1 Dodatna konstrukcija koja vodi do teorema na srednjoj liniji trokuta, trapezoida i svojstava sličnosti trokuta.
I ona jednaka polovici hipotena.
Posljedica 1.
Korolarna 2.
Čini se da je 
1 Svi pravokutni trokuti s jednakim oštrim kutom su slični. Pogled na trigonometrijske funkcije.
Trokuti s milosnim stranama i ne-potezima slične su na jednakosti dva kuta. Stoga
To znači da ovi omjeri ovise samo o akutnom kutu pravokutnog trokuta i koji su u biti određeni. Ovo je jedan od temelja izglede trigonometrijskih funkcija:
Često trigonometrijska funkcija kuta u takvim pravokutnim trokutima vizualnih zapisa o omjerima sličnosti!
2 Primjer dodatne građevine - visine, spuštena na hipotenusu. Povlačenje teorema Pitagore na temelju sličnosti trokuta.
Power na Hipothenus Ab Visine Ch. Imamo tri slična trokuta ABC, AHC i CHB. Pišemo izraze za trigonometrijske funkcije:
Čini se da je , Preklapanje, dobivamo teoremu Pitagore, jer:
Još jedan dokaz Pythagoreo teorema vidi u komentarima na zadatku 4.
3 Važan primjer dodatnog konstrukta je izgraditi kut jednak jednom od kutova trokuta.
Izvršimo iz vrha izravnog kuta ravne linije, koji čini kut ca visi jednaka kutu kabine danog pravokutnog trokuta abca. Kao rezultat toga, dobivamo pravedan ACM trokut s kutovima u bazi. No, drugi trokut, dobiven takvim konstruktom, također će biti jednak, jer je svaki kut na bazi jednak (kod imovine uglova pravokutnog trokuta i na konstrukciji - od izravnog kuta "otkrivenog" kuta ). Zbog činjenice da se trokuti BMC-a i AMC-a pojede s općom strani MC-a s jednakošću MB \u003d MA \u003d MC, tj. Mc - medijan, proveo na hipotenuzu pravokutnog trokuta, i ona jednaka polovici hipotena.
Posljedica 1. Sredina hipotenuze je središte kruga opisanog oko ovog trokuta, jer se ispostavilo da je sredina hipotekusa ekvivalentna vrhovima pravokutnog trokuta.
Korolarna 2. Srednja linija pravokutnog trokuta koji povezuje sredinu hipotenuze i sredine kategorije, paralelno s suprotnom katelekomu i jednaka je svojoj polovici.
Niže u jednakoznim trokutima BMC i AMC visine MH i MG na bazi. Budući da je u jednakozan trokut, visina, spuštena u bazu, također je medijan (i bisen), zatim MH i Mg-rini pravokutnog trokuta koji povezuju sredinu hipotenuze sa sredinom kateteta. Konstruiranjem, oni su paralelni s suprotnim običajima i njihovim polovicama, budući da su trokuti jednaki MHC-u i MGC su jednaki (i MHCG je pravokutnik). Ovaj rezultat je osnova za dokaz o teoremi na središnjoj liniji proizvoljnog trokuta i, dalje, prosječnu liniju trapezoida i svojstva proporcionalnosti segmenata koja se odrežu paralelnim ravnim na dva križanja izravno.
Zadatke
Korištenje svojstava sličnosti -1
Upotreba osnovnih svojstava - 2
Koristeći dodatne konstrukcije 3-4
1 2 3 4
Visina, spuštena od vrha izravnog kuta pravokutnog trokuta jednaka je korijenu kvadrata duljina segmenata na koje dijeli hipotenuzu.
Čini se da je odluka očita ako znate povlačenje teorema Pitagorea iz sličnosti trokuta:
(Mathrm (tg) beta \u003d frac (h) (c_1) \u003d frac (c_2) (h) \\ t
Gdje je (H ^ 2 \u003d C_1C_2).
Pronađite presjek geometrijskog mjesta (GMT) medijana svih vrsta pravokutnih trokuta, čiji je hipotenumjer fiksiran.
Mjesto raskrižje medijana bilo kojeg trokuta smanjuje od medijane trećine, računajući od točke njegovog raskrižja s odgovarajućom strani. U pravokutnom trokutu, medijan proveden iz izravnog kuta jednak je polovici hipotenuze. Stoga je željeni GMT krug radijusa jednak 1/6 duljine hipotenuze, sa središtem u sredini tog (fiksne) hipotenuse.
