Օգտագործելով հաշվիչը

Արտահայտությունը գնահատելու համար դուք պետք է մուտքագրեք տող, որը պետք է գնահատվի: Թվեր մուտքագրելիս ամբողջ թվի և կոտորակային մասերի միջև բաժանարարը կետ է։ Դուք կարող եք օգտագործել փակագծերը: Կոմպլեքս թվերի վրա գործողություններ են՝ բազմապատկում (*), բաժանում (/), գումարում (+), հանում (-), աստիճանավորում (^) և այլն։ Բարդ թվեր գրելու համար կարող եք օգտագործել էքսպոնենցիալ և հանրահաշվական ձևեր: Մուտքագրեք երևակայական միավորը եսդա հնարավոր է առանց բազմապատկման նշանի, այլ դեպքերում բազմապատկման նշանը պահանջվում է, օրինակ՝ փակագծերի միջև կամ թվի և հաստատունի միջև։ Կարող են օգտագործվել նաև հաստատուններ՝ π թիվը մուտքագրվում է որպես pi, ցուցիչ ե, ցուցիչի ցանկացած արտահայտություն պետք է շրջապատված լինի փակագծերով:

Հաշվարկի օրինակելի տող. (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), որը համապատասխանում է \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\] արտահայտությանը:

Հաշվիչը կարող է օգտագործել հաստատուններ, մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, լրացուցիչ գործողություններ և ավելի բարդ արտահայտություններ, դուք կարող եք ծանոթանալ այս հատկանիշներին այս կայքում հաշվիչներ օգտագործելու ընդհանուր կանոնների էջում:

Կայքը կառուցման փուլում է, որոշ էջեր կարող են հասանելի չլինել:

Նորություններ

07.07.2016
Ավելացրել է հաշվիչ ոչ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման համար.

30.06.2016
Կայքն ունի ռեսպոնսիվ դիզայն, էջերը պատշաճ կերպով ցուցադրվում են ինչպես մեծ մոնիտորների, այնպես էլ շարժական սարքերի վրա։

Հովանավոր

RGRONline.ru – էլեկտրատեխնիկական աշխատանքի ակնթարթային լուծում առցանց:

Դասարան 12 . Կոմպլեքս թվեր.

12.1. Բարդ թվերի սահմանումը հանրահաշվական ձևով. Կոմպլեքս թվերի համեմատությունը և ներկայացումը բարդ հարթության վրա: Համալիր զուգավորում. Բարդ թվերի գումարում, բազմապատկում, բաժանում:

12.2. Մոդուլ, կոմպլեքս թվի արգումենտ։

12.3. Բարդ թվեր գրելու եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերը.

12.4. Բարձրացում մինչև ամբողջ թվի և բարդ թվի արմատի դուրսբերում:

Բարդ թվերի սահմանումը հանրահաշվական ձևով. Կոմպլեքս թվերի համեմատությունը և ներկայացումը բարդ հարթության վրա: Համալիր զուգավորում. Բարդ թվերի գումարում, բազմապատկում, բաժանում:

Հանրահաշվական ձևով կոմպլեքս թիվը թիվն է

Որտեղ
կանչեց երևակայական միավորԵվ
- իրական թվեր.
կանչեց իրական (իրական) մաս;
- երևակայական մասհամալիր համարը . Ձևի բարդ թվեր
կոչվում են զուտ երևակայական թվեր. Բոլոր կոմպլեքս թվերի բազմությունը նշվում է տառով .

Ա-նախնական,

Բոլոր իրական թվերի բազմությունը հավաքածուի մի մասն է
: Մյուս կողմից, կան բարդ թվեր, որոնք չեն պատկանում բազմությանը . Օրինակ,
Եվ
, որովհետեւ
.

Հանրահաշվական ձևով բարդ թվերը բնականաբար առաջանում են բացասական դիսկրիմինանտով քառակուսի հավասարումներ լուծելիս:

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը
.

Լուծում. ,

Հետևաբար, տրված քառակուսի հավասարումը բարդ արմատներ ունի

,
.

Օրինակ 2. Գտե՛ք բարդ թվերի իրական և երևակայական մասերը

,

,
.

Ըստ այդմ՝ թվի իրական և երևակայական մասերը ,

Ցանկացած բարդ թիվ
ներկայացված է վեկտորով բարդ հարթության վրա , որը ներկայացնում է դեկարտյան կոորդինատային համակարգով հարթություն
. Վեկտորի սկիզբը գտնվում է կետում , իսկ վերջը կոորդինատներով կետում է
(Նկար 1.) Առանցք
կոչվում է իրական առանցք, իսկ առանցք
- բարդ հարթության երևակայական առանցքը .

Բարդ թվերը միմյանց հետ համեմատվում են միայն նշաններով
. . Եթե ​​հավասարություններից առնվազն մեկը.
խախտվում է, ուրեմն
. Տեսակի գրառումներ
իմաստ չունի.

Ըստ սահմանման՝ բարդ թիվ
կոչվում է թվի բարդ խոնարհում
. Այս դեպքում գրում են
. Ակնհայտ է, որ
. Ամենուր, ներքևում, բարդ թվի վերևում գտնվող գիծը կնշանակի բարդ խոնարհում:

Օրինակ, .

Դուք կարող եք կատարել գործողություններ բարդ թվերի վրա, ինչպիսիք են գումարումը (հանումը), բազմապատկումը և բաժանումը:

1. Կոմպլեքս թվերի գումարումարված է այսպես.

Լրացման գործողության հատկությունները.

- փոխադարձության հատկություն;

- ասոցիատիվության սեփականություն.

Հեշտ է տեսնել, որ բարդ թվերի գումարումը երկրաչափական առումով
նշանակում է դրանց համապատասխանների ավելացում ինքնաթիռում վեկտորները ըստ զուգահեռագծի կանոնի.

Թվերի հանման գործողություն համարից արված է այսպես.

2. Կոմպլեքս թվերի բազմապատկումարված է այսպես.

Բազմապատկման գործողության հատկությունները.

- փոխադարձության հատկություն;

- ասոցիատիվության սեփականություն.

- բաշխման օրենքը.

3. Կոմպլեքս թվերի բաժանում հնարավոր է միայն
և արվում է այսպես.

.

Օրինակ 3. Գտեք
, Եթե .

Օրինակ 4. Հաշվիր
, Եթե .

z, քանի որ
.

.(վայ!)

