Poznavajući jedan od krakova u pravokutnom trokutu, možete pronaći drugi krak i hipotenuzu pomoću trigonometrijskog odnosa - sinusa i tangente poznatog kuta. Budući da je omjer suprotnog kuta katete prema hipotenuzi jednak sinusu ovog kuta, stoga, da bi se pronašla hipotenuza, kateta se mora podijeliti sa sinusom kuta. a / c \u003d sin\u2061α c \u003d a / sin\u2061α
Drugi krak može se naći iz tangente poznatog kuta kao omjer poznatog kraka i tangente. a / b \u003d tan\u2061α b \u003d a / tan\u2061α
Da biste izračunali nepoznati kut u pravokutnom trokutu, odvedite vrijednost kuta α od 90 stupnjeva. β \u003d 90 ° -α
Opseg i površina pravokutni trokut kroz katetu i kut nasuprot njemu mogu se izraziti zamjenom prethodno dobivenih izraza za drugi krak i hipotenuzu u formule. P \u003d a + b + c \u003d a + a / tan\u2061α + a / sin\u2061α \u003d tan\u2061α sin\u2061α + a sin\u2061α + a tan\u2061α S \u003d ab / 2 \u003d a ^ 2 / ( 2 tan\u2061α)
Visinu možete izračunati i kroz trigonometrijske relacije, ali već u unutarnjem pravokutnom trokutu sa stranicom a koju on tvori. Da biste to učinili, potrebna vam je stranica a, kako pomnožiti hipotenuzu takvog trokuta s sinusom kuta β ili kosinusom α, budući da su prema trigonometrijskim identitetima ekvivalentni. (slika 79.2) h \u003d a cos\u2061α
Medijan hipotenuze je polovica hipotenuze ili poznatog kraka a, podijeljena s dva sinusa α. Da bismo pronašli medijane nogu, donosimo formule u odgovarajući oblik za poznate stranice i kutove. (Slika 79.3) m_s \u003d c / 2 \u003d a / (2 sin\u2061α) m_b \u003d √ (2a ^ 2 + 2c ^ 2-b ^ 2) / 2 \u003d √ (2a ^ 2 + 2a ^ 2 + 2b ^ 2-b ^ 2) / 2 \u003d √ (4a ^ 2 + b ^ 2) / 2 \u003d √ (4a ^ 2 + a ^ 2 / tan ^ 2\u2061α) / 2 \u003d (a√ (4 tan ^ 2\u2061 α + 1)) / (2 tan\u2061α) m_a \u003d √ (2c ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 \u003d √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 \u003d √ (4b ^ 2 + a ^ 2) / 2 \u003d √ (4b ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2) / 2 \u003d √ (3 a ^ 2 / tan ^ 2\u2061α + a ^ 2 / sin ^ 2\u2061α) / 2 \u003d √ ((3a ^ 2 sin ^ 2\u2061α + a ^ 2 tan ^ 2\u2061α) / (tan ^ 2\u2061α sin ^ 2\u2061α)) / 2 \u003d (a√ ( 3 sin ^ 2\u2061α + tan ^ 2\u2061α)) / (2 tan\u2061α sin\u2061α)
Budući da simetrala pravi kut u trokutu je umnožak dviju stranica i korijen dviju, podijeljen zbrojem tih stranica, a zatim zamjenjujući jedan od krakova omjerom poznatog kraka i tangente, dobit ćemo sljedeći izraz. Slično tome, zamjenjujući omjer u drugu i treću formulu, možete izračunati simetrale kutova α i β. (Slika 79.4) l_s \u003d (aa / tan\u2061α √2) / (a \u200b\u200b+ a / tan\u2061α) \u003d (a ^ 2 √2) / (a \u200b\u200btan\u2061α + a) \u003d (a√2) / (tan\u2061α + 1) l_a \u003d √ (bc (a + b + c) (b + ca)) / (b + c) \u003d √ (bc ((b + c) ^ 2-a ^ 2)) / (b + c) \u003d √ (bc (b ^ 2 + 2bc + c ^ 2-a ^ 2)) / (b + c) \u003d √ (bc (b ^ 2 + 2bc + b ^ 2)) / (b + c) \u003d √ (bc (2b ^ 2 + 2bc)) / (b + c) \u003d (b√ (2c (b + c))) / (b + c) \u003d (a / tan\u2061α √ (2c (a / tan\u2061α + c))) / (a \u200b\u200b/ tan\u2061α + c) \u003d (a√ (2c (a / tan\u2061α + c))) / (a \u200b\u200b+ c tan\u2061α) l_b \u003d √ (ac (a + b + c) (a + cb)) / (a \u200b\u200b+ c) \u003d (a√ (2c (a + c))) / (a \u200b\u200b+ c) \u003d (a√ (2c (a + a / sin\u2061α)))) / (a \u200b\u200b+ a / sin\u2061α) \u003d (a sin\u2061α √ (2c (a + a / sin\u2061α)))) / (a \u200b\u200bsin\u2061α + a)
Srednja crta prolazi paralelno s jednom stranicom trokuta, dok tvori drugi sličan pravokutni trokut s istim kutovima, u kojem su sve stranice upola manje od izvornika. Na temelju toga, srednje crte mogu se naći prema sljedećim formulama, poznavajući samo nogu i kut nasuprot njoj. (slika 79.7) M_a \u003d a / 2 M_b \u003d b / 2 \u003d a / (2 tan\u2061α) M_c \u003d c / 2 \u003d a / (2 sin\u2061α)
Polumjer upisane kružnice jednak je razlici između kateta i hipotenuze, podijeljene s dva, a da bismo pronašli polumjer opisane kružnice, hipotenuzu moramo podijeliti s dva. Zamjenjujemo drugi krak i hipotenuzu omjerom kraka a prema sinusu i tangenti. (sl. 79.5, 79.6) r \u003d (a + bc) / 2 \u003d (a + a / tan\u2061α -a / sin\u2061α) / 2 \u003d (tan\u2061α sin\u2061α + a sin\u2061α-a tan\u2061α) / (2 tan\u2061α sin\u2061α) R \u003d c / 2 \u003d a / 2sin\u2061α
Što je sinus, kosinus, tangenta, kotangens kuta, pomoći će razumjeti pravokutni trokut.