Tematska lekcija
Srednja linija trokuta
Ciljevi lekcija
Konsolidirati znanje o školi o trokutima;
Predstaviti učenike s takvim konceptom kao srednja linija trokuta;
Oblikuju znanje o studentima o svojstvima trokuta;
Nastaviti podučavati djecu da primijene svojstva ličnosti pri rješavanju zadataka;
Razviti logično razmišljanje, kvarivost i pozornost studenata.
Zadaci lekcija
Oblikuju znanje o školi o srednjoj liniji trokuta;
Provjerite znanje studenata o temama o trokutima;
Provjerite vještinu učenika za rješavanje problema.
Razviti interes za školske djece na točne znanosti;
Nastaviti stvarati vještinu učenika da izraze svoje misli i posjeduju matematički jezik;
Plan učenja
1. srednja linija trokuta. Osnovni koncepti.
2. srednja linija trokuta, teorema i svojstava.
3. Ponavljanje prethodno ispitivanog materijala.
4. Glavne linije trokuta i njihovih svojstava.
5. Zanimljive činjenice iz područja matematike.
6. Domaći zadatak.
Srednja linija trokuta
Srednja linija trokuta naziva se takav segment koji povezuje sredinu dviju strana ovog trokuta.
U svakom trokutu postoje tri srednje linije koje čine još jedan novi trokut koji se nalazi unutar.
Vrhovi novoizgrađenog trokuta su na sredini strana ovog trokuta.
Svaki trokut ima sposobnost provesti tri srednje linije.
Sada ćemo se detaljno zaustaviti na ovoj temi. Pogledajte crtež trokuta na vrhu. Prije vas, ABC trokut na kojem se drži srednja crta. Segmenti MN, MP i NP su formirani unutar ovog trokuta Još jedan MNP trokut.
Svojstva srednje linije trokuta
Svaka srednja linija trokuta koji povezuje sredinu svojih strana, ima sljedeća svojstva:
1. Sredina trokuta je paralelna s trećom stranom i jednaka je svojoj polovici.
Dakle, vidimo da je strana AU paralelna s MN-om, koja je dva puta manje od strane AU.
2. Srednje linije trokuta ga dijele na četiri jednaka trokuta.
Ako pogledamo ABC trokut, vidjet ćemo da su srednje linije mn, mn i NP su podijeljeni u četiri jednaka trokuta, a kao rezultat toga, formirani su mbn, PMN, NCP i AMP trokuti.
3. Srednja linija trokuta smanjuje iz ovog trokuta slično, a područje je jednako jednom četvrtom izvoru trokuta.
Na primjer, u ABC trokutu, srednje linije MP prekine iz ovog trokuta, formirajući amp trokut, čije je područje jednako jednom četvrtom ABC trokutu.
Trokuti
U prethodnim razredima već ste proučavali tako geometrijski oblik kao trokut i znate kakve su trokute, što se razlikuju i koja je nekretnina opsjednuta.
Trokut se odnosi na najjednostavnije geometrijske figure koje imaju tri strane, tri kuta, a njihovo područje je ograničeno na tri točke i tri dijela koji spavaju ove točke.
Pa smo se sjetili definiciju trokuta, a sada ćemo ponoviti sve što znate o ovoj slici, odgovarajući na pitanja:
4. Koje ste vrste trokuta već studirali? Navedite ih.
5. Dajte definicije svakog od vrsta trokuta.
6. Što je područje trokuta?
7. Koji je zbroj kutova ovog geometrijskog oblika?
8. Koje vrste trokuta ste poznati? Navedite ih.
9. Što znate trokute na vrsti jednakih stranaka?
10. Dajte definiciju hipotena.
11. Koliko oštrih kutaka može biti u trokutu?
Glavne linije trokuta
Glavne linije trokuta uključuju: medijan, bisen, visinu i srednju okomitu.
Srednji
Srednji trokut se naziva segment koji povezuje vrh trokuta od sredine suprotne strane ovog trokuta.