Դժվար չէ ստուգել (առաջարկվում է դա անել ինքներդ) հետևյալ պնդումների վավերականությունը.

Մոդուլ, կոմպլեքս թվի արգումենտ։

Կոմպլեքս թվի մոդուլ
(մոդուլ նշվում է ) ոչ բացասական թիվ է
, այսինքն.
.

Երկրաչափական իմաստ - թիվը ներկայացնող վեկտորի երկարությունը բարդ հարթության վրա . Հավասարումը
սահմանում է բոլոր թվերի բազմությունը (վեկտորները ըստ ), որի ծայրերը գտնվում են միավոր շրջանագծի վրա
.

Համալիր թվի փաստարկ
(փաստարկ նշվում է
) սա անկյուն է իրական առանցքի միջև ռադիաններով
և համարը բարդ հարթության վրա , և դրական, եթե այն հաշվարկվում է
նախքան ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ և բացասական, եթե չափվում է առանցքից
նախքան ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ.

Այսպիսով, թվի փաստարկը որոշվում է ոչ միանշանակ՝ մինչև ժամկետ
, Որտեղ
. Միանշանակ թվային փաստարկ որոշվում է միավորի շրջանագծի մեկ շրջանի ընթացքում
մակերեսի վրա . Սովորաբար դուք պետք է գտնեք
միջակայքում
,այս արժեքը կոչվում է թվի փաստարկի հիմնական արժեք և նշանակված է
.

Եվ
թվեր կարելի է գտնել հավասարումից
, որտեղ Պարտադիր պետք է հաշվի առնել, ինքնաթիռի որ քառորդում գտնվում է վեկտորի վերջը - կետ
:

Եթե
(ինքնաթիռի 1-ին քառորդ ), դա;

Եթե
(ինքնաթիռի 2-րդ քառորդ ), Դա;

Եթե
(ինքնաթիռի 3-րդ քառորդ ), դա;

Եթե
(ինքնաթիռի 4-րդ քառորդ ), որ.

Փաստորեն թվի մոդուլն ու արգումենտը
, սրանք բևեռային կոորդինատներ են
միավորներ
- վեկտորի վերջը մակերեսի վրա .

Օրինակ 5. Գտեք թվերի արգումենտի մոդուլը և հիմնական արժեքը.

.

Կացինների վրա ընկած թվերի փաստարկներ
, բաժանելով համալիր հարթության 1,2,3,4 քառորդները , կարելի է անմիջապես գտնել հարթության վրա այս թվերի գրաֆիկական պատկերներից .

Բարդ թվեր գրելու եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերը. Կոմպլեքս թվերի բազմապատկում և բաժանում եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ նշումներով:

Եռանկյունաչափական նշումհամալիր համարը
ունի ձև.

, (2)

Որտեղ - մոդուլ, - բարդ թվի փաստարկ . Կոմպլեքս թվերի այս ներկայացումը բխում է հավասարություններից:

Ինդիկատիվ(էքսպոնենցիալ) կոմպլեքս թվի գրման ձևը
ունի ձև.

, (3)

Որտեղ - մոդուլ, - թվի փաստարկ . Կոմպլեքս թվերը (3) էքսպոնենցիալ ձևով ներկայացնելու հնարավորությունը բխում է եռանկյունաչափական ձևից (2) և Էյլերի բանաձևից.

. (4)

Այս բանաձևն ապացուցված է TFKP-ի (Բարդ փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն) ընթացքում։

Օրինակ 6. Գտե՛ք բարդ թվերի եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերը՝ օրինակ 5-ից:

Լուծում. Եկեք օգտագործենք օրինակ 5-ի արդյունքները, որում գտնված են բոլոր նշված թվերի մոդուլներն ու արգումենտները։

,

.

- Թիվ գրելու եռանկյունաչափական ձև ,

- թիվ գրելու էքսպոնենցիոնալ ձև .

3)

- Թիվ գրելու եռանկյունաչափական ձև ,

- թիվ գրելու էքսպոնենցիոնալ ձև .

Թիվ գրելու եռանկյունաչափական ձև ,

- թիվ գրելու էքսպոնենցիոնալ ձև .

5)

- Թիվ գրելու եռանկյունաչափական ձև ,

- թիվ գրելու էքսպոնենցիոնալ ձև .

Թվի եռանկյունաչափական ձև ,

.

7)

- Թիվ գրելու եռանկյունաչափական ձև ,

- թվի էքսպոնենցիալ ձև .

- Թիվ գրելու եռանկյունաչափական ձև ,

- թիվ գրելու էքսպոնենցիոնալ ձև .

Բարդ թվեր գրելու էքսպոնենցիալ ձևը հանգեցնում է բարդ թվերի բազմապատկման և բաժանման գործողությունների հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությանը. Թող
- թվերի էքսպոնենցիոնալ ձևեր
.

1. Կոմպլեքս թվերը բազմապատկելիս դրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում են.

2. Կոմպլեքս թիվը բաժանելիս մեկ թվով պարզվում է կոմպլեքս թիվ է , մոդուլ որը հավասար է մոդուլների հարաբերակցությանը , և փաստարկը - տարբերություններ
թվային փաստարկներ
.

Բարձրացում մինչև ամբողջ թվի և բարդ թվի արմատի դուրսբերում:

Ա-նախնական,

Երբ բարձրացվում է մի ամբողջ իշխանության համալիր համարը
, դուք պետք է շարունակեք այսպես. նախ գտեք մոդուլը և փաստարկ այս թիվը; ներկայացնել ցուցադրական ձևով
; գտնել
կատարելով գործողությունների հետևյալ հաջորդականությունը

Որտեղ. (5)

Մեկնաբանություն.Փաստարկ
թվեր
կարող է չպատկանել միջակայքին
. Այս դեպքում, ըստ ստացված արժեքի գտնել հիմնական իմաստը փաստարկ

թվեր
, գումարելով (կամ հանելով) մի թիվ
այս իմաստով
, դեպի

պատկանել է միջակայքին
. Դրանից հետո դուք պետք է փոխարինեք բանաձևերում (5) վրա .

Օրինակ 7. Գտեք Եվ
, Եթե
.

1)
=
(տես համարը օրինակ 6-ից):

2)
, Որտեղ
.
.
.

Հետևաբար, կարող է փոխարինվել և-ով, ինչը նշանակում է

Որտեղ
.

3)
, Որտեղ
.
.

