Մոհրի ինտեգրալի հաշվարկ՝ օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը։ Տեղաշարժերի որոշում Վերեշչագինի մեթոդով Դիագրամների բազմապատկում

Այն դեպքերում, երբ դիագրամը Մզ 1 (կամ Մզ) սահմանափակվում է ուղիղ գծերով։ Ըստ էության, սա երկու ֆունկցիաների արտադրյալի որոշակի ինտեգրալի գրաֆիկական վերլուծական հաշվարկի տեխնիկա է զ(x) Եվ φ (x), որոնցից մեկը, օրինակ φ (x), գծային, այսինքն ունի ձև

Դիտարկենք ճառագայթի մի հատված, որի շրջանակում միավոր բեռից ճկման պահերի դիագրամը սահմանափակվում է մեկ ուղիղ գծով. Մզ 1 = kx+ բ, և տվյալ բեռից ճկման պահը փոխվում է որոշ կամայական օրենքի համաձայն Մզ. Այնուհետև այս տարածքում

Երկրորդ ինտեգրալը ներկայացնում է տարածքը ω դիագրամներ Մզդիտարկվող տարածքում, և առաջինը այս տարածքի ստատիկ պահն է առանցքի նկատմամբ yև, հետևաբար, հավասար է տարածքի արտադրյալին ω իր ծանրության կենտրոնի կոորդինատին xգ. Այսպիսով,

.

Այստեղ kxգ+ բ- օրդինալ yգդիագրամներ Մզ 1 տարածքի ծանրության կենտրոնի տակ ω . Հետևաբար,

.

Աշխատանք ω yգդրական կլինի, երբ ω Եվ yգգտնվում է դիագրամի առանցքի մի կողմում, և բացասական, եթե դրանք գտնվում են այս առանցքի հակառակ կողմերում:

Այսպիսով, ըստ Վերեշչագինի մեթոդըինտեգրման գործողությունը փոխարինվում է տարածքի բազմապատկմամբ ω մեկ հողամաս մեկ օրդինատի համար yգերկրորդ (պարտադիր գծային) դիագրամ, որը վերցված է տարածքի ծանրության կենտրոնի տակ ω .

Կարևոր է միշտ հիշել, որ դիագրամների նման «բազմապատկումը» հնարավոր է միայն գծապատկերի մեկ ուղիղ գծով սահմանափակված տարածքում, որտեղից վերցված է օրդինատը։ yգ. Հետևաբար, Վերեշչագինի մեթոդով ճառագայթների հատվածների տեղաշարժերը հաշվարկելիս, ճառագայթի ամբողջ երկարության վրա Mohr ինտեգրալը պետք է փոխարինվի այն հատվածների ինտեգրալների գումարով, որոնցում միավորի բեռի պահերի դիագրամը ոլորումներ չունի: Հետո

.

Վերեշչագինի մեթոդը հաջողությամբ կիրառելու համար անհրաժեշտ է ունենալ բանաձևեր, որոնցով կարելի է հաշվարկել տարածքները ω և կոորդինատները xգնրանց ծանրության կենտրոնները։ Տրված է աղյուսակում: 8.1 տվյալները համապատասխանում են միայն ճառագայթների բեռնման ամենապարզ դեպքերին: Այնուամենայնիվ, ճկման պահերի ավելի բարդ դիագրամները կարելի է բաժանել պարզ թվերի, տարածքների ω ես, և կոորդինատները yքորոնք հայտնի են, իսկ հետո գտնել աշխատանքը ω yգնման բարդ գծապատկերի համար՝ գումարելով տարածքների արտադրյալները ω եսդրա մասերը իրենց համապատասխան կոորդինատներին yք. Սա բացատրվում է նրանով, որ բազմապատկվող դիագրամի մասերի տարրալուծումը համարժեք է ֆունկցիայի ներկայացմանը. Մզ(x) ինտեգրալում (8.46) որպես ինտեգրալների գումար։ Որոշ դեպքերում, շերտավոր դիագրամների կառուցումը, այսինքն, արտաքին ուժերից և զույգերից յուրաքանչյուրից առանձին, պարզեցնում է հաշվարկները:

Եթե ​​երկու դիագրամները ՄզԵվ Մզ 1 գծային, դրանց բազմապատկման վերջնական արդյունքը կախված չէ նրանից, թե արդյոք առաջին դիագրամի տարածքը բազմապատկվում է երկրորդի օրդինատով կամ, ընդհակառակը, երկրորդի տարածքը առաջինի օրդինատով:

Վերեշչագինի մեթոդով տեղաշարժերը գործնականում հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է.

1) կառուցել տրված բեռից ճկման պահերի դիագրամ (հիմնական դիագրամ).

3) միավորի բեռից կառուցել ճկման պահերի դիագրամ (միավոր դիագրամ).

4) տրված բեռների դիագրամները բաժանել առանձին հատվածների ω եսև հաշվարկիր օրդինատները yCiմեկ դիագրամ այս տարածքների ծանրության կենտրոնների տակ.

5) ստեղծագործություն կազմել ω եսyCiև ամփոփիր դրանք:

Աղյուսակ 8.1.

Դիագրամի տեսակը Մզ	Քառակուսի ω	Ծանրության կենտրոնի կոորդինատ xգ
(*) - Այս բանաձևերը վավեր չեն այս բեռնման դեպքի համար

ԵԷ «ԲՍՈՒԻՐ»

Ճարտարագիտական ​​գրաֆիկայի բաժին

Վերացական

թեմայի շուրջ.

«ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՈՐՈՇՈՒՄԸ ՄՈՐ ՄԵԹՈԴՈՎ. ՎԵՐԵՇՉԱԳԻՆԻ ԿԱՆՈՆԸ»

ՄԻՆՍԿ, 2008թ

Այժմ դիտարկենք տեղաշարժերի որոշման ընդհանուր մեթոդը, որը հարմար է ցանկացած գծային դեֆորմացվող համակարգի համար ցանկացած բեռի տակ: Այս մեթոդը առաջարկվել է գերմանացի ականավոր գիտնական Օ.Մոհրի կողմից:

Թող, օրինակ, դուք ցանկանում եք որոշել նկ. 7.13, ա. Տրված (բեռնվածության) վիճակը նշում ենք k տառով, ընտրենք նույն փնջի օժանդակ վիճակը միավորով.

ուժ, որը գործում է A կետում և ցանկալի տեղաշարժի ուղղությամբ: Օժանդակ վիճակը նշում ենք i տառով (նկ. 7.13,6):

Հաշվարկենք օժանդակ վիճակի արտաքին և ներքին ուժերի աշխատանքը բեռի վիճակի ուժերի ազդեցությամբ առաջացած տեղաշարժերի վրա։

Արտաքին ուժերի աշխատանքը հավասար կլինի միավորի ուժի և ցանկալի տեղաշարժի արտադրյալին

իսկ ներքին ուժերի աշխատանքը բացարձակ արժեքով հավասար է ինտեգրալին

(1)

Բանաձևը (7.33) Mohr-ի բանաձևն է (Mohr-ի ինտեգրալ), որը հնարավորություն է տալիս որոշել տեղաշարժը գծային դեֆորմացվող համակարգի ցանկացած կետում:

Այս բանաձևում MiMk-ի ինտեգրանդը դրական է, եթե երկու ճկման պահերն ունեն նույն նշանը, և բացասական, եթե Mi և Mk-ն ունեն տարբեր նշաններ:

Եթե ​​մենք որոշեինք անկյունային տեղաշարժը A կետում, ապա i վիճակում մենք պետք է մեկին հավասար մոմենտ կիրառեինք A կետում (առանց չափի):

Դ տառով նշելով ցանկացած շարժում (գծային կամ անկյունային), մենք գրում ենք Mohr-ի բանաձևը (ինտեգրալ) ձևով.