Svojstva srednji trokut
1. dijeli trokut na dva druga jednaka u području;
2. Svi medijan ove brojke presijecaju se u jednom trenutku. Ova točka ih dijeli u odnosu na dva na jedan, počevši odbrojavanje od vrha i naziva se središte gravitacije trokuta;
3. Srednji dijele ovaj trokut do šest areometrijskih.
Bisektor
Beam koja izlazi iz vrha i prolazi između strana kuta, dijeli ga na pola, zove se bisektor ovog ugla.
A ako segment kutne bisektor povezuje s vrhom s točkom, koji leži na suprotnoj strani trokuta, tada se naziva krumpir trokuta.
Svojstva bisenskog trokuta
1. Kut bisektora je geometrijska lokacija točaka koje su kontradistirale strane ovog kuta.
2. Bisektor unutarnjeg kuta trokuta dijeli suprotnu stranu segmenata, koja su proporcionalna susjednim stranama trokuta.
3. Središte kruga upisanog u trokut je sjecište točke bisen tog broja.
Visina
Okomita, koja se provodi od vrha do lik do ravne linije, koja je suprotna strana trokuta, zove se njegova visina.
Svojstva visine trokuta
1. Visina provedena iz vrha izravnog kuta dijeli trokut na dva slična.
2. Ako je trokut akutan, tada njegove dvije visine odrezavaju ovaj trokut s njim.
Općinska okomita
Srednji trokut okomita naziva se izravno, koja prolazi kroz sredinu segmenta, koji se nalazi okomito na ovaj segment.
Svojstva srednjeg trokuta okomita
1. Svaka točka srednje okomito na segment jednak je svojim ciljevima. U tom slučaju, suprotna izjava će biti istina.
2. Mjesto raskrižja srednje okomito, koja se provodi na strane trokuta, je središte kruga, koji je opisan u blizini ovog trokuta.
Zanimljive činjenice iz područja matematike
Bilo da će to naučiti vijesti za vas da za dešifriranje tajne korespondencije Vlade Španjolske, Francois Vieta htjela je poslati vatru, jer su vjerovali da samo vrag može znati šifru, a to ne mogu biti sile.
Znate li da je prva osoba koja je predložila broj stolica, redovima i mjestima bila Rena Descartes? Kazališni aristokrati čak su tražili kralja Francuske da daju Descartesa za ovu nagradu, ali, nažalost, kralj je odbio, jer je vjerovao da će dati nagradu filozofa - to je niže od njegovog dostojanstva.
Zbog studenata koji se mogu sjetiti teorema Pitagore, ali ga ne mogu razumjeti, ovaj teorem se zove "magarnik most". To je značilo da student magarca, koji nije mogao prevladati most. U tom slučaju, most se smatrao teoremom Pitagore.
Fale pisci posvetili su svojim djelima ne samo mitskim herojima, ljudima i životinjama, već i matematičkim simbolima. Tako je, na primjer, autor slavnog "Red Hat", napisao bajku o ljubavi prema cirkulaciji i liniji.
Domaća zadaća
1. Prije nego što ste prikazani tri trokuta, dajte odgovor, je li linija provedena u trokutima?
2. Koliko srednje linije može biti izgrađeno u jednom trokutu?
3. Dan trokut ABC. Pronađite ABS trokutne strane ako njegove srednje linije imaju takve dimenzije: od \u003d 5,5 cm, fn \u003d 8 cm, na \u003d 7 cm.
Prosječna linija trapezija, a posebno njegova svojstva, vrlo se često koriste u geometriji za rješavanje problema i dokaza o određenim teoremima.
- Ovo je četverokut, koji ima samo 2 stranke paralelno jedni s drugima. Paralelne strane nazivaju se razlozi (na slici 1 - OGLAS i PRIJE KRISTA.), dvije druge strane (na slici Ab i CD).
Srednji trapez - Ovo je segment koji povezuje sredinu bočnih strana (na slici 1 - Kl).
Svojstva srednje linije
Dokaz o teoremi srednjih linija
DokazatiJedna je srednjoj liniji trapeza jednaka polovici razloga i paralelna s tim osnovama.
Dana trapezium ABCD. s srednjom linijom Kl, Da biste dokazali razmatranja svojstava, potrebno je provesti izravno kroz bodove. B. i L., Slika 2 je ravna crta Bq., Kao i nastavljaju temelj OGLAS prije raskrižja s ravnim Bq..
Razmotrite rezultirajuće trokute Lbc. i LQD.:
- Po definiciji središnje linije Kl točka L. je srednji rez CD, Slijedi da segmenti Cl. i LD. jednak.
