Dokaz i izvođenje formula za derivaciju eksponenta (e na potenciju x) i eksponencijalna funkcija(a na x potenciju). Primjeri izračuna derivacija e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivacije viših redova.

Sadržaj

Vidi također: Eksponencijalna funkcija - svojstva, formule, graf
Eksponent, e na x - svojstva, formule, graf

Osnovne formule

Derivacija eksponenta jednaka je samom eksponentu (derivacija od e na potenciju x jednaka je e na potenciju od x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivacija eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a jednaka je samoj funkciji, pomnoženoj s prirodnim logaritmom od a:
(2) .

Eksponent je eksponencijalna funkcija čija je baza eksponenta jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti prirodan ili realan broj. Zatim izvodimo formulu (1) za derivaciju eksponenta.

Derivacija formule za izvod eksponenta

Razmotrimo eksponent, e na potenciju x:
y = e x.
Ova je funkcija definirana za sve. Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za ovo su nam potrebne sljedeće činjenice:
A) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
U) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je neka funkcija koja ima limit i taj limit je pozitivan.
G) Značenje druge divne granice:
(7) .

Ove činjenice primjenjujemo na našu granicu (3). Koristimo svojstvo (4):
;
.

Napravimo zamjenu. Zatim ; .
Zbog neprekidnosti eksponenta,
.
Stoga, na , . Kao rezultat toga dobivamo:
.

Napravimo zamjenu. Zatim . U , . A mi imamo:
.

Primjenjujemo svojstvo logaritma (5):
. Zatim
.

Primijenimo svojstvo (6). Budući da postoji pozitivna granica i da je logaritam kontinuiran, tada:
.
Ovdje smo također upotrijebili drugu značajnu granicu (7). Zatim
.

Tako smo dobili formulu (1) za derivaciju eksponenta.

Izvod formule za izvod eksponencijalne funkcije

Sada izvodimo formulu (2) za derivaciju eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija
(8)
Definirano za sve.

Transformirajmo formulu (8). Da bismo to učinili, koristimo svojstva eksponencijalne funkcije i logaritma.
;
.
Dakle, transformirali smo formulu (8) u sljedeći oblik:
.

Izvodnice višeg reda od e na potenciju x

Nađimo sada derivacije viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:
(14) .
(1) .

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferenciranjem (1) dobivamo izvode drugog i trećeg reda:
;
.

Ovo pokazuje da je derivacija n-tog reda također jednaka izvornoj funkciji:
.

Izvodnice višeg reda eksponencijalne funkcije

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju s bazom stupnja a:
.
Pronašli smo njegov derivat prvog reda:
(15) .

Diferenciranjem (15) dobivamo izvode drugog i trećeg reda:
;
.

Vidimo da svako diferenciranje dovodi do množenja izvorne funkcije s . Stoga n-ti izvod ima sljedeći oblik:
.

Vidi također:

Ovim video zapisom započinjem dugi niz lekcija o izvedenicama. Ova lekcija ima nekoliko dijelova.

Najprije ću vam reći što su uopće derivacije i kako ih izračunati, ali ne sofisticiranim akademskim jezikom, već onako kako ja to razumijem i kako to objašnjavam svojim studentima. Drugo, razmotrit ćemo najjednostavnije pravilo za rješavanje zadataka u kojima ćemo tražiti derivacije zbroja, derivacije razlike i derivacije potencije.

Pogledat ćemo složenije kombinirane primjere, iz kojih ćete posebno naučiti da se slični problemi koji uključuju korijene, pa čak i razlomke, mogu riješiti pomoću formule za derivaciju funkcije potencije. Uz to će, naravno, biti i mnoštvo zadataka i primjera rješenja raznih razina složenosti.

Općenito, u početku sam namjeravao snimiti kratki 5-minutni video, ali možete i sami vidjeti što je od toga ispalo. Dakle, dosta teksta - bacimo se na posao.

Što je derivat?

Dakle, krenimo izdaleka. Prije mnogo godina, kada je drveće bilo zelenije i život zabavniji, matematičari su razmišljali o ovome: razmotrite jednostavnu funkciju danu svojim grafom, nazovimo je $y=f\left(x \right)$. Naravno, graf ne postoji sam za sebe, pa je potrebno nacrtati $x$ os, kao i $y$ os. A sada izaberimo bilo koju točku na ovom grafikonu, apsolutno bilo koju. Nazovimo apscisu $((x)_(1))$, ordinata će, kao što pretpostavljate, biti $f\lijevo(((x)_(1)) \desno)$.

