Principio di minima azione. Principio di minima azione Principio di minima azione in fisica

Quando ero a scuola, il nostro insegnante di fisica, di nome Bader, una volta mi chiamò dopo la lezione e mi disse: “Sembri terribilmente stanco di tutto; ascolta una cosa interessante. E mi ha detto qualcosa che ho pensato fosse davvero affascinante. Anche adesso, nonostante sia passato molto tempo da allora, continua ad affascinarmi. E ogni volta che ricordo quello che ho detto, torno al lavoro. E questa volta, mentre mi preparavo per la lezione, mi sono ritrovato ad analizzare nuovamente le stesse cose. E, invece di prepararmi per la lezione, ho affrontato un nuovo problema. L'argomento di cui sto parlando è principio di minima azione.

“Questo è ciò che mi disse allora il mio insegnante Bader: “Supponiamo, ad esempio, che tu abbia una particella nel campo gravitazionale; questa particella, uscita da qualche parte, si sposta liberamente da qualche altra parte in un altro punto. L'hai lanciato, diciamo, in alto, ed è volato in alto e poi è caduto.

Le ci è voluto del tempo per viaggiare dal punto di partenza a quello finale. Ora prova qualche altro movimento. Si muova “da qui a qui” non più come prima, ma così:

Ma mi sono comunque ritrovato nel posto giusto nello stesso momento di prima”.

“E così”, continuò l’insegnante, “se calcoli l’energia cinetica in ogni momento lungo il percorso della particella, sottrai da essa l’energia potenziale e integri la differenza durante tutto il tempo in cui si è verificato il movimento, vedrai che il numero che otterrai sarà Di più, che per il vero moto delle particelle.

In altre parole, le leggi di Newton possono essere formulate non come F=ma, ma come segue: l'energia cinetica media meno l'energia potenziale media raggiunge il suo valore più basso lungo la traiettoria lungo la quale un oggetto si muove effettivamente da un luogo a un altro.

Cercherò di spiegartelo un po' più chiaramente.
Se prendiamo il campo gravitazionale e designiamo la traiettoria della particella X(T), Dove X- altezza dal suolo (per ora andiamo avanti con una dimensione; lasciamo che la traiettoria vada solo su e giù, e non lateralmente), quindi l'energia cinetica sarà sì 2 M(dx/ dt) 2, a l'energia potenziale in un momento di tempo arbitrario sarà uguale a mgx.

Ora, per qualche momento di movimento lungo la traiettoria, prendo la differenza tra l'energia cinetica e quella potenziale e la integro per tutto il tempo dall'inizio alla fine. Lasciamo che sia il momento iniziale tx il movimento è iniziato a una certa altezza e si è concluso in questo momento T 2 ad un'altra certa altezza.

Allora l'integrale è pari a ∫ t2 t1 dt

Il vero movimento avviene lungo una certa curva (in funzione del tempo è una parabola) e porta ad un certo valore integrale. Ma tu puoi PrimaMettere immagina qualche altro movimento: prima un forte aumento e poi alcune bizzarre fluttuazioni.

Puoi calcolare la differenza tra energia potenziale e cinetica su questo percorso... o su qualsiasi altro. E la cosa più sorprendente è che il vero percorso è quello lungo il quale questo integrale è il più piccolo.
Controlliamolo. Per prima cosa consideriamo questo caso: una particella libera non ha alcuna energia potenziale. Quindi la regola dice che quando ci si sposta da un punto all'altro in un dato tempo, l'integrale dell'energia cinetica dovrebbe essere il più piccolo. Ciò significa che la particella deve muoversi uniformemente. (E questo è corretto, tu ed io sappiamo che la velocità in tale movimento è costante.) Perché in modo uniforme? Scopriamolo. Se fosse altrimenti, allora la velocità della particella a volte supererebbe la media, a volte sarebbe al di sotto di essa, e la velocità media sarebbe la stessa, perché la particella dovrebbe andare “da qui a qui” in l'orario concordato. Ad esempio, se devi andare da casa a scuola in macchina a una certa ora, puoi farlo in diversi modi: puoi guidare come un matto all'inizio e rallentare alla fine, oppure guidare alla stessa velocità, oppure puoi anche andare sul lato opposto e solo dopo girare verso la scuola, ecc. In tutti i casi, la velocità media, ovviamente, dovrebbe essere la stessa: il quoziente della distanza da casa a scuola diviso per il tempo. Ma anche a questa velocità media, a volte ti muovevi troppo velocemente, a volte troppo lentamente. E nella media piazza qualcosa che si discosta dalla media è, come sappiamo, sempre maggiore del quadrato della media; Ciò significa che l'integrale dell'energia cinetica durante le fluttuazioni della velocità di movimento sarà sempre maggiore rispetto a quando ci si sposta a velocità costante. Vedete che l'integrale raggiungerà il minimo quando la velocità sarà costante (in assenza di forze). La strada giusta è questa.

Un oggetto lanciato verso l'alto in un campo di gravità si solleva dapprima rapidamente, poi sempre più lentamente. Ciò accade perché ha anche energia potenziale e dovrebbe raggiungere il suo valore minimo una voltaness tra energia cinetica e energia potenziale. Poiché l'energia potenziale aumenta man mano che si sale, quindi diminuisce differenza Funzionerà se raggiungi quelle vette in cui l’energia potenziale è alta il più rapidamente possibile. Quindi, sottraendo questo elevato potenziale all'energia cinetica, otteniamo una diminuzione della media. Quindi il percorso che sale e fornisce un buon pezzo negativo a scapito dell'energia potenziale è più redditizio.

Questo è tutto ciò che mi ha detto il mio insegnante, perché era un ottimo insegnante e sapeva quando era il momento di fermarsi. Io stesso, ahimè, non sono così. È difficile per me fermarmi in tempo. E così, invece di suscitare il tuo interesse con la mia storia, voglio intimidirti, voglio farti stufare della complessità della vita: cercherò di dimostrarti quello di cui ti ho detto. Il problema matematico che risolveremo è molto difficile e unico. C'è una certa quantità S, chiamato azione.È uguale all’energia cinetica meno l’energia potenziale integrata nel tempo:

D'altra parte, non puoi muoverti troppo velocemente o andare troppo in alto, perché ciò richiederebbe troppa energia cinetica. Devi muoverti abbastanza velocemente per alzarti e scendere entro il tempo a tua disposizione. Quindi non dovresti provare a volare troppo in alto, ma semplicemente raggiungere un livello ragionevole. Di conseguenza, si scopre che la soluzione è una sorta di equilibrio tra il desiderio di ottenere quanta più energia potenziale possibile e il desiderio di ridurre il più possibile la quantità di energia cinetica: questo è il desiderio di ottenere la massima riduzione nella differenza tra energia cinetica e potenziale”.

Non dimenticare che p.e. e k.e.: entrambe le funzioni del tempo. Per ogni nuovo percorso immaginabile, questa azione assume il suo significato specifico. Il problema matematico è determinare quale curva ha questo numero inferiore alle altre.

Dici: “Oh, questo è solo un semplice esempio di massimo e minimo. Dobbiamo calcolare l’azione, differenziarla e trovare il minimo”.

Ma aspetta. Di solito abbiamo una funzione di qualche variabile e dobbiamo trovare il valore variabile, in cui la funzione diventa più piccola o più grande. Diciamo che c'è un'asta riscaldata al centro. Il calore si diffonde su di esso e in ogni punto dell'asta si stabilisce la propria temperatura. Devi trovare il punto in cui è più alto. Ma stiamo parlando di qualcosa di completamente diverso - ogni percorso nello spazio risponde al suo numero e dovrebbe trovarlo sentiero, per cui questo numero è minimo. Questa è un'area della matematica completamente diversa. Questo non è un calcolo ordinario, ma variazionale(così lo chiamano).