- ∠ blc = ∠ qld.Budući da su ti uglovi okomito.
- ∠ bcl. = ∠ LDQ.Budući da će ti kutovi pokriti u tijeku s paralelnim ravnim linijama OGLAS i PRIJE KRISTA. I prodaja CD.
Od tih 3 jednakosti slijedi da su prethodno raspravljeni trokuti Lbc. i LQD. jednaka 1 strani i dva susjedna kuta (vidi sliku 3). Stoga, ∠ lbc. = ∠ LQD., Bc \u003d dq. i najvažnija stvar - Bl \u003d lq. => KlProsječna linija trapeza ABCD.je također srednja linija trokuta Abq., Prema vlasništvu srednje linije trokuta Abq. Dobivamo.
U rješavanju planimetrijskih problema, uz strane kutova lik, često se prihvaćaju druge vrijednosti - medijani, visine, dijagonale, bisen i drugi. Srednja crta pripada njihovom broju.
Ako je izvorni poligon trapez, što je onda njegova srednja linija? Ovaj segment je dio izravnog, koji prelazi strane slike u sredini i nalazi se paralelno s dvije druge strane - temelj.
Kako pronaći srednju liniju trapeza kroz liniju srednjeg i temelja
Ako je poznata veličina gornje i donje baze, izraz će se izračunati za izračunavanje nepoznatog:
a, B - baze, L je srednja linija.
Kako pronaći prosječnu liniju trapeza kroz područje
Ako su izvorni podaci prisutni u veličini slike, također je moguće izračunati duljinu linije trapeza. Koristimo formulu S \u003d (A + B) / 2 * h,
S - područje,
h - visina,
A, b - razlozi.
Ali, budući da L \u003d (A + B) / 2, zatim s \u003d l * h, što znači L \u003d S / h.
Kako pronaći prosječnu trapezoidnu liniju kroz bazu i kutove s njom
U prisutnosti duljine veće baze figure, njegove visine, kao i poznat stupanj kutova s \u200b\u200bnjom, izraz za pronalaženje crte sredine trapezija imat će sljedeći oblik:
l \u003d a-H * (CTGa + CTGβ) / 2, dok
L - željenu vrijednost
A - veća baza
α, β - kutovi s njom,
H je visina lik.
Ako je vrijednost manje baze poznata (s istim drugim podacima), omjer će pomoći u pronalaženju srednje linije:
l \u003d B + H * (CTGa + CTGβ) / 2,
l - željenu vrijednost
B je manja baza
α, β - kutovi s njom,
H je visina lik.
Pronađite srednju liniju trapeziranja kroz visinu, dijagonale i uglove
Razmotrite situaciju kada u uvjetima problema postoje vrijednosti dijagonala na slici, kutovi koje oni oblikuju, prelazeći jedni druge, kao i visinu. Izračunajte srednju liniju koristeći izraze:
l \u003d (D1 * D2) / 2H * sinγ ili L \u003d (D1 * D2) / 2H * SINφ,
l - linija sredine,
D1, D2 - dijagonalno,
φ, γ - kutovi između njih,
H je visina lik.
Kako pronaći srednju liniju trapezije određenog figura
U slučaju da je osnovna figura - trapezium slobodan, gore navedene formule će imati sljedeći oblik.
- U prisutnosti vrijednosti baza trapeziranja promjena u izrazu neće se dogoditi.
l \u003d (A + B) / 2, A, B - baza, L je srednja linija.
- Ako je visina, baza i kutovi poznati, uz njega, onda:
l \u003d a - h * ctgα,
L \u003d b + h * ctgα,
l - linija sredine,
A, B - baze (b< a),
α - kutovi s njom,
H je visina lik.
- Ako je strana trapezoida poznata i jedna od razloga, onda možete definirati željenu vrijednost kontaktiranjem izraza:
l \u003d A-√ (c * C-H * \u200b\u200bh),
L \u003d b + √ (c * c-h * h),
L - linija sredine,
A, B - baze (b< a),
H je visina lik.
- S poznatim vrijednostima visine, dijagonala (i jednaka je jedna drugoj) i kutovi su nastali kao rezultat njihovog raskrižja, unutarnje linije se može naći na sljedeći način:
l \u003d (d * d) / 2H * sinγ ili l \u003d (d * d) / 2h * sinφ,
l - linija sredine,
D - dijagonalno,
φ, γ - kutovi između njih,
H je visina lik.