(2)

Ընդհանուր դեպքում, Mi և Mk վերլուծական արտահայտությունները կարող են տարբեր լինել ճառագայթի կամ առաձգական համակարգի տարբեր հատվածներում: Հետևաբար, (2) բանաձևի փոխարեն պետք է օգտագործել ավելի ընդհանուր բանաձևը

(3)

Եթե ​​համակարգի ձողերը աշխատում են ոչ թե ճկման, այլ լարվածության (սեղմման) մեջ, ինչպես, օրինակ, ֆերմայում, ապա Մոհրի բանաձևը ունի ձև.

(4)

Այս բանաձևում NiNK արտադրանքը դրական է, եթե երկու ուժերն էլ առաձգական են կամ երկուսն էլ սեղմող են: Եթե ​​ձողերը միաժամանակ աշխատում են ճկման և լարվածության (սեղմման) մեջ, ապա սովորական դեպքերում, ինչպես ցույց են տալիս համեմատական ​​հաշվարկները, տեղաշարժերը կարող են որոշվել՝ հաշվի առնելով միայն ճկման պահերը, քանի որ երկայնական ուժերի ազդեցությունը շատ փոքր է:

Նույն պատճառներով, ինչպես նշվեց ավելի վաղ, սովորական դեպքերում կարող է անտեսվել ճեղքող ուժերի ազդեցությունը:

Մոհրի ինտեգրալն ուղղակիորեն հաշվարկելու փոխարեն կարող եք օգտագործել «դիագրամների բազմապատկման մեթոդ» գրաֆիկավերլուծական տեխնիկան կամ Վերեշչագինի կանոնը:

Դիտարկենք ճկման մոմենտների երկու դիագրամ, որոնցից մեկը Mk-ն ունի կամայական ուրվագիծ, իսկ մյուսը՝ Mi-ն ուղղագիծ (նկ. 7.14, ա և բ):

(5)

MKdz արժեքը Mk դիագրամի dωk տարրական տարածքն է (նկարում ստվերված): Այսպիսով,

(6)

հետևաբար,

(8)

Բայց ներկայացնում է Mk դիագրամի տարածքի ստատիկ պահը O կետով անցնող որոշ առանցքի y-ի նկատմամբ, որը հավասար է ωkzc-ին, որտեղ ωk-ը պահի դիագրամի մակերեսն է. zc-ը Mk դիագրամի y առանցքից մինչև ծանրության կենտրոն հեռավորությունն է: Գծանկարից պարզ է դառնում, որ

որտեղ Msi-ն Mi գծագրի օրդինատն է, որը գտնվում է Mk գծագրի ծանրության կենտրոնի տակ (C կետի տակ): Հետևաբար,

(10)

այսինքն՝ պահանջվող ինտեգրալը հավասար է Mk գծագրի մակերեսի արտադրյալին (ցանկացած ձևի)՝ իր ծանրության կենտրոնի տակ գտնվող Msi ուղղագիծ դիագրամի օրդինատով։ ωкМсi-ի արժեքը համարվում է դրական, եթե երկու դիագրամները գտնվում են ձողի նույն կողմում, և բացասական, եթե դրանք գտնվում են տարբեր կողմերում: Դիագրամների բազմապատկման դրական արդյունքը նշանակում է, որ շարժման ուղղությունը համընկնում է միավոր ուժի (կամ պահի) ուղղության հետ։

Պետք է հիշել, որ Msi օրդինատը պետք է վերցվի ուղիղ գծով: Այն դեպքում, երբ երկու գծապատկերներն էլ ուղղագիծ են, կարող եք դրանցից որևէ մեկի մակերեսը բազմապատկել մյուսի համապատասխան օրդինատով:

Փոփոխական խաչմերուկի ձողերի համար Վերեշչագինի դիագրամների բազմապատկման կանոնը կիրառելի չէ, քանի որ այս դեպքում այլևս հնարավոր չէ հեռացնել EJ արժեքը ինտեգրալ նշանի տակից: Այս դեպքում EJ-ը պետք է արտահայտվի որպես հատվածի աբսցիսայի ֆունկցիա, այնուհետև պետք է հաշվարկվի Mohr ինտեգրալը (1):

Ձողի կոշտությունը աստիճանաբար փոխելիս յուրաքանչյուր հատվածի համար կատարվում է ինտեգրում (կամ դիագրամների բազմապատկում) առանձին (իր սեփական EJ արժեքով), այնուհետև ամփոփվում են արդյունքները:

Աղյուսակում 1-ը ցույց է տալիս մի քանի պարզ դիագրամների մակերեսները և դրանց ծանրության կենտրոնի կոորդինատները:

Աղյուսակ 1

Դիագրամի տեսակը	Դիագրամի տարածքը	Հեռավորությունը դեպի ծանրության կենտրոն

Հաշվարկներն արագացնելու համար կարող եք օգտագործել պատրաստի դիագրամների բազմապատկման աղյուսակներ (Աղյուսակ 2):

Այս աղյուսակում համապատասխան տարրական գծագրերի հատման բջիջներում տրված են այդ գծապատկերների բազմապատկման արդյունքները։

Աղյուսակում ներկայացված բարդ գծապատկերը տարրականի բաժանելիս: 1 և 7.2, հարկ է նկատի ունենալ, որ պարաբոլիկ դիագրամները ստացվել են միայն մեկ բաշխված բեռի գործողությունից:

Այն դեպքերում, երբ բարդ գծապատկերում կոր հատվածները ստացվում են կենտրոնացված մոմենտների, ուժերի և հավասարաչափ բաշխված բեռի միաժամանակյա գործողությունից, սխալներից խուսափելու համար բարդ դիագրամը նախ պետք է «շերտավորել», այսինքն՝ բաժանել մի շարքի. անկախ դիագրամներ՝ կենտրոնացված պահերի, ուժերի և համաչափ բաշխված բեռի գործողությունից։

Կարող եք նաև օգտագործել մեկ այլ տեխնիկա, որը չի պահանջում գծապատկերների շերտավորում, այլ միայն պահանջում է գծապատկերի կորագիծ մասի ընտրություն՝ դրա ծայրահեղ կետերը միացնող լարի երկայնքով:

Երկու մեթոդներն էլ ցույց կտանք կոնկրետ օրինակով:

Թող, օրինակ, ցանկանում եք որոշել փնջի ձախ ծայրի ուղղահայաց տեղաշարժը (նկ. 7.15):

Բեռի ընդհանուր դիագրամը ներկայացված է Նկ. 7.15, ա.

Աղյուսակ 7.2

A կետում միավոր ուժի գործողության դիագրամը ներկայացված է Նկ. 7.15, քաղ

A կետում ուղղահայաց տեղաշարժը որոշելու համար անհրաժեշտ է բեռի դիագրամը բազմապատկել միավորի ուժի դիագրամով: Այնուամենայնիվ, մենք նշում ենք, որ ընդհանուր գծապատկերի BC հատվածում կորագիծ դիագրամը ստացվում է ոչ միայն հավասարաչափ բաշխված բեռի, այլև կենտրոնացված P ուժի գործողությունից: Արդյունքում, BC հատվածում կա Այլևս չի լինի 7.1 և 7.2 աղյուսակներում տրված տարրական պարաբոլիկ դիագրամ, այլ ըստ էության բարդ դիագրամի, որի համար այս աղյուսակների տվյալները անվավեր են:

Հետևաբար, անհրաժեշտ է շերտավորել բարդ դիագրամը՝ համաձայն Նկ. 7.15, և Նկ.-ում ներկայացված տարրական դիագրամներին: 7.15, բ և 7.15, ք.