Quest'area della matematica ha molti dei suoi problemi. Ad esempio, un cerchio è solitamente definito come il luogo dei punti le cui distanze da un dato punto sono le stesse, ma un cerchio può essere definito diversamente: è una delle curve data la lunghezza, che racchiude l'area più estesa. Qualsiasi altra curva dello stesso perimetro racchiude un'area minore del cerchio. Quindi, se ci poniamo il compito: trovare la curva di un dato perimetro che delimita l'area più grande, allora avremo un problema dal calcolo delle variazioni, e non dal calcolo a cui siamo abituati.

Quindi, vogliamo prendere l'integrale sul percorso percorso dal corpo. Facciamolo in questo modo. Il punto è immaginare che esista un percorso vero e che qualsiasi altra curva che disegniamo non sia il percorso reale, quindi se calcoliamo l'azione per esso, otterremo un numero superiore a quello che otteniamo per l'azione corrispondente al modo reale.

Quindi, il compito è trovare la vera strada. Dove si trova? Un modo, ovviamente, sarebbe quello di contare l'azione per milioni e milioni di percorsi e poi vedere quale percorso ha l'azione più piccola. Questo è il percorso in cui l'azione è minima e sarà reale.

Questo metodo è del tutto possibile. Tuttavia, può essere fatto in modo più semplice. Se esiste una quantità che ha un minimo (dalle funzioni ordinarie, ad esempio, la temperatura), allora una delle proprietà del minimo è che quando ci si allontana da essa a distanza Primo di ordine di piccolezza, la funzione si discosta dal suo valore minimo solo per l'importo secondo ordine. E in qualsiasi altro punto della curva, uno spostamento di una piccola distanza modifica il valore della funzione anche di un valore del primo ordine di piccolezza. Ma come minimo, piccole deviazioni laterali non comportano in prima approssimazione una modifica della funzione.

È questa proprietà che utilizzeremo per calcolare il percorso reale.

Se il percorso è corretto, allora una curva leggermente diversa da esso non porterà, in prima approssimazione, ad una variazione dell'entità dell'azione. Tutti i cambiamenti, se questo fosse davvero il minimo, apparirebbero solo in seconda approssimazione.

Questo è facile da dimostrare. Se, con qualche deviazione dalla curva, si verificano cambiamenti di primo ordine, allora questi cambiamenti sono effettivi proporzionale deviazione. È probabile che aumentino l'effetto; altrimenti non sarebbe il minimo. Ma una volta che i cambiamenti proporzionale deviazione, quindi cambiare il segno della deviazione ridurrà l'azione. Si scopre che quando devii in una direzione, l'effetto aumenta e quando devii nella direzione opposta diminuisce. L'unica possibilità perché questo sia davvero un minimo è che, in prima approssimazione, non si verifichino cambiamenti e i cambiamenti siano proporzionali al quadrato della deviazione dal percorso reale.

Quindi, seguiremo il seguente percorso: denotare con X(T) (con una linea sotto) il vero percorso è quello che vogliamo trovare. Facciamo un po' di prova X(T), differendo da quello desiderato per una piccola quantità, che denotiamo η (T).

L'idea è che se contiamo l'azione S in un modo X(T), allora la differenza tra questo S e dall'azione che abbiamo calcolato per il percorso X(T) (per semplicità verrà indicato S), o la differenza tra S_ E S, dovrebbe essere una prima approssimazione η zero. Possono differire nel secondo ordine, ma nel primo la differenza deve essere zero.

E questo va osservato per tutti η . Tuttavia, non proprio per tutti. Il metodo richiede di prendere in considerazione solo quei percorsi che iniziano e finiscono tutti nella stessa coppia di punti, cioè ogni percorso deve iniziare in un certo punto in quel momento T 1 e terminare in un altro punto specifico in questo momento T 2 . Questi punti e momenti vengono registrati. Quindi la nostra funzione d) (deviazione) deve essere zero ad entrambe le estremità: η (T 1 )= 0 E η (t2)=0. In queste condizioni, il nostro problema matematico diventa completamente definito.

Se non conoscessi l'analisi matematica, potresti fare la stessa cosa per trovare il minimo di una funzione ordinaria F(X). Penseresti a cosa accadrebbe se prendessi? F(X) e aggiungere a X piccola quantità H, e sosterrebbe che l'emendamento a F(X) in primo ordine H dovrebbe essere almeno pari a zero. Mi daresti una sistemata x+H invece di X e espanderebbe j(x+h) fino alla prima potenza H. . ., in una parola, ripeterebbe tutto ciò che intendiamo fare η .

Se ora osserviamo attentamente la cosa, vedremo che i primi due termini qui scritti corrispondono a quell'azione S, che scriverei per la vera via cercata X. Voglio focalizzare la tua attenzione sul cambiamento. S, cioè sulla differenza tra S e così S_, che risulterebbe per il vero percorso. Scriveremo questa differenza come bS e chiamiamola variazione S. Scartando gli “ordini secondi e superiori”, otteniamo for σS

Ora il compito è simile a questo. Qui davanti a me c'è un integrale. Non so ancora com'è, ma so per certo cosa η Qualunque cosa accada, questo integrale deve essere uguale a zero. “Bene”, potresti pensare, “l’unico modo perché ciò accada è che lo faccia il moltiplicatore η era uguale a zero." Ma per quanto riguarda il primo termine, dove c'è D η / dt? Tu dici: "Se η diventa nulla, allora la sua derivata è lo stesso nulla; questo significa il coefficiente a dv\/ dt deve essere pari a zero." Beh, non è del tutto vero. Questo non è del tutto vero perché tra la deviazione η e la sua derivata c'è una connessione; non sono completamente indipendenti perché η (T) deve essere zero e t1 e a T 2 .

Quando si risolvono tutti i problemi del calcolo delle variazioni si utilizza sempre lo stesso principio generale. Sposti leggermente ciò che vuoi variare (simile a quello che abbiamo fatto aggiungendo η ), dare un'occhiata ai termini del primo ordine, Poi organizza tutto in modo da ottenere un integrale nella seguente forma: “shift (η ), moltiplicato per quello che risulta”, ma in modo che non contenga alcun derivato di η (NO D η / dt). È assolutamente necessario trasformare tutto affinché “qualcosa” rimanga, moltiplicato η . Ora capirai perché questo è così importante. (Ci sono formule che ti diranno come in alcuni casi puoi farlo senza alcun calcolo; ma non sono così generali da valere la pena di memorizzarle; è meglio fare i calcoli nel modo in cui li facciamo noi.)

Come posso rifare un pene D η / dt, in modo che appaia η ? Posso raggiungere questo obiettivo integrando pezzo per pezzo. Si scopre che nel calcolo delle variazioni l'intero trucco sta nel descrivere la variazione S e quindi integrare per parti in modo che le derivate di η scomparso. In tutti i problemi in cui compaiono le derivate, viene eseguito lo stesso trucco.

