GEOMETRIJA
Apstraktni planovi za 10 razreda
Lekcija 56.
Tema. Područje ortogonalne projekcije poligona
Svrha lekcije: proučavanje teorema na području ortogonalne projekcije poligona, formiranje vještina učenika za primjenu naučenog teorema za rješavanje problema.
Oprema: stereometrijski set, model kocke.
Tijekom nastave
I. Provjera domaće zadaće
1. Dva studenta reproducira rješenja za zadatke br. 42, 45 na ploči.
2. Prednji razgovor.
1) dati definiciju kuta između dva ravnina koja se sijeku.
2) Koji je kut između:
a) paralelne ravnine;
b) okomita ravnina?
3) U kojim granicama može promijeniti kut između dva ravnina?
4) Je li istina da je zrakoplov koji presijeca paralelni ravnini prelazi ih na istim kutovima?
5) Je li istina da je avion koji prelazi okomitu ravninu prelazi ih na istim kutovima?
3. Provjera ispravnosti problema zadataka br. 42, 45, koji su rekreantirali studente na ploči.
Ii. Percepcija i svijest o novom materijalu
Studenti zadataka
1. Dokazati da je područje projekcije trokuta, u kojoj je jedna strana u ravnini projekcije, jednaka je proizvodu njegovog područja na kosinuz kuta između ravnine poligona i ravnine projekcije.
2. Dokazati teoremu za slučaj kada je rešetka trokuta, u kojoj je jedna strana paralelna s ravninom projekcija.
3. Dokazati teoremu za slučaj kada je rešetka trokuta, u kojoj nijedna od stranaka nije paralelna s ravninom projekcija.
4. Dokazati teoremu za bilo koji poligon.
Rješavanje zadataka
1. Pronađite područje ortogonalne projekcije poligona, čije područje je 50 cm2, a kut između ravnine poligona i njezina projekcija je 60 °.
2. Pronađite područje poligona ako je područje ortogonalne projekcije ovog poligona je 50 cm2, a kut između ravnine poligona i njegove projekcije je 45 °.
3. Područje poligona je 64 cm2, a ortogonalna projekcijsko područje je 32 cm2. Pronađite kut između ravnina poligona i njezine projekcije.
4. Ili je možda ortogonalna projekcijsko područje poligona jednaka području ovog poligona?
5. Rub kocke je jednak a. Pronađite poprečni dio kocke s ravninom koji prolazi kroz vrh baze pod kutom od 30 ° do ove baze i prelazi sva bočna rebra. (Odgovor.)
6. Zadatak br. 48 (1, 3) iz udžbenika (str. 58).
7. Zadatak br. 49 (2) iz udžbenika (str. 58).
8. Strane pravokutnika su jednake 20 i 25 cm. Njegova projekcija na ravnini je slična njega. Pronađite projekcije perimetra. (Odgovor. 72 cm ili 90 cm.)
Iii. Domaća zadaća
§4, str. 34; Kontrolno pitanje br. 17; Zadaci # 48 (2), 49 (1) (str. 58).
Iv. Summiranje lekcije
Pitanje u razredu
1) formulirati teoremu na području ortogonalne projekcije poligona.
2) Može li područje ortogonalne projekcije poligona biti veće od područja poligona?
3) kroz anti-hipoten pravokutni trokut ABC je proveden s ravninom α pod kutom od 45 ° u ravnini trokuta i okomito do ravnine α. AC \u003d 3 cm, sunce \u003d 4 cm. Navedite koja je od gore navedenih tvrdnji ispravna i što je pogrešno:
a) kut između zrakoplova ABC i α jednaka kutu Smo, gdje je točka n baza visine cm trokut abc;
b) CO \u003d 2,4 cm;
c) trokut AUP-a je ortogonalna projekcija ABC trokuta na ravnini α;
d) Područje trokuta AOS je 3 cm2.
(Odgovor. A) Pravilno; b) pogrešno; c) netočan; d) pravo.)
Podsjetimo da se kut između ravnog i ravnine naziva kut između izravnog i njezine projekcije na ravnini (Sl. 164).
Teorema. Područje ortogonalne projekcije poligona do ravnine jednaka je području dizajniranog poligona, pomnoženog u kosinu kuta koji je nastao poligon ravninom i ravninom projekcije.
Svaki poligon može se podijeliti na trokute, a zbroj kvadrata je jednaka površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teoremu za trokut.
Let (Delta) ABC je dizajniran za zrakoplov r, Razmotrite dva slučaja:
a) jedna od stranaka (delta) abc paralelno s ravninom r;
b) Nitko od stranaka (delta) ABS nije paralelna r.
Smatrati prvi slučaj: Neka [av] || r.
Probijte (ab) ravnina r 1 || R i dizajnirat ćemo ortogonal (delta) ABC r 1 i B. r (Sl. 165); Dobivamo (Delta) ABC 1 i (delta) '.