Դիագրամ ըստ Նկ. 7.15, b ստացվել է միայն կենտրոնացված ուժից, դիագրամ՝ ըստ Նկ. 7.15, գ - միայն հավասարաչափ բաշխված բեռի գործողությունից:

Այժմ դուք կարող եք բազմապատկել դիագրամները՝ օգտագործելով աղյուսակը: 1 կամ 2.

Դա անելու համար հարկավոր է բազմապատկել եռանկյունաձև գծապատկերը՝ համաձայն Նկ. 7.15, բ եռանկյուն գծապատկերին՝ ըստ Նկ. 7.15, դ և դրան գումարենք Նկ.-ում պարաբոլիկ դիագրամի բազմապատկման արդյունքը: 7.15, BC հատվածի trapezoidal գծապատկերում ըստ Նկ. 7.15, դ, քանի որ AB հատվածում գծապատկերի օրդինատներն ըստ Նկ. 7.15, in-ը հավասար են զրոյի:

Այժմ ցույց տանք դիագրամների բազմապատկման երկրորդ մեթոդը: Եկեք նորից նայենք Նկ. 7.15, ա. Վերցնենք հղումի սկզբնաղբյուրը Բ բաժնում: Մենք ցույց ենք տալիս, որ LMN կորի սահմաններում ճկման մոմենտները կարող են ստացվել որպես LN ուղիղ գծին համապատասխանող ճկման մոմենտների հանրահաշվական գումար և պարաբոլիկ դիագրամի ճկման մոմենտներ: LNML, նույնը, ինչ a երկարության պարզ փնջի դեպքում, որը բեռնված է հավասարաչափ բաշխված բեռով q.

Միջին ամենամեծ օրդինատը հավասար կլինի .

Դա ապացուցելու համար գրենք B կետից z հեռավորության վրա գտնվող հատվածի ճկման պահի իրական արտահայտությունը

(Ա)

Այժմ գրենք նույն հատվածում ճկման պահի արտահայտությունը, որը ստացվում է որպես LN ուղիղ գծի օրդինատների հանրահաշվական գումար և LNML պարաբոլա:

LN գծի հավասարումը

որտեղ k-ն այս ուղիղի թեքության անկյան շոշափողն է

Հետևաբար, ճկման պահերի հավասարումը, որը ստացվում է որպես LN ուղիղ գծի և պարաբոլայի LNMN հավասարման հանրահաշվական գումար, ունի ձև.

որը համընկնում է (A) արտահայտության հետ։

Վերեշչագինի կանոնի համաձայն գծագրերը բազմապատկելիս պետք է BLNC տրապիզոիդը բազմապատկել BC հատվածի միավորի գծապատկերից (տե՛ս նկ. 7.15, դ) և հանել պարաբոլիկ գծապատկերի LNML (տարածքը) նույն տրապիզոիդով բազմապատկելու արդյունքը: միավորի դիագրամից: Դիագրամների շերտավորման այս մեթոդը հատկապես ձեռնտու է, երբ դիագրամի կոր հատվածը գտնվում է ճառագայթի միջին հատվածներից մեկում:

Օրինակ 7.7. Որոշել բեռի կիրառման վայրում կոնսերտի փնջի ուղղահայաց և անկյունային տեղաշարժերը (նկ. 7.16):

Լուծում. Բեռի վիճակի համար կառուցում ենք ճկման պահերի դիագրամ (նկ. 7.16, ա):

Ուղղահայաց տեղաշարժը որոշելու համար բեռի կիրառման կետում ընտրում ենք փնջի օժանդակ վիճակը միավորի ուժով։

Այս ուժից մենք կառուցում ենք ճկման պահերի դիագրամ (նկ. 7.16, բ): Ուղղահայաց տեղաշարժի որոշում Մոհրի մեթոդով

Բեռի պատճառով ճկման պահի արժեքը

Միավոր ուժից ճկման պահի արժեքը

Մենք փոխարինում ենք МР-ի և Mi-ի այս արժեքները ինտեգրալ նշանի տակ և ինտեգրվում

Նույն արդյունքը նախկինում ստացվել էր այլ մեթոդով։

Դրական շեղման արժեքը ցույց է տալիս, որ P բեռի կիրառման կետը շարժվում է դեպի ներքև (միավոր ուժի ուղղությամբ): Եթե ​​միավորի ուժն ուղղեինք ներքևից վեր, կունենանք Mi = 1z և ինտեգրման արդյունքում կստանայինք շեղում մինուս նշանով։ Մինուս նշանը ցույց կտա, որ շարժումը ոչ թե վեր է, այլ վար, ինչպես իրականում է:

Այժմ հաշվարկենք Mohr ինտեգրալը՝ գծապատկերները բազմապատկելով Վերեշչագինի կանոնի համաձայն։

Քանի որ երկու գծապատկերներն էլ ուղղագիծ են, նշանակություն չունի, թե որ դիագրամից վերցնել տարածքը և որից վերցնել օրդինատը։

Բեռի դիագրամի մակերեսը հավասար է

Այս դիագրամի ծանրության կենտրոնը գտնվում է ներդիրից 1/3լ հեռավորության վրա: Մենք որոշում ենք մոմենտի գծապատկերի օրդինատը ստորև գտնվող միավոր ուժից

ծանրության կենտրոնի բեռի դիագրամ. Հեշտ է ստուգել, ​​որ այն հավասար է 1/3լ.

Ուստի.

Նույն արդյունքը ստացվում է ինտեգրալների աղյուսակից։ Դիագրամների բազմապատկման արդյունքը դրական է, քանի որ երկու դիագրամները գտնվում են ձողի ստորին մասում: Հետևաբար, բեռի կիրառման կետը տեղաշարժվում է դեպի ներքև, այսինքն՝ միավորի ուժի ընդունված ուղղության երկայնքով:

Անկյունային տեղաշարժը (պտտման անկյունը) որոշելու համար մենք ընտրում ենք ճառագայթի օժանդակ վիճակ, որի դեպքում ճառագայթի վերջում գործում է կենտրոնացված մոմենտը, որը հավասար է միասնությանը։

Այս դեպքի համար մենք կառուցում ենք ճկման պահերի դիագրամ (նկ. 7.16, գ): Մենք որոշում ենք անկյունային տեղաշարժը, բազմապատկելով դիագրամները: Բեռնման դիագրամի տարածքը

Գծապատկերի օրդինատները մեկ պահից հավասար են միասնությանը, հետևաբար հատվածի պտտման ցանկալի անկյունը հավասար է.

Քանի որ երկու դիագրամները գտնվում են ներքևում, դիագրամների բազմապատկման արդյունքը դրական է: Այսպիսով, ճառագայթի վերջնական հատվածը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (միավոր պահի ուղղությամբ):

Օրինակ. Օգտագործելով Mohr-Vereshchagin մեթոդը, որոշեք շեղումը D կետում նկ. 7.17..