Ricordiamo il principio generale dell'integrazione per parti. Se hai una funzione arbitraria f moltiplicata per D η / dt e integrato con T, poi scrivi la derivata di η /T

I limiti di integrazione devono essere sostituiti nel primo termine t1 E T 2 . Quindi sotto l'integrale riceverò il termine dall'integrazione per parti e l'ultimo termine che rimane invariato durante la trasformazione.
E ora accade ciò che accade sempre: la parte integrata scompare. (E se non scompare, allora occorre riformulare il principio, aggiungendo condizioni che garantiscano tale scomparsa!) Lo abbiamo già detto η alle estremità del percorso deve essere uguale a zero. Dopo tutto, qual è il nostro principio? Il fatto è che l'azione è minima a condizione che la curva variata inizi e termini nei punti selezionati. Significa che η (t1)=0 e η (t2)=0. Pertanto il termine integrato risulta essere zero. Riuniamo insieme il resto dei membri e scriviamo

Variazione S ha ora acquisito la forma che abbiamo voluto dargli: c’è qualcosa tra parentesi (denotiamolo F), e tutto questo viene moltiplicato per η (T) e integrato da t t Prima T 2 .
Si è scoperto che l'integrale di qualche espressione moltiplicato per η (T), sempre uguale a zero:

C'è qualche funzione da T; Lo moltiplico per η (T) e integrarlo dall'inizio alla fine. E qualunque cosa sia η, Ottengo zero. Ciò significa che la funzione F(T) uguale a zero. In generale, questo è ovvio, ma per ogni evenienza, ti mostrerò un modo per dimostrarlo.

Sia η (T) Sceglierò qualcosa che sia uguale a zero ovunque, per tutti T, tranne un valore preselezionato T. Resta zero finché non arrivo lì T, S Poi salta per un attimo e subito ricade. Se prendi l'integrale di questo m) moltiplicato per qualche funzione F, l'unico posto in cui otterrai qualcosa di diverso da zero è dove η (T) balzò in piedi; e otterrai il valore F a questo punto sull'integrale oltre il salto. L'integrale sul salto stesso non è uguale a zero, ma dopo la moltiplicazione per F dovrebbe dare zero. Ciò significa che la funzione nel punto in cui si è verificato il salto deve risultare zero. Ma il salto si sarebbe potuto fare ovunque; Significa, F deve essere zero ovunque.

Lo vediamo se il nostro integrale è uguale a zero per qualsiasi η , quindi il coefficiente a η dovrebbe andare a zero. L'integrale di azione raggiunge un minimo lungo il percorso che soddisferà un'equazione differenziale così complessa:

In realtà non è così complicato; lo hai già incontrato. È solo F=ma. Il primo termine è massa per accelerazione; la seconda è la derivata dell'energia potenziale, cioè della forza.

Abbiamo quindi dimostrato (almeno per un sistema conservativo) che il principio di minima azione porta alla risposta corretta; egli afferma che il percorso che ha l'azione minima è il percorso che soddisfa la legge di Newton.

È necessario fare ancora un'osservazione. Non l'ho dimostrato minimo. Forse questo è il massimo. In realtà, questo non deve essere il minimo. Qui tutto è uguale al "principio del tempo più breve", di cui abbiamo discusso studiando l'ottica. Anche lì abbiamo parlato innanzitutto del tempo “più breve”. Tuttavia, si è scoperto che ci sono situazioni in cui questo tempo non è necessariamente il “più breve”. Il principio fondamentale è che per any deviazioni del primo ordine dal percorso ottico i cambiamenti nel tempo sarebbe pari a zero; Anche qui è la stessa storia. Per “minimo” in realtà intendiamo quello al primo ordine di piccolezza della variazione di quantità S quando le deviazioni dal percorso dovrebbero essere pari a zero. E questo non è necessariamente il “minimo”.

Ora voglio passare ad alcune generalizzazioni. Prima di tutto, tutta questa storia potrebbe essere raccontata in tre dimensioni. Invece che semplice X Allora lo avrei fatto x, y E z come funzioni T, e l'azione sembrerebbe più complicata. Quando ti muovi in 3D devi usare tutta l'energia cinetica): (t/2), moltiplicato per il quadrato della velocità totale. In altre parole

Inoltre, l’energia potenziale è ora una funzione x, y E z. Cosa puoi dire del percorso? Un percorso è una certa curva generale nello spazio; non è così facile da disegnare, ma l'idea rimane la stessa. E che dire di η? Bene, anche η ha tre componenti. Il percorso può essere spostato sia in x che in sì, e da z, o in tutte e tre le direzioni contemporaneamente. COSÌ η ora un vettore. Ciò non crea grosse complicazioni. Solo le variazioni devono essere pari a zero primo ordine quindi il calcolo può essere effettuato in sequenza con tre turni. Per prima cosa puoi muoverti ts solo nella direzione X e dire che il coefficiente dovrebbe andare a zero. Ottieni un'equazione. Poi ci trasferiremo ts nella direzione A e otteniamo il secondo. Quindi muoviti nella direzione z e otteniamo il terzo. Puoi fare tutto, se vuoi, in un ordine diverso. Comunque sia, si creano tre equazioni. Ma la legge di Newton è anche tre equazioni in tre dimensioni, una per ogni componente. Ti resta da vedere da solo che tutto questo funziona in tre dimensioni (non c'è molto lavoro qui). A proposito, puoi prendere qualsiasi sistema di coordinate che preferisci, polare, qualsiasi, e ottenere immediatamente le leggi di Newton in relazione a questo sistema, considerando cosa succede quando si verifica uno spostamento η lungo un raggio o lungo un angolo, ecc.

Il metodo può essere generalizzato a un numero arbitrario di particelle. Se, diciamo, hai due particelle e ci sono alcune forze che agiscono tra loro e c'è energia potenziale reciproca, allora aggiungi semplicemente le loro energie cinetiche e sottrai l'energia potenziale di interazione dalla somma. Cosa vari? Percorsi Entrambi particelle. Quindi per due particelle che si muovono in tre dimensioni si ottengono sei equazioni. Puoi variare la posizione della particella 1 nella direzione X, nella direzione A e verso z, e fai lo stesso con la particella 2, quindi ci sono sei equazioni. Ed è così che dovrebbe essere. Tre equazioni determinano l'accelerazione della particella 1 dovuta alla forza che agisce su di essa, e le altre tre determinano l'accelerazione della particella 2 dovuta alla forza che agisce su di essa. Segui sempre le stesse regole del gioco e otterrai la legge di Newton per un numero arbitrario di particelle.

Ho detto che avremmo ottenuto la legge di Newton. Questo non è del tutto vero, perché la legge di Newton comprende anche forze non conservative, come l'attrito. Newton lo sosteneva Quelloè uguale a qualsiasi F. Il principio di minima azione è valido solo per conservatore sistemi, come quelli in cui tutte le forze possono essere ottenute da una funzione potenziale. Ma voi sapete che a livello microscopico, cioè a livello fisico più profondo, non esistono forze non conservatrici. Le forze non conservative (come l’attrito) sorgono solo perché trascuriamo gli effetti microscopici complessi: ci sono semplicemente troppe particelle da analizzare. Fondamentale stesse leggi Potere essere espresso come principio di minima azione.

Vorrei passare ad ulteriori generalizzazioni. Supponiamo di essere interessati a cosa accadrà quando la particella si muove relativisticamente. Finora non abbiamo ottenuto la corretta equazione relativistica del moto; F=ma è vero solo nei movimenti non relativistici. La domanda sorge spontanea: esiste un corrispondente principio di minima azione nel caso relativistico? Sì, esiste. La formula nel caso relativistico è:

La prima parte dell'integrale d'azione è il prodotto della massa a riposo t0 SU da 2 e all'integrale della funzione velocità √ (1-v2/c 2 ). Quindi, invece di sottrarre l’energia potenziale, abbiamo gli integrali del potenziale scalare φ e del potenziale vettoriale A per v. Naturalmente qui vengono prese in considerazione solo le forze elettromagnetiche. Tutti i campi elettrici e magnetici sono espressi in termini di φ e A. Questa funzione d'azione fornisce una teoria completa del movimento relativistico di una singola particella in un campo elettromagnetico.

