, iako su mnogi čitatelji već vidjeli i pogodili.

Lijeva granica je konačna i jednaka nuli (u samom trenutku ne idemo "), ali desna granica je beskonačna i narančasta grana grafikona je beskrajno blizu svoje vertikalna asimptotetadefinirano jednadžbom (crna točka).

Dakle, funkcija tolerira jaz druge vrste U točki.

Što se tiče praznine 1. roda, na samom mjestu prekida, funkcija se može odrediti. Na primjer, za djelovanje komada Hrabro stavite crno podebljanu točku na početku koordinata. Na desnoj strani - grana hiperbola, a desna granica je beskonačna. Mislim da je gotovo sve predstavio kako izgleda ovaj raspored.

Što su svi bili radu:

Kako istražiti funkciju kontinuiteta?

Proučavanje funkcije kontinuiteta u točki se provodi na već rutinski shemu, koja je provjera tri uvjeta kontinuiteta:

Primjer 1.

Istražite funkciju

Odluka:

1) Pod vidikom je jedina točka u kojoj funkcija nije definirana.

2) izračunati jednosmjerna ograničenja:

Jednostrane granice su konačni i jednaki.

Dakle, u točki funkcija pati od mjenjaka za jednokratnu upotrebu.

Kako izgleda graf ove funkcije?

Želim biti pojednostavljen i čini se da je uobičajena parabola. ALI Početna funkcija nije definirana u točki, tako da je potrebna sljedeća rezervacija:

Izvedite crtež:

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom, osim točke u kojoj se povlači mjesnicom za jednokratnu upotrebu.

Funkcija se može učiniti dobro ili ne na vrlo načinu, ali pod uvjetom to nije potrebno.

Kažete li primjer koji je izazvan? Nikako. Desetine puta sastali su se u praksi. Gotovo sve zadatke stranice dolaze iz stvarnih neovisnih i testnih radova.

Podijeljeni smo s vašim omiljenim modulima:

Primjer 2.

Istražite funkciju Za kontinuitet. Odredite prirodu pauza funkcije ako postoje. Izvesti crtež.

Istraživamo funkciju kontinuiteta analitički:

1) Funkcija se ne definira u točki, tako da možete odmah reći da nije kontinuirano u njemu.

2) Uspostaviti prirodu jaza, za to izračunavamo jednosmjerne granice:

Jednosmjerna ograničenja su konačna i različita, to znači da funkcija tolerira jaz prvog roda s skokom na točki. Još jednom, primijetite da kada pronađete ograničenja, to nije važno, funkcija je definirana na prekid ili ne.

Sada ostaje da se pomakne crtež iz nacrta (izrađen je kao da koristite studiju ;-)) i dovršite zadatak:

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom osim točke u kojoj tolerira prvu vrstu jaza s skokom.

Primjer 3.

Istražite funkciju Za kontinuitet. Odredite prirodu pauza funkcije ako postoje. Napravite crtanje.

To je primjer za neovisno rješenje, primjeru otopine uzorka na kraju lekcije.

Okrenimo se najpopularnijoj i zajedničkoj verziji zadatka kada se funkcija sastoji od tri komada:

Primjer 4.

Istražite funkciju kontinuiteta i izgradite funkcijski graf .

I) Istražite točku kontinuiteta

Jednosmjerna ograničenja su konačna i različita, to znači da funkcija tolerira jaz prvog roda s skokom na točki.

Izračunajte GAP skok kao razliku između desne i lijeve granice:
, to jest, raspored je požurio u jednu jedinicu.

Ii) Istražite točku kontinuiteta

1) - Funkcija je definirana u ovom trenutku.

2) Pronaći ćemo jednosmjerne granice:

- Jednostrana ograničenja su konačna i jednaka, što znači da postoji opća granica.

3) - Limicijska funkcija na točki jednaka je vrijednosti ove funkcije u ovom trenutku.

U završnoj fazi prenosimo crtež na prvi Chistik, nakon čega smo stavili konačni akord:

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom, osim za točku u kojoj tolerira prvu vrstu jaza s skokom.