Kako se nazivaju stranice pravokutnog trokuta? Točno, hipotenuza i noge: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravom kutu (u našem primjeru ovo je \\ (AC \\) strana); noge su dvije preostale stranice \\ (AB \\) i \\ (BC \\) (one koje su susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir krakove u odnosu na kut \\ (BC \\), tada je noga \\ (AB \\) susjedna noga, a noga \\ (BC \\) - suprotna. Dakle, sada ćemo odgovoriti na pitanje: koji su sinus, kosinus, tangenta i kotangens kuta?
Sinusni kut Je li omjer suprotne (udaljene) noge prema hipotenuzi.
U našem trokutu:
\\ [\\ sin \\ beta \u003d \\ dfrac (BC) (AC) \\]
Kosinus kuta Je li omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.
U našem trokutu:
\\ [\\ cos \\ beta \u003d \\ dfrac (AB) (AC) \\]
Kutna tangenta Je li omjer suprotne (udaljene) noge prema susjednoj (bliskoj) nozi.
U našem trokutu:
\\ [tg \\ beta \u003d \\ dfrac (BC) (AB) \\]
Kutni kotangens Je li omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (udaljene) noge.
U našem trokutu:
\\ [ctg \\ beta \u003d \\ dfrac (AB) (BC) \\]
Te su definicije potrebne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate to jasno shvatiti u tangens i kotangense sjede samo noge, a hipotenuza se pojavljuje tek u sinus i kosinus... A onda možete smisliti lanac udruga. Na primjer, ovaj:
Cosine → dodir → dodir → susjedni;
Kotangens → dodir → dodir → susjedni.
Prije svega, morate upamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod jednim kutom). Nemoj vjerovati? Zatim provjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta \\ (\\ beta \\). Po definiciji iz trokuta \\ (ABC \\): \\ (\\ cos \\ beta \u003d \\ dfrac (AB) (AC) \u003d \\ dfrac (4) (6) \u003d \\ dfrac (2) (3) \\), ali možemo izračunati kosinus kuta \\ (\\ beta \\) i iz trokuta \\ (AHI \\): \\ (\\ cos \\ beta \u003d \\ dfrac (AH) (AI) \u003d \\ dfrac (6) (9) \u003d \\ dfrac (2) (3) \\)... Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangente i kotangense ovise isključivo o veličini kuta.
Ako ste shvatili definicije, samo naprijed i popravite ih!
Za trokut \\ (ABC \\), prikazan na donjoj slici, nalazimo \\ (\\ sin \\ \\ alfa, \\ \\ cos \\ \\ alfa, \\ tg \\ \\ alfa, \\ ctg \\ \\ alfa \\).
\\ (\\ započeti (niz) (l) \\ sin \\ \\ alpha \u003d \\ dfrac (4) (5) \u003d 0,8 \\\\\\ cos \\ \\ alpha \u003d \\ dfrac (3) (5) \u003d 0,6 \\\\ Pa, razumijete? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut \\ (\\ beta \\).
Odgovori:
\\ (\\ sin \\ \\ beta \u003d 0,6; \\ \\ cos \\ \\ beta \u003d 0,8; \\ tg \\ \\ beta \u003d 0,75; \\ ctg \\ \\ beta \u003d \\ dfrac (4) (3) \\) Jedinica (trigonometrijska) kružnica.
Razumijevajući pojmove stupnjeva i radijana, razmatrali smo kružnicu s radijusom jednakim \\ (1 \\). Takav se krug naziva
singl ... To vrlo dobro dođe prilikom učenja trigonometrije. Stoga, zaustavimo se na tome detaljnije.Kao što vidite, ovaj je krug izgrađen u kartezijanskom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice jednak je jedinici, dok središte kružnice leži na ishodištu, početni položaj vektora polumjera fiksiran je duž pozitivnog smjera osi \\ (x \\) (u našem primjeru to je radijus \\ (AB \\)).
