Calcolo dell'integrale di Mohr utilizzando la regola di Vereshchagin. Determinazione degli spostamenti utilizzando il metodo di Vereshchagin Moltiplicazione dei diagrammi

Nei casi in cui il diagramma Mz 1 (O Mz) è limitato alle linee rette. Si tratta essenzialmente di una tecnica per il calcolo graficamente analitico di un integrale definito del prodotto di due funzioni F(X) E φ (X), di quale, ad esempio φ (X), lineare, cioè ha la forma

Consideriamo una sezione di trave all'interno della quale il diagramma dei momenti flettenti derivanti da un carico unitario è limitato ad una retta Mz 1 = kx+ B, e il momento flettente di un dato carico cambia secondo una legge arbitraria Mz. Quindi all'interno di quest'area

Il secondo integrale rappresenta l'area ω diagrammi Mz nell'area in esame, e il primo è il momento statico di quest'area rispetto all'asse sì e quindi uguale al prodotto dell'area ω alla coordinata del suo baricentro XC. Così,

.

Qui kxC+ B- ordinato sìC diagrammi Mz 1 sotto il baricentro dell'area ω . Quindi,

.

Lavoro ω sìC sarà positivo quando ω E sìC situati su un lato dell'asse del diagramma e negativi se si trovano su lati opposti di questo asse.

Quindi, secondo Il metodo di Vereshchagin l'operazione di integrazione è sostituita dalla moltiplicazione dell'area ω una trama per ordinata sìC secondo diagramma (necessariamente lineare) ripreso sotto il baricentro dell'area ω .

È importante ricordare sempre che tale “moltiplicazione” dei diagrammi è possibile solo nell'area limitata da una retta del diagramma da cui si prende l'ordinata sìC. Pertanto, quando si calcolano gli spostamenti delle sezioni della trave utilizzando il metodo Vereshchagin, l'integrale di Mohr sull'intera lunghezza della trave deve essere sostituito dalla somma degli integrali sulle sezioni all'interno delle quali il diagramma dei momenti derivanti da un carico unitario non presenta pieghe. Poi

.

Per applicare con successo il metodo di Vereshchagin, è necessario disporre di formule con cui calcolare le aree ω e coordinate XC i loro centri di gravità. Riportato in tabella. I dati 8.1 corrispondono solo ai casi più semplici di carico della trave. Tuttavia, i diagrammi più complessi dei momenti flettenti possono essere suddivisi in figure semplici, aree ω io e coordinate sìci che sono conosciuti, e poi trovare il lavoro ω sìC per un diagramma così complesso sommando i prodotti delle aree ω io le sue parti alle coordinate corrispondenti sìci. Ciò si spiega con il fatto che la scomposizione in parti del diagramma moltiplicabile equivale alla rappresentazione della funzione Mz(X) nell'integrale (8.46) come somma di integrali. In alcuni casi, la costruzione di diagrammi a strati, cioè da ciascuna delle forze e coppie esterne separatamente, semplifica i calcoli.

Se entrambi i diagrammi Mz E Mz 1 lineare, il risultato finale della loro moltiplicazione non dipende dal fatto che l'area del primo diagramma venga moltiplicata per l'ordinata del secondo o, al contrario, l'area del secondo per l'ordinata del primo.

Per calcolare praticamente gli spostamenti utilizzando il metodo di Vereshchagin, è necessario:

1) costruire un diagramma dei momenti flettenti a partire da un dato carico (diagramma principale);

3) costruire un diagramma dei momenti flettenti a partire da un carico unitario (diagramma unitario);

4) dividere i diagrammi dei carichi dati in aree separate ω io e calcola le ordinate sìCi un unico diagramma sotto i baricentri di tali zone;

5) comporre un'opera ω iosìCi e riassumerli.

Tabella 8.1.

Tipo di diagramma Mz	Piazza ω	Coordinata del baricentro XC
(*) - Queste formule non sono valide per questo caso di caricamento

EE "BSUIR"

Dipartimento di Ingegneria Grafica

ASTRATTO

sul tema:

“DETERMINAZIONE DEGLI SPOSTAMENTI CON IL METODO MOR. REGOLA DI VERESCHAGIN"

MINSK, 2008

Consideriamo ora un metodo generale per determinare gli spostamenti, adatto a qualsiasi sistema linearmente deformabile sotto qualsiasi carico. Questo metodo è stato proposto dall'eccezionale scienziato tedesco O. Mohr.

Supponiamo, ad esempio, di voler determinare lo spostamento verticale del punto A della trave mostrata in Fig. 7.13, a. Indichiamo lo stato (carico) dato con la lettera K. Scegliamo uno stato ausiliario della stessa trave con unità

forza che agisce nel punto A e nella direzione dello spostamento desiderato. Indichiamo lo stato ausiliario con la lettera i (Fig. 7.13,6).

Calcoliamo il lavoro delle forze esterne ed interne dello stato ausiliario sugli spostamenti causati dall'azione delle forze dello stato di carico.

Il lavoro delle forze esterne sarà uguale al prodotto di una forza unitaria e dello spostamento desiderato ya

e il lavoro delle forze interne in valore assoluto è uguale all'integrale

(1)

La formula (7.33) è la formula di Mohr (integrale di Mohr), che permette di determinare lo spostamento in qualsiasi punto di un sistema linearmente deformabile.

In questa formula, l'integrando di MiMk è positivo se entrambi i momenti flettenti hanno lo stesso segno, e negativo se Mi e Mk hanno segni diversi.

Se dovessimo determinare lo spostamento angolare nel punto A, allora nello stato i dovremmo applicare un momento pari a uno (senza dimensione) nel punto A.

Denotando con la lettera Δ qualsiasi movimento (lineare o angolare), scriviamo la formula di Mohr (integrale) nella forma

(2)

Nel caso generale, l'espressione analitica Mi e Mk può essere diversa nelle diverse sezioni di una trave o di un sistema elastico in generale. Pertanto, invece della formula (2), si dovrebbe usare la formula più generale

(3)

Se le aste del sistema non lavorano in flessione, ma in tensione (compressione), come, ad esempio, nelle capriate, allora la formula di Mohr ha la forma

(4)

In questa formula, il prodotto NiNK è positivo se entrambe le forze sono di trazione o entrambe sono di compressione. Se le aste lavorano contemporaneamente in flessione e tensione (compressione), allora in casi normali, come mostrano i calcoli comparativi, gli spostamenti possono essere determinati tenendo conto solo dei momenti flettenti, poiché l'influenza delle forze longitudinali è molto piccola.

Per le stesse ragioni, come osservato in precedenza, nei casi ordinari l'influenza delle forze di taglio può essere ignorata.

Invece di calcolare direttamente l’integrale di Mohr, è possibile utilizzare la tecnica grafo-analitica “metodo di moltiplicazione dei diagrammi” o regola di Vereshchagin.

Consideriamo due diagrammi di momenti flettenti, uno dei quali Mk ha un contorno arbitrario e l'altro Mi è rettilineo (Fig. 7.14, aeb).

(5)

Il valore MKdz è l'area elementare dωk del diagramma Mk (ombreggiato in figura). Così,

(6)

quindi,

(8)

Ma rappresenta il momento statico dell'area del diagramma Mk rispetto ad un asse y passante per il punto O, pari a ωkzc, dove ωk è l'area del diagramma del momento; zc è la distanza dall'asse y al centro di gravità del diagramma Mk. Dal disegno è chiaro

dove Msi è l'ordinata del diagramma Mi, posta sotto il baricentro del diagramma Mk (sotto il punto C). Quindi,

(10)

cioè, l'integrale richiesto è uguale al prodotto dell'area del diagramma Mk (qualsiasi forma) per l'ordinata del diagramma rettilineo Msi situato sotto il suo baricentro. Il valore di ωкМсi è considerato positivo se entrambi i diagrammi si trovano sullo stesso lato dell'asta, negativo se si trovano su lati diversi. Un risultato positivo della moltiplicazione dei diagrammi significa che la direzione del movimento coincide con la direzione di una forza (o momento) unitaria.

Si tenga presente che l'ordinata Msi va presa secondo un diagramma rettilineo. Nel caso particolare in cui entrambi i diagrammi sono rettilinei, è possibile moltiplicare l'area di uno di essi per l'ordinata corrispondente dell'altro.

Per le barre a sezione variabile, la regola della moltiplicazione dei diagrammi di Vereshchagin non è applicabile, poiché in questo caso non è più possibile rimuovere il valore EJ da sotto il segno integrale. In questo caso si dovrebbe esprimere EJ in funzione dell'ascissa della sezione e poi si dovrebbe calcolare l'integrale di Mohr (1).

Quando si modifica gradualmente la rigidità di una canna, si esegue l'integrazione (o la moltiplicazione dei diagrammi) per ciascuna sezione separatamente (con il proprio valore EJ) e quindi si riassumono i risultati.

Nella tabella 1 mostra le aree di alcuni semplici diagrammi e le coordinate del loro baricentro.

Tabella 1

Tipo di diagramma	Area del diagramma	Distanza dal centro di gravità

Per accelerare i calcoli, è possibile utilizzare le tabelle di moltiplicazione dei diagrammi già pronte (Tabella 2).

In questa tabella, nelle celle all'intersezione dei corrispondenti diagrammi elementari, vengono forniti i risultati della moltiplicazione di questi diagrammi.

Quando si scompone un diagramma complesso in diagrammi elementari, presentati nella tabella. 1 e 7.2, occorre tenere presente che i diagrammi parabolici sono stati ricavati dall'azione di un solo carico distribuito.

Nei casi in cui in un diagramma complesso le sezioni curve siano ottenute dall'azione simultanea di momenti concentrati, forze e carico uniformemente distribuito, per evitare errori, il diagramma complesso dovrebbe essere prima “stratificato”, cioè suddiviso in più diagrammi indipendenti: dall'azione di momenti concentrati, di forze e dall'azione di un carico uniformemente distribuito.

Puoi anche utilizzare un'altra tecnica che non richiede la stratificazione dei diagrammi, ma richiede solo la selezione della parte curvilinea del diagramma lungo la corda che ne collega i punti estremi.

Dimostreremo entrambi i metodi con un esempio specifico.

Supponiamo, ad esempio, di voler determinare lo spostamento verticale dell'estremità sinistra della trave (Fig. 7.15).

Il diagramma totale del carico è presentato in Fig. 7,15, a.

Tabella 7.2

Il diagramma dell'azione di una forza unitaria nel punto A è mostrato in Fig. 7.15, città

Per determinare lo spostamento verticale nel punto A è necessario moltiplicare il diagramma di carico per il diagramma della forza unitaria. Notiamo però che nella sezione BC del diagramma complessivo, il diagramma curvilineo è ottenuto non solo dall'azione di un carico uniformemente distribuito, ma anche dall'azione di una forza concentrata P. Di conseguenza, nella sezione BC si ha non sarà più un diagramma parabolico elementare riportato nelle Tabelle 7.1 e 7.2, ma sostanzialmente un diagramma complesso per il quale i dati di queste tabelle non sono validi.

Pertanto è necessario stratificare il diagramma complesso secondo la Fig. 7.15, ed agli schemi elementari presentati in Fig. 7.15, b e 7.15, c.

Diagramma secondo la Fig. 7.15, b è stato ottenuto solo dalla forza concentrata, diagramma secondo Fig. 7.15, c - solo dall'azione di un carico uniformemente distribuito.

Ora puoi moltiplicare i diagrammi utilizzando la tabella. 1 o 2.

Per fare ciò, è necessario moltiplicare il diagramma triangolare secondo la Fig. 7.15, b allo schema triangolare di Fig. 7.15, d e sommare a questo il risultato della moltiplicazione del diagramma parabolico di Fig. 7.15, nello schema trapezoidale della sezione BC di Fig. 7.15, d, poiché nella sezione AB le ordinate del diagramma di Fig. 7,15, in sono pari a zero.

Mostriamo ora il secondo metodo per moltiplicare i diagrammi. Consideriamo ancora il diagramma di Fig. 7,15, a. Prendiamo l'origine di riferimento nella sezione B. Mostriamo che entro i limiti della curva LMN i momenti flettenti possono essere ottenuti come somma algebrica dei momenti flettenti corrispondenti alla retta LN, e dei momenti flettenti del diagramma parabolico LNML, lo stesso di una trave semplice di lunghezza a, caricata con un carico uniformemente distribuito q:

L'ordinata più grande al centro sarà uguale a .

Per dimostrarlo scriviamo l’espressione effettiva del momento flettente nella sezione a distanza z dal punto B

(UN)

Scriviamo ora nella stessa sezione l'espressione del momento flettente, ottenuto come somma algebrica delle ordinate della retta LN e della parabola LNML.

Equazione della retta LN

dove k è la tangente dell'angolo di inclinazione di questa linea

Di conseguenza, l’equazione dei momenti flettenti ottenuta come somma algebrica dell’equazione della retta LN e della parabola LNMN ha la forma

che coincide con l'espressione (A).

Quando si moltiplicano i diagrammi secondo la regola di Vereshchagin, è necessario moltiplicare il trapezio BLNC per il trapezio dal diagramma unitario nella sezione BC (vedere Fig. 7.15, d) e sottrarre il risultato della moltiplicazione del diagramma parabolico LNML (area ) per lo stesso trapezio dal diagramma unitario. Questo metodo di sovrapposizione dei diagrammi è particolarmente vantaggioso quando la sezione curva del diagramma si trova in una delle sezioni centrali della trave.

Esempio 7.7. Determinare gli spostamenti verticali e angolari della trave a sbalzo nel punto in cui viene applicato il carico (Fig. 7.16).

Soluzione. Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti per lo stato di carico (Fig. 7.16, a).

Per determinare lo spostamento verticale, selezioniamo lo stato ausiliario della trave con una forza unitaria nel punto di applicazione del carico.

Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti da questa forza (Fig. 7.16, b). Determinazione dello spostamento verticale utilizzando il metodo di Mohr

Valore del momento flettente dovuto al carico

Il valore del momento flettente da una forza unitaria

Sostituiamo questi valori di МР e Mi sotto il segno integrale e integriamo

Lo stesso risultato era stato precedentemente ottenuto con un metodo diverso.

Un valore di deflessione positivo indica che il punto di applicazione del carico P si sta spostando verso il basso (nella direzione della forza unitaria). Se dirigessimo una forza unitaria dal basso verso l'alto, avremmo Mi = 1z e come risultato dell'integrazione otterremmo una deflessione con segno meno. Il segno meno indicherebbe che il movimento non è al rialzo, ma al ribasso, come è nella realtà.

Calcoliamo ora l’integrale di Mohr moltiplicando i diagrammi secondo la regola di Vereshchagin.

Poiché entrambi i diagrammi sono rettilinei, non importa da quale diagramma prendere l'area e da quale prendere l'ordinata.

L'area del diagramma di carico è uguale a

Il baricentro di questo diagramma è situato ad una distanza di 1/3l dal basamento. Determiniamo l'ordinata del diagramma dei momenti da una forza unitaria, situata sotto

baricentro del diagramma di carico. È facile verificare che è pari a 1/3l.

Quindi.

Lo stesso risultato si ottiene dalla tabella degli integrali. Il risultato della moltiplicazione dei diagrammi è positivo, poiché entrambi i diagrammi si trovano nella parte inferiore dell'asta. Di conseguenza, il punto di applicazione del carico si sposta verso il basso, cioè lungo la direzione accettata della forza unitaria.

Per determinare lo spostamento angolare (angolo di rotazione), selezioniamo uno stato ausiliario della trave in cui all'estremità della trave agisce un momento concentrato pari all'unità.

Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti per questo caso (Fig. 7.16, c). Determiniamo lo spostamento angolare moltiplicando i diagrammi. Area del diagramma di carico

Le ordinate del diagramma da un singolo momento sono ovunque uguali all'unità, quindi l'angolo di rotazione desiderato della sezione è uguale a

Poiché entrambi i diagrammi si trovano sotto, il risultato della moltiplicazione dei diagrammi è positivo. Pertanto, la sezione terminale della trave ruota in senso orario (nella direzione del momento unitario).

Esempio: utilizzando il metodo Mohr-Vereshchagin, determinare la freccia nel punto D per la trave mostrata in Fig. 7.17..

Soluzione. Costruiamo un diagramma a strati dei momenti del carico, ovvero costruiamo diagrammi separati dall'azione di ciascun carico. In questo caso, per comodità di moltiplicazione dei diagrammi, è consigliabile costruire diagrammi stratificati (elementari) relativi alla sezione, la cui freccia è determinata in questo caso rispetto alla sezione D.

Nella fig. 7.17, a mostra un diagramma dei momenti flettenti da reazione A (sezione AD) e da carico P = 4 T (sezione DC). I diagrammi sono costruiti su fibra compressa.

Nella fig. 7.17, b mostra i diagrammi dei momenti derivanti dalla reazione B (sezione BD), dal carico uniformemente distribuito da sinistra (sezione AD) e da un carico uniformemente distribuito agente sulla sezione BC. Questo diagramma è mostrato in Fig. 7.17, b nella zona DC sottostante.

Successivamente, selezioniamo lo stato ausiliario della trave, per il quale applichiamo una forza unitaria nel punto D, dove viene determinata la deflessione (Fig. 7.17, c). Il diagramma dei momenti derivanti da una forza unitaria è mostrato in Fig. 7.17, d. Ora moltiplichiamo i diagrammi da 1 a 7 per i diagrammi 8 e 9, utilizzando le tabelline dei diagrammi, tenendo conto dei segni.

In questo caso, i diagrammi posizionati su un lato della trave vengono moltiplicati per un segno più, mentre i diagrammi posizionati sui lati opposti della trave vengono moltiplicati per un segno meno.

Moltiplicando il diagramma 1 e il diagramma 8 otteniamo

Moltiplicando il grafico 5 per il grafico 8, otteniamo

Moltiplicando i grafici 2 e 9 si ottiene

Moltiplicare i grafici 4 e 9

Moltiplica i grafici 6 e 9

Riassumendo i risultati della moltiplicazione dei diagrammi, otteniamo

Il segno meno indica che il punto D non si muove verso il basso, poiché la forza unitaria è diretta, ma verso l'alto.

Lo stesso risultato è stato ottenuto in precedenza utilizzando l'equazione universale.

Naturalmente in questo esempio è stato possibile stratificare il diagramma solo nella sezione AD, poiché nella sezione DB il diagramma complessivo è rettilineo e non è necessario stratificarlo. Nella sezione BC la delaminazione non è richiesta, poiché da una forza unitaria in questa sezione il diagramma è uguale a zero. La stratificazione del diagramma nella sezione BC è necessaria per determinare la freccia nel punto C.

Esempio. Determinare gli spostamenti verticale, orizzontale e angolare della sezione A dell'asta rotta mostrata in Fig. 7.18, a. La rigidità della sezione trasversale della sezione verticale dell'asta è EJ1; la rigidità della sezione trasversale della sezione orizzontale è EJ2.

Soluzione. Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti dovuti al carico. È mostrato in Fig. 7.18, b (vedi esempio 6.9). Per determinare lo spostamento verticale della sezione A, selezioniamo lo stato ausiliario del sistema mostrato in Fig. 7.18, c. Nel punto A viene applicata una forza verticale unitaria, diretta verso il basso.

Il diagramma dei momenti flettenti per questo stato è mostrato in Fig. 7.18, c.

Determiniamo lo spostamento verticale utilizzando il metodo di Mohr, utilizzando il metodo della moltiplicazione dei diagrammi. Poiché sull'asta verticale nello stato ausiliario non esiste il diagramma M1, moltiplichiamo solo i diagrammi relativi all'asta orizzontale. Prendiamo l'area del diagramma dallo stato di carico e l'ordinata dallo stato ausiliario. Lo spostamento verticale è

Poiché entrambi i diagrammi si trovano di seguito, prendiamo il risultato della moltiplicazione con un segno più. Di conseguenza, il punto A si sposta verso il basso, cioè nella direzione della forza verticale unitaria.

Per determinare il movimento orizzontale del punto A, selezioniamo uno stato ausiliario con una forza unitaria orizzontale diretta a sinistra (Fig. 7.18, d). Il diagramma del momento per questo caso è presentato lì.

Moltiplichiamo i diagrammi MP e M2 e otteniamo

Il risultato della moltiplicazione dei diagrammi è positivo, poiché i diagrammi moltiplicati si trovano sullo stesso lato delle aste.

Per determinare lo spostamento angolare, selezioniamo lo stato ausiliario del sistema secondo la Fig. 7.18.5 e costruire un diagramma dei momenti flettenti per questo stato (nella stessa figura). Moltiplichiamo i diagrammi MP e M3:

Il risultato della moltiplicazione è positivo poiché i diagrammi moltiplicati si trovano su un lato.

Di conseguenza, la sezione A ruota in senso orario

Gli stessi risultati si otterrebbero utilizzando le tabelle
moltiplicando i diagrammi.

La vista dell'asta deformata è mostrata in Fig. 7.18, e, mentre le cilindrate risultano notevolmente aumentate.

LETTERATURA

Feodosiev V.I. Resistenza dei materiali. 1986

Belyaev N.M. Resistenza dei materiali. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Calcolo e progettazione di meccanismi strumentali e sistemi informatici. 1991

Rabotnov Yu.N. Meccanica dei solidi deformabili. 1988

Stepin P.A. Resistenza dei materiali. 1990

Lezione 13 (continua). Esempi di soluzioni per il calcolo degli spostamenti con il metodo di Mohr-Vereshchagin e problemi a soluzione indipendente

Definizione degli spostamenti nelle travi

Esempio 1.

Determinare il movimento di un punto A travi (vedi figura) utilizzando l'integrale di Mohr.

Soluzione.

1) Componiamo un'equazione per il momento flettente da una forza esterna M F .

2) Applicare al punto A forza unitaria F = 1.

3) Scriviamo l'equazione del momento flettente da una forza unitaria.

4) Determinare i movimenti

Esempio 2.

Determinare il movimento di un punto A travi secondo il metodo di Vereshchagin.

Soluzione.

1) Stiamo costruendo un diagramma del carico.

2) Applichiamo una forza unitaria nel punto K.

3) Costruiamo un unico diagramma.

4) Determinare la deflessione

Esempio 3.

Determinare gli angoli di rotazione sui supporti UN E IN

Soluzione.

Costruiamo diagrammi da un dato carico e da singoli momenti applicati in sezioni UN E IN(Guarda l'immagine). Determiniamo gli spostamenti richiesti utilizzando gli integrali di Mohr

,

, che calcoliamo utilizzando la regola di Vereshchagin.

Trovare i parametri della trama

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

e poi gli angoli di rotazione sui supporti UN E IN

Esempio 4.

Determinare l'angolo di rotazione della sezione CON per un dato raggio (vedi figura).

Soluzione.

Determinazione delle reazioni di supporto R UN =R B ,

, , R UN = R B = qa.

Costruiamo diagrammi del momento flettente a partire da un dato carico e da un singolo momento applicato nella sezione CON, dove si cerca l'angolo di rotazione. Calcoliamo l'integrale di Mohr usando la regola di Vereshchagin. Trovare i parametri della trama

C 2 = -C 1 = -1/4,

e lungo di essi il movimento desiderato

Esempio 5.

Determinare la freccia nella sezione CON per un dato raggio (vedi figura).

Soluzione.

Diagramma M F(Fig.b)

Reazioni di supporto:

ESSERE: , ,

, R B + R E = F, R E = 0;

AB: , R UN = R IN = F; , .

Calcoliamo i momenti nei punti caratteristici, M B = 0, M C = Fa e costruire un diagramma del momento flettente da un dato carico.

Diagramma(Fig. c).

In sezione trasversale CON, dove si ricerca la freccia, applichiamo una forza unitaria e da essa costruiamo un diagramma del momento flettente, calcolando prima le reazioni vincolari ESSERE - , , = 2/3; , , = 1/3, e poi momenti nei punti caratteristici , , .

2. Determinazione della deflessione desiderata. Usiamo la regola di Vereshchagin e calcoliamo prima i parametri dei diagrammi e:

,

Deflessione della sezione CON

Esempio 6.

Determinare la freccia nella sezione CON per un dato raggio (vedi figura).

Soluzione.

CON. Utilizzando la regola di Vereshchagin, calcoliamo i parametri dei diagrammi ,

e trovare la deflessione desiderata

Esempio 7.

Determinare la freccia nella sezione CON per un dato raggio (vedi figura).

Soluzione.

1. Costruzione di diagrammi dei momenti flettenti.

Reazioni di supporto:

, , R UN = 2qa,

, R UN + R D = 3qa, R D = qa.

Costruiamo diagrammi dei momenti flettenti da un dato carico e da una forza unitaria applicata in un punto CON.

2. Determinazione dei movimenti. Per calcolare l’integrale di Mohr utilizziamo la formula di Simpson, applicandola in sequenza a ciascuna delle tre sezioni in cui è divisa la trave.

ComplottoAB :

ComplottoSole :

ComplottoCON D :

Movimento richiesto

Esempio 8.

Determinare la deflessione della sezione UN e l'angolo di rotazione della sezione E per una data trave (Fig. UN).

Soluzione.

1. Costruzione di diagrammi dei momenti flettenti.

Diagramma M F(riso. V). Dopo aver determinato le reazioni di supporto

, , R B = 19qa/8,

, R D = 13qa/8, costruiamo diagrammi di forza trasversale Q e momento flettente M F da un dato carico.

Diagramma(Fig. d). In sezione trasversale UN, dove si ricerca la deflessione, applichiamo una forza unitaria e da essa costruiamo un diagramma del momento flettente.

Diagramma(Fig. e). Questo diagramma è costruito da un singolo momento applicato nella sezione E, dove si cerca l'angolo di rotazione.

2. Determinazione dei movimenti. Deflessione della sezione UN troviamo utilizzando la regola di Vereshchagin. Puro M F nei siti Sole E CD Lo scomponiamo in parti semplici (Fig. d). Presentiamo i calcoli necessari sotto forma di tabella.

	-qa 3 /6	2qa 3 /3	-qa 3 /2				-qa 3 /2
C io
		-qa 4 /2	5qa 4 /12	-qa 4 /6	-qa 4 /12			-qa 4 /24

Noi abbiamo.

Il segno meno nel risultato indica che il punto UN non si muove verso il basso, come era diretta la forza unitaria, ma verso l'alto.

Angolo di rotazione della sezione E lo troviamo in due modi: con la regola di Vereshchagin e con la formula di Simpson.

Secondo la regola di Vereshchagin, moltiplicare i diagrammi M F e, per analogia con il precedente, otteniamo

,

Per trovare l'angolo di rotazione utilizzando la formula di Simpson, calcoliamo i momenti flettenti preliminari al centro delle sezioni:

La cilindrata richiesta, aumentata di EI X una volta,

Esempio 9.

Determinare a quale valore del coefficiente K deflessione della sezione CON sarà uguale a zero. Quando viene trovato il valore K costruire un diagramma del momento flettente e rappresentare una vista approssimativa della linea elastica della trave (vedi figura).

Soluzione.

Costruiamo diagrammi dei momenti flettenti a partire da un dato carico e da una forza unitaria applicata nella sezione CON, dove si ricerca la deflessione.

Secondo le condizioni del problema V C= 0. D'altra parte, . Integrale nella trama AB calcoliamo utilizzando la formula di Simpson e nella sezione Sole– secondo la regola di Vereshchagin.

Troviamo in anticipo

Spostamento di una sezione CON ,

Da qui , .

Quando viene trovato il valore K determinare il valore della reazione di supporto nel punto UN: , , , da cui si ricava la posizione del punto estremo sul diagramma M a seconda della condizione .

In base ai valori del momento nei punti caratteristici

Costruiamo un diagramma del momento flettente (Fig. d).

Esempio 10.

IN trave a sbalzo mostrata in figura.

Soluzione.

M dall'azione di una forza esterna concentrata F: M IN = 0, M UN = –F 2l(trama lineare).

A seconda delle condizioni del problema, è necessario determinare lo spostamento verticale A IN punti IN trave a sbalzo, quindi costruiamo un diagramma unitario dell'azione di una forza unitaria verticale F io = 1 applicato al punto IN.

Considerando che la trave a sbalzo è composta da due sezioni con diverse rigidezze a flessione, schemi e M Moltiplichiamo utilizzando la regola di Vereshchagin per sezioni separatamente. Diagrammi M e moltiplicare la prima sezione utilizzando la formula e i diagrammi della seconda sezione - come l'area del diagramma M seconda sezione Florida 2 / 2 in ordinata 2 l/3 diagrammi della seconda sezione sotto il baricentro del diagramma triangolare M la stessa zona.

In questo caso la formula dà:

Esempio 11.

Determinare il movimento verticale di un punto IN trave a campata unica mostrata in figura. La trave ha una rigidità alla flessione costante su tutta la sua lunghezza. EI.

Soluzione.

Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti M dall'azione di un carico distribuito esterno: M UN = 0; M D = 0;

Applicare al punto IN forza verticale unitaria F io = 1 e costruisci uno schema (vedi figura):

Dove R UN = 2/3;

Dove R D = 1/3, quindi M UN = 0; M D = 0; .

Dividiamo la trave in questione in 3 sezioni. Moltiplicare i diagrammi della 1a e della 3a sezione non causa difficoltà, poiché moltiplichiamo i diagrammi triangolari. Per applicare la regola di Vereshchagin alla 2a sezione, dividiamo il diagramma M 2a sezione in due componenti del diagramma: rettangolare e parabolica con area (vedi tabella).

Centro di gravità della parte parabolica del diagramma M si trova a metà della 2a sezione.

Quindi la formula utilizzando la regola di Vereshchagin si ottiene:

Esempio 12.

Determinare la deformazione massima in una trave a due supporti caricata con un carico di intensità uniformemente distribuito Q(Guarda l'immagine).

Soluzione.

Trovare i momenti flettenti:

Da un dato carico

Da una forza unitaria applicata in un punto CON dove si cerca la deviazione.

Calcoliamo la deflessione massima richiesta che si verifica nella sezione centrale della trave

Esempio 13.

Determinare la deflessione in un punto IN trave mostrata in figura.

Soluzione.

Costruiamo diagrammi dei momenti flettenti da un dato carico e una forza unitaria applicata in un punto IN. Per moltiplicare questi diagrammi è necessario dividere la trave in tre sezioni, poiché un unico diagramma è limitato a tre diverse rette.

L'operazione di moltiplicazione dei diagrammi della seconda e terza sezione si effettua in modo semplice. Le difficoltà sorgono quando si calcola l'area e le coordinate del baricentro del diagramma principale nella prima sezione. In questi casi, la costruzione di diagrammi a strati semplifica notevolmente la soluzione del problema. In questo caso, è conveniente prendere una delle sezioni condizionatamente come stazionaria e costruire diagrammi per ciascuno dei carichi, avvicinandosi a questa sezione da destra e da sinistra. Si consiglia di considerare la sezione in corrispondenza del luogo della frattura come stazionaria nel diagramma dei carichi unitari.

Un diagramma a strati in cui la sezione è considerata stazionaria IN, è mostrato in figura. Dopo aver calcolato le aree delle parti componenti del diagramma a strati e le corrispondenti ordinate del diagramma unitario, otteniamo

Esempio 14.

Determinare gli spostamenti nei punti 1 e 2 della trave (Fig. a).

Soluzione.

Ecco i diagrammi M E Q per travi a UN=2 m; Q=10 kN/m; CON=1,5UN; M=0,5qa 2 ; R=0,8qa; M 0 =M; =200MPa (fig. B E V).

Determiniamo lo spostamento verticale del centro della sezione dove è applicato il momento concentrato. Per fare ciò, considera una trave in uno stato sotto l'influenza solo di una forza concentrata applicata nel punto 1 perpendicolare all'asse della trave (nella direzione dello spostamento desiderato) (Fig. d).

Calcoliamo le reazioni di supporto componendo tre equazioni di equilibrio

Visita medica

Le reazioni sono state trovate correttamente.

Per costruire un diagramma, considerare tre sezioni (Fig. d).

1 trama

2a sezione

Sezione 3

Utilizzando questi dati, costruiamo un diagramma (Fig. e) dal lato delle fibre allungate.

Determiniamo con la formula di Mohr usando la regola di Vereshchagin. In questo caso, un diagramma curvo nell'area tra i supporti può essere rappresentato come la somma di tre diagrammi. Freccia

Il segno meno significa che il punto 1 si sposta verso l'alto (nella direzione opposta).

Determiniamo lo spostamento verticale del punto 2, dove viene applicata la forza concentrata. Per fare ciò, considera una trave in uno stato sotto l'influenza solo di una forza concentrata applicata nel punto 2 perpendicolare all'asse della trave (nella direzione dello spostamento desiderato) (Fig. e).

Il diagramma è costruito in modo simile al precedente.

Il punto 2 si sposta verso l'alto.

Determiniamo l'angolo di rotazione della sezione dove viene applicato il momento concentrato.

Oltre al metodo analitico sopra discusso per determinare lo spostamento di una trave, esistono altri metodi analitici e grafico-analitici applicabili a sistemi più complessi, ad esempio strutture con asse spezzato e sistemi staticamente indeterminati.

Uno di questi metodi è basato su Integrale di Mohr E La regola di Vereshchagin. L'essenza del metodo è applicare un carico unitario (forza o coppia) nella direzione del movimento che ci interessa e calcolare l'integrale di Mohr. L'espressione dell'integrale di Mohr deriva dal teorema di Castigliano, che qui viene esposto senza dimostrazione.

Teorema di Castigliano. Derivata dell'energia potenziale di deformazione rispetto alla forza generalizzata e allo spostamento generalizzato.

L'energia potenziale di deformazione di una trave curva è espressa dalla formula

In base al teorema di Castigliano, lo spostamento generalizzato (lineare o angolare) D è definito come

Se la forza generalizzata Q 06 uguale all'unità, allora la derivata parziale sarà numericamente uguale al momento M° carico unitario

nella sezione r della trave (le derivate parziali dei momenti delle altre forze sono pari a zero, poiché tali momenti non dipendono dal carico unitario). Il risultato è una formula chiamata integrale di Mohr.

Per una sezione separata della struttura, l'integrale di Mohr è scritto nella forma

dove D è il movimento generalizzato (lineare o angolare); / - lunghezza della sezione; M - equazione dei momenti delle forze esterne; M° - equazione dei momenti di carico unitari; ?7 è la rigidezza della sezione della struttura.

Per determinare lo spostamento lineare, viene applicata una forza unitaria adimensionale a una sezione, mentre per determinare lo spostamento angolare viene applicato un momento unitario adimensionale. Per una struttura con rigidezza costante, allora si può togliere dal segno integrale

Ad esempio, calcoliamo l'integrale di Mohr per la trave mostrata in Fig. 6.27

Riso. 6.27

Poiché le funzioni dei momenti flettenti sono espresse graficamente dai diagrammi dei momenti, sembra possibile esprimere l'integrale di Mohr in termini delle aree e delle ordinate dei diagrammi lungo La regola di Vereshchagin , altrimenti chiamato moltiplicando i diagrammi. Questa regola è formulata come segue: l'integrale richiesto è uguale al prodotto dell'area del diagramma di carico M e dell'ordinata del diagramma unitario situato sotto il suo baricentro.Carico viene nominato il diagramma dei momenti flettenti delle forze esterne.

Le aree e le ordinate dei diagrammi sono prese con segni più o meno, e un risultato positivo significa che la direzione dello spostamento desiderato coincide con la direzione del carico unitario. Se la struttura in esame ha più sezioni, i calcoli vengono eseguiti separatamente per ciascuna sezione e il risultato viene riassunto.

Ad esempio, determiniamo, utilizzando la regola di Vereshchagin, lo spostamento lineare e l'angolo di rotazione della sezione terminale della trave mostrata in Fig. 6.24.

Per determinare lo spostamento lineare dell'estremità libera della trave, applichiamo una forza unitaria verticale alla sua estremità e consideriamo il diagramma di carico e il diagramma dei momenti della forza unitaria. Poi

che coincide con l'espressione per y V, ottenuto nell'Esempio 6.8.

Per determinare l'angolo di rotazione della sezione terminale della trave, applichiamo un momento unitario alla sua estremità e costruiamo un diagramma. Poi

Le risposte positive significano che le direzioni dei carichi unitari e degli spostamenti coincidono. Otteniamo lo stesso risultato se moltiplichiamo l'area del diagramma unitario per l'ordinata del diagramma di carico situata sopra il baricentro dell'area del diagramma unitario.

Per rivelare l’indeterminazione statica del sistema, uno dei supporti dovrebbe essere scartato, sostituito con reazioni, dovrebbe essere applicato un carico unitario e quindi dovrebbero essere costruiti i diagrammi di carico e unità. Moltiplicando i diagrammi secondo la regola di Vereshchagin ed eguagliando a zero lo spostamento risultante, otteniamo un'equazione aggiuntiva necessaria per rivelare l'indeterminazione statica del sistema.

Esempio 6.11

Espandi l'indeterminazione statica di un telaio quadrato a due supporti con lato / mostrato in Fig. 6.28, UN.

Soluzione. Scartiamo i supporti, sostituendoli con reazioni Хь Y u Х 2, Y 2. Avendo composto l'equazione dei momenti relativi ai supporti e risolvendola, otteniamo Y2-P , Y x = -P . Equazione della proiezione sull'asse orizzontale P-X x + X 2 = 0 ha due incognite. Applichiamo una forza unitaria all'estremità destra del telaio, come mostrato in Fig. 6.28, D e costruire un diagramma dei singoli momenti. Nella fig. 6.28, vig Sono stati costruiti diagrammi di carico dei momenti flettenti. Moltiplicare secondo la regola

Riso. 6.28

Carico di Vereshchagin e diagrammi unitari, otteniamo un'equazione aggiuntiva necessaria per rivelare l'indeterminazione statica del telaio.