Primjer 5.

Istražite kontinuitet i izgradite njegov raspored .

To je primjer za neovisno rješenje, kratko rješenje i primjer uzorka dizajna zadataka na kraju lekcije.

Primjer 6.

Dana značajka , Istražite funkciju kontinuiteta na točkama. Izgraditi grafikon.

Odluka: I opet ću odmah izvesti crtež u nacrtu:

S crteže, sve je jasno - funkcija je kontinuirana na cijelom numeričkom izravnom, ostaje da se otopino dovodi do potpunog automatizma doslovno nakon 3-4 sličnih primjera:

I) Istražite točku kontinuiteta

1) - Funkcija je definirana u ovom trenutku.

2) izračunati jednosmjerna ograničenja:

Tako da ukupna granica postoji.

Trivijalna činjenica će vas podsjetiti na bilo koji vatrogasac: konstantna granica jednaka je samoj konstantu. U tom slučaju, nulta granica je sama nula (ljevica).

3) - Limicijska funkcija na točki jednaka je vrijednosti ove funkcije u ovom trenutku.

Dakle, funkcija je kontinuirana u trenutku kako bi se odredio kontinuitet funkcije na točki.

Ii) Istražite točku kontinuiteta

1) - Funkcija je definirana u ovom trenutku.

2) Pronaći ćemo jednosmjerne granice:

I ovdje - granica jedinice je jednaka samo jedinstvu.

- Postoji ukupna granica.

3) - Limicijska funkcija na točki jednaka je vrijednosti ove funkcije u ovom trenutku.

Dakle, funkcija je kontinuirana u trenutku kako bi se odredio kontinuitet funkcije na točki.

Kao i obično, nakon studije prenosimo naš crtež u Cleanstik.

Odgovor: Funkcija je kontinuirana na točkama.

Mala matematička "brbljanje" za neovisno rješenje:

Primjer 7.

Dana značajka , Istražite funkciju kontinuiteta na točkama. Klasificirajte točke razmaka ako su. Izvesti crtež.

Pokušajte "odbiti" sve "riječi" \u003d) i raspored za crtanje preciznije, točnosti, neće biti previše ;-)

Primjer 8.

Istražite funkciju kontinuiteta i izgradite njegov shematski graf.

Odluka: Loše bodove su očite: (crpi ime pokazatelja na nulu) i (crpi denamoter cijele frakcije na nulu). Nije moguće kako izgleda raspored ove funkcije, i stoga je bolje provesti studiju.

Određivanje kontinuiteta funkcije u točki. Smatraju ekvivalentne definicije hele, cauchay i u smislu koraka. Određivanje jednostranog kontinuiteta na kraju segmenta. Formulacija nedostatka kontinuiteta. Primjeri su rastavljeni u kojima je potrebno dokazati kontinuitet funkcije pomoću definicija herea i cauchay.

Sadržaj

Vidi također: Granica funkcije - Definicije, teoremi i svojstva

Kontinuitet u točki

Definicija funkcije kontinuiteta u točki
Funkcija F. (x) nazvan kontinuirano u točki x 0 susjedstvo u. (x 0) ove točke, i ako je granica kada X želi x 0 Postoji i jednaka vrijednosti funkcije u X 0 :
.

Ovdje je namijenjena da x 0 - Ovo je krajnja točka. Vrijednost funkcije u njemu može biti jedini konačni broj.

Definicija kontinuiteta s desne strane (lijevo)
Funkcija F. (x) nazvan kontinuirano na desnoj strani (lijevo) u točki X 0 Ako se definira na nekoj desnoj (lijevo) susjedstvu ove točke, a ako je desno (lijevo) ograničenje u točki X 0 jednaka vrijednosti funkcije u X 0 :
.

Primjeri

Primjer 1.

Korištenje definicija Heine i Cauchy kako bi se dokazalo da je funkcija kontinuirana za sve x.