{!LANG-6e812d8f3c316643357864af5bd22d61!}
Svaka točka kruga odgovara dvama brojevima: koordinata duž osi \\ (x \\) i koordinata duž osi \\ (y \\). A koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju s temom koja se razmatra? Da biste to učinili, morate se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut \\ (ACG \\). Pravokutna je jer je \\ (CG \\) okomita na os \\ (x \\).
Što je \\ (\\ cos \\ \\ alpha \\) iz trokuta \\ (ACG \\)? U redu \\ (\\ cos \\ \\ alfa \u003d \\ dfrac (AG) (AC) \\)... Uz to, znamo da je \\ (AC \\) polumjer jedinične kružnice, pa prema tome \\ (AC \u003d 1 \\). Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:
\\ (\\ cos \\ \\ alfa \u003d \\ dfrac (AG) (AC) \u003d \\ dfrac (AG) (1) \u003d AG \\).
Što je \\ (\\ sin \\ \\ alpha \\) iz trokuta \\ (ACG \\)? Pa naravno, \\ (\\ sin \\ alfa \u003d \\ dfrac (CG) (AC) \\)! Zamijenite vrijednost radijusa \\ (AC \\) u ovu formulu i dobijte:
\\ (\\ sin \\ alpha \u003d \\ dfrac (CG) (AC) \u003d \\ dfrac (CG) (1) \u003d CG \\)
Pa, možete li nam reći koje su koordinate točke \\ (C \\) koja pripada krugu? Pa, nema šanse? Što ako mislite da su \\ (\\ cos \\ \\ alpha \\) i \\ (\\ sin \\ alpha \\) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \\ (\\ cos \\ alpha \\)? Pa, naravno, koordinata \\ (x \\)! A kojoj koordinati odgovara \\ (\\ sin \\ alpha \\)? Tako je, koordiniraj \\ (y \\)! Dakle poanta \\ (C (x; y) \u003d C (\\ cos \\ alpha; \\ sin \\ alpha) \\).
A što su onda \\ (tg \\ alpha \\) i \\ (ctg \\ alpha \\)? Točno, koristit ćemo odgovarajuće definicije tangente i kotangense i dobiti to \\ (tg \\ alpha \u003d \\ dfrac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) \u003d \\ dfrac (y) (x) \\), i \\ (ctg \\ alpha \u003d \\ dfrac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) \u003d \\ dfrac (x) (y) \\).
Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:
Što se promijenilo u ovom primjeru? Shvatimo to. Da biste to učinili, opet se okrenite pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut \\ (((A) _ (1)) ((C) _ (1)) G \\): kut (kao susjedni kutu \\ (\\ beta \\)). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangente i kotangense za kut \\ (((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G \u003d 180 () ^ \\ circ - \\ beta \\ \\)? Točno, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
\\ (\\ početak (niz) (l) \\ sin \\ kut ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G \u003d \\ dfrac (((C) _ (1)) G) (( (A) _ (1)) ((C) _ (1))) \u003d \\ dfrac (((C) _ (1)) G) (1) \u003d ((C) _ (1)) G \u003d y; \\\\\\ cos \\ kut ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G \u003d \\ dfrac (((A) _ (1)) G) (((A) _ (1)) ((C) _ (1))) \u003d \\ dfrac (((A) _ (1)) G) (1) \u003d ((A) _ (1)) G \u003d x; \\\\ tg \\ kut ((C ) _ (1)) ((A) _ (1)) G \u003d \\ dfrac (((C) _ (1)) G) (((A) _ (1)) G) \u003d \\ dfrac (y) ( x); \\\\ ctg \\ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G \u003d \\ dfrac (((A) _ (1)) G) (((C) _ (1 )) G) \u003d \\ dfrac (x) (y) \\ kraj (niz) \\)
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta i dalje odgovara koordinati \\ (y \\); vrijednost kosinusa kuta - koordinata \\ (x \\); a vrijednosti tangente i kotangense odgovarajućim omjerima. Stoga se ti odnosi primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj vektora polumjera duž pozitivnog smjera osi \\ (x \\). Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što ako smo ga okrenuli u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, ispostavit će se i kut određene veličine, ali samo će on biti negativan. Dakle, kada zakrenete vektor radijusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobit ćete pozitivni kutovi, a kod rotacije u smjeru kazaljke na satu - negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija vektora polumjera u krugu \\ (360 () ^ \\ circ \\) ili \\ (2 \\ pi \\). Je li moguće rotirati vektor radijusa za \\ (390 () ^ \\ circ \\) ili za \\ (- 1140 () ^ \\ circ \\)? Naravno, možete! U prvom slučaju, \\ (390 () ^ \\ circ \u003d 360 () ^ \\ circ +30 () ^ \\ circ \\)tako će vektor polumjera napraviti jedan potpuni zaokret i zaustaviti se na položaju \\ (30 () ^ \\ circ \\) ili \\ (\\ dfrac (\\ pi) (6) \\).