Լուծում. Մենք կառուցում ենք բեռից պահերի շերտավոր դիագրամ, այսինքն՝ յուրաքանչյուր բեռի գործողությունից առանձին դիագրամներ ենք կառուցում։ Այս դեպքում, դիագրամների բազմապատկման հարմարության համար, նպատակահարմար է կառուցել շերտավորված (տարրական) գծապատկերներ հատվածի նկատմամբ, որոնց շեղումը որոշվում է այս դեպքում D հատվածի նկատմամբ:

Նկ. 7.17, a-ն ցույց է տալիս A ռեակցիայից (հատված AD) և P = 4 T բեռից (հատված DC) ճկման պահերի դիագրամը: Դիագրամները կառուցված են սեղմված մանրաթելի վրա:

Նկ. 7.17, b-ը ցույց է տալիս B ռեակցիայի (հատված BD) պահերի դիագրամները, ձախ հավասարաչափ բաշխված բեռից (հատված AD) և BC հատվածի վրա գործող միատեսակ բաշխված բեռից: Այս դիագրամը ներկայացված է Նկ. 7.17, բ ստորև գտնվող DC տարածքում.

Հաջորդիվ ընտրում ենք ճառագայթի օժանդակ վիճակը, որի համար միավոր ուժ ենք կիրառում D կետում, որտեղ որոշվում է շեղումը (նկ. 7.17, գ): Միավոր ուժի պահերի դիագրամը ներկայացված է Նկ. 7.17, դ. Այժմ եկեք 1-ից 7-րդ դիագրամները բազմապատկենք 8-րդ և 9-րդ գծապատկերներով՝ օգտագործելով դիագրամների բազմապատկման աղյուսակները՝ հաշվի առնելով նշանները:

Այս դեպքում ճառագայթի մի կողմում գտնվող դիագրամները բազմապատկվում են գումարած նշանով, իսկ ճառագայթի հակառակ կողմերում գտնվող գծապատկերները՝ մինուս նշանով:

Դիագրամ 1-ը և դիագրամ 8-ը բազմապատկելիս ստանում ենք

5-րդ սյուժեն 8-ով բազմապատկելով՝ ստանում ենք

2-րդ և 9-րդ դիագրամների բազմապատկումը տալիս է

Բազմապատկել 4-րդ և 9-րդ սյուժեները

Բազմապատկել 6-րդ և 9-րդ գծապատկերները

Ամփոփելով դիագրամների բազմապատկման արդյունքները՝ ստանում ենք

Մինուս նշանը ցույց է տալիս, որ D կետը չի շարժվում դեպի ներքև, քանի որ միավորի ուժն ուղղված է, այլ դեպի վեր։

Նույն արդյունքը ստացվել է ավելի վաղ՝ օգտագործելով ունիվերսալ հավասարումը:

Իհարկե, այս օրինակում հնարավոր եղավ գծապատկերը շերտավորել միայն AD հատվածում, քանի որ DB հատվածում ընդհանուր դիագրամը ուղղագիծ է և կարիք չկա այն շերտավորելու։ BC հատվածում շերտազատում չի պահանջվում, քանի որ այս հատվածի միավոր ուժից դիագրամը հավասար է զրոյի: BC հատվածում գծապատկերի շերտավորումն անհրաժեշտ է C կետում շեղումը որոշելու համար։

Օրինակ. Որոշեք նկուղում ներկայացված կոտրված ձողի Ա հատվածի ուղղահայաց, հորիզոնական և անկյունային տեղաշարժերը: 7.18, ա. Ձողի ուղղահայաց հատվածի կտրվածքի կոշտությունը EJ1 է, հորիզոնական հատվածի կոշտությունը EJ2 է:

Լուծում. Մենք կառուցում ենք բեռի պատճառով ճկման պահերի դիագրամ: Այն ցույց է տրված Նկ. 7.18, բ (տես օրինակ 6.9): A հատվածի ուղղահայաց տեղաշարժը որոշելու համար մենք ընտրում ենք համակարգի օժանդակ վիճակը, որը ներկայացված է Նկ. 7.18, ք. A կետում կիրառվում է միավոր ուղղահայաց ուժ՝ ուղղված դեպի ներքև։

Այս վիճակի ճկման պահերի դիագրամը ներկայացված է Նկ. 7.18, ք.

Մոհրի մեթոդով որոշում ենք ուղղահայաց տեղաշարժը՝ օգտագործելով դիագրամների բազմապատկման մեթոդը։ Քանի որ օժանդակ վիճակում ուղղահայաց ձողի վրա M1 դիագրամ չկա, մենք բազմապատկում ենք միայն հորիզոնական ձողի հետ կապված գծապատկերները։ Դիագրամի մակերեսը վերցնում ենք ծանրաբեռնվածության վիճակից, իսկ օրդինատը՝ օժանդակ վիճակից։ Ուղղահայաց տեղաշարժն է

Քանի որ երկու դիագրամները գտնվում են ներքևում, մենք բազմապատկման արդյունքը վերցնում ենք գումարած նշանով: Հետևաբար, Ա կետը շարժվում է դեպի ներքև, այսինքն՝ միավոր ուղղահայաց ուժի ուղղությամբ:

Ա կետի հորիզոնական շարժումը որոշելու համար ընտրում ենք օժանդակ վիճակ՝ դեպի ձախ ուղղված հորիզոնական միավորի ուժով (նկ. 7.18, դ): Այնտեղ ներկայացված է այս դեպքի պահերի դիագրամը։

Մենք բազմապատկում ենք MP և M2 դիագրամները և ստանում

Դիագրամների բազմապատկման արդյունքը դրական է, քանի որ բազմապատկված դիագրամները գտնվում են ձողերի նույն կողմում:

Անկյունային տեղաշարժը որոշելու համար մենք ընտրում ենք համակարգի օժանդակ վիճակը՝ համաձայն Նկ. 7.18.5 և այս վիճակի համար կառուցիր ճկման պահերի դիագրամ (նույն նկարում): Մենք բազմապատկում ենք MP և M3 դիագրամները.

Բազմապատկման արդյունքը դրական է, քանի որ բազմապատկված դիագրամները գտնվում են մի կողմում:

Հետևաբար, Ա հատվածը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ

Նույն արդյունքները կստացվեն աղյուսակների միջոցով
բազմապատկվող դիագրամներ.

Դեֆորմացված ձողի տեսքը ներկայացված է Նկ. 7.18, e, մինչդեռ տեղաշարժերը մեծապես ավելացել են:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

Ֆեոդոսև Վ.Ի. Նյութերի ամրությունը. 1986 թ

Բելյաև Ն.Մ. Նյութերի ամրությունը. 1976 թ

Կրասկովսկի Է.Յա., Դրուժինին Յու.Ա., Ֆիլատովա Է.Մ. Գործիքների մեխանիզմների և համակարգչային համակարգերի հաշվարկ և նախագծում: 1991 թ

Ռաբոտնով Յու.Ն. Դեֆորմացվող պինդ մարմինների մեխանիկա. 1988 թ

Ստեպին Պ.Ա. Նյութերի ամրությունը. 1990 թ

Դասախոսություն 13 (շարունակություն). Մոհր-Վերեշչագին մեթոդով տեղաշարժերի հաշվարկման լուծումների օրինակներ և անկախ լուծման խնդիրներ

Ճառագայթների մեջ տեղաշարժերի սահմանում

Օրինակ 1.

Որոշեք կետի շարժումը TOճառագայթներ (տես նկարը) օգտագործելով Mohr ինտեգրալը:

Լուծում.

1) Արտաքին ուժից մենք կազմում ենք ճկման պահի հավասարում Մ Ֆ .

2) Դիմել կետում TOմիավոր ուժ Ֆ = 1.