Neka bude proizvoljan broj. Dokazujemo da je navedena funkcija kontinuirana u točki. Funkcija je definirana za sve x. Stoga se definira na mjestu iu svakom susjedstvu.

Koristimo definiciju heine

Koristimo. Neka bude proizvoljna sekvenca koja se približava :. Korištenje ograničenja imovine nekretnina koju imamo:
.
Budući da postoji proizvoljna sekvenca koja se približava, a zatim
.
Kontinuitet se dokazuje.

Koristimo Definiciju Cauchy

Koristimo.
Razmotrite slučaj. Imamo pravo razmotriti funkciju na bilo kojem susjedstvu točke. Stoga pretpostavljamo to
(P1.1) .

Primijenite formulu:
.
S obzirom na (p1.1), procijenit ćemo:

;
(P1.2) .

Primjena (P1.2), procjenjujemo apsolutnu vrijednost razlike:
;
(P1.3) .
.
Prema svojstvima nejednakosti, ako se izvodi (p1.3), ako i ako, onda.

Sada razmislite o točki. U ovom slučaju
.
.

.
To znači da je funkcija kontinuirana u točki.

Na isti način, može se dokazati da je funkcija u kojoj N je prirodni broj kontinuiran na cijeloj valjanoj osi.

Primjer 2.

Koristeći dokazati da je funkcija kontinuirana za sve.

Navedena funkcija je definirana na. Dokažimo da je kontinuirano u točki.

Razmotrite slučaj.
Imamo pravo razmotriti funkciju na bilo kojem susjedstvu točke. Stoga pretpostavljamo to
(P2.1) .

Primijenite formulu:
(P2.2) .
Staviti. Zatim
.

S obzirom na (P2.1), učinit ćemo procjenu:

.
Tako,
.

Primjena ove nejednakosti i korištenjem (P2.2) procjenjujemo razliku:

.
Tako,
(P2.3) .

Uvodimo pozitivne brojeve i povezane s odnosima:
.
Prema svojstvima nejednakosti, ako se pogubi (p2.3), ako i ako, onda.

To znači da za bilo koji pozitivan uvijek postoji. Zatim za sve x, zadovoljavajuća nejednakost, se automatski izvodi nejednakost:
.
To znači da je funkcija kontinuirana u točki.

Sada razmislite o točki. Moramo pokazati da je navedena funkcija kontinuirana u ovom trenutku na desnoj strani. U ovom slučaju
.
Uvodimo pozitivne brojeve i:
.

Može se vidjeti da za bilo koji pozitivan uvijek postoji. Zatim za sve x, tako da se nejednakost provodi:
.
To znači da . To jest, funkcija je kontinuirana za desno u točki.

Na sličan način može se dokazati da funkcija u kojoj n je prirodan broj, kontinuiran kada.

Reference:
O.i. Demoni. Predavanja o matematičkoj analizi. Dio 1. Moskva, 2004.
Br KudryAvtsev. Tečaj matematičke analize. Volumen 1. Moskva, 2003.
Cm. Nikolsky. Tečaj matematičke analize. Volumen 1. Moskva, 1983.

Vidi također:

Ovaj članak je o kontinuiranoj numeričkoj funkciji. Za kontinuirane mapiranja u različitim dijelovima matematike potražite u kontinuiranom prikazu.

Kontinuirana funkcija - funkcija bez "skokova", to jest, tako da male promjene u argumentu dovode do malih promjena vrijednosti funkcije.

Kontinuirana funkcija, općenito govoreći, sinonim Koncept je kontinuirano mapiranje, ipak, ovaj se pojam najčešće koristi u užem smislu - za mapiranje između numeričkih prostora, na primjer, na pravoj liniji. Ovaj članak je posvećen preciznim kontinuiranim funkcijama definiranih na podskupinu stvarnih brojeva i primanje stvarnih vrijednosti.

Enciklopedic youtube.