U drugom slučaju, \\ (- 1140 () ^ \\ circ \u003d -360 () ^ \\ circ \\ cdot 3-60 () ^ \\ circ \\), to jest, vektor polumjera će napraviti tri potpuna okretaja i zaustaviti se na položaju \\ (- 60 () ^ \\ circ \\) ili \\ (- \\ dfrac (\\ pi) (3) \\).
Dakle, iz danih primjera možemo zaključiti da se kutovi koji se razlikuju za \\ (360 () ^ \\ circ \\ cdot m \\) ili \\ (2 \\ pi \\ cdot m \\) (gdje je \\ (m \\) bilo koji cijeli broj ) odgovaraju istom položaju vektora polumjera.
Donja slika prikazuje kut \\ (\\ beta \u003d -60 () ^ \\ circ \\). Ista slika odgovara kutu \\ (- 420 () ^ \\ circ, -780 () ^ \\ circ, \\ 300 () ^ \\ circ, 660 () ^ \\ circ \\) itd. Popis se nastavlja i nastavlja. Svi se ti kutovi mogu zapisati općom formulom \\ (\\ beta +360 () ^ \\ circ \\ cdot m \\) ili \\ (\\ beta +2 \\ pi \\ cdot m \\) (gdje je \\ (m \\) bilo koji cijeli broj)
\\ (\\ početak (niz) (l) -420 () ^ \\ circ \u003d -60 + 360 \\ cdot (-1); \\\\ - 780 () ^ \\ circ \u003d -60 + 360 \\ cdot (-2); \\\\ 300 () ^ \\ circ \u003d -60 + 360 \\ cdot 1; \\\\ 660 () ^ \\ circ \u003d -60 + 360 \\ cdot 2. \\ kraj (niz) \\)
Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinstvenu kružnicu, pokušajte odgovoriti čemu su vrijednosti jednake:
\\ (\\ start (niz) (l) \\ sin \\ 90 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ cos \\ 90 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ text (tg) \\ 90 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ text (ctg) \\ 90 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ sin \\ 180 () ^ \\ circ \u003d \\ sin \\ \\ pi \u003d? \\\\\\ cos \\ 180 () ^ \\ circ \u003d \\ cos \\ \\ pi \u003d? \\\\\\ sin \\ 270 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ cos \\ 270 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ text (tg) \\ 270 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ text (ctg) \\ 270 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ sin \\ 360 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ cos \\ 360 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ text (tg) \\ 360 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ text (ctg) \\ 360 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ sin \\ 450 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ cos \\ 450 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ text (tg) \\ 450 () ^ \\ circ \u003d? \\\\\\ tekst (ctg) \\ 450 () ^ \\ circ \u003d? \\ kraj (niz) \\)
Evo jedinstvenog kruga koji će vam pomoći:
Imate poteškoća? Onda shvatimo. Dakle, to znamo:
\\ (\\ početak (niz) (l) \\ sin \\ alpha \u003d y; \\\\ cos \\ alpha \u003d x; \\\\ tg \\ alpha \u003d \\ dfrac (y) (x); \\\\ ctg \\ alpha \u003d \\ dfrac (x ) (y). \\ kraj (niz) \\)
Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, krenimo redom: kut u \\ (90 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (\\ pi) (2) \\) odgovara točki s koordinatama \\ (\\ lijevo (0; 1 \\ desno) \\), dakle:
\\ (\\ sin 90 () ^ \\ circ \u003d y \u003d 1 \\);
\\ (\\ cos 90 () ^ \\ circ \u003d x \u003d 0 \\);
\\ (\\ text (tg) \\ 90 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (y) (x) \u003d \\ dfrac (1) (0) \\ Desna strelica \\ text (tg) \\ 90 () ^ \\ circ \\) - ne postoji;
\\ (\\ text (ctg) \\ 90 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (x) (y) \u003d \\ dfrac (0) (1) \u003d 0 \\).
Dalje, držeći se iste logike, doznajemo da su uglovi u \\ (180 () ^ \\ circ, \\ 270 () ^ \\ circ, \\ 360 () ^ \\ circ, \\ 450 () ^ \\ circ (\u003d 360 () ^ \\ circ +90 () ^ \\ circ) \\ \\ odgovaraju točkama s koordinatama \\ (\\ lijevo (-1; 0 \\ desno), \\ text () \\ lijevo (0; -1 \\ desno), \\ text () \\ lijevo (1; 0 \\ desno), \\ text () \\ lijevo (0 ; 1 \\ desno) \\) , odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.Odgovori:
\\ (\\ displaystyle \\ sin \\ 180 () ^ \\ circ \u003d \\ sin \\ \\ pi \u003d 0 \\)
\\ (\\ displaystyle \\ cos \\ 180 () ^ \\ circ \u003d \\ cos \\ \\ pi \u003d -1 \\)
\\ (\\ text (tg) \\ 180 () ^ \\ circ \u003d \\ text (tg) \\ \\ pi \u003d \\ dfrac (0) (- 1) \u003d 0 \\)
\\ (\\ text (ctg) \\ 180 () ^ \\ circ \u003d \\ text (ctg) \\ \\ pi \u003d \\ dfrac (-1) (0) \\ Rightarrow \\ text (ctg) \\ \\ pi \\)
- ne postoji \\ (\\ sin \\ 270 () ^ \\ circ \u003d -1 \\)
\\ (\\ cos \\ 270 () ^ \\ circ \u003d 0 \\)
\\ (\\ text (tg) \\ 270 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (-1) (0) \\ Rightarrow \\ text (tg) \\ 270 () ^ \\ circ \\)
\\ (\\ text (ctg) \\ 270 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (0) (- 1) \u003d 0 \\) \\ (\\ sin \\ 270 () ^ \\ circ \u003d -1 \\)
\\ (\\ sin \\ 360 () ^ \\ circ \u003d 0 \\)
\\ (\\ cos \\ 360 () ^ \\ circ \u003d 1 \\)
\\ (\\ text (tg) \\ 360 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (0) (1) \u003d 0 \\)
\\ (\\ text (ctg) \\ 360 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (1) (0) \\ Desna strelica \\ text (ctg) \\ 2 \\ pi \\)
{!LANG-71b1646029f486b9def4ea278db73daa!} \\ (\\ sin \\ 270 () ^ \\ circ \u003d -1 \\)
\\ (\\ sin \\ 450 () ^ \\ circ \u003d \\ sin \\ \\ lijevo (360 () ^ \\ circ +90 () ^ \\ circ \\ desno) \u003d \\ sin \\ 90 () ^ \\ circ \u003d 1 \\)
\\ (\\ cos \\ 450 () ^ \\ circ \u003d \\ cos \\ \\ lijevo (360 () ^ \\ circ +90 () ^ \\ circ \\ desno) \u003d \\ cos \\ 90 () ^ \\ circ \u003d 0 \\)
\\ (\\ text (tg) \\ 450 () ^ \\ circ \u003d \\ text (tg) \\ \\ lijevo (360 () ^ \\ circ +90 () ^ \\ circ \\ right) \u003d \\ text (tg) \\ 90 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (1) (0) \\ Rightarrow \\ text (tg) \\ 450 () ^ \\ circ \\) \\ (\\ sin \\ 270 () ^ \\ circ \u003d -1 \\)
\\ (\\ text (ctg) \\ 450 () ^ \\ circ \u003d \\ text (ctg) \\ lijevo (360 () ^ \\ circ +90 () ^ \\ circ \\ desno) \u003d \\ text (ctg) \\ 90 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (0) (1) \u003d 0 \\).
Tako možemo sastaviti sljedeću tablicu:
Nije potrebno pamtiti sve ove vrijednosti. Dovoljno je upamtiti korespondenciju koordinata točaka na jediničnoj kružnici i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
\\ (\\ lijevo. \\ početak (niz) (l) \\ sin \\ alpha \u003d y; \\\\ cos \\ alpha \u003d x; \\\\ tg \\ alpha \u003d \\ dfrac (y) (x); \\\\ ctg \\ alpha \u003d \\ Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova na i \) !}
\\ (30 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (\\ pi) (6), \\ 45 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (\\ pi) (4) \\) dati u donjoj tablici, morate zapamtiti:Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:
Da biste koristili ovu metodu, vitalno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (
\\ (30 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (\\ pi) (6), \\ 45 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (\\ pi) (4), \\ 60 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (\\ pi ) (3) \\) ), kao i vrijednost tangente kuta u \\ (30 () ^ \\ circ \\). Poznavajući ove \\ (4 \\) vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu u cjelini - kosinusne vrijednosti prenose se u skladu sa strelicama, to jest:\\ (\\ početak (niz) (l) \\ sin 30 () ^ \\ circ \u003d \\ cos \\ 60 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (1) (2) \\ \\ \\\\\\ sin 45 () ^ \\ circ \u003d \\ cos \\ 45 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\\\\\ sin 60 () ^ \\ circ \u003d \\ cos \\ 30 () ^ \\ circ \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (3 )) (2) \\ \\ kraj (niz) \\)
\\ (\\ text (tg) \\ 30 () ^ \\ circ \\ \u003d \\ dfrac (1) (\\ sqrt (3)) \\)
, znajući to, možete vratiti vrijednosti za\\ (\\ text (tg) \\ 45 () ^ \\ circ, \\ text (tg) \\ 60 () ^ \\ circ \\) ... Brojnik "\\ (1 \\)" odgovarat će \\ (\\ text (tg) \\ 45 () ^ \\ circ \\ \\), a nazivnik "\\ (\\ sqrt (\\ text (3)) \\)" \\ (\\ text (tg) \\ 60 () ^ \\ circ \\ \\). Vrijednosti kotangensa prenose se prema strelicama prikazanim na slici. Ako to razumijete i sjetite se dijagrama sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \\ (4 \\) vrijednosti iz tablice.Usmjerite koordinate na kružnicu
Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate središta kruga, njegov radijus i kut rotacije? Pa, naravno da možete! Izvedimo opću formulu za pronalaženje koordinata točke. Evo, na primjer, imamo takav krug:
{!LANG-c582290d1431c646e606b0e07b97d5a6!}
Dana nam je ta točka \\ (K (((x) _ (0)); ((y) _ (0))) \u003d K (3; 2) \\) je središte kruga. Polumjer kružnice je \\ (1,5 \\). Potrebno je pronaći koordinate točke \\ (P \\) dobivene okretanjem točke \\ (O \\) za \\ (\\ delta \\) stupnjeva.