3) Միավոր ուժից գրում ենք ճկման պահի հավասարումը:

4) Որոշել շարժումները

Օրինակ 2.

Որոշեք կետի շարժումը TOճառագայթներ Վերեշչագինի մեթոդով.

Լուծում.

1) Մենք կառուցում ենք բեռների դիագրամ:

2) K կետում կիրառում ենք միավորի ուժ.

3) Մենք կառուցում ենք մեկ դիագրամ:

4) Որոշեք շեղումը

Օրինակ 3.

Որոշեք պտտման անկյունները հենարանների վրա ԱԵվ IN

Լուծում.

Մենք դիագրամներ ենք կառուցում տվյալ բեռից և հատվածներում կիրառվող առանձին պահերից ԱԵվ IN(տես նկարը): Մենք որոշում ենք անհրաժեշտ տեղաշարժերը՝ օգտագործելով Mohr ինտեգրալները

,

, որը մենք հաշվարկում ենք՝ օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը։

Գտեք հողամասի պարամետրերը

Գ 1 = 2/3, Գ 2 = 1/3,

իսկ հետո պտտման անկյունները հենարանների վրա ԱԵվ IN

Օրինակ 4.

Որոշեք հատվածի պտտման անկյունը ՀԵՏտրված ճառագայթի համար (տես նկարը):

Լուծում.

Աջակցման ռեակցիաների որոշում Ռ Ա =Ռ Բ ,

, , Ռ Ա = Ռ Բ = քա.

Մենք կառուցում ենք ճկման պահի դիագրամները տվյալ բեռից և հատվածում կիրառվող մեկ պահից ՀԵՏ, որտեղ փնտրվում է պտտման անկյունը։ Մենք հաշվարկում ենք Mohr ինտեգրալը՝ օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը։ Գտեք հողամասի պարամետրերը

Գ 2 = -Գ 1 = -1/4,

և նրանց երկայնքով ցանկալի շարժումը

Օրինակ 5.

Որոշեք հատվածի շեղումը ՀԵՏտրված ճառագայթի համար (տես նկարը):

Լուծում.

Դիագրամ Մ Ֆ(նկ. բ)

Աջակցման ռեակցիաներ.

ԼԻՆԵԼ: , ,

, Ռ Բ + Ռ Ե = Ֆ, Ռ Ե = 0;

ԱԲ: , Ռ Ա = Ռ IN = Ֆ; , .

Մենք հաշվում ենք պահերը բնորոշ կետերում, Մ Բ = 0, Մ Գ = Ֆաև կառուցիր տրված բեռից ճկման պահի դիագրամ:

Դիագրամ(նկ. գ).

Խաչաձեւ հատվածում ՀԵՏ, որտեղ որոնված է շեղումը, մենք կիրառում ենք միավորի ուժ և դրանից կառուցում ենք ճկման պահի դիագրամ՝ նախ հաշվարկելով հենման ռեակցիաները։ ԼԻՆԵԼ - , , = 2/3; , , = 1/3, իսկ հետո մոմենտները բնորոշ կետերում , , .

2. Ցանկալի շեղման որոշում. Եկեք օգտագործենք Վերեշչագինի կանոնը և նախ հաշվարկենք գծապատկերների պարամետրերը և.

,

Հատվածի շեղում ՀԵՏ

Օրինակ 6.

Որոշեք հատվածի շեղումը ՀԵՏտրված ճառագայթի համար (տես նկարը):

Լուծում.

ՀԵՏ.Օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը, մենք հաշվարկում ենք դիագրամների պարամետրերը ,

և գտնել ցանկալի շեղումը

Օրինակ 7.

Որոշեք հատվածի շեղումը ՀԵՏտրված ճառագայթի համար (տես նկարը):

Լուծում.

1. Կռում մոմենտների դիագրամների կառուցում.

Աջակցման ռեակցիաներ.

, , Ռ Ա = 2քա,

, Ռ Ա + Ռ Դ = 3քա, Ռ Դ = քա.

Մենք կառուցում ենք ճկման պահերի դիագրամներ տրված բեռից և կետում կիրառվող միավորի ուժից ՀԵՏ.

2. Շարժումների որոշում. Mohr ինտեգրալը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք Սիմփսոնի բանաձևը՝ հաջորդաբար կիրառելով այն երեք հատվածներից յուրաքանչյուրի վրա, որոնց բաժանված է ճառագայթը։

ՀողամասԱԲ :

ՀողամասԱրև :

ՀողամասՀԵՏ Դ :

Պահանջվող շարժում

Օրինակ 8.

Որոշեք հատվածի շեղումը Աև հատվածի ռոտացիայի անկյունը Ետրված ճառագայթի համար (նկ. Ա).

Լուծում.

1. Կռում մոմենտների դիագրամների կառուցում.

Դիագրամ Մ Ֆ( բրինձ. Վ) Որոշելով աջակցության ռեակցիաները

, , Ռ Բ = 19քա/8,

, Ռ Դ = 13քա/8, կառուցում ենք լայնակի ուժի դիագրամներ Քև ճկման պահը Մ Ֆտրված բեռից.

Դիագրամ(նկ. դ): Խաչաձեւ հատվածում Ա, որտեղ որոնված է շեղումը, մենք կիրառում ենք միավորի ուժ և դրանից կառուցում ենք ճկման պահի դիագրամը։

Դիագրամ(նկ. ե): Այս դիագրամը կառուցված է հատվածում կիրառվող մեկ պահից Ե, որտեղ փնտրվում է պտտման անկյունը։

2. Շարժումների որոշում. Հատվածի շեղում ԱՄենք գտնում ենք, որ օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը: Էպուր Մ Ֆկայքերում ԱրևԵվ CDԱյն բաժանում ենք պարզ մասերի (նկ. դ): Անհրաժեշտ հաշվարկները ներկայացնում ենք աղյուսակի տեսքով.

	-քա 3 /6	2քա 3 /3	-քա 3 /2				-քա 3 /2
Գ ես
		-քա 4 /2	5քա 4 /12	-քա 4 /6	-քա 4 /12			-քա 4 /24

Մենք ստանում ենք.

Արդյունքում մինուս նշանը նշանակում է, որ կետը Աչի շարժվում դեպի վար, քանի որ միավորի ուժն ուղղված էր, այլ դեպի վեր։

Հատվածի ռոտացիայի անկյուն Եմենք գտնում ենք երկու եղանակով՝ Վերեշչագինի կանոնով և Սիմփսոնի բանաձևով։

Վերեշչագինի կանոնի համաձայն, դիագրամների բազմապատկում Մ Ֆև նախորդի անալոգիայով մենք ստանում ենք

,

Սիմփսոնի բանաձևով պտտման անկյունը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք հատվածների միջնամասում նախնական ճկման պահերը.

Պահանջվող տեղաշարժը, ավելացել է EI xմեկ անգամ,

Օրինակ 9.

Որոշեք, թե գործակիցի ինչ արժեքով կհատվածի շեղում ՀԵՏհավասար կլինի զրոյի։ Երբ արժեքը գտնվի կկառուցել ճկման պահի դիագրամ և պատկերել ճառագայթի առաձգական գծի մոտավոր տեսքը (տես նկարը):

Լուծում.

Մենք կառուցում ենք ճկման պահերի դիագրամներ տվյալ բեռից և հատվածում կիրառվող միավորի ուժից ՀԵՏ, որտեղ փնտրվում է շեղումը:

Ըստ խնդրի պայմանների Վ Գ= 0. Մյուս կողմից, . Ինտեգրալ սյուժեի վրա ԱԲմենք հաշվարկում ենք՝ օգտագործելով Սիմփսոնի բանաձևը և բաժնում Արև- Վերեշչագինի կանոնի համաձայն.