Razmotrite drugu točku na istom grafikonu. Nije važno koji, glavno je da se razlikuje od originala. Ona, opet, ima apscisu, nazovimo je $((x)_(2))$, kao i ordinatu - $f\lijevo(((x)_(2)) \desno)$.

Dakle, imamo dvije točke: imaju različite apscise i, prema tome, različita značenja funkcije, iako je potonje izborno. Ali ono što je zaista važno jest da iz tečaja planimetrije znamo da se ravna crta može povući kroz dvije točke i, štoviše, samo kroz jednu. Evo, pustimo ga.

A sada povucimo ravnu liniju kroz prvu od njih, paralelnu s x-osi. Dobiti pravokutni trokut. Nazovimo ga $ABC$, pravi kut $C$. Ovaj trokut ima jedno vrlo zanimljivo svojstvo: činjenica je da je kut $\alpha $, zapravo, jednak kutu pod kojim se pravac $AB$ siječe s nastavkom osi apscisa. Prosudite sami:

pravac $AC$ konstrukcijski je paralelan s osi $Ox$,
linija $AB$ siječe $AC$ pod $\alpha $,
stoga $AB$ siječe $Ox$ pod istim $\alpha $.

Što možemo reći o $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ništa konkretno, osim da je u trokutu $ABC$ omjer kraka $BC$ i kraka $AC$ jednak tangensu upravo tog kuta. Pa napišimo:

Naravno, $AC$ se u ovom slučaju lako razmatra:

Slično za $BC$:

Drugim riječima, možemo napisati sljedeće:

\[\imeoperatora(tg)\tekst( )\!\!\alpha\!\!\tekst( )=\frac(f\lijevo(((x)_(2)) \desno)-f\lijevo( ((x)_(1)) \desno))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Sada kada smo sve to riješili, vratimo se našem grafikonu i pogledajmo novu točku $B$. Izbrišite stare vrijednosti i uzmite $B$ negdje bliže $((x)_(1))$. Označimo opet njegovu apscisu kao $((x)_(2))$, a ordinatu kao $f\lijevo(((x)_(2)) \desno)$.

Razmotrimo ponovno naš mali trokut $ABC$ i $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ unutar njega. Sasvim je očito da će to biti sasvim drugi kut, drugačija će biti i tangenta jer su se duljine duži $AC$ i $BC$ bitno promijenile, a formula za tangens kuta nije se uopće promijenila - ovo je još uvijek omjer između promjene funkcije i promjene argumenta.

Konačno, nastavljamo pomicati $B$ sve bliže i bliže početnoj točki $A$, kao rezultat toga, trokut će se još više smanjivati, a pravac koji sadrži segment $AB$ sve će više nalikovati tangenti na graf funkcije.

Kao rezultat toga, ako se nastavimo približavati točkama, tj. smanjimo udaljenost na nulu, tada će se pravac $AB$ doista pretvoriti u tangentu na grafikon u ovoj točki, a $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ promijenit će se iz elementa pravilnog trokuta u kut između tangente na graf i pozitivnog smjera $Ox$ osi.

I ovdje glatko prelazimo na definiciju $f$, naime, derivacija funkcije u točki $((x)_(1))$ je tangens kuta $\alpha $ između tangente na graf u točki $((x)_( 1))$ i pozitivnom smjeru osi $Ox$:

\[(f)"\lijevo(((x)_(1)) \desno)=\imeoperatora(tg)\tekst( )\!\!\alfa\!\!\tekst( )\]

Vraćajući se našem grafikonu, treba primijetiti da kao $((x)_(1))$ možete odabrati bilo koju točku na grafikonu. Na primjer, s istim uspjehom mogli bismo ukloniti crtu na točki prikazanoj na slici.