Naturalmente devi capire che ovunque scrivo v, prima di fare i calcoli, dovresti sostituire dx/ dt invece di vx ecc. Inoltre, dove ho semplicemente scritto x, y, z, devi immaginare i punti al momento T: X(T), sì(T), z(T). In realtà, solo dopo tali sostituzioni e sostituzioni di v otterrai una formula per l'azione di una particella relativistica. Lasciate che i più esperti tra voi provino a dimostrare che questa formula di azione fornisce effettivamente le equazioni del moto corrette per la teoria della relatività. Lasciatemi solo consigliarvi di iniziare scartando A, cioè di fare a meno per ora dei campi magnetici. Successivamente dovrai ottenere le componenti dell'equazione del moto dp/dt=—qVφ, dove, come probabilmente ricorderai, p=mv√(1-v 2 /c 2).

Molto più difficile è prendere in considerazione il potenziale vettoriale A. Le variazioni diventano allora incomparabilmente più complesse. Ma alla fine la forza risulta essere uguale a quella che dovrebbe essere: g(E+v × B). Ma divertiti anche tu.

Vorrei sottolineare che nel caso generale (ad esempio nella formula relativistica), l'integrale in azione non comprende più la differenza tra energia cinetica e energia potenziale. Ciò era adatto solo in un'approssimazione non relativistica. Ad esempio, membro m o c 2√(1-v2/c2)-Questa non è quella che viene chiamata energia cinetica. La questione di quale dovrebbe essere l'azione per ogni caso particolare può essere decisa dopo alcuni tentativi ed errori. Questo è lo stesso tipo di problema di determinare quali dovrebbero essere le equazioni del moto. Devi solo giocare con le equazioni che conosci e vedere se possono essere scritte come principio di minima azione.

Ancora una nota sulla terminologia. Quella funzione che si integra nel tempo per ottenere un'azione S, chiamato LagrangianaΛ. Questa è una funzione che dipende solo dalla velocità e dalla posizione delle particelle. Quindi anche il principio di minima azione è scritto nella forma

dove sotto X io E v i tutti i componenti delle coordinate e delle velocità sono impliciti. Se mai senti qualcuno parlare di "Lagrangiana", sta parlando della funzione utilizzata per ottenere S. Per il moto relativistico in un campo elettromagnetico

Inoltre, devo sottolineare che le persone più meticolose e pedanti non chiamano S azione. Si chiama "prima funzione principale di Hamilton". Ma tenere una conferenza sul “principio di Hamilton della prima funzione principale” era al di là delle mie forze. L'ho chiamata "azione". E poi sempre più persone la chiamano “azione”. Vedete, storicamente l'azione è stata chiamata qualcos'altro che non è altrettanto utile alla scienza, ma penso che abbia più senso cambiare la definizione. Adesso anche tu comincerai a chiamare azione la nuova funzione, e presto tutti cominceranno a chiamarla con questo semplice nome.

Ora voglio dirvi qualcosa sul nostro argomento che è simile al ragionamento che ho fatto riguardo al principio del tempo più breve. C'è una differenza nell'essenza stessa della legge secondo cui un integrale preso da un punto a un altro ha un minimo: la legge che ci dice qualcosa sull'intero percorso in una volta, e la legge che dice che quando ti muovi, allora Ciò significa che c'è una forza che porta all'accelerazione. Il secondo approccio ti racconta ogni tuo passo, traccia il tuo percorso centimetro per centimetro e il primo fornisce immediatamente alcune indicazioni generali sull'intero percorso percorso. Parlando di luce abbiamo parlato del legame tra questi due approcci. Ora voglio spiegarti perché dovrebbero esistere leggi differenziali se esiste un tale principio: il principio di minima azione. Il motivo è questo: consideriamo il percorso effettivamente percorso nello spazio e nel tempo. Come prima, ci accontenteremo di una misurazione, in modo da poter tracciare un grafico della dipendenza X da T. Lungo la vera strada S raggiunge il minimo. Supponiamo di avere questo percorso e che passi per un certo punto UN spazio e tempo e attraverso un altro punto vicino B.

Ora, se l'intero integrale di t1 Prima T 2 ha raggiunto il minimo, è necessario che l'integrale percorra un piccolo tratto da a a B era anche minimo. Non può essere quella parte UN Prima B almeno un po' più del minimo. Altrimenti potresti spostare la curva avanti e indietro in questa sezione e ridurre leggermente il valore dell'intero integrale.

Ciò significa che qualsiasi parte del percorso dovrebbe prevedere anche un minimo. E questo vale per eventuali piccole porzioni del percorso. Pertanto il principio che l'intero percorso dovrebbe dare un minimo può essere formulato dicendo che un segmento infinitesimo del percorso è anche una curva su cui l'azione è minima. E se prendiamo un segmento del percorso sufficientemente breve, tra punti molto vicini tra loro UN E B,- allora non importa come cambia il potenziale da un punto all'altro lontano da questo luogo, perché, percorrendo tutto il tuo breve segmento, non ti sposti quasi mai da quel luogo. L'unica cosa che devi considerare è la variazione del primo ordine nella piccolezza del potenziale. La risposta può dipendere solo dalla derivata del potenziale e non dal potenziale altrove. Pertanto, un'affermazione sulla proprietà dell'intero percorso nel suo insieme diventa un'affermazione su ciò che accade in un breve tratto del percorso, cioè un'affermazione differenziale. E questa formulazione differenziale include le derivate del potenziale, cioè la forza in un dato punto. Questa è una spiegazione qualitativa della connessione tra la legge nel suo insieme e la legge differenziale.

Quando abbiamo parlato di luce, abbiamo discusso anche della domanda: come fa una particella a trovare la strada giusta? Da un punto di vista differenziale, questo è facile da capire. In ogni momento la particella sperimenta un'accelerazione e sa solo cosa dovrebbe fare in quel momento. Ma tutto il tuo istinto di causa ed effetto si impenna quando senti che una particella “decide” quale percorso intraprendere, lottando per un minimo di azione. Non sta "annusando" i percorsi vicini, cercando di capire a cosa porteranno: più o meno azione? Quando abbiamo posizionato uno schermo nel percorso della luce in modo che i fotoni non potessero tentare tutti i percorsi, abbiamo scoperto che non potevano decidere quale percorso prendere e abbiamo ottenuto il fenomeno della diffrazione.

Ma questo vale anche per la meccanica? È vero che una particella non solo “va nella direzione giusta”, ma riconsidera tutte le altre traiettorie immaginabili? E se, ponendo ostacoli sul suo cammino, non gli permettessimo di guardare avanti, otterremo una sorta di analogo del fenomeno della diffrazione? La cosa più meravigliosa di tutto questo è che tutto è davvero così. Questo è esattamente ciò che dicono le leggi della meccanica quantistica. Quindi il nostro principio di minima azione non è completamente formulato. Non consiste nel fatto che la particella sceglie il percorso di minima azione, ma nel fatto che “sente” tutti i percorsi vicini e sceglie quello lungo il quale l’azione è minima, e il metodo di questa scelta è simile a quello modo in cui la luce seleziona il tempo più breve. Ti ricordi che il modo in cui la luce seleziona il tempo più breve è questo: se la luce percorre un percorso che richiede un tempo diverso, arriverà con una fase diversa. E l'ampiezza totale ad un certo punto è la somma dei contributi di ampiezza per tutti i percorsi lungo i quali la luce può raggiungerla. Tutti quei percorsi le cui fasi differiscono nettamente non producono nulla dopo l'addizione. Ma se riesci a trovare l'intera sequenza di percorsi, le cui fasi sono quasi le stesse, allora i piccoli contributi si sommeranno e nel punto di arrivo l'ampiezza totale riceverà un valore notevole. Il sentiero più importante è quello vicino al quale ci sono tanti sentieri vicini che danno la stessa fase.