Մենք նախօրոք գտնում ենք

Բաժին տեղափոխելը ՀԵՏ ,

Այստեղից , .

Երբ արժեքը գտնվի կորոշել աջակցության ռեակցիայի արժեքը կետում Ա, , , որտեղից մենք գտնում ենք գծապատկերի ծայրահեղ կետի դիրքը Մպայմանի համաձայն .

Բնորոշ կետերում պահի արժեքների հիման վրա

Կառուցում ենք ճկման պահի դիագրամ (նկ. դ):

Օրինակ 10.

INՆկարում ցուցադրված հենակետային ճառագայթ:

Լուծում.

Մարտաքին կենտրոնացված ուժի գործողությունից Ֆ: Մ IN = 0, Մ Ա = –Ֆ 2լ(գծային հողամաս):

Ըստ խնդրի պայմանների՝ անհրաժեշտ է որոշել ուղղահայաց տեղաշարժը ժամը INմիավորներ INկանթեղային ճառագայթ, հետևաբար մենք կառուցում ենք ուղղահայաց միավորի ուժի գործողության միավորի դիագրամ Ֆ ես = 1 կիրառվում է կետում IN.

Նկատի ունենալով, որ հենակետային ճառագայթը բաղկացած է երկու հատվածից՝ տարբեր ճկման կոշտությամբ, դիագրամներ և ՄՄենք բազմապատկում ենք՝ օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը առանձին բաժիններով: Դիագրամներ Մև առաջին բաժինը բազմապատկեք բանաձևով , իսկ երկրորդ հատվածի դիագրամները՝ որպես դիագրամի տարածք Մերկրորդ բաժինը Ֆլ 2 / 2 ձեռնադրել 2 լ/Եռանկյուն գծագրի ծանրության կենտրոնի տակ գտնվող երկրորդ հատվածի 3 դիագրամ Մնույն տարածքը։

Այս դեպքում բանաձեւը տալիս է.

Օրինակ 11.

Որոշեք կետի ուղղահայաց տեղաշարժը INՆկարում ցուցադրված միակողմանի ճառագայթ: Ճառագայթն իր ամբողջ երկարությամբ ունի մշտական ​​ճկման կոշտություն: EI.

Լուծում.

Մենք կառուցում ենք ճկման պահերի դիագրամ Մարտաքին բաշխված բեռի գործողությունից. Մ Ա = 0; Մ Դ = 0;

Դիմեք կետին INմիավոր ուղղահայաց ուժ Ֆ ես = 1 և կառուցեք դիագրամ (տես նկարը).

որտեղ Ռ ա = 2/3;

Որտեղ Ռ դ = 1/3, ուրեմն Մ ա = 0; Մ դ = 0; .

Քննարկվող ճառագայթը բաժանենք 3 հատվածի։ 1-ին և 3-րդ հատվածների դիագրամների բազմապատկումը դժվարություններ չի առաջացնում, քանի որ մենք բազմապատկում ենք եռանկյունաձև գծապատկերները: Վերեշչագինի կանոնը 2-րդ հատվածում կիրառելու համար եկեք բաժանենք դիագրամը Մ 2-րդ բաժինը կազմված է գծապատկերի երկու բաղադրիչներից՝ ուղղանկյուն և պարաբոլիկ մակերեսով (տես աղյուսակը):

Դիագրամի պարաբոլիկ մասի ծանրության կենտրոն Մընկած է 2-րդ հատվածի մեջտեղում։

Այսպիսով, բանաձեւը օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը տալիս է.

Օրինակ 12.

Որոշեք առավելագույն շեղումը ինտենսիվության հավասարաչափ բաշխված բեռով բեռնված երկու հենարանային ճառագայթում ք(տես նկարը):

Լուծում.

Գտեք ճկման պահերը.

Տրված բեռից

Մի կետում կիրառվող միավոր ուժից ՀԵՏորտեղ որոնվում է շեղումը:

Մենք հաշվարկում ենք անհրաժեշտ առավելագույն շեղումը, որը տեղի է ունենում ճառագայթի միջին հատվածում

Օրինակ 13.

Որոշեք շեղումը մի կետում INճառագայթը ցույց է տրված նկարում:

Լուծում.

Մենք կառուցում ենք ճկման պահերի դիագրամներ տրված բեռից և կետում կիրառվող միավոր ուժից IN.Այս դիագրամները բազմապատկելու համար ճառագայթը պետք է բաժանվի երեք հատվածի, քանի որ մեկ դիագրամը սահմանափակվում է երեք տարբեր ուղիղ գծերով:

Երկրորդ և երրորդ հատվածներում դիագրամների բազմապատկման գործողությունը կատարվում է պարզապես. Դժվարություններ են առաջանում առաջին հատվածի հիմնական գծապատկերի ծանրության կենտրոնի տարածքը և կոորդինատները հաշվարկելիս: Նման դեպքերում շերտավոր դիագրամների կառուցումը մեծապես հեշտացնում է խնդրի լուծումը։ Այս դեպքում հարմար է հատվածներից մեկը պայմանականորեն ընդունել որպես անշարժ և բեռներից յուրաքանչյուրի համար գծագրեր կառուցել՝ աջից և ձախից մոտենալով այս հատվածին։ Ցանկալի է կոտրվածքի տեղում գտնվող հատվածը վերցնել որպես անշարժ մեկ միավոր բեռների դիագրամում:

Շերտավոր դիագրամ, որում հատվածը վերցված է որպես ստացիոնար IN, ցույց է տրված նկարում։ Հաշվելով շերտավոր դիագրամի բաղկացուցիչ մասերի մակերեսները և միավորի դիագրամի համապատասխան օրդինատները՝ ստանում ենք.

Օրինակ 14.

Որոշեք փնջի 1-ին և 2-րդ կետերում տեղաշարժերը (նկ. ա):

Լուծում.

Ահա դիագրամները ՄԵվ Քճառագայթների համար ժամը Ա=2 մ; ք=10 կՆ/մ; ՀԵՏ=1,5Ա; Մ=0,5քա 2 ; Ռ=0,8քա; Մ 0 =Մ; = 200 ՄՊա (նկ. բԵվ Վ).

Եկեք որոշենք այն հատվածի կենտրոնի ուղղահայաց տեղաշարժը, որտեղ կիրառվում է կենտրոնացված պահը: Դա անելու համար հաշվի առեք ճառագայթը, որը գտնվում է միայն կենտրոնացված ուժի ազդեցության տակ, որը կիրառվել է ճառագայթի առանցքին ուղղահայաց 1-ին կետում (ցանկալի տեղաշարժի ուղղությամբ) (նկ. դ):

Հաշվարկենք օժանդակ ռեակցիաները՝ կազմելով երեք հավասարակշռության հավասարումներ

Փորձաքննություն

Արձագանքները ճիշտ են հայտնաբերվել.