Nazovimo kut između tangente i pozitivnog smjera osi $\beta $. Prema tome, $f$ u $((x)_(2))$ bit će jednako tangensu ovog kuta $\beta $.

\[(f)"\lijevo(((x)_(2)) \desno)=tg\tekst( )\!\!\beta\!\!\tekst( )\]

Svaka točka grafa imat će svoju tangentu, a samim time i svoju vrijednost funkcije. U svakom od ovih slučajeva, osim točke u kojoj tražimo derivaciju razlike ili zbroja, odnosno derivaciju potencne funkcije, potrebno je uzeti još jednu točku koja se nalazi na određenoj udaljenosti od nje, a zatim usmjerite ovu točku na izvornu i, naravno, saznajte kako će u procesu takvo kretanje promijeniti tangens kuta nagiba.

Derivacija funkcije snage

Nažalost, ova nam definicija nikako ne odgovara. Sve ove formule, slike, kutovi ne daju nam niti najmanju ideju kako izračunati realnu derivaciju u stvarnim problemima. Stoga, odstupimo malo od formalne definicije i razmotrimo učinkovitije formule i tehnike s kojima već možete riješiti stvarne probleme.

Počnimo s najjednostavnijim konstrukcijama, naime s funkcijama oblika $y=((x)^(n))$, tj. funkcije snage. U ovom slučaju možemo napisati sljedeće: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Drugim riječima, stupanj koji je bio u eksponentu prikazan je u množitelju ispred , a sam eksponent se umanjuje za jedinicu, na primjer:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

A evo još jedne opcije:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Koristeći se ovim jednostavnim pravilima, pokušajmo razriješiti sljedeće primjere:

Tako dobivamo:

\[((\lijevo(((x)^(6)) \desno))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Sada riješimo drugi izraz:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Naravno, ovi su bili vrlo jednostavni zadaci. Međutim, pravi problemi su složeniji i nisu ograničeni na ovlasti funkcije.

Dakle, pravilo broj 1 - ako je funkcija predstavljena kao druge dvije, tada je derivacija ovog zbroja jednaka zbroju derivacija:

\[((\lijevo(f+g \desno))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Slično, derivacija razlike dviju funkcija jednaka je razlici derivacija:

\[((\lijevo(f-g \desno))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\lijevo(((x)^(2))+x \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\ prost ))+((\lijevo(x \desno))^(\prim ))=2x+1\]

Osim toga, postoji još jedan važno pravilo: ako nekom $f$ prethodi konstanta $c$, kojom se ova funkcija množi, tada se $f$ cijele ove konstrukcije smatra kako slijedi:

\[((\lijevo(c\cdot f \desno))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\lijevo(3((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\ prosti ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Na kraju, još jedno vrlo važno pravilo: problemi često sadrže zaseban pojam koji uopće ne sadrži $x$. Na primjer, to možemo promatrati u našim današnjim izrazima. Derivacija konstante, odnosno broja koji ni na koji način ne ovisi o $x$, uvijek je jednaka nuli i uopće nije važno čemu je jednaka konstanta $c$:

\[((\lijevo(c \desno))^(\prime ))=0\]

Primjer rješenja:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Još jednom ključne točke:

Derivacija zbroja dviju funkcija uvijek je jednaka zbroju derivacija: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Iz sličnih razloga, derivacija razlike dviju funkcija jednaka je razlici dviju derivacija: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Ako funkcija ima faktorsku konstantu, tada se ta konstanta može uzeti iz predznaka derivacije: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
Ako je cijela funkcija konstanta, tada je njezin izvod uvijek nula: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Pogledajmo kako sve to funkcionira na stvarnim primjerima. Tako:

Zapisujemo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\lijevo (((x)^(5)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(3((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

U ovom primjeru vidimo i derivaciju zbroja i derivaciju razlike. Dakle, izvod je $5((x)^(4))-6x$.

Prijeđimo na drugu funkciju:

Zapiši rješenje:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left((((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Ovdje smo pronašli odgovor.

Prijeđimo na treću funkciju - ona je već ozbiljnija:

\[\begin(align)& ((\lijevo(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \desno)) ^(\prime ))=((\lijevo(2((x)^(3)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(3((x)^(2)) \desno ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))-3((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor.

Prijeđimo na posljednji izraz - najsloženiji i najduži:

Dakle, smatramo:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\lijevo(6((x)^(7)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(14((x)^(3)) \desno))^(\prime )) +((\lijevo(4x \desno))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

No rješenje tu nije kraj, jer se od nas traži ne samo da uklonimo hod, već i da izračunamo njegovu vrijednost u određenoj točki, pa zamijenimo −1 umjesto $x$ u izrazu:

\[(y)"\lijevo(-1 \desno)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Idemo dalje i prelazimo na još složenije i zanimljivije primjere. Poanta je da formula za rješavanje derivacije potencije $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ima još širi opseg nego što se obično vjeruje. Uz njegovu pomoć možete rješavati primjere s razlomcima, korijenima itd. To ćemo sada učiniti.

Za početak, zapišimo još jednom formulu koja će nam pomoći da pronađemo derivaciju potencije:

A sada pažnja: do sada smo kao $n$ smatrali samo prirodne brojeve, ali ništa nas ne sprječava da razmotrimo razlomke i čak negativni brojevi. Na primjer, možemo napisati sljedeće:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\ prosti ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(2))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Ništa komplicirano, pa da vidimo kako će nam ova formula pomoći pri rješavanju više izazovne zadatke. Dakle primjer:

Zapiši rješenje:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime )) \\& ((\ lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^( \prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(3))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(4))) \desno))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Vratimo se našem primjeru i napišimo:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Ovo je tako teška odluka.

Prijeđimo na drugi primjer - postoje samo dva pojma, ali svaki od njih sadrži i klasični stupanj i korijene.

Sada ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije snage, koja osim toga sadrži korijen:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\lijevo(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \desno))^(\prime ))= \\& =(( \lijevo(((x)^(3+\frac(2)(3))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\lijevo(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Oba člana su izračunata, ostaje da zapišemo konačan odgovor:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Našli smo odgovor.

Derivacija razlomka u smislu funkcije potencije

No mogućnosti formule za rješavanje derivacije potencne funkcije tu ne prestaju. Činjenica je da uz njegovu pomoć možete brojati ne samo primjere s korijenima, već i s razlomcima. To je upravo ona rijetka prilika koja uvelike olakšava rješavanje ovakvih primjera, ali je često zanemaruju ne samo učenici, već i nastavnici.

Dakle, sada ćemo pokušati kombinirati dvije formule odjednom. S jedne strane, klasična derivacija funkcije snage

\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

S druge strane, znamo da se izraz oblika $\frac(1)(((x)^(n)))$ može predstaviti kao $((x)^(-n))$. Stoga,

\[\lijevo(\frac(1)(((x)^(n))) \desno)"=((\lijevo(((x)^(-n)) \desno))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\lijevo(\frac(1)(x) \desno))^(\prime ))=\lijevo(((x)^(-1)) \desno)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Dakle, derivacije jednostavnih razlomaka, gdje je brojnik konstanta, a nazivnik stupanj, također se izračunavaju pomoću klasične formule. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi.

Dakle, prva funkcija:

\[((\lijevo(\frac(1)(((x)^(2))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(-2)) \ desno))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Prvi primjer je riješen, idemo na drugi:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))= \ \& =((\lijevo(\frac(7)(4((x)^(4))) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\lijevo(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\lijevo(\frac(1)(((x)^(4))) \desno))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\lijevo(((x)^(-4)) \desno))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \lijevo(-4 \desno) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\lijevo(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3))) \desno) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\lijevo( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ lijevo(3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ završi (poravnaj)\]...

Sada skupljamo sve te izraze u jednu formulu:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Dobili smo odgovor.

Međutim, prije nego što krenem dalje, želio bih vam skrenuti pozornost na oblik pisanja samih izvornih izraza: u prvom izrazu smo napisali $f\left(x \right)=...$, u drugom: $y =...$ Mnogi se učenici izgube kada vide različite oblike zapisa. Koja je razlika između $f\lijevo(x \desno)$ i $y$? Zapravo ništa. To su samo različiti unosi s istim značenjem. Samo što kada kažemo $f\lijevo(x\desno)$, onda govorimo, prije svega, o funkciji, a kada govorimo o $y$, najčešće mislimo na graf funkcije. Inače je isti, tj. derivat se smatra istim u oba slučaja.

Složeni problemi s izvedenicama

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko složenih kombiniranih problema koji koriste sve što smo danas razmatrali odjednom. U njima nas čekaju i korijeni, i razlomci, i zbrojevi. Međutim, ovi primjeri će biti složeni samo u okviru današnjeg video tutorijala, jer će vas doista složene derivacije funkcija čekati naprijed.