1 / 5

✪ kontinuitet funkcije i točke prekida točke

✪ 15 kontinuirana funkcija

✪ kontinuirane funkcije

✪ matematička analiza, 5 lekcija, kontinuitet funkcije

✪ kontinuirana slučajna varijabla. Funkcija distribucije

Titlovi

Definicija

Ako "popravite" funkciju F (DisplayStyle f) Na mjestu jednokratne jaz i staviti f (a) \u003d lim X → F (x) (Displaytyle f (a) \u003d \\ grami limits _ (x \\ t, onda je funkcija kontinuirana u ovom trenutku. Takva se operacija na funkciji zove definirana funkcija za kontinuirano ili definicija funkcije kontinuitetakoji opravdava naslov točaka poput bodova jednokratan Mreškanje.

Rippoint "skok"

Jaz "skok" javlja se ako

Lim X → a - 0 F (X) ≠ Lim X → A + 0 F (x) (DisplayStyle Sum Limets _ (X \\ _ 0) F (x) A + 0) F (x)).

Police prijelomne točke

Ruptura stupa se javlja ako je jedna od jednostranih granica beskrajna.

Lim X → a - 0 F (X) \u003d ± ∞ (Displaysyle L ograničenja _ (x \\ tA-0) f (x) \u003d str. ili LIM X → A + 0 F (x) \u003d ± ∞ (DisplayStyle Sum Lim \\ _ (X \\ t + 0) F (x) \u003d \\ t. [ ]

Točka bitne rupture

Na mjestu značajne pauze, jedna od jednostranih granica je općenito odsutna.

Klasifikacija izoliranih pojedinačnih točaka u R N, n\u003e 1

Za funkcije F: r n → r n (Displaytyle f: mathbb (r) ^ (n) mathbb (r) ^ (n)) i F: c → c (dissystyle f: mathbb (c) mathbb (c)) Nema potrebe za radom s razmacima, ali često je potrebno raditi s posebnim točkama (bodova u kojima funkcija nije definirana). Klasifikacija slično.

Koncept "skoka" je odsutan. U R (dissystyle mathbb (r)) Smatra se skokom, u prostorima većih dimenzija - značajnu jedinstvenu točku.

Svojstva

Lokalni

Funkcija kontinuiranog u točki A (DisplayStyle a)je ograničen u nekom susjedstvu ove točke.
Ako funkcija F (DisplayStyle f) Kontinuirano u točki A (DisplayStyle a) i F (a)\u003e 0 (Displaytyle f (a)\u003e 0) (ili F (a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), T. F (x)\u003e 0 (DisplayStyle F (x)\u003e 0) (ili f (x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) za sve X (DisplayStyle X), dovoljno blizu A (DisplayStyle a).
Ako funkcije funkcije F (DisplayStyle f) i G (dissystyle g) Kontinuirano u točki A (DisplayStyle a), zatim funkcije F + G (DisplayStyle F + G) i F ⋅ G (Displaytyle F CDot G) Također kontinuirano u točki A (DisplayStyle a).
Ako funkcije funkcije F (DisplayStyle f) i G (dissystyle g) Kontinuirano u točki A (DisplayStyle a) i gdje G (a) ≠ 0 (zaslon G (a) neq 0), zatim funkcionirati F / g (zaslon f / g) Također kontinuirano u točki A (DisplayStyle a).
Ako funkcija F (DisplayStyle f) Kontinuirano u točki A (DisplayStyle a) i funkcija G (dissystyle g) Kontinuirano u točki b \u003d f (a) (Displaysyle B \u003d F (a))zatim njihov sastav H \u003d g ∘ f (zaslon h \u003d g circ f) Kontinuirano u točki A (DisplayStyle a).