Il segno meno nel terzo termine risulta dai diagrammi della forza attiva R e la forza unitaria si trovano sui lati opposti dell'asse dell'asta.

Dopo aver effettuato i calcoli, otteniamo , Dove. Un meno nella risposta significa che la reazione X2 diretto nella direzione opposta. Successivamente troviamo

Nel caso generale (asta a sezione variabile, sistema complesso di carichi), l'integrale di Mohr è determinato mediante integrazione numerica. In molti casi pratici, quando la rigidezza della sezione è costante lungo la lunghezza dell'asta, l'integrale di Mohr può essere calcolato utilizzando la regola di Vereshchagin. Consideriamo la definizione dell'integrale di Mohr nella sezione da a a 6 (Fig. 9.18).

Riso. 9.18. Regola di Vereshchagin per il calcolo dell'integrale di Mohr

I diagrammi del momento da un singolo fattore di forza sono costituiti da segmenti diritti. Senza perdita di generalità, assumiamo che all'interno dell'area

dove A e B sono i parametri della linea:

L'integrale di Mohr sulla sezione di sezione d'urto costante in esame ha la forma

dove F è l'area sotto la curva (l'area del diagramma dei momenti flettenti da forze esterne nella sezione z).

dove è l'ascissa del baricentro dell'area.

L'uguaglianza (109) è valida quando il segno non cambia all'interno dell'area e può essere considerata come un elemento dell'area del diagramma. Ora dalle relazioni (107) -(109) otteniamo

Momento derivante da un carico unitario in una sezione

Una tabella ausiliaria per l'utilizzo della regola di Vereshchagin è riportata in Fig. 9.19.

Appunti. 1. Se il diagramma dell'azione delle forze esterne su una sezione è lineare (ad esempio, sotto l'azione di forze e momenti concentrati), allora la regola può essere applicata in forma inversa: moltiplicare l'area del diagramma da a singolo fattore di forza per l'ordinata del diagramma corrispondente al baricentro dell'area. Ciò segue dalla dimostrazione precedente.

2. La regola di Vereshchagin può essere estesa all’integrale di Mohr in forma generale (equazione (103)).

Riso. 9.19. Aree e posizioni dei baricentri dei diagrammi dei momenti

Riso. 9.20. Esempi di determinazione degli angoli di deflessione e rotazione utilizzando la regola di Vereshchagin

Il requisito principale è il seguente: all'interno della sezione, i fattori di forza interni derivanti da un'unità di carico devono essere funzioni lineari lungo l'asse dell'asta (diagrammi lineari!).

Esempi. 1. Determinare la deflessione nel punto A dell'asta a sbalzo sotto l'azione di un momento concentrato M (Fig. 9.20, a).

La freccia nel punto A è determinata dalla formula (per brevità si omette l'indice)

Il segno meno è dovuto al fatto che hanno segni diversi.

2. Determinare la deflessione nel punto A dell'asta a sbalzo sotto l'azione di un carico distribuito.

La deflessione è determinata dalla formula

I diagrammi del momento flettente M e della forza di taglio Q derivanti dal carico esterno sono mostrati in Fig. 9.20, b, di seguito in questa figura sono riportati i diagrammi sotto l'azione di una forza unitaria. Successivamente troviamo

3. Determinare la deflessione nel punto A e l'angolo di rotazione nel punto B per una trave a due appoggi caricata con un momento concentrato (Fig. 9.20.).

La freccia è determinata dalla formula (trascuriamo la deformazione a taglio)

Poiché il diagramma del momento derivante da una forza unitaria non è rappresentato da una linea; quindi dividiamo l'integrale in due sezioni:

L'angolo di rotazione nel punto B è uguale a

Commento. Dagli esempi sopra riportati è chiaro che il metodo di Vereshchagin in casi semplici consente di determinare rapidamente deflessioni e angoli di rotazione. È importante applicare un'unica regola di segni per Se, piegando un'asta, accettiamo di costruire diagrammi dei momenti flettenti su una “fibra allungata” (vedi Fig. 9.20), allora è immediatamente facile vedere il positivo e valori negativi dei momenti.

Un vantaggio speciale della regola di Vereshchagin è che può essere utilizzata non solo per le aste, ma anche per i telai (sezione 17).

Restrizioni all'applicazione della regola di Vereshchagin.

Queste restrizioni derivano dalla derivazione della formula (110), ma prestiamo nuovamente attenzione ad esse.

1. Il diagramma del momento flettente derivante da un carico unitario dovrebbe avere la forma di una linea retta. Nella fig. 9.21, e mostra il caso in cui questa condizione non è soddisfatta. L'integrale di Mohr deve essere calcolato separatamente per le sezioni I e II.

2. Il momento flettente derivante dal carico esterno all'interno della sezione deve avere lo stesso segno. Nella fig. La Figura 9.21, b mostra il caso in cui la regola di Vereshchagin dovrebbe essere applicata separatamente per ciascuna sezione. Questa limitazione non si applica al momento derivante da un singolo carico.

Riso. 9.21. Restrizioni quando si utilizza la regola di Vereshchagin: a - il diagramma ha un'interruzione; b - il diagramma ha segni diversi; c - l'asta ha sezioni diverse

3. La rigidezza dell'asta all'interno di una sezione deve essere costante, altrimenti l'integrazione dovrebbe essere estesa separatamente alle sezioni con rigidezza costante. Le limitazioni sulla rigidezza costante possono essere evitate tracciando dei diagrammi.