Մենք կփոխարինենք վրա . Հետևաբար,

Արմատների արդյունահանում րդ աստիճան
կոմպլեքս թվից
իրականացվում է Moivre-Laplace բանաձեւով

Կոմպլեքս թվեր

Երևակայական Եվ բարդ թվեր. Աբսցիսա և օրդինատ

համալիր համարը. Խոնարհել բարդ թվեր.

Գործողություններ բարդ թվերով. Երկրաչափական

կոմպլեքս թվերի ներկայացում. Կոմպլեքս ինքնաթիռ.

Կոմպլեքս թվի մոդուլը և արգումենտը: Եռանկյունաչափական

բարդ թվերի ձև. Գործառնություններ համալիրով

թվեր եռանկյունաչափական ձևով. Moivre-ի բանաձեւը.

Հիմնական տեղեկությունների մասին երևակայական Եվ բարդ թվեր տրված են «Երևակայական և բարդ թվեր» բաժնում: Այս նոր տիպի թվերի անհրաժեշտությունը առաջացավ դեպքի համար քառակուսի հավասարումներ լուծելիսԴ< 0 (здесь Դ– քառակուսի հավասարման տարբերակիչ): Երկար ժամանակ այս թվերը ֆիզիկական կիրառություն չէին գտնում, ինչի պատճառով էլ դրանք կոչվում էին «երևակայական» թվեր։ Սակայն այժմ դրանք շատ լայնորեն կիրառվում են ֆիզիկայի տարբեր բնագավառներում։

և տեխնոլոգիա՝ էլեկտրատեխնիկա, հիդրո- և աերոդինամիկա, առաձգականության տեսություն և այլն։

Կոմպլեքս թվեր գրված են ձևով.ա+բի. Այստեղ աԵվ բ – իրական թվեր , Ա ես – երևակայական միավոր, այսինքն.ե. ես 2 = –1. Թիվ ականչեց abscissa, ա բ – օրդինականհամալիր համարըա + բի.Երկու կոմպլեքս թվերա+բիԵվ ա–բի կոչվում են զուգորդելբարդ թվեր.

Հիմնական պայմանագրեր.

1. Իրական թիվԱկարող է գրվել նաև ձևովհամալիր համարը:ա+ 0 եսկամ ա – 0 ես. Օրինակ, գրառումները 5 + 0եսև 5-0 եսնշանակում է նույն թիվը 5 .

2. Համալիր թիվ 0 + երկկանչեց զուտ երևակայական թիվ. Գրառումերկնշանակում է նույնը, ինչ 0 + երկ.

3. Երկու կոմպլեքս թվերա+բի Եվգ + դիհամարվում են հավասար, եթեa = cԵվ բ = դ. Հակառակ դեպքում կոմպլեքս թվերը հավասար չեն.

Հավելում. Կոմպլեքս թվերի գումարըա+բիԵվ գ + դիկոչվում է կոմպլեքս թիվ (ա+գ ) + (բ+դ ) ես.Այսպիսով, ավելացնելիս կոմպլեքս թվերը, դրանց աբսցիսներն ու օրդինատները գումարվում են առանձին։

Այս սահմանումը համապատասխանում է սովորական բազմանդամների հետ գործողությունների կանոններին:

Հանում. Երկու կոմպլեքս թվերի տարբերությունըա+բի(նվազել է) և գ + դի(ենթահող) կոչվում է բարդ թիվ (ա–ք ) + (բ–դ ) ես.

Այսպիսով, Երկու կոմպլեքս թվեր հանելիս դրանց աբսցիսներն ու օրդինատները հանվում են առանձին։

Բազմապատկում. Կոմպլեքս թվերի արտադրյալա+բիԵվ գ + դի կոչվում է բարդ թիվ.

(ac–bd ) + (ad+bc ) ես.Այս սահմանումը բխում է երկու պահանջներից.

1) թվեր ա+բիԵվ գ + դիպետք է բազմապատկել հանրահաշվի պեսերկանդամներ,

2) համարը եսունի հիմնական գույքը.ես 2 = – 1.

ՕՐԻՆԱԿ ( a+ bi )(ա–բի) =ա 2 + բ 2 . Հետևաբար, աշխատանք

երկու խոնարհված բարդ թվեր հավասար են իրականին

դրական թիվ.

Բաժանում. Բաժանեք բարդ թիվա+բի (բաժանելի) մյուսի վրագ + դի(բաժանարար) - նշանակում է գտնել երրորդ թիվըe + f i(chat), որը երբ բազմապատկվում է բաժանարարովգ + դի, հանգեցնում է շահաբաժնիա + բի.

Եթե ​​բաժանարարը զրո չէ, բաժանումը միշտ հնարավոր է:

ՕՐԻՆԱԿ Գտեք (8 +ես ) : (2 – 3 ես) .

Լուծում Եկեք վերագրենք այս հարաբերակցությունը որպես կոտորակ.

Նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 2 + 3-ովես

ԵՎ Կատարելով բոլոր վերափոխումները՝ մենք ստանում ենք.

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ներկայացում: Իրական թվերը ներկայացված են թվային տողի կետերով.

Այստեղ է կետը Անշանակում է թիվը –3, կետԲ– թիվ 2, և Օ- զրո. Ի հակադրություն, կոմպլեքս թվերը ներկայացված են կոորդինատային հարթության կետերով: Այդ նպատակով մենք ընտրում ենք ուղղանկյուն (դեկարտյան) կոորդինատներ՝ նույն սանդղակներով երկու առանցքների վրա։ Հետո կոմպլեքս թիվըա+բի կներկայացվի կետով Պ աբսցիսով ա և բ (տես նկարը): Այս կոորդինատային համակարգը կոչվում է բարդ հարթություն .

Մոդուլ կոմպլեքս թիվը վեկտորի երկարությունն էOP, որը ներկայացնում է կոմպլեքս թիվ կոորդինատի վրա ( համապարփակ) Ինքնաթիռ. Կոմպլեքս թվի մոդուլա+բինշվում է | ա+բի| կամ նամակ r

Բարդ թվերի հետ խնդիրներ լուծելու համար անհրաժեշտ է հասկանալ հիմնական սահմանումները: Այս վերանայման հոդվածի հիմնական նպատակն է բացատրել, թե ինչ են բարդ թվերը և ներկայացնել բարդ թվերով հիմնական խնդիրների լուծման մեթոդներ: Այսպիսով, բարդ թիվը կկոչվի ձևի թիվ z = a + bi, Որտեղ ա, բ- իրական թվեր, որոնք, համապատասխանաբար, կոչվում են բարդ թվի իրական և երևակայական մասեր և նշանակում. a = Re(z), b=Im(z).
եսկոչվում է երևակայական միավոր: ես 2 = -1. Մասնավորապես, ցանկացած իրական թիվ կարելի է համարել բարդ. a = a + 0i, որտեղ a-ն իրական է: Եթե a = 0Եվ b ≠ 0, ապա թիվը սովորաբար կոչվում է զուտ երևակայական։

Այժմ ներկայացնենք գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա։
Դիտարկենք երկու բարդ թվեր z 1 = a 1 + b 1 iԵվ z 2 = a 2 + b 2 i.

Եկեք դիտարկենք z = a + bi.

Կոմպլեքս թվերի բազմությունն ընդլայնում է իրական թվերի բազմությունը, որն իր հերթին երկարացնում է ռացիոնալ թվերի բազմությունը և այլն։ Ներդրումների այս շղթան երևում է նկարում. N՝ բնական թվեր, Z՝ ամբողջ թվեր, Q՝ ռացիոնալ, R՝ իրական, C՝ բարդ։

Կոմպլեքս թվերի ներկայացում

Հանրահաշվական նշում.

Դիտարկենք բարդ թիվ z = a + bi, կոմպլեքս թվեր գրելու այս ձևը կոչվում է հանրահաշվական. Նախորդ բաժնում մենք արդեն մանրամասն քննարկել ենք ձայնագրման այս ձևը: Բավական հաճախ օգտագործվում է հետևյալ տեսողական նկարը

Եռանկյունաչափական ձև.

Նկարից երևում է, որ թիվը z = a + biկարելի է այլ կերպ գրել. Ակնհայտ է, որ a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|, հետևաբար z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) կոչվում է բարդ թվի արգումենտ: Կոմպլեքս թվի այս ներկայացումը կոչվում է եռանկյունաչափական ձև. Նշման եռանկյունաչափական ձևը երբեմն շատ հարմար է: Օրինակ, հարմար է այն օգտագործել կոմպլեքս թիվը հասցնելու համար ամբողջ թվի, այն է՝ եթե z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Դա z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, այս բանաձեւը կոչվում է Moivre-ի բանաձեւը.

Ցուցադրական ձև.

Եկեք դիտարկենք z = rcos(φ) + rsin(φ)i- կոմպլեքս թիվ եռանկյունաչափական ձևով, գրի՛ր այլ ձևով z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφՎերջին հավասարությունը բխում է Էյլերի բանաձևից, հետևաբար մենք ստացել ենք բարդ թվի գրման նոր ձև. z = re iφ, որը կոչվում է ցուցիչ. Նշման այս ձևը նաև շատ հարմար է կոմպլեքս թիվը հզորության հասցնելու համար. z n = r n e inφ, Այստեղ nպարտադիր չէ, որ ամբողջ թիվ, բայց կարող է լինել կամայական իրական թիվ: Նշման այս ձևը բավականին հաճախ օգտագործվում է խնդիրների լուծման համար:

Բարձրագույն հանրահաշվի հիմնարար թեորեմ

Եկեք պատկերացնենք, որ մենք ունենք քառակուսի հավասարում x 2 + x + 1 = 0: Ակնհայտ է, որ այս հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է և չունի իրական արմատներ, բայց պարզվում է, որ այս հավասարումն ունի երկու տարբեր բարդ արմատներ: Այսպիսով, բարձրագույն հանրահաշվի հիմնարար թեորեմն ասում է, որ n աստիճանի ցանկացած բազմանդամ ունի առնվազն մեկ բարդ արմատ: Այստեղից հետևում է, որ n աստիճանի ցանկացած բազմանդամն ունի ճշգրիտ n բարդ արմատ՝ հաշվի առնելով դրանց բազմապատկությունը։ Այս թեորեմը շատ կարևոր արդյունք է մաթեմատիկայի մեջ և լայն կիրառություն ունի։ Այս թեորեմի պարզ հետևանքն այն է, որ կան միասնության n աստիճանի ճիշտ n տարբեր արմատներ:

Առաջադրանքների հիմնական տեսակները

Այս բաժնում կքննարկվեն բարդ թվեր պարունակող պարզ խնդիրների հիմնական տեսակները: Պայմանականորեն, բարդ թվերի հետ կապված խնդիրները կարելի է բաժանել հետևյալ կատեգորիաների.

• Բարդ թվերի վրա պարզ թվաբանական գործողություններ կատարելը.
• Գտնել բազմանդամների արմատները կոմպլեքս թվերում:
• Կոմպլեքս թվերը հզորությունների հասցնելը:
• Արմատներ հանելը բարդ թվերից:
• Կոմպլեքս թվերի օգտագործումը այլ խնդիրներ լուծելու համար:

Հիմա եկեք նայենք այս խնդիրների լուծման ընդհանուր մեթոդներին:

Բարդ թվերով ամենապարզ թվաբանական գործողությունները կատարվում են առաջին բաժնում նկարագրված կանոնների համաձայն, բայց եթե բարդ թվերը ներկայացված են եռանկյունաչափական կամ էքսպոնենցիալ ձևերով, ապա այս դեպքում կարող եք դրանք վերածել հանրահաշվական ձևի և կատարել գործողություններ՝ ըստ հայտնի կանոնների:

Բազմանդամների արմատները գտնելը սովորաբար հանգում է քառակուսի հավասարման արմատները գտնելուն: Ենթադրենք, որ ունենք քառակուսի հավասարում, եթե դրա դիսկրիմինանտը ոչ բացասական է, ապա դրա արմատները իրական կլինեն և կարելի է գտնել հայտնի բանաձևով։ Եթե ​​տարբերակիչը բացասական է, այսինքն. D = -1∙a 2, Որտեղ աորոշակի թիվ է, ապա դիսկրիմինանտը կարող է ներկայացվել որպես D = (ia) 2, հետևաբար √D = i|a|, և այնուհետև կարող եք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների արդեն հայտնի բանաձևը։

Օրինակ. Վերադառնանք վերը նշված քառակուսային հավասարմանը x 2 + x + 1 = 0:
Խտրական - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել արմատները.