Globalno

Kompaktni set), ravnomjerno kontinuirano na njemu.
Funkcija, kontinuirana na segmentu (ili bilo kojem drugom kompaktnom skupu), ograničena je i doseže maksimalnu i minimalnu vrijednost na njemu.
Područje vrijednosti funkcije F (DisplayStyle f)kontinuirano na segmentu je segment [Min f, max f], (DisplayStyle [Min F, \\ t gdje minimalno i maksimalno preuzimaju segment [A, b] (zaslon).
Ako funkcija F (DisplayStyle f) Kontinuirano na rezanju [A, b] (zaslon) i f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} Zatim postoji točka u kojoj f (ξ) \u003d 0 (DisplayStyle f (xi) \u003d 0).
Ako funkcija F (DisplayStyle f) Kontinuirano na rezanju [A, b] (zaslon) i broj φ (DisplayStyle VARPHI) Zadovoljava nejednakost F (a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi ili nejednakost f (a)\u003e φ\u003e f (b), (zaslon f (a)\u003e Varphi\u003e f (b),)) To postoji točka ξ (a, b), (DisplayStyle Xi \\ t (a, b),)) u čemu f (ξ) \u003d φ (dissystyle f (xi) \u003d varphi).
Kontinuirani prikaz segmenta prema materijalu je izravan injektivno u to i samo kada je ova funkcija na segmentu strogo monotonne.
Monotonična funkcija na segmentu [A, b] (zaslon) kontinuirano u to i samo u slučaju kada je područje njegovih vrijednosti segment s krajevima F (a) (zaslons f (a)) i F (b) (zaslon f (b)).
Ako funkcije funkcije F (DisplayStyle f) i G (dissystyle g) Kontinuirano na rezanju [A, b] (zaslon)i F (a)< g (a) {\displaystyle f(a) i f (b)\u003e g (b), (zaslon f (b)\u003e g (b),)) To postoji točka ξ (a, b), (DisplayStyle Xi \\ t (a, b),)) u čemu f (ξ) \u003d g (ξ). (dissystyle f (xi) \u003d g (xi).) Dakle, posebno, slijedi da svaki kontinuirani prikaz segmenta samo po sebi ima barem jednu fiksnu točku.

Primjeri

Osnovne funkcije

Ova značajka je kontinuirana u svakoj točki. X ≠ 0 (DisplayStyle X Neq 0).

Točka je točka prekida prva vrstaPovrh toga

Lim X → 0 - F (X) \u003d - 1 ≠ 1 \u003d Lim X → 0 + F (X) (Displaysyle L ograničenja _ (x \\ t) F (x) \u003d - 1 \u003d Neq 1 \u003d Lime limits _ (x \\ t) f (x)),

dok je u samom trenutku, funkcija dodaje nulu.

Funkcija korak

Stepena funkcija definirana kao

f (x) \u003d (1, x ⩾ 0, x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

je svugdje kontinuirano, ali pokažite x \u003d 0 (zaslonysyle x \u003d 0)gdje funkcija pati jaz prve vrste. Međutim, u točki x \u003d 0 (zaslonysyle x \u003d 0) Postoji pravo granica koja odgovara vrijednosti funkcije u ovom trenutku. Dakle, ova značajka je primjer. kontinuirano pravo Funkcije u cijelom području definicije.

Slično tome, stupanj je definirana stabljika

f (x) \u003d (1, X\u003e 0, x ⩽ 0, x ∈ r (resystsyle f (x) \u003d (početi (slučajevi) 1, & x\u003e 0, & x \\ t Kraj (slučajevi)), quad X \\ mathbb (r))

je primjer kontinuirano lijevo Funkcije u cijelom području definicije.

Dirichlet funkcija

f (x) \u003d (1, x ∈ Q 0, x ∈ r ∖ ∖ ∖ Q (x) \u003d (početi (slučajevi) 1, & x u mathbb (q) \\ t u mathbb (r) setminus mathbb (q) kraju (slučajevi))

Definicije i formulacije glavnih teorema i svojstva kontinuirane funkcije jedne varijable su dane. Svojstva kontinuirane funkcije u točki, na segmentu, granica i kontinuitet složene funkcije, razmatra se klasifikacija ispusnih točaka. Definicije i teoremi povezane s inverznom funkcijom su dane. Nastavljena su svojstva osnovnih funkcija.