Դիագրամ կառուցելու համար հաշվի առեք երեք բաժին (նկ. դ):

1 հողամաս

2-րդ բաժին

Բաժին 3

Օգտագործելով այս տվյալները, մենք ձգված մանրաթելերի կողքից կառուցում ենք դիագրամ (նկ. ե):

Եկեք որոշենք Մոհրի բանաձևով՝ օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը։ Այս դեպքում հենարանների միջև ընկած հատվածում կոր դիագրամը կարող է ներկայացվել որպես երեք դիագրամների հավելում: Սլաք

Մինուս նշանը նշանակում է, որ 1-ին կետը շարժվում է դեպի վեր (հակառակ ուղղությամբ):

Որոշենք 2-րդ կետի ուղղահայաց տեղաշարժը, որտեղ կիրառվում է կենտրոնացված ուժը։ Դա անելու համար հաշվի առեք ճառագայթը, որը գտնվում է միայն կենտրոնացված ուժի ազդեցության տակ, որը կիրառվում է ճառագայթի առանցքին ուղղահայաց կետում 2 (ցանկալի տեղաշարժի ուղղությամբ) (նկ. ե):

Դիագրամը կառուցված է նախորդի նման:

2-րդ կետը շարժվում է դեպի վեր:

Եկեք որոշենք այն հատվածի պտտման անկյունը, որտեղ կիրառվում է կենտրոնացված պահը:

Բացի փնջի տեղաշարժը որոշելու վերը քննարկված անալիտիկ մեթոդից, կան այլ անալիտիկ և գրաֆիկա-վերլուծական մեթոդներ, որոնք կիրառելի են ավելի բարդ համակարգերի համար, օրինակ՝ կոտրված առանցքով կառույցներ և ստատիկորեն անորոշ համակարգեր:

Նման մեթոդներից մեկը հիմնված է Mohr ինտեգրալ Եվ Վերեշչագինի կանոնը. Մեթոդի էությունն այն է, որ միավորի բեռը (ուժ կամ ոլորող մոմենտ) կիրառենք մեզ հետաքրքրող շարժման ուղղությամբ և հաշվարկենք Mohr ինտեգրալը: Mohr ինտեգրալի արտահայտությունը ստացվել է Կաստիլիանոյի թեորեմի հիման վրա, որն այստեղ ասված է առանց ապացույցների։

Կաստիլիանոյի թեորեմը. Պոտենցիալ լարման էներգիայի ածանցյալը ընդհանրացված ուժի և ընդհանրացված տեղաշարժի նկատմամբ:

Կոր փնջի պոտենցիալ լարման էներգիան արտահայտվում է բանաձևով

Կաստիլիանոյի թեորեմի հիման վրա D-ի ընդհանրացված (գծային կամ անկյունային) տեղաշարժը սահմանվում է որպես.

Եթե ​​ընդհանրացված ուժը Ք 06 հավասար է միասնությանը, ապա մասնակի ածանցյալը թվայինորեն հավասար կլինի պահին Մ° միավորի բեռը

ճառագայթի r հատվածում (այլ ուժերի պահերի մասնակի ածանցյալները հավասար են զրոյի, քանի որ այդ պահերը կախված չեն միավորի բեռից): Արդյունքում ստացվում է բանաձև, որը կոչվում է Mohr ինտեգրալ:

Կառուցվածքի առանձին հատվածի համար Mohr ինտեգրալը գրված է ձևով

որտեղ D-ն ընդհանրացված (գծային կամ անկյունային) շարժում է. / - հատվածի երկարությունը; Մ - արտաքին ուժերի պահերի հավասարում; Մ° - միավոր բեռի մոմենտների հավասարումը; 7-ը կառուցվածքի հատվածի կոշտությունն է:

Գծային տեղաշարժը որոշելու համար հատվածի վրա կիրառվում է միավոր անչափ ուժ, իսկ անկյունային տեղաշարժը որոշելու համար՝ միավոր անչափ մոմենտ։ Մշտական ​​կոշտություն ունեցող կառույցի համար այն կարելի է դուրս բերել ինտեգրալ նշանից, ապա

Որպես օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք Mohr ինտեգրալը նկ. 6.27

Բրինձ. 6.27

Քանի որ ճկման մոմենտների ֆունկցիաները գրաֆիկորեն արտահայտվում են մոմենտի դիագրամներով, հնարավոր է թվում արտահայտել Մոհրի ինտեգրալը երկայնքով գծապատկերների տարածքների և օրդինատների առումով: Վերեշչագինի կանոնը , այլ կերպ կոչվում է դիագրամների բազմապատկմամբ: Այս կանոնը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. պահանջվող ինտեգրալը հավասար է բեռնվածքի դիագրամի M տարածքի արտադրյալին և դրա ծանրության կենտրոնի տակ գտնվող միավորի դիագրամի օրդինատին:Բեռներ անվանված է արտաքին ուժերի ճկման մոմենտների դիագրամը։

Դիագրամների տարածքները և օրդինատները վերցված են գումարած կամ մինուս նշաններով, և դրական արդյունքը նշանակում է, որ ցանկալի տեղաշարժի ուղղությունը համընկնում է միավորի բեռի ուղղության հետ: Եթե ​​դիտարկվող կառույցն ունի մի քանի բաժին, ապա յուրաքանչյուր հատվածի համար հաշվարկներ են կատարվում առանձին, և արդյունքն ամփոփվում է։

Որպես օրինակ, եկեք որոշենք, օգտագործելով Վերեշչագինի կանոնը, գծային տեղաշարժը և ճառագայթի ծայրային հատվածի պտտման անկյունը, որը ներկայացված է Նկ. 6.24.

Ճառագայթի ազատ ծայրի գծային տեղաշարժը որոշելու համար մենք ուղղահայաց միավորի ուժ ենք կիրառում դրա ծայրին և հաշվի ենք առնում բեռի դիագրամը և միավորի ուժի մոմենտների դիագրամը։ Հետո

որը համընկնում է y-ի արտահայտության հետ V, ստացված օրինակ 6.8-ում:

Ճառագայթի ծայրամասի պտտման անկյունը որոշելու համար դրա ծայրին կիրառում ենք միավոր մոմենտ և կառուցում դիագրամ։ Հետո

Դրական պատասխանները նշանակում են, որ միավորի բեռների և տեղաշարժերի ուղղությունները համընկնում են: Մենք ստանում ենք նույն արդյունքը, եթե միավորի դիագրամի տարածքը բազմապատկենք բեռի դիագրամի օրդինատով, որը գտնվում է միավորի գծապատկերի տարածքի ծանրության կենտրոնից վեր:

Համակարգի ստատիկ անորոշությունը բացահայտելու համար հենարաններից մեկը պետք է դեն նետվի, փոխարինվի ռեակցիաներով, կիրառվի միավոր բեռ, այնուհետև կառուցվեն բեռի և միավորի դիագրամները: Դիագրամները բազմապատկելով Վերեշչագինի կանոնի համաձայն և ստացված տեղաշարժը հավասարեցնելով զրոյի, մենք ստանում ենք լրացուցիչ հավասարում, որն անհրաժեշտ է համակարգի ստատիկ անորոշությունը բացահայտելու համար:

Օրինակ 6.11

Ընդլայնել երկու հենարանով քառակուսի շրջանակի ստատիկ անորոշությունը կողքով / ցույց է տրված Նկ. 6.28, Ա.