Nella meccanica quantistica accade esattamente la stessa cosa. La meccanica quantistica completa (non relativistica e trascurando lo spin dell'elettrone) funziona così: la probabilità che una particella lasci un punto 1 nel momento t1, arriverà al punto 2 nel momento T 2 , uguale al quadrato dell’ampiezza della probabilità. L'ampiezza totale può essere scritta come la somma delle ampiezze per tutti i percorsi possibili, per qualsiasi percorso di arrivo. Per chiunque X(T), che potrebbe verificarsi per qualsiasi traiettoria immaginaria immaginabile, è necessario calcolarne l'ampiezza. Quindi devono essere tutti piegati. Cosa prendiamo come ampiezza di probabilità di un certo percorso? Il nostro integrale d’azione ci dice quale dovrebbe essere l’ampiezza di un percorso individuale. L'ampiezza è proporzionale etS/h, Dove S - azione lungo questo percorso. Ciò significa che se rappresentiamo la fase dell'ampiezza come un numero complesso, l'angolo di fase sarà uguale a S/ H. Azione S ha la dimensione dell'energia nel tempo e la costante di Planck ha la stessa dimensione. Questa è la costante che determina quando è necessaria la meccanica quantistica.

Ed è così che funziona tutto. Lasciamo l'azione per tutti i percorsi S sarà molto grande rispetto al numero H. Lascia che un percorso conduca a un certo valore di ampiezza. La fase del percorso adiacente sarà completamente diversa, perché con un enorme S modifiche anche minime S cambiare bruscamente fase (dopotutto H estremamente poco). Ciò significa che i percorsi adiacenti solitamente esauriscono i loro contributi quando vengono aggiunti. E solo in un'area ciò non è vero - quella in cui sia il percorso che quello vicino - entrambi, in prima approssimazione, hanno la stessa fase (o, più precisamente, quasi la stessa azione, variando all'interno H). Vengono presi in considerazione solo tali percorsi. E nel caso limite, quando è costante di Planck H tende a zero, le leggi quantistiche corrette possono essere riassunte dicendo: “Dimentica tutte quelle ampiezze di probabilità. La particella si muove effettivamente lungo un percorso speciale, esattamente quello lungo il quale S in prima approssimazione non cambia." Questa è la connessione tra il principio di minima azione e la meccanica quantistica. Il fatto che la meccanica quantistica possa essere formulata in questo modo fu scoperto nel 1942 da uno studente dello stesso insegnante, il signor Bader, di cui vi ho parlato. [La meccanica quantistica è stata originariamente formulata utilizzando un'equazione differenziale per l'ampiezza (Schrödinger) e alcuni calcoli matriciali (Heisenberg).]

Ora voglio parlare di altri principi di minimo in fisica. Ci sono molti principi interessanti di questo tipo. Non li elencherò tutti, ma ne citerò solo un altro. Più tardi, quando arriveremo a un fenomeno fisico per il quale esiste un eccellente principio di minimo, te ne parlerò. Ora voglio mostrare che non è necessario descrivere l'elettrostatica utilizzando un'equazione differenziale del campo; si può invece richiedere che alcuni integrali abbiano un massimo o un minimo. Per cominciare, prendiamo il caso in cui la densità di carica è nota ovunque, ma dobbiamo trovare il potenziale φ in qualsiasi punto dello spazio. Sai già che la risposta dovrebbe essere:

Un altro modo per dire la stessa cosa è valutare l'integrale U*

questo è un integrale di volume. È preso in tutto lo spazio. Con la corretta distribuzione potenziale φ (X, sì,z) questa espressione raggiunge il suo minimo.

Possiamo dimostrare che entrambe queste affermazioni riguardanti l'elettrostatica sono equivalenti. Supponiamo di aver scelto una funzione arbitraria φ. Vogliamo mostrare che quando prendiamo come φ il valore corretto del potenziale _φ più una piccola deviazione f, allora al primo ordine di piccolezza la variazione di U* sarà uguale a zero. Quindi scriviamo

qui φ è quello che stiamo cercando; ma varieremo φ per vedere cosa deve essere affinché la variazione U* si è rivelato di prim'ordine di piccolezza. Nel primo termine U* dobbiamo scrivere

Questo deve essere integrato da x, y e da z. E qui si suggerisce lo stesso trucco: per liberarsene df/ dx, integreremo sopra X in parti. Ciò porterà ad un’ulteriore differenziazioneφ rispetto a X. Questa è la stessa idea di base con cui ci siamo sbarazzati dei derivati rispetto a T. Usiamo l'uguaglianza

Il termine integrato è zero perché assumiamo che f sia zero all'infinito. (Ciò corrisponde a η che svanisce come T 1 E T 2 . Quindi il nostro principio è formulato più precisamente come segue: U* per la destra φ meno che per qualunque altro φ(x, y,z), avendo gli stessi valori all'infinito.) Quindi faremo lo stesso con A e con z. Il nostro integrale ΔU* diventerà

Affinché questa variazione sia uguale a zero per qualsiasi f arbitraria, il coefficiente di f deve essere uguale a zero. Significa,

Siamo tornati alla nostra vecchia equazione. Ciò significa che la nostra proposta “minima” è corretta. Può essere generalizzato se i calcoli vengono leggermente modificati. Torniamo indietro e integriamo parte per parte, senza descrivere tutto componente per componente. Iniziamo scrivendo la seguente uguaglianza:

Differenziando il lato sinistro, posso dimostrare che è esattamente uguale al destro. Questa equazione è adatta per eseguire l'integrazione per parti. Nel nostro integrale ∆U* sostituiamo Vφ*Vf n e fV 2 φ+V*(fVφ) e quindi integrarlo sul volume. Il termine di divergenza dopo l'integrazione sul volume è sostituito da un integrale sulla superficie:

E poiché integriamo su tutto lo spazio, la superficie in questo integrale si trova all'infinito. Ciò significa f=0 e otteniamo lo stesso risultato.

Solo ora stiamo cominciando a capire come risolvere i problemi in cui ci troviamo non lo sappiamo dove si trovano tutte le cariche. Poniamo dei conduttori sui quali le cariche siano in qualche modo distribuite. Se i potenziali su tutti i conduttori sono fissi, allora è ancora possibile applicare il nostro principio minimo. Integrazione in U* disegneremo solo lungo l'area esterna a tutti i conduttori. Ma poiché non possiamo cambiare (φ) sui conduttori, allora sulla loro superficie f = 0 e l'integrale di superficie

devono essere effettuate solo negli spazi tra i conduttori. E, ovviamente, otteniamo di nuovo l'equazione di Poisson

Abbiamo quindi dimostrato che il nostro integrale originale U* raggiunge il minimo anche quando viene calcolato nello spazio tra i conduttori, ciascuno dei quali è a potenziale fisso [questo significa che ciascuna funzione di test φ(g, sì,z) deve essere uguale al potenziale del conduttore specificato quando (x, y,z) - punti della superficie del conduttore]. Esiste un caso speciale interessante in cui le cariche si trovano solo sui conduttori. Poi

e il nostro principio di minimo ci dice che nel caso in cui ciascun conduttore abbia il proprio potenziale predeterminato, i potenziali negli spazi tra loro sono regolati in modo che l'integrale U* risulta essere il più piccolo possibile. Che razza di integrale è questo? Il termine Vφ è il campo elettrico. Ciò significa che l'integrale è l'energia elettrostatica. Il campo corretto è l'unico che, tra tutti i campi ottenuti come gradiente potenziale, ha l'energia totale più bassa.

Vorrei utilizzare questo risultato per risolvere qualche problema particolare e mostrarti che tutte queste cose hanno un reale significato pratico. Supponiamo di prendere due conduttori sotto forma di un condensatore cilindrico.

Il conduttore interno ha un potenziale pari, ad esempio, a V, e per quello esterno - zero. Lascia che il raggio del conduttore interno sia uguale a UN, ed esterno - B. Ora possiamo supporre che la distribuzione dei potenziali tra loro sia Qualunque. Ma se prendiamo corretto valore di φ e calcolare
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 dV allora l'energia del sistema dovrebbe essere 1/2CV 2.

Quindi utilizzando il nostro principio puoi calcolare la capacità CON. Se prendiamo una distribuzione potenziale errata e proviamo a stimare la capacità del condensatore utilizzando questo metodo, arriveremo a un valore di capacità eccessivamente grande per un valore fisso V. Qualsiasi potenziale stimato φ che non coincide esattamente con il suo valore reale porterà anche ad un valore errato di C, maggiore del necessario. Ma se il potenziale cp scelto in modo errato è ancora un'approssimazione approssimativa, allora la capacità CON risulterà con buona precisione, perché l'errore in C è un valore del secondo ordine rispetto all'errore in φ.

Supponiamo che io non conosca la capacità del condensatore cilindrico. Quindi, per riconoscerla, posso usare questo principio. Testerò semplicemente diverse funzioni di φ come potenziale finché non otterrò il valore più basso CON. Diciamo, ad esempio, che ho scelto un potenziale che corrisponde a un campo costante. (Tu sai, ovviamente, che il campo qui non è effettivamente costante; varia come 1/r) Se il campo è costante, ciò significa che il potenziale dipende linearmente dalla distanza. Affinché la tensione sui conduttori sia quella richiesta, la funzione φ deve avere la forma

Questa funzione è uguale a V A r=a, zero a r =b, e tra loro c'è una pendenza costante pari a - V/(B—UN). Quindi, per determinare l'integrale U*, devi solo moltiplicare il quadrato di questo gradiente per ε o /2 e integrarlo sull'intero volume. Eseguiamo questo calcolo per un cilindro di lunghezza unitaria. Elemento volume al raggio Rè uguale a 2πrdr. Effettuando l'integrazione, trovo che il mio primo test dà la seguente capacità:

Quindi ottengo una formula per la capacità che, sebbene errata, è una sorta di approssimazione:

Naturalmente è diverso dalla risposta corretta C=2πε 0 /ln (b/a), ma nel complesso non è poi così male. Proviamo a confrontarlo con la risposta corretta per diversi valori b/a. I numeri che ho calcolato sono mostrati nella tabella seguente.

Anche quando b/a=2(e questo porta già a differenze piuttosto grandi tra il campo costante e quello lineare), ottengo ancora un'approssimazione abbastanza accettabile. La risposta, ovviamente, come previsto, è un po’ troppo alta. Ma se un filo sottile viene inserito all'interno di un grande cilindro, tutto sembra molto peggio. Poi il campo cambia moltissimo e sostituirlo con un campo costante non porta a niente di buono. Quando b/a = 100, sovrastimiamo la risposta di quasi il doppio. Per i più piccoli b/a la situazione sembra decisamente migliore. Nel limite opposto, quando la distanza tra i conduttori non è molto ampia (diciamo per b/a = 1,1), un campo costante risulta essere un'ottima approssimazione, dà il valore CON accurato al decimo di punto percentuale.

Ora ti dirò come migliorare questo calcolo. (La risposta per il cilindro è, ovviamente, famoso, ma lo stesso metodo funziona per alcune altre forme insolite di condensatori per le quali potresti non conoscere la risposta corretta.) Il passo successivo è trovare un'approssimazione migliore per il vero potenziale sconosciuto φ. Diciamo che puoi testare la costante più l'esponente φ, ecc. Ma come fai a sapere di avere la migliore approssimazione se non conosci il vero φ? Risposta: Contalo CON; più è basso, più si avvicina alla verità. Proviamo questa idea. Lascia che il potenziale non sia lineare, ma, diciamo, quadratico in r, e il campo elettrico non sia costante, ma lineare. Più generale forma quadratica, che diventa φ=O quando R=b e in φ=F a r=a,è questo:

dove α è un numero costante. Questa formula è un po’ più complicata della precedente. Include sia un termine quadratico che uno lineare. È molto facile ricavarne un campo. È uguale a semplice

Ora questo deve essere squadrato e integrato nel volume. Ma aspetta un attimo. Cosa dovrei prendere per α? Posso considerare f una parabola, ma quale? Ecco cosa farò: calcolare la capacità a α arbitrario. Io metterò

Sembra un po’ confuso, ma è così che risulta dopo aver integrato il quadrato del campo. Ora posso scegliere da solo. So che la verità è più profonda di qualsiasi cosa sto per calcolare. Non importa cosa metto al posto di a, la risposta sarà comunque troppo grande. Ma se continuo il gioco con α e cerco di ottenere il valore più basso possibile CON, allora questo valore più basso sarà più vicino alla verità di qualsiasi altro valore. Pertanto, ora devo scegliere α in modo che il valore CON ha raggiunto il suo minimo. Passando al calcolo differenziale ordinario, sono convinto che il minimo CON sarà quando α =— 2 B/(b+UN). Sostituendo questo valore nella formula, ottengo la capacità più piccola

Ho capito cosa offre questa formula CON a valori diversi b/a. Ho chiamato questi numeri CON(quadratico). Ecco una tabella di confronto CON(quadratico) con CON(VERO).

Ad esempio, quando il rapporto del raggio è 2:1, ottengo 1.444. Questa è un'ottima approssimazione alla risposta corretta, 1.4423. Anche con grandi Sì l'approssimazione rimane abbastanza buona, molto migliore della prima approssimazione. Rimane tollerabile (sovrastimato solo del 10%) anche con b/a = 10: 1. Una grande discrepanza si verifica solo con un rapporto di 100: 1. Ottengo CON pari a 0,346 anziché 0,267. D'altra parte, per un rapporto di raggio pari a 1,5 l'accordo è ottimo, e per b/a=1,1 la risposta è 10.492065 invece del previsto 10.492070. Laddove ti aspetteresti una buona risposta, risulta essere molto, molto buona.

Ho fornito tutti questi esempi, in primo luogo, per dimostrare il valore teorico del principio di minima azione e in generale di tutti i principi di minimo, e, in secondo luogo, per mostrarvi la loro utilità pratica, e non per calcolare la capacità che già abbiamo lo sappiamo molto bene. Per qualsiasi altra forma, puoi provare un campo approssimato con alcuni parametri sconosciuti (come α) e adattarli al minimo. Otterrai risultati numerici superiori su problemi non risolvibili altrimenti.

Gli obbediscono e quindi questo principio è una delle disposizioni chiave della fisica moderna. Le equazioni del moto ottenute con il suo aiuto sono chiamate equazioni di Eulero-Lagrange.

La prima formulazione del principio fu data da P. Maupertuis nell'anno successivo, sottolineandone subito il carattere universale, ritenendolo applicabile all'ottica e alla meccanica. Da questo principio derivò le leggi della riflessione e rifrazione della luce.

Storia

Maupertuis è giunto a questo principio dalla sensazione che la perfezione dell'Universo richiede una certa economia in natura e contraddice ogni inutile dispendio di energia. Il movimento naturale deve essere tale da rendere minima una certa quantità. Tutto quello che doveva fare era trovare questo valore, cosa che ha continuato a fare. Era il prodotto della durata (tempo) del movimento all'interno del sistema per il doppio del valore, che ora chiamiamo energia cinetica del sistema.

Eulero (a "Riflessioni su quelques loix générales de la natura", 1748) adotta il principio della minima quantità di azione, chiamandola "sforzo". La sua espressione in statica corrisponde a quella che oggi chiameremmo energia potenziale, così che la sua affermazione di minima azione in statica equivale alla condizione di energia potenziale minima per una configurazione di equilibrio.

Nella meccanica classica

Il principio di minima azione funge da base fondamentale e standard delle formulazioni lagrangiane e hamiltoniane della meccanica.

Per prima cosa diamo un'occhiata alla costruzione in questo modo: Meccanica lagrangiana. Usando l'esempio di un sistema fisico con un grado di libertà, ricordiamo che un'azione è un funzionale rispetto a coordinate (generalizzate) (nel caso di un grado di libertà - una coordinata), cioè si esprime in modo tale che ogni versione immaginabile della funzione è associata ad un certo numero - un'azione (in In questo senso, possiamo dire che un'azione come funzionale è una regola che consente ad una determinata funzione di calcolare un numero ben definito - chiamato anche azione). L'azione assomiglia a:

dove è la lagrangiana del sistema, dipendente dalla coordinata generalizzata, la sua derivata prima rispetto al tempo, ed anche, eventualmente, esplicitamente sul tempo. Se il sistema ha un numero maggiore di gradi di libertà, allora la Lagrangiana dipende da un numero maggiore di coordinate generalizzate e dalle loro derivate prime rispetto al tempo. Pertanto, l'azione è un funzionale scalare che dipende dalla traiettoria del corpo.

Il fatto che l'azione sia scalare rende facile scriverla in qualsiasi coordinata generalizzata, l'importante è che la posizione (configurazione) del sistema sia caratterizzata inequivocabilmente da esse (ad esempio, invece delle coordinate cartesiane, queste possono essere polari coordinate, distanze tra punti del sistema, angoli o loro funzioni, ecc. .d.).

L’azione può essere calcolata secondo una traiettoria del tutto arbitraria, non importa quanto “selvaggia” e “innaturale” possa essere. Tuttavia, nella meccanica classica, tra tutte le possibili traiettorie, ce n'è solo una lungo la quale il corpo andrà effettivamente. Il principio dell’azione stazionaria dà proprio la risposta alla domanda su come si muoverà effettivamente il corpo:

Ciò significa che se è data la Lagrangiana del sistema, allora usando il calcolo delle variazioni possiamo stabilire esattamente come si muoverà il corpo ottenendo prima le equazioni del moto - le equazioni di Eulero-Lagrange, e poi risolvendole. Ciò consente non solo di generalizzare seriamente la formulazione della meccanica, ma anche di scegliere le coordinate più convenienti per ogni specifico problema, non limitandosi a quelli cartesiani, che possono essere molto utili per ottenere le equazioni più semplici e facilmente risolvibili.

dov'è la funzione Hamilton di questo sistema; - coordinate (generalizzate), - impulsi coniugati (generalizzati), che insieme caratterizzano in ogni dato momento del tempo lo stato dinamico del sistema e, essendo ciascuno una funzione del tempo, caratterizzano così l'evoluzione (movimento) del sistema. In questo caso, per ottenere le equazioni del moto del sistema sotto forma di equazioni canoniche di Hamilton, è necessario variare l’azione così scritta indipendentemente per tutti e .

Va notato che se dalle condizioni del problema è possibile in linea di principio trovare la legge del moto, allora questa viene automaticamente Non significa che è possibile costruire un funzionale che assume un valore stazionario durante il moto vero. Un esempio è il movimento congiunto di cariche elettriche e monopoli - cariche magnetiche - in un campo elettromagnetico. Le loro equazioni del moto non possono essere derivate dal principio di azione stazionaria. Allo stesso modo, alcuni sistemi hamiltoniani hanno equazioni del moto che non possono essere derivate da questo principio.

Esempi

Esempi banali aiutano a valutare l'utilizzo del principio di funzionamento attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange. Particella libera (massa M e velocità v) nello spazio euclideo si muove in linea retta. Utilizzando le equazioni di Eulero-Lagrange, questo può essere mostrato in coordinate polari come segue. In assenza di potenziale, la funzione di Lagrange è semplicemente uguale all'energia cinetica

in un sistema di coordinate ortogonali.

Nelle coordinate polari, l'energia cinetica, e quindi la funzione di Lagrange, diventa

Le componenti radiale e angolare delle equazioni diventano, rispettivamente:

Risolvere queste due equazioni

Ecco una notazione condizionale per l'integrazione funzionale infinitamente multipla su tutte le traiettorie x(t), ed è la costante di Planck. Sottolineiamo che, in linea di principio, l'azione nell'esponenziale appare (o può apparire) stessa quando si studia l'operatore di evoluzione nella meccanica quantistica, ma per i sistemi che hanno un esatto analogo classico (non quantistico), è esattamente uguale al solito azione classica.

L'analisi matematica di questa espressione nel limite classico - per oscillazioni sufficientemente grandi, cioè molto veloci dell'esponenziale immaginario - mostra che la stragrande maggioranza di tutte le traiettorie possibili in questo integrale si annullano a vicenda nel limite (formalmente per ). Per quasi ogni percorso esiste un percorso sul quale lo sfasamento sarà esattamente opposto e la loro somma darà un contributo pari a zero. Solo quelle traiettorie per le quali l'azione è vicina al valore estremo (per la maggior parte dei sistemi - al minimo) non vengono ridotte. Questo è un fatto puramente matematico derivante dalla teoria delle funzioni di una variabile complessa; Ad esempio, il metodo della fase stazionaria si basa su di esso.

Di conseguenza, la particella, in pieno accordo con le leggi della meccanica quantistica, si muove simultaneamente lungo tutte le traiettorie, ma in condizioni normali solo le traiettorie vicine a stazionarie (cioè classiche) contribuiscono ai valori osservati. Poiché la meccanica quantistica si trasforma in meccanica classica nel limite delle alte energie, possiamo supporre che sia così derivazione quantomeccanica del principio classico di stazionarietà dell'azione.

Nella teoria quantistica dei campi

Anche nella teoria quantistica dei campi viene applicato con successo il principio dell'azione stazionaria. La densità lagrangiana qui include gli operatori dei corrispondenti campi quantistici. Anche se qui in sostanza è più corretto (con l'eccezione del limite classico e in parte quasi classico) parlare non del principio di stazionarietà dell'azione, ma dell'integrazione di Feynman lungo le traiettorie nella configurazione o spazio delle fasi di questi campi - utilizzando la densità lagrangiana appena menzionata.

Ulteriori generalizzazioni

Più in generale, un'azione è intesa come un funzionale che definisce una mappatura da uno spazio di configurazione a un insieme di numeri reali e, in generale, non deve essere un integrale, perché in linea di principio sono possibili azioni non locali, almeno teoricamente. Inoltre, uno spazio di configurazione non è necessariamente uno spazio di funzioni perché può avere geometria non commutativa.

Gli obbediscono e quindi questo principio è una delle disposizioni chiave della fisica moderna. Le equazioni del moto ottenute con il suo aiuto sono chiamate equazioni di Eulero-Lagrange.

Storia

Nella meccanica classica

Il principio di minima azione funge da base fondamentale e standard delle formulazioni lagrangiane e hamiltoniane della meccanica.

Esempi

in un sistema di coordinate ortogonali.

Nelle coordinate polari, l'energia cinetica, e quindi la funzione di Lagrange, diventa

Le componenti radiale e angolare delle equazioni diventano, rispettivamente:

Risolvere queste due equazioni

Nella teoria quantistica dei campi

Ulteriori generalizzazioni

Il principio di minima azione, formulato per la prima volta proprio da Jacobi, è simile al principio di Hamilton, ma meno generale e più difficile da dimostrare. Questo principio è applicabile solo al caso in cui le connessioni e la funzione della forza non dipendono dal tempo e quando, quindi, esiste un integrale della forza vivente.

Questo integrale ha la forma:

Il principio di Hamilton sopra affermato afferma che la variazione dell'integrale

è uguale a zero nel passaggio dal moto attuale ad un qualunque altro moto infinitamente vicino, che trasferisce il sistema dalla stessa posizione iniziale alla stessa posizione finale nello stesso periodo di tempo.