Dakle, završni dio današnjeg video tutorijala koji se sastoji od dva kombinirana zadatka. Počnimo s prvim:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3))) \desno))^(\prime ))=((\ lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivacija funkcije je:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Prvi primjer je riješen. Razmotrimo drugi problem:

U drugom primjeru postupamo slično:

\[((\lijevo(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime))\]

Izračunajmo svaki član zasebno:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ lijevo(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\lijevo(((x)^(-1\frac(3)(4))) \desno))^( \prime ))= \\& =4\cdot \lijevo(-1\frac(3)(4) \desno)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \lijevo(-\frac(7)(4) \desno)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Svi termini se računaju. Sada se vraćamo na izvornu formulu i zbrajamo sva tri člana. Dobijamo da će konačni odgovor biti:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

I to je sve. Ovo je bila naša prva lekcija. U sljedećim lekcijama ćemo pogledati više složene strukture, a također saznajte zašto su uopće potrebne izvedenice.

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzna eksponencijalna funkcija? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo “prirodnim” i za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je jednako? Naravno, .

Izvedenica iz prirodni logaritam također vrlo jednostavno:

Primjeri:

Pronađite izvod funkcije.
Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiju derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.

Pravila razlikovanja

Koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se uzima iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

u točki;
u točki;
u točki;
u točki.

rješenja:

(izvodnica je ista u svim točkama, jer je linearna funkcija, zapamtiti?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

Naći izvode funkcija i;
Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili što je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo izvedenicu funkcije, pa pokušajmo dovesti našu funkciju na novu bazu:

Za ovo koristimo jednostavno pravilo: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Dogodilo se?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kako je bilo, tako i ostaje, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne postoji način da se zapiše na više jednostavna forma. Stoga je u odgovoru ostavljen u ovom obliku.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferenciranja:

U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, za pronalaženje proizvoljnog iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Moramo dovesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto napisati:

Pokazalo se da je nazivnik samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Izvodnice eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikad ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što je "kompleksna funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "kompleksno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi ga veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati dobiveni broj. Dakle, oni nam daju broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a onda ti kvadriraš ono što sam ja dobio (vežeš vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složena funkcija: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.

Drugim riječima, Složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer,.

Možemo učiniti iste radnje obrnutim redoslijedom: prvo kvadrirate, a zatim tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.

Drugi primjer: (isto). .

Pozvat će se zadnja akcija koju napravimo "vanjsku" funkciju, a prva izvršena radnja - respektivno "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Razdvajanje unutarnje i vanjske funkcije vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

Što ćemo prvo poduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kub. Dakle, to je unutarnja funkcija, a ne vanjska.
A izvorna funkcija je njihov sastav: .
Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

Pa, sad ćemo izdvojiti našu čokoladu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. Za izvorni primjer to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Čini se da je jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interno: ;

Vanjski: ;

2) Interno: ;

(samo nemojte pokušavati reducirati do sada! Ništa nije izvađeno ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interno: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se ovdje radi o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje još izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: svejedno, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Trg. .

5. Sve zajedno:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s infinitezimalnim prirastom argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta se uzima iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Izvedeni proizvod:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Definiramo "unutarnju" funkciju, nalazimo njen izvod.
Definiramo "vanjsku" funkciju, nalazimo njen izvod.
Množimo rezultate prve i druge točke.

Evo tablice sažetka za praktičnost i jasnoću pri proučavanju teme.

Konstantnoy=C

Funkcija potencije y = x p

(x p)" = p x p - 1

Eksponencijalna funkcijay = x

(a x)" = a x ln a

Konkretno, kadaa = eimamo y = e x

(e x)" = e x

logaritamska funkcija

(log a x) " = 1 x ln a

Konkretno, kadaa = eimamo y = log x

(ln x)" = 1 x

Trigonometrijske funkcije

(sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Inverzne trigonometrijske funkcije

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Hiperboličke funkcije

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analizirajmo kako su dobivene formule navedene tablice, odnosno, drugim riječima, dokazat ćemo izvođenje formula za derivacije za svaki tip funkcije.

Derivacija konstante

Dokaz 1

Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u točki. Koristimo x 0 = x, gdje je x poprima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C . Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta kao ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Imajte na umu da izraz 0 ∆ x pada ispod znaka granice. To nije nesigurnost "nula podijeljena s nulom", budući da brojnik ne sadrži infinitezimalnu vrijednost, već nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije uvijek je nula.

Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.