Լուծում. Եկեք դեն նետենք հենարանները՝ դրանք փոխարինելով ռեակցիաներով Хь Y u Х 2, Յ 2. Կազմելով հենակների մասին պահերի հավասարումը և դրանք լուծելով՝ ստանում ենք Y2-P , Y x = -P . Հորիզոնական առանցքի վրա պրոյեկցիայի հավասարումը P-X x + X 2 = 0-ն ունի երկու անհայտ: Եկեք կիրառենք միավորի ուժ շրջանակի աջ ծայրին, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 6.28, դ և կառուցիր առանձին պահերի դիագրամ: Նկ. 6.28, վիգ Կառուցվել են ճկման պահերի բեռնվածքի դիագրամներ: Բազմապատկում ըստ կանոնի

Բրինձ. 6.28

Վերեշչագինի բեռի և միավորի դիագրամները, մենք ստանում ենք լրացուցիչ հավասարում, որն անհրաժեշտ է շրջանակի ստատիկ անորոշությունը բացահայտելու համար:

Երրորդ անդամում մինուս նշանն առաջանում է ակտիվ ուժի դիագրամների պատճառով Ռ իսկ միավորի ուժը գտնվում են ձողի առանցքի հակառակ կողմերում:

Հաշվարկները կատարելուց հետո մենք ստանում ենք , որտեղ. Պատասխանում մինուս նշանակում է, որ արձագանքը X 2 ուղղված հակառակ ուղղությամբ. Հաջորդը մենք գտնում ենք

Ընդհանուր դեպքում (փոփոխական խաչմերուկի ձող, բեռների բարդ համակարգ) Mohr ինտեգրալը որոշվում է թվային ինտեգրմամբ։ Գործնականորեն կարևոր շատ դեպքերում, երբ հատվածի կոշտությունը հաստատուն է ձողի երկարությամբ, Mohr ինտեգրալը կարող է հաշվարկվել Վերեշչագինի կանոնով։ Դիտարկենք Mohr ինտեգրալի սահմանումը a-ից մինչև 6 հատվածում (նկ. 9.18):

Բրինձ. 9.18. Վերեշչագինի կանոնը Mohr ինտեգրալը հաշվարկելու համար

Միակ ուժի գործոնից պահի դիագրամները բաղկացած են ուղիղ հատվածներից: Առանց ընդհանրության կորստի, մենք ենթադրում ենք, որ տարածքում

որտեղ A և B գծի պարամետրերն են.

Քննարկվող հաստատուն խաչմերուկի հատվածի Mohr ինտեգրալն ունի ձև

որտեղ F-ը կորի տակի տարածքն է (արտաքին ուժերից ճկման մոմենտների գծապատկերի տարածքը z հատվածում):

որտեղ է գտնվում տարածքի ծանրության կենտրոնի աբսցիսան:

Հավասարությունը (109) վավեր է, երբ նշանը չի փոխվում տարածքի ներսում և կարող է դիտվել որպես գծապատկերի տարածքի տարր: Այժմ (107) - (109) հարաբերություններից մենք ստանում ենք

Միավոր բեռի պահը հատվածում

Վերեշչագինի կանոնի օգտագործման օժանդակ աղյուսակը տրված է Նկ. 9.19.

Նշումներ. 1. Եթե հատվածի վրա արտաքին ուժերի ներգործության գծապատկերը գծային է (օրինակ՝ կենտրոնացված ուժերի և մոմենտների ազդեցության տակ), ապա կանոնը կարող է կիրառվել հակառակ ձևով՝ բազմապատկել դիագրամի մակերեսը մեկ ուժի գործակիցը գծագրի օրդինատով, որը համապատասխանում է տարածքի ծանրության կենտրոնին: Սա բխում է վերը նշված ապացույցից.

2. Վերեշչագինի կանոնը կարող է տարածվել մինչև Mohr ինտեգրալը ընդհանուր ձևով (հավասարում (103)):

Բրինձ. 9.19. Մոմենտների ծանրության կենտրոնների տարածքները և դիրքերը

Բրինձ. 9.20. Վերեշչագինի կանոնի միջոցով շեղման և պտտման անկյունների որոշման օրինակներ

Հիմնական պահանջը հետևյալն է. հատվածում միավորի բեռից ներքին ուժի գործակիցները պետք է լինեն գծային ֆունկցիաներ ձողի առանցքի երկայնքով (գծային դիագրամներ):

Օրինակներ. 1. Որոշեք շեղումը կոնսերտի գավազանի A կետում կենտրոնացված մոմենտի M-ի ազդեցության տակ (նկ. 9.20, ա):

A կետում շեղումը որոշվում է բանաձևով (հակիրճության համար ինդեքսը բաց է թողնվում)

Մինուս նշանը պայմանավորված է նրանով, որ նրանք ունեն տարբեր նշաններ:

2. Բաշխված բեռի ազդեցության տակ որոշեք շեղումը կոնսերտի գավազանի A կետում:

Շեղումը որոշվում է բանաձևով

Ճկման պահի M-ի և արտաքին բեռից կտրող ուժի Q-ի դիագրամները ներկայացված են Նկ. 9.20, b, ստորև այս նկարում տրված են գծապատկերներ միավոր ուժի ազդեցության տակ: Հաջորդը մենք գտնում ենք

3. Որոշեք A կետում շեղումը և B կետում պտտման անկյունը կենտրոնացված մոմենտով բեռնված երկու հենակետային ճառագայթի համար (նկ. 9.20.):

Շեղումը որոշվում է բանաձևով (մենք անտեսում ենք կտրվածքի դեֆորմացիան)

Քանի որ միավորի ուժի պահի դիագրամը մեկ տողով չի պատկերված. այնուհետև մենք ինտեգրալը բաժանում ենք երկու մասի.

B կետում պտտման անկյունը հավասար է

Մեկնաբանություն. Վերոհիշյալ օրինակներից պարզ է դառնում, որ Վերեշչագինի մեթոդը պարզ դեպքերում թույլ է տալիս արագ որոշել շեղումները և պտտման անկյունները: Կարևոր է կիրառել միայն նշանների մեկ կանոնը, եթե գավազանը ճկելիս մենք համաձայնում ենք «ձգված մանրաթելի» վրա կառուցել ճկման պահերի դիագրամներ (տես Նկար 9.20), ապա անմիջապես հեշտ է տեսնել դրականը և պահերի բացասական արժեքները.

Վերեշչագինի կանոնի հատուկ առավելությունն այն է, որ այն կարող է օգտագործվել ոչ միայն ձողերի, այլև շրջանակների համար (Բաժին 17):

Վերեշչագինի կանոնի կիրառման սահմանափակումներ.

Այս սահմանափակումները բխում են (110) բանաձևից, բայց եկեք կրկին ուշադրություն դարձնենք դրանց վրա։

1. Միավոր բեռից ճկման պահի դիագրամը պետք է լինի մեկ ուղիղ գծի տեսքով: Նկ. 9.21, և ցույց է տալիս այն դեպքը, երբ այս պայմանը չի կատարվում: Mohr ինտեգրալը պետք է առանձին հաշվարկվի I և II բաժինների համար:

2. Հատվածի ներսում արտաքին բեռից ճկման պահը պետք է ունենա նույն նշանը: Նկ. Նկար 9.21, բ-ը ցույց է տալիս այն դեպքը, երբ Վերեշչագինի կանոնը պետք է կիրառվի յուրաքանչյուր հատվածի համար առանձին: Այս սահմանափակումը չի տարածվում մեկ բեռի պահի վրա:

Բրինձ. 9.21. Սահմանափակումներ Վերեշչագինի կանոնն օգտագործելիս. ա - դիագրամը ընդմիջում ունի. բ - դիագրամն ունի տարբեր նշաններ. գ - ձողը ունի տարբեր հատվածներ

3. Ձողի կոշտությունը հատվածի ներսում պետք է լինի հաստատուն, հակառակ դեպքում ինտեգրումը պետք է առանձին տարածվի մշտական ​​կոշտությամբ հատվածների վրա: Մշտական ​​կոշտության սահմանափակումներից կարելի է խուսափել դիագրամների գծագրմամբ: