Признаки принадлежности хорошо известны из курса планиметрии. Наша задача рассмотреть их применительно к проекциям геометрических объектов.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Принадлежность прямой плоскости определяется по одному из двух признаков:

а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.

Используя эти свойства, решим в качестве примера задачу. Пусть плоскость задана треугольником АВС . Требуется построить недостающую проекцию D 1 точки D , принадлежащей этой плоскости. Последовательность построений следующая (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К построению проекций точки, принадлежащей плоскости

Через точку D 2 проводим проекцию прямой d , лежащей в плоскости АВС , пересекающую одну из сторон треугольника и точку А 2 . Тогда точка 1 2 принадлежит прямым А 2 D 2 и C 2 В 2 . Следовательно, можно получить ее горизонтальную проекцию 1 1 на C 1 В 1 по линии связи. Соединив точки 1 1 и А 1 , получаем горизонтальную проекцию d 1 . Ясно, что точка D 1 принадлежит ей и лежит на линии проекционной связи с точкой D 2 .

Достаточно просто решаются задачи на определение принадлежности точки или прямой плоскости. На рис. 2.6 показан ход решения таких задач. Для наглядности изложения задачи плоскость задаем треугольником.

Рис. 2.6. Задачи на определение принадлежности точки и прямой плоскости.

Для того, чтобы определить принадлежит ли точка Е плоскости АВС , проведем через ее фронтальную проекцию Е 2 прямую а 2 . Считая, что прямая а принадлежит плоскости АВС , построим ее горизонтальную проекцию а 1 по точкам пересечения 1 и 2. Как видим (рис. 2.6, а), прямая а 1 не проходит через точку Е 1 . Следовательно, точка Е  АВС .

В задаче на принадлежность прямой в плоскости треугольника АВС (рис. 2.6, б), достаточно по одной из проекций прямой в 2 построить другую в 1 * считая, что в  АВС . Как видим, в 1 * и в 1 не совпадают. Следовательно, прямая в АВС .

2.4. Линии уровня в плоскости

Определение линий уровня было дано ранее. Линии уровня, принадлежащие данной плоскости, называются главными . Эти линии (прямые) играют существенную роль при решении ряда задач начертательной геометрии.

Рассмотрим построение линий уровня в плоскости, заданной треугольником (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Построение главных линий плоскости, заданной треугольником

Горизонталь плоскости АВС начинаем с вычерчивания ее фронтальной проекции h 2 , которая, как известно, параллельна оси ОХ . Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоскости, то она проходит через две точки плоскости АВС , а именно, точки А и 1. Имея их фронтальные проекции А 2 и 1 2 , по линии связи получим горизонтальные проекции (А 1 уже есть) 1 1 . Соединив точки А 1 и 1 1 , имеем горизонтальную проекцию h 1 горизонтали плоскости АВС . Профильная проекция h 3 горизонтали плоскости АВС будет параллельна оси ОХ по определению.

Фронталь плоскости АВС строится аналогично (рис. 2.7) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f 1 , так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f 3 фронтали должна быть параллельна оси ОZ и пройти через проекции С 3 , 2 3 тех же точек С и 2.

Профильная линия плоскости АВС имеет горизонтальную р 1 и фронтальную р 2 проекции, параллельные осям OY и OZ , а профильную проекцию р 3 можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 с АВС .

При построении главных линий плоскости необходимо помнить лишь одно правило: для решения задачи всегда нужно получить две точки пересечения с данной плоскостью. Построение главных линий, лежащих в плоскости, заданной иным способом, ничуть не сложнее рассмотренного выше. На рис. 2.8 показано построение горизонтали и фронтали плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми а ив .

Рис. 2.8. Построение главных линий плоскости, заданной пересекающимися прямыми.

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Определение точки и прямой в геометрии не вводят, эти понятия рассматриваются на интуитивно-понятийном уровне.

Точки обозначают прописными (заглавными, большими) латинскими буквами: A, B, C, D, …

Прямые обозначают одной строчной (маленькой) латинской буквой, например,

— прямая a.

Прямая состоит из бесконечного множества точек и не имеет ни начала, ни конца. На рисунке изображают только часть прямой, но понимают, что она простирается в пространстве бесконечно далеко, неограниченно продолжаясь в обе стороны.

О точках, которые лежат на прямой, говорят, что они принадлежат этой прямой. Принадлежность отмечают знаком ∈. О точках вне прямой говорят, что они не принадлежат этой прямой. Знак «не принадлежит» — ∉.

Например, точка B принадлежит прямой a (пишут: B∈a),

точка F не принадлежит прямой a, (пишут: F∉a).

Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости:

Каковы бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Прямые также обозначают двумя большими латинскими буквами, по названию точек, которые лежат на прямой.

— прямая AB.

— эту прямую можно назвать MK или MN или NK.

Две прямые могут пересекаться и не пересекаться. Если прямые не пересекаются, они не имеют общих точек. Если прямые пересекаются, они имеют одну общую точку. Знак пересечения — ∩ .

Например, прямые a и b пересекаются в точке O

(пишут: a ∩ b=O).

Прямые c и d также пересекающиеся, хотя на рисунке нет их точки пересечения.

Рис. 3.2 Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве могут занимать относительно друг друга одно из трех положений:

1) быть параллельными;

2) пересекаться;

3) скрещиваться.

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Если прямые параллельны друг другу, то на КЧ их одноименные проекции тоже параллельны (см. п. 1.2).

Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А . Причем фронтальная () и горизонтальная ()проекции этой точки должны находиться на одной линии связи.

Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.

Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.

На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b , а точка D - прямой а . Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций. Аналогично точки E и F принадлежат разным прямым, но находятся на одном расстоянии от горизонтальной плоскости проекций. Поэтому на КЧ их фронтальные проекции совпадают.

Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей (рис. 3.5).

Признак принадлежности точки и прямой плоскости:

Точка принадлежит плоскости , если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости , если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 3.5 изображена плоскость и точки D и Е . Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой l , имеющей с этой плоскостью две общие точки - 1 и А . Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости.

На рис. 3.6 показана плоскость и прямая t , лежащая в этой плоскости, т.к. имеет с ней общую точку 1 и параллельна прямой а .


На декартовом произведении , где М – множество точек, введем 3 -местное отношение d. Если упорядоченная тройка точек (А, В, С) принадлежит этому отношению, то будем говорить, что точка В лежит между точками А и С и использовать при этом обозначение: А-В-С. Введенное отношение должно удовлетворять следующим аксиомам:

Если точка В лежит между точками А и С, то А, В, С – три различные точки одной прямой, и при этом В лежит между С и А.

Какова бы ни были точки А и В, существует по крайней мере одна точка С, такая, что В лежит между А и С.

Среди любых трех точек прямой существует не более одной, лежащей между двумя другими.

Для формулировки последней, четвертой аксиомы второй группы удобно ввести следующие понятие.

Определение 3.1 . Под отрезком (по Гильберту) будем понимать пару точек АВ. Точки А и В будем называть концами отрезка, точки, лежащие между его концами – внутренними точками отрезка, или просто точками отрезка, а точки прямой АВ, не лежащими между концами А и В – внешними точками отрезка.

. (Аксиома Паша) Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, а l – прямая плоскости АВС, на проходящая через эти точки. Тогда, если прямая l проходит через точку отрезка АВ, то она содержит либо точку отрезка АС, либо точку отрезка ВС.

Из аксиом первой и второй групп вытекает достаточно много геометрических свойств точек, прямых и отрезков. Можно доказать, что любой отрезок имеет, по крайней мере, одну внутреннюю точку, среди трех точек прямой всегда существует одна и только одна, лежащая между двумя другими, между двумя точками прямой всегда существует бесконечно много точек, что означает на прямой существует бесконечно много точек. Можно также доказать, что утверждение аксиомы Паша справедливо и для точек, лежащих на одной прямой: если точки А, В и С принадлежат одной прямой, прямая l не проходи через эти точки и пересекает один из отрезков, например, АВ в внутренней точке, то она пересекает во внутренней точке либо отрезок АС, либо отрезок ВС. Заметим также, что из аксиом первой и второй групп не следует, что множество точек прямой несчетно. Мы не будем приводить доказательства этих утверждений. Читатель может познакомиться с ними в пособиях , и . Остановимся более подробно на основных геометрических понятиях, а именно луча, полуплоскости и полупространства, которые вводятся с помощью аксиом принадлежности и порядка.

Справедливо следующее утверждение:

Точка О прямой l разбивает множество остальных точек этой прямой на два непустых подмножества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащих одному подмножеству, точка О является внешней точкой отрезка АВ, а для любых двух точек C и D, принадлежащих различным подмножествам, точка О – внутренняя точка отрезка CD.

Каждое из этих подмножеств называется лучом прямой l с началом в точке О. Лучи будем обозначать через h, l, k, …OA, OB, OC,…, где О – начало луча, а А, В и С – точки луча. Доказательство этого утверждения мы приведем позже, в параграфе 7, но используя при этом другую аксиоматику трехмерного евклидова пространства. Понятие луча позволяет определить важнейший геометрический объект – угол.

Определение 3.2. Под углом (по Гильберту) будем понимать пару лучей h и k, имеющих общее начало О и не лежащих на одной прямой.

Точка О называется вершиной угла, а лучи h и k – его сторонами. Для углов будем использовать обозначения . Рассмотрим важнейшее понятие элементарной геометрии – понятие полуплоскости.

Теорема 3.1. Прямая а, лежащая в плоскости a, разделяет ее множество точек, не принадлежащих прямой, на два непустых подмножества, так, что если точки А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой l, а если точки А и В принадлежат различным подмножествам, то отрезок АВ пересекает прямую l в своей внутренней точке .

Доказательство. При доказательстве мы будем использовать следующее свойство отношения эквивалентности. Если на некотором множестве введено бинарное отношение, которое является отношением эквивалентности, т.е. удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности, то все множество разбивается на непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности, при этом любые два элемента принадлежат одному классу в том и только в том случае, когда они эквивалентны.

Рассмотрим множество точек плоскости, не принадлежащих прямой а. Будем считать, что два точки А и В находятся в бинарном отношении d: АdВ в том и только в том случае, когда на отрезке АВ не существует внутренних точек, принадлежащих прямой а. Будем также счи тать, что любая точка находится в бинарном отношении d сама с собой. Покажем, что для любой точки А, не принадлежащей прямой а, существуют точки, отличные от А, как находящиеся, так и не находящиеся с ней в бинарном отношении. Выберем произвольную точку Р прямой а (см. рис.6). Тогда в соответствии с аксиомой существует точка В прямой АР, такая, что Р-А-В. Прямая АВ пересекает а в точке Р, которая не лежит между точками А и В, следовательно точки А и В находятся в отношении d. В соответствии с той же аксиомой существует точка С, такая, что А-Р-С. Поэтому точка Р лежит между А и С, точки А и С не находятся в отношении d.

Докажем, что отношение d является отношением эквивалентности. Условие рефлексивности с очевидностью выполняется в силу определения бинарного отношения d: АdА. Пусть точки А и В находятся в отношении d. Тогда на отрезке АВ не существует точек прямой а. Отсюда следует, что точек прямой а нет и на отрезке ВА, поэтому ВdА, отношение симметричности выполнено. Пусть, наконец, даны три точки А, В и С, такие, что АdВ и ВdС. Покажем, что точки А и С находятся в бинарном отношении d. Предположим противное, на отрезке АС существует точка Р прямой а (рис. 7). Тогда в силу аксиомы , аксиомы Паша, прямая а пересекает либо отрезок ВС, либо отрезок АВ (на рис. 7 прямая а пересекает отрезок ВС). Мы пришли к противоречию, так как из условия АdВ и ВdС следует, что прямая а не пересекает эти отрезки. Таким образом, отношение d является отношением эквивалентности и оно разбивает множество точек плоскости, не принадлежащих прямой а на классы эквивалентности.

Проверим, что таких классов эквивалентности ровно два. Для этого достаточно доказать, если точки А и С и В и С не эквивалентны, то тогда точки А и В в свою очередь эквивалентны друг другу. Так как точки А и С и В и С не находятся в отношении эквивалентности d, прямая а пересекает отрезки АС и ВС точках Р и Q (см. рис. 7). Но тогда, в силу аксиомы Паша, эта прямая не может пересекать отрезок АВ. Поэтому точки А и В эквивалентны друг другу. Теорема доказана.

Каждый из классов эквивалентностей, определенных в теореме 3.2, носит название полуплоскости. Таким образом, любая прямая плоскости разбивает ее на две полуплоскости, для которых она служит границей .

Аналогично понятию полуплоскости вводится понятие полупространства. Доказывается теорема, в которой утверждается, что любая плоскость a пространства разбивает точки пространства на два множества. Отрезок, концы которого составляют точки одного множества, не имеет с плоскостью a общих точек. Если же концы отрезка принадлежат различным множествам, то такой отрезок имеет в качестве внутренней точку плоскости a. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 3.2, мы его приводить не будем.

Определим понятие внутренней точки угла. Пусть дан угол . Рассмотрим прямую ОА, содержащую луч ОА, сторону этого угла. Ясно, что точки луча ОВ принадлежит одной полуплоскости a относительно прямой ОА. Аналогично, точки луча ОА, стороны данного угла, принадлежат одной полуплоскости b, границу которой составляет прямая ОВ (рис. 8). Точки, принадлежащие пересечению полуплоскостей a и b, называются внутренними точками угла. На рисунке 8 точка М – внутренняя точка . Множество всех внутренних точек угла называется его внутренней областью . Луч, вершина которого совпадает с вершиной угла, и все точки которого являются внутренними, называется внутренними лучом угла. На рисунке 8 изображен внутренний луч h угла АОВ.

Справедливы следующие утверждения.

1 0 . Если луч с началом в вершине угла содержит хотя бы одну его внутреннюю точку, то он является внутренним лучом этого угла.

2 0 . Если концы отрезка расположены на двух различных сторонах угла, то любая внутренняя точка отрезка является внутренней точкой угла.

3 0 . Любой внутренний луч угла пересекает отрезок, концы которого находятся на сторонах угла..

Мы рассмотрим доказательства этих утверждений позже, в параграфе 5. C помощью аксиом второй группы определяются понятия ломанной линии, треугольника, многоугольника, понятие внутренней области простого многоугольника и доказывается, что простой многоугольник разбивает плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю по отношению к нему.

Третью группу аксиом Гильберта трехмерного евклидова пространства составляют так называемые аксиомы конгруэнтности. Пусть S – множество отрезков, А – множество углов. На декартовых произведениях и введем бинарные отношения, которые будем называть отношением конгруэнтности.

Заметим, что введенное таким образом отношение не является отношением основных объектов рассматриваемой аксиоматики, т.е. точек прямых и плоскостей. Ввести третью группу аксиом можно только тогда, когда определены понятия отрезка и угла, т.е. введены первая и вторая группы аксиом Гильберта.

Условимся также называть конгруэнтные отрезки или углы также геометрически равными или просто равными отрезками или углами, термин «конгруэнтные», в том случае, когда это не приводит к недоразумениям, будем заменять термином «равные» и обозначать символом «=».