Kao što možete vidjeti sa slike, koordinata \\ (x \\) točke \\ (P \\) odgovara duljini segmenta \\ (TP \u003d UQ \u003d UK + KQ \\). Duljina segmenta \\ (UK \\) odgovara koordinati \\ (x \\) središta kružnice, odnosno jednaka je \\ (3 \\). Duljina segmenta \\ (KQ \\) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:
\\ (\\ cos \\ \\ delta \u003d \\ dfrac (KQ) (KP) \u003d \\ dfrac (KQ) (r) \\ Desna strelica KQ \u003d r \\ cdot \\ cos \\ \\ delta \\).
Tada imamo da je za točku \\ (P \\) koordinata \\ (x \u003d ((x) _ (0)) + r \\ cdot \\ cos \\ \\ delta \u003d 3 + 1,5 \\ cdot \\ cos \\ \\ delta \\).
Koristeći istu logiku, pronalazimo vrijednost y koordinate za točku \\ (P \\). Na ovaj način,
\\ (y \u003d ((y) _ (0)) + r \\ cdot \\ sin \\ \\ delta \u003d 2 + 1,5 \\ cdot \\ sin \\ delta \\).
Dakle, općenito, koordinate točaka određuju se formulama:
\\ (\\ započinje (niz) (l) x \u003d ((x) _ (0)) + r \\ cdot \\ cos \\ \\ delta \\\\ y \u003d ((y) _ (0)) + r \\ cdot \\ sin \\ gdje\\ (((x) _ (0)), ((y) _ (0)) \\) - koordinate središta kruga,
\\ (r \\) - polumjer kruga,
\\ (\\ delta \\) - kut rotacije radijusa vektora.
Kao što vidite, za jediničnu kružnicu koju razmatramo, ove formule su značajno smanjene, jer su koordinate središta jednake nuli, a polumjer jednak:
\\ (\\ početak (niz) (l) x \u003d ((x) _ (0)) + r \\ cdot \\ cos \\ \\ delta \u003d 0 + 1 \\ cdot \\ cos \\ \\ delta \u003d \\ cos \\ \\ delta \\\\ y \u003d ((y) _ (0)) + r \\ cdot \\ sin \\ \\ delta \u003d 0 + 1 \\ cdot \\ sin \\ \\ delta \u003d \\ sin \\ \\ delta \\ kraj (niz) \\)
Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.
Za izračun morate omogućiti ActiveX kontrole!Studij trigonometrije započet ćemo pravokutnim trokutom. Odredimo što su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangens oštrog kuta. To su osnove trigonometrije.
Sjetite se toga
pravi kut je kut jednak. Drugim riječima, pola spljoštenog kuta. Oštri kut
- manja. Tup kut
- veći. Kad se primijeni na takav kut, "nijemi" nije uvreda, već matematički pojam :-) Nacrtajmo pravokutni trokut. Obično je naznačen pravi kut. Imajte na umu da je strana nasuprot kutu označena istim slovom, samo malim. Dakle, naznačena je strana nasuprot kutu.
Kut je označen odgovarajućim grčkim slovom.
Hipotenuza
pravokutni trokut je stranica nasuprot pravom kutu. Noge
- strane koje leže nasuprot oštrim uglovima.Nazvana je noga nasuprot kutu
suprotstavljajući se {!LANG-ea899de1714f17a3db104ec7f5a97b94!} (u odnosu na kut). Pozvana je druga noga koja leži na jednoj strani ugla susjedni.
Sinus oštri kut u pravokutnom trokutu omjer je suprotne katete prema hipotenuzi:
Kosinus oštri kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne katete i hipotenuze:
Tangens oštri kut u pravokutnom trokutu omjer je suprotne katete prema susjednoj:
Druga (ekvivalentna) definicija: tangenta oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:
Kotangens oštri kut u pravokutnom trokutu odnos je susjedne noge prema suprotnoj (ili, što je isto, omjer kosinusa i sinusa)
U nastavku pogledajte osnovne odnose za sinus, kosinus, tangentu i kotangens. Bit će nam korisni pri rješavanju problema.
Dokažimo neke od njih.
1. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta je. Stoga, zbroj dvaju oštrih kutova pravokutnog trokuta je .
2. S jedne strane, kao omjer suprotne noge prema hipotenuzi. S druge strane, jer će za kut noge biti susjedne.
Shvatili smo. Drugim riječima, .
3. Uzmimo Pitagorin teorem :. Podijelimo oba dijela na:
Dobili smo osnovni trigonometrijski identitet:
Dakle, poznavajući sinus kuta, možemo pronaći njegov kosinus i obrnuto.