Vlasništvo projekcije, imamo (delta) ABC 1 (cong) (cong)
S \\ _ (Delta) abc1 \u003d s (delta)
Provodimo ⊥ i segment d 1 c 1. Zatim ⊥, (boli (CD_ (1) C_ (1))) \u003d φ je vrijednost kuta između ravnine (delta) i ravnine r jedan . stoga
S (delta) abc1 \u003d 1/2 | ab | | C 1 D 1 | \u003d 1/2 | av | | CD 1 | Cos φ \u003d s (delta) abc cos φ
i, dakle, s (delta) a'b'c '\u003d s (delta) abc cos φ.
Okrenimo se razmatranju drugi slučaj, Provodimo avion r 1 || r kroz taj vrhunac (delta) ABC, udaljenost od kojih do aviona r Najmanji (neka bude Vertex a).
Mi dizajn (delta) ABC u ravnini r 1 I. r (Sl. 166); Neka njegove projekcije budu respektivno (delta) ab 1 c 1 i (delta).
Neka (Sunce) \\ t p. 1 \u003d D. Zatim
S (\\ t) a'b'c '\u003d s (delta) ab1 c1 \u003d s (delta) ADC1 - S (delta) ADB1 \u003d (S (delta) ADC - S (Delta \\ t) cos φ \u003d s (delta) abc cos φ
Zadatak. Kroz osnovnu stranu ispravnog trokutastog prizma, ravnina je provedena pod kutom φ \u003d 30 ° u ravninu njegove baze. Pronađite područje generiranog odjeljka ako je baza temelj prizma i \u003d 6 cm.
Pokazat ću poprečni presjek ove prizme (sl. 167). Budući da je prizma točna, njegova bočna rebra su okomita na temeljnu ravninu. Dakle, (delta) ABC je projekcija (delta) ADC, tako da
$$ s _ (delta adc) \u003d frac (s _ (delta abc)) (cosfi) \u003d frac (cDot A \\ sqrt3) (4Cosfi) $$
ili
$$ s _ (delta adc) \u003d frac (6 cDot 6 cDot sqrt3) (4 cDot frac (sqrt3) (2)) \u003d 18 (cm ^ 2) $$
Razmotrit ću pitanje formule projekcija lica pravokutnog tetrahedrona. Prethodno razmotriti ortogonalni dizajn segmenta koji leži u ravnini α, dodjeljivanje dva slučaja mjesta ovog segmenta u odnosu na izravnu L \u003d α∩∩π.
Slučaj 1.
Ab∥l (Sl. 8). Rezati 1 B 1, koji je ortogonalna projekcija AB segmenta, jednaka je paralelnoj segmentu AV.
Sl. 8
Slučaj 2.
Cd⊥l (Sl. 8). Prema trima okomitoj teoremi, izravna C1D1 D1, koja je ortogonalna projekcija izravnog CD-a, također je okomita na izravnu L. Prema tome, ∠CEC 1 je kut između ravnine α i ravnine projekcija π, tj. Gdje C 0 d \u003d c 1 d 1, Dakle | c 1 d 1 | \u003d | CD | ∙ cosφ
Sada razmotrite pitanje ortogonalnog dizajna trokuta.
Područje ortogonalne projekcije trokuta na ravnini jednak je području projiciranog trokuta, pomnožen s kosinom kuta između ravnine trokuta i ravnine izbočina.
Dokaz.Područje trokuta. Prema trima okomitoj teoremu, ravna linija B1H1 je ortogonalna projekcija izravnog VN - okomita na izravnu L, dakle, segment od 1 h 1 je visina trokuta A 1 B1C1. Stoga. Tako, .
a) Neka jedna od stranaka, kao što je AC, projicirani ABC trokut paralelno s izravnim L \u003d α∩π (sl. 9) ili leži na njemu.
Tada je njegova visina VV okomita na ravnu liniju L, a područje je jednako, to jest,
Sl. 9
b) Nitko od stranaka projiciranog ABC trokuta je paralelno s izravnim L (sl. 10). Provoditi kroz svaki vrhunski trokut ravno, paralelno izravno l. Jedna od tih linija leži između dvaju drugih (na slici - to je ravan m), i stoga razbija abc trokut na ABD i ACD trokutu s visina, odnosno, VN i HZZ provedeno u njihov zajednički oglas (ili njegov nastavak), koji je paralelan l. Direct M 1 je ortogonalna projekcija izravnog m - također razbija trokut A 1 do 1 C1 - ortogonal projekcija ABC trokuta - na trokutima A 1 B 1 D 1 i A1C1D1, gdje. Uzimajući u obzir (9) i (10), dobivam
Nedavno, u zadatku C2, postoje zadaci u kojima je potrebno izgraditi poprečni presjek poliedrona s ravninom i pronaći njegovo područje. Taj se zadatak predlaže u demoralizmu. Često je prikladno pronaći područje poprečnog presjeka kroz područje njegove ortogonalne projekcije. Prezentacija daje formulu za takvu odluku i detaljna analiza Zadatke koji su popraćeni nizom crteža.