Il principio di Jacobi, al contrario, esprime una proprietà del moto che non dipende dal tempo. Jacobi considera l'integrale

azione determinante. Il principio da lui stabilito afferma che la variazione di questo integrale è zero quando confrontiamo il moto reale del sistema con qualsiasi altro moto infinitamente vicino che porti il sistema dalla stessa posizione iniziale alla stessa posizione finale. In questo caso non prestiamo attenzione al periodo di tempo trascorso, ma osserviamo l'equazione (1), cioè l'equazione della manodopera con lo stesso valore della costante h del movimento reale.

Questa condizione necessaria per un estremo porta, in generale, ad un minimo dell'integrale (2), da cui il nome principio di minima azione. La condizione di minimo sembra essere la più naturale, poiché il valore di T è essenzialmente positivo, e quindi l'integrale (2) deve necessariamente avere un minimo. L'esistenza di un minimo può essere rigorosamente dimostrata se solo il periodo di tempo è sufficientemente piccolo. La prova di questa posizione si trova nel famoso corso di Darboux sulla teoria delle superfici. Noi però non lo presenteremo qui e ci limiteremo a derivarne la condizione

432. Dimostrazione del principio di minima azione.

Nel calcolo vero e proprio incontriamo una difficoltà che non è presente nella dimostrazione del teorema di Hamilton. La variabile t non rimane più indipendente dalla variazione; quindi variazioni di q i e q. sono legati alla variazione di t da una relazione complessa che segue dall'equazione (1). Il modo più semplice per aggirare questa difficoltà è cambiare la variabile indipendente, scegliendone una i cui valori ricadono entro limiti costanti che non dipendono dal tempo. Sia k una nuova variabile indipendente, i cui limiti si assumono indipendenti da t. Quando si sposta il sistema, i parametri et saranno funzioni di questa variabile

Le lettere con numeri primi q denotano le derivate dei parametri q rispetto al tempo.

Poiché le connessioni, per ipotesi, non dipendono dal tempo, le coordinate cartesiane x, y, z sono funzioni di q che non contengono tempo. Pertanto, le loro derivate saranno funzioni lineari omogenee di q e 7 sarà una forma quadratica omogenea di q, i cui coefficienti sono funzioni di q. Abbiamo

Per distinguere le derivate di q rispetto al tempo, indichiamo, tra parentesi, (q), le derivate di q prese rispetto e messe in accordo con questo

allora avremo

e l'integrale (2), espresso attraverso la nuova variabile indipendente A, assumerà la forma;

La derivata può essere eliminata utilizzando il teorema della forza vivente. In effetti, l'integrale della manodopera lo sarà

Sostituendo questa espressione nella formula per, riduciamo l'integrale (2) alla forma

L'integrale che definisce l'azione ha così preso la sua forma definitiva (3). La funzione integranda è la radice quadrata della forma quadratica delle quantità

Mostriamo che le equazioni differenziali degli estremali dell'integrale (3) sono esattamente le equazioni di Lagrange. Le equazioni degli estremali, basate sulle formule generali del calcolo delle variazioni, saranno:

Moltiplichiamo le equazioni per 2 ed effettuiamo le derivazioni parziali, tenendo conto che non contiene, quindi otteniamo, se non scriviamo un indice,

Queste sono equazioni di estremali espresse in termini di variabile indipendente.Il compito ora è tornare alla variabile indipendente

Poiché Γ è una funzione omogenea di secondo grado di ed è una funzione omogenea di primo grado, abbiamo

D’altra parte, ai fattori delle derivate nelle equazioni degli estremali si può applicare il teorema della forza vivente, il che porta, come abbiamo visto sopra, alla sostituzione

Come risultato di tutte le sostituzioni, le equazioni degli estremali vengono ridotte alla forma

Siamo così arrivati alle equazioni di Lagrange.

433. Il caso in cui non vi sono forze motrici.

Nel caso in cui non ci siano forze motrici, esiste un'equazione per la forza vivente e noi l'abbiamo

La condizione affinché l'integrale sia minimo è in questo caso che il valore corrispondente di -10 sia il più piccolo. Quindi, quando non esistono forze motrici, allora tra tutti i movimenti in cui la forza vivente mantiene lo stesso valore dato, il movimento vero e proprio è quello che trasferisce il sistema dalla sua posizione iniziale a quella finale nel più breve tempo.

Se il sistema è ridotto a un punto che si muove su una superficie stazionaria, allora il movimento effettivo, tra tutti i movimenti sulla superficie che avvengono alla stessa velocità, è il movimento in cui il punto si sposta dalla sua posizione iniziale alla posizione finale nel più breve

Intervallo di tempo. In altre parole, un punto descrive sulla superficie la linea più breve tra le sue due posizioni, cioè una linea geodetica.

434. Nota.

Il principio di minima azione presuppone che il sistema abbia diversi gradi di libertà, poiché se ci fosse un solo grado di libertà, allora una equazione sarebbe sufficiente per determinare il movimento. Poiché in questo caso il movimento può essere completamente determinato dall'equazione della forza vivente, allora il movimento reale sarà l'unico che soddisfa questa equazione e quindi non può essere paragonato a nessun altro movimento.

PRINCIPIO MENO EFFICACE

Uno dei principi variazionali della meccanica, secondo Krom, per una data classe di movimenti meccanici confrontati tra loro. sistema, quello valido è quello per cui fisico. dimensione, chiamata azione, ha il valore più piccolo (più precisamente, stazionario). Di solito N. d. p. è usato in una delle due forme.

a) N. d. p. nella forma di Hamilton - Ostrogradsky stabilisce che tra tutti i movimenti cinematicamente possibili di un sistema da una configurazione all'altra (vicino alla prima), compiuti nello stesso periodo di tempo, quello valido è quello per cui l'azione hamiltoniana S sarà la più piccola. Matematica. l'espressione della N. d.p. in questo caso ha la forma: dS = 0, dove d è il simbolo della variazione incompleta (isocrona) (cioè, a differenza della variazione completa, il tempo in essa non varia).

b) N. d. p. nella forma di Maupertuis - Lagrange stabilisce che tra tutti i movimenti cinematicamente possibili di un sistema da una configurazione ad un'altra ad esso vicina, eseguiti mantenendo lo stesso valore dell'energia totale del sistema, quello valido è quello per - Pertanto, l'azione di Lagrange W sarà la più piccola. Matematica. l'espressione della N. d.p. in questo caso ha la forma DW = 0, dove D è il simbolo della variazione totale (a differenza del principio di Hamilton-Ostrogradsky, qui variano non solo le coordinate e le velocità, ma anche il tempo di movimento del sistema da una configurazione all'altra). N.d.p.v. In questo caso esso vale solo per i sistemi conservativi e, per di più, olonomi, mentre nel primo caso il principio non conservativo è più generale e, in particolare, è estendibile ai sistemi non conservativi. Gli NDP vengono utilizzati per compilare equazioni del movimento meccanico. sistemi e studiare le proprietà generali di questi movimenti. Con un'opportuna generalizzazione dei concetti, l'NDP trova applicazioni nella meccanica del mezzo continuo, nell'elettrodinamica e nella quantistica. meccanica, ecc.

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Aikido: l'incarnazione del principio della minima azione

Dal libro La geopsicologia nello sciamanesimo, nella fisica e nel taoismo autore Mindell Arnold

Aikido: l'incarnazione del principio della minima azione La nostra psicologia e tecnologia sono in gran parte guidate da un concetto molto vicino all'idea della minima azione. Cerchiamo costantemente di semplificarci la vita. I computer di oggi non sono abbastanza veloci; Loro devono