Բարդ թվերը հզորությունների հասցնելը կարող է իրականացվել մի քանի ձևով. Եթե ​​ձեզ անհրաժեշտ է հանրահաշվական ձևով կոմպլեքս թիվը հասցնել փոքր հզորության (2 կամ 3), ապա դա կարող եք անել ուղղակի բազմապատկմամբ, բայց եթե հզորությունն ավելի մեծ է (խնդիրներում այն ​​հաճախ շատ ավելի մեծ է), ապա ձեզ հարկավոր է. Գրեք այս թիվը եռանկյունաչափական կամ էքսպոնենցիալ ձևերով և օգտագործեք արդեն հայտնի մեթոդները:

Օրինակ. Դիտարկենք z = 1 + i և բարձրացրե՛ք այն տասներորդ աստիճանի:
Գրենք z էքսպոնենցիալ ձևով՝ z = √2 e iπ/4:
Հետո z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Վերադառնանք հանրահաշվական ձևին՝ z 10 = -32i:

Կոմպլեքս թվերից արմատներ հանելը հզորության հակադարձ գործողությունն է և, հետևաբար, կատարվում է նույն ձևով: Արմատներ հանելու համար հաճախ օգտագործվում է թիվ գրելու էքսպոնենցիալ ձևը։

Օրինակ. Եկեք գտնենք միասնության 3 աստիճանի բոլոր արմատները: Դա անելու համար մենք կգտնենք z 3 = 1 հավասարման բոլոր արմատները, մենք կփնտրենք արմատները էքսպոնենցիալ տեսքով:
Եկեք փոխարինենք հավասարման մեջ՝ r 3 e 3iφ = 1 կամ r 3 e 3iφ = e 0 :
Հետևաբար՝ r = 1, 3φ = 0 + 2πk, հետևաբար φ = 2πk/3:
Տարբեր արմատներ են ստացվում φ = 0, 2π/3, 4π/3:
Հետևաբար 1, e i2π/3, e i4π/3 արմատներ են։
Կամ հանրահաշվական ձևով.

Խնդիրների վերջին տեսակը ներառում է խնդիրների հսկայական բազմազանություն, և դրանց լուծման ընդհանուր մեթոդներ չկան: Եկեք նման առաջադրանքի պարզ օրինակ բերենք.

Գտեք գումարը sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Թեև այս խնդրի ձևակերպումը չի ներառում բարդ թվեր, սակայն դրանց օգնությամբ այն կարելի է հեշտությամբ լուծել։ Այն լուծելու համար օգտագործվում են հետևյալ ներկայացումները.


Եթե ​​մենք այժմ փոխարինենք այս ներկայացումը գումարով, ապա խնդիրը կնվազի սովորական երկրաչափական առաջընթացի գումարման վրա:

Եզրակացություն

Կոմպլեքս թվերը լայնորեն կիրառվում են մաթեմատիկայի մեջ. այս վերանայման հոդվածը ուսումնասիրել է բարդ թվերի վերաբերյալ հիմնական գործողությունները, նկարագրել է ստանդարտ խնդիրների մի քանի տեսակներ և համառոտ նկարագրել դրանց լուծման ընդհանուր մեթոդները. կոմպլեքս թվերի հնարավորությունների ավելի մանրամասն ուսումնասիրության համար խորհուրդ է տրվում օգտագործել մասնագիտացված գրականություն.

գրականություն

§ 1. Բարդ թվեր՝ սահմանումներ, երկրաչափական մեկնաբանություն, գործողություններ հանրահաշվական, եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերով.

Կոմպլեքս թվի սահմանում

Բարդ հավասարումներ

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ներկայացում

Կոմպլեքս թվի մոդուլը և արգումենտը

Բարդ թվերի հանրահաշվական և եռանկյունաչափական ձևեր

Բարդ թվի էքսպոնենցիալ ձև

Էյլերի բանաձևերը

§ 2. Ամբողջ ֆունկցիաները (բազմանդամները) և դրանց հիմնական հատկությունները: Հանրահաշվական հավասարումների լուծում բարդ թվերի բազմության վրա

րդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարման սահմանում

Բազմանդամների հիմնական հատկությունները

Բարդ թվերի բազմության վրա հանրահաշվական հավասարումների լուծման օրինակներ

Ինքնաթեստի հարցեր

Բառարան

§ 1. Բարդ թվեր՝ սահմանումներ, երկրաչափական մեկնաբանություն, գործողություններ հանրահաշվական, եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերով.

Կոմպլեքս թվի սահմանում ( Նշե՛ք բարդ թվի սահմանումը)

Կոմպլեքս z թիվը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է.

Համալիր թիվ հանրահաշվական ձևով, (1)

Որտեղ x, y Î;

- բարդ խոնարհված թիվ համարը z ;

- հակառակ թիվ համարը z ;

- համալիր զրո ;

– այսպես է նշանակվում բարդ թվերի բազմությունը։

1)զ = 1 + եսÞ Re զ= 1, Իմ զ = 1, = 1 – ես, = –1 – ես ;

2)զ = –1 + եսÞ Re զ= –1, Իմ զ = , = –1 – ես, = –1 –ես ;

3)զ = 5 + 0ես= 5 Þ Re զ= 5, Իմ զ = 0, = 5 – 0ես = 5, = –5 – 0ես = –5

Þ, եթե ես զ= 0, ապա զ = x- իրական թիվ;

4)զ = 0 + 3ես = 3եսÞ Re զ= 0, Իմ զ = 3, = 0 – 3ես = –3ես , = –0 – 3ես = – 3ես

Þ եթե Re զ= 0, ապա զ = iy - զուտ երևակայական թիվ.

Բարդ հավասարումներ (Ձևակերպեք բարդ հավասարության իմաստը)

1) ;

2) .

Մեկ բարդ հավասարությունը համարժեք է երկու իրական հավասարությունների համակարգին: Այս իրական հավասարությունները ստացվում են բարդ հավասարությունից՝ առանձնացնելով իրական և երևակայական մասերը։

1) ;

2) .

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ներկայացում ( Ո՞րն է բարդ թվերի երկրաչափական պատկերը:)

Կոմպլեքս համարը զներկայացված է կետով ( x , y) այս կետի բարդ հարթության կամ շառավղային վեկտորի վրա:

Նշան զերկրորդ եռամսյակում նշանակում է, որ դեկարտյան կոորդինատային համակարգը կօգտագործվի որպես բարդ հարթություն:

Կոմպլեքս թվի մոդուլը և արգումենտը ( Ո՞րն է բարդ թվի մոդուլը և արգումենտը:)

Կոմպլեքս թվի մոդուլը ոչ բացասական իրական թիվ է

.(2)

Երկրաչափական առումով բարդ թվի մոդուլը թիվը ներկայացնող վեկտորի երկարությունն է զկամ կետի բևեռային շառավիղ ( x , y).