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Da biste uživali u pregledno prezentacijama, kreirajte se na račun (račun) i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Potpisi za slajdove:
Priprema za ispit - 2014. u matematici. Pronalaženje područja presjeka kroz područje njegove ortogonalne projekcije. Zadatak C2 Matematika Učitelj MBOU Šosh br. 143 Krasnoyarsk Knyazkina T. V.
Razmotrite rješenje takvog zadatka: u pravokutnom paraleliped ,. Paraleplepipirani poprečni presjek prolazi kroz točke B i D i oblikuje kut s ABC ravninom. Pronađite presjek. Chors ASTO može prikladno pronaći područje poprečnog presjeka kroz područje njegove ortogonalne projekcije. Pronalaženje područja trokuta kroz područje ortogonalne projekcije lako je ilustrirano na takvoj slici:
CH- Visina trokuta ABC-a je visina trokuta ABC-a, koja je ortogonalna projekcija trokuta ABC-a. Od CHC pravokutnog trokuta ": područje ABC trokuta je jednak području ABC trokuta je opada, a ABC trokut područje je jednak ABC trokutu kvadratu kut kosinusa između ABC trokutnih zrakoplova i ABC trokuta, koji je ortogonalna projekcija ABC trokuta.
Budući da se područje bilo kojeg poligona može biti zastupljeno kao zbroj područja trokuta, područje poligona jednaka je području njegove ortogonalne projekcije na ravnini podijeljenoj na kosinus pod kutom između poligona ravnine i njezina projekcija. Koristimo tu činjenicu da riješimo naš problem (vidi slide 2) plan rješenja: a) gradimo dio. B) nalazimo njegovu ortogonalnu projekciju na temeljnoj ravnini. C) nalazimo ortogonalno projekcijsko područje. D) Pronađite poprečni presjek.
1. Prvo, moramo izgraditi ovaj odjeljak. Očito, BD segment pripada ravnini poprečnog presjeka i osnovnoj ravnini, odnosno pripada linijama raskrižja na ravnini:
Kut između dva ravnina je kut između dvije okomice, koji se provode na sjecištu ravnina i leže u tim ravninama. Neka točka o - točka raskrižja baznih dijagonala. OC - \u200b\u200bokomito na presjek ravnine, koji leži u osnovnoj ravnini:
2. Odredite položaj okomice, koji leži u ravnini poprečnog presjeka. (Zapamtite da ako je izravno okomito na projekciju tako sklonim, onda je okomito na najizbirljiviju kosu. Tražimo koso na svojoj projekciji (OC) i kutu između projekcije i nagnutog). Nalazimo kut kuta između OC ₁ i OC
Prema tome, kut između ravnine sekcije i osnovne ravnine je veći od između OC ₁ i OC. To jest, poprečni presjek je nekako tako: K je OP-a za raskrižju i A ₁C₁, LM || B₁d₁.
Dakle, ovdje je naš dio: 3. Naći ćemo projekciju presjeka BLMD-a na osnovnoj ravnini. Da bismo to učinili, nalazimo projekcije točaka L i M.
Tetragongle Bl ₁M₁d - projekcija odjeljka na temeljnoj ravnini. 4. Pronađite tetragonalni kvadrat bl ₁M₁d. Da biste to učinili, iz područja trokuta BCD-a, područje trokuta l ₁cm će pronaći područje trokuta l ₁cm₁. Trokut L ₁CM₁ sličan je trokutu BCD. Pronaći koeficijent sličnosti.
Da biste to učinili, razmotrite T Reeds OPC i OKK₁: Stoga je područje L₁CM₁ trokuta 4/25 područje BCD trokuta (omjer površina takvih brojki jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti). Tada je BL₁MD četverostrani prostor 1-4 / 25 \u003d 21/25, područje BCD trokuta je jednak
5. Sada nalazimo 6. I na kraju, dobivamo: odgovor: 112
Na temu: metodički razvoj, prezentacije i sažeci
Rad za provjeru na disciplini "Inženjerska računalna grafika" sastoji se od četiri testni zadaci uspostaviti sukladnost. Za zadatke se daju 15-20 minuta ....
Prezentacija S. kratak tečaj Teorije i rješenja različitih prototipa B8 iz otvorene obale zadataka uporabe. Moguće je koristiti za interaktivnu ploču ili studente računala za neovisnu obuku ....
Priprema za EEG-2014 u matematici. Rješenje zadatka C1.
Materijal pokazuje otopine C1 (trigonometrijske jednadžbe) i 4 metode za odabir korijena koje pripadaju jaz: s trigonometrijski krugKoristeći grafikon funkcije, poprsje ...