Sadržaj

Moguće je formulirati koncept kontinuiteta u uvjeti koraka, Da biste to učinili, unosimo novu varijablu, koja se naziva povećanjem varijable x na točki. Tada je funkcija kontinuirana na mjestu ako
.
Uvodimo novu značajku:
.
To se zove povećanje funkcije U točki. Tada je funkcija kontinuirana na mjestu ako
.

Konstantno ograničenje funkcije teorem
Neka F. (x) kontinuirano u točki x 0 , Onda postoji takva susjedstvo u (x 0)na kojoj je funkcija ograničena.

Kontinuirana funkcija znak očuvanja teorem
Neka funkcija kontinuira na mjestu. I neka ima pozitivnu (negativnu) vrijednost u ovom trenutku:
.
Zatim tu je i susjedstvo točke u kojoj funkcija ima pozitivnu (negativnu) vrijednost:
na.

Aritmetička svojstva kontinuiranih funkcija
Neka funkcije i kontinuirane u točki.
Zatim funkcionira i kontinuirana u točki.
Ako je tada funkcija kontinuirana u točki.

Nekretnine kontinuiteta na lijevoj i desnoj strani
Funkcija je kontinuirana u točki i samo ako je kontinuirana u desnoj i lijevo.

Dokaz o nekretninama daju se na "svojstvima kontinuiranih svojstava na točkama funkcija".

Kontinuitet složene funkcije

Kontinuitet Teorem kompleks funkcija
Neka funkcija kontinuira na mjestu. I neka funkcija kontinuira na mjestu.
Tada je kompleksna funkcija kontinuirana u točki.

Granica složene funkcije

Ograničenje teorema kontinuirane funkcije iz funkcije
Pretpostavimo da postoji granica funkcije kada, i jednako je:
.
Evo mjesta T. 0 Može biti konačan ili beskonačno daljinski :.
I neka funkcija kontinuira na mjestu.
Zatim postoji granica složene funkcije, a jednako je:
.

Funkcija terminala teorem
Pretpostavimo da funkcija ima granicu i prikazuje probušeno susjedstvo točke do probušenog susjedstva točke. Pretpostavimo da je funkcija određena na ovom susjedstvu i ima ograničenje na njemu.
Ovdje - konačne ili beskonačno udaljene točke :. Okolina i odgovarajuće granice mogu biti i bilateralne i jednostrane.
Zatim postoji granica složene funkcije i jednaka je:
.

Bodove za prskanje

Definicija prekida točke
Neka se funkcija određena na nekog probušenog susjedstva točke. Točka se zove točka funkcije rupture Ako se obavlja jedan od dva uvjeta:
1) nije definiran u;
2) definiran, ali ne u ovom trenutku.

Određivanje GAP točke 1. roda
Točka se zove mjesto razbijanja prve vrsteAko je to točka prekida i postoje konačne jednostrane granice na lijevoj i desnoj strani:
.

Definicija funkcije skoka
Skok δ funkcija U točki je to razlika između granica s desne strane i lijevo
.

Definicija odluka o sporu
Točka se zove jednokratna točka prekidaAko postoji ograničenje
,
Ali funkcija na točki je ili nije definirana, ili nije jednaka graničnoj vrijednosti :.

Stoga je točka raspoloživog razmaka točka razbijanja prvog roda, u kojem su funkcije funkcije nula.

Definicija GAP točke 2. vrsta
Točka se zove točku rupture druge vrsteAko to nije točka razbijanja prvog roda. To jest, ako ne postoji, barem jedan jednostrani granica, ili barem jedan jednostrani granica na mjestu je beskonačnost.

Svojstva funkcija kontinuiranog na segmentu

Funkcija definicije, kontinuirana na segmentu
Funkcija se naziva kontinuirano na segmentu (kada), ako je kontinuirano na svim točkama otvorenog intervala (kada) i na točkama A i B, respektivno.

Prva Weierstrass Teorem kontinuirano kontinuirano na segmentu funkcije
Ako je funkcija kontinuirana na segmentu, ograničena je na ovaj segment.