Primjer 1

Zadane konstantne funkcije:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Riješenje

Opišimo zadane uvjete. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3 . U sljedećem primjeru trebate uzeti derivat od A, Gdje A- bilo koji pravi broj. Treći primjer nam daje izvedenicu iracionalan broj 4 . 13 7 22 , četvrti - izvod nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo izvod racionalni razlomak - 8 7 .

Odgovor: izvedenice postavljene funkcije je nula za bilo koji real x(u cijeloj domeni definicije)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivacija funkcije snage

Okrećemo se funkciji snage i formuli za njezinu derivaciju, koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Dokaz 2

Predstavljamo dokaz formule kada je eksponent prirodni broj: p = 1, 2, 3, …

Opet se oslanjamo na definiciju derivata. Napišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Da bismo pojednostavili izraz u brojniku, koristimo Newtonovu binomnu formulu:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Tako:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Dakle, dokazali smo formulu za izvod potencije kada je eksponent prirodan broj.

Dokaz 3

Da dam dokaz za slučaj kada p- bilo koji realni broj različit od nule, koristimo logaritamsku derivaciju (ovdje bismo trebali razumjeti razliku od derivacije logaritamska funkcija). Za potpunije razumijevanje poželjno je proučavati derivaciju logaritamske funkcije i dodatno se baviti derivacijom implicitno zadane funkcije i derivacijom složene funkcije.

Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x su negativni.

Dakle x > 0 . Tada je: x p > 0 . Uzimamo logaritam jednakosti y \u003d x p na bazu e i primjenjujemo svojstvo logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

U ovoj fazi dobivena je implicitno definirana funkcija. Definirajmo njegovu derivaciju:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Sada razmatramo slučaj kada x- negativan broj.

Ako indikator str Tamo je Parni broj, tada je funkcija snage također definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Zatim xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ako str je neparan broj, tada je funkcija snage definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Posljednji prijelaz je moguć jer ako str je onda neparan broj p - 1 ili paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativno x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je istinita.

Dakle, dokazali smo formulu za derivaciju funkcije potencije za bilo koji realni p.

Primjer 2

Zadane funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Odredi njihove derivacije.

Riješenje

Dio zadanih funkcija transformiramo u tablični oblik y = x p , na temelju svojstava stupnja, a zatim koristimo formulu:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivacija eksponencijalne funkcije

Dokaz 4

Formulu za derivaciju izvodimo na temelju definicije:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo neizvjesnost. Da bismo ga proširili, pišemo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za posljednji prijelaz koristi se formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

Izvršimo zamjenu u izvornoj granici:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Prisjetimo se drugog divna granica i tada dobivamo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Primjer 3

Date su eksponencijalne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Moramo pronaći njihove derivate.

Riješenje

Koristimo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivacija logaritamske funkcije

Dokaz 5

Donosimo dokaz formule za derivaciju logaritamske funkcije za bilo koji x u domeni definicije i sve važeće vrijednosti baze a logaritma. Na temelju definicije derivata dobivamo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Iz navedenog lanca jednakosti vidljivo je da su transformacije izgrađene na temelju svojstva logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e vrijedi u skladu s drugom izvanrednom granicom.

Primjer 4

Zadane su logaritamske funkcije:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

Potrebno je izračunati njihove derivate.

Riješenje

Primijenimo izvedenu formulu:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen s x.

Derivacije trigonometrijskih funkcija

Dokaz 6

Koristimo neke trigonometrijske formule i prvo izvanredno ograničenje za izvođenje formule za derivaciju trigonometrijske funkcije.

Prema definiciji derivacije funkcije sinusa dobivamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliku sinusa omogućit će nam izvođenje sljedećih radnji:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Konačno, koristimo prvo divno ograničenje:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dakle, izvod funkcije grijeh x htjeti cos x.

Također ćemo na isti način dokazati formulu za kosinusnu derivaciju:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Oni. derivacija funkcije cos x bit će – grijeh x.

Formule za derivacije tangensa i kotangensa izvodimo na temelju pravila diferenciranja:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivacije inverznih trigonometrijskih funkcija

Izvedeni odjeljak inverzne funkcije daje iscrpne informacije o dokazu formula za derivacije arksinusa, arkkosinusa, arktangensa i arkotangensa, stoga ovdje nećemo duplicirati materijal.