- Kvadrat i visina figure su poznati, onda:
l \u003d S / h,
S - područje,
H - visina.
- Ako je okomita visina nepoznata, može se odrediti definiranje trigonometrijske funkcije.
h \u003d c * sinα, tako
L \u003d S / c * sinα,
L - linija sredine,
S - područje,
C - strana,
α-kut u bazi.
Srednja linija trokuta je zanimljiv karakterizirajući segment, jer ima nekoliko svojstava koja vam omogućuju da pronađete jednostavno rješenje za naizgled složeni zadatak. Stoga razmislite o osnovnim svojstvima srednje linije i razgovarajte o tome kako pronaći duljinu ovog segmenta u trokutu.
Trokut i karakterizirajući segmenti
Trokut je lik koji se sastoji od tri strane i tri kuta. Ovisno o uglovima, trokuti su podijeljeni u:
- Otter
- Magloviti
- Pravokutan
Sl. 1. Vrste trokuta
Glavni karakterizirajući segmenti trokuta su:
- Srednji - Rezati spajanje vrhom od sredine suprotne strane.
- Bisektor - segment dijeljenja kutak na pola
- Visina - okomito, spušteno od vrha trokuta na suprotnom smjeru.
Sl. 2. Visina, medijan i bisen u trokutu
Za svaki od karakterizacijskih segmenata postoji vlastita točka raskrižja. Prilikom povezivanja tri točke raskrižja, medijan, bisen i visine su zlatni presjek trokuta.
Međutim, postoji niz dodatnih karakterizirajućih segmenata:
- Srednje okomito - Visina je obnovljena od sredine visine. U pravilu, srednja okomitost se nastavlja do raskrižja s druge strane.
- sredina - Izrežite spajanje sredine susjednih strana.
- RADIUS REPLETED KRUG, Upisani krug je krug koji se odnosi na svaku stranu trokuta.
- Radijus opisanog kruga. Opisani krug je krug koji sadrži sve strane trokuta.
Uz susjedne strane trokuta nazivaju stranke koje imaju ukupni vrh. U geometriji postoji koncept suprotnih strana, tj. Zabave koje leže suprotno jedni druge i nemaju zajedničke vrhove. Ali ovaj koncept za trokute nije primjenjiv - bilo koji par stranaka u trokutu je susjed.
Objekt srednje linije
Svojstva srednje linije nisu toliko, ali su svi važni pri rješavanju zadataka. Činjenica je da zadaci pronalaženja duljine srednje linije nisu dovoljni, pa stoga neki od njih mogu izgraditi učenika u stupor sa svojom jednostavnom.
Stoga dajemo i raspravljamo o svim svojstvima srednje linije trokuta:
- Srednja linija jednaka je pola baze. Općenito, to je točnije reći ni pola temelja, ali pola suprotne strane. Budući da su strane u trokutu 3, a baza je samo jedna. Ali općenito, temelj se može smatrati bilo kojoj strani trokuta, tako da se takav tekst smatra dopuštenim. Osim toga, lakše je naučiti. Općenito, prema ovom imovinu, određena je duljina srednje linije trokuta.
- Srednja linija je paralelna s bazom. Uz koncept temelja ovdje je ista situacija kao iu prošlom imovinu.
- Srednja linija prekida iz trokuta malog sličnog trokuta s omjerom sličnosti od 0,5
- Tri srednje linije dijele trokut na 4 jednaka trokuta, slično velikom trokutu s omjerom sličnosti od 0,5
Sl. 3. Srednje linije u trokutu
Stvarna formula srednje linije teče od drugog vlasništva:
$ M \u003d 1 Više (2) * $ - gdje je m srednja linija, strana je suprotna srednja linija.
Što smo znali?
Razgovarali smo o sekundarnim karakterističkim segmentima, naglašavajući prosječnu liniju. Oni su vodili svojstva srednjih linija i razgovarali o značajkama formulacije tih svojstava. Opisali su kako se prikazuje formula za duljinu srednje linije trokuta i kako srednja linija razbija trokut. Sva ta svojstva koriste se pri rješavanju trokuta.
Testirajte na temu
Evaluacija članka
Prosječna ocjena: 4.3. Ukupna ocjena primljena: 174.