Բարդ հարթության վրա գծի՛ր հետևյալ թվերը և գրի՛ր եռանկյունաչափական ձևով.

1)զ = 1 + ես Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

այսինքն z = 0-ի համար կլինի

, ժանորոշ.

Թվաբանական գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա (Տրե՛ք սահմանումներ և թվարկե՛ք կոմպլեքս թվերի վրա թվաբանական գործողությունների հիմնական հատկությունները:)

Կոմպլեքս թվերի գումարում (հանում).

զ 1 ± զ 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + ես (y 1 ± y 2),(5)

այսինքն՝ կոմպլեքս թվերը գումարելիս (հանելիս) գումարվում (հանվում է) դրանց իրական և երևակայական մասերը։

1)(1 + ես) + (2 – 3ես) = 1 + ես + 2 –3ես = 3 – 2ես ;

2)(1 + 2ես) – (2 – 5ես) = 1 + 2ես – 2 + 5ես = –1 + 7ես .

Հավելումների հիմնական հատկությունները

1)զ 1 + զ 2 = զ 2 + զ 1;

2)զ 1 + զ 2 + զ 3 = (զ 1 + զ 2) + զ 3 = զ 1 + (զ 2 + զ 3);

3)զ 1 – զ 2 = զ 1 + (– զ 2);

4)զ + (–զ) = 0;

Բարդ թվերի բազմապատկում հանրահաշվական ձևով

զ 1∙զ 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + ես 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + ես (x 1y 2 + y 1x 2),

այն է՝ կոմպլեքս թվերի բազմապատկումը հանրահաշվական ձևով կատարվում է ըստ երկանդամի բազմապատկման հանրահաշվական կանոնի, որին հաջորդում է նմանատիպերի փոխարինումը և կրճատումը իրական և երևակայական թվերով։

1)(1 + ես)∙(2 – 3ես) = 2 – 3ես + 2ես – 3ես 2 = 2 – 3ես + 2ես + 3 = 5 – ես ;

2)(1 + 4ես)∙(1 – 4ես) = 1 – 42 ես 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + ես)2 = 22 + 4ես + ես 2 = 3 + 4ես .

Բարդ թվերի բազմապատկում եռանկյունաչափական ձևով

զ 1∙զ 2 = r 1 (cos ժ 1 + եսմեղք ժ 1)× r 2 (cos ժ 2 + եսմեղք ժ 2) =

= r 1r 2 (cos ժ 1 cos ժ 2 + ես cos ժ 1 մեղք ժ 2 + եսմեղք ժ 1 cos ժ 2 + ես 2 մեղք ժ 1 մեղք ժ 2) =

= r 1r 2 ((cos ժ 1 cos ժ 2 - մեղք ժ 1 մեղք ժ 2) + ես(cos ժ 1 մեղք ժ 2 + մեղք ժ 1 cos ժ 2))

Կոմպլեքս թվերի արտադրյալը եռանկյունաչափական ձևով, այսինքն՝ կոմպլեքս թվերը եռանկյունաչափական ձևով բազմապատկելիս դրանց մոդուլները բազմապատկվում են և գումարվում դրանց արգումենտները։

Բազմապատկման հիմնական հատկությունները

1)զ 1× զ 2 = զ 2× զ 1 - փոխադարձություն;

2)զ 1× զ 2× զ 3 = (զ 1× զ 2)× զ 3 = զ 1×( զ 2× զ 3) - ասոցիատիվություն;

3)զ 1×( զ 2 + զ 3) = զ 1× զ 2 + զ 1× զ 3 - բաշխվածություն ավելացման նկատմամբ.

4)զ×0 = 0; զ× 1 = զ ;

Կոմպլեքս թվերի բաժանում

Բաժանումը բազմապատկման հակադարձ գործողությունն է, ուստի

Եթե զ × զ 2 = զ 1 և զ 2 ¹ 0, ապա.

Հանրահաշվական ձևով բաժանում կատարելիս կոտորակի համարիչը և հայտարարը բազմապատկվում են հայտարարի բարդ խոնարհմամբ.

Բարդ թվերի բաժանում հանրահաշվական ձևով.(7)

Եռանկյունաչափական ձևով բաժանում կատարելիս մոդուլները բաժանվում են և արգումենտները հանվում են.

Կոմպլեքս թվերի բաժանումը եռանկյունաչափական ձևով։(8)

2)
.

Կոմպլեքս թիվը հասցնելով բնական հզորության

Ավելի հարմար է եռանկյունաչափական ձևով աստիճանականացում կատարել.

Moivre-ի բանաձևը, (9)

այսինքն, երբ կոմպլեքս թիվը բարձրացվում է բնական հզորության, նրա մոդուլը բարձրացվում է մինչև այս հզորությունը, և փաստարկը բազմապատկվում է աստիճանով:

Հաշվարկել (1 + ես)10.

Նշումներ

1. Եռանկյունաչափական ձևով բազմապատկման և բնական հզորության բարձրացման գործողությունները կատարելիս կարելի է ստանալ մեկ ամբողջական պտույտից ավելի անկյունների արժեքներ: Բայց դրանք միշտ կարող են կրճատվել անկյունների կամ լրիվ պտույտների ամբողջ թվով գցելով՝ օգտագործելով ֆունկցիաների պարբերականության հատկությունները և .

2. Իմաստը կոչվում է բարդ թվի փաստարկի հիմնական արժեքը.

այս դեպքում բոլոր հնարավոր անկյունների արժեքները նշվում են.

ակնհայտ է, որ .

Բնական աստիճանի արմատի հանում բարդ թվից

Էյլերի բանաձևերը (16)

որի համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաները և իրական փոփոխականը արտահայտվում են զուտ երևակայական ցուցիչով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի (ցուցանիշի) միջոցով։

§ 2. Ամբողջ ֆունկցիաները (բազմանդամները) և դրանց հիմնական հատկությունները: Հանրահաշվական հավասարումների լուծում բարդ թվերի բազմության վրա

Նույն աստիճանի երկու բազմանդամ nնույնականորեն հավասար են միմյանց, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց գործակիցները համընկնում են փոփոխականի նույն հզորությունների համար x, այն է

Ապացույց

w Ինքնությունը (3) վավեր է «xՕ (կամ «xՕ)» համար

Þ այն վավեր է. փոխարինելով՝ ստանում ենք ան = բն .