Derivacije hiperboličkih funkcija

Dokaz 7

Formule za derivacije hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa možemo izvesti pomoću pravila diferenciranja i formule za derivaciju eksponencijalne funkcije:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

složene izvedenice. Logaritamska derivacija.
Derivacija eksponencijalne funkcije

Nastavljamo poboljšavati našu tehniku razlikovanja. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati pređeno gradivo, razmotriti složenije izvode, a također se upoznati s novim trikovima i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitatelji koji imaju nisku razinu pripreme trebali bi se obratiti članku Kako pronaći izvedenicu? Primjeri rješenjašto će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivacija složene funkcije, razumjeti i riješiti svi primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je držati se stava “Gdje drugdje? I to je dosta!”, budući da su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnosti kontrolni radovi a često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivacija složene funkcije razmotrili smo brojne primjere s detaljnim komentarima. U tijeku proučavanja diferencijalnog računa i drugih dijelova matematičke analize, morat ćete razlikovati vrlo često, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) detaljno slikati primjere. Stoga ćemo vježbati u usmenom pronalaženju izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati najjednostavnije složene funkcije, na primjer:

Prema pravilu diferenciranja složene funkcije :

Pri proučavanju drugih matan tema u budućnosti, tako detaljan zapis najčešće nije potreban, pretpostavlja se da je student sposoban pronaći slične izvedenice na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutro zazvonio telefon i ugodan glas upitao: "Kolika je derivacija tangensa dva x?". Nakon toga bi trebao uslijediti gotovo trenutačni i pristojni odgovor: .

Prvi primjer bit će odmah namijenjen neovisna odluka.

Primjer 1

Pronađi usmeno, u jednom koraku, sljedeće izvedenice, na primjer: . Da biste izvršili zadatak, trebate samo koristiti tablica derivacija elementarnih funkcija(ako se već nije sjetila). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem ponovno čitanje lekcije Derivacija složene funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složene izvedenice

Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s 3-4-5 privitaka funkcija bit će manje zastrašujući. Možda će se sljedeća dva primjera nekome učiniti kompliciranima, ali ako se razumiju (netko pati), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već navedeno, pri pronalaženju izvoda složene funkcije, prije svega, potrebno je Pravo RAZUMIJEVANJE INVESTICIJA. U slučajevima kada postoje nedoumice, podsjećam vas na koristan trik: uzmemo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti tu vrijednost u "užasan izraz".

1) Prvo trebamo izračunati izraz, tako da je zbroj najdublje ugniježđen.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim kubirajte kosinus:

5) U petom koraku, razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je Korijen:

Formula diferencijacije složenih funkcija primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema najunutarnjoj. Mi odlučujemo:

Čini se da nema greške...

(1) Uzimamo izvod kvadratnog korijena.

(2) Derivaciju razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivacija trojke jednaka je nuli. U drugom članu uzimamo izvod stupnja (kub).

(4) Uzimamo izvod kosinusa.

(5) Uzimamo izvod logaritma.

(6) Konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugniježđenja .

Možda se čini preteškim, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmimo, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete svu draž i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da sličnu stvar vole davati na ispitu kako bi provjerili razumije li student kako pronaći izvod složene funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer je za samostalno rješenje.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primijenimo pravila linearnosti i pravilo diferenciranja umnoška

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da prijeđemo na nešto kompaktnije i ljepše.
Nije neuobičajena situacija da je umnožak ne dvije, već tri funkcije dan u primjeru. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo gledamo, ali je li moguće umnožak tri funkcije pretvoriti u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u umnošku, tada bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u ovom primjeru sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima potrebno je sukcesivno primijeniti pravilo razlikovanja proizvoda dvaput

Trik je u tome što za "y" označavamo proizvod dviju funkcija: , a za "ve" - logaritam:. Zašto se to može učiniti? Je li - ovo nije produkt dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:

Sada ostaje primijeniti pravilo drugi put u zagradu:

Još uvijek možete pervertirati i izvaditi nešto iz zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor u ovom obliku - bit će lakše provjeriti.

Gornji primjer može se riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješenje, u uzorku je riješeno na prvi način.

Razmotrimo slične primjere s razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići na nekoliko načina:

Ili ovako:

Ali rješenje se može napisati kompaktnije ako se prije svega poslužimo pravilom diferenciranja kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi u ovakvom obliku, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt, no je li moguće pojednostaviti odgovor? Izraz brojnika dovodimo na zajednički nazivnik i osloboditi se trokatnice:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od pogreške ne pri pronalaženju izvedenice, već pri banalnim transformacijama škole. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica “dosjeti pameti”.

Jednostavniji primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo svladavati tehnike pronalaženja derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "užasan" logaritam

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo diferencijacije složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah baci u malodušnost - morate uzeti neugodnu izvedenicu razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zato prije kako uzeti derivat "fancy" logaritma, prethodno je pojednostavljen korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako vam je pri ruci bilježnica za vježbanje, prepišite ove formule tamo. Ako nemate bilježnicu, nacrtajte ih na komad papira, jer će se ostatak lekcije primjera vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje može se formulirati ovako:

Transformirajmo funkciju:

Nalazimo izvod:

Preliminarna transformacija same funkcije uvelike je pojednostavila rješenje. Stoga, kada se za diferencijaciju predlaže sličan logaritam, uvijek ga je preporučljivo "raščlaniti".

A sada nekoliko jednostavnih primjera za neovisno rješenje:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori na kraju lekcije.

logaritamska derivacija

Ako je derivat logaritama tako slatka glazba, onda se postavlja pitanje je li moguće u nekim slučajevima umjetno organizirati logaritam? Limenka! Pa čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Slične primjere nedavno smo razmatrali. Što uraditi? Može se sukcesivno primijeniti pravilo diferenciranja kvocijenta, a zatim pravilo diferenciranja umnoška. Nedostatak ove metode je da dobijete ogromnu trokatnicu, s kojom se uopće ne želite baviti.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamska derivacija. Logaritmi se mogu organizirati umjetno tako da se "vjese" s obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, onda, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji nestaju kao rezultat diferencijacije. Međutim, prihvatljiv je i trenutni dizajn, gdje je prema zadanim postavkama kompleks vrijednosti. Ali ako uz svu strogost, onda je u oba slučaja potrebno rezervirati da.

Sada morate "razbiti" logaritam desne strane što je više moguće (formule pred vašim očima?). Opisat ću ovaj proces vrlo detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo potezom:

Izvedenica desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste se s njom s povjerenjem nositi.

Što je s lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, postoji li jedno slovo "y" ispod logaritma?".

Činjenica je da ovo "jedno slovo y" - JE FUNKCIJA ZA SEBE(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivacija implicitno navedene funkcije). Dakle, logaritam je vanjska funkcija, a "y" je unutarnja funkcija. I koristimo pravilo diferencijacije složene funkcije :

S lijeve strane, kao uz val čarobni štapić imamo izvedenicu. Nadalje, prema pravilu proporcije, bacamo "y" od nazivnika lijeve strane do vrha desne strane:

I sad se sjećamo o kakvoj smo "igri"-funkciji govorili prilikom razlikovanja? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer "uradi sam". Ogledni dizajn primjera ove vrste na kraju lekcije.

Uz pomoć logaritamske derivacije bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su funkcije tamo jednostavnije, a možda uporaba logaritamske derivacije nije baš opravdana.

Derivacija eksponencijalne funkcije

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija koja ima a stupanj i baza ovise o "x". Klasičan primjer koji će vam se dati u bilo kojem udžbeniku ili na bilo kojem predavanju:

Kako pronaći derivaciju eksponencijalne funkcije?

Potrebno je koristiti upravo razmatranu tehniku - logaritamsku derivaciju. Objesimo logaritme s obje strane:

U pravilu se stupanj vadi ispod logaritma s desne strane:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo umnožak dviju funkcija, koje ćemo razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivat, za to prilažemo oba dijela ispod poteza:

Sljedeći koraci su jednostavni:

Konačno:

Ako vam neka transformacija nije sasvim jasna, ponovno pažljivo pročitajte objašnjenja primjera 11.

U praktičnih zadataka eksponencijalna funkcija uvijek će biti kompliciranija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamsku derivaciju.

Na desnoj strani imamo konstantu i umnožak dva faktora - "x" i "logaritam logaritma od x" (još jedan logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Kod diferenciranja konstante, kako se sjećamo, bolje ju je odmah izvaditi iz predznaka izvoda da ne smeta; i, naravno, primijenite poznato pravilo :