4. Podijelivši obje strane osnovnog trigonometrijskog identiteta po, dobivamo:
To znači da ako dobijemo tangentu oštrog kuta, možemo odmah pronaći njegov kosinus.
Slično tome,
U redu, definirali smo i zapisali formule. A čemu služe sinus, kosinus, tangenta i kotangens?
Mi to znamo zbroj kutova bilo kojeg trokuta je.
Znamo vezu između stranke pravokutni trokut. Ovo je pitagorejski teorem :.
Ispada da poznavajući dva kuta u trokutu možete pronaći i treći. Poznavajući dvije stranice u pravokutnom trokutu, možete pronaći treću. To znači da je za uglove - vlastiti omjer, za bočne strane - vlastiti. Ali što ako je u pravokutnom trokutu poznat jedan kut (osim pravog) i jedna strana, ali trebate pronaći druge stranice?
Ljudi su se s tim suočavali u prošlosti, praveći karte područja i zvjezdanog neba. Napokon, nije uvijek moguće izravno izmjeriti sve stranice trokuta.
Sinus, kosinus i tangenta - oni se također nazivaju trigonometrijske funkcije kuta - dati odnos između stranke i uglovi trokut. Poznavajući kut, pomoću posebnih tablica možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije. A znajući sinuse, kosinuse i tangente kutova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostalo.
Također ćemo izvući tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa za "dobre" kutove od do.
Zabilježite dvije crvene crtice u tablici. Tangenta i kotangens ne postoje za odgovarajuće kutove.
Analizirajmo nekoliko zadataka trigonometrije iz FIPI banke poslova.
1. U trokutu je kut ,. Pronaći.
Problem je riješen u četiri sekunde.
Budući da imamo :.
2. U trokutu je kut ,,. Pronaći. , je jednako polovica hipotenuze.
Trokut s uglovima i jednakokračan je. U njemu je hipotenuza puta veća od noge.
U životu se često moramo nositi s matematičkim problemima: u školi, na sveučilištu, a zatim pomažemo djetetu u provedbi domaća zadaća... Ljudi u određenim profesijama svakodnevno će biti izloženi matematici. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti se matematičkih pravila. U ovom ćemo članku analizirati jedan od njih: pronalazak kraka pravokutnog trokuta.
Što je pravokutni trokut
Za početak sjetimo se što je pravokutni trokut. Pravokutni trokut je geometrijska figura od tri segmenta crta koji povezuju točke koje ne leže na jednoj ravnoj crti, a jedan od kutova ove slike iznosi 90 stupnjeva. Stranice koje tvore pravi kut nazivaju se nogama, a strana koja leži nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuza.
Pronađite krak pravokutnog trokuta
Postoji nekoliko načina kako saznati duljinu noge. Htio bih ih detaljnije razmotriti.
Pitagorin teorem o pronalaženju kraka pravokutnog trokuta
Ako znamo hipotenuzu i katetu, tada možemo pronaći duljinu nepoznate katete koristeći Pitagorin teorem. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata nogu." Formula: c² \u003d a² + b², gdje je c hipotenuza, a i b su noge. Transformiramo formulu i dobivamo: a² \u003d c²-b².
Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a noga 3 cm. Pretvaramo formulu: c² \u003d a² + b² → a² \u003d c²-b². Tada odlučujemo: a² \u003d 5²-3²; a² \u003d 25-9; a² \u003d 16; a \u003d ~ 16; a \u003d 4 (cm).
Trigonometrijski omjeri za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta
Također možete pronaći nepoznati krak ako su poznate bilo koja druga stranica i bilo koji oštri kut pravokutnog trokuta. Postoje četiri mogućnosti za pronalaženje noge pomoću trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, kotangens. Tablica u nastavku pomoći će nam u rješavanju problema. Razmotrimo ove mogućnosti.
Nađite krak pravokutnog trokuta pomoću sinusa
Sinus kuta (sin) odnos je suprotne katete prema hipotenuzi. Formula: sin \u003d a / c, gdje je a kateta nasuprot zadanom kutu, a c hipotenuza. Dalje transformiramo formulu i dobivamo: a \u003d sin * c.
Primjer. Hipotenuza je 10 cm, kut A 30 stupnjeva. Prema tablici izračunavamo sinus kuta A, on je 1/2. Tada pomoću transformirane formule rješavamo: a \u003d sin \u003dA * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (cm).
Nađite krak pravokutnog trokuta pomoću kosinusa
Kosinus kuta (cos) odnos je susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos \u003d b / c, gdje je b kateta uz zadani kut, a c hipotenuza. Pretvorimo formulu i dobijemo: b \u003d cos * c.
Primjer. Kut A je 60 stupnjeva, hipotenuza je 10 cm. Prema tablici izračunavamo kosinus kuta A, on je 1/2. Tada odlučujemo: b \u003d cos∠A * c; b \u003d 1/2 * 10, b \u003d 5 (cm).
Pronađi krak pravokutnog trokuta pomoću tangente
Tangenta kuta (tg) je omjer suprotnog kraka i susjednog kraka. Formula: tg \u003d a / b, gdje je a noga nasuprot uglu, a b je susjedna. Transformiramo formulu i dobivamo: a \u003d tg * b.
Primjer. Kut A je 45 stupnjeva, hipotenuza je 10 cm. Prema tablici izračunavamo tangentu kuta A, jednak je Riješi: a \u003d tg∠A * b; a \u003d 1 * 10; a \u003d 10 (cm).
Nađite krak pravokutnog trokuta pomoću kotangensa
Kotangens kuta (ctg) je omjer susjedne noge i suprotne noge. Formula: ctg \u003d b / a, gdje je b noga uz kut, a suprotna noga. Drugim riječima, kotangens je "obrnuta tangenta". Dobivamo: b \u003d ctg * a.
Primjer. Kut A je 30 stupnjeva, nasuprotni krak 5 cm. Prema tablici, tangenta kuta A je √3. Izračunavamo: b \u003d ctg∠A * a; b \u003d √3 * 5; b \u003d 5√3 (cm).
Dakle, sada znate kako pronaći nogu u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, ovo nije tako teško, glavno je zapamtiti formule.
Poziva se omjer suprotne noge prema hipotenuzi sinusni akutni kut pravokutni trokut.
\\ sin \\ alfa \u003d \\ frak (a) (c)
Kosinus akutnog kuta pravokutnog trokuta
Zove se omjer obližnje noge prema hipotenuzi kosinus oštrog kuta pravokutni trokut.
\\ cos \\ alpha \u003d \\ frac (b) (c)
Akutna tangenta pravokutnog trokuta
Poziva se odnos suprotne noge prema susjednoj nozi tangenta oštrog kuta pravokutni trokut.
tg \\ alpha \u003d \\ frac (a) (b)
Kotangens oštrog kuta pravokutnog trokuta
Poziva se omjer susjedne noge i suprotne noge kotangens oštrog kuta pravokutni trokut.
ctg \\ alpha \u003d \\ frac (b) (a)
Sinus proizvoljnog kuta
Poziva se ordinata točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \\ alpha sinus proizvoljnog kuta rotacija \\ alfa.
\\ sin \\ alfa \u003d y
Kosinus proizvoljnog kuta
Poziva se apscisa točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \\ alpha kosinus proizvoljnog kuta rotacija \\ alfa.
\\ cos \\ alpha \u003d x
Dovoljna tangenta kuta
Pozvan je omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \\ alfa i njegovog kosinusa tangenta proizvoljnog kuta rotacija \\ alfa.
tg \\ alpha \u003d y_ (A)
tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)
Kotangens proizvoljnog kuta
Nazvan je omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \\ alfa i njegovog sinusa proizvoljni kotangens kuta rotacija \\ alfa.
ctg \\ alpha \u003d x_ (A)
ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)
Primjer pronalaska proizvoljnog kuta
Ako je \\ alpha neki kut AOM, gdje je M točka jedinične kružnice, tada
\\ sin \\ alfa \u003d y_ (M), \\ cos \\ alfa \u003d x_ (M), tg \\ alpha \u003d \\ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \\ alpha \u003d \\ frac (x_ (M)) (y_ (M)).
Na primjer, ako \\ kut AOM \u003d - \\ frac (\\ pi) (4), tada: ordinata točke M je - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2), apscisa je \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) i zato
\\ sin \\ lijevo (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ desno) \u003d - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);
\\ cos \\ lijevo (\\ frac (\\ pi) (4) \\ desno) \u003d \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);
tg;
ctg \\ lijevo (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ desno) \u003d - 1.
Tablica sinusnih vrijednosti kosinusa tangenata kotangensa
Vrijednosti glavnih zajedničkih kutova date su u tablici:
| 0 ^ (\\ circ) (0) | 30 ^ (\\ circ) \\ lijevo (\\ frac (\\ pi) (6) \\ desno) | 45 ^ (\\ circ) \\ lijevo (\\ frac (\\ pi) (4) \\ desno) | 60 ^ (\\ circ) \\ lijevo (\\ frac (\\ pi) (3) \\ desno) | 90 ^ (\\ circ) \\ lijevo (\\ frac (\\ pi) (2) \\ desno) | 180 ^ (\\ circ) \\ lijevo (\\ pi \\ desno) | 270 ^ (\\ circ) \\ lijevo (\\ frac (3 \\ pi) (2) \\ desno) | 360 ^ (\\ circ) \\ lijevo (2 \\ pi \\ desno) | |
| \\ sin \\ alfa | 0 | \\ frac12 | \\ frac (\\ sqrt 2) (2) | \\ frac (\\ sqrt 3) (2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \\ cos \\ alfa | 1 | \\ frac (\\ sqrt 3) (2) | \\ frac (\\ sqrt 2) (2) | \\ frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg \\ alfa | 0 | \\ frac (\\ sqrt 3) (3) | 1 | \\ sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg \\ alfa | — | \\ sqrt3 | 1 | \\ frac (\\ sqrt 3) (3) | 0 | — | 0 | — |