Եկեք փոխադարձաբար չեղարկենք պայմանները (3) անԵվ բնև երկու մասերն էլ բաժանիր x :

Այս ինքնությունը ճշմարիտ է նաև « x, այդ թվում՝ երբ x = 0

Þ ենթադրելով x= 0, մենք ստանում ենք ան – 1 = բն – 1.

Եկեք փոխադարձաբար չեղարկենք պայմանները (3") ան- 1 և ա n– 1 և երկու կողմերն էլ բաժանեք x, արդյունքում ստանում ենք

Նմանապես շարունակելով պատճառաբանությունը՝ մենք ստանում ենք, որ ան – 2 = բն –2, …, Ա 0 = բ 0.

Այսպիսով, ապացուցվել է, որ 2-x բազմանդամների նույնական հավասարությունը ենթադրում է նրանց գործակիցների համընկնումը նույն աստիճաններով. x .

Հակառակ հայտարարությունը իրավամբ ակնհայտ է, այսինքն. եթե երկու բազմանդամներն ունեն նույն գործակիցները, ապա դրանք նույնական ֆունկցիաներ են, հետևաբար, դրանց արժեքները համընկնում են փաստարկի բոլոր արժեքների համար, ինչը նշանակում է, որ դրանք նույնական հավասար են: Սեփականություն 1-ն ամբողջությամբ ապացուցված է։ v

Բազմանդամը բաժանելիս Pn (x) տարբերությամբ ( x – X 0) մնացորդը հավասար է Pn (x 0), այսինքն

Բեզուտի թեորեմ, (4)

Որտեղ Քն – 1(x) - բաժանման ամբողջական մասը, աստիճանի բազմանդամ է ( n – 1).

Ապացույց

w Եկեք մնացորդով գրենք բաժանման բանաձևը.

Pn (x) = (x – X 0)∙Քն – 1(x) + Ա ,

Որտեղ Քն – 1(x) - աստիճանի բազմանդամ ( n – 1),

Ա- մնացորդը, որը թիվ է` պայմանավորված բազմանդամը «սյունակում» երկանդամով բաժանելու հայտնի ալգորիթմի շնորհիվ:

Այս հավասարությունը ճիշտ է « x, այդ թվում՝ երբ x = X 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Քն – 1(x 0) + Ա Þ

Ա = Pn (X 0) և այլն: v

Բեզութի թեորեմի հետևություն. Բազմանդամը առանց մնացորդի երկանդամի վրա բաժանելու մասին

Եթե ​​համարը X 0-ը բազմանդամի զրո է, այնուհետև այս բազմանդամը բաժանվում է տարբերությամբ ( x – X 0) առանց մնացորդի, այսինքն

Þ .(5)

1), քանի որ Պ 3(1) º 0

2) քանի որ Պ 4(–2) º 0

3) քանի որ Պ 2(–1/2) º 0

Բազմանդամների բաժանումը երկանդամների «սյունակում».

_

_

_

_

_

n ³ 1 աստիճանի յուրաքանչյուր բազմանդամ ունի առնվազն մեկ զրո՝ իրական կամ բարդ

Այս թեորեմի ապացույցը դուրս է մեր դասընթացի շրջանակներից: Ուստի թեորեմն ընդունում ենք առանց ապացույցի։

Եկեք աշխատենք այս թեորեմի և Բեզութի թեորեմի վրա բազմանդամով Pn (x).

հետո n-Այս թեորեմների բազմակի կիրառմամբ մենք ստանում ենք, որ

Որտեղ ա 0-ը գործակիցն է x nՎ Pn (x).

Հանրահաշվի հիմնարար թեորեմի հետևություն. Բազմանդամի գծային գործակիցների տարրալուծման մասին

Կոմպլեքս թվերի բազմության աստիճանի ցանկացած բազմանդամ կարելի է տարրալուծել nգծային գործոններ, այսինքն

Բազմանդամի ընդլայնումը գծային գործակիցների, (6)

որտեղ x1, x2, ... xn բազմանդամի զրոներն են:

Ընդ որում, եթե կթվեր հավաքածուից X 1, X 2, … xnհամընկնում են միմյանց և a թվի հետ, այնուհետև (6) արտադրյալում բազմապատկիչը ( x- ա) կ. Հետո համարը x= ա կոչվում է k-ապատիկ բազմանդամի զրո Pn ( x) . Եթե կ= 1, ապա կոչվում է զրո բազմանդամի պարզ զրո Pn ( x) .

1)Պ 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - պարզ զրո, x 2 = 4 - եռակի զրո;

2)Պ 4(x) = (x – ես)4 Þ x = ես- զրոյական բազմապատկություն 4.

Հատկություն 4 (հանրահաշվական հավասարման արմատների քանակի մասին)

Ցանկացած հանրահաշվական հավասարում n աստիճանի Pn(x) = 0 ունի ճշգրիտ n արմատ կոմպլեքս թվերի բազմության վրա, եթե յուրաքանչյուր արմատ հաշվենք այնքան անգամ, որքան նրա բազմապատիկը:

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - երկրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± ես- երկու արմատ;

2)x 3 + 1 = 0 - երրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում

Þ x 1,2,3 = - երեք արմատ;

3)Պ 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, քանի որ Պ 3(1) = 0.

Բաժանեք բազմանդամը Պ 3(x) վրա ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Բնօրինակ հավասարում

Պ 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Ու( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Ու( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - պարզ արմատ, x 2 = –1 - կրկնակի արմատ:

1) – զուգակցված բարդ զուգակցված արմատներ.

Իրական գործակիցներով ցանկացած բազմանդամը տարրալուծվում է իրական գործակիցներով գծային և քառակուսի ֆունկցիաների արտադրյալի։

Ապացույց

w Թող x 0 = ա + երկ- բազմանդամի զրո Pn (x) Եթե ​​այս բազմանդամի բոլոր գործակիցները իրական թվեր են, ապա այն նույնպես զրո է (5 հատկությամբ)։

Հաշվենք երկանդամների արտադրյալը :

կոմպլեքս թվերի բազմանդամ հավասարում

Ստացա ( x – ա)2 + բ 2 - քառակուսի եռանկյուն իրական գործակիցներով:

Այսպիսով, (6) բանաձևում բարդ խոնարհված արմատներով երկանդամների ցանկացած զույգ հանգեցնում է իրական գործակիցներով քառակուսի եռանդամի: v

1)Պ 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)Պ 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Բարդ թվերի բազմության վրա հանրահաշվական հավասարումների լուծման օրինակներ ( Բերե՛ք բարդ թվերի բազմության վրա հանրահաշվական հավասարումների լուծման օրինակներ)

1. Առաջին աստիճանի հանրահաշվական հավասարումներ.

, միակ պարզ արմատն է։

2. Քառակուսային հավասարումներ.

, – միշտ ունի երկու արմատ (տարբեր կամ հավասար):

1) .

3. աստիճանի երկանդամ հավասարումներ.

, – միշտ տարբեր արմատներ ունի։

,

Պատասխան., .

4. Լուծի՛ր խորանարդային հավասարումը:

Երրորդ աստիճանի հավասարումն ունի երեք արմատ (իրական կամ բարդ), և պետք է յուրաքանչյուր արմատը հաշվել այնքան անգամ, որքան դրա բազմապատիկը: Քանի որ այս հավասարման բոլոր գործակիցները իրական թվեր են, ապա հավասարման բարդ արմատները, եթե այդպիսիք կան, կլինեն զույգ բարդ խոնարհումներ:

Ընտրությամբ մենք գտնում ենք հավասարման առաջին արմատը, քանի որ .

Բեզութի թեորեմի հետևանքով. Մենք հաշվարկում ենք այս բաժանումը «սյունակում».

_
_
_

Այժմ բազմանդամը ներկայացնելով որպես գծային և քառակուսի գործոնի արտադրյալ՝ մենք ստանում ենք.

.

Մենք այլ արմատներ ենք գտնում որպես քառակուսի հավասարման արմատներ.

Պատասխան., .

5. Կառուցեք իրական գործակիցներով ամենափոքր աստիճանի հանրահաշվական հավասարում, եթե հայտնի է, որ թվերը. x 1 = 3 և x 2 = 1 + եսեն նրա արմատները, և x 1-ը կրկնակի արմատ է, և x 2 - պարզ.

Թիվը նաև հավասարման արմատն է, քանի որ հավասարման գործակիցները պետք է իրական լինեն։

Ընդհանուր առմամբ, պահանջվող հավասարումն ունի 4 արմատ. x 1, x 1,x 2, . Հետևաբար նրա աստիճանը 4 է։ Զրոներով կազմում ենք 4-րդ աստիճանի բազմանդամ x

11. Ի՞նչ է կոմպլեքս զրոն:

13. Ձևակերպի՛ր բարդ հավասարության իմաստը.

15. Որքա՞ն է կոմպլեքս թվի մոդուլը և արգումենտը:

17. Ո՞րն է կոմպլեքս թվի փաստարկը:

18. Ո՞րն է բանաձեւի անվանումը կամ իմաստը:

19. Բացատրե՛ք նշման իմաստը այս բանաձեւում.

27. Տրե՛ք սահմանումներ և թվարկե՛ք կոմպլեքս թվերի վրա թվաբանական գործողությունների հիմնական հատկությունները:

28. Ո՞րն է բանաձեւի անվանումը կամ իմաստը:

29. Բացատրե՛ք նշման իմաստը այս բանաձեւում.

31. Ո՞րն է բանաձեւի անվանումը կամ իմաստը:

32. Բացատրե՛ք նշման իմաստը այս բանաձեւում.

34. Ո՞րն է բանաձեւի անվանումը կամ իմաստը:

35. Բացատրե՛ք նշման իմաստը այս բանաձեւում.

61. Թվարկե՛ք բազմանդամների հիմնական հատկությունները:

63. Նշե՛ք բազմանդամը տարբերության վրա (x – x0) բաժանելու հատկությունը:

65. Ո՞րն է բանաձեւի անվանումը կամ իմաստը:

66. Բացատրե՛ք նշման իմաստը այս բանաձեւում.

67. ⌂ .

69. Նշի՛ր թեորեմը՝ հանրահաշվի հիմնարար թեորեմ:

70. Ո՞րն է բանաձեւի անվանումը կամ իմաստը:

71. Բացատրե՛ք նշման իմաստը այս բանաձեւում.

75. Նշի՛ր հանրահաշվական հավասարման արմատների քանակի հատկությունը:

78. Նշի՛ր իրական գործակիցներով բազմանդամի տարրալուծման հատկությունը գծային և քառակուսային գործակիցների:

Բառարան

Բազմանդամի k-ապատիկ զրոն է... (էջ 18)

հանրահաշվական բազմանդամը կոչվում է... (էջ 14)

n-րդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարումը կոչվում է... (էջ 14)

Բարդ թվի հանրահաշվական ձևը կոչվում է... (էջ 5)

Կոմպլեքս թվի արգումենտն է... (էջ 4)

z կոմպլեքս թվի իրական մասն է... (էջ 2)

բարդ խոնարհված թիվն է... (էջ 2)

կոմպլեքս զրոն է... (էջ 2)

կոմպլեքս թիվը կոչվում է... (էջ 2)

Բարդ թվի n աստիճանի արմատը կոչվում է... (էջ 10)

հավասարման արմատն է... (էջ 14)

բազմանդամի գործակիցներն են... (էջ 14)

երևակայական միավորն է... (էջ 2)

z կոմպլեքս թվի երևակայական մասն է... (էջ 2)

կոմպլեքս թվի մոդուլը կոչվում է... (էջ 4)

ֆունկցիայի զրոն կոչվում է... (էջ 14)

Կոմպլեքս թվի էքսպոնենցիալ ձևը կոչվում է... (էջ 11)

բազմանդամը կոչվում է... (էջ 14)

բազմանդամի պարզ զրո կոչվում է... (էջ 18)

հակառակ թիվն է... (էջ 2)

բազմանդամի աստիճանն է... (էջ 14)

Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը կոչվում է... (էջ 5)

Moivre-ի բանաձեւն է... (էջ 9)

Էյլերի բանաձևերն են... (էջ 13)

ամբողջ ֆունկցիան կոչվում է... (էջ 14)

զուտ երևակայական թիվ է... (էջ 2)