Određivanje maksimalne dostižnosti (minimalno)
Funkcija doseže maksimalnu (minimalnu) na setu, ako postoji takav argument za koji
za sve .

Određivanje ostvarivosti gornjeg (donja) lica
Funkcija doseže svoje gornje (dolje) lice na setu, ako postoji takav argument za koji
.

Drugi Teorem Weierstrass na maksimumu i minimalno kontinuirane funkcije
Funkcija kontinuiranog na segmentu doseže svoje gornje i donje lica na njemu ili, što je isto, doseže se na segmentu maksimalnog i minimalnog.

Bolzano Teorem - Cauchy o srednjem značenju
Neka se funkcija kontinuira na segmentu. I dopustiti C imati proizvoljni broj između vrijednosti funkcije na krajevima segmenta: i. Zatim postoji točka za koju
.

Posljedica 1.
Neka se funkcija kontinuira na segmentu. I neka vrijednosti funkcije na krajevima segmenta imaju različite znakove: ili. Tada postoji točka, vrijednost funkcije u kojoj je nula:
.

Korolarna 2.
Neka se funkcija kontinuira na segmentu. Pusti to . Tada funkcija preuzima segment sve vrijednosti iz i samo ove vrijednosti:
na.

Obrnute funkcije

Definicija obrnute funkcije
Pretpostavimo da funkcija ima polje određivanja X i više vrijednosti y. I neka posjeduje nekretninu:
za sve .
Zatim, za bilo koji element, samo jedan element seta X može se staviti u red s set y, za koji. Takva usklađenost određuje funkciju koja se zove inverzna funkcija do. Inverzna funkcija je označena na sljedeći način:
.

Iz definicije slijedi to
;
za sve ;
za sve .

Lemma na zajedničkoj monotoniji izravnih i obrnutih funkcija
Ako se funkcija strogo povećava (smanjuje), tada postoji obrnuta funkcija, koja se također strogo povećava (smanjuje).

Nekretnina za simetriju grafikona izravnih i obrnutih funkcija
Grafovi izravne i obrnute funkcije su simetrični o izravnom.

Teorem o postojanju i kontinuitetu povratnih informacija o segmentu
Neka se funkcija kontinuira i strogo povećava (smanjuje) na segmentu. Tada je inverzna funkcija definirana na segmentu, koja se strogo povećava (smanjuje).

Za sve veću funkciju. Za smanjenje -.

Teorem o postojanju i kontinuitetu povratnih informacija o intervalu
Pretpostavimo da je funkcija kontinuirana i strogo povećava (smanjuje) na otvorenom kraju ili beskonačnom intervalu. Tada je inverzna funkcija definirana i kontinuirana u intervalu, koja se strogo povećava (smanjuje).

Za sve veću funkciju.
Za smanjenje :.

Slično tome, možete formulirati teoremu o postojanju i kontinuitetu obrnute funkcije na polu-intervalu.

Svojstva i kontinuitet osnovnih funkcija

Elementarne funkcije i natrag na njih kontinuirane su na području definiranja. Zatim predstavljamo tekst relevantnih teorema i dati reference na njihove dokaze.

Eksponencijalna funkcija

Indikativna funkcija F. (x) \u003d Xs razlogom a > 0 - Ovo je ograničenje sekvenci
,
gdje postoji proizvoljan slijed racionalnih brojeva, traženje X:
.

Teorema. Svojstva indikativne funkcije
Indikativna funkcija ima sljedeća svojstva:
(Str.) definirano, s, za sve;
(Klauzula 1) S ≠ 1 ima mnogo vrijednosti;
(Klauzula 2) strogo se povećava, strogo smanjuje, konstantna je na;
(Klauzula 3) ;
(Str.3 *) ;
(Klauzula 4) ;
(Str. ;
(Str. 6) ;
(Str 7) ;
(Str. 8) kontinuirano za sve;
(Str.9) kada;
na.

Logaritam

Logaritamska funkcija ili logaritam, y \u003d log a xs razlogom a - Ovo je funkcija inverzna za indikativnu funkciju s bazom a.

Teorema. Svojstva logaritam
Logaritamska funkcija s bazom a, y \u003d prijavite X.ima sljedeća svojstva:
(L.1) definirani i kontinuirani, a za pozitivne vrijednosti argumenta,;
(L.2) ima mnogo vrijednosti;
(L.3) strogo se povećava s, strogo se smanjuje;
(L.4) kada;
kada;
(L.5) ;
(L.6) kada;
(L.7) kada;
(L.8) kada;
(L.9) na.

Izlagač i prirodni logaritam

U definicijama indikativne funkcije i logaritam, stalna se pojavi, koja se naziva bazom stupnja ili baze logaritam. U matematičkoj analizi, u ogromnoj većini dobiveno je više jednostavnih izračuna ako se broj E koristi kao baza.
.
Indikativna funkcija s bazom E naziva se eksponenta :, i logaritam za bazu E je prirodni logaritam :.

Izlagači imovine i prirodni logaritam navedeni su na stranicama
"Izlagač, e stupanj X",
"Prirodni logaritam, LN X funkcija"

Funkcija snage

Funkcija snage s indikatorom p - Ovo je funkcija f (x) \u003d p, čija je vrijednost u točki X jednaka vrijednosti indikativne funkcije s osnovom X na mjestu P.
Osim toga, f (0) \u003d 0 p \u003d 0 na p\u003e 0 .

Ovdje ćemo razmotriti svojstva funkcije snage Y \u003d X P s nenegativnim vrijednostima argumenta. Za racionalno, s neparne m, funkcija napajanja je također određena za negativnu X. U tom slučaju, njegova svojstva mogu se dobiti pomoću pariteta ili čučnosti.
Ovi slučajevi se detaljno raspravljaju i prikazane na "funkciji napajanja, njegovim svojstvima i grafikama".

Teorema. Svojstva funkcije napajanja (x ≥ 0)
Funkcija napajanja, Y \u003d X P, s parametrom P ima sljedeća svojstva:
(Str) definirani i kontinuirani na setu
kada
s. "

Trigonometrijske funkcije

Teorem o kontinuitetu trigonometrijskih funkcija
Trigonometrijske funkcije: sinus ( grijeh X.), kosinus ( cos X.), Tangenta ( tg X.) i kotangent ( cTG X.

Teorem o kontinuitetu inverznih trigonometrijskih funkcija
Inverzne trigonometrijske funkcije: Arksinus ( arcsin X.), Arkkosinus ( arccos X.), Arktana ( arctg X.) i arkotangent ( arcCTG X.), kontinuirano na svojim područjima definicije.

Vidi također:

Što je funkcija kontinuirana. Određivanje kontinuiteta funkcije u točki. Pitanja za samokontroling znanje

Funkcija kontinuiteta. Točku rupture.

Funkcija kontinuiteta. Rippoints i njihova klasifikacija

Koncept funkcije kontinuiteta

Kontinuitet funkcije na mjestu iu intervalu

Klasifikacija točaka rupture

Prva vrsta prekida

Druge vrste prekida

Kako istražiti funkciju kontinuiteta?

Kontinuitet u točki

Primjeri

Primjer 1.

Koristimo definiciju heine

Koristimo Definiciju Cauchy

Primjer 2.

Enciklopedic youtube.

Titlovi

Definicija

Rippoint "skok"

Police prijelomne točke

Točka bitne rupture

Klasifikacija izoliranih pojedinačnih točaka u R N, n\u003e 1

Svojstva

Lokalni

Globalno

Primjeri

Osnovne funkcije

Funkcija korak

Dirichlet funkcija

Kontinuitet složene funkcije

Granica složene funkcije

Bodove za prskanje

Svojstva funkcija kontinuiranog na segmentu

Obrnute funkcije

Svojstva i kontinuitet osnovnih funkcija

Eksponencijalna funkcija

Logaritam

Izlagač i prirodni logaritam

Funkcija snage

Trigonometrijske funkcije